Exercices-Oraux-Mines-Ponts-Maths-MP-2

Concours Commun Mines-Ponts − option MP
Planche 5
Planche 1
! xn
! (x − 1)n ! 1 " 1 − x #n
I) Étudier
·
et
g(x)
=
+
n
n
n
x
II) Soient n réels a1 < . . . < an , φk la forme linéaire définie sur
$ 1
P (t)dt.
Rn [X] par φk (P ) = P (ak ) et ψ(P ) =
0
Trouver une CNS pour que (φ1 , . . . , φn , ψ) soit libre.
III) Cours : rayon de courbure.
Planche 2
I) Rayon de convergence, limites et équivalents aux bornes de la
$ π/4
(tan t)n dt.
série entière de terme général an =
0
II) Montrer que, si M est symétrique, réelle, positive et d’ordre n,
det(In + M )1/n ! 1 + det M 1/n .
Montrer que si A est symétrique, réelle, définie positive et d’ordre
n, si B est symétrique, réelle, positive et d’ordre n :
det(A + B)1/n ! det A1/n + det B 1/n .
Planche 3 II abordable dès la 1re année
I) Étudier la convergence simple de la série de fonctions définies
!
2x
par un (x) = 2
·
S
=
un est-elle continue ?
x + n2
Y a-t-il convergence uniforme sur R ? Limite de S(x) en +∞.
II) Étudier la continuité et le caractère C 1 sur R2 de f définie par
sin(xy)
pour (x, y) #= (0, 0).
f (0, 0) = 0 et f (x, y) =
|x| + |y|
Planche 4 II abordable dès la 1re année
$
1
t−1 x
t dt.
ln t
0
II) Montrer que, pour n ∈ N∗ , il existe n entiers consécutifs non
premiers (on pourra s’intéresser à n! + k).
I) Domaine de définition, de dérivabilité et calcul de
L’Officiel de la Taupe numéro  − /
Page 
I) Trouver une solution développable en série entière de :
x2
x2 y "" + xy " − y =
puis résoudre cette équation.
1 − x2
II) Soit A une matrice réelle symétrique positive d’ordre n, qA la
2
forme quadratique associée vérifiant qA (x) " % x % .
Montrer que det A ∈ [0, 1].
III) Montrer que la suite (fn ), définie par fn (x) = xn f (x), avec
f continue sur [0, 1], à valeurs dans R et nulle en 1, converge uniformément vers 0.
Planche 6
I) Déterminer les sous-espaces de E = R3 stables par u ∈ L(E), de
matrice A diagonalisable, et de polynôme caractéristique (X+1)2 (X−2).
n
%
(−1)k
II) On considre la suite an =
, donner le rayon de conk+1
k=0
% an
n
vergence de f (x) =
x puis la limite en +∞ de e−x f (x).
n!
n!0
III) Donner le type de la quadrique d’équation xy = z 2 + a2 .
Planche 7 I abordable dès la 1re année
I) Soit (H) une hyperbole de centre O et d’asymptotes D et D" ,
M un point de l’hyperbole. La tangente à (H) en M coupe D et
D" en A et A" respectivement.
Montrer que l’aire du triangle OAA" est constante.
$ +∞ √
x+t
dt.
II) Déterminer l’ensemble de définition de f (x) =
x + t2
0
Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition
et trouver des équivalents.
c MMVIII Éditions Officiel de la Taupe Gyroscope
'
Planche 8 I et III abordables dès
la 1re année
(
'
)
n
&
k(n − k)
I) Déterminer la limite de
1+
.
2
n
k=1
II) Pour σ ∈ Sn , on définit fσ ∈ L(Rn ) par son action sur la
1 %
fσ est un
base canonique : fσ (ei ) = eσ(i) . Montrer que
n! σ∈S
n
projecteur orthogonal, et le caractériser
III) Établir que (s1 , s2 ) ∈ SO3 (R)2 qui commutent sont soit deux
rotations de même axe, soit deux demi-tours d’axes perpendiculaires.
Planche 9
I) Soit (un ) définie par u0 ∈ [0, π] et un+1 = sin un .
Montrer que un+1 ∼ un et que ∀α #= 0,
! α
Préciser, suivant α, la nature de
un .
*
II) Résoudre le système différentiel
III) Calculer I =
$
0
π
uα
n+1
−
uα
n
∼−
αuα
n+2
3!
·
x" = 4x − 3y + 9z
y " = −3x + 4y − 9z
z " = −3x + 3y − 8z
ln(1 + x cos u)du pour x ∈ ]−1, 1[.
Planche 11
I) Soit E = {f ∈ C 2 ([0, π], R), f (0) = f " (0) = 0}.
Montrer que N (f ) = sup | f "" (x) + f (x) | est une norme équivalente
x∈[0,π]
à N " (f ) = sup | f "" (x) | + sup | f (x) | sur E.
x∈[0,π]
L’Officiel de la Taupe numéro  − /
Planche 12 II abordable dès la 1re année
I) Soient (an ) et (bn ) deux suites complexes ; on note Bn =
Page 
n
%
bk
k=0
; montrer que
n
%
k=0
Planche 10
I) Soient f et g deux endomorphismes de Cn tels que f ◦ g = 0 et
f + g ∈ GL(Cn ). Montrer que rg f + rg g = n.
$ 1
+∞
%
(−1)n
x
II) Montrer que
x dx =
·
nn
0
n=1
x∈[0,π]
II) Soient (A, B) ∈ Mn (R)2 et M ∈ Mn (R) de rang r telle que
AM = M B ; montrer que deg(χA ∧ χB ) " n.
III) Existe-t-il f , 2π-périodique, continue par morceaux, telle que
1
∀n ∈ N, an (f ) = 0 et bn (f ) = √ ?
n
ak bk = an Bn +
n−1
%
k=0
(ak − ak+1 )Bk .
En déduire un critère de convergence pour certaines séries.
n
n
n
%
cos(kθ) % sin(kθ) % eikθ
,
,
, pour
Étudier la convergence de
kα
kα
kα
k=1
k=1
k=1
θ ∈ ]0, 2π[.
II) Soit f trois fois dérivable au voisinage de a ;
1 "
3h
h
h
3h #
déterminer lim 3 f (a+ )−3f (a+ )+3f (a− )−f (a− ) .
h→0 h
2
2
2
2
Généraliser pour f n fois dérivable au voisinage de a.
$ 2π
ln(1 + x cos u)du.
III) Pour x ∈ ]−1, 1[, calculer f (x) =
0
Planche 13 II abordable dès la 1re année
I) Donner les coefficients de Fourier de f , impaire, 2π-périodique,
définie sur ]0, π[ par f (x) = 1.
Trouver f (0) et f (π) tels que la convergence de la série de Fourier
vers f soit simple. Y a-t-il convergence normale ?
Donner les variations de Sn (f ) et exprimer son premier maximum
sous forme d’une intégrale.$ $
Montrer qu’il admet une limite finie.
dxdy
où
II) Existence et calcul de
D 1 + x cos y
D = {(x, y) ∈ R2 , 0 " x " π, 0 " y " 1}.
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'
+∞
Planche 14
I) Étudier la convergence simple de la série de fonctions de terme
%
2x
, définie sur R. S(x) =
un (x) est-elle
général un (x) = 2
x + n2
n=0
continue ? Y-a-t-il convergence uniforme sur R ?
Déterminer la limite de S en +∞.
sin xy
si (x, y) #= (0, 0).
II) On pose f (0, 0) = 0 et f (x, y) =
|x| + |y|
Cette fonction est-elle continue, de classe C 1 ?
Planche 15 I abordable dès la 1re année
I) Montrer que l’ensemble Dn des matrices (aij ) telles que aij = 0
pour i−j impair est un sous-espace de Mn (R) stable pour le produit
matriciel. Quelle est sa dimension ? Est-ce un sous-anneau ?
!
!
an2 z n .
II) Comparer les rayons de convergence de
an z n et
III) f continue, positive et intégrable sur [1, +∞[ est-elle toujours
de limite nulle en +∞ ?
sin xf (x)dx converge.
Planche 16

