algebre td 1

Université Moulay Ismaïl – Faculté des Sciences Juridiques, Économiques et sociales de Meknès
Filière Sciences Economiques et Gestion - Algèbre– Semestre II–Année 2019/20
TD N°1
EXERCICE 1 Parmi les ensembles suivants, lesquels sont, ou ne sont pas, des sous-espaces vectoriels?
1. 𝐸= {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐼𝑅/ 𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0}
2. 𝐸= {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐼𝑅/ 𝑥𝑦 = 0}
3. 𝐸= {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐼𝑅/ 𝑦 = 𝑥²}
EXERCICE 2 Soit 𝐻 l’ensemble défini par :𝐻 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐼𝑅/ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0}
1. Montrer que 𝐻 est espace vectoriel surIR.
2. Démontrer que la famille des vecteurs 𝑢=(1,0, −1)𝑒𝑡 𝑢= (0,1, −1) est génératrice de 𝐻.
3. En déduire la dimension de l’espace vectoriel 𝐻.
EXERCICE 3Parmi les familles des vecteurs de IR3 suivantes, lesquelles sont libres ?liées?
1. 𝑢=(1,1, −1), 𝑢=(2,1,3) 𝑒𝑡 𝑢= (0,1, −5)
2. 𝑢=(1,0,1), 𝑢=(0,2,2) 𝑒𝑡 𝑢= (3,7,4)
3. 𝑢=(1,0,0), 𝑢=(0,1,1) 𝑒𝑡 𝑢= (1,1,1)
EXERCICE 4On considère dans IR3 la famille suivante:u=(2,1,1), u=(1,3,1)et u= (−2,1,3)
1. Démontrer que cette famille est une base de IR3.
2. Déterminer les coordonnées du vecteur t = (1,1,1) dans cette base.
EXERCICE 5Etudier la linéarité des applications suivantes :
1. 𝑓(𝑥, 𝑦)= (2𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦)
2. ℎ(𝑥, 𝑦, 𝑧)=(𝑦 − 4, 𝑥 + 𝑧, 𝑥 + 𝑦 + 1)
EXERCICE 6On note 𝐵 = {e, e, e}la base canonique deIR3et 𝑓 l'endomorphisme de IR3 défini par la
donnée des images des vecteurs de la base :
𝑓(𝑒)= −2𝑒+ 2𝑒, 𝑓(𝑒)= 3𝑒 𝑒𝑡 𝑓(𝑒)= −4𝑒+ 4𝑒
1. Soitu = x e+ y e+ z e. Calculer 𝑓(𝑢).
2. Déterminer une base de 𝐾𝑒𝑟(𝑓). 𝑓 est-il injectif? peut-il être surjectif? Pourquoi?
3. Déterminer une base de 𝐼𝑚(𝑓). Quel est le rang de 𝑓 ?
EXERCICE 7Soit f l’application linéaire de IR2 dans IR3définie par : 𝑓(x, y) = (2x + y, x − y, x − y).
Ker(f) = { (0, 0) } f est injective
Ker(f) = Vect{ (1, 1) } f est surjective
rang(f) = 3 f est bijective