Convection Thermique: Equations et Nombres Adimensionnels

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Transferts Thermiques – Chapitre 4 - 33 -
Chapitre 4 CONVECTION THERMIQUE
4.1- EQUATIONS DE CONSERVATION
Pour un fluide newtonien incompressible et de viscosité constante, les équations de
conservation de la masse, de la quantité de mouvement (équations de Navier-Stockes) et de
l’énergie sont données respectivement par :
0=
→
Udiv
FUPgrad
Dt
UD
rr
r
++−=
→
∆µρ
),,( wvuU
→
est le vecteur vitesse, P la pression, ρ la masse volumique, µ la viscosité dynamique et
F
r
la résultante des forces de volume. A noter que la dérivée particulaire ou totale de f est donnée
par fgradUtfDtDf
→
+∂∂= .//
r
et que )()( UtortorUdivdagrU
r
rr
r
r−=
→
∆ .
Φ+∆= µλρ T
Dt
DT
c
p
Le côté gauche de l’égalité représente le transfert d’énergie dû au mouvement du fluide (advection),
le premier terme de la droite est le transfert par conduction (diffusion) et le deuxième la dissipation
visqueuse. Pour des vitesses d’écoulement faibles à modérées, la dissipation peut être négligée.
4.2- NOMBRES SANS DIMENSION
Comme en conduction, les nombres sans dimension permettent de réduire le nombre de
paramètres dont dépend un problème de convection et de généraliser les résultats.
- Re
L, le nombre de Reynolds basé sur la longueur
L :
itévisdeforces inertiedforces
LU
LULULU
2
2
L
cos
'
/
/
Re ====
∞
∞∞∞
ν
µ
ρ
ν
Re est utilisé comme critère de passage du régime laminaire à celui turbulent. Ainsi, si les forces
de viscosité sont dominantes, Re est faible et le mouvement est laminaire. Dans le cas contraire,
Re est élevé et le mouvement peut être turbulent.
ν
= µ / ρ est la viscosité cinématique du fluide.
- Pr , le nombre de Prandtl :
thermiqueédiffusivit mouvementdequantitéladeédiffusivit c/ /
c
Pr
p
p
====
α
ν
ρλ ρµ λ
µ
Pr ne dépend que des propriétés du fluide, Pr≈1 pour les gaz, Pr>>1 pour les huiles et Pr<<1
pour les métaux liquides.
- Ec, le nombre d’Ecker :
référencedeetempératurdeécart fluidedumouvementaudûetempératurdeécart
T
cU
TcU
Ec
p
2
p
2
===
∞
∞
∆∆
/
Ec caractérise la dégradation de l’énergie mécanique en chaleur. En effet si la vitesse est faible,
la dissipation visqueuse peut être négligée car Ec est faible.
Le coefficient de transfert de chaleur adimensionnel est le nombre de Nusselt basé sur L,
Nu
L
:

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Transferts Thermiques – Chapitre 4 - 34 -
Lépaisseurdcouchelatraversàconductionparchaleurdetransfert convectionparchaleurdetransfert LTThLh
NuL'/ =
∆
∆
==
λλ
Nu
L
=1 montre que le transfert de chaleur se fait uniquement par conduction à travers la couche
fluide d’épaisseur L .
En convection naturelle, Le nombre de Grashof joue le rôle du nombre de Reynolds en
convection forcée. Son expression est :
itévisdeforces pousséedeforces
TLg
Gr
2
3
L
cos
==
ν∆β
g est l’accélération de la pesanteur et β , le coefficient d’expansion thermique à pression constante.
P
T
∂ρ∂
ρ
−=β 1 , d’où β =1/ T pour les gaz parfaits.
Le nombre de rayleigh est Ra
L
=Gr
L
.Pr
4.3- CONVECTION FORCEE EXTERNE
4.3.1- Notion de couche limite
Considérons une plaque plane placée dans un écoulement bidimensionnel ( xOy ) de vitesse
U
∞
parallèle à Ox et de température T
∞
. Les particules fluides en contact avec la paroi ont une
vitesse nulle (fluide visqueux). Ces particules, vont retarder les particules fluides de la couche
adjacente qui à leur tour retardent celles de la couche suivante et ainsi de suite jusqu’à une distance
y=δ(x) où l’effet devient négligeable. Ce phénomène est associé aux forces de frottement
(contraintes tangentielles). Cette zone perturbée est appelée couche limite cinématique ou
hydrodynamique et son épaisseur δ(x) est définie par la valeur de y correspondant à (voir figure) :
∞
=Uyxu 99.0),(
Les gradients de vitesse et les contraintes tangentielles sont importants dans la couche limite
cinématique, par contre ils sont négligeables en dehors. A noter aussi que δ(x) augmente avec x , car
l’effet de la voscosité pénètre de plus en plus dans l’écoulement libre à mesure que celui-ci avance.
De même, si la température de la plaque T
p
est différente de T
∞
, il y aurait développement
d’une couche limite thermique. En effet, les particules fluides en contact avec la paroi sont à T
p
(équilibre thermique avec la paroi). Ces particules, vont échanger de la chaleur avec les particules
fluides de la couche adjacente et ainsi de suite jusqu’à une distance y=δ
t
(x) où le gradient de
température devient négligeable. L’épaisseur de la couche limite thermique δ
t
(x) est donnée par la
valeur de y correspondant à (voir figure) :
990.
),(
),( =
−
−
=
∞p
p
TT
TyxT
yx θ
Plus on s’éloigne du bord d’attaque (x=0), plus la zone concernée par les échanges thermiques
s’élargie, donc δ
t
(x) augmente avec x.
U
∞
,T
∞
y
δ
t
(x)
T(x,y)
T
∞
x
T
p
U
∞
,T
∞
T
p
δ(x)
y
u(x,y)
U
∞
x
dx

