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nombres entiers

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texte extrait de wikipedia
En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif permettant
fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un et
donc de compter des objets considérés comme équivalents : un jeton,
deux jetons… une carte, deux cartes, trois cartes… Un tel nombre
entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation
décimale positionnelle (sans signe et sans virgule).
Chaque nombre entier a un successeur unique, c'est-à-dire un entier
qui lui est immédiatement supérieur, et la liste des entiers
naturels est infinie1.
La définition originelle, due à Richard Dedekind2, de l'ensemble des
entiers naturels ne comprend pas le nombre zéro3; plus récemment une
autre définition a été proposée qui inclut zéro. Ces deux
définitions coexistent encore aujourd'hui4. Selon les acceptions, la
liste des entiers naturels est donc :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …
ou
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; …
L'étude des entiers naturels et de leurs relations, avec les
opérations d'addition et de multiplication notamment, constitue dès
l'Antiquité grecque une branche des mathématiques appelée «
arithmétique ».
La structure des entiers naturels a été axiomatisée pour la première
fois par Peano et Dedekind à la fin du XIXe siècle. À cette époque
zéro n'était pas considéré comme un entier naturel (et certains
auteurs font encore ce choix), ce qui ne change pas fondamentalement
l'axiomatisation. Ernst Zermelo, quand il a axiomatisé la théorie
des ensembles, a montré que les entiers naturels pouvaient être
définis en termes ensemblistes (on utilise aujourd'hui le plus
souvent une méthode due à von Neumann).
L'ensemble des entiers naturels, qu'il contienne ou non le nombre
zéro, est noté « N {\displaystyle \mathbf {N} } {\displaystyle
\mathbf {N} } » ou « N {\displaystyle \mathbb {N} } \mathbb {N} ».
La notation est due à Dedekind en 1888, qui l'utilise pour
l'ensemble des entiers naturels non nuls. Aujourd'hui ce dernier
ensemble est également couramment noté « N ⋆ {\displaystyle \mathbf
{N} ^{\star }} {\displaystyle \mathbf {N} ^{\star }} » (ou « N ⋆
{\displaystyle \mathbb {N} ^{\star }} {\displaystyle \mathbb {N}
^{\star }} »).
Les entiers naturels s'identifient aux entiers relatifs positifs ou
nuls, ainsi qu'aux nombres rationnels positifs ou nuls pouvant
s'écrire sous la forme d'une fraction de dénominateur 1, et d'une
manière plus générale aux réels positifs ou nuls de partie
fractionnaire nulle.
Les entiers naturels permettent de compter (une pomme, deux pommes,
trois pommes…).
Sommaire
1 Conception
1.1 De l'énumération à l'abstraction
1.2 Définition avortée des entiers en termes de classe de
bijectabilité
1.3 Construction par les ordinaux
2 Désignation
2.1 Énonciation
2.2 Écriture chiffrée
2.3 Codage
3 Arithmétique
3.1 Représentation des opérations
3.2 Multiple et diviseur
3.3 Nombre premier
4 Ensemble des entiers naturels
4.1 Notations
4.2 Théorie des ensembles
4.3 Propriétés
4.4 Axiomatique de Peano
5 Notes
6 Bibliographie
7 Voir aussi
7.1 Articles connexes
7.2 Lien externe
Conception
De l'énumération à l'abstraction
La notion d'entier naturel, occupant d'abord (et jusqu'au XVIIe
siècle5) toute l'idée6 de nombre, est probablement issue de la
notion de collection : le nombre entier est avant tout conçu comme
un cardinal. Certains objets ou animaux, tout en étant distincts les
uns des autres, peuvent admettre une désignation commune, du fait de
leur ressemblance ou d'une autre caractéristique partagée. Leur
rassemblement constitue une collection, tel un troupeau de vaches,
un collier de perles, un tas de pierres.
Le nombre est en germe dans l'énumération d'une collection, c'est-àdire le fait de faire défiler tous ses éléments, un à un et sans
répétition. Il prend consistance dans le constat que deux
énumérations simultanées (d'un troupeau vers un enclos et de
cailloux dans un sac, par exemple) se terminent soit toujours en
même temps, soit toujours en décalage. Le nombre est enfin
représenté lorsque le sac de cailloux ou le bâton à encoches est
utilisé pour indiquer une quantité.
