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Ch 4- Convection

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Chapitre 4
CONVECTION THERMIQUE
4.1- EQUATIONS DE CONSERVATION
Pour un fluide newtonien incompressible et de viscosité constante, les équations de
conservation de la masse, de la quantité de mouvement (équations de Navier-Stockes) et de
l’énergie sont données respectivement par :
→
div U = 0
r
→
r r
DU
ρ
= − grad P + µ ∆U + F
Dt
→
U (u , v, w) est le vecteur vitesse, P la pression, ρ la masse volumique, µ la viscosité dynamique et
r
F la résultante des forces de volume. A noter que la dérivée particulaire ou totale de f est donnée
→
r →
r
r
r r r
par Df / Dt = ∂f / ∂t + U . grad f et que ∆ U = gra d ( divU ) − ro t( ro tU ) .
ρ cp
DT
= λ ∆T + µΦ
Dt
Le côté gauche de l’égalité représente le transfert d’énergie dû au mouvement du fluide (advection),
le premier terme de la droite est le transfert par conduction (diffusion) et le deuxième la dissipation
visqueuse. Pour des vitesses d’écoulement faibles à modérées, la dissipation peut être négligée.
4.2- NOMBRES SANS DIMENSION
Comme en conduction, les nombres sans dimension permettent de réduire le nombre de
paramètres dont dépend un problème de convection et de généraliser les résultats.
- ReL, le nombre de Reynolds basé sur la longueur L :
Re L =
-
ν
=
U ∞2 / L
ρU ∞ L
forces d' inertie
=
=
2
forces de vis cos ité
µ
νU ∞ / L
Re est utilisé comme critère de passage du régime laminaire à celui turbulent. Ainsi, si les forces
de viscosité sont dominantes, Re est faible et le mouvement est laminaire. Dans le cas contraire,
Re est élevé et le mouvement peut être turbulent. ν =µ/ρ est la viscosité cinématique du fluide.
Pr, le nombre de Prandtl :
Pr =
-
U∞L
µ cp
µ/ρ
ν diffusivité de la quantité de mouvement
=
= =
λ
λ / ρc p α
diffusivité thermique
Pr ne dépend que des propriétés du fluide, Pr≈1 pour les gaz, Pr>>1 pour les huiles et Pr<<1
pour les métaux liquides.
Ec, le nombre d’Ecker :
U ∞2 / c p écart de température dû au mouvement du fluide
U ∞2
=
=
Ec =
c p ∆T
∆T
écart de température de référence
Ec caractérise la dégradation de l’énergie mécanique en chaleur. En effet si la vitesse est faible,
la dissipation visqueuse peut être négligée car Ec est faible.
Le coefficient de transfert de chaleur adimensionnel est le nombre de Nusselt basé sur L,
NuL :
________________________________________________________________________________
Transferts Thermiques – Chapitre 4
- 33 -
Nu L =
hL
λ
=
h ∆T
transfert de chaleur par convection
=
λ ∆T / L transfert de chaleur par conduction à travers la couche d ' épaisseur L
NuL=1 montre que le transfert de chaleur se fait uniquement par conduction à travers la couche
fluide d’épaisseur L.
En convection naturelle, Le nombre de Grashof joue le rôle du nombre de Reynolds en
convection forcée. Son expression est :
GrL =
gβL3 ∆T
ν
2
=
forces de poussée
forces de vis cos ité
g est l’accélération de la pesanteur et β, le coefficient d’expansion thermique à pression constante.
1  ∂ρ 
β=− 
 , d’où β=1/T pour les gaz parfaits.
ρ  ∂T  P
Le nombre de rayleigh est RaL=GrL.Pr
4.3- CONVECTION FORCEE EXTERNE
4.3.1- Notion de couche limite
Considérons une plaque plane placée dans un écoulement bidimensionnel (xOy) de vitesse
U∞ parallèle à Ox et de température T∞. Les particules fluides en contact avec la paroi ont une
vitesse nulle (fluide visqueux). Ces particules, vont retarder les particules fluides de la couche
