oscill

- Les oscillateurs en électronique Les oscillateurs constituent l’une des fonctions de base de l’électronique (analogique comme numérique…).
Ils vont être utilisés pour cadencer le fonctionnement des systèmes (horloges de circuits numériques, montres…).
Ils peuvent également être utilisés pour fabriquer directement des signaux classiques de tests en électronique
(générateurs analogiques) ou pour fabriquer des porteuses en télécommunication (Cf le cours sur les
télécommunications…).
I. Les oscillateurs de relaxation.
I.1. Introduction.
Un oscillateur de relaxation est construit à partir d’un élément pouvant accumuler puis restituer de l’énergie.
La fréquence des oscillations va dépendre du débit de l’élément d’accumulation. L’amplitude de ces dernières va
dépendre des caractéristiques de l’élément d’accumulation…
Ce type d’oscillateur se rencontre dans différents domaines de la physique. On peut citer par exemple
- Le vase de Tantale : un réservoir est relié à un siphon. L’eau coule à débit constant dans le réservoir et le
remplit jusqu’à un niveau hmax. Le siphon est alors amorcé et le réservoir se vide jusqu’à un niveau hmin.
Le siphon se bloque…etc. L’amplitude des oscillations dépend des niveaux d’amorçage du siphon et la
période des débits.
- Les oscillations d’un système thermique régulé (chaudière régulée en tout ou rien…).
- Les différents montages électroniques permettant d’obtenir des oscillations de relaxation à partir d’une
capacité. Ces systèmes permettent notamment de réaliser des générateurs de signaux. Leur principal
inconvénient vient de leur fréquence d’oscillation qui n’est pas très stable (c’est pourquoi on leur préfère
souvent les oscillateurs à quartz).
Dans le TP nous nous intéresserons à deux exemples de la dernière catégorie.
I.2. Premier exemple : un montage astable.
On réalise le montage suivant:
Ce montage oscille entre deux états instables (d'où son nom). Le potentiel V- (tension aux bornes de la
capacité) oscille entre +U et –U avec
R1
U=
.Vsat
R1 + R 2
• La capacité est initialement déchargée. La sortie Vs nulle est un état instable. Dès la mise sous tension, le
comparateur va donc basculer soit à –Vsat, soit à +Vsat.
• On suppose que la sortie est initialement à +Vsat. Lors d’une première phase, la capacité se charge. Dans ce
cas la tension V- croît exponentiellement. Cette phase se termine lorsque V- atteint la valeur U. Alors le
comparateur commute et sa sortie passe à –Vsat. Cette fois, la capacité se décharge (la tension V- décroît). Cette
phase dure tant que V- est supérieur à –U. A ce moment, on retombe sur le point dont on est parti et tout
recommence…
La période des oscillations est T=2.R.C.ln(1+2.R1/R2).
1
rq : Calcul de la période
Lors de la charge de la capacité, le circuit RC est soumis à une tension d’entrée de Vsat, alors que la tension
V- aux bornes de la capacité valait initialement –U. Lors de cette phase, les évolutions de V- sont régies par
l’équation
dV
Vsat = R.C. − + V−
dt
La solution de cette équation est de la forme
et comme
V-(t=0) = -U, A = -U-Vsat
V− ( t ) = Vsat + A.e − t R .C
Pour trouver la période, on remarque que la première phase dure T/2 et qu’alors, V- = +U. En remplaçant U
par sa valeur en fonction de R1, R2 et Vsat, on en déduit que
T = 2.R.C. ln(1 + 2.R 1 / R 2 )
rq : Quelle condition doit-on respecter vis à vis du slew rate pour que les signaux aient toujours l’apparence
de créneaux ? Que risque-t-on d’observer si on utilise un amplificateur opérationnel polarisé entre –15V et +15V
de slew rate 10V/µs et que l’on cherche à fabriquer des créneaux de période voisine ou inférieure à 6 µs ?
I.3. Exemple plus complexe : oscillateur à fréquence commandable.
I.3.1. Principe de fonctionnement du montage.
L’oscillateur que nous allons étudier se présente sous la forme suivante
• L’interrupteur commandé (K) est passant pour un signal Vs positif et bloqué pour une sortie nulle. On se
