CPGE MPSI 1
Ensembles et Applications
M R .ELHAFI
I)Opérations sur les parties d’un ensemble
1)Partie d’un ensemble
Définition Soient 𝐸 et 𝐹 deux ensembles .
On dit que 𝐹 est une partie de 𝐸 ( ou 𝐹 est incluse dans 𝐸 ) si : ∀𝑥 𝑥 ∈ 𝐹 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐸
On écrit 𝐹 ⊂ 𝐸
L’ensemble formé par les parties de 𝐸 se note 𝑃(𝐸)
Remarques
1)Si 𝐹 n’est pas inclus dans 𝐸 , on écrit 𝐹 ⊄ 𝐸
On a : 𝐹 ⊄ 𝐸 ⟺∃𝑥 ∈ 𝐹 et 𝑥∉𝐸
2)Si 𝐹 ⊂ 𝐸 et ∃𝑥 ∈ 𝐸 et 𝑥 ∉ 𝐹 , on dit que 𝐹 est inclus strictement dans 𝐸 , on écrit
𝐹⊊𝐸
3)Soit 𝐸un ensemble . On a : 𝐴 ∈ 𝑃(𝐸) ⟺ 𝐴 ⊂ 𝐸
Exemples
1)𝐸 = {1 , 2 , 3 , 6} , 𝐹 = {1, 6} , 𝐺 = {2 , 5}
On a : 𝐹 ⊂ 𝐸 , 𝐺 ⊄ 𝐸 (Car 5∈𝐺 et 5∉E) , 𝐹∈𝑃(𝐸)
2)ℚ⊊ℝ car : ℚ⊂ℝ et √2 ∈𝐼𝑅 et √2∉ℚ
3)[1 , 2] ⊂ [0, +∞[ , [0,1] ⊄ ]0,2]
3)Soit 𝐸 l’ensemble des suites réelles bornées et 𝐹 l’ensemble des suites réelles
convergentes
On a 𝐹 ⊂ 𝐸 et 𝐸 ⊄ 𝐹
Proposition
Soient 𝐸 , 𝐹 , 𝐺 des ensembles , on a :
1)𝐸 ⊂ 𝐸
, ∅⊂𝐸
2)Si 𝐺 ⊂ 𝐹 et 𝐹 ⊂ 𝐸 alors 𝐺 ⊂ 𝐸
2)Intersection –réunion de deux parties
Définition
Soient 𝐸 un ensemble et 𝐴 , 𝐵 deux parties de 𝐸
1)On appelle l’intersection de 𝐴 et 𝐵 , l’ensemble formé par les éléments qui
appartiennent à la fois à 𝐴 et à 𝐵 et se note 𝐴 ∩ 𝐵
On a 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴 et 𝑥 ∈ 𝐵}
On a : 𝒙 ∈ 𝑨 ∩ 𝑩 ⟺ 𝒙 ∈ 𝑨 𝐞𝐭 𝒙 ∈ 𝑩
2) On appelle la réunion de 𝐴 et 𝐵 , l’ensemble formé par les éléments qui
appartiennent à 𝐴 ou à 𝐵 et se note 𝐴 ∪ 𝐵
On a 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴 ou 𝑥 ∈ 𝐵} .
𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 ⟺ 𝒙 ∈ 𝑨 𝐨𝐮 𝒙 ∈ 𝑩
Exemples
1)Dans 𝐼𝑅 , on considère les parties : 𝐴 = {1, 5} , 𝐵 = {1, 3 , 8} , 𝐶 = {2,4}
On a : 𝐴 ∩ 𝐵 = {1} , 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 3 , 8 , 5} , 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅
2)[0,1] ∩ 𝐼𝑁 = {0,1} , [
1
3
1
, ]∩ℤ =∅
2
Propriétés
1)∅ ∩ 𝐸 = ∅ , ∅ ∪ 𝐸 = 𝐸 , 𝐸 ∪ 𝐸 = 𝐸
, 𝐸∩𝐸 =𝐸
2)𝐴 ⊂ 𝐵 ⟺ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ⟺ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵
3) 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 , 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
4) 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶 ) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶
, 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶 ) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶
5) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶 ) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
, 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
3)Complémentaire d’une partie
Définition Soient 𝐸 un ensemble et 𝐴 une partie de 𝐸
On appelle le complémentaire de 𝐴 dans 𝐸 , l’ensemble formé par les éléments de 𝐸
Qui n’appartiennent pas à 𝐴 et se note 𝐶𝐸𝐴 ( ou 𝐴̅ )
On a : 𝐶𝐸𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐸 , 𝑥 ∉ 𝐴}
𝒙 ∈ 𝑪𝑨𝑬 ⟺ 𝒙 ∈ 𝑬 𝐞𝐭 𝒙 ∉ 𝑨
Exemples
1)On pose 𝐸 = {1 , 2 , 3 , 4} , 𝐹 = {3 , 4} . On a 𝐶𝐹𝐸 = {1, 2}
−
𝐼𝑅
2) 𝐶𝐼𝑅
= 𝐼𝑅+∗
3)Soit 𝐸 un ensemble
Propriétés
On a : 𝐶𝐸∅ = 𝐸 , 𝐶𝐸𝐸 = ∅
Soient 𝐸 un ensemble et 𝐴 , 𝐵 deux parties de 𝐸
1)𝐴̿ =𝐴
2)𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝐵̅ ⊂ 𝐴̅
̅̅̅̅̅̅̅
3)𝐴
∩ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅
4) ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅
4)Différence
Définition Soient 𝐸 un ensemble et 𝐴 , 𝐵 deux parties de 𝐸
On appelle la différence de 𝐴 et 𝐵 l’ensemble des formés par les éléments qui
appartiennent à 𝐴 et n’appartiennent pas à 𝐵 et se note 𝐴 ∖ 𝐵
On a : 𝐴 ∖ 𝐵 = {𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐴 et 𝑥 ∉ 𝐵}
𝑥 ∈ 𝐴 ∖ 𝐵 ⟺ 𝑥 ∈ 𝐴 et 𝑥 ∉ 𝐵
5)Produit cartésien d’ensembles
Définition Soient 𝐸1 , 𝐸2 , …., 𝐸𝑛 des ensembles .
On appelle le produit cartésien de 𝐸1 , 𝐸2 , …., 𝐸𝑛 l’ensemble 𝐸1 × 𝐸2 × ….× 𝐸𝑛 =
{(𝑥1 , 𝑥2 , … … , , 𝑥𝑛 ) , 𝑥1 ∈ 𝐸1 , … . . , , 𝑥𝑛 ∈ 𝐸𝑛 } . et se note aussi ∏𝑛𝑘=1 𝐸𝑘
Un élément (𝑥1 , 𝑥2 , … … , , 𝑥𝑛 ) de ∏𝑛𝑘=1 𝐸𝑘 s’appelle 𝑛 − uplet
Si 𝐸1 = 𝐸2 = ….= 𝐸𝑛 =𝐸 , le produit cartésien ∏𝑛𝑘=1 𝐸𝑘 se note 𝐸 𝑛
Exemples
1)On pose 𝐸 = {1,2,3} , 𝐹 = {3,4}
On a : 𝐸 × 𝐹 = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4)} , 𝐹 × 𝐸 =
{(3,1), (4,1), (3,2), (4 ,2), (3,3), (4,3)}
2)𝐼𝑅 × {0} = {(𝑥, 0) , 𝑥 ∈ 𝐼𝑅}
3)𝐼𝑅3 = {(𝑥 , 𝑦 , 𝑧) , 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ∈ 𝐼𝑅}
II)Famille de parties d’un ensemble
1)Définition Soit 𝐸 un ensemble et soit 𝐼 un ensemble non vide