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Transferts Thermiques – Chapitre 4 - 35 -
Le transfert de chaleur entre la plaque et le
fluide dépend du régime d’écoulement (laminaire ou
turbulent). Ainsi pour x<x
c
(voir figure), on a une
couche limite laminaire caractérisée par un écoulement
ordonné et organisé sous forme de couches qui glissent
les unes sur les autres. Après une zone de transition
(x>x
c
) où l’écoulement commence à être désordonnés,
on obtient une couche limite turbulente caractérisée par
n écoulement qui n’est plus permanent et dont les
particules ont un mouvement aléatoire, tourbillonnaire et tridimensionnel. Le brassage du fluide dû
aux fluctuations de la vitesse donne une épaisseur de la couche limite et des transferts convectifs qui
sont plus élevés qu’en laminaire.
La transition vers le régime turbulent se fait approximativement en x
c
, abscisse critique, à
calculer à partir du Reynolds critique :
5
105.Re
,
==
∞
ν
c
cx
xU
Les particules fluides en contact avec la paroi forment un film visqueux à travers lequel le
transfert de chaleur se fait par conduction. Donc la densité de flux local échangé par convection
entre la plaque et le fluide en x est :
0
),(
))(()(
=
∞
∂
∂
−=−=
y
p
yyxT
TTxhxq λ
h(x) est le coefficient de convection local, qui peut s’écrire sous la forme :
0
0= =
∞
∂
∂
=
∂
∂
−
−=
y
y
p
yyx Ly yxT TT
xh ),(),(
)(
)(
θλλ
L est la longueur de la plaque. Cette relation, montre l’égalité entre Nux et le gradient local de
température adimensionnelle, Pr),Re,(
xxx
xNuNu = .
Le flux total échangé entre la plaque de surface S et le fluide, s’écrit en fonction du coefficient de
convection moyen sur la longueur L, hm,L :
∫∫∫∫
=
∞∞
==→−=−==
L
xS
LmpLm
S
p
S
dxxh
L
dSxh
S
hTTShdSxhTTdSxqQ
0
,,
)(
1
)(
1
)()()()(
Les relations ci-dessus permettent d’écrire :
L
dx
yyx
Lh
Nu
L
dx
yyx L
h
L
xy
Lm
Lm
L
xy
Lm
∫∫
== ==
∂
∂
==→
∂
∂
=
00 00
),(),(
,
,,
θ
λ
θλ
La relation ci-dessus montre que Pr),(Re
,, LLmLm
NuNu =.
4.3.2- Convection laminaire sur une plaque plane
L’épaisseur de la couche limite est donnée par :
21
5
5
/
Re..
/
)(
−
∞
==
x
x
xU
x
ν
δ
Le nombre de Nusselt local en régime laminaire est :
L T
p
x
U
∞
T
∞
laminaire
transitoire
turbulent
x
c

