1ère ES TD n°1 Suites arithmético-géometriques

TD n°1 - Première ES
Suites
Les exercices suivants sont intégralement corrigés en fin de TD.
Exercice 1. (c)
Les suites (un)et (wn)sont définies pour tout entier npar :
(un):(u0=1900
un+1=1,02 ×un−25 ¯¯¯¯¯
(wn):(w0
wn=un−1250
1. Calculer les trois premiers termes des deux suites.
2. Démontrer que la suite (wn)est géométrique.
3. Soit nun nombre entier naturel, exprimer (wn)en fonction de n.
4. Démontrer que pour tout entier non a : un=650 ×(1,02)n+1250 .
Exercice 2. (c)
Les suites (an)et (bn)sont définies pour tout entier npar :
(an):(a0=20
an+1=0,8 ×an+3¯¯¯¯¯
(bn):(b0
bn=an−15
1. Calculer les trois premiers termes des deux suites.
2. Démontrer que la suite (bn)est géométrique.
3. Soit nun nombre entier naturel, exprimer (bn)en fonction de n.
4. Démontrer que pour tout entier non a : an=5×(0,8)n+15 .
Exercice 3. (c)
Les suites (cn)et (dn)sont définies pour tout entier npar :
(cn):(c0=5
cn+1=1,1 ×cn+4¯¯¯¯¯
(dn):(d0
dn= −cn−40
1. Calculer les trois premiers termes des deux suites.
2. Démontrer que la suite (dn)est géométrique.
3. Soit nun nombre entier naturel, exprimer (dn)en fonction de n.
4. Démontrer que pour tout entier non a : cn=45 ×(1,1)n−40 .

TD n°1 - Première ES - Suites
Exercice 4. (c)
Les suites (sn)et (tn)sont définies pour tout entier npar :
(sn):(s0=100
sn+1=0,9 ×sn+50 ¯¯¯¯¯
(tn):(t0
tn= −sn+500
1. Calculer les trois premiers termes des deux suites.
2. Démontrer que la suite (tn)est géométrique.
3. Soit nun nombre entier naturel, exprimer (tn)en fonction de n.
4. Démontrer que pour tout entier non a : sn= −400 ×(0,9)n+500 .
Exercice 5. Expression générale d’une suite arithmético-géométrique (c)
1. Les suites (un)et (wn)sont définies pour tout entier npar :
(un):(u1=10
un+1=2×un−1¯¯¯¯¯
(wn):(w1
wn=un−1
1. a. Montrer que la suite (wn)est géométrique puis que :
∀n≥1 ; un=9×(2)n−1+1
1. b. En déduire que pour tout entier n≥1, on a
un=4,5 ×2n+1
Il est souvent demandé d’exprimer le terme général de la suite sous la forme un=a×qn+b. On utilise
pour cela les propriétés de la fonction puissance. Pour net pentiers (et qnon nul) on a
qn−p=qn×q−p=qn
qp
Remarque Point Bac
2. Les suites (an)et (bn)sont définies pour tout entier npar :
(an):(a0= − 5
an+1=0,8 ×an+2¯¯¯¯¯
(bn):(b0
bn= −an+10
Montrer que la suite (bn)est géométrique puis que :
∀n∈N;an= −15 ×(0,8)n+10
3. Les suites (cn)et (dn)sont définies pour tout entier npar :
(cn):(c2=10000
cn+1=0,5 ×cn−300 ¯¯¯¯¯
(dn):(d2
dn=cn+600
Montrer que la suite (dn)est géométrique puis que pour tout entier n≥2 on a :
cn=42 400 ×0,5n−600
www.math93.com / M. Duffaud 2/9