Pour tout 𝑖 ∈ 𝐼 , on lui associe une partie 𝐴𝑖 de 𝐸
La famille (𝐴𝑖 )𝑖∈𝐼 est dite famille de parties de 𝐸 (indexée par 𝐸)
Exemple Pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁, on pose 𝐴𝑛 = {0,1, … . 𝑛}
La famille (𝐴𝑛 )𝑛∈𝐼𝑁 est une famille de parties de 𝐼𝑁
2)Intersection – union d’une famille de parties d’un ensemble
Définition Soient 𝐸 un ensemble et (𝐴𝑖 )𝑖∈𝐼 une famille de parties de 𝐸
1)On appelle l’intersection des 𝐴𝑖 (𝑖 ∈ 𝐼), l’ensemble
⋂𝑖∈𝐼 𝐴𝑖 = {𝑥 ∈ 𝐸 , ∀𝑖 ∈ 𝐼 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖 }
𝒙 ∈ ⋂𝒊∈𝑰 𝑨𝒊 ⟺ ∀𝒊 ∈ 𝑰 , 𝒙 ∈ 𝑨𝒊
2) On appelle l’union des 𝐴𝑖 (𝑖 ∈ 𝐼), l’ensemble
⋃𝑖∈𝐼 𝐴𝑖 ={𝑥 ∈ 𝐸 , ∃𝑖 ∈ 𝐼 , 𝑥 ∈ 𝐴𝑖 }
𝒙 ∈ ⋃ 𝐴𝑖 ∃𝒊 ∈ 𝑰 , 𝒙 ∈ 𝑨𝒊
𝑖∈𝐼
Exemple
Pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ∗ , on pose 𝐴𝑛 = {1, … . 𝑛}
Montrer que ⋂𝒏∈𝐼𝑁∗ 𝑨𝒏 = {𝟏} et ⋃𝑛∈𝐼𝑁∗ 𝐴𝑛 = 𝐼𝑁 ∗
Exercice Soient 𝐸 un ensemble et (𝐴𝑖 )𝑖∈𝐼 une famille de parties de 𝐸
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅
Montrer que : ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
⋂𝒊∈𝑰 𝑨𝒊 =⋃𝑖∈𝐼 𝐴̅𝑖 et en déduire que : ⋃
𝑖∈𝐼 𝐴𝑖 =⋂𝑖∈𝐼 𝐴𝑖
Définition (Partition d’un ensemble)
Soient 𝐸 un ensemble et (𝐴𝑖 )𝑖∈𝐼 une famille de parties de 𝐸
On dit que la famille (𝐴𝑖 )𝑖∈𝐼 est une partition de 𝐸 si :
1)𝐴𝑖 ≠ ∅ ∀𝑖 ∈ 𝐼
2) 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑖 = ∅
3)𝐸 = ⋃𝑖∈𝐼 𝐴𝑖
∀𝑖 ≠ 𝑗
Exemple
On pose 𝐸 = {1 , 2 , 3}. La famille ({1} , {2,3}) est une partition de 𝐸
III)Applications
1)Définition Soient 𝐸 , 𝐹 deux ensembles non vides et soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une fonction
Tout élément de 𝐸 admet une seule image par 𝑓
L’ensemble 𝐸 est dit l’ensemble de départ de 𝑓
L’ensemble 𝐹 est dit l’ensemble d’arrivé de 𝑓
On dit que 𝑓est une application de 𝐸 vers 𝐹
L’ensemble des applications de 𝐸 vers 𝐹 se note 𝐹(𝐸, 𝐹) (ou 𝐹 𝐸 )
Remarque Soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une application
Pour tout 𝑥 de 𝐸 , il existe un seul élément 𝑦 de 𝐹 tel que 𝑓(𝑥) = 𝑦
On a 𝑦 est l’image de 𝑥 par 𝑓 et 𝑥 un antécédent de 𝑦 par 𝑓
Exemples
1) Soit 𝐸un ensemble non vide . On appelle l’identité de 𝐸 , l’application 𝑖𝑑𝐸 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐸
𝑥⟶𝑥
2) 𝑓 ∶ ]0, +∞[ ⟶ 𝐼𝑅
𝑥 ⟶ 𝑙𝑛𝑥
3)On pose 𝐸 = {1,2,3 ,4} , 𝐴 = {1, 2}
On considère l’application : 𝑓 ∶ 𝑃(𝐸 ) ⟶ 𝑃(𝐸 )
𝑋⟶𝑋∩𝐴
On a 𝑓({1,3}) = {1,2} ∩ {1,3} = {1} , 𝑓 ({3}) = ∅
2)Restriction – Prolongement d’une application
Définitions Soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une application
1)Soit 𝐴 une partie non vide de 𝐸. On appelle la restriction de 𝑓 à 𝐴
L’application 𝑓 ∕𝐴 : 𝐴 ⟶ 𝐹
𝑥 ⟶ 𝑓(𝑥)
2)Soit 𝐺 un ensemble tel que 𝐸 ⊂ 𝐺 . On appelle prolongement de 𝑓 à 𝐺 , toute
application ℎ ∶ 𝐺 ⟶ 𝐹 telle que la restriction de ℎ à 𝐸 est égale à 𝑓
Exemples
1)𝑓 ∶ 𝐼𝑅 ⟶ 𝐼𝑅
𝑥⟶
1
𝑥²+1
On a 𝑓 ∕[0,1] : [0,1] ⟶ 𝐼𝑅
2) 𝑓 ∶ 𝐼𝑅∗ ⟶ 𝐼𝑅
𝑥⟶
.
