Chapitre Suites numériques L1 ECOG

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Chapitre : Suites numériques
I- Généralités sur les suites
1) Définition et vocabulaire
Exemples
• Soit la suite définie par un = 2n – 10. Les termes de la suite (un) sont tels que u0 = – 10 ; u1 = – 8 ; u2 = – 6 ; … ; u10 =
10 ; … ; u20 = 30 ; … ; u10 est le terme de rang 10, mais c’est le 11e terme de la suite, car le premier terme est uo.
• La suite  définie par    n’est définie que pour  ≥ 3. On la note .
• Suite de Fibonacci : u0 = 1, u1 = 2, u2 = 3, u3 = 5, u4 = 8, u5 = 13……
2) Suite définie par une formule explicite : un = f(n)
Une suite numérique est une fonction comme les autres. Seul l’ensemble de définition est particulier.
Une suite est définie par une formule explicite lorsque le terme général un est défini en fonction de n. La
suite est alors définie sous une forme fonctionnelle. On peut alors calculer directement tout terme un.
Par tradition, f, g et h sont abandonnées pour u, v et w.
La représentation graphique d’une suite sera une succession de points isolés. Les questions de continuité et
de dérivabilité ne se posent pas.
Seules les questions de sens de variation et de limites quand n tend vers l’infini ont un sens.
Exemple 1
Soit (un) la suite définie sur  par un = n2 – 5n + 2.
On a un = f(n) avec f(x) = x² − 5x + 2 définie sur [0 ; + [.
Ainsi : u0 = 2 ; u1 = – 2 ; u2 = – 6
f est appelée la fonction associée à la suite (un).
Exemple 2
Soit (vn) la suite définie par vn = f(n) avec f(x) =   .
(vn) est définie pour n  2, et on a :
v2 = 0, v3 =1, v4 =
Définition
• Une suite numérique est une fonction définie sur  ou une partie de , qui à un entier naturel 
associe un nombre réel, noté  ou .
•  est appelé terme général ou terme de rang  de la suite.
• La suite est notée  ou pour simplifier .
•  et  sont deux termes consécutifs de la suite.
• Pour désigner les entiers, on peut utiliser une autre lettre que n. Par exemple, s’il s’agit de
l’évolution d’une variable économique au cours du temps, on utilise souvent la lettre t. On parle
alors de la suite .
• Bien entendu, pour désigner la suite elle-même, on peut utiliser une autre lettre que u. Si on étudie
l’évolution de la consommation dans le temps, on parlera de la suite , où  est la
consommation de l’année t.

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3) Suite définie par récurrence
Une suite est définie par récurrence quand elle est définie par la donnée du premier terme et une relation
permettant de calculer un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents. Dans ce cas, pour calculer un,
il faut avoir calculé tous les termes qui le précédent.
Exemple 1
Soit (un) la suite définie sur  par u0 = 3 et un+1 = 4un – 6.
On a un+1 = f(un) avec f(x) = 4x – 6.
u1 = 4u0 – 6 = 6, u2 = 4u1 – 6 = 18, u3 = 4u2 – 6 = 66……
Exemple 2
Soit (vn) la suite définie sur  par v0 = 1 et vn+1 = 
.
v1 = 
 =   , v2 =   =   , v3 =   =  …….
II- Suite arithmétique
1) Définition
Exemple : Considérons une suite numérique (un) définie par :
u0=3
un+1=un+5
.
(un) est une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3 : u1 = 8, u2 = 13, u3 = 1…….
2) Terme générale d’une suite arithmétique
Remarques
• Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1 + (n − 1)r
Définition
Une suite (un) est dite arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que, pour tout nombre entier
naturel n, un+1 = un + r.
r est appelé la raison de la suite.
Propriété
Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r est : un = u0 + nr.

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• Plus généralement, quels que soient les entiers naturels n et p, on a : un = up + (n − p)r
Applications
1) Soit (Un) la suite arithmétique définie par U0 = 2 et r = – 3. Calculer U20.
2) Soit (Vn) la suite arithmétique définie sur * par r = 5 et V9 = 75. Calculer le premier terme V1.
3) Soit (Wn) la suite arithmétique telle que W5 = 7 et W9 = 19. Calculer la raison r et le premier terme W0.
3) Somme de termes consécutifs
Exemple d’introduction : Calculer la somme S = 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 999.
Remarque
Il s'agit de la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme 1.
Remarque
De façon générale, on peut démontrer que la somme S de termes consécutifs d’une suite arithmétique est telle que :
S = 
Application
1) Calculer S = 1 + 2 + 3 + …. + 348.
2) Calculer S’ = 33 + 36 + 39 + ….267
III- Suite géométrique
1) Définition
Propriété
Pour tout entier naturel n non nul, on a : 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)
2 .
S1=1+2+3+...+348
=348349
2
=60726
S2=33+36 +39 +...+267
=311+12 +...+89
( )
=31+2+...+89
( )−1+2+...+10 ( )
( )
=389 90
2−10 11 2
=12180
Définition
Une suite (un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel q tel que, pour tout nombre entier
naturel n, un+1 = qUn.
q est appelé la raison de la suite.

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Exemple : Considérons une suite numérique (un) définie par :
u0=5
un+1=2un
.
(un) est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5 : u1 = 10, u2 = 20, u3 = 40…..
Application
Les suites suivantes sont-elles géométriques ? 1) un = 42n-1 définie sur 
2) vn = n2 + 3 définie sur 
2) Terme générale d’une suite géométrique
Remarques
• Si le premier terme de la suite est u1, on a : un = u1  qn-1.
• Plus généralement, quels que soient les entiers naturels n et p, on a : un = up  qn-p.
Applications
1) Soit (Un) la suite géométrique telle que U0 = 12 et q = 
. Calculer U8.
2) Soit (Vn) la suite géométrique telle que V1 = 
 et V3 = 2. Calculer la raison q.
3) Somme de termes consécutifs
Exemple d’introduction : Calculer la somme S = 1 + 2 + 22 + 23 + ….. + 217.
Remarque
Il s'agit de la somme des n + 1 premiers termes d'une suite géométrique de raison q et de premier terme 1.
Remarque
De façon générale, on peut démontrer que la somme S de termes consécutifs d’une suite géométrique est telle que :
S = Premier terme  
Propriété
Le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q est : un = u0  qn.
Propriété
Pour tout réel q  1 et pour tout entier naturel n non nul :         = 
 .

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Application
1) Calculer la somme S suivante : S = 1 + 3 + 32 + 33 + …… + 313.
2) Calculer la somme S’ suivante : S’ = 4 + 8 + 16 + 32 + …. + 32768
IV - Sens de variation d’une suite
1) Représentation graphique d’une suite
Exemple :
Pour tout n de , on donne :
un=n2
2−3
.
On construit le tableau de valeurs avec les premiers termes de la suite :
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Un
-3
-2,5
-1
1,5
5
9,5
15
21,5
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2) Sens de variation
Définition
Soit (un) une suite numériques définie sur . Dans un repère, on représente cette suite par un nuage de
points de coordonnées (n ; un).
Définition
On dit qu’une suite (Un) définie sur  est :
• croissante sur  ssi pour tout n  , Un+1  Un .
• décroissante sur  ssi pour tout n  , Un+1  Un.
• constante sur  ssi pour tout n  , Un+1 = Un.