adjacente qui à leur tour retardent celles de la couche suivante et ainsi de suite jusqu’à une distance
y=δ(x) où l’effet devient négligeable. Ce phénomène est associé aux forces de frottement
(contraintes tangentielles). Cette zone perturbée est appelée couche limite cinématique ou
hydrodynamique et son épaisseur δ(x) est définie par la valeur de y correspondant à (voir figure) :
u ( x, y ) = 0.99U ∞
Les gradients de vitesse et les contraintes tangentielles sont importants dans la couche limite
cinématique, par contre ils sont négligeables en dehors. A noter aussi que δ(x) augmente avec x, car
l’effet de la voscosité pénètre de plus en plus dans l’écoulement libre à mesure que celui-ci avance.
De même, si la température de la plaque Tp est différente de T∞, il y aurait développement
d’une couche limite thermique. En effet, les particules fluides en contact avec la paroi sont à Tp
(équilibre thermique avec la paroi). Ces particules, vont échanger de la chaleur avec les particules
fluides de la couche adjacente et ainsi de suite jusqu’à une distance y=δt(x) où le gradient de
température devient négligeable. L’épaisseur de la couche limite thermique δt(x) est donnée par la
valeur de y correspondant à (voir figure) :
θ ( x, y ) =
T ( x, y ) − Tp
T∞ − T p
= 0.99
Plus on s’éloigne du bord d’attaque (x=0), plus la zone concernée par les échanges thermiques
s’élargie, donc δt(x) augmente avec x.
T∞
y
U∞
y
u(x,y)
x
δ(x)
Tp
U∞,T∞
dx
T(x,y)
δt(x)
Tp
x
U∞,T∞
________________________________________________________________________________
Transferts Thermiques – Chapitre 4
- 34 -
Le transfert de chaleur entre la plaque et le
transitoire turbulent
laminaire
fluide dépend du régime d’écoulement (laminaire ou
turbulent). Ainsi pour x<xc (voir figure), on a une
couche limite laminaire caractérisée par un écoulement U
∞
ordonné et organisé sous forme de couches qui glissent
T∞
les unes sur les autres. Après une zone de transition
xc
x
(x>xc) où l’écoulement commence à être désordonnés,
Tp
L
on obtient une couche limite turbulente caractérisée par
n écoulement qui n’est plus permanent et dont les
particules ont un mouvement aléatoire, tourbillonnaire et tridimensionnel. Le brassage du fluide dû
aux fluctuations de la vitesse donne une épaisseur de la couche limite et des transferts convectifs qui
sont plus élevés qu’en laminaire.
La transition vers le régime turbulent se fait approximativement en xc, abscisse critique, à
calculer à partir du Reynolds critique :
Re x ,c =
U ∞ xc
= 5.10 5
ν
Les particules fluides en contact avec la paroi forment un film visqueux à travers lequel le
transfert de chaleur se fait par conduction. Donc la densité de flux local échangé par convection
entre la plaque et le fluide en x est :
q ( x) = h( x)(T p − T∞ ) = −λ
∂T ( x, y )
∂y
y =0
h(x) est le coefficient de convection local, qui peut s’écrire sous la forme :
h( x ) = −
λ
∂T ( x , y )
( T p − T∞ )
∂y
=
y =0
λ ∂θ ( x , y )
L
∂y
y =0
L est la longueur de la plaque. Cette relation, montre l’égalité entre Nux et le gradient local de
température adimensionnelle, Nu x = Nu x ( x , Re x , Pr) .
Le flux total échangé entre la plaque de surface S et le fluide, s’écrit en fonction du coefficient de
convection moyen sur la longueur L, hm,L :
Q = ∫ q ( x) dS = (T p − T∞ ) ∫ h( x)dS = hm, L S (T p − T∞ ) 
→ hm, L =
S
S
1
S
∫
S
h( x)dS =
1 L
h( x)dx
L ∫ x =0
Les relations ci-dessus permettent d’écrire :
h m ,L =
λ
L∫
∂θ ( x , y )
x=0
∂y
L
y =0
L ∂θ ( x , y )
h L
dx