𝑥⟶
1
𝑥²+1
1
𝑥²
L’application ℎ ∶ 𝐼𝑅 ⟶ 𝐼𝑅
𝑥⟶
1
𝑥²
si 𝑥 ≠ 0 et ℎ(0) = 1 est un prolongement
de 𝑓 à 𝐼𝑅
3)Fonction indicatrice d’une partie d’un ensemble
Définition Soient 𝐸 un ensemble non vide et 𝐴 une partie de 𝐸
On appelle fonction indicatrice de 𝐴 , l’application 1𝐴 définie de 𝐸 vers {0,1}
1 si 𝑥 ∈ 𝐴
par 1𝐴 (𝑥) = {
0 si x ∉ A
3)Image directe – Image réciproque
Définitions Soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une application
1)Soit 𝐴 une partie de 𝐸 . On appelle l’image directe de 𝐴 par 𝑓 l’ensemble noté 𝑓(𝐴)
défini par : 𝑓 (𝐴) = {𝑓 (𝑥) . 𝑥 ∈ 𝐴}
On a : 𝑦 ∈ 𝑓 (𝐴) ⟺ ∃𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑓 (𝑥) = 𝑦
2)Soit 𝐵 une partie de 𝐹 . On appelle l’image réciproque de 𝐵
Par 𝑓 l′ ensemble noté 𝒇−𝟏 (𝑩) défini par : 𝒇−𝟏 (𝑩) ={𝒙 ∈ 𝑬 , 𝒇(𝒙) ∈ 𝑩}
On a : 𝒙 ∈ 𝒇−𝟏 (𝑩) ⟺ 𝒇(𝒙) ∈ 𝑩
Exemples Soit l’application 𝑓 ∶ 𝐼𝑅 ⟶ 𝐼𝑅
𝑥 ⟶ 𝑥²
1)Déterminer 𝑓({−1 , 0 , √2}) , 𝑓 −1 ({2 , 4}) , 𝑓 −1 ({−2})
2)Montrer que : 𝑓([−1 , 1]) =[0,1] , 𝑓(𝐼𝑅) = 𝐼𝑅 +
Remarque
Soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une application .
Soit 𝐴 une partie de 𝐸 . On a : 𝑥 ∈ 𝐴 ⟹ 𝑓(𝑥) ∈ 𝑓(𝐴) mais 𝑓(𝑥) ∈ 𝑓(𝐴) ⇏𝑥 ∈ 𝐴
Exemple
𝑓 ∶ 𝐼𝑅 ⟶ 𝐼𝑅
𝐴 = {1 , 3} on a 𝑓(𝐴) = {1,9}
𝑥 ⟶ 𝑥²
On a 𝑓(−1) = 1 ∈ 𝑓(𝐴) mais −1 ∉ 𝐴
2)Soit 𝑦 ∈ 𝐹 . 𝑓 −1 ({𝑦}) = {𝑥 ∈ 𝐸 , 𝑓(𝑥) = 𝑦}
mais 𝑓 −1 (𝑦) n’as un sens que si 𝑓 est bijective
Propriétés
Soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une application .
