formulaire MMC MecaFlu

MMC - Ing. Mécatronique
Tourki .Z 2010
ANNEXE -2-
Formulaire
Equations de Navier-Stokes
En coordonnées Cartésiennes, Cylindriques et Sphériques
Principales Notations :
: ( , , )
: sec
:
v vecteur composantes u v w
tenseur symétrique du ond ordre
s fonction scalaire
τ
r

MMC - Ing. Mécatronique
Tourki .Z 2010
•
u v w
divv
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
r
•
w v
y z
u w
Rotv
z x
v u
x y
∂ ∂
−
∂ ∂
∂ ∂
= −
∂ ∂
∂ ∂
−
∂ ∂
uuurr
( )
uuu
x y z
vvv
grad v
x y z
www
x y z
∂∂∂
∂ ∂ ∂
∂∂∂
=
∂ ∂ ∂
∂∂∂
∂ ∂ ∂
r
•
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
uuu
u
x y z
v v v
v v
x y z
w w w
w
x y z
∂∂∂
+ + = ∆
∂ ∂ ∂
∂∂∂
∆ = + + = ∆
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ + = ∆
∂ ∂ ∂
r
.
u u u
u v w
x y z
v v v
grad v v u v w
x y z
w w w
u v w
x y z
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
r r
•
s
x
s
grad s
y
s
z
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
uuuuur
2 2 2
2 2 2
s s s
s
x y z
∂ ∂ ∂
∆ = + +
∂ ∂ ∂
COORDONNEES CARTESIENNES : (x,y,z)
y
x
z M(x,y,z,t)

MMC - Ing. Mécatronique
Tourki .Z 2010
•
xy
xx xz
xy yy yz
yz
xz
zz
x y z
div
x y z
x y z
τ
τ τ
τ τ τ
τ
τ
τ
τ
∂
∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
∂
∂∂
+ +
∂ ∂ ∂
• tenseur des vitesses de déformation :
(
)
1
2
t
D grad v grad v
= +
r r
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
u u v w u
x y x x z
u v v v w
D
y x x z y
w u v w w
x z z y x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
•
Equations de Navier-Stockes (en incompressible)
Continuité :
0
u v w
divv x y z
∂ ∂ ∂
= + + =
∂ ∂ ∂
r
222
2 2 2
2 2 2
2 2 2
222
2 2 2
1
1
1
x
y
z
u u u u p u u u
u v w g
t x y z x x y z
v v v v p v v v
u v w g
t x y z y x y z
w w w w p w w w
u v w g
t x y z z
x y z
ν
ρ
ν
ρ
ν
ρ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = − + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = − + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = − + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Energie :
2 2
2 2 2 2
2
v
T T T T k
C u v w T
t x y z
u v u w w v u v w
C
y x z x y z x x x
ρ
ν ν
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + − ∆ =
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

MMC - Ing. Mécatronique
Tourki .Z 2010
( , , )
r z
v v v v
θ
r
•
( )
1 1
z
r
v
v
divv rv
r r r z
θ
θ
∂
∂
∂
= + +
∂ ∂ ∂
r
•
( )
1
1 1
z
r z
r
v
v
r z
v v
Rotv z r
v
rv
r r r
θ
θ
θ
θ
∂
∂
−
∂ ∂
∂ ∂
= −
∂ ∂
∂
∂
−
∂ ∂
uuurr
1
1
( )
1
r r r
r
z z z
v
v v v
r r r z
v v v
v
grad v
r r r z
v v v
r r z
θ
θ θ θ
θ
θ
θ
∂ ∂ ∂
−
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
r
•
( )
( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
1 1 2
1 1 2
1 1
r r
r r
r
z z z z
v
v v
rv v
r r r r r z
v v
v
v rv v
r r r r r z
v v v
r v
r r r r z
θ
θ θ
θ θ
θ
θ
θ
θ
θ
∂
∂ ∂
∂ ∂
+ − + = ∆
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∆ = + + + = ∆
∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂∂  
+ + = ∆
∂ ∂ ∂ ∂
r
r r
r
•
2
.
r r r
r z
r
r z
z z r
r z
v v
v v v
v v
r r r z
v v v v v v
grad v v v v
r r r z
v
v v v
v v
r r z
θ θ
θ θ θ θ θ
θ
θ
θ
θ
∂ ∂ ∂
+ − +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
+ +
∂∂∂
r r
COORDONNEES CYLINDRIQUES : (r,θ
θθ
θ,z)
r
z
θ
θθ
θ
y
x
z
M(r,θ,z,t)

MMC - Ing. Mécatronique
Tourki .Z 2010
•
1
s
r
s
grad s r
s
z
θ
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
uuuuur
2 2
2 2 2
1 1
s s s
s r
r r r
r z
θ
∂ ∂ ∂ ∂
∆ = + +
∂ ∂
∂ ∂
•
( )
( )
, ,
1 1
1 2
1 1
r z
r
rz
rr
r z
r
e e e
zzz
rz
r
r r r r z
div r r r z
r
r r r z
θ
θ θθ
θθ θ θ
θ
θ
τ τ
τ
τθ
τ τ τ
τ τ
θττ
τθ
∂
∂
∂
+ − +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂
∂∂∂
+ +
∂ ∂ ∂
r r r
uuur
• tenseur des vitesses de déformation :
(
)
1
2
t
D grad v grad v
= +
r r
1 1 1
2 2
1 1 1 1 1
2 2
1 1 1
2 2
r r z r
r r z
z r z z
v
v v v v
r
r r r r r z
v v v
v v v
D r r r r r r z r
v
v v v v
r z z r z
θ
θ θ θ
θ
θ
θ θ θ
θ
∂ ∂ ∂ ∂∂
+ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
= + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
•
Equations de Navier-Stockes (en incompressible)
Continuité :
( )
1 1
0
z
r
vv
divv rv
r r r z
θ
θ
∂
∂
∂
= + + =
∂ ∂ ∂
r
2(*)
1
1
1
r r r r
r z r r
r
r z
z z z r
r z z z
v v
v v v v p
v v g v
t r r r z r
v v v v v v v p
v v g v
t r r r z r
v
v v v v p
v v g v
t r r z z
θ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ
θ
ν
θ ρ
ν
θ ρ θ
ν
θ ρ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + − + = − + ∆
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + = − + ∆
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + = − + ∆
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
r
r
r
Energie :
2 2 2 2 2 2
4 2
v r z r z zr rr zz
v
T T T T k
C v v T d d d d d d C
t r r z
θθ θ θθ
ν ν
θ ρ
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + − ∆ = + + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂
(*)
, ,
r z
v v v
θ
∆ ∆ ∆
r r r
sont définis page précédente et
ij
d
sont les composantes de
D