Chapitre Suites numériques L1 ECOG

Chapitre : Suites numériques
I- Généralités sur les suites
1) Définition et vocabulaire
Définition
• Une suite numérique est une fonction définie sur ℕ ou une partie de ℕ, qui à un entier naturel 𝒏
associe un nombre réel, noté 𝒖(𝒏) ou 𝒖𝒏 .
• 𝒖𝒏 est appelé terme général ou terme de rang 𝒏 de la suite.
• La suite est notée (𝒖𝒏 )𝒏∈ℕ ou pour simplifier (𝒖𝒏 ).
• 𝒖𝒏 et 𝒖𝒏+𝟏 sont deux termes consécutifs de la suite.
• Pour désigner les entiers, on peut utiliser une autre lettre que n. Par exemple, s’il s’agit de
l’évolution d’une variable économique au cours du temps, on utilise souvent la lettre t. On parle
alors de la suite (𝒖𝒕 )𝒕∈ℕ.
• Bien entendu, pour désigner la suite elle-même, on peut utiliser une autre lettre que u. Si on étudie
l’évolution de la consommation dans le temps, on parlera de la suite (𝒄𝒕 )𝒕∈ℕ, où 𝒄𝒕 est la
consommation de l’année t.
Exemples
•
Soit la suite définie par un = 2n – 10. Les termes de la suite (un) sont tels que u0 = – 10 ; u1 = – 8 ; u2 = – 6 ; … ; u10 =
10 ; … ; u20 = 30 ; … ; u10 est le terme de rang 10, mais c’est le 11e terme de la suite, car le premier terme est uo.
•
La suite (𝑣𝑛 ) définie par 𝑣𝑛 = √𝑛 − 3 n’est définie que pour 𝑛 ≥ 3. On la note (𝑣𝑛 )𝑛≥3.
•
Suite de Fibonacci : u0 = 1, u1 = 2, u2 = 3, u3 = 5, u4 = 8, u5 = 13……
2) Suite définie par une formule explicite : un = f(n)
Une suite numérique est une fonction comme les autres. Seul l’ensemble de définition est particulier.
Une suite est définie par une formule explicite lorsque le terme général un est défini en fonction de n. La
suite est alors définie sous une forme fonctionnelle. On peut alors calculer directement tout terme un.
Par tradition, f, g et h sont abandonnées pour u, v et w.
La représentation graphique d’une suite sera une succession de points isolés. Les questions de continuité et
de dérivabilité ne se posent pas.
Seules les questions de sens de variation et de limites quand n tend vers l’infini ont un sens.
Exemple 1
Soit (un) la suite définie sur ℕ par un = n2 – 5n + 2.
Exemple 2
Soit (vn) la suite définie par vn = f(n) avec f(x) = √x − 2.
On a un = f(n) avec f(x) = x² − 5x + 2 définie sur [0 ; + ∞[.
Ainsi : u0 = 2 ; u1 = – 2 ; u2 = – 6
(vn) est définie pour n ≥ 2, et on a :
v2 = 0, v3 =1, v4 =√2
f est appelée la fonction associée à la suite (un).
1
3) Suite définie par récurrence
Une suite est définie par récurrence quand elle est définie par la donnée du premier terme et une relation
permettant de calculer un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents. Dans ce cas, pour calculer u n,
il faut avoir calculé tous les termes qui le précédent.
Exemple 1
Soit (un) la suite définie sur ℕ par u0 = 3 et un+1 = 4un – 6.
Exemple 2
Soit (vn) la suite définie sur ℕ par v0 = 1 et vn+1 =
On a un+1 = f(un) avec f(x) = 4x – 6.
v1 = v
v0
0 +1
1
= 2 , v2 = v
v1
1 +1
1
= 3 , v3 = v
v2
2 +1
vn
.
vn +1
1
= 4…….
u1 = 4u0 – 6 = 6, u2 = 4u1 – 6 = 18, u3 = 4u2 – 6 = 66……
II- Suite arithmétique
1) Définition
Définition
Une suite (un) est dite arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que, pour tout nombre entier
naturel n, un+1 = un + r.
r est appelé la raison de la suite.
u0 = 3
.
un+1 = un + 5
Exemple : Considérons une suite numérique (un) définie par : 
(un) est une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3 : u1 = 8, u2 = 13, u3 = 1…….