1)𝑓 −1 (∅) = ∅
, 𝑓 −1 (𝐹 ) = 𝐸
1)Pour toutes parties 𝐴 et 𝐵 de 𝐸, on a :
a)𝐴 ⊂ 𝐵 ⟹ 𝑓(𝐴) ⊂ 𝑓(𝐵)
b)𝑓 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑓(𝐴) ∪ 𝑓(𝐵)
c) 𝑓(𝐴 ∩ 𝐵) ⊂ 𝑓 (𝐴) ∩ 𝑓 (𝐵)
d)𝐴 ⊂ 𝑓 −1 (𝑓(𝐴))
2) Pour toutes parties 𝑀 et 𝑁 de 𝐹, on a :
a)𝑀 ⊂ 𝑁 ⟹ 𝑓 −1 (𝑀) ⊂ 𝑓 −1 (𝑁)
b) 𝑓 −1 (𝑀 ∩ 𝑁) = 𝑓 −1 (𝑀) ∩ 𝑓 −1 (𝑁)
c) 𝑓 −1 (𝑀 ∪ 𝑁) = 𝑓 −1 (𝑀) ∪ 𝑓 −1 (𝑁)
d) 𝑓(𝑓 −1 (𝑀)) ⊂ 𝑀
4)Composition d’applications
Définition Soient 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 , 𝑔 ∶ 𝐹 ⟶ 𝐺 deux applications
La composée de 𝑔 et 𝑓 est l’application 𝑔𝑜𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐺
𝑥 ⟶ ( 𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓 (𝑥))
Exemple
1)On considère les applications 𝑓 ∶ 𝐼𝑅+ ⟶ 𝐼𝑅
𝑥 ⟶ √𝑥
On a 𝑔𝑜𝑓 ∶ 𝐼𝑅 + ⟶ 𝐼𝑅 +
𝑥⟶𝑥
et 𝑓𝑜𝑔 ∶ 𝐼𝑅 ⟶ 𝐼𝑅
𝑥 ⟶ |𝑥 |
;
𝑔 ∶ 𝐼𝑅 ⟶ 𝐼𝑅 +
𝑥 ⟶ 𝑥²
2)Soit 𝐸 un ensemble non vide et 𝐴une partie de 𝐸
On considère les applications 𝑓 ∶ 𝑃(𝐸 ) ⟶ 𝑃(𝐸 )
𝑔 ∶ 𝑃 (𝐸 ) ⟶ 𝑃 (𝐸 )
𝑋 ⟶𝑋∪𝐴
𝑋⟶𝑋∩𝐴
Déterminer 𝑔𝑜𝑓
Propriétés
Soient 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 , 𝑔 ∶ 𝐹 ⟶ 𝐺 , ℎ ∶ 𝐺 ⟶ 𝐻 trois applications
1)ℎ𝑜(𝑔𝑜𝑓) = (ℎ𝑜𝑔)𝑜𝑓
2)𝑓𝑜𝑖𝑑𝐸 = 𝑓
3)𝑖𝑑𝐹 𝑜𝑓 = 𝑓
5)Application injective – surjective – bijective
Définitions
Soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une application
1)On dit que 𝑓 est injective si pour tout 𝑦 ∈ 𝐹, l’équation 𝑓 (𝑥) = 𝑦 admet au plus
une solution dans 𝐸 c'est-à-dire : ∀(𝑥, 𝑥 ′ ) ∈ 𝐸 2 , 𝑓 (𝑥) = 𝑓(𝑥 ′ ) ⟹ 𝑥 = 𝑥 ′
2) On dit que 𝑓 est surjective si pour tout 𝑦 ∈ 𝐹, l’équation 𝑓 (𝑥) = 𝑦 admet au moins
une solution dans 𝐸 , c'est-à-dire tout élément 𝑦 de 𝐹 admet au moins un
antécédent par 𝑓
3)On dit que 𝑓 est bijective si 𝑓est injective et surjective c'est-à-dire tout élément
𝑦 de 𝐹 admet un seul antécédent par 𝑓
On a : 𝒇 est bijective⟺∀𝒚 ∈ 𝑭 , ∃! 𝒙 ∈ 𝑬 , 𝒇(𝒙) = 𝒚
Remarques
Soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une application .
1) 𝑓 n′ estpas injective ⟺ ∃(𝑥, 𝑥 ′ ) ∈ 𝐸 2 , 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥 ′ ) et 𝑥 ≠ 𝑥′
2) 𝑓 n′ estpas surjective ⟺ ∃𝒚 ∈ 𝑭, l′ équation 𝑓(𝑥) = 𝑦 n’as pas de solution dans 𝐸
3) 𝑓 n′ estpas bijective ⟺ 𝑓 n’est pas injective ou 𝑓 n’est pas surjective
Exemple
1)𝑓 ∶ 𝐼𝑅 ⟶ 𝐼𝑅
𝑥 ⟶ 𝑥2
On a 𝑓 (1) = 𝑓(−1) donc 𝑓 n’est pas injective
On a −2 n’as pas d’antécédent par𝑓 , donc 𝑓 n’est pas surjective
2) 𝑓 ∶ 𝐼𝑅 ⟶ 𝐼𝑅+
𝑥 ⟶ 𝑥2
On a 𝑓 n’est pas injective et 𝑓 est surjective
3) 𝑓 ∶ 𝐼𝑅+ ⟶ 𝐼𝑅+
𝑥 ⟶ 𝑥2
𝑓 est bijective
4)Soit 𝐸 un ensemble non vide et 𝐴 une partie de 𝐸
