cours etech2A

Electrotechnique
François Vernay
2ème année IUT GIM
12 novembre 2018
2
Prof. François VERNAY
Département Génie Industriel et Maintenance
IUT de Perpignan
& Laboratoire PROMES CNRS (UPR-8521)
Rambla de la thermodynamique
66100 Perpignan
e-mail : [email protected]
Table des matières
I
Notes de cours
9
1 Machines à courant continu
1.1 Rappels de mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Mouvement tournant . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Principe fondamental de la dynamique - équilibre
1.2 Phénomène d’induction électromagnétique . . . . . . . .
1.3 Principe de fonctionnement d’une MCC . . . . . . . . .
1.4 Fonctionnement d’un moteur à courant continu . . . . .
1.4.1 Vue générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Vitesse et couple du moteur DC . . . . . . . . . .
1.4.3 Excitation série . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Bilan énergétique – Rendement . . . . . . . . . .
1.4.5 Moteur universel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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des couples - régime stationnaire
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11
11
11
12
13
15
17
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18
18
19
19
19
2 Champs tournants
2.1 Création d’un champ . . . . . . . . .
2.2 Champ tournant et triphasé . . . . .
2.2.1 Création du champ tournant
2.3 Compréhension sur un cas simple . .
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3 Machines synchrones
3.1 Le moteur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . .
3.1.2 Machines synchrones multipolaires . . . . . .
3.1.3 Schéma électrique équivalent . . . . . . . . .
3.1.4 Bilan de puissance . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 L’alternateur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Schéma et principe de fonctionnement . . . .
3.2.2 Production de f.é.m triphasées équilibrées . .
3.2.3 Schéma électrique équivalent et détermination
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de grandeurs
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38
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4 Machines asynchrones
4.1 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Technologie du moteur asynchrone . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Rotor/stator et induit/inducteur . . . . . . . . .
4.2.3 Vitesse, vitesse de synchronisme et glissement . .
4.2.4 Caractéristique mécanique . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Schéma électrique simplifié d’une phase au stator
3
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4
TABLE DES MATIÈRES
4.3
4.4
4.5
II
Bilan de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Freinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices
39
40
40
41
5 TD
5.1
5.2
5.3
5.4
Machines à courant continu (MCC)
Moteur à courant continu servant de démarreur
Génératrice à courant continu : la dynamo . . .
Champ tournant . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intensité du champ magnétique et f.é.m induite
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43
43
43
44
44
6 TD
6.1
6.2
6.3
de la MCC à la machine synchrone
Rendement d’une génératrice à courant continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Champ tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Alternateur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
45
46
7 TD Machines Synchrones
7.1 Alternateur synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Moteur synchrone à facteur de puissance réglable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
50
8 TD Machines asynchrone
8.1 Moteur asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Signalétique d’un moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
51
51
A Appendices mathématiques
A.1 Produits scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Approximation d’une fonction - Développement limité
A.2.1 Approximation d’une fonction . . . . . . . . . .
A.2.2 Formule de Taylor-Young : exemples . . . . . .
A.2.3 Liste de développement limités de base . . . . .
A.3 Fonction de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Continuité partielle - Dérivée partielle . . . . .
A.3.2 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Opérateur ∇ (“Nabla”) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.4 Expression de ∇ dans d’autres bases . . . . . .
53
53
53
53
54
55
55
56
56
56
57
57
57
57
B Réponses aux exercices
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59
Liste des symboles
ddp Différence de potentiel
f.é.m Force électromotrice
MCC Machine à courant continu
PFD Principe fondamental de la dynamique
5
6
TABLE DES MATIÈRES
Notations et définitions
Dans un souci de clarté, nous nous efforcerons de garder des notations cohérentes. Nous listons ici nos
conventions :
— les grandeurs physiques auxquelles nous ferons appel pourront, pour la plupart, être exprimées
grâce aux masses (M), longueurs (L), charge (Q), temps (T) ;
— les vecteurs seront indiqués en gras. Exemple : OM représente le vecteur partant du point O et
arrivant en M , leur norme sera indiquée en caractère normal : kOM k = OM ;
— le produit vectoriel de deux vecteurs sera noté “×”
d
— les dérivées par rapport au temps seront notées soit dt
, soit avec un point au dessus de la quantité.
dx
Exemple : dt = ẋ ;
— les nombres et grandeurs complexes seront indiqués avec un trait en dessous. Exemple : B.
— le nombre complexe j est tel que j 2 = −1, nous n’employons pas i pour éviter toute confusion avec
l’intensité du courant.
Bibliographie
Ces notes de cours n’ont pas la prétention d’être exhaustives, ni même d’être originales ; elles sont une
compilation de diverses sources : cours antérieurs, polycopiés, et livres. Le lecteur aura donc tout intérêt
à consulter d’autres ouvrages, parmi lesquels :
— Electrotechnique industrielle, par Guy Séguier et Françis Notelet.3e édition Lavoisier Paris ; Londres ;
New York
— Energie électrique, par Luc Lasne. Collection : Sciences Sup, Dunod
— Précis d’électrotechnique, par Christophe Palermo. Collection : Sciences Sup, Dunod
— Electrotechnique - Licence 1 / 2 / IUT - L’essentiel, par Dominique Bareille, Laurent Mossion,
Claude Garnier. Collection : Tout en fiches, Dunod
— Electrotechnique, par J. M. Dutertre. Polycopié de cours
— Notes for an Introductory Course On Electrical Machines and Drives, par E. G. Strangas. Polycopié
de cours
7
8
TABLE DES MATIÈRES
Première partie
Notes de cours
9
Chapitre 1
Machines à courant continu
Préambule
Une machine à courant continu (MCC) est une machine qui vise à transformer l’énergie électrique en
énergie mécanique (moteur), ou bien à transformer l’énergie mécanique en énergie électrique (génératrice).
Ce type de machine est tombé en désuètude 1 , mais leur étude permet :
— de comprendre les concepts grâce à une mise en équation simple,
— de se familiariser avec les notions de couple, de champ magnétique, de force électromotrice ( f.é.m),
de flux, et de comprendre leurs liens.
1.1
1.1.1
Rappels de mécanique
Mouvement tournant
Prenons l’exemple d’un objet, représenté par un point M , tournant dans le sens trigonométrique à
une vitesse angulaire constante ω et à une distance r constante autour du point
 O dansle plan (xOy),
x0 = r
comme indiqué en Fig. 1.1 ; à l’instant t = 0, l’objet est situé aux coordonnées  y0 = 0 . A un instant
z0 = 0
t quelconque, le vecteur position situant l’objet est donné par