π
0
0
π
% (−1)n
 π
0 
I) Soit A =  − 2
A2n .
. Calculer
2
(2n)!
π
π
π
n!0
−
−
2
2
2
II) Soit f décroissante et continue sur R+ , à valeurs dans R et de
$ +∞
limite nulle en l’infini. Montrer que
0
%
"
(−1)n #
III) Nature de
.
ln n ln 1 + √
n
n!0
Page 
Planche 17
I) Montrer que pour (A, B) ∈ Mn (R)2 , AB et BA ont même
polynôme caractéristique.
II) Soit φ(x) = 2x(1 − x) ; étudier la suite de terme général
φn = φ ◦ . . . ◦ φ pour x ∈ ]0, 1[.
L’Officiel de la Taupe numéro  − /
Montrer qu’il existe une suite de polynômes Pn à coefficients dans
Z convergeant uniformément vers la limite f de (φn ).
Planche 18 II abordable dès la 1re année
I) Déterminer l’ensemble de définition et un équivalent en 0+ de la
x
·
série de fonctions de terme général fn (x) =
n(1 + n2 x2 )
1
2
p q r
II) Montrer que A = r p q est la matrice d’une rotation si
q r p
et seulement si p, q, r sont racines de X 3 − X 2 + λ = 0.
Planche 19
n
I) Trouver un équivalent en l’infini de la plus petite solution xn de
%
1
√
l’équation
= 0.
k
k=0 x −
II) Soient A et B deux matrices réelles symétriques d’ordre n telles
que ∀X ∈ Rn , 0 "t XAX "t XBX ; montrer que det A " det B.
k!1
% 1
·
k2
Planche 20
π
I) Pour θ ∈ ]0, [, montrer qu’il existe un polynôme Pn tel que
2
sin(2n + 1)θ
· Quelles sont les racines de Pn ?
Pn (cotan2 θ) =
sin2n+1 θ
1
La somme de ces racines ? Montrer que cotan2 θ " 2 " 1+cotan2 θ.
θ
Calculer
II) On suppose que f 2 est diagonalisable ; montrer que f est diagonalisable si et seulement si Ker f = Ker f 2 .
III) Soit f un endomorphisme de Rn annulant un polynôme P ∈ C[X]
tel que P (0) = 0 et P " (0) = −1.
Montrer que Rn = Ker f ⊕ Im f .
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'
Planche 21
+∞
+
%
x
√
: convergence simple, converI) Étude de f (x) =
n(1 + nx2 )
n=0
gence normale. Montrer que f est de classe C 1 sur R∗ .
Limite et équivalent en +∞.
Limite en 0 .
$
+∞
(1 − at − bt2 )2 dt, (a, b) ∈ R2 }.
II) Borne inférieure de {
0
0
$
φ(x)
x
2
et dt = e
2x
3
Planche 22
I) Montrer que, si M est carrée d’ordre n, inversble et diagonalisable, ∀p ∈ N, N définie par N p = M , est diagonalisable.
$ 1
1−x
dx.
II) Calculer
ln x
0
III) Valeur (avec démonstration) de l’aire d’une ellipse.
Planche 23
% "
(−1)n #
.
ln 1 + √
n
n!1
∗
∗
dans R+
, telle que
I) Montrer qu’il existe φ de R+
et représenter φ.
II) Étudier la convergence de
n
III) Si f est un endomorphisme
diagonalisable
"
# de C , trouver une
CNS pour que ∃x ∈ Cn , x, f (x), . . . , f n−1 (x) soit une base de Cn .
0
x
gn (t − t2 )dt converge normalement sur [0, 1].
Page 
Planche 24
I) Pour quelles valeurs de µ, f défini sur R2n [X] par :
f (P )(X) = X(X + 1)P " (X) − µXP (X) est-il un endomorphisme ?
Donner ses éléments propres.
√
! (−1)n + n
II) Nature, suivant α ∈ R, de
ln √
·
n+α
III) Montrer $que la série de fonctions (gn ) définies par g0 (x) = 1
et gn+1 (x) =
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IV) Montrer que ef , où f est définie par ∀x ∈ R3 , f (x) = a ∧ x
avec a un vecteur non nul de R3 , est une rotation.
Planche 25 I abordable dès la 1re année
i=1
I) Soit (pi )1"i"n une famille d’endomorphismes d’un espace E de
dimension finie n ! 1, vérifiant pi ◦ pj = δij pi .
n
3
Im pi .
Montrer que E =
! 1
; est-elle C 1 ?
ch(nx)
Soit (qi )1"i"n une famille d’endomorphismes vérifiant la même propriété ; montrer qu’il existe un automorphisme f tel que :
∀i ∈ [1, n], qi = f ◦ pi ◦ f −1 .
$
+∞
t2
II) Prouver l’existence de In =
dt pour n ! 1.
(1 + t2 )n
0
Convergence, limite et monotonie de la suite (In ).!
!
Quelle(s) conjecture(s) peut-on faire sur
In et (−1)n In ?
!
!
In .
Valeur de (−1)n In et convergence de
Planche 26
I) Ensemble de définition de f (x) =
En donner un équivalent
en 0. 