Cependant, le concept d'entier ne naît véritablement que lorsqu'il
est départi de son représentant, c'est-à-dire lorsqu'il ne
représente plus ni cailloux, ni encoches, ni vache : il y a là une
première abstraction où chaque objet est considéré comme une unité
pure et sans qualité. Ce processus mental est connu sous le nom
d'abstraction : il est fait abstraction de la qualité de l'objet
pour s'intéresser uniquement à la quantité. Une seconde abstraction
mène alors à la considération de ces unités comme une collection
d'unités7.
Euclide donne au Livre VII des Éléments la définition suivante : «
L'unité est ce relativement à quoi tout objet est appelé Un. » Cette
abstraction lui permet de définir ensuite le nombre (entier naturel)
comme « collection d'unités8 ».
Représentation des premiers entiers naturels non nuls par des
collections de points. 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
**
*
**
**
**
*
***
*
*
**
***
**
***
**
*
***
***
***
*
**
***
****
Article connexe : Nombre figuré.
Définition avortée des entiers en termes de classe de bijectabilité
Frege a songé (Fondements de l'arithmétique, 1884) à définir les
entiers en termes de classe de bijectabilité.
Cette idée consiste à définir chaque entier n comme le rassemblement
de tous les ensembles ayant n éléments.
Cette très séduisante définition se heurte au paradoxe de Russell si
l'on souhaite, en vue d'un monisme ontologique, qu'un tel
rassemblement soit, aussi, un ensemble.
Ceci car, sauf pour l'entier 0, identifié à l'ensemble contenant
uniquement l'ensemble vide, pour tout autre entier n le
rassemblement des ensembles ayant n éléments est une classe propre
et donc n'est pas un ensemble.
Construction par les ordinaux
Article détaillé : Construction des entiers naturels.
Les entiers naturels peuvent être définis comme des ordinaux, c'està-dire, par la méthode de von Neumann, comme des ensembles bien
ordonnés tous comparables par inclusion. Les entiers naturels sont
les ordinaux finis, ceux dont l'ordre réciproque est aussi un bon
ordre, ou encore les ordinaux successeurs dont tous les minorants
sont aussi des ordinaux successeurs.
Désignation
Énonciation
La désignation des entiers dans le langage n'est pas la même d'une
langue à l'autre, même si elle se fonde en général sur quelques
méthodes simples.
Les premiers entiers ont un nom spécifique sans lien les uns avec
les autres. En français, il s'agit des entiers de un à dix (les noms
des entiers de onze à seize sont en fait des déformations de noms
composés). Certaines langues n'ont pas de mot spécifique au-delà de
deux9.
L'accolement de deux noms peut désigner le résultat de l'addition
(comme dans dix-sept) ou de la multiplication (comme dans quatrevingts) des entiers correspondants. D'autres procédés existent
utilisant la soustraction, la division ou la protraction.
Article connexe : Système de numération.
Certains « grands » nombres reçoivent également un nom spécifique,
en général certaines puissances d'une base particulière. La base dix
est la plus répandue aujourd'hui, mais la désignation des entiers en
français par exemple conserve la trace d'un usage partiel de la base
vingt. Des conventions internationales contradictoires proposent des
désignations standardisées pour les cent premières puissances de
mille ou du million.
Article connexe : Échelles longue et courte.
Au-delà des limites imposées par le vocabulaire, la langue ne peut
que proposer des désignations par accolement : « mille milliards de
milliards… »
Écriture chiffrée
Si l'écriture des entiers a beaucoup varié dans l'histoire des
civilisations, elle est aujourd'hui presque partout fondée sur un
même système de notation décimale positionnelle, même si la graphie
des chiffres peut subir des variations plus ou moins importantes
d'un pays à l'autre.
Chaque entier naturel se décompose de façon unique en une somme de
multiples de puissances de dix, de façon que chaque coefficient
multiplicateur soit strictement inférieur à dix, donc représenté par
l'un des dix chiffres arabes de 0 à 9. L'écriture de ce nombre se
fait alors en accolant ces chiffres rangés par ordre décroissant des
puissances de dix correspondantes.
L'intérêt majeur de cette écriture est la simplicité conjointe des
algorithmes de calcul pour les quatre opérations arithmétiques
élémentaires.
Codage
La pratique du calcul a pu s'appuyer sur la manipulation de
cailloux10 ou d'autres symboles concrets, d'abord pour symboliser
une unité par caillou, puis en différenciant la valeur des symboles
(un coquillage dénotant par exemple dix cailloux).
La notation positionnelle a permis de différencier les valeurs des
symboles en fonction de leur position et non plus leur nature, ce
qui s'est traduit par le développement de l'abaque et du boulier. Ce
principe est toujours en vigueur dans les calculatrices et
ordinateurs.