→ Nu m ,L = m ,L = ∫
x =0
λ
L
∂y
y =0
dx
L
La relation ci-dessus montre que Nu m ,L = Nu m ,L (Re L , Pr) .
4.3.2- Convection laminaire sur une plaque plane
L’épaisseur de la couche limite est donnée par :
δ( x ) =
5
U ∞ / νx
= 5.x. Re x−1 / 2
Le nombre de Nusselt local en régime laminaire est :
________________________________________________________________________________
Transferts Thermiques – Chapitre 4
- 35 -
Nu x =
h( x ) x
λ
= 0.332 Re1x / 2 Pr 1 / 3
pour : Rex<5.105 et 0.6≤Pr≤50
Les résultats numériques, ont permis aussi de déterminer δt en régime laminaire :
δ t ( x ) = δ ( x ) Pr −1 / 3
Le coefficient de convection et le nombre de Nusselt moyens en régime laminaire, sur une
longueur x de la plaque, sont donnés par :
λ
1 x
U 
hm ,x = ∫ h( x )dx = 0.332 Pr 1 / 3  ∞ 
0
x
x
 ν 
hm ,x x
Nu m ,x =
= 0.664 Re1x / 2 Pr 1 / 3
1/ 2
∫
x
0
λ
dx
= 2 h( x )
x1/ 2
pour : x<xc et 0.6≤Pr≤50
pour :Rex<5.105 et 0.6≤Pr≤50
Toutes les propriétés du fluide sont à évaluer à la température du film T f = (T p + T∞ ) / 2
4.3.3- Corrélations pour une plaque plane
En régime laminaire, pour une plaque isotherme et tous les nombres de Prandtl, Churchill et
Ozoe ont développé la corrélation :
Nu x =
0.3387 Re1x / 2 Pr 1 / 3
[1 + (0.0468 / Pr ) ]
2 / 3 1/ 4
Valable pour le nombre de Peclet : Pex=RexPr≥100
En régime turbulent, et toujours pour une plaque plane isotherme, il a été trouvé que :
- Les épaisseurs des couches limites cinématique et thermique sont estimées par :
δ ( x ) = δ t ( x ) = 0.37 x Re x −1 / 5
Rex>5.105
Le développement de la couche limite turbulente est beaucoup plus influencé par les fluctuations
aléatoires dans le fluide que par la diffusion moléculaire. D’où l’égalité entre les deux épaisseurs.
- Le nombre de Nusselt local en régime turbulent est :
Nu x =
h( x )x
λ
= 0.0296 Re x4 / 5 Pr 1 / 3
pour : 5.105<Rex<107 et 0.6<Pr<60
Un écoulement turbulent sur une plaque, est toujours précédé par un régime laminaire. Le
coefficient d’échange par convection moyen sur la longueur L de la plaque est donc :