1 0 ... 0
.
.

.
. .. 
0 2
II) Soit M =  . .
 ; identifier les vecteurs X tels
 ..
.. ... 0 
0 ... 0 n
que det(X, M X, . . . , M n−1 X) #= 0.
Planche 27
I) Montrer que f vérifiant f (x) = 2f " (2x) est développable en série
entière au voisinage de 0.
II) Montrer que A, carrée d’ordre n, de coefficient aij = ω (i−1)(j−1)
où ω est une racine nième de l’unité, est inversible et calculer A−1 .
c MMVIII Éditions Officiel de la Taupe Gyroscope
'
Planche 28
$$
1
I) Limite quand n tend vers +∞ de
n
n dxdy.
[0,1]2 1 + x + y
II) Soient K un corps quelconque, n et p deux entiers naturels non
nuls. Soient B ∈ Mn,p (K)
) Mp (K).
' et C ∈
In B
vaut n + rg C.
Montrer que le rang de
0 C
Montrer que :
∀A ∈ Mn,p (K) et B ∈ Mp,n (K), n+rg(Ip −BA) = p+rg(In −AB).
Peut-on en déduire que :
∀k ∈ K, dim Ker(kIn − AB) = dim Ker(kIp − BA) ?
Donner une CNS sur rg(AB) et rg(BA) pour que AB soit diagonalisable. .
k=0
'
In
A
In
In
)
soit
1 % k
=
f (x) est une suite
n+1
n
Planche 29
$
n
1
Arc tan x dx.
√
I) Nature de la série de terme général un =
x
nk 0
II) Dans E euclidien, trouver un exemple d’endomorphisme f non
nul et non orthogonal, tel que ∀x ∈ E, % f (x) % " % x %.
Donner le reste de la division euclidienne de X n par (X − 1)2 .
En déduire : Ker(f −Id) = Ker(f −Id)2 ; E = Ker(f −Id)⊕Im(f −Id).
Montrer que, pour x ∈ E, un
convergente et donner sa limite.
Planche 30 III abordable dès la 1re année
% x2n
·
(n!)2
I) Donner une CNS sur A ∈ Mn (R) pour que
diagonalisable.
II) Ensemble de définition de F (x) =
n!0
Page 
Montrer que G(t) = F (xt)e−t est intégrable sur R+ pour x assez
proche de 0. Donner une expression de cette intégrale.
III) Longueur de la courbe ρ(θ) = 1 + cos θ.
L’Officiel de la Taupe numéro  − /
(1 − e2ikπ/n ).
n=1
Planche 31 II abordable dès la 1re année
+∞
%
x2n+1
·
n(n + 1)(2n + 1)
n−1
&
I) Rayon de convergence et somme de
II) Calculer
k=1
c MMVIII Éditions Officiel de la Taupe Gyroscope
'
1
L’Officiel de la Taupe numéro  − /
0
+∞
−π
π
f (t)tn dt = 0 ?
!
A
In
In
A
%
c MMVII Éditions Officiel de la Taupe Gyroscope
)
Montrer
A est semblable à D, M est semblable à :
! que si %
D
I
n
. Montrer que M est diagonalisable.
M! =
In D
I) Soit A une matrice diagonalisable de Mn (R) et M =
Planche 7
II) Montrer que l’équation x + ln x = n admet une unique solution
xn . Étudier la suite (xn ) : monotonie, limite, équivalent asymptotique aux premier et second ordre.
III) Cours : énoncé et démonstration de la formule de la médiane.
∀n ∈ N,
Planche 6 II abordable dès la 1e année
I) Que peut-on
dire de f , 2π-périodique, continue, telle que :
"
Planche 5
I) Déterminer l’équation réduite et la nature de la quadrique
d’équation −2x2 + y 2 − 2z 2 − 4xy − 4yz
( + 2xz − 6x√− 6y − 6z = a.
II) Déterminer la nature de la série (ln n)α sin(π 1 + n2 ).
" +∞ −tx
e√ dt.
III) Donner l’ensemble de définition de I(x) =
t
0
Donner sa limite en +∞ et proposer un moyen d’obtenir un
équivalent.
"
√
t
dt.
I) Calculer
t
e −1
0
II) Nature de la surface xy + yz + xz = 1.
" π/2 √
III) Calculer
tan θdθ.
Planche 4
Page 
I) Soit p un projecteur d’un R-espace vectoriel E, donner les
éléments propres de H, défini sur L(E) par H(g) = 1 (g ◦ p + p ◦ g).
" 1 n+1 2
t
ln(t)
dt.
II) Donner un équivalent en +∞ de Jn =
1 − t2
0
Planche 3
Planche 2 abordable dès la 1e année
I) Montrer que ∃!An ∈ C[X], An (X + 1 ) = X n + 1n ·
X
X
(2k + 1)π