Article détaillé : Entier (informatique).
Arithmétique
Article détaillé : Arithmétique.
Représentation des opérations
En représentant chaque entier par une collection d'objets (des
cailloux ou des jetons par exemple), l'opération d'addition est
représentée par la réunion de deux collections, tandis que la
soustraction revient à retirer une collection d'une autre. Cette
représentation montre bien l'impossibilité de soustraire (dans les
entiers naturels11) un nombre à un autre strictement plus petit.
La multiplication de deux entiers naturels correspond au remplissage
d'un rectangle dont deux côtés adjacents représentent chacun l'un
des facteurs.
La division euclidienne d'un entier (appelé dividende) par un autre
(appelé diviseur et nécessairement non nul) est illustrée par le
rangement de la collection représentant le dividende en un rectangle
dont un côté représente le diviseur. Le nombre de rangées complètes
représente alors le quotient tandis que l'éventuelle rangée
incomplète représente le reste, nécessairement strictement inférieur
au diviseur.
Multiple et diviseur
Étant donné un entier naturel non nul, l’ensemble
est infini mais régulièrement réparti et facile à
suite arithmétique. Par exemple, les multiples de
pairs, qui sont alternés avec les nombres impairs
entiers.
de ses multiples
décrire par une
2 sont les nombres
parmi tous les
Au contraire, l’ensemble des diviseurs d’un entier non nul est
toujours fini et sa répartition n’a pas du tout le même genre de
régularité. Il contient certes toujours le nombre à diviser et le
nombre 1, les éventuels autres diviseurs se situant entre ces deux
extrêmes. Mais il est en général difficile de lister ces autres
diviseurs à partir d’une écriture du nombre dans une base donnée.
Ce problème est lié en partie à la rareté de critères simples pour
déterminer sans calcul si un nombre est divisible par un autre. Dans
un système de numération positionnelle décimale, plusieurs critères
de divisibilité sont connus pour de petits diviseurs (surtout pour
2, 3, 5, 9 et 10), mais en dehors de ces quelques cas, c’est
essentiellement la division euclidienne qui permet de répondre à
cette question.
Article détaillé : Divisibilité.
Nombre premier
Hormis le nombre 1, qui est son seul diviseur, tout nombre admet
donc au moins deux diviseurs distincts. Ceux qui en admettent
exactement deux sont appelés nombres premiers. Ils sont les seuls à
pouvoir réduire d’autres nombres par division, sans être eux-mêmes
décomposables en produit de nombres strictement plus petits. Il en
existe une infinité et chaque nombre se décompose de manière unique
en un produit de nombres premiers. Cette décomposition permet entre
autres de comprendre la structure de l’ensemble des diviseurs.
Articles détaillés : Nombre premier et Théorème fondamental de
l'arithmétique.
Ensemble des entiers naturels
Notations
N = I N = N = N ∗ = N 1 = { 1 , 2 , … } {\displaystyle =\mathrm
{I_{\,}\!\!N} =\mathbb {N} =\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} _{1}
=\{1,2,\ldots \}} {\displaystyle =\mathrm {I_{\,}\!\!N} =\mathbb {N}
=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} _{1}=\{1,2,\ldots \}}
I N = N = N 0 = { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathrm {I_{\,}\!\!
N} =\mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\ldots \}} {\displaystyle
\mathrm {I_{\,}\!\!N} =\mathbb {N} =\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\ldots
\}}
N ≠ 0 = N > 0 = { 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathbb {N} _{\neq 0}
=\mathbb {N} _{>0}=\{1,2,\ldots \}} {\displaystyle \mathbb {N}
_{\neq 0}=\mathbb {N} _{>0}=\{1,2,\ldots \}}
N ≥ 0 = { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathbb {N} _{\geq 0}
=\{0,1,2,\ldots \}} {\displaystyle \mathbb {N} _{\geq 0}
=\{0,1,2,\ldots \}}
Différentes notations pour l'ensemble des entiers, comprenant ou non
zéro.
En 1894, Giuseppe Peano utilise les notations « N » pour « nombre
entier positif » et « N0 » pour « nombre entier positif ou nul »
dans ses Notations de logique mathématique12,13 qui servent
d'introduction à son grand projet de formalisation des
mathématiques, le Formulaire de mathématiques. Il l'utilise comme
prédicat une notion très proche de celle d'ensemble. Ainsi Peano
écrit « x ε N » (qu'on écrit aujourd'hui « x ∈ N {\displaystyle
x\in \mathbb {N} } {\displaystyle x\in \mathbb {N} } ») ce qui pour
lui se lit « x est un nombre entier positif ».