r cos ωt
r = OM =  r sin ωt  ,
(1.1)
0
nous introduisons le vecteur rotation Ω


0
Ω =  0 ,
ω
(1.2)
de sorte que le vecteur vitesse s’écrit


−rω sin ωt
dr 
rω cos ωt  = Ω × r.
v=
=
dt
0
(1.3)
La force F qui provoque le mouvement est à l’origine d’un moment (ou couple) que nous noterons Γ est
qui est défini comme
Γ = r × F.
(1.4)
1. Car leur maintenance est coûteuse et des technologies alternatives se sont développées.
11
12
CHAPITRE 1. MACHINES À COURANT CONTINU
v
F
ω
y
M
r
x
O
Figure 1.1 – Le point matériel M tourne à une distance r fixe du point O, à la vitesse angulaire ω.
1.1.2
Principe fondamental de la dynamique - équilibre des couples - régime stationnaire
Etudions le cas d’un ventilateur tournant à vitesse constante. Il s’agit d’un moteur entrainant une
hélice, à la vitesse angulaire ω, grâce à un arbre de transmission. Le moteur applique un couple ΓM à
l’arbre, et des frottements sont à l’origine d’un couple résistif Γr sur l’arbre.
Comment décrire la dynamique de ce système ? Quand a-t-on un régime stationnaire ?
Pour répondre à ces questions, appliquons le principe fondamental de la dynamique (PFD) à un élément
de l’arbre situé au point ri , la masse de cet élément sera notée mi . Le PFD s’écrit
mi
dvi X
=
F,
dt
(1.5)
d’après l’Eq. (1.3),vi = Ω × ri et ri = cte donc
mi
X
d (Ω × ri )
dΩ
dri
= mi
× ri + mi Ω ×
=
F,
dt
dt
dt
|{z}
=vi
or Ω × vi = ω 2 ri d’où
X
dΩ
mi
× ri =
F − m i ω 2 ri
dt
X
X
dΩ
⇒ ri × mi
× ri =
ri × F =
Γ
dt
qui se simplifie en utilisant la formule d’analyse vectorielle de l’Eq. (A.1)
X
dΩ
2 dΩ
mi ri
− mi ri
· ri =
Γ.
dt
dt
| {z }
(1.6)
=0
Si nous voulons comprendre ce qui se passe pour la totalité de l’arbre, il faut faire l’addition de toutes les
masses mi ; nous arrivons à
X
dΩ X
mi ri2
=
Γ,
dt
| i {z }
≡J
1.2. PHÉNOMÈNE D’INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Γ (N.m)
13
ΓM
Γr
point de
fonctionnement
ω0
ω (rad/s)
Figure 1.2 – Point de fonctionnement du moteur.
où nous avons introduit la quantité J, appelée moment d’inertie. Sa définition est
X
J=
mi ri2 ,
(1.7)
i
J s’exprime donc en kg.m2 . Cette nouvelle quantité nous permet d’écrire le PFD pour un mouvement
tournant
dΩ X
J
=
Γ.
(1.8)
dt
Ainsi, appliquons cette équation générale au cas particulier du ventilateur qui nous occupe
J
dΩ
= ΓM − Γr ,
dt
(1.9)
nous avons un régime stationnaire lorsque Ω = cte donc si dΩ
dt = 0, ce qui implique d’après l’Eq. (1.9) que
Γr = ΓM . En d’autres termes, pour atteindre le régime stationnaire, il faut que le couple moteur égale le
couple résistif.
Remarques :
1. le couple résistif Γr dépend du problème mécanique à traiter : que doit-on faire tourner ? Pourquoi ?
2. Γr dépend (en principe) de la vitesse de rotation ω
3. le couple Γr est aussi appelé la charge mécanique
4. L’intersection des courbes Γr (ω) et ΓM (ω) définit le point de fonctionnement du moteur
Il existe une relation entre couple, vitesse de rotation et puissance. En effet, le travail infinitésimal dW de
la force F est donné par
dW = F · d`,
de sorte que la puissance associée P est
P =
dW
d`
=F ·
= F · v,
dt
dt
or v = Ω × r d’où P = F · (Ω × r) = Ω · (r × F ) = Ω · Γ. Nous avons donc la puissance en fonction du
couple et de la vitesse de rotation
P = Γ · Ω = Γω
(1.10)
1.2
Phénomène d’induction électromagnétique
Nous allons dans cette section appréhender la loi de Faraday (ou Lenz-Faraday) à travers l’étude d’un
circuit mobile dans un champ magnétique statique comme schématisé en Fig. 1.3.
14
CHAPITRE 1. MACHINES À COURANT CONTINU
v dt
1
→
−
dℓ
−
→
v
S
circuit
(partie fixe)
dS
→
−
−
→
v ×B
−
→
B
dΣ
2
partie mobile
instant t+dt
partie mobile
instant t
Figure 1.3 – Circuit électrique constitué d’une partie fixe en U et d’une barre métallique mobile. Le cicuit
est plongé dans un champ magnétique statique B.
La tige métallique qui ferme le circuit est mise en mouvement avec la vitesse v. Que se passe-t-il alors ?
Les porteurs de charges q présents dans le métal sont soumis à la force de Laplace
F = q (v × B) ,
(1.11)
le déplacement des charges implique alors la création d’une différence de potentiel (ddp). Appelons e cette
f.é.m d’induction, qui est une tension et s’exprime en volts. Le travail lié à e est donné par
ˆ
W = qe = q
(v × B) · d`,
1→2
donc
ˆ
e=
1→2
(v × B) · d`,
ou bien , en utilisant les relations de permutation du produit mixte
ˆ
ˆ
dS
dΣ
e=−
(v × d`) · B = −
·B =−
·B
dt
dt
1→2
Rappelons d’autre part que le flux Φ du champ magnétique à travers la surface S est donné par
¨
Φ (t) =
B · dS
S
et donc
¨
Φ (t + dt) =
S+dΣ
B · dS,
(1.12)
15
1.3. PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT D’UNE MCC
ω
Φ
S
N
(a)
(b)
t=0
t= π/4ω
t= π/2ω
t= π/ω
(c)
Figure 1.4 – (a) Machine à courant continu avec bobinage au stator formant les pôles Sud (S) et Nord
(N), et une seule spire bobinée sur le rotor. Les lignes de champ magnétique sont représentées en cyan.
(b) Rotor vu en perspective avec une spire bobinée. (c) Flux magnétique à travers la bobine du rotor pour
différents instants.
nous déduisons de ces deux dernières équations que : dΦ = Φ (t + dt) − Φ (t) = B · dΣ. En reportant ce
résultat dans l’Eq. (1.12), nous arrivons à une relation entre f.é.m et flux
e=-
dΦ
.
dt
(1.13)
Il s’agit de la loi de Lenz-Faraday qui exprime le fait que la variation du flux magnétique à travers un
circuit induit un champ électrique et donc un courant dans ce circuit. Les machines à courant DC sont
basées sur ce principe.
1.3
Principe de fonctionnement d’une MCC
Une MCC est constituée de deux parties :
1. Une partie appelée “stator”, composée d’un nombre pair de pôles magnétiques au centre desquels
il existe un espace E où règne un flux magnétique Φ uniforme ; il s’agit de l’inducteur.
2. une partie (cylindrique) mobile appelée “rotor” est placée dans l’espace E du stator. Le rotor est
libre sur son axe et porte un bobinage dont l’axe est perpendiculaire à l’axe principal du cylindre ;
il s’agit du circuit induit.
Pour fixer les idées, prenons le cas d’une géométrie simple comme celle de la Fig. 1.4.
Lorsque le rotor tourne, à la vitesse angulaire ω, sa bobine voit le flux magnétique qui la traverse
changer au cours du temps, comme nous pouvons le voir en Fig. 1.4(c). Pour l’exemple qui nous concerne,
nous avons
φ (t) = Φ cos ωt,
(1.14)
nous pourrions éventuellement ajouter un déphasage à cette expression, mais ça ne changerait rien à
l’explication qui suit. D’après la loi de Faraday, il apparaît, aux bornes de la bobine du rotor, une f.é.m
16
Flux φ(t)
CHAPITRE 1. MACHINES À COURANT CONTINU
π/2
π
f.é.m e(t)
ωt
π
π/2
ωt
Figure 1.5 – Flux et f.é.m obtenue aux bornes du rotor.
(e) donnée par
dφ (t)
= ωΦ sin ωt,
(1.15)
dt
la tension ainsi obtenue est alternative (Fig. 1.5), pour avoir une machine à courant continu, il faut la
redresser. Ceci peut être réalisé par voie mécanique au moyen d’un collecteur et de balais. L’électronique de
puissance peut aussi nous permettre de redresser un signal, mais nous verrons cela dans un autre module.
Malgré le dispositif des balais, la tension obtenue grâce à un seul bobinage n’est pas encore droite ; en
réalité, le système est constitué d’un grand nombre de bobinages décalés les uns par rapport aux autres
autour du rotor, de telle sorte que les tensions additionnées forment une tension globale E constante.
D’après l’Eq. (1.15), il est évident que E ∝ Φω. Le coefficient de proportionnalité, que nous noterons k
est caractéristique de la géométrie et du nombre de tours de la bobine. De la sorte, nous avons
e=−
E = kΦω.
(1.16)
Nous sommes maintenant en mesure de définir une relation entre le couple Γ (en N.m), le flux magnétique 2 Φ (en Wb) et le courant I (en A) ; en effet, nous avons vu que la puissance mécanique d’une
machine de couple Γ tournant à la vitesse angulaire ω est donnée par
Pméca = Γω,
d’autre part, la puissance électrique est définie par le produit courant-tension
Pélec = EI.
Or, une MCC vise à convertir de la puissance électrique en puissance mécanique (ou vice versa), ceci
implique Pméca = Pélec donc Γω = EI, en utilisant l’Eq. (1.16) nous arrivons à
ΓM = kΦI.
(1.17)
Représentation schématique La représentation schématique d’une MCC implique a priori deux parties (voir Fig. 1.6) : l’inducteur et l’induit. Notons toutefois que le circuit inducteur n’est pas nécessaire
s’il s’agit d’une machine à aimants permanents.
L’induit comporte une résistance R dont nous devons tenir compte pour comprendre le fonctionnement
en régime moteur ou en régime générateur. De même, l’inducteur contient une résistance r. Ainsi, nous
avons deux modes de fonctionnement pour l’induit qui sont représentés en Fig. 1.6.(b). La loi des mailles
donne selon le cas
U = E + RI
(Moteur)
(1.18)
U = E − RI
(Générateur)
2. Le flux d’induction magnétique s’exprime, dans les unités du système international en Weber, 1 Wb = 1 T.m2 .
17
1.4. FONCTIONNEMENT D’UN MOTEUR À COURANT CONTINU
I
Moteur
Ie
Ie
I
Generateur
I
Ie
R
R
MCC
Ue
r
E
U
Ue
r
E
U
circuit inducteur
(a)
(b)
Figure 1.6 – (a)Représentation d’une MCC. (b) Schémas de fonctionnement en moteur et en générateur.
Ie
Excitation separee
I
Serie
Shunt
Ie
I
R
r
Ie
R
Ue
r
M
E
U
U e=U
R
Ue
r
U
E
M
E
M
I=I e
Figure 1.7 – Les trois types de montages pour un moteur DC : excitation séparée, shunt et série.
L’induit se comporte comme un dipôle actif constitué d’une résistance d’induit R en série avec une force
(contre) électromotrice E. L’inducteur, quant à lui, est dipôle passif, il s’agit d’une résistance r.
1.4
1.4.1
Fonctionnement d’un moteur à courant continu
Vue générale
Dans le cas d’un moteur, la tension E est appelée force contre-électromotrice (f.c.é.m). Il existe trois
types de montage : à excitation séparée, en shunt, ou en série ; ceux-ci sont schématisés en Fig.1.7 .
Pour que le moteur fonctionne, il faut que U > E, or nous avons vu les relations