Montrer que les racines de An sont les xk = 2 cos
pour
2n
0 ! k ! n − 1.
Décomposer Rn = 1 en éléments simples.
An
II) Caractériser s ◦ r ◦ s, où r et s sont respectivement une rotation
et une symétrie orthogonale de R3 euclidien.
I) On note E l’espace vectoriel des applications de classe C sur
[0, 1] à valeurs dans R.
%1/2
!
" 1
# ! $2
2
, est une norme
Montrer que N (f ) = f (0) +
f (t) dt
0
√
euclidienne sur E et que ∀f ∈ E, $ f $∞ ! 2N (f ).
Montrer que N et la norme infinie ne sont pas équivalentes.
indication : utiliser fn (x) = xn
&
'
p r q
II) Montrer que A = q p r est la matrice d’une rotation de
r q p
3
R si et seulement si p, q, r sont les racines du polynôme x3 −x2 +λ.
Planche 1 II abordable dès la 1e année
Concours Commun Mines-Ponts − option MP
L’Officiel de la Taupe numéro  − /
c MMVII Éditions Officiel de la Taupe Gyroscope
)
et b réalisant ce minimum.
II) Nature de la convergence, dommaine de définition et limite de
" +∞
In (x) =
tx (1 − t )n dt.
n
0
0
I) À l’aide d’un projecteur sur un espace judicieusement choisi,
" 1
(t ln t − at − b)2 dt et préciser les valeurs de a
minimiser Ia,b =
Planche 12 I abordable dès la 1e année
III) Résoudre x!! + x = cotan t sur ]0, π[.
I) Trouver les polynômes P tels que (X + 4)P (X) = XP (X + 1).
II) Soit f définie sur [0, 1], à valeurs dans R, dérivable en 0 et telle
n
)
f ( k2 ).
que f (0) = 0. Calculer la limite de un =
n
k=1
Planche 11 I abordable dès la 1e année
2
2
(3) ∂ F2 existe, est continue et ∂ F2 = ∂F ·
∂t
∂x
∂x
Montrer que s’il existe une solution, elle est unique.
3
(R, R), il existe une solution .
Montrer que si f ∈ C2π
I) Trouver les matrices A ∈ Mn (C) telles que l’ensemble :
{M ∈ Mn (C), AM − M A = 0} soit un corps.
II) Soit f de R dans R ; on cherche les F de classe C 1 sur R × R+ ,
à valeurs dans R, vérifiant :
(1) ∀x ∈ R, F (x, 0) = f (x) ;
(2) ∀x ∈ R, ∀t ∈ R+ , F (x + 2π, t) = F (x, t) ;
Planche 10 I abordable dès la 1e année
Page 
I) Soit P un polynôme à coefficients réels. Montrer que P est scindé
sur R si et seulement si ∀z ∈ C, | P (z) |!| +(z) |degP
Soit (uj )j ∈ N une suite d’endomorphismes diagonalisables de E,
tendant vers u, endormorphisme de E. u est-il diagonalisable ?
trigonalisable ?
En déduire l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables
dans Mn (R),puis dans Mn (C).
" +∞
sin(tx)
dx.
II) Calculer pour t " 0,
x(1 + x2 )
0
Planche 9
I) Montrer que si p est premier, différent de 2 et de 5, il divise au
moins un des nombres de l’ensemble {1, 11, 111, 1111, 11111, . . .}.
II) Soit D un ouvert de Rn tel que ∀(t, x) ∈ R × D, tx ∈ D.
Soit f de classe C 1 sur D, à valeurs dans R, telle que :
∀(t, x) ∈ R × D, f (tx) = tp f (x).
n
)
∂f
Montrer que pour tout x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D,
xi
(x) = pf (x).
∂xi
i=1
n
)
∂f
xi
(x) = pf (x).
Onn suppose réciproquement que ∀x ∈ D,
∂x
i
i=1
Montrer que ∀(t, x) ∈ R × D, f (tx) = tp f (x).
Indication : introduire, pour x fixé, g(t) = f (tx) − tp f (x).
Résoudre l’équation ∀(t, x) ∈ R × D, f (tx) = tp f (x) pour n = 2.
Indication : passer en coordonnées polaires.
Planche 8 I abordable dès la 1e année
Déterminer les éléments propres de M en fonction de ceux de A et
retrouver ainsi le résultat précédent.
II) Résoudre sur (R∗+ )2 , en utilisant le changement de variables
2
2
2 ∂ f
2 ∂ f
(u = xy, v = x
(x,
y)
−
y
(x, y) = 0.
),
l’équation
x
y
∂x2
∂y 2
0
p=1
p
n−1
*
= ln 2.