propose de le réaliser avec une porte 4066 (interrupteur MOS commandé en tension). Pour que les niveaux de
sortie commandant l’interrupteur soient corrects, on redressera Vs.
• Le fonctionnement de ce montage s’explique de la façon suivante
Si K est ouvert : (c’est que Vs est à l’état bas, c’est à dire –15V). On constate que
V
V
Vo − o
d( o − u )
Vo
Vo
du
3 = i = C.
3
et
soit
=−
V+ =
c
3
2. R o
dt
dt
3.R o .C
l’état dure jusqu’à ce que u atteigne -Vsat/2
Si K est fermé : (c’est que Vs est à l’état haut, c’est à dire +Vsat). On constate que
V
V
0− o
d( o − u )
Vo
du
3 = i = C.
3
soit
=
c
Ro
dt
dt 3.R o .C
l’état dure jusqu’à ce que u atteigne Vsat/2
6.R o .C
.Vsat
Vo
rq : en remplaçant la résistance R/2 par un potentiomètre, on peut modifier le rapport cyclique.
rq : le redresseur réalisé avec une diode rapide permet convertir la sortie Vs (+15V ;-15V) en un signal VK
(0V ;+15V).
On constate que la période vaut
T=
I.3.2. Remarque sur l’interrupteur commandé.
Il s’agit du composant CMOS 4066. son brochage se présente de la façon suivante :
2
Ce composant se polarise entre Vpol+ et Vpol-. Dans notre cas, Vpol+ sera une tension positive, et Vpol- une
tension nulle. Le signal de commande Vcom rend l’interrupteur passant (il présente alors une résistance faible)
lorsqu’il vaut Vpol+. En revanche, il sera bloqué lorsque Vcom sera nulle.
Les interrupteurs du composants 4066 sont réalisés à partir de plusieurs transistors MOS. De par
l’agencement des transistors, les interrupteurs sont bidirectionnels (le courant peut les traverser dans les deux
sens). Pour plus de précisions, on se réfèrera à la notice constructeur.
rq : Il faut noter que la résistance de l’interrupteur à l’état passant dépend de la tension de polarisation
utilisée.
II. Les oscillateurs à boucle de réaction.
Un oscillateur quasi-sinusoïdal doit comporter une cellule résonante (filtre passe bande). Cependant cette
dernière comportant forcément des éléments dissipatifs, il va falloir apporter de l'énergie pour maintenir le
système en oscillation. Le signal en sortie du quadripôle va donc être amplifié avant d'être à nouveau injecté dans
le quadripôle résonant (ce sont donc les sources de polarisation de l'amplificateur qui apportent l'énergie
nécessaire pour obtenir une sortie sinusoïdale…l'oscillateur réalise une conversion continu-alternatif).
En théorie, un système de ce type peut rester en équilibre instable. Cependant, en pratique, la moindre
perturbation électrique (bruit) va pousser le système hors de son état d'équilibre et les oscillations vont démarrer.
II.1. Etude d’un exemple détaillé : l’oscillateur à pont de Wien.
Nous allons désormais nous intéresser au cas particulier de l'oscillateur à pont de Wien. Cet oscillateur, quoi
que peu performant, va nous permettre d'appliquer une méthode d'approche générale pour les oscillateurs de ce
type. Nous allons tout d'abord faire apparaître la structure générale d'un oscillateur quasi-sinusoïdal en identifiant
l'amplificateur et le filtre sélectif. Ceci étant fait, nous verrons la condition à vérifier pour que les oscillations
apparaissent. Nous pourrons alors calculer les principales grandeurs attendues (fréquence et amplitude des
oscillations notamment).
• Structure de l'oscillateur à pont de Wien. Identification des différents éléments.
3
On va essayer de se ramener à une symbolique de système bouclé classique (sauf qu'ici, on travaille à entrée
nulle puisque l'on étudie un oscillateur…)
• Dans sa zone de fonctionnement linéaire, l'amplificateur a un gain A=1+R2/R1 (pour l'étude du démarrage,
ce gain sera suffisant). Cependant la tension de sortie de l'amplificateur est limitée à la plage [-Vcc;+Vcc]. Sa
caractéristique entrée-sortie, si on suppose l'amplificateur opérationnel parfait (excepté vis à vis de la saturation)
est donc la suivante:
• Le filtre de retour est un filtre passe bande dont la fonction de transfert est la suivante
R
1
−
− Vf
R
−1
1 + R.C.p
3
B( p) =
(s
=−
=−
=
=
R
1
1
1
VNL