La notation historique de l'ensemble des entiers naturels en
imprimerie devient « N », lettre capitale grasse. En écriture
manuscrite (et particulièrement au tableau noir), ce caractère a été
distingué de la lettre « N » utilisée pour d'autres usages par le
doublement de la première barre verticale, ou de la barre oblique, «
N {\displaystyle \mathbb {N} } \mathbb {N} ». Ce dernier choix a
été adopté pour la police gras de tableau noir. L'édition
mathématique moderne utilise maintenant les caractères « doublés »,
mais l'usage du gras typographique perdure également.
Pour lever l'ambiguïté au sujet de la prise en compte de zéro comme
entier naturel, l'ensemble est parfois noté « N0 ». L'indice 1
dénote de façon similaire que l'ensemble commence avec l'entier 1.
Un usage répandu pour exclure le zéro est l'ajout d'un astérisque en
exposant.
Théorie des ensembles
Le plus petit ordinal infini est la borne supérieure de tous les
ordinaux finis, qui sont les entiers naturels. Il a été introduit
par Georg Cantor qui l'a noté ω (lettre minuscule grecque oméga) ou
ω0. John von Neumann a montré que les ordinaux pouvaient être
définis de façon à identifier un ordinal à l'ensemble de ses
minorants stricts, et l'ordinal ω s'identifie alors à l'ensemble des
entiers naturels (un entier naturel étant lui-même identifié à
l'ensemble des entiers naturels qui lui sont strictement
inférieurs). En théorie des ensembles, la lettre ω est donc aussi
utilisée pour désigner l'ensemble des entiers naturels. L'axiome de
l'infini permet de montrer l'existence de cet ensemble.
Un ensemble dénombrable est un ensemble qui a même cardinal que
l'ensemble des entiers naturels (on précise parfois « infini
dénombrable », dénombrable pouvant aussi signifier « fini ou de même
cardinal que N »). Le cardinal du dénombrable, celui de N, est le
plus petit cardinal infini, il est noté ℵ0, aleph-zéro.
En théorie des ensembles, formellement ℵ0, se définit comme le plus
petit ordinal infini dénombrable, soit ω, et donc à nouveau comme
l'ensemble des entiers naturels.
Propriétés
Les opérations d'addition et de multiplication étant associatives,
commutatives, munies de neutres et satisfaisant une propriété de
distributivité, l'ensemble des entiers naturels est un semi-anneau.
Il est ordonné pour la relation d'ordre
l'addition, qui lui donne une structure
que toute partie non vide admet un plus
propriété est à la base du raisonnement
usuelle induite par
de bon ordre, c'est-à-dire
petit élément. Cette
par récurrence.
L'ensemble est également muni de la relation de divisibilité qui est
un ordre partiel.
Son cardinal est le plus petit nombre cardinal infini, noté ℵ0
(aleph zéro), définissant ainsi la notion de dénombrabilité. En
effet, on dit d'un ensemble quelconque qu'il est dénombrable s'il
existe une bijection de cet ensemble dans celui des entiers
naturels. On se contente parfois d'une injection pour englober aussi
les ensembles finis.
Axiomatique de Peano
Article détaillé : Axiomes de Peano.
Quelle que soit la façon d'introduire les entiers naturels, ceux-ci
ont les mêmes propriétés fondamentales à partir desquelles on
développe l'arithmétique. Richard Dedekind et Giuseppe Peano en ont
proposé indépendamment des axiomatisations qui étaient
essentiellement équivalentes. Il s'agissait d'axiomatisation que
l'on dit parfois aujourd'hui du second ordre : la notion d'ensemble
(ou de prédicat) est supposée connue et n'est pas prise en compte
par l'axiomatisation. Voici une présentation moderne de ces axiomes
(dits axiomes de Peano) :
L'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel14.
Tout entier naturel n a un unique successeur, souvent noté s(n)
ou S n (ou autres variantes).
Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le
successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à
N.
Le premier axiome permet de poser que l'ensemble des entiers
naturels n'est pas vide, le second que le successeur est une
fonction, le quatrième que cette fonction est injective, le
troisième qu'il possède un premier élément (ces deux axiomes
assurent que l'ensemble des entiers naturels est infini). Le
cinquième est une formulation du principe de récurrence.
Une propriété importante, démontrée par Richard Dedekind à partir de
ces axiomes, est le principe de définition par récurrence. Il permet
par exemple de définir les opérations usuelles.
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