On considère l’application ℎ ∶ 𝑃(𝐸 ) ⟶ 𝑃(𝐸 )
𝑋⟶𝐴∪𝑋
a)Déterminer : ℎ(𝐴) , ℎ(𝐸 ) , ℎ(∅)
b)Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ℎ soit injective
c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ℎ soit surjective
d) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ℎ soit bijective
Définition
Soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une application . L’ensemble 𝑓 (𝐸 ) = {𝑓 (𝑥) , 𝑥 ∈ 𝐸 } est dit l’image
de 𝑓 et se note 𝑖𝑚(𝑓) . On a : 𝑖𝑚(𝑓) = {𝑓 (𝑥) , 𝑥 ∈ 𝐸 }
On a : 𝑦 ∈ 𝑖𝑚(𝑓) ⟺ ∃𝑥 ∈ 𝐸 , 𝑓(𝑥) = 𝑦
Proposition
Soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une application
On a : 𝑓 est surjective⟺𝑖𝑚(𝑓) = 𝐹
Propriétés
Soient 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 , 𝑔 ∶ 𝐹 ⟶ 𝐺 deux applications
1){
𝑓 est injective
⟹𝑔𝑜𝑓 est injective
𝑔 est injective
2) {
𝑓 est surjective
⟹𝑔𝑜𝑓 est surjective
𝑔 est surjective
3) {
𝑓 est bijective
⟹𝑔𝑜𝑓 est bijective
𝑔 est bijective
4) 𝑔𝑜𝑓 est injective ⟹ 𝑓 est injective
5) 𝑔𝑜𝑓 est surjective ⟹ 𝑔 est sujective
6) 𝑔𝑜𝑓 est bijective ⟹ 𝑓 est injective et 𝑔 est sujective
6)Bijection réciproque d’une bijection
Définition
Soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une bijection
Soit 𝑦 ∈ 𝐹 , il existe un seul élément 𝑥 de 𝐸 tel que 𝑓 (𝑥) = 𝑦
L’élément 𝑥 se note 𝑓 −1 (𝑦)
On définit ainsi une application 𝑓 −1 ∶ 𝐹 ⟶ 𝐸
𝑦 ⟶ 𝑓 −1 (𝑦)
On a : ∀𝒙 ∈ 𝑬 , 𝒇(𝒙) = 𝒚 ⟺ 𝒙 = 𝒇−𝟏 (𝒚)
L’application 𝑓 −1 est bijective et s’appelle la bijection réciproque de 𝑓
Exemples
1)Soit 𝑓 : [−1,1] ⟶ [−1,1]
𝑥⟶
2𝑥
1+𝑥²
Montrer que 𝑓 est bijective et déterminer 𝑓 −1
2)Soit ℎ ∶ 𝐼𝑅2 ⟶ 𝐼𝑅2
(𝑥, 𝑦) ⟶ (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 − 𝑦)
Montrer que ℎ est bijective et déterminer ℎ−1
Propriétés Soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une bijection
1) On a 𝑓 −1 est bijective et (𝑓 −1 )−1 =𝑓
2)𝑓𝑜𝑓 −1 = 𝑖𝑑𝐹 et 𝑓 −1 𝑜𝑓 = 𝑖𝑑𝐸
Proposition Soit 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 une application
On a 𝑓 est bijective si et seulement s’il existe une application 𝑔 ∶ 𝐹 ⟶ 𝐸
telle que 𝑓𝑜𝑔 = 𝑖𝑑𝐹 et 𝑔𝑜𝑓 = 𝑖𝑑𝐸 , dans ce cas et 𝑓 −1 = 𝑔
Proposition
Soient 𝑓 ∶ 𝐸 ⟶ 𝐹 , 𝑔 ∶ 𝐹 ⟶ 𝐺 deux applications .
Si 𝑓 et 𝑔 sont bijective alors 𝑔𝑜𝑓 est bijective et on a (𝑔𝑜𝑓)−1 = 𝑓 −1 𝑜𝑔−1
IV)Relations binaires
1)Définition
Soit 𝐸 un ensemble , on appelle relation binaire sur 𝐸 , tout couple (𝐸, 𝐺 )
avec 𝐺 une partie de 𝐸² . On note souvent une relation binaire sur 𝐸 par 𝑅 , 𝑆 ….