2
ω
p
0
R + R + R .C.p + R +
3 + R.C.p +
+R+

1 + Q.
+
1 + R.C.p
C.p
C.p
R.C.p
p 
 ω0
i on pose ω0=1/RC et Q=1/3).
Calcul des caractéristiques de sortie.
• Le démarrage des oscillations.
Nous avons vu, lors de l’étude de la stabilité des systèmes bouclés qu'un tel circuit sera instable lorsque l'un
des pôles de sa fonction de transfert en boucle fermée a une partie réelle positive. Ces pôles sont les solutions de
l'équation
A.B(p) = −1
Ils peuvent être calculés en résolvant l'équation
ω  A
p 2 + 0 1 − .p + ω 02 = 0
Q 
3
On rappelle que Q = 1/3.
- Le déterminant de cette équation sera positif pour A<1 ou A >5. Dans ce cas, les racines sont réelles et
valent
p± =
-
− 3.ω0 .(1 − A / 3) ± 9.ω02 .(1 − A / 3) 2 − 4.ω02
2
Si A<1 les racines sont négatives (pas d’oscillations). Si A >5 elles sont positives (oscillations).
Si 1 < A < 5, le déterminant est négatif et les racines sont complexes. On constate alors que leur partie
réelle sera négative tant que 1 < A < 3 (pas d’oscillations). En revanche, elle sera positive si 3 < A < 5
(oscillations). Ces racines valent
p± =
− 3.ω0 .(1 − A / 3) ± j. − 9.ω02 .(1 − A / 3) 2 + 4.ω02
2
Le calcul des racines montre donc que le montage est instable pour A>3. De plus, on peut dire que le
démarrage sera pseudo-oscillant pour 3<A<5 alors qu'il sera exponentiel croissant pour A>5).
• Le régime permanent: fréquence et amplitude des oscillations.
4
-
-
-
En régime permanent, la non linéarité de l'amplificateur se fait sentir et il n'est plus possible de raisonner
aussi simplement que lors du démarrage. On va faire l'hypothèse dite du premier harmonique. Pour une
amplitude de signal en entrée de l'amplificateur donnée, on regarde l'allure de la sortie (elle est affectée
par la non-linéarité). De la sortie distordue, on extrait le premier harmonique. La non linéarité est alors
modélisée par un gain linéaire N équivalent, rapport du premier harmonique de la sortie sur l'entrée (ce
gain remplace le gain A de l'étude du démarrage).
Une fois N calculé, la condition d'oscillation est donnée par
N.B( j.ω) = −1
La résolution de cette équation complexe nous donnera la fréquence des oscillations ainsi que leur
amplitude.
Dans le cas de notre exemple, nous allons calculer N .
Nous allons supposer que Vf ( t ) = V. sin(ω.t ) (V et ω sont les inconnues que nous recherchons).
VNL(t) vaut A.Vf(t) tant que Vf(t) est inférieure, en valeur absolue, à Vcc/A. Sinon elle vaut +Vcc ou –Vcc.
On constate que la non-linéarité n'introduit pas de déphasage (il n'y a pas d'hystérésis) ce qui signifie que
le gain équivalent N sera réel. L'amplitude du premier harmonique de VNL est notée VNL1 et elle vaut
π
π


2
2
θ0

2
4
4
VNL1 =
VNL ( t ). sin(ω.t ).dt =
VNL ( θ). sin θ.dθ =  A.V. sin 2 θ.dθ + Vcc . sin θ.dθ