TD n°1 - Première ES - Suites
Correction des exercices
Correction de l’exercice 1
Les suites (un)et (wn)sont définies pour tout entier npar :
(un):(u0=1900
un+1=1,02 ×un−25 ¯¯¯¯¯
(wn):(w0
wn=un−1250
1. Calculer les trois premiers termes des deux suites.
u0=1900 ; u1=1913 ; u2=1926,26 et w0=650 ; w1=663 ; w2=676,26
2. Démontrer que la suite west géométrique.
Pour tout entier non a :
wn+1=un+1−1250
wn+1=(1,02 un−25)−1250
wn+1=1,02 ×un−1275
wn+1=1,02 ×µun+
−1275
1,02 ¶
wn+1=1,02 ×(un−1250)
wn+1=1,02 ×wn
La suite (wn)est donc une suite géométrique de raison q=1,02, et de premier terme w0=650 puisque :
w0=u0−1250
w0=1900 −1250
w0=650
Soit :
(wn):(w0=650
wn+1=1,02 ×wn
;∀n∈N
3. Soit nun nombre entier naturel, exprimer wnen fonction de n.
La suite (wn)est géométrique de raison q=1,02, et de premier terme w0=650 donc son terme général est
∀n∈N;wn=w0סq¢n
Soit
∀n∈N;wn=650 ×(1,02)n
4. Démontrer que pour tout entier non a : un=650 ×(1,02)n+1250 .
De l’égalité définie pour tout entier n:
wn=un−1250
On peut en déduire l’expression :
un=wn+1250
Soit :
∀n∈N;un=650 ×(1,02)n+1250
www.math93.com / M. Duffaud 3/9

TD n°1 - Première ES - Suites
Correction de l’exercice 2
Les suites (an)et (bn)sont définies pour tout entier npar :
(an):(a0=20
an+1=0,8 ×an+3¯¯¯¯¯
(bn):(b0
bn=an−15
1. Calculer les trois premiers termes des deux suites.
a0=20 ; a1=19 ; a2=18,2 et b0=5 ; b1=4 ; b2=3,2
2. Démontrer que la suite best géométrique.
Pour tout entier non a :
bn+1=an+1−15
bn+1=(0,8 an+3)−15
bn+1=0,8 ×an−12
bn+1=0,8 ×µan+
−12
0,8 ¶
bn+1=0,8 ×(an−15)
bn+1=0,8 ×bn
La suite (bn)est donc une suite géométrique de raison q=0,8, et de premier terme b0=5 puisque :
b0=a0−15
b0=20 −15
b0=5
Soit :
(bn):(b0=5
bn+1=0,8 ×bn
;∀n∈N
3. Soit nun nombre entier naturel, exprimer bnen fonction de n.
La suite (bn)est géométrique de raison q=0,8, et de premier terme b0=5 donc son terme général est
∀n∈N;bn=b0סq¢n
Soit
∀n∈N;bn=5×(0,8)n
4. Démontrer que pour tout entier non a : an=5×(0,8)n+15 .
De l’égalité définie pour tout entier n:
bn=an−15
On peut en déduire l’expression :
an=bn+15
Soit :
∀n∈N;an=5×(0,8)n+15
www.math93.com / M. Duffaud 4/9

TD n°1 - Première ES - Suites
Correction de l’exercice 3
Les suites (cn)et (dn)sont définies pour tout entier npar :
(cn):(c0=5
cn+1=1,1 ×cn+4¯¯¯¯¯
(dn):(d0
dn= −cn−40
1. Calculer les trois premiers termes des deux suites.
c0=5 ; c1=9,5 ; c2=14,45 et d0= −45 ; d1= −49,5 ; d2= −54,45
2. Démontrer que la suite dest géométrique.
Pour tout entier non a :
dn+1= −cn+1−40
dn+1= − (1,1 cn+4)−40
dn+1= −1,1 ×cn−44
dn+1=1,1 ×µ−cn+
−44
1,1 ¶
dn+1=1,1 ×(−cn−40)
dn+1=1,1 ×dn
La suite (dn)est donc une suite géométrique de raison q=1,1, et de premier terme d0= −45 puisque :
d0= −c0−40
d0= −5−40
d0= −45
Soit :
(dn):(d0= −45
dn+1=1,1 ×dn
;∀n∈N
3. Soit nun nombre entier naturel, exprimer dnen fonction de n.
La suite (dn)est géométrique de raison q=1,1, et de premier terme d0= −45 donc son terme général est
∀n∈N;dn=d0סq¢n
Soit
∀n∈N;dn= −45 ×(1,1)n
4. Démontrer que pour tout entier non a : cn=45 ×(1,1)n−40 .
De l’égalité définie pour tout entier n:
dn= −cn−40
On peut en déduire l’expression :
cn= −dn−40
Soit :
∀n∈N;cn=45 ×(1,1)n−40
www.math93.com / M. Duffaud 5/9