k=1
a1
0
a2
..
.

. . . an
. . . an 
an 

.. 
..
. . 
. . . an 0
a2
a2
0
..
.
sin kπ ·
n
L’Officiel de la Taupe numéro  − /
n!1
1
0
c MMVII Éditions Officiel de la Taupe Gyroscope
)
est C 1 et calculer φ! (t).
Pour A et B symétriques, réelles et positives, donner le signe de
tr(AB).
On suppose# de plus
Si P est croissant sur R+ ,
$ A−
# B positive.
$
comparer tr P (A) et tr P (B) .
(
j
De même, si
aj z(
est de rayon
infini, les aj étant
( de convergence
j
j
positifs, comparer
aj A et
aj B .
I) Soit P ∈ R[X], f de classe C 1 sur un intervalle I de R
! à valeurs
%
#
$
dans Mn (R). Montrer que φ, défini sur I par φ(t) = tr P f (t)
Planche 18
0

... 0
.. 
..
.
. 

..

. 0 

..
. 1 
1 −2
II) Montrer que deux matrices réelles, semblables dans Mn (C) le
sont aussi dans Mn (R).
III) Que dire d’une matrice réelle orthogonale et symétrique ?
Même question pour une matrice complexe.
Planche 17 I en 200
" π√
I) Calculer
tan θdθ.
Page 
a1 a2
où les ai sont tous distincts.
II) Soit f , 2π-périodique, définie sur ]0, 2π[ par f (t) = t, et
f (0) =une valeur que l’on attribuera.
Calculer les coefficients de Fourier de f , étudier la convergence de
la série de Fourier, préciser le cas t = π ·.
2
) sin(nt)
·
Déterminer
n
0
 a1
a
1
I) Déterminer les éléments propres de 
 .
 .
.
Planche 15
II) Pour n " 2, simplifier l’exprssion Pn =
I) Domaine de définition ; continuité et étude aux bornes du
" +∞
e−xt Arc tan tdt.
domaine de f (x) =
Planche 14
(1 − x)S(x). On rappelle que
+∞
)
(−1)p−1
1
−2
−2 1
..
..
.
.
0
..
..
..
.
.
.
0 ... 0
sont de la forme λ = 2 cos θ − 2, puis diagonaliser.
1
II) Développer en série de Fourier f (x) =
·
2 − eix