 U = E + RI
Γ
=
kΦI
(1.19)
 M
E =
kΦω
de là, il est aisé de trouver le lien entre le couple et la vitesse de rotation
ΓM =
U
(kΦ)2
kΦ −
ω
R
R
(1.20)
Remarque : il faut faire attention en interprétant l’Eq. (1.20) car le flux Φ dépend du courant à
l’inducteur
Ie , or Ie peut dépendre de ω (dans le cas d’un montage série par exemple). De fait, nous avons
˜
Φ = B ·dS, où B est le champ produit par Ie . De façon général, si nous sommes hors saturation, B ∝ Ie
de sorte que Φ ∝ Ie avec des coefficients de proportionnalité qui dépendent de la géométrie du problème.
Dans nombre de cas, pour les moteurs à excitation séparée ou shunt, nous considérerons que ΓM est
linéaire décroissant en fonction de ω.
Le couple moteur peut être décomposé en un couple utile Γu et un couple lié aux pertes Γp , ce qui donne
ΓM = Γu + Γp où Γp ≈ cte . Dans un premier temps, si nous négligeons Γp et que nous traçons les couples
moteur et couple de charge (voir Fig.1.2 avec ΓM = Γu ), nous obtenons, au point de fonctionnement
Γu = Γr = kΦI. Ceci signifie que la charge mécanique impose la valeur du courant
I=
Γr
.
kΦ
En particulier, ceci impose qu’à vide (i.e. à charge nulle) le courant est nulle. D’autre part, nous en
déduisons également qu’il existe un risque de surintensité au démarrage comme nous allons le voir dans
l’exercice d’application ci-dessous.
18
CHAPITRE 1. MACHINES À COURANT CONTINU
Application
Soit un moteur DC à excitation séparée dont la résistance équivalente est Req = 2Ω à l’induit. Lorsque
le moteur est alimenté en 100 V et à vide, il tourne à 1200 tr.min−1 . Quel doit être le courant et le couple
si l’utilisateur souhaite le faire tourner à 1800 tr.min−1 avec une alimentation de 220 V ?
On a U = E + Req I et E = kΦω, or à vide I = 0, donc U0 = kΦω0 , on en déduit
kΦ =
U0
ω0
avec U0 = 100 V et ω0 = 125, 66 rad.s−1
Lorsqu’on fait tourner le moteur à la tension Un et à ωn , on a Un = kΦωn + Req I d’où
I=
Un
U0 ωn
−
,
Req Req ω0
puis ΓM = kΦI
l’application numérique donne I = 35 A et ΓM = 27, 86 N.m.
1.4.2
Vitesse et couple du moteur DC
Excitation séparée ou shunt
Vitesse Il est possible de déterminer une expression de ω en fonction de la tension U et du courant I
en repartant des Eqs. (1.19) et en se rappelant que Φ ∝ Ie . Nous avons donc E = λIe ω où λ est un facteur
de proportionnalité, ce qui implique
U − RI
ω=
.
(1.21)
λIe
1. Nous pouvons remarquer que le bobinage de l’induit est réalisé de telle sorte que les pertes par effet
U0
Joule sont faibles, la résistance R est donc faible. Ainsi, à vide RI0 U0 et alors ω0 = λI
; ce qui
e
signifie que c’est la tension d’induit qui définit la vitesse de rotation du moteur.
2. D’autre part, nous sommes toujours dans le cas U RI, même sous charge car la résistance R
doit être la plus faible possible. Donc, la vitesse ω est quasi-constante en fonction de I et donc de
la charge mécanique.
3. Attention : il existe un danger car si Ie → 0, alors ω → ∞, ceci traduit un risque d’emballement
du moteur à excitation séparée. En conséquence, il ne faut jamais couper le courant de l’inducteur
lorsque l’induit est sous tension.
Couple Pour les montages considérés dans ce paragraphe, nous repartons de l’Eq. (1.17), or nous avons
vu kΦ = λIe donc Γ = λIe I ; comme nous avons ici Ie 6= I on trouve ΓM ∝ I or Γm = Γu + Γp . Nous
trouvons donc, pour les montage excitation séparée ou shunt, une fonction affine
Γu = −Γp + αI.
1.4.3
Excitation série
Vitesse Dans le cas série, le courant à l’inducteur Ie est égal au courant à l’induit : I = Ie ; en reprenant
la démarche menant à l’Eq. (1.21) , nous avons
ω=
1. A charge nulle RI0 U de sorte que ω0 =
2.
U − RI
.
λI
U
I0
→ ∞ (car I0 → 0)
< 0, la vitesse est une fonction décroissante de I. L’interprétation que nous pouvons
=
en faire est la suivante : ce type de moteur risque un emballement à vide et perd de la vitesse en
charge.
dω
dI
− λIU2
1.4. FONCTIONNEMENT D’UN MOTEUR À COURANT CONTINU
Couple
19
Nous repartons de l’Eq. (1.17), or Φ ∝ Ie = I (cas série) donc
ΓM ∝ I 2 ;
Γu = −Γp + αI 2
Nous voyons dès lors l’intérêt de ce type de moteur : dès le démarrage une petite variation de l’intensité
donne une variation importante du couple ; nous avons un couple fort au démarrage.
1.4.4
Bilan énergétique – Rendement
La puissance électrique totale absorbée par le moteur est donnée par
P a = U I + Ue I e ,
la puissance mécanique utile est définie comme
Pu = Γu ω,
la puissance perdue par effet Joule implique les résistance à l’inducteur et à l’induit, de sorte que
PJ = rIe2 + RI 2 ,
il faut aussi tenir compte de la puissance Pp due aux pertes collectives (pertes fer, pertes mécaniques).
1.4.5
Moteur universel
Le moteur universel est un moteur qui peut fonctionner sous courant AC ou DC, il s’agit du type de
moteur utile pour le petit matériel, l’électroménager. On a cette propriété sur le moteur DC série ; le sens
de rotation ne change pas si le courant est inversé. En effet, le sens du courant est toujours le même dans
l’inducteur et dans l’induit, donc la force de Laplace a toujours la même direction et le même sens quel
que soit le sens du courant. Le moteur peut donc aussi bien être utilisé en AC qu’en DC.
Ceci étant, pour certaines applications (perceuse–visseuse) il peut être intéressant d’avoir un changement du sens de rotation. Dans ce cas, cela se fait via un circuit commande.
1.4.6
En résumé
Résistance d’inducteur
Vitesse
Emballement
Caractéristique principale
Couple
Modification sens rotation
Démarrage
Fonctionnement AC
Utilisation
Montage shunt
ou excitation séparée
Elevée
stable avec la charge
Attention ! coupure Ie
vitesse constante
Γu ∝ I
En inversant I ou Ie
Fort courant
Non
Machines-outils
Montage série
Faible
contrôlée par la charge
Attention ! à vide
puissance constante
Γu ∝ I 2
Par commande
Fort couple
Moteur universel
Levage, électroménager
20
CHAPITRE 1. MACHINES À COURANT CONTINU
Chapitre 2
Champs tournants
Préambule
Les machines à courant DC souffrent d’un certain nombre de défauts. En particulier, le collecteur et
les balais s’usent à cause des frottements et nécessitent de ce fait une maintenance régulière. Nous nous
tournons donc vers des machines à courant AC qui n’ont pas ce genre de problème.
Pour étudier les moteurs AC il est essentiel de comprendre, en premier lieu, le principe des champs
magnétiques tournants et l’utilisation du courant triphasé.
2.1
Création d’un champ
Comme nous l’avons déjà vu, dès qu’un circuit est parcouru par un courant I, alors, un champ magnétique est créé. A priori, le champ dépend du point M (x, y, z) donc B (x, y, z). En réalité, bien souvent,
une analyse des symétries et des invariances (translation et/ou rotation) du système nous renseigne sur
la forme de B. Prenons un exemple qui nous sera utile : un solénoïde de longueur `B et de rayon R, avec
`B R, ayant n spires par unité de longueur. L’axe du solénoïde coïncide avec l’axe (Oz) comme indiqué
sur la Fig. 2.1.
Si la bobine est traversée par un courant I, quel est le champ B créé en un point M situé au centre
du solénoïde ?
Avant de nous lancer dans le calcul, il est utile de faire une analyse de la géométrie du système. En
effet, nous avons a priori un champ qui dépend de plusieurs paramètres B (r, θ, z), mais :
(c)
(d)
(b) I
ey
R
ex
(a)
B
ez
lB
Figure 2.1 – Solénoïde de longueur `B parcouru par un courant I créant un champ magnétique B sur
son axe.
21
22
CHAPITRE 2. CHAMPS TOURNANTS
— comme la bobine est très longue, si nous négligeons les bords, le problème est invariant par translation le long de z, donc B (r, θ, z)
A = B (r, θ) ;
— le problème est également invariant par rotation d’angle θ, donc B (r, θA) = B (r).
De plus, les lois de la physique nous disent que dans un problème d’électromagnétisme, s’il existe un plan
d’antisymétrie Π (pour le courant électrique) qui passe par le point M , alors B est contenu dans Π. Ainsi,
l’intersection de deux plans Π1 et Π2 donne la direction du champ magnétique.
Pour le problème que nous considérons, nous voyons que (xOz) et (yOz) sont plans d’antisymétrie,
donc B est colinéaire à ex .
Ainsi, après analyse de la gémométrie du problème, nous arrivons à
(2.1)
B (M ) = B (r) ez .
Il nous reste à déterminer le module B du champ en fonction des paramètres du problème, pour cela,
nous utilison les théorème d’Ampère.
Théorème d’Ampère La circulation du champ B le long d’un chemin fermé et orienté C est égal à
la somme algébrique des courants traversant la surface S orientée (engendrée par C) multipliée par la
perméabilité du vide µ0 . Soit
˛
¨
X
B · d` =
µ0 j · dS = µ0
I.
(2.2)
C
S
Nous allons calculer B en utilisant ce théorème, il nous faut donc choisir un chemin C tel que B · d`
soit facile à calculer. Nous allons donc choisir un chemin rectangulaire de façon à ce que le produit scalaire
soit nul ou simple à calculer. Le rectangle aura une largeur a le long de (Oz) et une longueur b très grande
le long de (Oy), de sorte que
˛
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
XXXX
BezX
· (−dye
B · d` =
B (M ) ez · dzez + Be
B
(∞)
ez · (−dzez ) +
z · dyey +
XX y )
C
soit
(a)
(b)
(c)
(d)
XX
˛
C
B · d` = Ba
en injectant ce dernier résultat dans l’Eq. (2.2), nous obtenons
B = µ0 nI.
(2.3)
Le champ est proportionnel au courant et au nombre de spires par unité de longueur. Nous en déduisons
que le courant contrôle la création du champ magnétique.
Dès lors, une question s’impose, que se passe-t-il pour un courant alternatif de la forme i (t) =
Im cos (ωt) circulant dans une bobine d’axe (Ox) ?
Nous allons dans ce cas créer un champ magnétique colinéaire à l’axe de la bobine B (t) = Bm cos (ωt) ex
avec Bm = µ0 nIm . Au lieu d’utiliser la notation vectorielle, ce champ peut également s’écrire sous forme
complexe en associant l’axe (Ox) à l’axe réel et l’axe (Oy) à celui des imaginaires. De sorte que nous avons
B (t) = Bm cos (ωt) ej0 = Bm cos (ωt) ;
en se rappelant que e±jωt = cos (ωt) ± j sin (ωt), nous introduisons les quantités
Bm ±jωt
e
,
2
pour enfin pouvoir écrire le champ créé par la bobine sous la forme
B ± (t) =
B (t) = B + (t) + B − (t) .
Cette dernière forme implique que le champ B (t) peut être vu comme la somme de deux champs tournants,
d’amplitude B2m , avec des vitesses angulaires ±ω opposées (Fig. 2.2).
23
2.2. CHAMP TOURNANT ET TRIPHASÉ
ey
B+
+ω t
−ω t
B
B
ex
−
axe des imaginaires purs
Figure 2.2 – Champ B (t) oscillant vu comme l’addition de deux champs tournants avec des vitesses
angulaires opposées.
i3
e3
e1
axe des reels
i1
e2
i2
Figure 2.3 – Ensemble de trois bobines coplanaires alimentées par des courants triphasés équilibrés. Le
plan complexe associé à la géométrie est représenté en bleu.
Théorème de Leblanc Un bobinage alimenté par un courant i (t) = Im cos (ωt) créé un champ magnétique B (t) = Bm cos (ωt) qui est équivalent à la somme de deux champs de module Bm /2 tournant dans
des sens opposés à la vitesse angulaire ω.
Remarque : cette propriété est utilisée pour construire des moteurs monophasés.
2.2
2.2.1
Champ tournant et triphasé
Création du champ tournant
Prenons un système simple de trois bobines identiques en configuration étoile, alimentées par des
courants triphasés équilibrés direct. Ainsi, nous avons
i1 (t) + i2 (t) + i3 (t) = 0.
o
Géométriquement, les trois bobines sont coplanaires et séparées par des angles de 2π
3 = 120 comme sur la
2π
Fig. 2.3. L’axe de la bobine 1 est située sur l’axe (Ox), l’axe de la bobine 2 fait un angle − 3 par rapport à
celui de la bobine 1. Chaque bobine engendre un champ magnétique Bα (t), avec α = 1, 2, 3, si les bobines
sont identiques, alors Bm l’amplitude maximale du champ est la même sur chaque branche.
D’autre part, nous considérons que le système est dans un environnement homogène et linéaire, de
sorte que le champ total résultant est
B (t) = B1 (t) + B2 (t) + B3 (t) .
24
CHAPITRE 2. CHAMPS TOURNANTS
Calculons le champ résultant B (t) et montrons qu’il est tournant.

i1 (t) = Im cos ωt





i2 (t) = Im cos ωt −





i3 (t) = Im cos ωt +
2π
3
2π
3

B1 (t) = Bm cos ωt e1





B2 (t) = Bm cos ωt −





B3 (t) = Bm cos ωt +
→
2π
3
e2
2π
3
e3
Les vecteur e1 , e2 , e3 peuvent être exprimés en notation complexe ; le plan complexe abstrait doit être
fixe et coïncider avec l’espace physique du plan des trois bobines. Ainsi, nous avons

e1
ej0






2π
e2
e−j 3





2π

e3
ej 3
et donc les champs associés aux trois bobines s’écrivent en notation complexe

B1 (t) = Bm cos ωt






−j 2π
e 3
B2 (t) = Bm cos ωt − 2π
3




j 2π


3
B3 (t) = Bm cos ωt + 2π
3 e
Notons également que cos ωt ±
2π
3
= − 12 cos ωt ±
√
3
2
sin ωt, d’où le champ total résultant
3
3
B (t) = B1 (t) + B3 (t) + B3 (t) = Bm (cos ωt − j sin ωt) = Bm e−jωt .
2
2
Le vecteur résultant est donc de norme 32 Bm et il tourne dans le sens horaire à la vitesse angulaire ω.
Si nous faisons la construction géométrique du vecteur résultant pour différents temps, nous remarquons
que :
1. Le champ passe par l’axe d’une bobine quand le courant y est extremum.
2. Pour changer le sens de rotation du champ, il suffit de permuter deux phases.
Théorème de Ferraris Un ensemble de trois bobines identiques coplanaires à 120o les unes des autres
et alimentées par des courants sinusoïdaux (équilibrés) alternatifs de même pulsation ω permet de créer
un champ magnétique tournant de vitesse angulaire ω.
Conclusion Le théorème de Ferraris est utilisé pour les moteurs à courants AC : les trois bobinages font
partie du stator afin de créer dans l’entrefer un champ B tournant qui entraine le rotor.
2.3
Compréhension sur un cas simple
On considère une machine à deux phases constituée de deux bobines perpendiculaires l’une par rapport
à l’autre. Les deux bobines sont identiques et comportent n spires par unité de longueur. La bobine 1 est
traversée par le courant i1 (t) = Im cos ωt, la bobine 2 est traversée par le courant i2 (t) = Im sin ωt. L’axe
de la bobine 1 est sur l’axe (Ox), celui de la bobine 2 est sur l’axe (Oy).
2.3. COMPRÉHENSION SUR UN CAS SIMPLE
25
Calculons le champ magnétique total B (t) résultant de ce système de deux bobines.