Soit 𝑅 = (𝐸, 𝐺) une relation binaire sur 𝐸. Soit (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸²
Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐺 , on dit que 𝑥 est en relation avec 𝑦, on écrit 𝑥𝑅𝑦
Si (𝑥, 𝑦) ∉ 𝐺 , on dit que 𝑥 n’est pas en relation avec 𝑦
L’ensemble 𝐺s’appelle le graphe de 𝑅
Exemples
1)𝐸 = {1,2,3} , 𝐺 = {(1,2), (3,3), (2,3)}
On a : 1 𝑅 2 , 3 𝑅 3 , 2R 3 , 3 n’est pas en relation avec 2 car (3,2) ∉ 𝐺
2)On définit sur 𝐼𝑅 la relation binaire 𝑅 par : 𝑥𝑅𝑦 ⟺ 𝑥² − 𝑦² ⟺ 𝑥 − 𝑦
On a : 1𝑅 1 , 0𝑅1
Définitions Soit 𝐸 un ensemble muni d’une relation binaire 𝑅
1)On dit que 𝑅 est réflexive si : ∀𝑥 ∈ 𝐸 , 𝑥𝑅𝑥
2)On dit que 𝑅 est symétrique si : ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 2 𝑥𝑅𝑦 ⟹ 𝑦𝑅𝑥
3)On dit que 𝑅est transitive si : ∀(𝑥, 𝑦 , 𝑧) ∈ 𝐸 3 𝑥𝑅𝑦 et y𝑅𝑧 ⟹ 𝑥𝑅𝑧
4)On dit que 𝑅 est antisymétrique si ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 2 (𝑥𝑅𝑦 et 𝑦𝑅𝑥) ⟹ 𝑥 = 𝑦
Exemples
1)La relation ≤ définit sur 𝐼𝑅 une relation binaire réflexive , transitive ,
antisymétrique
Mais pas symétrique , en effet :
On a ∀𝑥 ∈ 𝐼𝑅 , 𝑥 ≤ 𝑥 donc ≤ est réflexive
On a ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐼𝑅² (𝑥 ≤ 𝑦 et 𝑦 ≤ 𝑥) ⟹ 𝑥 = 𝑦 donc ≤ est antisymétrique
On a ∀(𝑥, 𝑦 , 𝑧) ∈ 𝐼𝑅3 (𝑥 ≤ 𝑦 et y ≤ 𝑧) ⟹ 𝑥 ≤ 𝑧 donc ≤ est transitive
2)La relation divise est une relation binaire sur ℕ réflexive , transitive , antisymétrique
3) La relation divise est une relation binaire sur ℤ reflexive , transitive , mais pas
antisymétrique (2 divise −2 et − 2 divise 2 mais 2 ≠ −2)
2)Relation d’équivalence
Définition
Soit 𝐸 un ensemble muni d’une relation binaire 𝑅
On dit que 𝑅est une relation d’équivalence si 𝑅est réflexive , symétrique et transitive
Exemples
1) On définit sur 𝐼𝑅 la relation binaire 𝑅 par : 𝑥𝑅𝑦 ⟺ 𝑥² − 𝑦² ⟺ 𝑥 − 𝑦
On a 𝑅 est une relation d’équivalence
2)Soit 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ∗ . On définit sur 𝐼𝑁 , la relation binaire 𝑅 par : 𝑎𝑅𝑏 ⟺ 𝑛 divise 𝑏 − 𝑎
On a 𝑅 est une relation d’équivalence
Définition Soit 𝐸 un ensemble muni d’une relation d’équivalence 𝑅
Soit 𝑎 ∈ 𝐸 . On appelle la classe d’équivalence de 𝑎 modulo 𝑅 l’ensemble noté
𝑐𝑙𝑅 (𝑎)défini par : 𝑐𝑙𝑅 (𝑎) = {𝑥 ∈ 𝐸 , 𝑥𝑅𝑎}
On a : 𝒙 ∈ 𝒄𝒍𝑹 (𝒂) ⟺ 𝒙𝑹𝒂
Exemple On définit sur 𝐼𝑅 la relation binaire 𝑅 par : 𝑥𝑅𝑦 ⟺ 𝑥² − 𝑦² ⟺ 𝑥 − 𝑦
On a 𝑅est une relation d’équivalence
Soit 𝑎 ∈ 𝐼𝑅 . Déterminer 𝒄𝒍𝑹 (𝒂)
Propriétés Soit 𝐸 un ensemble muni d’une relation d’équivalence 𝑅 .
