Calcul des treillis Un système réticulé ou treillis est un assemblage de poutres droites (éléments) reliées entre elles par des rotules. On appelle noeuds les points d’articulation communs à plusieurs barres. Les liaisons extérieures sont des rotules ou des appuis simples. Les charges sont des forces portées par les rotules, des gradients thermiques ou des déplacements d’appuis. Dans les barres, le seul effort interne est l’effort normal N constant (dN/dx=0). Degré d’hyperstaticité d’un treillis Soit : - b le nombre de barres - n le nombre de noeuds - r le nombre d’inconnues de liaison avec l’extérieur Alors le nombre total d’inconnues du système ni est la somme des b efforts dans les barres et des r inconnues de liaison, donc ni = b + r. D’autre part, l’équilibre du treillis se traduit par l’équilibre du chaque noeuds. Pour un treillis plan, le nombre total d’équations d’équilibre est donc ne = 2n. Alors un treillis est hyperstatique si ni > ne et, dans ce cas, le degré d’hyperstaticité du système est h = ni - ne. Pour lever l’hyperstaticité d’un treillis nous allons appliquer la méthode énergétique, basée sur le théorème de Ménabréa, ou la méthode en déplacements qui sera adaptée aux systèmes réticulés. 62 Calcul des treillis Méthode énergétique Pour une barre reliant les noeuds i et j, le choix d’une direction normale (à la section droite) permet de donner un sens physique précis au scalaire effort normal N. L’énergie élastique d’un treillis constitué de b barres est : b b Ni2 Li 1 Li Ni2 W= dx = ∑ 2 ∫ EiSi ∑ 2EiSi 0 i=1 i=1 Le théorème de Ménabréa s’applique pour toute réaction R dont le point d’application ne se déplace pas dans sa direction : ∂W =0 ∂R Exemple Soit le treillis montré dans la figure avec α = π/6. Toutes les barres ont la même section S et le module d’Young E. Le noeud A est chargé par une force verticale d’intensité P>0. Déterminer les efforts dans les barres et les réactions. l 2l l 3 l 2l Solution. b= 3, r=6, n=4 -> b+r=9 > 8=2n hyperstatique de degré 1. Les équations en B,C et D donnent les réactions en fonction des efforts et l’équilibre du noeud A ne permet pas le calcul des efforts dans les barres. 63 Calcul des treillis Méthode énergétique l On considère les vecteurs unitaires ni indiquant la direction normale à la section des barres et on note par Ni les efforts correspondants. 2l Si Ri sont les réactions aux noeuds C, B et D, respectivement, alors les équations d’équilibre en ces noeuds sont : et pour l’équilibre du noeud A : Ri − Ni ni = 0 =P− 3N2. = N3, N2 = N2 = N3 comme inconnue hyperstatique. Alors l’énergie du treillis est l W= (2X 2 + 2X 2 + 2ES 4X − 3(P − Donc N2 = N3 = 3P 4+3 3 ; N1 = P − 3N2 = N3 P 3X)2) 3(P − 3X) = 0 d’où X = N1 A Par rapport au noeud B on peut appliquer le théorème de Ménabréa : On obtient : n3 N1n1 + N2n2 + N3n3 − Pn1 = 0 tandis que la projection sur n1 conduit à : N1 2l n1 n2 La projection de cette relation vectorielle sur la direction horizontale donne N2 On prends X l 3 l 3P 4+3 3 4P 4+3 3 ∂W ∂W = =0 ∂R2 ∂X . et les réactions : Ri = Ni ni 64 Calcul des treillis Méthode en déplacements Soit une barre de longueur L et d’aire de la section A, de module d’Young E et de coefficient de dilatation thermique α . Elle est orientée par le vecteur située entre les noeuds i et j d’un treillis plan. n et est Les coordonnées des 2 noeuds sont (xi, yi), (xj, yj) et le vecteur n est défini par : La barre est soumise à un effort normal N et à une variation de température ΔT constante. On note par (ui, vi), (uj, vj) les déplacements nodaux sous l’action de ces charges. Par différentiation de la relation : Cela nous permet d’exprimer la déformation longitudinale : 65 Calcul des treillis Méthode en déplacements Le loi constitutive thermo-élastique s’écrit : ce qui conduit à l’expression de l’effort normal : Elle permettra d’écrire les équations d’équilibre en fonction des déplacements des noeuds et la résolution en déplacements pour l’ensemble du treillis permettra aussi de déterminer les efforts et les réactions. Pour les treillis hyperstatiques on lèvera ainsi l’hyperstaticité par la méthode en déplacements. Exemple Reprenons le treillis résolu par la méthode énergétique, avec l le système de coordonnée (x, y) montré dans la figure. Coordonnées des noeuds : A (0,0), B (−l, l Sur AB : L Sur AD : L = 2l, nx = − 1/2, ny = = 2l, nx = 1/2, ny = 3), C (0,l 3) et B (l, l 3). ES uA N2 = ( − 2l 2 3vA ES uA N2 = (− − 2l 2 3vA 3 /2 et 3 /2 et 2 2 ) l 3 2l n2 y n1 l 2l n3 x ) 66 Calcul des treillis Méthode en déplacements 3vA ES uA ( − ) Sur AB : L = 2l, nx = − 1/2, ny = 3 /2 et N2 = 2l 2 2 3vA ES uA (− − ) Sur AD : L = 2l, nx = 1/2, ny = 3 /2 et N3 = 2l 2 2 ES N = (−vA) Sur AC : L = l 3 , nx = 0, ny = 1 et 1 l 3 On remplace les efforts dans les équations d’équilibre : La première équation donne uA ES l 3 (−vA) = P − N2 = N3, N1 = P − = 0 et la seconde conduit à : ES 3 (− 2l 3vA 2 ) —> vA = − l l 3 2l n2 y n1 l 2l n3 x 3N2 12Pl (9 + 4 3)ES Ecrites en efforts, ces équations d’équilibre n’étaient pas suffisantes pour la résolution mais la formulation en déplacements a rendu possible cette résolution. En remplaçant les déplacements dans les formules des efforts on retrouve les mêmes expressions : N2 = N3 = 3P 4+3 3 ; N1 = P − 3N2 = 4P 4+3 3 que celles obtenues avec la méthode énergétique. 67 Calcul des treillis Méthode en déplacements Exemple. Soit le treillis représenté dans la figure, dont les 3 barres sont constituées de même matériau de module d'Young E. L’aire de la section et la longueur sont indiquées sur la figure. Les noeuds 2 et 3 sont chargés par les forces V et H, respectivement. 1. Est le treillis hyperstatique ? 2. Déterminer les déplacements des noeuds. 3. Calculer les efforts dans les barres et les réactions d'appuis. v2 n 12 n 32 n 13 u3 1. b=3, r=4, n=3. Degré d’hyperstaticité b+r-2n=1. 2. Calcul des déplacements. N ES Barre 12 : S, L, nx = 0, ny = 1 et N12 = v2 L ES Barre 13 : S, L, nx = 1, ny = 0 et N13 = u3 L ES 2 1 1 , ny = Barre 32 : S 2, L 2 , nx = − et N32 = (u3 + v2) 2L 2 2 Equilibre des noeuds 2 et 3 : −N32 n 32 − N12 n 12 + R2 x + V y = 0 N32 n 32 − N13 n 13 + R3 y + H x = 0 68 Calcul des treillis Méthode en déplacements v2 −N32 n 32 − N12 n 12 + R2 x + V y = 0 ∣ . y N32 n 32 − N13 n 13 + R3 y + H x = 0 ∣ . x −N32 1 2 − N12 + V = 0 ; −N32 Système en déplacements : Déplacements : 1 2 n 32 n 12 n 13 u3 − N13 + H = 0 2VL ES 2HL 3u3 + v2 = ES u3 + 3v2 = L L u3 = (3H − V ) ; v2 = (3V − H ) 4ES 4ES 3. Efforts et réactions. ES v2 L ES N13 = u3 L ES 2 N32 = (u3 + v2) 2L N12 = 2 1 1 (H + V ) (3V − H ) ; N13 = (3H − V ) ; N32 = 4 4 4 N N R2 x = + N32 n 32 + N12 n 12 − V y → R2 = − 32 ; R3 y = − N32 n 32 + N13 n 13 − H x → R3 = − 32 2 2 N12 = R 1 = − N13 n 13 − N12 n 12 → R1x = − N13 ; R1y = − N12 69 Calcul des treillis Méthode en déplacements n 1→3 Treillis soumis à une variation de température Le treillis montré dans la figure est composé de trois barres de même section A, module d’Young E et coefficient de dilatation thermique α. Les noeuds 1, 2 et 4 sont reliés à l’extérieur par des rotules. n 3→4 n 2→3 La structure est soumise à une variation de température ΔT. Il s’agit d’un treillis hyperstatique de degré 1 car b=3, r=6 et n=4. Par rapport au système de coordonnées (x, y) on a pour les noeuds : Ces coordonnées permettent d’établir la position des noeuds après déformation, une fois les déplacements calculés. Sur chaque barre on indique l’orientation par la notation i->j. 1->3 : L 2 , nx = 1/ 2 , ny = 1/ 2 , N1→3 = EA (u3 + v3) − EAαΔT 2L EA v3 − EAαΔT L EA 3->4 : L, nx = 1, ny = 0, N3→4 = − u3 − EAαΔT L 2->3 : L, nx = 0, ny = 1, N2→3 = 70 Calcul des treillis Méthode en déplacements Treillis soumis à une variation de température n 1→3 Equilibre du noeud 3 : N3→4 n 3→4 − N2→3 n 2→3 − N1→3 n 1→3 = 0 N3→4 − N1→3 1 2 = 0 ; − N2→3 − N1→3 1 2 n 3→4 n 2→3 =0 Formulées en déplacements : − EA 1 EA u3 − EAαΔT − ( (u3 + v3) − EAαΔT ) = 0 L 2L 2 − EA 1 EA v3 + EAαΔT − ( (u3 + v3) − EAαΔT ) = 0 L 2L 2 aussi N1→3 = EA (u + v3) − EAαΔT 2L 3 EA v − EAαΔT L 3 EA N3→4 = − u − EAαΔT L 3 N2→3 = La solution du système est : u3 = ( 2 − 2)LαΔT ; v3 = 2LαΔT 71 Calcul des treillis Méthode en déplacements Treillis soumis à une variation de température Le remplacement des déplacements u3 = ( 2 − 2)LαΔT ; v3 = n 1→3 n 3→4 n 2→3 2LαΔT dans les expressions des efforts donne : Les réactions sont obtenus à partir des équations d’équilibre des noeuds 1, 2 et 4 : R1 + N1→3 n 1→3 = 0 → R1 = − N1→3 n 1→3 R2 + N2→3 n 2→3 = 0 → R2 = − N2→3 n 2→3 R4 − N3→4 n 3→4 = 0 → R4 = N3→4 n 3→4 72