 B1 (t) = µ0 nIm cos ωt
 B1 (t) = µ0 nIm cos ωt ex
 i1 (t) = Im cos ωt
−→
−→
π



B2 (t) = µ0 nIm sin ωt ey
i2 (t) = Im sin ωt
B2 (t) = µ0 nIm sin ωt ej 2
donc B (t) = B1 (t) + B2 (t) = µ0 nIm (cos ωt + j sin ωt) = µ0 nIm ejωt . Nous obtenons un champ tournant
dans le sens direct avec la vitesse angulaire ω.
26
CHAPITRE 2. CHAMPS TOURNANTS
Chapitre 3
Machines synchrones
Préambule
Une machine synchrone est réversible, elle peut fonctionner soit en alternateur, soit en moteur (Tesla
modèle 3). Pour le fonctionnement en mode alternateur, il s’agit de créer une force électromotrice (f.é.m)
sinusoïdale en se basant sur la loi de Faraday.
3.1
3.1.1
Le moteur synchrone
Principe de fonctionnement
Le schéma de la Fig. 3.1 représente une machine synchrone bipolaire (i.e. une paire de pôle par phase).
Le rotor est soit un aimant 1 , soit constitué d’une bobine alimentée en continu par un courant Ie de façon à
être porteur d’un moment magnétique m. Le stator est composé d’un bobinage triphasé créant un champ
magnétique B (t) tournant.
Notons θ (t) l’angle entre les vecteurs m et B.
Tout comme une boussole s’aligne suivant le champ magnétique terrestre, le moment magnétique m du
rotor cherche à s’aligner suivant B. De fait, si nous supposons que les courants i1 (t), i2 (t), i3 (t) forment
un système équilibré de pulsation ω et que le rotor est lancé à la vitesse angulaire ω0 avec un angle initial
θ0 , alors
θ (t) = (ω − ω0 ) t + θ0 ,
de sorte que le rotor subit le couple électromagnétique
Γem = m × B (t) = mBm sin θ (t) ez ,
soit en norme, le couple instantané
Γem (t) = mBm sin [(ω − ω0 ) t + θ0 ] .
Le couple moyen hΓem i est donné par
ˆ
ˆ
1 T
mBm T
hΓem i =
Γem (t) dt =
sin [(ω − ω0 ) t + θ0 ] dt.
T 0
T
0
(3.1)
A partir de là, nous devons distinguer deux cas :
h
i0
cos[(ω−ω0 )t+θ0 ]
m
1. Si ω 6= ω0 : alors hΓem i = mB
= 0, le couple moyen est nul, le rotor s’arrête à
T
ω−ω0
T
cause des frottements.
2. Si ω = ω0 : hΓem i = mBm sin θ0 , le couple est non nul, le moteur tourne à la vitesse angulaire ω.
Le moteur est synchronisé à la vitesse ω dite vitesse de synchronisme.
1. Si le rotor est un aimant, on parle de moteur brushless.
27
28
CHAPITRE 3. MACHINES SYNCHRONES
i2
ω
B(t)
θ
m
Ie
Rotor
i1
Stator
i3
Figure 3.1 – Machine synchrone à une paire de pôles. En noir les bobines au stator, en bleu le rotor.
Le champ tournant B (t) est créé par les bobinages du stator, le moment magnétique m est porté par le
stator.
3.1.2
Machines synchrones multipolaires
Les machines synchrones sont en général formées de plusieurs paires de pôles (p). Le rotor et le stator
en ont le même nombre p. Il est possible de montrer que la vitesse de rotation synchrone (vitesse de
synchronisme), notée Ωs , dépend de p et de la pulsation des courants ω selon la formule
Ωs =
ω
.
p
(3.2)
Ainsi, une machine triphasée tétrapolaire (à deux paires de pôles) p = 2 peut être représentée par 6 bobines
au stator. Les bobines étant séparées par des angles de π3 . Le champ tournant obtenu dans l’espace complexe
s’écrit
B (t) = Bm ejωt .
Mais il ne faut pas oublier que dans l’espace géométrique physique de la machine, l’angle entre la bobine
parcourue par le courant i1 et celle parcourue par le courant i2 est de π/3 ; alors que B1 , B2 = 2π/3
dans dans l’espace complexe. Donc ω = 2Ωs .
3.1.3
Schéma électrique équivalent
Chaque phase du moteur peut être représentée par le schéma issu du modèle de Behn-Eschenburg,
illustré en Fig. 3.2. Nous noterons V la tension de phase et J le courant de phase, 2 la résistance de
l’enroulement est rs , la réactance synchrone Xs = Ls ω √
représente les pertes de flux magnétique. Si V
est la valeur efficace de la tension de phase, alors U = 3V est la tension de ligne. Avec le modèle de
Behn-Eschenburg, nous obtenons
E = V − (rs + jXs ) J,
2. Rappelons que dans le cas d’un montage triangle V = U , alors que dans un montage étoile J = I.
29
3.1. LE MOTEUR SYNCHRONE
rs
E
V
reseau
J
Xs
Figure 3.2 – Schéma de Behn-Eschenburg représentant une phase du moteur.
or en pratique le montage cherche à minimiser les pertes par effet Joule, donc rs Xs . Nous arrivons
donc à
E = V − jXs J.
Deux situations peuvent alors se présenter :
1. Machine sous-excitée (E < V ) :
la tension V du réseau est en avance sur le courant ; le moteur consomme de la puissance réactive.
V
ϕ
jXs J
−δ
ψ
E
J
2. Machine sur-excitée (V < E) :
la tension V du réseau est en retard sur le courant ; le moteur produit de la puissance réactive.
ψ
E
J
ϕ
−δ
V
jXs J
— N. B. 1 : si le moteur synchrone tourne à vide (J = 0), il est alors possible d’utiliser le moteur
synchrone pour relever le facteur de puissance cos ϕ.
— N. B. 2 : le rotor étant en retard sur le champ tournant, l’angle interne entre E et V est noté (−δ).
3.1.4
Bilan de puissance
La puissance absorbée est la puissance électrique consommée par la machine
√
Pa = 3U I cos ϕ +
Ue Ie
|{z}
(3.3)
=0 si brushless
En principe, pour calculer le rendement, il faut la puissance mécanique utile Pu = Γu Ωs , où Γu est le
couple de charge. Au point de fonctionnement, 3 nous avons Γu = Γem couple électromagnétique. Ou bien,
de façon équivalente Pu = Pem puissance électromagnétique.
Or, Pem = Γem Ωs peut être calculée en fonction des grandeurs E et I déphasées de ψ
Pu = Pem = 3EI cos ψ.
3. En négligeant les pertes fer et pertes mécaniques.
30
CHAPITRE 3. MACHINES SYNCHRONES
1
2
3
stator
(induit)
GS
rotor
(inducteur)
courant DC
Figure 3.3 – Schéma d’un générateur synchrone.
Il est également possible de tenir compte des pertes Joule :

Pjs = 23 RI 2
 • au stator

Pjr = Ue Ie = Re Ie2
• au rotor
A noter que la relation entre R et rs dépend du montage (triangle ou étoile).
3.2
3.2.1
L’alternateur synchrone
Schéma et principe de fonctionnement
Le schéma de l’alternateur synchrone est donné sur la figure 3.3. Le principe de fonctionement d’un
générateur synchrone est basé sur le fait que l’inducteur porte un champ magnétique B tournant, par
exemple, dans le plan (xOy)
y
B(t)
ωt
O
f.e.m e
x
B = B (cos ωt ex + sin ωt ey ) .
Pour simplifier, dans un premier temps, prenons un stator n’ayant qu’une bobine d’axe (Ox), avec N
spires de section S dans le plan (yOz). Le flux d’induction φ (t) s’écrit donc
¨
φ (t) = N
B · dS = N BS cos ωt.
(3.4)
S
La f.é.m. entre les bornes d’entrée et de sortie de la bobine du stator est déterminée par la loi de LenzFaraday de l’Eq. (1.13)
e (t) = −
√
dφ
= N BSω sin ωt = E 2 cos (ωt + ϕ0 ) ,
dt
où E est la tension efficace. On en déduit donc
N BS
E = √ ω.
2
La tension est proportionnelle à la vitesse de rotation.
31
3.2. L’ALTERNATEUR SYNCHRONE
rs
J
Xs
E
V
Figure 3.4 – Schéma de Behn-Eschenburg représentant une phase de l’alternateur.
3.2.2
Production de f.é.m triphasées équilibrées
Nous cherchons à produire des f.é.m triphasées équilibrées simplement par induction. Nous utilisons
pour se faire trois bobinages identiques coplanaires séparés de 2π
3 les uns des autres. Chaque bobine est
constituée de N spires de surface S, la bobine 1 a son axe le long de (Ox), la bobine 2 fait un angle 2π
3
avec la 1. Ces trois bobines ressentent un champ magnétique B qui tourne à la fréquence Ω au rotor.
h
π
π i
− sin Ωt
,
B = B cos Ωt +
ex + sin Ωt +
ey =
cos Ωt
2
2
il existe donc au niveau des bobines 1, 2 et 3 des flux magnétiques φ1 (t), φ2 (t) et φ3 (t). Les éléments
1
,
de surface dS1 , dS2 et dS3 pour chaque bobine sont orientés suivant les vecteurs unitaires e1 =
0
˜
cos 2π
cos 2π
3
3
e2 =
et e3 =
, nous pouvons donc évaluer les flux sachant que S dS = S
2π
2π
sin 3
− sin 3
˜

φ1 (t) =

S bobine 1 B · dS1 = −N BS sin Ωt




˜
φ2 (t) =
B · dS2 = −N BS sin Ωt − 2π
3
S
bobine
2




˜

2π
φ3 (t) =
S bobine 3 B · dS3 = −N BS sin Ωt + 3
Les f.é.m sont obtenues par la loi de Lenz-Faraday Eq.(1.13)