π
π
T
θ0
T
0
0



Sachant que Vcc=A.V.sinθ0 , on trouve
sin(2θ 0 ) 
2.A 
N=
. θ 0 +

2
π 

∫
-
∫
∫
∫
La condition N.B( j.ω) = −1 nous donne que
sin(2θ 0 ) 
2.A 
. θ 0 +
 = 3 ce qui permet de trouver V (approche graphique)
2
π 

rq : l'hypothèse du premier harmonique sera d'autant plus justifiée que les harmoniques ont peu d'incidence
sur l'entrée de l'amplificateur, c'est à dire que le filtre de retour est sélectif.
ω = ω0
et que
N=
II.2. Les améliorations indispensables pour un tel montage.
Arg( N ) + Arg(B( jω)) = π ce qui conduit à la fréquence
La relation N.B( j.ω) = −1 permet d'écrire
d'oscillation. En différentiant la dernière relation , on trouve
 ∂φ 
δθ + dφ = 0 (φ argument de B) soit δθ = −
 .dω
 ∂ω  ω
0
δω
−1
on peut alors écrire que
≈
δθ  ∂φ 


 ∂ω  ω0
Dans le cas du pont de Wien, on a
1
1
−
−
3
3
B(p) =
≈
 p ω 0  1 + 2. j.Q. δω

1 + Q.
+
ω0
p 
 ω0
soit

δω
δω 
 et donc
≈ −2.Q / ω 0
φ ≈ −Arc tan 2.Q.

