Calcul des treillis : Méthodes énergétique et déplacements

Calcul des treillis
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Un système réticulé ou treillis est un assemblage de poutres droites !
(éléments) reliées entre elles par des rotules. !
On appelle noeuds les points d’articulation communs à plusieurs barres. !
Les liaisons extérieures sont des rotules ou des appuis simples. Les !
charges sont des forces portées par les rotules, des gradients thermiques !
ou des déplacements d’appuis. !
Dans les barres, le seul effort interne est l’effort normal N constant (dN/dx=0).
Degré d’hyperstaticité d’un treillis Soit :!
- b le nombre de barres!
- n le nombre de noeuds!
- r le nombre d’inconnues de liaison avec l’extérieur!
Alors le nombre total d’inconnues du système ni est la somme des b efforts dans !
les barres et des r inconnues de liaison, donc ni = b + r. !
D’autre part, l’équilibre du treillis se traduit par l’équilibre du chaque noeuds. !
Pour un treillis plan, le nombre total d’équations d’équilibre est donc ne = 2n.!
Alors un treillis est hyperstatique si ni > ne et, dans ce cas, le degré !
d’hyperstaticité du système est h = ni - ne.
Pour lever l’hyperstaticité d’un treillis nous allons appliquer la méthode !
énergétique, basée sur le théorème de Ménabréa, ou la méthode en !
déplacements qui sera adaptée aux systèmes réticulés.

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Méthode énergétique
Pour une barre reliant les noeuds i et j, le choix d’une direction !
normale (à la section droite) permet de donner un sens physique précis !
au scalaire effort normal N.
L’énergie élastique d’un treillis constitué de b barres est :
W=
b
∑
i=1
1
2∫Li
0
N2
i
EiSi
dx =
b
∑
i=1
N2
iLi
2EiSi
Le théorème de Ménabréa s’applique pour toute réaction R dont le point d’application ne se déplace !
pas dans sa direction :
∂W
∂R= 0
l
l
2l
2l
l3
Exemple Soit le treillis montré dans la figure avec . Toutes !
les barres ont la même section S et le module d’Young E. Le noeud !
A est chargé par une force verticale d’intensité P>0.!
Déterminer les efforts dans les barres et les réactions. !
Solution. b= 3, r=6, n=4 -> b+r=9 > 8=2n hyperstatique de degré 1.!
Les équations en B,C et D donnent les réactions en fonction des efforts !
et l’équilibre du noeud A ne permet pas le calcul des efforts dans les barres.
α=π/6

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Méthode énergétique
On considère les vecteurs unitaires indiquant la direction normale !
à la section des barres et on note par les efforts correspondants. !
Si sont les réactions aux noeuds C, B et D, respectivement, alors les !
équations d’équilibre en ces noeuds sont :
ni
Ni
Ri
Par rapport au noeud B on peut appliquer le théorème de Ménabréa :
W=l
2ES (2X2+ 2X2+ 3(P−3X)2)
∂W
∂R2
=∂W
∂X= 0
l
l
2l
2l
l3
n2
n1
n3
Ri−Nini= 0
N2
N3
P
A
N1
et pour l’équilibre du noeud A : N1n1+N2n2+N3n3−Pn1= 0
La projection de cette relation vectorielle sur la direction horizontale donne , !
tandis que la projection sur conduit à : .
N2=N3
n1
N1=P−3N2
On prends comme inconnue hyperstatique. Alors l’énergie du treillis est
X=N2=N3
On obtient : d’où .
X=3P
4 + 3 3
4X−3(P−3X)=0
Donc N2=N3=3P
4 + 3 3
;N1=P−3N2=4P
4 + 3 3
Ri=Nini
et les réactions :

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Méthode en déplacements
Soit une barre de longueur L et d’aire de la section A, de
module d’Young E et de coefficient de dilatation
thermique . Elle est orientée par le vecteur et est
située entre les noeuds i et j d’un treillis plan. !
Les coordonnées des 2 noeuds sont , et le !
vecteur est défini par :
α
n
(xi,yi)
(xj,yj)
n
La barre est soumise à un effort normal et à une variation de température constante.
N
ΔT
On note par , les déplacements nodaux sous l’action de ces charges.
(ui,vi)
(uj,vj)
Par différentiation de la relation :
Cela nous permet d’exprimer la déformation longitudinale :

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Méthode en déplacements
Exemple Reprenons le treillis résolu par la méthode énergétique, avec !
le système de coordonnée montré dans la figure.
(x,y)
Le loi constitutive thermo-élastique s’écrit :
ce qui conduit à l’expression de l’effort normal :
Elle permettra d’écrire les équations d’équilibre en fonction des déplacements des noeuds et !
la résolution en déplacements pour l’ensemble du treillis permettra aussi de déterminer les efforts!
et les réactions. Pour les treillis hyperstatiques on lèvera ainsi l’hyperstaticité par la méthode en !
déplacements.
l
l
2l
2l
l3
n2
n1
n3
x
y
Coordonnées des noeuds : , , et .
A(0,0)
B(−l,l3)
C(0,l3)
B(l,l3)
Sur AB : , et
L= 2l
nx=−1/2, ny= 3 /2
N2=ES
2l(uA 2−3vA 2)
Sur AD : , et
L= 2l
nx= 1/2, ny= 3/2
N2=ES
2l(−uA 2−3vA 2)