CSH6

Calcul des treillis
Un système réticulé ou treillis est un assemblage de poutres droites
(éléments) reliées entre elles par des rotules.
On appelle noeuds les points d’articulation communs à plusieurs barres.
Les liaisons extérieures sont des rotules ou des appuis simples. Les
charges sont des forces portées par les rotules, des gradients thermiques
ou des déplacements d’appuis.
Dans les barres, le seul effort interne est l’effort normal N constant (dN/dx=0).
Degré d’hyperstaticité d’un treillis Soit :
- b le nombre de barres
- n le nombre de noeuds
- r le nombre d’inconnues de liaison avec l’extérieur
Alors le nombre total d’inconnues du système ni est la somme des b efforts dans
les barres et des r inconnues de liaison, donc ni = b + r.
D’autre part, l’équilibre du treillis se traduit par l’équilibre du chaque noeuds.
Pour un treillis plan, le nombre total d’équations d’équilibre est donc ne = 2n.
Alors un treillis est hyperstatique si ni > ne et, dans ce cas, le degré
d’hyperstaticité du système est h = ni - ne.
Pour lever l’hyperstaticité d’un treillis nous allons appliquer la méthode
énergétique, basée sur le théorème de Ménabréa, ou la méthode en
déplacements qui sera adaptée aux systèmes réticulés.
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Calcul des treillis
Méthode énergétique
Pour une barre reliant les noeuds i et j, le choix d’une direction
normale (à la section droite) permet de donner un sens physique précis
au scalaire effort normal N.
L’énergie élastique d’un treillis constitué de b barres est :
b
b
Ni2 Li
1 Li Ni2
W=
dx =
∑ 2 ∫ EiSi
∑ 2EiSi
0
i=1
i=1
Le théorème de Ménabréa s’applique pour toute réaction R dont le point d’application ne se déplace
pas dans sa direction :
∂W
=0
∂R
Exemple Soit le treillis montré dans la figure avec α = π/6. Toutes
les barres ont la même section S et le module d’Young E. Le noeud
A est chargé par une force verticale d’intensité P>0.
Déterminer les efforts dans les barres et les réactions.
l
2l
l 3
l
2l
Solution. b= 3, r=6, n=4 -> b+r=9 > 8=2n hyperstatique de degré 1.
Les équations en B,C et D donnent les réactions en fonction des efforts
et l’équilibre du noeud A ne permet pas le calcul des efforts dans les barres.
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Calcul des treillis
Méthode énergétique
l
On considère les vecteurs unitaires ni indiquant la direction normale
à la section des barres et on note par Ni les efforts correspondants.
2l
Si Ri sont les réactions aux noeuds C, B et D, respectivement, alors les
équations d’équilibre en ces noeuds sont :
et pour l’équilibre du noeud A :
Ri − Ni ni = 0
=P−
3N2.
= N3,
N2
= N2 = N3 comme inconnue hyperstatique. Alors l’énergie du treillis est
l
W=
(2X 2 + 2X 2 +
2ES
4X − 3(P −
Donc N2 = N3 =
3P
4+3 3
; N1 = P −
3N2 =
N3
P
3X)2)
3(P −
3X) = 0 d’où X =
N1
A
Par rapport au noeud B on peut appliquer le théorème de Ménabréa :
On obtient :
n3
N1n1 + N2n2 + N3n3 − Pn1 = 0
tandis que la projection sur n1 conduit à : N1
2l
n1
n2
La projection de cette relation vectorielle sur la direction horizontale donne N2
On prends X
l 3
l
3P
4+3 3
4P
4+3 3
∂W
∂W
=
=0
∂R2
∂X
.
et les réactions : Ri = Ni ni
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Calcul des treillis
Méthode en déplacements
Soit une barre de longueur L et d’aire de la section A, de
module d’Young E et de coefficient de dilatation
thermique α . Elle est orientée par le vecteur
située entre les noeuds i et j d’un treillis plan.
n et est
Les coordonnées des 2 noeuds sont (xi, yi), (xj, yj) et le
vecteur
n est défini par :
La barre est soumise à un effort normal N et à une variation de température ΔT constante.