1

e1 (t) = − dφ

dt = N BSΩ cos Ωt




2
e2 (t) = − dφ
dt = −N BSΩ cos Ωt −





 e (t) = − dφ3 = −N BSΩ cos Ωt +
3
dt
2π
3
2π
3
ce qui correspond bien à des tensions triphasées équilibrées.
3.2.3
Schéma électrique équivalent et détermination de grandeurs
Le schéma électrique équivalent est identique à celui du fonctionnement moteur (i.e. celui du modèle
de Behn-Eschenburg), mais en convention générateur comme en Fig. 3.4. En appliquant la loi des mailles,
nous avons donc
E = (rs + jXs ) J + V ,
ce qui donne, si nous considérons que la réactance est grande devant la résistance (Xs rs )
E = jXs J + V .
(3.5)
32
CHAPITRE 3. MACHINES SYNCHRONES
regime sature
re
gi
m
el
in
ea
ire
V=E
m
mR
Point de
fonctionnement
nominal
Bc
B
Ie
O
Figure 3.5 – A gauche : caractéristique E = f (Ie ). A droite : aimantation en fonction du champ appliqué,
la courbe de première aimantation est indiqué en pointillés.
Détermination de la f.é.m E
La f.é.m induite dans une phase se mesure en faisant un essai à vide (i.e. J = 0). En effet, à vide l’Eq.
(3.5) se simplifie pour donner E = V , il suffit simplement de mesurer V avec un voltmètre aux bornes
de la phase. Il est possible d’avoir une caractéristique E = f (Ie ), où Ie est le courant inducteur ; cette
caractéristique se décompose en deux parties, un régime linéaire au bout duquel se trouve le point de
fonctionnement nominal, suivi pour les courants Ie forts d’un régime saturé (Fig. 3.5).
L’existence
√ d’un régime linéaire peut être interprétée relativement simplement. Nous avons vu que
E = N BSω/ 2, or nous savons, grâce au théorème d’Ampère que B ∝ Ie , nous retrouvons donc bien un
régime linéaire pour E = f (Ie ). Cependant, si nous regardons plus attentivement la caractéristique, nous
remarquons que E (Ie = 0) 6= 0. En effet, à cause de l’aimantation rémanente des pôles, la caractéristique
E = f (Ie ) ne passe pas exactement par l’origine.
Le régime saturé provient du fait qu’au-delà d’une certaine intensité Ie (ou champ B), l’aimantation
du matériau magnétique sature (voir la partie droite de la Fig. 3.5).
Détermination de la réactance Xs
Après avoir mesuré E grâce à un essai à vide, on fait un essai en court-circuit. Cette fois, nous avons
donc

 V = 0

J
= Jcc (élevé)
En reprenant l’Eq. (3.5), nous obtenons alors
jXs =
E
E
⇒ Xs =
.
Jcc
Jcc
Durant le régime linéaire, et jusqu’au point nominal, nous avons

 E

= αIe + λ
Jcc ∝ Ie
ce qui implique Xs = Cte = Xs0 . Au-delà de ce régime E sature, mais nous avons toujours Jcc ∝ Ie donc
Xs (Ie ) < XS0 , la réactance diminue.
La réactance synchrone est définie comme étant celle du régime linéaire.
Remarque : la réactance ne consomme pas de puissance active, elle n’affecte donc pas le rendement
de l’alternateur.
3.2. L’ALTERNATEUR SYNCHRONE
33
Caractéristique externe : courbe V (J)
Pour obtenir la caractéristique V (J), il faut utiliser une impédance variable à facteur de puissance
cos ϕ = Cte , puis se placer à Ie = Cte et ω = Cte . Selon le type de charge, trois comportements sont
observés
1. ϕ = 0
charge résistive
2. ϕ > 0
comportement inductif
3. ϕ < 0
comportement capacitif
La chute de tension dépend de cos ϕ et de la charge. Mais, le courant maximum est fonction de la machine,
Jcc est le même pour tous.
Pour caractériser la production électrique on utilise la puissance réactive S (en volt-ampère) et non
pas la puissance utile
Exemple : un alternateur peut fournir une puissance maximale de 1500 W sous 400 V à un récepteur
résistif. Quelle est la puissance disponible pour un circuit inductif de facteur de puissance 0.66 ?
La puissance apparente maximale est S = 1500 VA si cos ϕ = 1.
Donc la puissance disponible est Pdispo = S cos ϕ = 1500 ∗ 0.66 = 1000 W.
34
CHAPITRE 3. MACHINES SYNCHRONES
Chapitre 4
Machines asynchrones
Préambule
Les machines synchrones sont robustes et à haut rendement. Cependant, elles nécessitent un moteur
auxiliaire pour leur démarrage afin d’atteindre la vitesse de synchronisme. Nous allons voir dans ce chapitre
les machines asynchrones qui sont indépendantes.
4.1
Principe de fonctionnement
Nous nous intéressons ici à une architecture très simple ayant uniquement pour objectif de comprendre
la physique mise en jeu.
Le rotor est une bobine plate de n spires de surface S, voir Fig. 4.1. Du point de vue électrique le rotor
est équivalent à une résistance R et une inductance L montées en série. Le rotor, initialement au repos,
est placé dans un champ magnétique B tournant à la vitesse angulaire ωs . Un flux variable φ traverse la
bobine du rotor, créant (loi de Lenz) un courant induit.
Sous l’effet de ce courant, le rotor porte un moment magnétique m qui est soumis à un couple magnétique Γm à cause de la présence de B. Le rotor se met donc en mouvement et poursuit le champ B avec
une vitesse angulaire ω. A mesure que ω augmente, le flux φ diminue, donc le couple Γm aussi. Il s’établit
ainsi un régime permanent avec ω < ωs .
Nous allons maintenant mettre en équation ce raisonnement afin de mieux appréhender et quantifier
les phénomènes mis en jeu.
Notons θ (t) l’angle entre l’axe de la bobine du rotor et le champ tournant B :
θ (t) = (ωs − ω) t.
Nous pouvons dès lors calculer le flux d’induction traversant la bobine
¨
φ (t) =
B · dS = nBS cos [(ωs − ω) t] = Φm cos [(ωs − ω) t] ,
(4.1)
S
nous en déduisons la f.é.m e (t) aux bornes de la bobine
h
dφ
πi
= −Φm (ω − ωs ) sin [(ωs − ω) t] = −Φm (ω − ωs ) cos (ωs − ω) t −
,
dt
2
ce qui peut s’exprimer en notation complexe comme
e (t) = −
E = jΦm (ω − ωs ) ej(ωs −ω)t .
(4.2)
(4.3)
La grandeur physique e est retrouvée en calculant Im (E). D’autre part, du point de vue électrique, nous
avons dans la bobine du rotor
E = [R + jL (ωs − ω) t] I,
(4.4)
35
36
CHAPITRE 4. MACHINES ASYNCHRONES
i2
ωs
B(t)
S
θ (t)
i1
i3
Figure 4.1 – Schéma de principe d’un moteur asynchrone.
nous pouvons donc, grâce aux Eqs. (4.3) et (4.4), exprimer le courant traversant la bobine du rotor
I=
jΦm (ω − ωs ) ej(ωs −ω)t
.
R + jL (ωs − ω) t
Ce qui donne i = Im (I)
i (t) = Im cos [(ωs − ω) t + ϕ] ,
avec