Montrer que les valeurs propres λ de 




I) Soit A une matrice carrée
) réelle de coefficient aij ; montrer que
si ∀i ∈ [1, n], | aii | >
| aij |, alors A est inversible.
Étudier les convergences simple, uniforme et normale de la série de
n
fonctiosn fn (x) = x n définies sur ]−1, 1[.
1+x
Montrer que, sur son domaine de définition, sa somme S vérifie
+∞
)
(−1)p+1
S(x) =
p · Donner un équivalent au voisinage de 1 de
1
−
x
p=1
j∈[1,n]\{i}
Planche 16
Planche 13
"
+∞
2
L’Officiel de la Taupe numéro  − /
n!1
Planche 21
&
'
3 −1 1
I) A = 2 0 1 est-elle diagonalisable ? La trigonaliser.
1 −1 2
Calculer exp(tA).
√
)
n
II) Nature de
·
n
(−1) n − 1
Page 
Planche 20 II abordable dès la première année
I) Étude de la série de terme général (−1)n (n!)1/n
II) Soit E l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R,
f = (f1 , f2 , . . . , fn ) une famille de E.
Montrer que f est libre si et seulement s’il existe (x1 , . . . , xn ), réels
tels que la matrice de coefficient fi (xj ) soit inversible.
I) Étudier f (x) =
e−t
dt.
1 + x2 t2
1
Donner un équivalent de f en +∞.
II) On note λ1 ! . . . ! λn les valeurs propres de l’endomorphisme
u autoadjoint dans E euclidien de dimension n.
Montrer# que pour
tout sous-espace F de E de dimension k,
$
u(x)|x
1 2 1 " λk .
sup
1x 1
x∈F \{0}
#
$%
!
u(x)|x
1 1 ·
max
En déduire que λk = min
dim F =k x∈F \{0} 1 x2 1
On pourra commencer par le cas k = n.
Planche 19
1 − r2
II) Pour r ∈ ]0, 1[, on définit Pr sur R par Pr (t) =
;
1 − 2r cos t + r2
Soit f 2π-périodique, continue sur R à valeurs dans C.
Montrer que ∀ε > 0," ∃rc ∈ ]0, 1[, ∀x ∈ R, | f (x) − T (f )(x) | ! ε
avec T (f )(x) = 1
πf (x − t)Pr (t)dt.
2π −π
x→+∞
Γ
x3 dy − y 3 dx sur le
k=0
x→+∞
c MMVII Éditions Officiel de la Taupe Gyroscope
)
À une!matrice
% A carrée d’ordre n on associe la matrice par bloc
A I
M =
. Déterminer χM , le spectre de M et la dimension
0 0
des sous-espaces propres de M en fonction de ceux de A.
M est-elle diagonalisable ?
Lien entre les polynômes minimaux µM et µA .
Réiterer alors la discussion précédente.
Planche 25
Est-il possible d’avoir des solutions non bornées ?
Trouver les solutions centrées en 0 de y !! +
1 y = 0.
1 + x2
Soit y, solution bornée sur [x0 , +∞[ ; montrer que lim y ! (x) = 0.
Planche 24
Soit [a, b] un intervalle de R, avec a < b, (an ) et (bn ) deux suites
réelles et fn (x) = an cos(nx) + bn sin(nx) définie sur [a, b].
Montrer que si fn converge uniformément sur [a, b] alors an → 0 et
bn → 0.
Planche 23
II) Montrer que si A est symétrique réelle définie et positive, sa
comatrice l’est aussi. Est-ce encore vrai si A n’est pas définie ?
x→+∞
I) Les an étant non nuls, donner une CNS pour que ∀f ∈ C ∞ (R, R),
n
)
lim
ak f (k) (x)dx = 0 ⇒ lim f (x) = 0
Planche 22
cercle unitaire orienté directement.
III) Calculer de deux manières différentes
"
0
"
x#
$1/3
1 + x2
dt.
2
2
(x ln x) − t
L’Officiel de la Taupe numéro  − /
+∞
n=1
dt
.
(1 + tx )n
(3) : A ∈ GL(E) et
Calculer I1 =
Γ1
ydx + 2xdy et I2 =
Γ2
ydx + 2xdy.
c MMVII Éditions Officiel de la Taupe Gyroscope
)
I) Montrer que si f est un endomorphisme d’un espace vectoriel E
2
de dimension n, la famille (Id, f, . . . , f n ) est liée. En déduire que
f admet un polynôme annulateur non nul.
Montrer que si P est un polynôme annulateur de f et λ une valeur
propre, alors P (λ) = 0. Justifier que dim L(E) = n2 .
II) Soient Γ1 = a(1 − t)/i + bt/j pour 0 < t < 1 ;
Γ2 = a cos u/i + b sin u/j pour 0 < u < π ·.
22
2
Planche 32
Montrer que si N (A) ! 1, la série de terme général (−1)k Ak
converge et en déduire que In + A est inversible.
2x
Calculer la dérivée d’ordre n de f (x) = e
·
1+x
II) Soit N une norme sur Mn (R) vérifiant N (M P ) ! N (M )N (P ).
$
#
Montrer que N (−1)k M k ! N (M )k
I) Comment démontre-t-on la formule de Leibniz ?
Planche 31 I abordable dès la 1e année
+∞
)
(
Étudier la convergence de ( fn )n!1 . Calculer
fn (x).
Trouver l’ensemble de définition de fn .
1
"
(2) : tAA = In
II) Pour n " 1, on pose fn (x) =
(1) : u ∈ O(E)
A−1 = tA .
Page 
Planche 30 I abordable dès la 1e année
I) Cours : Soit E euclidien de dimension n, B une base orthonormée
de E et u ∈ L(E) de matrice A dans B.
Montrer les équivalences entre :
Planche 29 II abordable dès la 1e année
I) Cours : montrer que dans un espace normé complet, toute
série absolument convergente est convergente ; donner des exemples
d’espaces normés complets.
II) Representer u = 1+z +z 2 où z parcourt une fois le cercle unité.
série absolument convergente.
0
Planche 28 I abordable dès la 1e année
I) Montrer que S = {M ∈ Mn (R), t M = M } est un espace
vectoriel et calculer sa dimension.
II) Résoudre y !! + y = cos nt, n ∈ N.
+∞
)
an cos nt où an est le terme général d’une
Résoudre y !! + y =
Trouver la limite de f en +∞.
II) Étudier la suite puis la série de terme général :
" π/2
$2n
#
un =
cos( π sin x) dx.
2
0
I) Domaine de définition de f (x) =
Planche 27
Planche 26
Donner sans calcul le rang et le déterminant de A, carrée d’ordre
n, dont tous les coefficients valent a. Calculer An .
Déterminer le polynôme caractéristique de A et en donner deux
polynômes annulateurs. "
" +∞
n
x
n
II) Montrer que lim
(1 − ) ln xdx =
e−x ln xdx.
n→+∞ 0
n
0
n!1

L’Officiel de la Taupe numéro  − /
−1

 carrée d’ordre n.
de :

c MMVII Éditions Officiel de la Taupe Gyroscope
)
Donner les racines nième de l’unité et les représenter pour n = 6.