1)∀𝑥 ∈ 𝐸 , 𝑥 ∈ 𝒄𝒍𝑹 (𝒙)
2) )∀𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐸 , 𝑥 𝑅 𝑦 ⟺ 𝒄𝒍𝑹 (𝒙) = 𝒄𝒍𝑹 (𝒚)
3) ∀𝑥 , 𝑦 ∈ 𝐸 , 𝑥 n′ estpas en relation avec 𝑦 ⟺ 𝒄𝒍𝑹 (𝒙) ∩ 𝒄𝒍𝑹 (𝒚) = ∅
3)Relation d’ordre
a)Définition
Soit 𝐸 un ensemble muni d’une relation binaire 𝑅
On dit que 𝑅 est une relation d’ordre si 𝑅 est réflexive ,transitive et antisymétrique
Exemples
1) La relation ≤ définit une relation d’ordre sur 𝐼𝑅
2) La relation divise est une relation d’ordre sur ℕ
Définition
Soit 𝐸 un ensemble muni d’une relation d’ordre 𝑅
1)On dit que 𝑅 est d’ordre total si : ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 2 , 𝑥𝑅𝑦 ou 𝑦𝑅𝑥
2)On dit 𝑅 est d’ordre partiel si elle n’est pas total
cad : ∃(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 2 , 𝑥 n′ est pas en relation avec 𝑦 et 𝑦 n′ estpas en relation avec 𝑥
Exemples
1) La relation ≤ définit une relation d’ordre total sur 𝐼𝑅
2) La relation divise est une relation d’ordre partiel sur ℕ
(Car 2 ne divise pas 5 et 5 ne divise pas 2)
b)Majorant – minorant
Définitions
Soit 𝐸 un ensemble muni d’une relation d’ordre 𝑅 .
Soit 𝐴 une partie de 𝐸
1)Soit 𝑀 ∈ 𝐸 . On dit que 𝑀 est un majorant de 𝐴 , si ∀𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑥𝑅𝑀
2) Soit 𝑚 ∈ 𝐸 . On dit que 𝑚 est un minorant de 𝐴 , si ∀𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑚𝑅𝑥
3)Soit 𝑀 ∈ 𝐸 . On dit que 𝑀 est la borne supérieure de 𝐴 , si :
𝑀 est un majorant de 𝐴
{
′
Si 𝑀 un autre majorant de 𝐴 , alors 𝑀𝑅𝑀′
On écrit 𝑀 = 𝑠𝑢𝑝𝐴
4) Soit 𝑚 ∈ 𝐸 . On dit que 𝑚 est la borne inférieure de 𝐴 ,
si : On écrit 𝑚 = 𝑖𝑛𝑓𝐴
5) Soit 𝑀 ∈ 𝐸 . On dit que 𝑀 est le plus grand élément de 𝐴
Si 𝑀 ∈ 𝐴 et 𝑀 un majorant de 𝐴 , on écrit 𝑀 = max(𝐴)
6) Soit 𝑚 ∈ 𝐸 . On dit que 𝑚 est le plus petit élément de 𝐴
Si 𝑚 ∈ 𝐴 et 𝑚 un minorant de 𝐴 , on écrit 𝑚 = min(𝐴)
Remarques
Soit 𝐸 un ensemble muni d’une relation d’ordre 𝑅 et 𝐴 ⊂ 𝐸
Si 𝐴 admet un plus grand élément 𝑀 , alors 𝑀 = 𝑠𝑢𝑝𝐴
Si 𝐴 admet un plus petit élément 𝑚 , alors 𝑚 = 𝑖𝑛𝑓𝐴
Si 𝑠𝑢𝑝𝐴 ∉ 𝐴 alors 𝐴 n’ admet pas un plus grand élément
Si 𝑖𝑛𝑓𝐴 ∉ 𝐴 alors 𝐴 n’ admet pas un plus petit élément
Exemples
1)On pose 𝐸 = {1,2,3} . 𝑃(𝐸) muni de l’inclusion
a)Montrer que l’inclusion est une relation d’ordre . est – il total ?
On pose 𝐴 = {{1} , {1,2}, {1,3}}
b)Déterminer les majorants et les minorants de 𝐴
c)Déterminer 𝑠𝑢𝑝𝐴 , 𝑖𝑛𝑓𝐴
d)𝐴 admet –il un plus petit élément ? un plus petit élément ?
2)𝐼𝑅 muni de l’inclusion .
On pose 𝐴 = [0,1] , 𝐵 = ]−1,2]
a)Déterminer 𝑠𝑢𝑝𝐴 , 𝑖𝑛𝑓𝐴 . 𝐴 admet –il un plus petit élément ? un plus petit
élément ?
b)Mêmes questions pour 𝐵