2) Terme générale d’une suite arithmétique
Propriété
Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r est : un = u0 + nr.
Remarques
• Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1 + (n − 1)r
2
•
Plus généralement, quels que soient les entiers naturels n et p, on a : un = up + (n − p)r
Applications
1) Soit (Un) la suite arithmétique définie par U0 = 2 et r = – 3. Calculer U20.
2) Soit (Vn) la suite arithmétique définie sur ℕ* par r = 5 et V9 = 75. Calculer le premier terme V1.
3) Soit (Wn) la suite arithmétique telle que W5 = 7 et W9 = 19. Calculer la raison r et le premier terme W0.
3) Somme de termes consécutifs
Exemple d’introduction :
Calculer la somme S = 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 999.
Propriété
Remarque
n(n + 1)
Il s'agit de la somme des
n premiers
termes
d'unensuite
Pour
tout entier
naturel
non arithmétique
nul, on a : 1 de
+ 2raison
+ 3 + 1…et+ de
n =premier terme
. 1.
2
Remarque
De façon générale, on peut démontrer que la somme S de termes consécutifs d’une suite arithmétique est telle que :
S=
𝐍𝐨𝐦𝐛𝐫𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐞𝐬×(𝟏𝐞𝐫 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐞+𝐝𝐞𝐫𝐧𝐢𝐞𝐫 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐞)
𝟐
Application
1) Calculer S = 1 + 2 + 3 + …. + 348.
2) Calculer S’ = 33 + 36 + 39 + ….267
S2 = 33 + 36 + 39 + ... + 267
(
)
= 3  ((1 + 2 + ... + 89 )− (1 + 2 + ... + 10 ))
= 3  11 + 12 + ... + 89
S1 = 1+ 2 + 3 + ... + 348
348  349
2
= 60726
=
 89  90 10  11
= 3 
−
2 
 2
= 12180
III- Suite géométrique
1) Définition
Définition
Une suite (un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout nombre entier
naturel n, un+1 = qUn.
q est appelé la raison de la suite.
3
u0 = 5
.
un+1 = 2un
Exemple : Considérons une suite numérique (un) définie par : 
(un) est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5 : u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40…..
Application
Les suites suivantes sont-elles géométriques ?
1) un = 42n-1 définie sur ℕ
2) vn = n2 + 3 définie sur ℕ
2) Terme générale d’une suite géométrique
Propriété
Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est : un = u0 × qn.
Remarques
• Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1 × qn-1.
• Plus généralement, quels que soient les entiers naturels n et p, on a : un = up × qn-p.
Applications
1
1) Soit (Un) la suite géométrique telle que U0 = 12 et q = 2. Calculer U8.
1
2) Soit (Vn) la suite géométrique telle que V1 = 8 et V3 = 2. Calculer la raison q.
3) Somme de termes consécutifs
Exemple d’introduction :
Calculer la somme S = 1 + 2 + 22 + 23 + ….. + 217.
Propriété
Pour tout réel q  1 et pour tout entier naturel n non nul : 𝟏 + 𝒒 + 𝒒𝟐 + ⋯ + 𝒒𝒏 =
𝟏−𝒒𝒏+𝟏
𝟏−𝒒
.
Remarque
Il s'agit de la somme des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique de raison q et de premier terme 1.
Remarque
De façon générale, on peut démontrer que la somme S de termes consécutifs d’une suite géométrique est telle que :
S = Premier terme ×
𝟏−𝐪𝐍𝐨𝐦𝐛𝐫𝐞 𝐝𝐞 𝐭𝐞𝐫𝐦𝐞𝐬
4
𝟏−𝐪
Application
1) Calculer la somme S suivante : S = 1 + 3 + 32 + 33 + …… + 313.
2) Calculer la somme S’ suivante : S’ = 4 + 8 + 16 + 32 + …. + 32768
IV - Sens de variation d’une suite
1) Représentation graphique d’une suite
Définition
Soit (un) une suite numériques définie sur ℕ. Dans un repère, on représente cette suite par un nuage de
points de coordonnées (n ; un).
Exemple :
n2
− 3.
