GLMA403 - FICHE N◦ 1A
CPUS 2013-2014
ARITHMÉTIQUE DANS Z - GÉNÉRALITÉS
EXERCICE 1.
1) Montrer que pour tout n ∈ N, on a 5|42n − 1.
2) Montrer que pour tout n ∈ N, on a 7|32n+1 + 2n+2 .
3) Montrer que pour tout n > 5, on a 2n > n2 .
√
√
4) Montrer que pour tout n ∈ N, (1 + 2)n = an + bn 2 où an et bn sont des entiers premiers entre eux.
EXERCICE 2.
1) Rappeler les formules de la somme des n premiers entiers et des n premiers carrés d’entiers. Les démontrer.
n2 (n + 1)2
.
4
3) Calculer la somme des n premiers nombres entiers positifs impairs.
2) Montrer que ∀n ∈ N, 13 + 23 + · · · + n3 =
EXERCICE 3.
Montrer que pour tout n ∈ N :
1) 5|32n − 22n .
2) 25|36n − 22n .
3) Si a, b ∈ N, b 6= 0, alors b|(a + b)n − (a − b)n .
EXERCICE 4.
Soit k, n ∈ N, 0 6 k 6 n.
n
n
k
.
. Rappelons la notation Cn =
1) Rappeler la définition de
k
k
n−1
n
n
n
.
=n
. Montrer que si k 6= 0, k
=
2) Montrer que
k−1
k
n−k
k
3) Énoncer et démontrer la formule de Pascal.
n
4) Montrer que
∈ N.
k
EXERCICE 5.
Soit n ∈ N∗ . Soit S ⊆ {0, 1, 2, · · · , n} tel que Card(S) >
distincts) de S dont la somme vaut n.
n+1
2 .
Montrer qu’il existe deux éléments (non nécéssairement
EXERCICE 6.
Soient m, n ∈ N∗ tels que m|n. Montrer que si a, b ∈ N, alors am − bm |an − bn .
EXERCICE 7.
Soient a, c ∈ C. Montrer que pour tout entier n ∈ N impair, on a
an
+
bn
= (a + b)
n−1
X
(−1)k ak bn−1−k .
k=0
EXERCICE 8.
Parmi les nombres suivants, lesquels sont divisibles par 2, 3, 4, 5, 9, 11 ?
121212, 567432, 299788, 321654987, 123123123 et 11111 · · · 11 (n chiffres 1).
1
GLMA403 - FICHE N◦ 1B
CPUS 2013-2014
ARITHMÉTIQUE DANS Z
PGCD, PPCM ET NOMBRES PREMIERS
EXERCICE 9.
Soit n ∈ N∗ .
1) Montrer que n ∧ (n + 1) = 1.
2) Montrer que n ∧ (n2 + 1) = 1.
3) Montrer que (n3 + 1) ∧ (n2 + n) = n + 1.
4) Montrer que (n2 + 1) ∧ (n4 + 1) ∈ {1, 2}.
EXERCICE 10.
Considérons la suite de Fibonacci définie récursivement par u0 = 1, u1 = 1 et ∀n ∈ N, un+2 = un+1 + un .
Montrer que ∀n ∈ N, un ∧ un+1 = 1.
EXERCICE 11.
Montrer qu’un nombre n ∈ N est premier si n > 2 et n n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à
√
n. En déduire que 113 et 161 sont premiers.
EXERCICE 12.
1) Trouver tous les entiers n ∈ Z tels que n2 − 1 soit un nombre premier.
2) Trouver tous les entiers n ∈ Z tels que |n3 − 1| soit un nombre premier.
EXERCICE 13.
Soient a, n ∈ N\{0, 1} tels que le nombre an − 1 soit premier. Montrer que a = 2 et que n est premier.
EXERCICE 14.
Soit n > 2. Montrer qu’il y a toujours un nombre premier entre n et n!.
EXERCICE 15.
Soient a, b ∈ N\ {0, 1} et n ∈ N∗ . On suppose que an + bn est premier. Montrer que n est une puissance de 2.
2
GLMA403 - FICHE N◦ 1C
CPUS 2013-2014
ARITHMÉTIQUE DANS Z - NOMBRES PREMIERS
EXERCICE 16.
Soit n ∈ N∗ . Montrer que ppcm(1, 2, . . . , 2n) = ppcm(n + 1, n + 2, . . . , 2n).
EXERCICE 17.
1) Montrer que, parmi les nombres 1, 11, 111, 1111, . . . , 1111 . . . 1111 (le dernier a n + 1 fois le chiffre 1), il y en a au
moins deux m et m0 qui ont le même reste dans la division par n.
2) Considérer m − m0 et conclure que tout nombre entier n qui n’est divisible ni par 2 ni par 5 a un multiple qui
s’écrit exclusivement avec le chiffre 1.
