Ensembles et applications (Cours)

CPGE MPSI 1 Ensembles et Applications M R .ELHAFI
I)Opérations sur les parties d’un ensemble
1)Partie d’un ensemble
Définition Soient  deux ensembles .
On dit que  est une partie de  ( ou  est incluse dans  ) si :       
On écrit   
L’ensemble formé par les parties de  se note 
Remarques
1)Si  n’est pas inclus dans  , on écrit   
On a :      
2)Si    et      , on dit que  est inclus strictement dans  , on écrit
3)Soit un ensemble . On a :       
Exemples
1)   ,    ,   
On a :    ,    (Car 5  , 
2) car  et  
3)  , 
3)Soit  
convergentes
On a    et   
Proposition
Soient  des ensembles , on a :
1)    
2)Si      alors   

2)Intersection réunion de deux parties
Définition
Soient  un ensemble et  deux parties de 
1)On appelle l’intersection de  , l’ensemble formé par les éléments qui
appartiennent à la fois à  et se note 
On a       
On a :         
2) On appelle la réunion de  , l’ensemble formé par les éléments qui
appartiennent à  et se note 
On a        .         
Exemples
1)Dans  , on considère les parties :    ,    ,   
On a :    ,    ,   
2)  , 
Propriétés
1)           
2)          
3)      ,     
4)   ,   
5)   ,  
3)Complémentaire d’une partie
Définition Soient  un ensemble et  une partie de 
On appelle le complémentaire de  , l’ensemble formé par les éléments de 
Qui n’appartiennent pas à  et se note 
 ( ou  )
On a : 

Exemples
1)On pose    ,    . On a 
2)
3)Soit  un ensemble On a : 
  , 
Propriétés Soient  un ensemble et  deux parties de 
1)
=
2)    
3)
= 
4)
= 
4)Différence
Définition Soient  un ensemble et  deux parties de 
On appelle la différence de  l’ensemble des formés par les éléments qui
appartiennent à  et n’appartiennent pas à  et se note 
On a :                
5)Produit cartésien d’ensembles
Définition Soient  , ….,  des ensembles .
On appelle le produit cartésien de  , ….,  l’ensemble   …. =
    . et se note aussi 
Un élément  de 
 s’appelle 
Si   ….  = , le produit cartésien 
 se note 
Exemples
1)On pose    ,   
On a :     ,    
2)   
3)   

II)Famille de parties d’un ensemble
1)Définition Soit  un ensemble et soit  un ensemble non vide
Pour tout    , on lui associe une partie  de 
La famille  est dite famille de parties de  (indexée par 
Exemple Pour tout   , on pose 
La famille  est une famille de parties de 
2)Intersection – union d’une famille de parties d’un ensemble
Définition Soient  un ensemble et  une famille de parties de 
1)On appelle l’intersection des  (  , l’ensemble
2) On appelle l’union des  (  , l’ensemble
 =       
Exemple Pour tout   , on pose 
Montrer que 
 et 
Exercice Soient  un ensemble et  une famille de parties de 
Montrer que : 
= et en déduire que : 
=
Définition (Partition d’un ensemble)
Soient  un ensemble et  une famille de parties de 
On dit que la famille  est une partition de  si :
1)   
2)    
3)  

Exemple
On pose   . La famille  est une partition de 
III)Applications
1)Définition Soient  deux ensembles non vides et soit      une fonction
Tout élément de  admet une seule image par 
L’ensemble  est dit l’ensemble de départ de 
L’ensemble est dit l’ensemble d’arrivé de 
On dit que est une application de  vers 
L’ensemble des applications de vers se note  (ou )
Remarque Soit      une application
Pour tout  
On a est l’image de 
Exemples
1) Soit un ensemble non vide . On appelle l’identité de  , l’application    
2)    
3)On pose    ,   
On considère l’application :        
On a   ,   
2)Restriction – Prolongement d’une application
Définitions Soit      une application
1)Soit  une partie non vide de . On appelle la restriction de  à 
L’application   :     
2)Soit  un ensemble tel que   On appelle prolongement de  à  , toute
application      telle que la restriction de à est égale à 