Pour tout n de ℕ, on donne : un =
2
On construit le tableau de valeurs avec les premiers termes de la suite :
n
Un
0
-3
1
-2,5
2
-1
3
1,5
4
5
5
9,5
2) Sens de variation
Définition
On dit qu’une suite (Un) définie sur ℕ est :
• croissante sur ℕ ssi pour tout n ∈ ℕ, Un+1 ≥ Un .
• décroissante sur ℕ ssi pour tout n ∈ ℕ, Un+1 ≤ Un.
• constante sur ℕ ssi pour tout n ∈ ℕ, Un+1 = Un.
5
6
15
7
21,5
8
29
Remarque
• On dit que (Un) est monotone si elle est croissante ou décroissante sur ℕ.
•
Pour certaines suites, l’inégalité un+1 ≥ un n’est vraie que pour n ≥ p ; on dit que (un) est croissante à partir du
rang p.
Exemples
1) un = n² croissante sur ℕ
2) un =
1
décroissante sur ℕ*
n
3) un = (-1)n ni croissante ni décroissante.
Méthode 1
Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on étudie le signe de U n+1 – Un :
•
•
Si Un+1 – Un ≥ 0, la suite est croissante.
Si Un+1 – Un ≤ 0, la suite est décroissante.
Exemple 1
𝑛+3
(Un) est la suite définie par Un = 2𝑛+1pour tout n ∈ ℕ.
Un+1 – Un =
𝑛+1+3
−
𝑛+3
2(𝑛+1)+1
2𝑛+1
2𝑛2 +𝑛+8𝑛+4−2𝑛2 −3𝑛−6𝑛−9
(2𝑛+3)(2𝑛+1)
=
𝑛+4
2𝑛+3
=
−
𝑛+3
2𝑛+1
−5
=
(𝑛+4)(2𝑛+1)−(𝑛+3)(2𝑛+3)
(2𝑛+3)(2𝑛+1)
=
(2𝑛+3)(2𝑛+1)
n ∈ ℕ, donc 2n + 3 > 0 et 2n + 1 > 0 alors Un + 1 − Un < 0
Méthode 2
Propriété
•
Si pour tout n ∈ ℕ, Un > 0 et
•
Si pour tout n ∈ ℕ, Un > 0 et
𝑼𝒏+𝟏
𝑼𝒏
𝑼𝒏+𝟏
𝑼𝒏
≥ 1, alors (Un) est croissante.
≤ 1, alors (Un) est décroissante.
Exemple 2
(Un) est la suite définie sur ℕ par Un=
𝑛
𝑈𝑛+1
𝑛+1
𝑈𝑛
=
𝑛+1
𝑛+2
𝑛
𝑛+1
=
𝑛+1
𝑛+2
∗
𝑛+1
𝑛
=
𝑛2 +2𝑛+1
𝑛2 +2𝑛
Méthode 3
Propriété
Soit f une fonction définie sur [0 ; + ∞[ et (Un) une suite définie sur ℕ par Un = f(n).
•
•
Si f est croissante sur [0 ; + ∞[, alors (Un) est croissante.
Si f est décroissante sur [0 ; + ∞[, alors (Un) est décroissante.
6
> 1.
Exemple 3
1
(Un) est la suite définie sur ℕ par Un = 𝑛+1 .
𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥+1
1
𝑓 ′ (𝑥) = (𝑥+1)².
f est croissante sur [0 ; + ∞[, alors (Un) est croissante.
Applications
Déterminer le sens de variation des suites suivantes :
1) un = 3 –
2
𝑛
pour n ∈ ℕ*
2) un =
2𝑛
7𝑛+1
pour n ∈ ℕ
3) un =
2𝑛−5
𝑛+2
pour n ∈ ℕ
3) Variation d’une suite arithmétique
Propriété
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
• Si r > 0, alors (un) est croissante.
• Si r < 0, alors (un) est décroissante.
• Si r = 0, alors (un) est constante.
Exemple :
La suite arithmétique (un) définie par
un = 5 − 4n est décroissante car la raison, égale à - 4, est négative.
4) Variation d’une suite géométrique
Propriété
Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0  0.
•
Si q > 1 :
➢ Si u0 > 0, alors la suite est strictement croissante ;
➢ Si u0 < 0, alors la suite est strictement décroissante.