4/5
1/ 3
1/ 2
4/5
 ⇒ Nu m ,L = 0.037 Re L − 871 Pr


xc
L
dx
dx
λ
U 
U 
= 0.332 ∞  ∫ 1 / 2 dx + 0.0296 ∞  ∫ 1 / 5  Pr 1 / 3 
0
xc

L 
x
x 
 ν 
 ν 

hm ,L =
L
1  xc
(
h( x ))lam dx + ∫ (h( x ))turb dx 
∫

xc
L  0
(
)
Valable pour : 5.105<Rex<107 et 0.6<Pr<60
Dans le cas d’une plaque soumise à un flux constant qp, c’est la température qui n’est plus
uniforme Tp(x). Kays donne les relations suivantes :
- Régime laminaire :
Nu x = 0.453 Re1x / 2 Pr 1 / 3
- Régime turbulent :
Nu x = 0.0308 Re x4 / 5 Pr 1 / 3
________________________________________________________________________________
Transferts Thermiques – Chapitre 4
- 36 -
La température de la paroi est alors :
T p ( x ) = T∞ +
qp
h( x )
Pour d’autres configurations (cylindre, sphère, faisceau de tubes, …), des corrélations sont
exposées dans la littérature spécialisée (voir bibliographie).
4.4- CONVECTION FORCEE INTERNE
Dans cette partie on s’intéresse au transfert de chaleur par convection forcée entre un fluide
en écoulement permanent dans une conduite, surtout à section circulaire, et la paroi de celle-ci.
D’où l’appellation de convection forcée interne.
4.4.1- Zones d’entrée et établie
On considère un tube circulaire, de diamètre D=2R. Un fluide incompressible à propriétés
constantes entre au tube avec une température Te et une vitesse uniforme ue. Dès l’entrée il y a
développement d’une couche limite cinématique due à la viscosité du fluide (mêmes phénomènes
que la plaque). Après une certaine distance xe,c de l’entrée (x=0), la couche limite envahie tout le
tube et l’écoulement devient établi. Ainsi (voir figure ci-dessous) :
- La zone correspondant à x<xe,c est la zone d’entrée cinématique ou hydrodynamique caractérisée
par un écoulement en développement où le profil de vitesse change en fonction de x et de r. xe,c est
appelé longueur d’établissement cinématique ou hydrodynamique.
- La zone correspondant à x>xe,c est la zone d’écoulement établi caractérisée par un profil de vitesse
qui ne change plus en fonction de x et ne dépend que de r (u(r,x)=u(r)). L’écoulement est dit
complètement développé, en régime laminaire c’est celui de Poiseuille (Cours de mécanique des
fluides).
couche limite
u(r,x)
couche limite
ue
Te
r
x
zone d’entrée cinématique
u(r)
xe,c
zone établie
L’étendu de la zone d’entrée dépend du type d’écoulement (laminaire ou turbulent).
L’écoulement est turbulent pour un nombre de Reynolds basé sur le diamètre D :
Re D =
um D
ν
=
ρ u m D 4m&
=
> Re D ,c = 2300
µ
πµD
um est la vitesse moyenne dans une section donnée et m& = ρSu m , le débit massique. En réalité la
transition vers un écoulement turbulent dépend de plusieurs paramètres (rugosité, conditions
d’entrée,…) et la valeur donnée n’est qu’approximative.
La longueur d’établissement cinématique en régime laminaire est donnée par l’expression :
(xe ,c )lam ≈ 0.05D. ReD
En régime turbulent, on peut admettre en première approximation :
(xe ,c )turb ≈ 10 D
Dans la zone établie u( r , x ) = u( r ) et v( r , x ) = 0 .
On considère le cas d’un transfert de chaleur par convection forcée entre le fluide et la paroi
du tube soumise à un flux qp ou à une température Tp uniformes. Dés l’entrée du fluide dans la
________________________________________________________________________________
Transferts Thermiques – Chapitre 4
- 37 -
conduite, il y a développement d’une couche limite thermique (mêmes phénomènes que la plaque).
Cette région est appelée zone d’entrée thermique. Après une certaine distance xe,t, longueur
d’établissement thermique, une zone thermique établie est atteinte. Dans cette zone, ce n’est pas le
profil de température du fluide T(r,x) qui ne change plus avec x, mais c’est plutôt celui de la
température adimensionnelle θ ( r , x ) = θ ( r ) :
θ(r )=
T( r, x ) − Tp ( x )
Tm ( x ) − T p ( x )
couche limite
ue
Te
r
T(r,x)
qp
xe,t
x
zone d’entrée thermique
zone établie
Tm(x) est la température moyenne du fluide en une section à la distance x de l’entrée. Dans la zone
d’entrée, θ = θ ( r , x ) alors que dans la région établie ∂θ / ∂x = 0 . La longueur d’établissement
thermique est donnée respectivement pour les écoulements laminaire et turbulent par :
(xe ,t )lam = (xe ,c )lam Pr ≈ 0.05D. ReD Pr et (xe ,t )turb = (xe ,c )turb ≈ 10 D .
En l’absence d’écoulement libre, on travaille avec Tm(x).
En une section donnée x, la densité de flux reçu par le fluide est :
q( x) = λ
[
]
∂T (r , x)
∂θ (r , x)
= h( x) T p ( x) − Tm ( x) ⇒ h( x) = −λ
∂r r = R
∂r
r=R
Cette relation montre que pour qp=cte ou Tp=cte, dans la zone établie le coefficient d’échange par
convection est constant h(x)=h=cte (ne dépend pas de x).
4.4.2- Bilans thermiques
Le bilan thermique sur un élément de volume du fluide, d’épaisseur dx, donne l’égalité entre
l’augmentation de l’énergie interne et l’énergie fournie par la paroi à l’élément de volume
dv=πR2dx. Donc pour un gaz parfait ou un fluide incompressible :
dQ=qpdS
dQ + m& c pTm ( x)
= m& c p [Tm ( x) + dTm ( x)]
Tm(0)
m&
D’où : dQ = m& c p dTm (x)
En intégrant entre x=0 et x :
Tm(x)
x
Q0→ x = m& c p [Tm ( x) − Tm ( x = 0)]
Tm(x)+dTm(x)
Tm(L)
dx
La combinaison de ces relations permet de calculer la température de mélange du fluide puisque :
[
]
dQ = m& c p dTm ( x) = h( x) T p ( x) − Tm ( x) πDdx ⇒
[
dTm ( x)
πD
= h( x)
T p ( x) − Tm ( x)
dx
m& c p
]
La solution de cette équation en Tm, dépend des conditions thermiques imposées à la paroi du tube.
4.4.2.1- Flux imposé sur la paroi
Dans ce cas, qp(x)=cte, d’où pour un tube de longueur L avec un fluide à l’entrée à Tm(o) :
________________________________________________________________________________
Transferts Thermiques – Chapitre 4
- 38 -
πDq p
dTm ( x) πD
=
q p ⇒ Tm ( x) = Tm (0) +
x
dx
m& c p
m& c p
Donc Tm(x) varie linéairement en fonction de x. D’autre part, on peut constater que dans la région
thermique établie, (T p ( x) − Tm ( x) ) est indépendant de x puisque q p = h(T p ( x) − Tm ( x) ) = cte .
4.4.2.2- Température imposée sur la paroi
Dans ce cas Tp(x)=cte. On pose ∆T(x)=Tp-Tm(x), après remplacement dans l’équation
différentielle en Tm(x) on a :
dTm ( x )
d∆T ( x ) πD
∆T ( x )
πDx  1 x
πDx

