MMC - Ing. Mécatronique ANNEXE -2- Formulaire Equations de Navier-Stokes En coordonnées Cartésiennes, Cylindriques et Sphériques Principales Notations : r v : vecteur (composantes u , v, w) τ : tenseur symétrique du sec ond ordre s : fonction scalaire Tourki .Z 2010 MMC - Ing. Mécatronique COORDONNEES CARTESIENNES : (x,y,z) z M(x,y,z,t) y x • r ∂u ∂v ∂w div v = + + ∂x ∂y ∂z • ∂w ∂v ∂y − ∂z uuur r ∂u ∂w Rotv = − ∂z ∂x ∂v ∂u ∂x − ∂y ∂u ∂x r ∂v grad (v ) = ∂x ∂w ∂x • ∂ 2u ∂ 2 u ∂ 2 u 2 + 2 + 2 = ∆u ∂y ∂z ∂x r ∂ 2 v ∂ 2v ∂ 2v ∆v = 2 + 2 + 2 = ∆v ∂y ∂z ∂x ∂2w ∂2w ∂2w 2 + 2 + 2 = ∆w ∂y ∂z ∂x ∂u ∂u ∂u u ∂x + v ∂y + w ∂z r r ∂v ∂v ∂v grad v .v = u + v + w ∂y ∂z ∂x ∂w ∂w ∂w +v +w u ∂y ∂z ∂x • ∂s ∂x uuuuur ∂s grad s = ∂y ∂s ∂z ∂2s ∂2s ∂2s ∆s = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z Tourki .Z ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z 2010 MMC - Ing. Mécatronique • ∂τ xx ∂τ xy ∂τ xz + + ∂y ∂z ∂x ∂τ xy ∂τ yy ∂τ yz div τ = + + ∂y ∂z ∂x ∂τ ∂τ yz ∂τ zz xz + + ∂y ∂z ∂x • tenseur des vitesses de déformation : D = ∂u ∂x 1 ∂u ∂v D= + 2 ∂y ∂x 1 ∂w + ∂u 2 ∂x ∂z • ( 1 r t r grad v + grad v 2 1 ∂u ∂v + 2 ∂y ∂x ∂v ∂x 1 ∂v ∂w + 2 ∂z ∂y ) 1 ∂w ∂u + 2 ∂x ∂z 1 ∂v ∂w + 2 ∂z ∂y ∂w ∂x Equations de Navier-Stockes (en incompressible) r ∂u ∂v ∂w div v = + + =0 ∂x ∂y ∂z Continuité : ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ∂u 1 ∂p +v +w = gx − +ν 2 + 2 + 2 +u ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ∂y ∂z ∂t ∂x ∂ 2v ∂ 2 v ∂ 2 v ∂v ∂v ∂v 1 ∂p ∂v +ν 2 + 2 + 2 + u + v + w = gy − ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ∂y ∂z ∂x ∂t 2 2 2 ∂w + u ∂w + v ∂w + w ∂w = g − 1 ∂p + ν ∂ w + ∂ w + ∂ w z 2 ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z ∂y 2 ∂z 2 ∂x Energie : ∂T ∂T ∂T ∂T Cv +u +v +w ∂x ∂y ∂z ∂t k − ∆T = ρ ∂u ∂v 2 ∂u ∂w 2 ∂w ∂v 2 ∂u 2 ∂v 2 ∂w 2 ν + + + + + + 2ν + + +C ∂y ∂x ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂x Tourki .Z 2010 MMC - Ing. Mécatronique COORDONNEES CYLINDRIQUES : (r,θ,z) z r M(r,θ,z,t) z y r v (vr , vθ , vz ) x θ • 1 ∂v ∂v r 1 ∂ div v = ( rvr ) + θ + z r ∂r r ∂θ ∂z • 1 ∂vz ∂vθ r ∂θ − ∂z uuur r ∂v ∂v Rotv = r − z ∂z ∂r 1 ∂vr 1 ∂ r ∂r ( rvθ ) − r ∂θ • 2 2 ∂ 1 ∂ r 1 ∂ vr 2 ∂vθ ∂ vr rv + − + = ∆r v ( r ) 2 2 2 2 r ∂θ ∂z r ∂θ ∂r r ∂r 2 2 r ∂ 1 ∂ r 1 ∂ vθ 2 ∂vr ∂ vθ ∆v = ( rvθ ) + 2 2 + 2 + 2 = ∆θ v r ∂θ ∂z r ∂θ ∂r r ∂r 1 ∂ ∂v 1 ∂ 2 v ∂ 2v r z + 2z = ∆ z v r z + 2 2 ∂z r ∂r ∂r r ∂θ • vr rr grad v .v = vr vr Tourki .Z ∂vr ∂r r ∂vθ grad (v ) = ∂r ∂vz ∂r 1 ∂vr vθ − r ∂θ r 1 ∂vθ vr + r ∂θ r 1 ∂vz r ∂θ ∂vr ∂z ∂vθ ∂z ∂vz ∂z ∂vr vθ ∂vr vθ2 ∂v + − + vz r ∂r r ∂θ r ∂z ∂vθ vθ ∂vθ vθ vr ∂v + + + vz θ ∂r r ∂θ r ∂z ∂vz vθ ∂vz ∂v + + vz r ∂r r ∂θ ∂z 2010 MMC - • • Ing. Mécatronique ∂s ∂r uuuuur 1 ∂s grad s = r ∂θ ∂s ∂z uuur div τ r r r e ,e ,e r • θ z 1 ∂ ∂s 1 ∂ 2 s ∂ 2 s r + + r ∂r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2 1 ∂τ rθ τ θθ ∂τ rz 1 ∂ r ∂r ( rτ rr ) + r ∂θ − r + ∂z ∂τ 1 ∂τθθ ∂τ rθ 2 = + + τ rθ + θ z ∂r ∂z r r ∂θ 1 ∂τ θ z ∂τ zz 1 ∂ r ∂r ( rτ rz ) + r ∂θ + ∂z tenseur des vitesses de déformation : D = ∂vr ∂r 1 ∂ v 1 ∂v r D = r θ + 2 ∂r r r ∂θ 1 ∂vz ∂vr + 2 ∂r ∂z • ∆s = 1 ∂ vθ r 2 ∂r r 1 ∂vr + r ∂θ 1 ∂vθ vr + r ∂θ r 1 ∂vθ 1 ∂vz + 2 ∂z r ∂θ ( 1 r t r grad v + grad v 2 ) 1 ∂vz ∂vr + 2 ∂r ∂z 1 ∂vθ 1 ∂vz + 2 ∂z r ∂θ ∂vz ∂z Equations de Navier-Stockes (en incompressible) Continuité : ∂vr ∂v v + vr r + θ ∂r r ∂t ∂v v ∂vθ + vr θ + θ ∂r r ∂t ∂vz ∂v v + vr z + θ ∂r r ∂t 1 ∂v ∂v r 1 ∂ div v = ( rvr ) + θ + z = 0 r ∂r r ∂θ ∂z 1 ∂p ∂vr vθ2 ∂v r − + vz r = g r − + ν∆ r v (*) ρ ∂r ∂θ r ∂z ∂vθ vθ vr ∂v 1 ∂p r + + vz θ = gθ − + ν∆θ v ∂θ r ∂z ρ r ∂θ ∂vz ∂v 1 ∂p r + vz r = g z − + ν∆ z v ρ ∂z ∂θ ∂z Energie : ∂T vθ ∂T ∂T k ∂T 2 2 2 2 2 2 Cv + vr + + vz − ∆T = 4ν dθ r + dθ z + d zr + 2ν d rr + dθθ + d zz + C ∂r r ∂θ ∂z ρ ∂t (*) r r r ∆ r v , ∆θ v , ∆ z v sont définis page précédente et dij sont les composantes de D Tourki .Z 2010 MMC - Ing. Mécatronique COORDONNEES SPHERIQUES : (r,θ θ,ϕ) z M(r,θ,z,t) ϕ r y x r v (vr , vθ , vϕ ) θ sθ : sin θ • 1 ∂ 1 ∂vϕ r 1 ∂ 2 div v = 2 r vr + ( vθ sθ ) + r s θ ∂θ r s θ ∂ϕ r ∂r ( ) 1 ∂vθ 1 ∂ rsθ ∂θ vϕ sθ − rsθ ∂ϕ uuur r 1 ∂v 1 ∂ r Rotv = − rvϕ rsθ ∂ϕ r ∂r 1 ∂ 1 ∂v ( rvθ ) − r r ∂θ r ∂r ( ) ( ) ∂vr ∂r r ∂v