 Im
=
√


 sin ϕ =
√
Φm |ωs −ω|
R2 +L2 (ωs −ω)2
(4.5)
ωs −ω
−R
R2 +L2 (ωs −ω)2 |ωs −ω|
C’est ce courant i (t) qui est à l’origine du moment magnétique m qui est porté par la bobine du rotor :
m = µ0 ni (t) S.
(4.6)
A partir de là, nous pouvons estimer le couple électromagnétique Γem qui s’exerce sur le rotor. Γem =
m × B, soit en norme Γem = mB sin θ (t), donc en utilisant l’expression de m donnée par l’Eq. (4.6) et
l’expression du courant de l’Eq. (4.5), nous obtenons
Γem = µ0 nSIm B cos [θ (t) + ϕ] sin θ (t) ,
qui peut se récrire
1
Γem = µ0 nSIm B {sin [2θ (t) + ϕ] − sin ϕ} .
2
(4.7)
Cette dernière expression est celle du couple instantané asynchrone. Nous sommes amenés à calculer le
couple moyen
1
hΓem i = − µ0 nSIm B sin ϕ,
(4.8)
2
37
4.2. TECHNOLOGIE DU MOTEUR ASYNCHRONE
µ φ2
Γmax= 0 m
4L
Γem
ωs
ω+
ω
ω−
frein
moteur
generatrice
Figure 4.2 – Couple moyen en fonction de la vitesse de rotation
et en se rappelant que le flux maximum introduit en Eq. (4.1) est donné par Φm = nBS, ainsi qu’en
utilisant l’expression de sin ϕ de l’Eq. (4.5) nous arrivons à
hΓem i =
µ0
R
ωs − ω
Φm Im q
.
2
|ω − ω|
R2 + L2 (ωs − ω)2 s
Il reste enfin à substituer Im par son expression de l’Eq. (4.5)
hΓem i =
µ0 2
R (ωs − ω)
Φm
.
2
2
R + L2 (ωs − ω)2
(4.9)
De là, il est possible de faire une analyse du couple moyen en fonction de la vitesse angulaire de rotation
ω. En calculant, dhΓdωem i , nous constatons que le couple a deux valeurs extremales pour ω± = ωs ± R
L . Le
tracé de la courbe hΓem i (ω) peut se diviser en trois parties, comme nous pouvons le constater en Fig. 4.2 :
1. le frein si ω < 0, avec hΓem i > 0 ;
2. le fonctionnement moteur pour 0 < ω < ωs , avec un couple maximum pour ω− et Γmax =
µ0 Φ2m
4L
;
3. le fonctionnement en génératrice pour ω > ωs et un minimum pour ω+ .
Remarque : notons que si ω = 0, alors hΓem i (ω = 0) =
asynchrone peut démarrer sans assistance.
4.2
4.2.1
µ0 Φ2m
Rωs
2 R2 +L2 ωs2
6= 0, ce qui signifie qu’une machine
Technologie du moteur asynchrone
Force de Laplace
Considérons une échelle dont les montants sont des fils conducteurs et les barreaux sont des lames
conductrices. Un opérateur fait passer à vitesse constante un champ magnétique B le long de l’échelle.
Ceci implique qu’un flux φ traverse l’espace entre les barreaux et induit des courants dans l’échelle.
Or, si un courant I (formé par des charges se déplaçant suivant un vecteur d`) est soumis à un champ
magnétique B, il s’exerce sur les charges se déplaçant la force de Laplace que nous avons déjà vue à l’Eq.
(1.11) et qui peut s’exprimer ici comme
dF = Id` × B.
(4.10)
Le champ B étant, à l’instant t2 , beaucoup plus intense sur le barreau central, nous avons qualitativement
un schéma sur lequel les forces f1 et f2 ont de normes plus petites que celles de F1 et F2 . En conséquence,
l’échelle se déplace vers la droite.
38
CHAPITRE 4. MACHINES ASYNCHRONES
4.2.2
Rotor/stator et induit/inducteur
Dans un moteur asynchrone, le rotor est l’induit et le stator l’inducteur. La force de Laplace sert à
créer le mouvement.
1. On crée un champ magnétique tournant.
2. On place un rotor au centre avec une géométrie appropriée (e.g. cage d’écureuil)
3. Les force de Laplace provoquent alors la rotation
4.2.3
Vitesse, vitesse de synchronisme et glissement
Au stator, les courants de pulsation ωc créent un champ magnétique tournant B (t) à la vitesse angulaire
ωs . La relation entre ωs et ωc implique le nombre de paires de pôles p :
ωs =
ωc
.
p
Par exemple, un moteur asynchrone connecté au réseau f = 50 Hz et constitué de 6 pôles (p = 3) a une
vitesse des synchronisme
f
ns = 60 = 1000 tr/min.
p
La vitesse du rotor ω d’un moteur asynchrone est plus faible que la vitesse de synchronisme ωs du
champ B (t). On a l’impression d’un glissement. Cette différence relative entre ω et ωs est caractérisée par
une grandeur notée g et appelée glissement (slip en anglais). g est défini comme
g=
ωs − ω
.
ωs
(4.11)
N.B.1 : pour un moteur 0 ≤ g < 1, le cas g = 0 correspond à un moteur tournant à vide
N.B.2 : la fréquence de la tension induite au rotor est donnée par ωr = 2πfr = ωs − ω0 .
Prenons un exemple :
Une machine à une paire de pôles est alimentée avec des tensions fs = 50 Hz au stator. La machine
tourne à 2000 tr/min. Quelles sont les fréquences possibles pour la tension au rotor ?
−1 et ω = 2πf = 314, 16 rad.s−1 . Nous avons
Effectuons les conversions : ω0 = 2000 2π
s
s
60 = 209, 44 rad.s
donc
−
ωr = 104, 7 rad.s−1 ⇒ fr− = 16, 7 Hz
ωr = ωs − ω0 = 314, 16 ± 209, 44 =
ωr+ = 523, 6 rad.s−1 ⇒ fr+ = 83, 3 Hz
4.2.4
Caractéristique mécanique
En analysant en détail la partie moteur de la courbe de la Fig. 4.2, nous constatons qu’il existe, au
voisinage de ωs , une zone de fonctionnement linéaire, où Γ = aω +b (qui peut être écrit Γ = αg). En réalité,
la courbe est un peu différente de celle obtenue par l’approche simpliste vue précédemment. En effet, après
le démarrage, le couple chute légèrement avant d’atteindre un maximum appelé point de décrochage. Puis,
pour des vitesses comprises entre la vitesse de décrochage et la vitesse de synchronisme, nous avons la
zone de fonctionnement qui correspond au régime linéaire, en bleu sur la Fig. 4.3.
Si le moteur est trop chargé, alors nous sortons du régime linéaire ; en deçà d’une certaine vitesse ωmin ,
le couple chute et le moteur cale. La vitesse angulaire ωmin est appelée vitesse de décrochage.
4.2.5
Schéma électrique simplifié d’une phase au stator
Le schéma électrique simplifié d’une phase au stator est donné ci-dessous
39
4.3. BILAN DE PUISSANCE
decrochage
2Γn demarrage
fonctionnement
nominal
Γn
ωs
ωmin ωn
ω
vide
Figure 4.3 – Couple d’un moteur asynchrone en fonction de la vitesse de rotation. La zone de fonctionnement (régime linéaire) est représentée en bleu.
Is
Ism
es
Isr
Xm
Rr ω s
ω s−ω
Rr est la résistance équivalente à une phase du rotor. La tension es au stator est appliquée, nous avons
alors un courant Is qui peut être divisé en deux
1. un courant Ism passant dans une bobine de réactance Xm qui est à l’origine du champ magnétique ;
2. un courant Isr , déphasé de π/2, passant à travers une résistance de façon à annuler le flux dû aux
courants du rotor.
On peut montrer que le couple du moteur est donné par
Γ=3
Pg
e2s 1 ωs − ω
=3 ,
ωs Rr ωs
ωs
s
où Pg = es Isr est la puissance de la résistance Rr ωsω−ω
.
4.3
Bilan de puissance
La puissance absorbée est
Pa =
les pertes Joule au stator
√
3U I cos ϕ,
3
PJS = RI 2 ,
2
où R est la résistance entre deux bornes (R = 2r pour un montage étoile, et R = 32 r pour un montage
triangle).
Les pertes Joule au rotor sont fonction de la puissance transmise par l’entrefer
Ptr = Pa − PJS − Pf ,
où Pf sont les pertes fer. Nous avons finalement
PJR = Ptr ∗ g.
La puissance électromagnétique transmise au rotor s’écrit
Pem = Ptr − PJR = (1 − g) Ptr ,
40
CHAPITRE 4. MACHINES ASYNCHRONES
mais nous avons également Pem = Γem ω, ce qui nous permet donc d’exprimer le couple en fonction de la
puissance transmise
Pem
Ptr
Γem =
.
=
ω
ωs
4.4
Freinage
Il existe deux possibilités pour obtenir un freinage
1. couper le courant et laisser faire les frottements ;
2. utiliser un courant.
La seconde solution implique d’inverser le sens du courant inducteur. La machine ne déploie alors plus de
couple mécanique, la puissance mécanique absorbée par le freinage doit donc être dissipée par effet Joule.
Il en résulte des pointes de courant et un échauffement important.
Une autre façon est de freiner est d’injecter un courant continu pour créer un champ magnétique
constant s’opposant au mouvement. Cette solution est moins efficace mais permet de réduire les pertes
Joule.
4.5
Génératrice
Deuxième partie
Exercices
41
Chapitre 5
TD Machines à courant continu (MCC)
Pour s’échauffer
— Dans un moteur à courant continu, où est l’inducteur, où est l’induit ?
— Je souhaite arrêter un moteur à courant continu branché selon un montage dit à excitation séparée,
comment dois-je m’y prendre ?
— Quel type de moteur est appelé “moteur universel” ?
— Du point de vue électrique, une machine à courant continu peut être vue comme un dipôle actif ou
passif ?
— Si une machine à courant continu de f.é.m E comporte une résistance interne équivalente R et est
soumise à une tension U , alors on peut avoir E = U − RI ou E = U + RI. Dire à quel type de
fonctionnement correspond chaque formule.
5.1
Moteur à courant continu servant de démarreur
Un moteur thermique ne peut pas démarrer seul, on utilise donc un réduteur de couple et un démarreur
électrique qui est un moteur à courant continu. Au niveau du démarreur, la contrainte mécanique pour
lancer le moteur thermique est d’obtenir une vitesse de rotation ω0 = 1500 tr/min et un couple utile
Γu = 8 N.m, de plus, on estime le couple des pertes collectives à Γp = 1.3 N.m. Sachant que la résistance
équivalente du circuit est R = 10 mΩ et qu’une batterie (idéale) de tension U = 12 V alimente le
démarreur, on cherche à déterminer le courant d’induit I. Pour cela, on procède en plusieurs étapes :
1. Sachant qu’un démarreur nécessite un couple fort au démarrage, quel type de montage doit-on
choisir ?
2. Quelle puissance utile Pu doit fournir le démarreur ?
3. En prenant en compte les pertes collectives, quelle doit être la puissance électromagnétique totale
Pem du démarreur ?
4. Exprimer Pem en fonction de la force électro-motrice E du démarreur et du courant d’induit I.
5. Quelle autre relation lie E à I ?
6. Résoudre le système des deux équations obtenues en 4 et 5 afin de déterminer I.
7. Estimer alors la chute de tension aux bornes de la batterie lorsque l’on “tire sur le démarreur”.
5.2
Génératrice à courant continu : la dynamo
Une génératrice à courant continu tourne à vide à la vitesse de ω = 2000 tr/min sous une tension
d’induit de 150 V. Cette génératrice est constituée d’aimants permanents inducteurs qui sont à l’origine
43
44
CHAPITRE 5. TD MACHINES À COURANT CONTINU (MCC)
d’un flux magnétique φ ; à l’induit, le bobinage est caractérisé par un coefficient géométrique lié au nombre
d’enroulements noté k.
1. Quelle est la valeur de la f.é.m induite E ?
2. Quelle relation lie E à la vitesse de rotation ?
3. La dynamo délivre maintenant 100 V, quelle est sa vitesse de rotation ?
5.3
Champ tournant
Une machine électrique à une paire de pôles fonctionne en triphasé ; la machine est constituée de trois
bobinages coplanaires séparés de 120° les uns des autres. La bobine 1 traversée par le courant i1 est à 0°
par rapport à l’axe (Ox), la bobine 2 traversée par le courant i2 est à 120°=2π/3, la bobine 3 traversée
par i3 est à 240° = 4π/3.
Les trois bobinages sont identiques et ont un nombre n de spires par unité de longueur. On effectue un
branchement des bobinages en étoile en ordre direct. Cependant, le montage est défectueux et la phase 3
est déconnectée (i3 = 0). Le courant à la phase 1 est donné par i1 (t) = I0 cos (ωt).
1. Le neutre est connecté.
(a) Quelle est l’expression de i2 (t) ?
(b) Mettre le champ magnétique résultant sous la forme B (t) = Bα (t) + jBβ (t)
ωt
(c) Remplir le tableau suivant Bα
Bβ
0
π/3
2π/3
π
4π/3
5π/3
(d) Quelle est la trajectoire du champ ainsi créé ? La tracer.
2. Le neutre n’est pas connecté. Mêmes questions.
5.4
Intensité du champ magnétique et f.é.m induite
Une bobine plate d’axe (Ox) est constituée de N = 5000 spires et a une section S = 200 cm2 dans le
plan (yOz). Cette bobine est soumise à un champ magnétique B (t) dont l’amplitude est B = 10.4 mT,
le champ tourne avec la vitesse angulaire ω = 3000 tr/min dans le plan (xOy) et à l’instant t = 0, on a
B (0) = Bex .
1. Donner l’expression de B (t) dans la base (ex , ey ).
2. Calculer le flux φ du champ magnétique à travers la bobine.
3. En déduire une expression de la f.é.m induite e (t).
4. Quelle est la valeur efficace E de cette f.é.m ?
5. Suite à un accident, la bobine est tordue et sa section a diminué de 10 cm2 , quelle doit être la
nouvelle vitesse de rotation du champ pour conserver la même f.é.m ?
Chapitre 6
TD de la MCC à la machine synchrone
6.1
Rendement d’une génératrice à courant continu
Une machine à courant continu à aimants permanents est utilisée comme génératrice, entraînée par un
ensemble mécanique à la vitesse Nn = 3000 tr/min. La tension nominale de la génératrice est Un = 220 V,
la puissance nominale est Pn = 20 kW et le rendement est η = 0.8.
1. Faire un schéma électrique équivalent de la génératice et de sa charge.
2. Calculer la valeur du courant nominal fourni.
3. En négligeant les pertes mécaniques (i.e. on ne considère que les pertes Joule), calculer R la résistance de l’induit.
4. En déduire la f.é.m. En dans ce cas.
5. On fait fonctionner la génératrice à demi-charge, donc à P1/2 = Pn /2, la vitesse du rotor augmente
alors et on relève N1/2 = 3100 tr/min. Quelle est la nouvelle f.é.m. E1/2 ?
6. En déduire la valeur de la nouvelle tension d’induit U1/2 et du courant fourni I1/2 .
7. Quel est le rendement à mi-charge η1/2 (toujours en négligeant les pertes mécaniques) ? Commenter
le résultat obtenu en comparant à η.
8. En réalité les pertes mécaniques peuvent être prises en compte grâce à la formule
Pméca = 0.36N + 2.69 × 10−4 N 2 ,
où N est la vitesse de rotation en tr/min.
(a) Au régime nominal, en tenant compte de ces pertes, calculer de nouveau R.
(b) En déduire la nouvelle valeur de En .
(c) Dans le cas d’une demi-charge, calculer de nouveau E1/2 , U1/2 et I1/2 .
(d) Estimer de nouveau le rendement à mi-charge η1/2 . Commenter.
6.2
Champ tournant
On considère la structure de stator représentée ci-dessous
45
46
CHAPITRE 6. TD DE LA MCC À LA MACHINE SYNCHRONE
θ
ia
A
O
ib
C
B
ic
Les trois bobinages portent les noms A, B, C et on s’intéresse à la valeur de l’induction produite au
centre O lorsqu’ils sont parcourus par les courants
√