1
 ω 
 2 
ω 
Soit ω une racine nième de l’unité et X = 
 . .
 .. 
ω n−1
Calculer AX en fonxtion de X et ω. A est-elle diagonalisable ?
$1/5
#
$1/5 #
II) Étudier la série de terme général ln(4n + 1)
− ln(4n)
.
Préciser la troisième ligne puis la nième ligne

1
2a 3a2 . . .
nan−1
 n−1 1 2a . . . (n − 1)an−2
A =  na
..
..
..
..
.
.
.
.
Planche 37
En déduire une base orthonormale de R2 [X].
Donner la matrice de φ2 et la diagonaliser.
d’un produit scalaire sur R2 [X].
I) Montrer que, si (fn ) converge simplement vers f , et s’il existe
une suite (xn ) convergeant vers x telle que la suite fn (xn ) − f (x)
ne tend pas vers 0, alors (fn ) n’est pas uniformément convergente.
# sin(nx) $
Étudier les convergences simple et uniforme de
sur
1 + n2 x2
]a, +∞[ puis sur ]0, +∞[.
!" 1
%1/2
2
P (t)
est une norme dérivant
II) Montrer que φ(P ) =
Planche 36
Page 

1 0 0 2
0 1 1 0
est inversible, diagoI) Dire sans calculs si M = 
0 1 1 0
2 0 0 4
nalisable.
Déterminer
les
valeurs
!
%
!
% propres et les vecteurs propres de
1 2
1 1
A=
et B =
.
2 4
1 1
Soit la base (e1 , e2 , e3 , e4 ), F = V ect(e1 , e4 ), G = V ect(e2 , e3 ).
En remarquant que E = F ⊕ G, trouver une base dans laquelle M
est diagonale et donner les valeurs propres de M .
II) Soit f (x) = ln(1 + sin x).
Déterminer le développement limité en 0 à l’ordre 2 de f .
(−1)n
Montrer que la série de terme général ln(1 + sin
) est absolnα
ument convergente pour α > 1.
Déterminer les valeurs de α telles que la série converge.
Planche 35
II) Montrer que f (P ) = P − P ! est bijectif sur Rn [X], d’abord en
utilisant sa matrice, puis sans cette aide.
Pour Q ∈ Rn [X], résoudre P − P ! = Q.
0
Planche 34 II abordable dès la 1e année
" 1
)
I) Montrer que
x−x dx =
n−n .
Planche 33 II abordable dès la 1e année
I)
3 (u
3 n ) deux suites complexes telles que :
3 uSoient
3 n ) et (v
3 n+1 3 3 vn+1 3
3 u 3 ! 3 v 3 à partir d’un certain rang.
n
n
Montrer que si (vn ) tend vers 0, (un ) aussi.
Montrer que si (| un |) tend vers +∞, (| vn |) aussi.
II) Soit E de dimension finie n et f ∈ L(E).
Montrer que E = Ker f + Im f ⇒ Im f = Im f 2 ⇒ Ker f = Ker f 2 .
III) Convergence de la série de terme général tan √1 − sin √1 ·
n
n
L’Officiel de la Taupe numéro  − /
1
, α ∈ R.
ln n + (−1)n nα
c MMVII Éditions Officiel de la Taupe Gyroscope
)
Montrer que l’application définie sur C par φ(λ) = det(Q + λR) est
polynômiale et en déduire que A et B sont semblables dans Mn (R).
!
%
λ 0
ou
Montrer que toute matrice de M2 (R) est semblable à
0 µ
%
!
%
!
cos θ − sin θ
λ 1
ou ρ
.
0 λ
sin θ cos θ
AR = RB, AQ = QB, Q + iR ∈ GLn (C).
Montrer qu’il existe Q et R réelles telles que :
II) Soient A et B sont réelles et semblables dans Mn (C).
I) Nature de la série de terme général
Planche 42
Montrer que my (u + v) ! my (u) + my (v).
Soit v un endomorphisme symétrique à valeurs propres strictement
positives. Justifier que u+v est aussi un endomorphisme symétrique
à valeurs propres strictement positives.
II) Soit u un endomorphisme symétrique à valeurs propres strictement positives d’un espace euclidien E.
#
$#
$
Montrer que ∀(x, y) ∈ E 2 , (x|y) ! u(x)|x u−1 (y)|y .
$
#
$#
Trouver m = inf{ u(x)|x u−1 (x)|x , $ x $ = 1}.
#
$
Trouver, pour y ∈ E\{0}, my (u) = inf{ u(x)|x , (x|y) = 1}.
Montrer que f est continue si et seulement si ∀A ⊂ E, f (Ā) ⊂ f (A).
I) Soit f application d’un espace E dans un espace F , tous deux
de dimension finie.
Planche 41
Page 
Planche 40
I) Soient A ∈ M3,2 (R), B ∈ M2,3 (R) telles que :
&
'
−1 −1 0
AB =
1 −2 1 . BA est-elle diagonalisable ? Quelles sont
1 −1 0
ses valeurs propres ? Comment trouver les vecteurs propres associés ?
" +∞
#
$
sin t2 + 12 dt est convergente et impropre.
II) Montrer que
t" 3
0
3
x3
$3
#2
1
3
3
Donner un équivalent en +∞ de
3 sin t + t2 3 dt.
0
Planche 39
I) Donner les domaines de définition de :
" +∞
+∞
)
1 ·
−t x−1
e t
dt et ξ(x) =
Γ(x) =
x
n
0
n=1
" +∞ x−1
t
Montrer que ∀x > 1, Γ(x)ξ(x) =
dt.
et−1
0
+∞
)
xn ·
II) Calculer S(x) =
2n + 1
n=0
III) Soient u et v diagonalisables qui commutent. Montrer qu’il
existe une base de vecteurs propres qui diagonalise u et v.
Planche 38
I) Soit (fn )n∈N une suite de fonctions continues convergeant simplement vers f continue sur [a, b].
Montrer que si la suite (fn )n∈N est croissante ou décroissante alors
il y a convergence uniforme.
Montrer que si ∀n ∈ N, la fonction fn est croissante ou décroissante
alors il y a convergence uniforme.
II) Soit E un C-espace vectoriel de dimension finie, f et g deux
applications linéaires sur E.
Montrer que sp(f ) ∩ sp(g) 0= ∅ ⇔ ∃h ∈ L(E), g ◦ h = h ◦ f
1
est de la forme
1 + x2
L’Officiel de la Taupe numéro  − /
&
c MMVII Éditions Officiel de la Taupe Gyroscope
)
I) Trouver a, b, c des réels positifs tels que la série de terme général
un = a1/n − 1 (b1/n + c1/n ) converge.
2
II) Soit P ∈ C[X, Y ] tel que P (X, Y ) = P (Y, X). On suppose que
X − Y | P (X, Y ). Montrer que (X − Y )2 | P (X, Y ).
III) Soit A ∈ Mn (R) symétrique positive.
Montrer que det(A + In )1/n " 1 + (det A)1/n .
Soit A ∈ Mn (R) antisymétrique. Montrer que exp(A) ∈ On (R).
Planche 48
I) Montrer que ∀n ∈ N, ∃Tn ∈ R[X], ∀θ ∈ R, Tn (cos θ) = cos(nθ).
Décomposer 1 en éléments simples.
Tn
#
$
(−1)n
II) Nature de la série de terme général ln 1 + √
.
n ln(1 + n)
Planche 47 I abordable dès la 1e année
'
0 1 0
I) Que dire de 1 0 1 ? Calculer son polynôme caractéristique,
0 1 0
son polynôme minimal, son exponentielle.
Indication : pour ce dernier calcul, on effectuera la division euclidienne de X n par le polynôme carcatéristique et on se ramènera à
deux calculs de somme de série.
1 + 1 + ... + 1 ·
II) Étudier la suite de terme général un = n
n+1
2n
III) Que peut-on dire d’une matrice orthogonale et symétrique ?
De l’endomorphisme canoniquement associé ? Donner la matrice de
cet endomorphisme dans une base adaptée.
Planche 46
!
%
A B
III) Soit O =
orthogonale réelle de taille n, avec A et
C D
D de taille respective p et q. Montrer que det A2 = det D2 .
Page 
Planche 45 II abordable dès la 1e année
" +∞
1 − cos(tx) −t
I) Expliciter F (x) =
e dt.
t2
0
II) Trouver Ker p ◦ q et Im p ◦ q si p et q sont deux projecteurs qui
commutent.
où Pn est un polynôme dont on précisera les racines.
(1 + x2 )n+1
II) Soit A ∈ Mn (R) vérifiant A2 = −In .
Montrer que n est pair.