=−
=
h( x )∆T ( x ) ⇒ ln
=−
h( x )dx  = −
hm , x
∫

x
=0
dx
dx
m& c p
∆T ( x = 0 )
m& c p  x
m& c p

D’où :
 πDhm , x 
T p − Tm ( x)
= exp −
x
T p − Tm ( x = 0)
 m& c p 
Cette relation montre que (T p ( x) − Tm ( x) ) décroît exponentiellement le long du tube. Pour
déterminer la température de sortie du fluide il suffit de remplacer x par L. Le flux échangé par
convection sur tout le tube est donnée par Q = m& c p (Tm ( L) − Tm (0) ) = m& c p (∆T (0) − ∆T ( L) ) . En
remplaçant m& c p par l’expression donnée par la dernière relation, on obtient :
Q = πDLhm, L (∆T ) ln
avec
(∆T ) ln =
∆T ( L) − ∆T (0) Tm (0) − Tm ( L)
=
 ∆T ( L) 
 T p − Tm ( L) 
ln 
ln 


 ∆T (0) 
 T p − Tm (0) 
(∆T ) ln , est la moyenne logarithmique de la différence de température.
Quelque soit la condition imposée à la paroi (flux ou température uniformes), l’utilisation
des résultats obtenus ci-dessus nécessite la connaissance des coefficients d’échange par convection.
4.4.3- Convection laminaire dans un tube en zones établies
4.4.3.1- Paroi soumise à un Flux constant
Donc dans les zones hydrodynamique et thermique établies, le profil de température est :
2u m R 2 dTm ( x)  3
r2
r4
 −
T (r , x) = T p ( x) −
+
α
dx  16 4 R 2 16 R 4