•
Si 0 < q < 1 :
➢ Si u0 > 0, alors la suite est strictement décroissante ;
➢ Si u0 < 0, alors la suite est strictement croissante.
•
Si q = 0 ou q = 1, alors la suite est constante.
•
Si q < 0, alors la suite n’est pas monotone.
Exemple :
La suite géométrique (un) définie par un = −4  2 est décroissante car le premier terme est négatif et la raison est
supérieure à 1.
n
7
V - Notion de limite d’une suite
1) Suite convergente
Exemple :
Pour tout n de ℕ- 0 , on considère la suite (un) définie par : un =
2n + 1
.
n
On construit le tableau de valeurs avec des termes de la suite :
n
Un
1
3
2
2,5
3
2,333
4
2,25
5
2,2
10
2,1
15
2,067
50
2,02
500
2,002
Plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent se rapprocher de 2.
On dit que la suite (un) converge vers 2 et on note : lim un = 2 .
n→+
2) Suite divergente
Exemple 1
2
Pour tout n de ℕ, on considère la suite (un) définie par : un = n +1 .
Calculons quelques termes de cette suite : u0 = 02 + 1 = 1,
u1 = 12 + 1 = 2,
u2 = 22 + 1 = 5,
u10 = 102 + 1 = 101,
u100 = 1002 + 1 = 10001
Plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent devenir grand.
On dit que la suite (un) diverge vers
+
et on note : lim un = + .
n→+
Exemple 2
Pour tout n de ℕ, on considère la suite (vn) définie par : vn+1 = ( −1) vn et v0 = 2
n
Calculons les premiers termes de cette suite :
v1 = ( −1) v0 = 2
0
v2 = ( −1) v1 = -2
1
v3 = ( −1) v2 = -2
2
v4 = ( −1) v3 = 2
3
v5 = ( −1) v4 = 2
4
Lorsque n devient grand, les termes de la suite ne semblent pas se rapprocher vers une valeur unique.
On dit également que la suite (un) diverge.
8
VI - Suite définie à l’aide d’une relation de récurrence
1) Principe du raisonnement par récurrence
Propriété
Pour montrer qu’une propriété Pn dépendant de n ∈ ℕ est vraie pour tout entier naturel n ≥ n0, on procède
en trois étapes :
•
Étape 1 : Initialisation
On montre que la propriété est vraie au rang n0 (𝑷𝒏𝟎 est vraie)
•
Étape 2 : Hérédité
On suppose que Pn est vraie pour un rang n ≥ n0 (hypothèse de récurrence) et on montre que la
propriété Pn+1 est vraie
•
Conclusion
La propriété Pn étant vraie au rang n0 et héréditaire à partir de n0, elle est vraie pour tout entier n ≥ n0.
2) Exemples
Exemple 1
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un+1 = un + 2n + 3 et u0 = 1 . Démontrer par
récurrence que : un = ( n + 1) .
2
Exemple 2
On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par u1 = 0 et un+1 =
1
2− un
.
1) Calculer u2, u3 et u4, puis conjecturer l’expression de un en fonction de n.
2) Démontrer par récurrence votre conjecture.
Exemple 3
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 4n + 5 est un multiple de 3.
9
VII- Comportement global d’une suite
1) Représentation graphique d’une suite récurrente
2) Sens de variation d’une suite
Définition
Soit (un) une suite de nombres réels. On dit que :
•
La suite (un) est croissante à partir du rang p lorsque, pour tout entier n ≥ p, un ≤ un+1.
•
La suite (un) est décroissante à partir du rang p lorsque, pour tout entier n≥ p, un ≥ un+1.
•
La suite (un) est constante à partir du rang p lorsque, pour tout entier n≥ p, un = un+1.
•
La suite est monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante.
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3) Suite majorée, minorée, bornée
Définition
Soit (un) une suite de nombres réels. On dit que :
•
La suite (un) est majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout entier n, un ≤ M.
•
La suite (un) est minorée s’il existe un réel m tel que, pour tout entier n, un ≤ m.
•
La suite (un) est bornée si elle est à la fois minorée et majorée.
Remarques
• Toute suite croissante est minorée par son 1er terme.
•
Toute suite décroissante est majorée par son 1er terme.
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