3) Montrer que 12345678 a un multiple qui s’écrit uniquement avec le chiffre 2.
EXERCICE 18.
1) Soient a, b ∈ N∗ et n > 2 un entier. Montrer qu’on ne peut pas avoir an = bn + 1.
2) Soient a, b ∈ N et n > 2 un entier. Supposons que an − bn est un nombre premier. Montrer que n est alors premier
et a − b = 1.
EXERCICE 19.
Un nombre ISBN est un nombre de 10 chiffres, noté a10 a9 . . . a1 tel que la somme
10
X
kak est divisible par 11.
k=1
1) Montrer que si on change un chiffre d’un nombre ISBN, le nombre obtenu n’est plus un nombre ISBN.
2) Montrer que si on échange deux chiffres différents d’un nombre ISBN, le nombre obtenu n’est plus un nombre
ISBN.
EXERCICE 20.
Donner la valeur de ϕ(1200).
EXERCICE 21.
Cherchons les triplets d’entiers strictement positifs consécutifs tel que leur produit soit un carré.
1) Soit (n − 1, n, n + 1) un tel triplet. Montrer que, si n est pair, alors n, n − 1 et n + 1 sont des carrés et conclure.
2) Résoudre le cas n impair. Indication : Montrer que (n − 1) ∧ (n + 1) = 2 et montrer que
3
n+1
n−1
et
sont des carrés. .
2
2
CPUS 2013-2014
GLMA403 - FICHE N◦ 1D
ARITHMÉTIQUE DANS Z - INDICATRICE D’EULER ET THÉORÈME DE BÉZOUT
EXERCICE 22.
Calculer 123456 ∧ 1234.
EXERCICE 23.
Soient a, b, d ∈ N∗ . On suppose que d|a, d|b et qu’il existe u, v ∈ Z tels que d = ua + bv. Montrer que d = a ∧ b.
EXERCICE 24.
Soient a, b deux entiers tels que a + b = 173. Déterminer a ∧ b.
EXERCICE 25.
Résoudre dans Z2 l’équation diophantienne 189x + 255y = 3.
EXERCICE 26.
Montrer que pour tout entier n ∈
N∗ ,
2n
n + 1 et 2n + 1 sont premiers entre eux. En déduire que n + 1 |
.
n
EXERCICE 27.
1) Quels sont les entiers n ∈ N tels que n4 + 4 = 36n3 + 15n ?
2) Quels sont les couples d’entiers (m, n) ∈ N tels que m2 + n2 = 16mn + 3 ?
EXERCICE 28.
1) Soient a, b ∈ N. Montrer que si 5|a2 + 2b2 alors 5|a et 5|b.
2) Soient a, b, c ∈ N. Montrer que si 7|a3 + b3 + c3 , alors 7|abc.
EXERCICE 29.
1) Trouver tous les couples (m, n) ∈ Z2 tels que n6 − n3 = 7m2 + 3.
2) Trouver tous les couples (m, n) ∈ Z2 tels que n12 − 8n7 = 10m + 5.
3) Trouver tous les couples (m, n) ∈ Z2 tels que 4n2 + 1 = m(m − 1)(m + 1).
EXERCICE 30.
Montrer que parmi n, n + 2 et n + 4, exactement l’un est divisible par 3.
EXERCICE 31.
Soit p un nombre premier. Montrer que p + 20 et p + 22 ne sont pas tous les deux premiers.
EXERCICE 32.
Quel est le dernier chiffre de 2123456 ? Indication : 24 = 16 ≡ 1[5].
EXERCICE 33.
a) Soit N ∈ N tel que N ≡ −1[3]. Montrer que N a au moins un diviseur premier congru à −1 modulo 3.
b) En déduire par la méthode d’Euclide que l’ensemble des nombres premiers congrus à −1 modulo 3 est infini.
EXERCICE 34.
a) Montrer que tout nombre congru à −1 modulo 6 a un diviseur premier congru à −1 modulo 6.
b) En déduire par la méthode d’Euclide qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à −1 modulo 6.
EXERCICE 35.
a) Soit p un nombre premier. Soient m, n ∈ Z tels que m2 ≡ n2 [p]. Montrer que l’on a m ≡ n[p] ou m ≡ −n[p].
b) Donner un exemple de couple d’entiers (m, n) tel que m2 ≡ n2 [8] mais m 6≡ ±n[8].
c) Montrer que m2 ≡ n2 [6] implique m ≡ ±n[6].
EXERCICE 36.
Montrer que pour tout entier n > 3, ϕ(n) est un nombre pair.
EXERCICE 37.
Établir ∀n > 3, ϕ(n) >
n ln 2
.
ln n + ln 2
4