Et la relation donnant Tm (x) :
Tm ( x) = T p ( x) −
11 u m R 2 dTm ( x)
11 q p D
= T p ( x) −
48 α
dx
48 λ
La dernière égalité est justifiée par dTm ( x) / dx = q p πD / m& c p avec m& = ρu m (πD 2 / 4) . Donc d’après
la loi de Newton, q p = h(T p ( x) − Tm ( x)) , le coefficient d’échange local par convection et le nombre
de Nusselt local sont donnés par :
h=
48 λ
11 D
⇒
Nu D =
hD 48
=
= 4.36
11
λ
________________________________________________________________________________
Transferts Thermiques – Chapitre 4
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Les propriétés sont à évaluer à Tm de préférence ou à défaut à Tmm=[Tm(0)+Tm(L)]/2 . NuD est
constant et ne dépend pas de Re, Pr et x.
4.4.3.2- Paroi soumise à une température constante
Il a été trouvé (voir bibliographie) que le nombre de Nusselt local est :
Nu D =
hD
= 3.66
λ
h = 3.66
⇒
λ
D
Toujours les propriétés sont à évaluer à Tm de préférence ou à défaut à [Tm(0)+Tm(L)]/2.
4.4.4- Corrélations pour une conduite
L’étude de la convection forcée dans une conduite en tenant compte des zones d’entrée
hydrodynamique et thermique est beaucoup plus complexe même en régime laminaire. Comme
dans le cas de la convection externe, on va faire appel à des corrélations empiriques pour la
détermination des nombres de Nusselt locaux ou moyens dans les deux régimes d’écoulement.
En tenant compte des zones d’entrée hydrodynamique et thermique et pour une conduite
isotherme en régime laminaire, Sieder et Tate ont développé une corrélation qui donne le nombre de
Nusselt moyen :
Nu m ,D
 Re Pr 
= 1.86  D

 L/ D 
1/ 3
 µ

µ
 p




0.14

T = cte , Re ≤ 2300 , propriétés évaluées à T = ( T ( 0 ) + T ( L )) / 2
D
mm
m
m
 p
Valable pour : 0.48 ≤ Pr ≤ 16700

µ
0.0044 p
p 9.75 , µ p à T p
µp

En régime turbulent, dans les zones développées, Sieder et Tate donnent une corrélation qui
permet de calculer le nombre de Nusselt local dans un tube lisse isotherme ou à flux imposé:
0.14
 µ 

Nu D = 0.027 Re Pr 
µ 
 p
T p = cte ou q p = cte , propriétés à Tm sauf µ p à T p