On note par (ui, vi), (uj, vj) les déplacements nodaux sous l’action de ces charges.
Par différentiation de la relation :
Cela nous permet d’exprimer la déformation longitudinale :
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Calcul des treillis
Méthode en déplacements
Le loi constitutive thermo-élastique s’écrit :
ce qui conduit à l’expression de l’effort normal :
Elle permettra d’écrire les équations d’équilibre en fonction des déplacements des noeuds et
la résolution en déplacements pour l’ensemble du treillis permettra aussi de déterminer les efforts
et les réactions. Pour les treillis hyperstatiques on lèvera ainsi l’hyperstaticité par la méthode en
déplacements.
Exemple Reprenons le treillis résolu par la méthode énergétique, avec
l
le système de coordonnée (x, y) montré dans la figure.
Coordonnées des noeuds : A (0,0), B (−l, l
Sur AB : L
Sur AD : L
= 2l, nx = − 1/2, ny =
= 2l, nx = 1/2, ny =
3), C (0,l 3) et B (l, l 3).
ES uA
N2 =
( −
2l 2
3vA
ES uA
N2 =
(− −
2l
2
3vA
3 /2 et
3 /2 et
2
2
)
l 3
2l
n2
y n1
l
2l
n3
x
)
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Calcul des treillis
Méthode en déplacements
3vA
ES uA
( −
)
Sur AB : L = 2l, nx = − 1/2, ny = 3 /2 et N2 =
2l 2
2
3vA
ES uA
(− −
)
Sur AD : L = 2l, nx = 1/2, ny = 3 /2 et N3 =
2l
2
2
ES
N
=
(−vA)
Sur AC : L = l 3 , nx = 0, ny = 1 et
1
l 3
On remplace les efforts dans les équations d’équilibre :
La première équation donne uA
ES
l 3
(−vA) = P −
N2 = N3, N1 = P −
= 0 et la seconde conduit à :
ES
3 (−
2l
3vA
2
)
—>
vA = −
l
l 3
2l
n2
y n1
l
2l
n3
x
3N2
12Pl
(9 + 4 3)ES
Ecrites en efforts, ces équations d’équilibre n’étaient pas suffisantes pour la résolution mais
la formulation en déplacements a rendu possible cette résolution.
En remplaçant les déplacements dans les formules des efforts on retrouve les mêmes expressions :
N2 = N3 =
3P
4+3 3
; N1 = P −
3N2 =
4P
4+3 3
que celles obtenues avec la méthode énergétique.
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Calcul des treillis
Méthode en déplacements
Exemple. Soit le treillis représenté dans la figure, dont
les 3 barres sont constituées de même matériau de
module d'Young E. L’aire de la section et la longueur sont
indiquées sur la figure. Les noeuds 2 et 3 sont chargés par les
forces V et H, respectivement.
1. Est le treillis hyperstatique ?
2. Déterminer les déplacements des noeuds.
3. Calculer les efforts dans les barres et les réactions d'appuis.
v2
n 12
n 32
n 13
u3
1. b=3, r=4, n=3. Degré d’hyperstaticité b+r-2n=1.