 ia = I √2 cos (ωt)
ib = I √2 cos ωt − 2π
3

ic = I 2 cos ωt + 2π
3
Le matériau magnétique est supposé linéaire. On écrit l’induction magnétique Ba (θ) produite en O par le
bobinage A dans la direction d’axe θ de façon simplifiée
Ba (θ) = kia cos θ.
1. En calquant sur l’expression de Ba (θ) , écrire les inductions magnétiques au point O par les bobinages B et C : Bb (θ) et Bc (θ).
2. En déduire une expression du champ total B (θ, t) en remplaçant les courants par leurs expressions
et en simplifiant. Interpréter.
3. Refaire le même calcul en inversant les courants des phases B et C. Interpéter.
4. Quelle est la valeur de rotation du champ pour des courants à 50 Hz ?
5. On dispose maintenant au centre du stator un rotor aimanté m présentant deux pôles (Nord et Sud)
et tournant à la vitesse Ω. On appelle ψ l’angle entre m et l’axe d’angle θ d’induction maximale
B (θ) du stator.
(a) Quelle est l’expression du couple magnétique ? Quelle condition sur Ω permet d’obtenir une
valeur moyenne non-nulle du couple ?
(b) Quelle valeur de ψ donne un couple maximum ? Que se passe-t-il si ψ dépasse cette valeur ?
6.3
Alternateur synchrone
On considère un alternateur triphasé, à excitation constante, entraîné par une turbine. Cet alternateur
tourne sans charge (à vide) à la vitesse N = 1500 tr/min et délivre alors un système de tensions triphasées
de tension simple V0 = 230 V et de fréquence f0 = 50 Hz. La résistance d’un bobinage au stator est connue
R = 1Ω.
1. Calculer le nombre de pôles de l’alternateur.
6.3. ALTERNATEUR SYNCHRONE
47
2. On connecte sur cet alternateur une charge équilibrée résistive consommant une puissance P =
2 kW. La tension aux bornes des charges chute alors à V = 220 V. Quelle est la valeur du courant
de ligne sur chaque phase ?
3. Calculer la valeur de la puissance fournie par la turbine et le rendement de l’alternateur.
4. Pour cette puissance, on a le couple moteur Γm = 13.3 N.m. Quelle est la vitesse de rotation du
moteur ?
5. En déduire la fréquence des tensions et courants produits. Interpréter le résultat.
6. Représenter le schéma monophasé équivalent à l’alternateur sur charge résistive Rch , on appellera
Ls l’inductance synchrone de l’alternateur (réactance Xs = Ls ω), R la résistance du stator n’est
pas négligée, on précisera la convention courant-tension choisie pour V et J.
7. Représenter le diagramme de Fresnel associé au schéma électrique.
8. En déduire Ls .
48
CHAPITRE 6. TD DE LA MCC À LA MACHINE SYNCHRONE
Chapitre 7
TD Machines Synchrones
7.1
Alternateur synchrone
Un alternateur synchrone est placé sur un banc de test. L’induit est câblé en étoile ; on l’entraîne au
moyen d’un moteur électrique régulé de sorte que la vitesse de rotation est constante à ns =1500 tr/min.
L’alternateur, de résistance synchrone rs = 2 Ω et d’excitation nominale ie = 2 A fournit une tension de
50 Hz.
Trois essais sont réalisés :
— un premier essai à vide permet de mesurer une tension entre deux bornes de 420 V lorsque le
courant d’excitation nominal est injecté, le couple des pertes collectives est alors de Γc = 0.5 Nm
et la tension de l’inducteur de ue = 40 V ;
— un second essai réalisé en court-circuit permet d’établir que le courant de phase varie comme
Jcc = 2ie ;
— un troisième essai réalisé en débitant sur une charge totalement résistive permet de mesure une
tension de ligne de U = 400 V et un courant d’induit de J = 1.25 A.
1. On veut calculer le rendement en charge de l’alternateur
(a) Déterminer la puissance utile Pu pour une charge totalement résistive
(b) L’alternateur est câblé en étoile que vaut R ? en déduire les pertes Joule PJS .
(c) Calculer Pc les pertes collectives.
(d) Calculer Pe , la puissance d’excitation injectée à l’inducteur.
(e) En déduire le rendement η =
Pu −PJS −Pc
Pu +Pe
2. La charge augmente et la tension chute à U = 345 V.
(a) On calcule le courant de ligne et le rendement de l’alternateur :
i. L’excitation n’ayant pas changé, quelle est la f.é.m. E ?
ii. Calculer V la chute de la tension de ligne.
iii. Tracer le diagramme de Behn-Eschenburg de l’alternateur.
iv. En déduire la valeur de XS J.
v. Déterminer XS à partir des essais à vide et en court-circuit.
vi. En déduire J le courant de ligne.
vii. Que deviennent alors la puissance utile et les pertes Joule ?
viii. Calculer η.
49
50
CHAPITRE 7. TD MACHINES SYNCHRONES
7.2
Moteur synchrone à facteur de puissance réglable
Des essais sur banc ont permis de mesurer la réactance d’une machine synchrone à Xs = 15 Ω et
d’établir la relation
E = 50ie
entre la valeur efficace de la f.é.m. E donnée en volts et le courant d’excitation ie en ampères.
La machine fonctionne en moteur synchrone étoile alimenté par un réseau triphasé U = 400 V et
f = 50 Hz et reçoit une puissance d’excitation mécanique utile de Pu = 3.5 kW avec un rendement
η = 93%. La machine est alors dite « sur-excitée ».
Déterminer le courant d’excitation ie :
1. Pour que les courants dans l’induit aient une valeur efficace minimale
(a) La puissance d’excitation est estimée Pe = 100 W, en négligent les pertes Joule, en déduire la
puissance absorbée Pa .
(b) Pour que le courant dans l’induit soit minimal quelle doit être la valeur de cos ϕ ?
(c) Déduire la valeur du courant de ligne des deux questions précédentes.
(d) Construire le digramme de Behn-Eschenburg et calculer E. Que vaut alors ie ?
2. Pour que la machine synchrone fournisse au réseau une puissance réactive Q = 2000 VAR.
(a) Donner une relation entre Q, Pa et puissance apparente S. En déduire S.
(b) A partir de S, calculer le courant consommé, cos ϕ et sin ϕ.
(c) Tracer le diagramme de Behn-Eschenburg. Calculer E. En déduire ie .
Chapitre 8
TD Machines asynchrone
8.1
Moteur asynchrone
Un moteur asynchrone a une vitesse de synchronisme de ns = 1500 tr/min et déploie une puissance
nominale de Pn = 1500 W lorsqu’il tourne à la vitesse nn = 1430 tr/min. La vitesse de décrochage est
estimée à 90% de la vitesse synchrone et le couple des pertes collectives vaut Γc = 1 N.m
1. Calculer Γn le couple nominal du moteur, calculer gn le glissement nominal du moteur.
2. Sachant que le couple électromagnétique est donné, dans la zone de fonctionnement, par Γem = kg
(où k est une constante) et que le couple électromagnétique est lié au couple utile par la formule
Γem = Γu + Γc ,
(a) montrer que le couple utile est fonction de la vitesse de rotation n, donner la formule.
(b) le moteur peut-il déployer un couple de 25 N.m ? Justifier la réponse.
(c) Quel est le couple utile maximum ?
8.2
Signalétique d’un moteur
Un moteur fonctionnant sur le réseau triphasé 50 Hz porte la signalétique suivante
Tensions
230/400 V
Puissance
1,35 kW
Vitesse
2820 min−1
Facteur de puissance
cos ϕ = 0, 75
Rendement
0,82
1. A quel régime correspondent ces valeurs ?
2. Déterminer la vitesse de synchronisme et le nombre de paires de pôles du moteur.
3. Quel est le couple utile dans le régime considéré ?
4. Quelle puissance est consommée par le moteur ?
5. Quel courant est consommé par le moteur lorsqu’il est couplé en étoile (IY ) et lorsqu’il est couplé
en triangle (I∆ ) ?
51
52
CHAPITRE 8. TD MACHINES ASYNCHRONE
Annexe A
Appendices mathématiques
A.1
Produits scalaires et vectoriels
Soient deux vecteurs A et B pointant dans deux directions différentes, soit ϕ l’angle les séparant. Dans
le repère cartésien (O, x, y, z), on note les composantes de ces vecteurs :




xa
xb
A =  ya  ; B =  yb 
za
zb
1. Le produit scalaire de ces vecteurs est noté A · B, c’est un nombre dont la valeur est donnée par :
A · B = xa xb + ya yb + za zb
ou bien par :
A · B = AB cos ϕ
q
p
avec A et B les normes des deux vecteurs : A = x2a + ya2 + za2 et B = x2b + yb2 + zb2 .
2. Le produit vectoriel est un vecteur, il est défini comme :

 
 