δθ
ω
0 

5
Le fait que le filtre de retour ait un fort coefficient de qualité permet de rendre l'oscillateur moins sensible
aux éventuelles variations d'état de l'amplificateur (si les variations donnent lieu une variation de phase de ce
dernier…). C’est pourquoi on utilise souvent des oscillateurs à quartz, dans lesquels la cellule sélective de retour
est réalisée à partir d’un composant piézoélectrique dont le comportement permet d’obtenir des facteurs de
qualité supérieurs à 10000. Ce composant est notamment utilisé pour réaliser la seconde dans les montres…
II.3. Exemple d’application des oscillateurs : réalisation de la seconde dans une montre.
II.3.1. Présentation du quartz.
• Le quartz est réalisé à partir d’un matériau piézoélectrique (constitué de silice SiO2). Ce matériau présente
une structure anisotrope et a pour particularité d’être le siège de couplages électromécaniques importants. On
constate notamment que si le matériau est placé dans un champ électrique (on applique une d.d.p. à ses bornes),
il va se déformer. Inversement, s’il est soumis à des efforts mécaniques, une différence de potentiel va apparaître
à ses bornes. Cet effet est utilisé dans bon nombre de capteurs, de micro-actionneurs. Les piézoélectriques sont
aussi utilisés pour réaliser des transformateurs (téléphones portables).
• Dans notre cas, on va appliquer une variation de champ électrique alternative . Celle-ci va induire une
vibration dans le cristal. La fréquence de la vibration permet l’existence d’une onde stationnaire dans ce dernier.
Il va entrer en résonance, résonance qui ne sera atténuée que par les pertes mécaniques qui sont très faibles.
• Electriquement, le comportement que nous venons de décrire peut être modélisé de la façon suivante :
La capacité C0 représente physiquement une capacité (deux conducteurs séparés par un isolant). En revanche,
les éléments rm, Lm et Cm sont des éléments motionnels, c’est a dire des éléments électriques équivalents
représentant le couplage électromécanique dans le matériau (on peut faire l’analogie avec le modèle électrique
équivalent d’un haut-parleur). C’est pourquoi leurs valeurs ne correspondent pas à des composants électriques
usuels.
ex :
quartz 32768 Hz : L = 7860H ;C = 3 fF ; r = 32000 Ω ; C0 =1,5 pF ; Q=50000
quartz 1MHz : L = 4H ;C = 6 fF ; r = 240 Ω ; C0 = 8 pF ; Q=110000
• Nous allons maintenant nous intéresser à l’impédance équivalente du composant en négligeant les pertes
(pour simplifier les calculs). Dans la mesure où il s’agit d’une structure parallèle, nous allons travailler en
admittance.
Y ( j.ω) = j.C 0 .ω +
en posant
1
j.L m .ω +
ωs =
1
j.C m .ω
= j.C 0 .ω +
1
j.C m .ω
1 − L m C m .ω2
et
L m .C m
1−
= j.(C 0 + C m ).ω.
1−
ω2
ω2p
ω2
ωs2
1
ωp =
Lm .
C 0 .C m
C0 + C m
ωs est appelée pulsation de résonance série et ωp pulsation d’antirésonance parallèle.
On remarque que ces deux pulsations sont très proches car C0 >>Cm. En effet
ω p − ωs
C
1
=
−1 = 1+ m −1
C0
ωs
C0
C0 + C m
L’impédance du quartz sans pertes est donc purement complexe. Si on pose Z = 1 Y = j.X , X représente la
réactance. Le tracé de son évolution en fonction de ω a l’allure suivante
6
Le quartz est donc capacitif partout, sauf entre ωs et ωp où il est inductif. On observe une zone où
l’impédance s’annule au voisinage de ωs (dans la réalité, en raison de l’élément dissipatif rm, l’impédance n’est
pas nulle mais minimale dans cette zone). C’est ce qui explique que l’on observe une résonance de courant.
II.3.2. Exemple dé réalisation d’oscillateur à quartz.
Il existe différentes structures possibles pour utiliser le composant décrit précédemment. Celle que nous
allons donner est fréquemment utilisée pour réaliser les horloges dans les systèmes à microprocesseurs.
• Notre oscillateur comprend une non linéarité réalisée notamment à partir d’un inverseur logique (porte
NAND à deux entrées reliées entre elles) et un filtre de retour très sélectif comportant un quartz et deux
capacités. Le schéma complet est le suivant :
Etude des différents éléments.
• La porte inverseuse a la caractéristique suivante :
L’impédance d’entrée de cette porte est infinie. De plus, en régime continu, l’impédance du circuit de retour
l’est aussi. Grâce à la résistance R, la porte se retrouve donc polarisée au milieu de sa zone de basculement (là ou
le gain dynamique vaut –A). En effet, le courant qui traverse cette résistance est alors nul en statique ce qui
garantit la relation <Vf> = <VNL>. En revanche, ça ne sera évidemment plus le cas en régime dynamique.
La résistance r permet juste de modifier la valeur de la résistance de sortie de la chaîne directe. Cette
dernière sera la somme de r avec l’impédance de sortie de la porte. Elle sera notée Rs. On la prendra en compte
dans l’élément sélectif de retour.
• Tant que les oscillations sont d’amplitude assez faible, on peut modéliser l’élément amplificateur comme
une source de tension de gain –A et une résistance de sortie Rs,
Par la suite, lorsque les oscillations correspondent au régime permanent, la non linéarité doit être modélisée
par un gain équivalent correspondant à la réponse au premier harmonique. Sachant que la non linéarité
n’introduit pas de déphasage, on peut dire que le gain équivalent au premier harmonique sera réel. Il sera, de
plus, négatif.
• Le quartz est associé à deux capacités C1 et C2, ce qui constitue le filtre sélectif de retour. On va intégrer Rs
à la réponse du système et étudier le gain du filtre suivant :
7
En utilisant le théorème de Thévenin pour représenter l’ensemble (Ve, Rs, C2), en supposant que l’impédance
du quartz vaut jX, et en notant X1 et X2 les réactances des capacités C1 et C2, on trouve que




Vs  j.X 2  
− X 1 .X 2
j.X 1
=
.
= 


− X 2 .( X + X 1 ) + j.R s .( X 1 + X 2 + X )
Ve  R s + j.X 2  j.X + j.X + j.X 2 .R s