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Transferts Thermiques – Chapitre 4 - 36 -
3121
3320
//
PrRe.
)(
xx
xxh
Nu ==
λ
pour : Re
x
<5.10
5
et 0.6 ≤Pr≤ 50
Les résultats numériques, ont permis aussi de déterminer δ
t
en régime laminaire :
31/
Pr)()(
−
=xx
t
δδ
Le coefficient de convection et le nombre de Nusselt moyens en régime laminaire, sur une
longueur x de la plaque, sont donnés par :
)(Pr.)(
/
/
/
,
xh2
xdx
U
x
3320dxxh
x
1
h
21
x
0
21
31
x
0
xm
= ==
∫∫
∞
ν
λ
pour : x<x
c
et 0.6 ≤Pr≤ 50
3121
6640==
//
x
x,m
x,m
PrRe.
xh
Nu
λ
pour : Re
x
<5.10
5
et 0.6 ≤Pr≤ 50
Toutes les propriétés du fluide sont à évaluer à la température du film 2/)(
∞
+= TTT
pf
4.3.3- Corrélations pour une plaque plane
En régime laminaire, pour une plaque isotherme et tous les nombres de Prandtl, Churchill et
Ozoe ont développé la corrélation :
( ) [ ]
41
32
3121
046801
33870
/
/
//
Pr/.
PrRe.
+
=
x
x
Nu Valable pour le nombre de Peclet : Pe
x
=Re
x
Pr≥100
En régime turbulent, et toujours pour une plaque plane isotherme, il a été trouvé que :
- Les épaisseurs des couches limites cinématique et thermique sont estimées par :
51
370
/
Re.)()(
−
==
xt
xxx δδ Re
x
>5.10
5
Le développement de la couche limite turbulente est beaucoup plus influencé par les fluctuations
aléatoires dans le fluide que par la diffusion moléculaire. D’où l’égalité entre les deux épaisseurs.
- Le nombre de Nusselt local en régime turbulent est :
3154
02960
//
PrRe.
)(
xx
xxh
Nu ==
λ
pour : 5.10
5
<Re
x
<10
7
et 0.6<Pr<60
Un écoulement turbulent sur une plaque, est toujours précédé par un régime laminaire. Le
coefficient d’échange par convection moyen sur la longueur L de la plaque est donc :
( ) ( )
( )
3154
31
51
54
021
21
0
8710370
029603320
1
//
,
/
/
/
/
/
,
PrRe.
Pr..
)()(
−=⇒
+ =
+=
∫∫
∫∫
∞∞ LLm
L
xc
xc
L
xc turb
xc
lam
Lm
Nu
xdx
U
dx
xdx
U
L
dxxhdxxh
L
h
νν
λ
Valable pour : 5.10
5
<Re
x
<10
7
et 0.6<Pr<60
Dans le cas d’une plaque soumise à un flux constant q
p
, c’est la température qui n’est plus
uniforme T
p
(x). Kays donne les relations suivantes :
- Régime laminaire :
3121
4530
//
PrRe.
xx
Nu =
- Régime turbulent :
3154
03080
//
PrRe.
xx
Nu =

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Transferts Thermiques – Chapitre 4 - 37 -
La température de la paroi est alors : )(
)( xh
q
TxT
p
p
+=
∞
Pour d’autres configurations (cylindre, sphère, faisceau de tubes, …), des corrélations sont
exposées dans la littérature spécialisée (voir bibliographie).
4.4- CONVECTION FORCEE INTERNE
Dans cette partie on s’intéresse au transfert de chaleur par convection forcée entre un fluide
en écoulement permanent dans une conduite, surtout à section circulaire, et la paroi de celle-ci.
D’où l’appellation de convection forcée interne.
4.4.1- Zones d’entrée et établie
On considère un tube circulaire, de diamètre D=2R. Un fluide incompressible à propriétés
constantes entre au tube avec une température T
e
et une vitesse uniforme u
e
. Dès l’entrée il y a
développement d’une couche limite cinématique due à la viscosité du fluide (mêmes phénomènes
que la plaque). Après une certaine distance x
e,c
de l’entrée (x=0), la couche limite envahie tout le
tube et l’écoulement devient établi. Ainsi (voir figure ci-dessous) :
- La zone correspondant à x<x
e,c
est la zone d’entrée cinématique ou hydrodynamique caractérisée
par un écoulement en développement où le profil de vitesse change en fonction de x et de r. x
e,c
est
appelé longueur d’établissement cinématique ou hydrodynamique.
- La zone correspondant à x>x
e,c
est la zone d’écoulement établi caractérisée par un profil de vitesse
qui ne change plus en fonction de x et ne dépend que de r (u(r,x)=u(r)). L’écoulement est dit
complètement développé, en régime laminaire c’est celui de Poiseuille (Cours de mécanique des
fluides).
L’étendu de la zone d’entrée dépend du type d’écoulement (laminaire ou turbulent).
L’écoulement est turbulent pour un nombre de Reynolds basé sur le diamètre D :
2300
4=>=== cD
mm
DD
m
DuDu ,
ReRe
πµµ
ρ
ν
&
u
m
est la vitesse moyenne dans une section donnée et m Sum ρ =
&, le débit massique. En réalité la
transition vers un écoulement turbulent dépend de plusieurs paramètres (rugosité, conditions
d’entrée,…) et la valeur donnée n’est qu’approximative.
La longueur d’établissement cinématique en régime laminaire est donnée par l’expression :
(
)
D
lam
ce
Dx Re..
,
050≈
En régime turbulent, on peut admettre en première approximation :
(
)
Dx
turb
ce
10≈
,
Dans la zone établie 0
=
=
),()(),( xrvetruxru .
On considère le cas d’un transfert de chaleur par convection forcée entre le fluide et la paroi
du tube soumise à un flux q
p
ou à une température T
p
uniformes. Dés l’entrée du fluide dans la
x
r
couche limite
couche limite
u
e
T
e
u(r,x) u(r)
zone d’entrée cinématique zone établie
x
e,c