xa
xb
ya zb − yb z a
P = A × B =  ya  ×  yb  =  xb za − xa zb 
za
zb
xa yb − xb ya
Il est important de noter que le produit vectoriel ne commute pas : A × B = −B × A. Nous
pouvons aussi noter que A ⊥ P et B ⊥ P . D’autre part, la norme du vecteur résultant, ici noté
P , est égale à :
P = AB sin ϕ
3. Le double produit vectoriel (c’est un vecteur) peut être réexprimé avec des produits scalaires et des
vecteurs :
A × (B × C) = (A · C) B − (A · B) C
(A.1)
A.2
A.2.1
Approximation d’une fonction - Développement limité
Approximation d’une fonction
En un point donné, une fonction dérivable peut, pour simplifier les calculs, être remplacée par un
polynôme de degré n. Plus n est grand, plus l’approximation est précise. Parfois, il suffit d’effectuer le
développement au degré n = 1 (premier ordre), parfois, il faut aller plus loin.
53
54
ANNEXE A. APPENDICES MATHÉMATIQUES
Premier ordre
On dit qu’on a effectué un développement limité (DL) au premier ordre au voisinage de a si
f (x) = a0 + a1 (x − a) + o(x − a) ; x voisin de a.
(A.2)
1. si x → a : lim f (x) = a0 ,
x→a
2. et si f est définie en a, avec f (a) = a0 ,
alors,
f (x) − f (a)
= a1 ⇒ f 0 (a) = a1
x−a
(A.3)
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + o(x − a)
(A.4)
lim
x→a
On peut donc écrire :
Différentiabilité
La fonction f définie au voisinage du point a est différentiable au point a, s’il existe un nombre α tel
que :
f (a + h) − f (a) = αh + o(h)
ceci est équivalent à l’existence d’un DL au premier ordre en a, avec f 0 (a) = α.
Pour les fonctions d’une variable différentiabilité et dérivabilité sont équivalentes. On note df la différentielle de f et on a
df = f 0 dx
Polynôme de degré n
Si une fonction f , définie au voisinage de a, admet en a une dérivée n-ième :
f (x) = f (a) +
(x − a) 0
(x − a)2 00
(x − a)n (n)
f (a) +
f (a) + ... +
f (a) + o ((x − a)n )
1!
2!
n!
c’est la formule de Taylor-Young.
Exemples : pour x voisin de 0,
3
5
• sin x = x − x3! + x5! + o(x5 )
3
• tan x = x + x3! à l’ordre 3
2
• ln(1 + x) = x − x2 + o(x2 )
A.2.2
Formule de Taylor-Young : exemples
Au troisième ordre en a, on a pour une fonction f de classe C3 :
f (x) = f (a) + (x − a)f 0 (a) +
(x − a)2 00
(x − a)3 000
f (a) +
f (a) + o[(x − a)3 ]
2
6
Nous donnons ici 3 exemples de fonctions réelles, au point a = 0 :
1. f (x) = sin x :
donc f 0 (x) = cos x, f 00 (x) = − sin x, f 000 (x) = − sin x
⇒ f (0) = 0, f 0 (0) = 1, f 00 (0) = 0, f 000 (0) = −1
En remplaçant dans la formule de Taylor, on obtient
sin x ∼ x −
x3
+ o(x3 )
6
(A.5)
55
A.3. FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES
2. f (x) = ln(1 + x) :
1
1
donc f 0 (x) = 1+x
, f 00 (x) = − 1+x
,
0
00
⇒ f (0) = 0, f (0) = 1, f (0) = −1
En remplaçant dans la formule de Taylor, on obtient
ln(1 + x) ∼ x −
x2
+ o(x2 )
2
3. f (x) = tan x :
donc f 0 (x) = cos12 x , f 00 (x) = ..., f 000 (x) = ...
⇒ f (0) = 0, f 0 (0) = 1, f 00 (0) = 0, f 000 (0) = 2
En remplaçant dans la formule de Taylor, on obtient
tan x ∼ x +
A.2.3
x3
+ o(x3 )
2
Liste de développement limités de base
En x = 0, on a les DL suivants :
ex = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ... +
xn
n!
+ o(xn )
sinh x = x +
x3
3!
+
x5
5!
+ ... +
x2n+1
(2n+1)!
cosh x = 1 +
x2
2!
+
x4
4!
+ ... +
x2n
2n!
sin x = x −
x3
3!
+
x5
5!
x
− ... + (−1)n (2n+1)!
+ o(x2n+2 )
cos x = 1 −
x2
2!
+
x4
4!
(1 + x)α = 1 + αx +
+ o(x2n+2 )
+ o(x2n+1 )
2n+1
− ... +
α(α−1) 2
x
2!
ln(1 + x) = x −
x2
2
+
x3
3
tan x = x +
x3
2
+
2x5
15
2n
(−1)n x2n!
+ ... +
+
(A.6)
o(x2n+1 )
α(α−1)...(α−n+1)
n!
+ o(xn )
n
− ... + (−1)n−1 xn + o(xn )
+ o(x6 )
Notons ici que nous retrouvons que cosh et sinh sont, respectivement, les parties paire et impaire de
l’exponentielle.
Notons également que le DL de ln (1 + x) peut être vu comme une primitive de (1 + x)−1 ; et que celui
de tan x peut être obtenu par division de sin x avec cos x. Cette liste de DL doit donc être considérée
comme une liste de briques élémentaires à partir de laquelle on peut construire d’autres DL
A.3
Fonction de plusieurs variables
Nous avons, jusqu’ici considéré uniquement des fonctions à une variable (par ex : y = f (x)) ; il va
sans dire que nous pouvons également considérer des fonctions à plusieurs variables. Par exemple, si nous
prenons une carte géographique en relief, l’altitude z, d’un point M donné, de coordonnées dans le plan
(x, y), peut éventuellement être modélisée par une fonction mathématique compliquée z = f (x, y) ; z est
donc une fonction de deux variables x et y. Dans ce qui suit nous nous limiterons aux fonctions à deux ou
trois variables, mais ceci est généralisable aux fonctions à N variables.
56
ANNEXE A. APPENDICES MATHÉMATIQUES
A.3.1
Continuité partielle - Dérivée partielle
Soit une fonction de trois variables f (x, y, z) et M0 = (x0 , y0 , z0 ) un point fixe donné. Alors
x 7→ f (x, y0 , z0 )
est une fonction d’une variable (ici x) appelée première application partielle associée à f au point M0 . De
la même façon,
y 7→ f (x0 , y, z0 )
z 7→ f (x0 , y0 , z)
sont respectivement les deuxième et troisième applications partielles associées à f au point M0 .
Si la première application partielle de f est dérivable au point x0 , sa dérivée se note :
∂f
(x0 , y0 , z0 )
∂x
”dérivée partielle par rapport à x”
de la même façon, nous aurons :
∂f
∂y
(x0 , y0 , z0 )
”dérivée partielle par rapport à y”
∂f
∂z
(x0 , y0 , z0 )
”dérivée partielle par rapport à z”
Prenons un exemple :
soit une fonction de deux variables f (x, y) = x3 cos y − y 2 , nous calculons ses dérivées partielles
A.3.2
∂f
∂x =
3x2 cos y
∂f
∂y =
−x3 sin y − 2y
Différentiabilité
On dit que f est différentiable au point M0 s’il existe trois nombres a, b, et c tels que :
f (x0 + h, y0 + k, z0 + l) = f (x0 , y0 , z0 ) + ah + bk + cl + k(h, k, l)k · (h, k, l)
avec
lim
k(h,k,l)k→0
(h, k, l) = 0. On note df la différentielle et, par analogie avec le cas à une seule variable,
on a :
df =
A.4
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Opérateur ∇ (“Nabla”)
Nous introduisons ici un vecteur un peu particulier noté ∇ (nabla), on peut combiner ce vecteur de
diverses manières :
avec un nombre :
∇T
(gradient)
avec un autre vecteur
produit scalaire
∇·E
(divergence)
produit vectoriel
∇×E
(rotationnel)
57
A.4. OPÉRATEUR ∇ (“NABLA”)
Le vecteur nabla est en réalité un opérateur : ses composantes ne sont pas des nombres, mais des actions
à effectuer sur les fonctions qui les suivent ; on a :
 ∂ 
∂x


∇=


∂
∂y





∂
∂z
A.4.1
Gradient
Si T (x, y, z) est un champ de scalaires, la quantité “gradient de T” est un vecteur donné par

∂
∂x


∂T
∂x



∇T = 


∂
∂y




T = 




∂T
∂y

 ∂T
∂T
∂T
=
ux +
uy +
uz

∂x
∂y
∂z

∂
∂z
∂T
∂z
En un point donné, cette quantité donne la direction de la plus grande pente de T .
Exemple : T (x, y) = x2 + y 2 ; calculons le gradient, nous obtenons ∇T = 2xux + 2yuy
A.4.2
Divergence
Si E(x, y, z) est un champ de vecteurs, la quantité “divergence de E” est un scalaire donné par

∂
∂x


∇·E=


∂
∂y
∂
∂z
 
Ex

 

 

 ·  Ey  = ∂Ex + ∂Ey + ∂EZ
 

∂x
∂y
∂z
 

Ez
Exemple : E(x, y) = x2 y ux + y sin x uy , la divergence donne
∇ · E = 2xy + sin x
A.4.3
Rotationnel
Si E(x, y, z) est un champ de vecteurs, la quantité “rotationne de E” est un vecteur donné par

  ∂Ez
 ∂  
∂Ey
−
E
x
∂y
∂z
∂x

 
 



  ∂E
 ∂  
∂Ez 
x
 ×  Ey  = 
∇×E=
−
  ∂z
 ∂y  
∂x 

 
 


∂Ey
∂
∂Ex
E
z
−
∂z
∂x
∂y
A.4.4
Expression de ∇ dans d’autres bases
L’opérateur ∇ peut être exprimé dans différentes bases
1. On rappelle, en coordonnées cartésiennes (x, y, z) :
∇ = ex
∂
∂
∂
+ ey
+ ez .
∂x
∂y
∂z
58
ANNEXE A. APPENDICES MATHÉMATIQUES
2. En coordonnées cylindriques (r, θ, z) :
∇ = er
∂
1 ∂
∂
+ eθ
+ ez .
∂r
r ∂θ
∂z
3. En coordonnées sphériques (r, θ, ϕ) :
∇ = er
∂
1 ∂
1
∂
+ eθ
+ eϕ
.
∂r
r ∂θ
r sin ϕ ∂ϕ
Annexe B
Réponses aux exercices
Réponses pour le chapitre 5
Exercice 5.1
1) montage série. 2) Pu ≈ 1256 W. 3) Pem ≈ 1461 W. 4) P = EI. 5) U = E + RI. 6) I ≈ 137 A,
E ≈ 10, 6 V. 7) ∆U ≈ 1.37V.
Exercice 5.2
1) E = 150 V. 2) E = kφω. 3) ω 0 = 1333tr/min.
Exercice 5.3
1) i2 (t) = Im cos (ωt − 2π/3). La trajectoire forme une ellipse parcourue dans le sens direct. 2) i2 = −i1 .
La trajectoire est une droite
Exercice 5.4
1) B = B (cos ωt ex + sin ωt ey ). 2) Voir cours. 3) e (t) = em sin ωt, avec em ≈ 326 V. 4) E ≈ 230 V.
5) ω 0 ≈ 3158tr/min
Réponses pour le chapitre 6
Exercice 6.1
2) In ≈ 91 A. 3) R ≈ 0.48Ω. 4) E ≈ 264 V. 5) E1/2 ≈ 273 V. 6) U1/2 ≈ 254 V, I1/2 ≈ 39 A. 7)
η1/2 ≈ 0.925 > ηn . 8)a) R ≈ 0.06Ω. b) E ≈ 225 V. c) U1/2 ≈ 230 V, I1/2 ≈ 43 A. d) η1/2 ≈ 0.62 < ηn .
Exercice 6.2
2) B (θ, t) =
√
3kI 2
2
cos (ωt − θ). 3) B (θ, t) =
√
3kI 2
2
cos (ωt + θ). 4) θ̇ = 3000tr/min. 5) Ω = ω, ψ = π/2
Exercice 6.3
1) √
4 pôles. 2) J ≈ 3 A. 3) Pturbine ≈ 2027 W, η ≈ 0.99. 4) Nm ≈ 1456tr/min. 5) fc ≈ 48.5 Hz. 8)
Ls =
E 2 −(V +RJ)2
ωJ
59
60
ANNEXE B. RÉPONSES AUX EXERCICES
Réponses pour le chapitre 7
Exercice 7.1
1. a) Pu ≈ 866 W. b) PJS ≈ 9.4 W. c) Pc ≈ 78 W. e) η ≈ 82%.
2. E ≈ 242.5V, V ≈ 199V, Xs J ≈ 138V, Xs ≈ 60Ω, J ≈ 2.3A, Pu ≈ 1362W, PJS ≈ 31W.
Exercice 7.2
1. a) Pa ≈ 3663W. b) cos ϕ = 1. c) I ≈ 5.3A. d) E ≈ 244V, ie ≈ 4.9A
2. a) S ≈ 4.2 kVA. b) I ≈ 6.02A, cos ϕ ≈ 0.877. c) E ≈ 285V, ie ≈ 5.7A
Réponses pour le chapitre 8
Exercice 8.1
1. Γn ≈ 10 N.m, g ≈ 0.0467.
2. a) Γu ≈ −0.143n + 213.64. b) non car ω (Γ = 25) < ωd . c) Γmax
≈ 20.59 N.m
u
Exercice 8.2
1) au régime nominal. 2) ns = 3000tr/min, p = 1. 3) Γu ≈ 4.57 N.m. 4) Pc ≈ 1646 W. 5) IY ≈ 3.17 A,
I∆ ≈ 5.51 A.
Index
Behn-Eschenburg, 28
charge mécanique, 13
couple, 11
couple électromagnétique, 27
Faraday (loi de), 13
force électromotrice, 11
force de Laplace, 14, 37
glissement, 38
loi de Lenz-Faraday, 15
machine à courant continu, 11
moment d’inertie, 13
nombre de paires de pôles, 28
principe fondamental de la dynamique, 12
rotor, 15
stator, 15
Théorème d’Ampère, 22
Théorème de Ferraris, 24
Théorème de Leblanc, 23
vitesse de synchronisme, 27, 38
61