 Re ≥ 10000
Valable pour :  D
0.7 ≤ Pr ≤ 16700
 L / D ≥ 10
4/5
D
1/ 3
Puisqu’en régime turbulent les longueurs d’établissement sont faibles, on peut prendre avec une
bonne approximation le nombre de Nusselt moyen sur tout le tube égal à celui dans les zones
établies : Nu m , D = (Nu D )établies
Pour des tubes non lisses, il y a des corrélations qui tiennent compte du coefficient de
frottement qui peut être calculé ou obtenu à partir du diagramme de Moody (voir bibliographie).
Pour les conduites à section non circulaires, on peut utiliser en première approximation les
corrélations développées pour un tube circulaire à condition de remplacer D par le diamètre
hydraulique équivalent :
Dh = 4 S / p
S, est la section et p, le périmètre mouillé.
________________________________________________________________________________
Transferts Thermiques – Chapitre 4
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En convection forcée interne, d’autres corrélations sont exposées dans la littérature pour des
situations abordées ou non dans ce cours. Les références citées en bibliographie peuvent être
consultées avec intérêt surtout pour la convection forcée dans les conduites à section non circulaires
et entre tubes coaxiaux.
4.5- CONVECTION NATURELLE
En convection naturelle, c’est le gradient de la masse volumique dû au gradient de
température au sein du fluide qui est à l’origine de son mouvement. Donc la convection libre est due
aux forces de poussée ainsi crées.
Pour mettre en évidence les phénomènes physiques mis
en jeu, considérons le cas classique d’une plaque verticale
T(x,y)
chaude à Tp placée dans l’air au repos à T∞ (voir figure). La
T∞
masse d’air en contact avec la plaque se chauffe, donc sa masse
u(x,y)
volumique décroît. L’air ambiant, de masse volumique plus
u=0
élevée, exerce alors une poussée d’Archimède vers le haut, et la
masse d’air chaud s’élève en enlevant de la chaleur à la plaque.
couche fluide au
Cette masse d’air est remplacée par une autre plus froide qui va
limite
repos
se chauffer au contact de la plaque et ainsi de suite. Un élément
de volume (dv) du fluide au voisinage de la paroi est soumis à
r
son poids ρg(dv) et à la poussée d’Archimède ρ∞g(dv). La
g
Tp
résultante des forces vers le haut est F= (ρ∞-ρ)g(dv).
x
Sur la plaque, il y a développement d’une couche limite
y
qui est au début laminaire, puis à partir d’une hauteur xc, il y a
transition vers un écoulement turbulent.
A noter que dans le cas d’une plaque froide, on observe
les mêmes phénomènes sauf que l’écoulement se fait en sens
inverse (du haut vers le bas).
4.5.2- Nombres sans dimension
On introduit les variables adimensionnelles :
gβ (T p − T∞ ) L3
, est le nombre de Grashof basé sur L, défini comme étant le rapport des
GrL =
2
ν
forces de poussé et de viscosité. Le nombre de Nusselt est fonction de :
Nu m ,L = f ( GrL , Pr) ou Nu m ,L = f ( Ra L , Pr)
Ra L = GrL Pr , est le nombre de Rayleigh.
4.5.3- Corrélations pour une plaque verticale
Puisque les champs de vitesse et de température sont dépendants en convection naturelle, les
problèmes sont encore plus compliqués à résoudre analytiquement qu’en convection forcée. La plus
part des relations disponibles dans la littérature sont empiriques, d’origines expérimentales et
numériques.
En partant des équations de la couche limite laminaire sur une plaque verticale isotherme,
une corrélation a été développée donnant le Nusselt local :
Nu x =
h( x )x
λ
=
0.75 Pr 1 / 2
[0.609 + 1.221 Pr
1/ 2
+ 1.238 Pr
]
1/ 4
 Grx 


 4 
1/ 4
Valable pour Ra x ≤ Ra x ,c = 10 9 et 0 ≤ Pr p ∞ .
Rax,c est le Rayleigh pour lequel il y a transition vers la turbulence. Pour le cas de la plaque,
toujours les propriétés sont à évaluer à T f = (T p + T∞ ) / 2 .
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Transferts Thermiques – Chapitre 4
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Le nombre de Nusselt moyen et le coefficient convectif moyen sont à calculer de la même
manière qu’en (§4.3.1) :
hm , L =
h , L 4
1 L
h( x)dx ⇒ Nu m , L = m L = Nu L
∫
L x =0
3
λ
Pour les deux régimes d’écoulement, Churchill et Chu, proposent une corrélation
expérimentale donnant le nombre de Nusselt moyen pour tous les nombres de Pr :
Nu m ,L

0.387 Ra L1 / 6

= 0.825 +
1 + ( 0.492 / Pr)9 / 16

[

8 / 27 

2
]
0.1 p Ra L p 10 12
Pour une plaque à flux imposé, Ozisik propose pour le nombre de Nusselt local, les
corrélations suivantes :
(
Nu x = 0.60 Grx* Pr
(
)
1/ 5
Nu x = 0.568 Grx* Pr
)
0.22
pour
10 5 p Grx* Pr p 10 11
pour
2.10 13 p Grx* Pr p 10 16 ( turbulent )
( laminaire )
Grx* = Grx Nu x , est le nombre de Grashof modifié.
Pour d’autres configurations la littérature est riche en corrélations expérimentales. On peut
citer en particulier celles relatives à des configurations souvent rencontrées en pratique à savoir
(voir bibliographie) :
- Plaques horizontaleschauffées ou refroidies vers le bas ou le haut.
- Cylindres horizontaux et verticaux.
- Deux cylindres coaxiaux ou deux sphères concentriques.
- Deux plaques parallèles (cheminée)
- Cavités rectangulaires à grand rapport de forme (capteurs solaires)
- etc,…
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Transferts Thermiques – Chapitre 4
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