2. Calcul des déplacements.
N
ES
Barre 12 : S, L, nx = 0, ny = 1 et N12 =
v2
L
ES
Barre 13 : S, L, nx = 1, ny = 0 et N13 =
u3
L
ES 2
1
1
, ny =
Barre 32 : S 2, L 2 , nx = −
et N32 =
(u3 + v2)
2L
2
2
Equilibre des noeuds 2 et 3 :
−N32 n 32 − N12 n 12 + R2 x + V y = 0
N32 n 32 − N13 n 13 + R3 y + H x = 0
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Calcul des treillis
Méthode en déplacements
v2
−N32 n 32 − N12 n 12 + R2 x + V y = 0 ∣ . y
N32 n 32 − N13 n 13 + R3 y + H x = 0 ∣ . x
−N32
1
2
− N12 + V = 0
;
−N32
Système en déplacements :
Déplacements :
1
2
n 32
n 12
n 13
u3
− N13 + H = 0
2VL
ES
2HL
3u3 + v2 =
ES
u3 + 3v2 =
L
L
u3 =
(3H − V ) ; v2 =
(3V − H )
4ES
4ES
3. Efforts et réactions.
ES
v2
L
ES
N13 =
u3
L
ES 2
N32 =
(u3 + v2)
2L
N12 =
2
1
1
(H + V )
(3V − H ) ; N13 = (3H − V ) ; N32 =
4
4
4
N
N
R2 x = + N32 n 32 + N12 n 12 − V y → R2 = − 32 ; R3 y = − N32 n 32 + N13 n 13 − H x → R3 = − 32
2
2
N12 =
R 1 = − N13 n 13 − N12 n 12 → R1x = − N13 ; R1y = − N12
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Calcul des treillis
Méthode en déplacements
n 1→3
Treillis soumis à une variation de température
Le treillis montré dans la figure est composé de trois barres
de même section A, module d’Young E et coefficient de
dilatation thermique α. Les noeuds 1, 2 et 4 sont reliés à
l’extérieur par des rotules.
n 3→4
n 2→3
La structure est soumise à une variation de température ΔT.
Il s’agit d’un treillis hyperstatique de degré 1 car b=3, r=6 et n=4.
Par rapport au système de coordonnées (x, y) on a pour les noeuds :
Ces coordonnées permettent d’établir la position des noeuds après déformation,
une fois les déplacements calculés.
Sur chaque barre on indique l’orientation par la notation i->j.
1->3 :
L 2 , nx = 1/ 2 , ny = 1/ 2 , N1→3 =
EA
(u3 + v3) − EAαΔT
2L
EA
v3 − EAαΔT
L
EA
3->4 : L, nx = 1, ny = 0, N3→4 = −
u3 − EAαΔT
L
2->3 :
L, nx = 0, ny = 1, N2→3 =
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Calcul des treillis
Méthode en déplacements
Treillis soumis à une variation de température
n 1→3
Equilibre du noeud 3 : N3→4 n 3→4 − N2→3 n 2→3 − N1→3 n 1→3 = 0
N3→4 − N1→3
1
2
= 0 ; − N2→3 − N1→3
1
2
n 3→4
n 2→3
=0
Formulées en déplacements :
−
EA
1 EA
u3 − EAαΔT −
(
(u3 + v3) − EAαΔT ) = 0
L
2L
2
−
EA
1 EA
v3 + EAαΔT −
(
(u3 + v3) − EAαΔT ) = 0
L
2L
2
aussi
N1→3 =
EA
(u + v3) − EAαΔT
2L 3
EA
v − EAαΔT
L 3
EA
N3→4 = −
u − EAαΔT
L 3
N2→3 =
La solution du système est :
u3 = ( 2 − 2)LαΔT ; v3 =
2LαΔT
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Calcul des treillis
Méthode en déplacements
Treillis soumis à une variation de température
Le remplacement des déplacements
u3 = ( 2 − 2)LαΔT ; v3 =
n 1→3
n 3→4
n 2→3
2LαΔT
dans les expressions des efforts donne :
Les réactions sont obtenus à partir des équations d’équilibre des noeuds 1, 2 et 4 :
R1 + N1→3 n 1→3 = 0 → R1 = − N1→3 n 1→3
R2 + N2→3 n 2→3 = 0 → R2 = − N2→3 n 2→3
R4 − N3→4 n 3→4 = 0 → R4 = N3→4 n 3→4
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