grad (v ) = θ ∂r ∂v ϕ ∂r 1 ∂vr vθ − r ∂θ r 1 ∂vθ vr + r ∂θ r 1 ∂vϕ r ∂θ • (*) 2vr 2 ∂vθ 2vθ ctgθ 2 ∂vϕ r − − 2 = ∆rv ∆vr − 2 − 2 2 r r ∂θ r r sθ ∂ϕ v r 2 ∂v 2 cθ ∂vϕ r ∆v = ∆vθ + 2 r − 2 θ2 − 2 2 = ∆θ v r ∂θ r s θ r s θ ∂ϕ vϕ 2 ∂vr 2cθ ∂vθ r ∆vϕ − 2 2 + 2 + 2 2 = ∆ϕ v r s θ r sθ ∂ϕ r s θ ∂ϕ • vr rr grad v .v = vr vr Tourki .Z 1 ∂vr vϕ − rsθ ∂ϕ r v ctg θ 1 ∂vθ ϕ − rsθ ∂ϕ r v ∂ 1 v v ctgθ ϕ + r+ θ rsθ ∂ϕ r r 2 2 ∂vr vθ ∂vr vϕ ∂vr vθ + vϕ + + − ∂r r ∂θ rsθ ∂ϕ r 2 ∂vθ vθ ∂vθ vϕ ∂vθ vr vθ vϕ ctgθ + + + − ∂r r ∂θ rsθ ∂ϕ r r ∂vϕ vθ ∂vϕ vϕ ∂vϕ vr vϕ vθ vϕ ctgθ + + + + ∂r r ∂θ rsθ ∂ϕ r r 2010 MMC - • • Ing. Mécatronique ∂s ∂r uuuuur 1 ∂s grad s = r ∂θ 1 ∂s rsθ ∂ϕ uuur div τ r r r e ,e ,e r • θ ϕ 1 2 r 1 = 2 r 1 2 r (*) ∆s, où s est une fonction scalaire, est définie par : ∆s = 1 ∂ 2 ∂s 1 ∂ ∂s r + 2 sθ 2 r ∂r ∂r r sθ ∂θ ∂θ 1 ∂2s + 2 2 2 r s θ ∂ϕ ∂ 2 1 ∂ 1 ∂τ rϕ τ θθ + τ ϕϕ r τ rr + − (τ rθ sθ ) + ∂r rsθ ∂θ rsθ ∂ϕ r ∂ 2 1 ∂ 1 ∂τθϕ τ rθ ctgθ r τ rθ + + − τ ϕϕ (τθθ sθ ) + ∂r rsθ ∂θ rsθ ∂ϕ r r ∂ 2 1 ∂τθϕ 1 ∂τ ϕϕ τ rϕ 2ctgθ + + + r τ rϕ + τθϕ ∂r r ∂θ rsθ ∂ϕ r r ( ) ( ) ( ) tenseur des vitesses de déformation : D = ∂vr ∂r 1 ∂ v 1 ∂vr D = r θ + 2 ∂r r r ∂θ 1 1 ∂v ∂ vϕ r + r ∂r r 2 rsθ ∂ϕ 1 ∂ vθ r 2 ∂r r ( 1 r t r grad v + grad v 2 1 ∂vr + r ∂θ 1 ∂vθ vr + r ∂θ r 1 sθ ∂ vϕ 1 ∂vθ + 2 r ∂θ sθ rsθ ∂ϕ ) ∂ vϕ 1 ∂vθ + ∂θ sθ rsθ ∂ϕ ∂vϕ vr vθ ctgθ + + ∂ϕ r r 1 1 ∂vr ∂ vϕ +r 2 rsθ ∂ϕ ∂r r 1 sθ 2 r 1 rsθ • Equations de Navier-Stockes (en incompressible) 1 ∂ 1 ∂vϕ r 1 ∂ 2 Continuité : div v = 2 r vr + =0 ( vθ sθ ) + rsθ ∂θ rsθ ∂ϕ r ∂r ( ) 2 2 ∂v ∂vr vθ ∂vr vϕ ∂vr vθ + vϕ 1 ∂p r r + vr + + − = gr − + ν∆ r v (*) 2 ∂r r ∂θ rsθ ∂ϕ ρ ∂r r ∂t 2 ∂vθ vθ ∂vθ vϕ ∂vθ vr vθ vϕ ctgθ 1 ∂p r ∂vθ + vr + + + − = gθ − + ν∆θ v ∂r r ∂θ rsθ ∂ϕ r r ρ r ∂θ ∂t ∂vϕ ∂vϕ vθ ∂vϕ vϕ ∂vϕ vr vϕ vθ vϕ ctgθ 1 ∂p r + vr + + + + = gϕ − + ν∆ϕ v ∂r r ∂θ rsθ ∂ϕ r r ρ rsθ ∂ϕ ∂t Energie : ∂T ∂T vθ ∂T vϕ ∂T k 2 2 2 2 2 2 Cv + vr + + − ∆T = 4ν dθ r + dθϕ + d rϕ + 2ν d rr + dθθ + dϕϕ + C ∂ t ∂ r r ∂ rs ∂ θ θ ϕ ρ (*) r r r ∆ r v , ∆θ v , ∆ϕ v sont définis page précédente dij sont les composantes de D . Tourki .Z 2010