B 0 ... 0
.
..

. .. 

0 B
Montrer que A est semblable à  . .
 où B est la
 ..
.. ... 0 
0 ... 0 B
π
matrcie de la rotation d’angle dans le plan.
2
" 1
ln x dx.
III) Calculer
2
x
−1
0
Pn (x)
I) Montrer que la dérivée d’ordre n de
Planche 44 I abordable dès la 1e année
I) Développement en série entière de f (x) =
1 − x2
avec
x2 − 2x cos α + 1
α ∈ ]0, π[. En déduire le développement en série de Fourier de
1
g(x) =
·
1
1 + cos α
2
II) Montrer qu’une famille de n fonctions (f1 , . . . , fn ) de R dans
C est
si il existe (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn tels que
%
! libre si et seulement
$
#
det fi (xj ) 1"i,j"n 0= 0.
Planche 43 II abordable dès la 1e année
"
1
L’Officiel de la Taupe numéro  − /
Page 
Planche 50 II abordable dès la 1e année
Pour x ∈ R∗+ et α > 1 on pose :
" +∞
" +∞ −xtα
e
x−1 −t
Γ(x) =
t
e dt, fα (x) =
dt.
1 + tα
0
0
1 )Γ(1 − 1 ).
Montrer que fα (0) = Γ(1 + α
α
II) Soit un groupe G dont tout élément x vérifie x2 = e.
Montrer qu’il existe un unique entier n tel que G soit isomorphe à
(Z/2Z)n .
I) Donner un équivalent de In =
t2n
n dt.
0 ln(1 − t )
II) Soit A et B deux vecteurs libres de Rn de coefficients respectifs
ai et bi . Diagonaliser la matrice de coefficient ai bj + aj + bi .
III) Décrire Z/9Z.
Planche 49
c MMVII Éditions Officiel de la Taupe Gyroscope
)