1
+
R
j
.
X
s
2 

Si on exploite ce résultat dans le cadre du système bouclé, on en déduit que
X 1 .X 2
B( j.ω) =
− X 2 .( X + X 1 ) + j.R s .( X 1 + X 2 + X )
Condition de démarrage des oscillations.
Au démarrage, le gain de l’élément non linéaire vaut –A (oscillation d’amplitude assez faibles…pas d’effet
non-linéaire). Dans ce cas, la condition limite de démarrage sera
1 − A.B( jω) = 0
Cette condition impose notamment que B(jω) soit réelle et donc que X1+X2+X=0.
1
1
1
1
−
−
+X=−
+X=−
+X=0
C1 .C 2
C1 .ω C 2 .ω
C eq .ω
.ω
C1 + C 2
La fréquence d’oscillation est donnée par l’intersection de X(ω) représentée précédemment avec la courbe
d’équation 1/(Ceq.ω). La solution se trouve dans la zone où X > 0, là où le quartz se comporte de façon inductive.
Elle est donc comprise entre ωs et ωp, qui sont deux fréquences très proches.
La condition de démarrage sur le gain est
− X 2 .( X + X 1 ) X 2 C1
1
A≥
=
=
=
B( j.ω0 )
X 1 .X 2
X1 C 2
cette condition sera toujours remplie en prenant C1 = C2 car une porte inverseuse a toujours un gain A >> 1
(penser que l’on commute de quelques volts en quelques mV).
Régime permanent.
Si on fait une modélisation de la non linéarité au premier harmonique, on constate que le gain équivalent N
est réel (aucun déphasage introduit) et négatif. L’équation qui caractérise le régime permanent est alors la
suivante :
1 + N.B( jω) = 0
(penser à un système qui donne une sortie finie avec une entrée nulle).
On constate que la solution qui donne la fréquence est exactement la même que celle que l’on avait pour le
démarrage des oscillations. En régime permanent, la système va donc osciller à la pulsation ω0 comprise entre ωs
et ωp (là où le quartz est inductif).
rqs :
• La résistance motionnelle rm (modélisant les pertes dans le quartz) a peu d’incidence sur la fréquence
d’oscillation. On pourra donc légitimement la négliger pour prédéterminer le comportement de l’oscillateur.
• La température a en revanche une incidence notable sur la caractéristique X(ω) de l’oscillateur (et donc sur
ωs et ωp). Elle peut donc faire fluctuer la fréquence d’oscillation.
• A plus long terme, le vieillissement va, lui aussi, faire dériver lentement la fréquence de l’oscillateur (une
ppm par an environ).
Dans la pratique, nous utiliserons un système intégré, dans lequel le circuit précédent est réalisé, ainsi que la
mise en forme du signal de sortie. Il n’y a qu’à polariser l’ensemble. On peut alors obtenir une horloge de
fréquence extrêmement stable.
II.3.3. Principe de la division de fréquence avec un compteur.
Pour cela, on va utiliser un compteur synchrone, dans lequel l’horloge est apportée par un quartz de
fréquence 215Hz (on prend un quartz pour sa très grande stabilité, ce qui est fondamental pour les montres…).
Si on prend (pour simplifier), l’exemple d’un compteur 4 bits (4 sorties a0, a1, a2 et a3) qui va sortir un
succession de mots binaires de 4 bits, à une cadence fixée par les fronts montants de l’horloge (on rappelle que N
= a0 . 20 + a1 . 21 + a2 . 22 + a3 . 23)
N
a0 a1 a2 a3
8
« 0 » soit 0 0 0 0
« 1 » soit 1 0 0 0
« 2 » soit 0 1 0 0
« 3 » soit 1 1 0 0
…………………….
« 15 » soit 1 1 1 1
« 0 » soit 0 0 0 0
…………………etc
Electriquement, les signaux qui correspondent à a0, a1, a2 et a3 sont donc de la forme suivante :
On constate bien que a0 correspond à une division de la fréquence d’horloge par 2, a1 à une division de la
fréquence d’horloge par 22, …an à une division de la fréquence d’horloge par 2n+1. Si on dispose d’un compteur
sur 15 bits, on pourra diviser la fréquence de notre oscillateur initial (215Hz), et ramener cette dernière à 1Hz.
9