Année Universitaire 2019-2020 ET UNITÉ de FORMATION et de RECHERCHE (UFR) des SIENCES FONDAMENTALES et APPLIQUÉES (SFA) Présente COURS D’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE LICENCE 1 -SN Dr BOSSON Jocelyne, MC e-mail : [email protected] Dr SOUMAHORO Ibrahima, MA e-mail : [email protected] Département : UFR - SFA Université Nangui Abrogoua (ex Abobo-Adjamé) UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 A. GÉNÉRALITÉS .................................................................................................................................................. 4 I. OBJET DE L’OPTIQUE ............................................................................................................................................ 4 II LES SOURCES DE LA LUMIÈRE............................................................................................................................... 4 IV LES DOMAINES ................................................................................................................................................... 4 B. LES PRINCIPES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE ................................................................................................. 5 I. CHEMIN OPTIQUE LE LONG D’UNE COURBE ........................................................................................................ 5 II. PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE ....................................................................................................... 5 III. LOIS DE LA RÉFLEXION ET DE LA RÉFRACTION OU LOIS DE SNELL-DESCARTES ................................................. 5 IV. ANGLE DE RÉFRACTION LIMITE ; RÉFLEXION TOTALE ....................................................................................... 6 C. STIGMATISME ET APLANETISME ..................................................................................................................... 7 I. SYSTEME OPTIQUE .................................................................................................................................................... 7 II. STIGMATISME ; IMAGE D’UN POINT DE L’AXE OTIQUE .................................................................................................... 7 II.1. Stigmatisme rigoureux ................................................................................................................................ 7 II.2. Caractère réel ou virtuel d’un objet ou d’une image. .................................................................................. 7 III. STIGMATISME APPROCHE ; CAS D’UN SYSTEME CENTRE ................................................................................................. 8 D. LE DIOPTRE SPHÉRIQUE .................................................................................................................................. 8 I. DEFINITION : ........................................................................................................................................................... 8 II. FORMULE DE CONJUGAISON ...................................................................................................................................... 8 STIGMATISME RIGOUREUX .................................................................................................................................... 8 II.1. Équation de conjugaison : Origine au Sommet S......................................................................................... 9 II.2. Équation de conjugaison : Origine au Centre .............................................................................................. 9 III. FOYERS – CONVERGENCE ........................................................................................................................................ 9 III.1. Expression des distances focales ............................................................................................................... 9 III.2. Grandissement transversal ...................................................................................................................... 10 III.3. Points Principaux ...................................................................................................................................... 10 III.4. Formule de Newton .................................................................................................................................. 10 III.5. Plans conjugués, Plans focaux .................................................................................................................. 11 E. LE DIOPTRE PLAN .......................................................................................................................................... 11 I. FORMULE DE CONJUGAISON : ................................................................................................................................ 11 II. FORMULE DU GRANDISSEMENT ............................................................................................................................. 12 III. LAME A FACES PARALLELES ................................................................................................................................... 12 III.1. Propriété fondamentale ........................................................................................................................... 12 III.2. Couple objet- image d’une lame à faces parallèles .................................................................................. 12 IV. LE PRISME ........................................................................................................................................................ 13 IV.1. Définition : ............................................................................................................................................... 13 IV.2. Formules du prisme .................................................................................................................................. 13 IV.3. Conditions d’émergence d’un rayon incident ........................................................................................... 13 IV.4. Étude de la déviation en lumière monochromatique ............................................................................... 14 ÉTUDE DE LA VARIATION DE D AVEC I ............................................................................................................................ 14 F. MIROIR SPHÉRIQUE ...................................................................................................................................... 17 I. DÉFINITION ........................................................................................................................................................ 17 II. RELATION DE CONJUGAISON .................................................................................................................................... 18 II.1. Origine au centre C .................................................................................................................................... 18 II.2. Origine au sommet S ................................................................................................................................. 18 III. RELATION DE GRANDISSEMENT ............................................................................................................................... 18 III.1. Origine au centre C ................................................................................................................................... 18 III.2. Origine au sommet S ................................................................................................................................ 18 IV. POSITION DES FOYERS ........................................................................................................................................... 18 V. LES TYPES DE MIROIRS SPHERIQUES : ........................................................................................................................ 19 Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 VI. LE MIROIR PLAN ............................................................................................................................................... 19 VI.1. Définition ................................................................................................................................................. 19 VI.2. Relation de conjugaison ........................................................................................................................... 19 VI.3. Grandissement ......................................................................................................................................... 19 G. SYSTÈMES CENTRES DIOPTRIQUES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS ...................................................... 21 I. SYSTEME CENTRE : ................................................................................................................................................. 21 II. GRANDISSEMENTS ................................................................................................................................................. 21 RELATION ENTRE g ET G : .................................................................................................................................. 22 III. PLANS PRINCIPAUX ............................................................................................................................................... 22 IV. DISTANCES FOCALES ............................................................................................................................................. 22 V. FORMULES DES SYSTÈMES CENTRÉS ................................................................................................................ 23 V.1. Formule de conjugaison ............................................................................................................................ 23 V.2. Cas particuliers : milieux extrêmes identiques ......................................................................................... 24 V.3. Association de deux systèmes ................................................................................................................... 24 V.4. Calcul des distances focales ...................................................................................................................... 25 VI. LENTILLES SPHERIQUES MINCES .............................................................................................................................. 26 VI.1. Définition ................................................................................................................................................. 26 VI.2. Types de lentilles : .................................................................................................................................... 26 VI.3. Centre optique ......................................................................................................................................... 26 VI.4. Caractéristiques des lentilles .................................................................................................................... 26 VII. ASSOCIATION DE LENTILLES MINCES ....................................................................................................................... 31 VI.1. Lentilles minces accolées ......................................................................................................................... 31 VI.2. Lentilles minces non accolées : Doublet .................................................................................................. 31 H. LES INSTRUMENTS OPTIQUES ....................................................................................................................... 33 I. L’OEIL ................................................................................................................................................................. 33 I.1. Descriptions et propriétés de l’œil .............................................................................................................. 33 I.2. Champs de l’œil .......................................................................................................................................... 34 I.3. Accommodation et défaut de l’œil ............................................................................................................. 35 II. LA LOUPE .......................................................................................................................................................... 37 II.1. La loupe : instrument d’observation à courte distance ............................................................................. 37 II.2. Les oculaires .............................................................................................................................................. 38 III. LE MICROSCOPE OPTIQUE ............................................................................................................................... 38 III.1. Définition .................................................................................................................................................. 39 III.2. Puissance – Grossissement ....................................................................................................................... 39 III.3. Pouvoir séparateur du microscope optique ............................................................................................. 40 IV. L’OBJECTIF PHOTOGRAPHIQUE ....................................................................................................................... 40 IV.1. Description ............................................................................................................................................... 40 IV.2. Caractéristique de l’instrument photographique ..................................................................................... 40 V. LUNETTES ET TÉLESCOPES ................................................................................................................................ 40 V.1. Lunette astronomique ............................................................................................................................... 41 V.2. Lunette de Galilée ..................................................................................................................................... 41 V.3. Télescopes ................................................................................................................................................. 41 I. RESUMÉ......................................................................................................................................................... 43 K. ANNEXE ........................................................................................................................................................ 62 L. BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................................................................. 64 Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 A. GÉNÉRALITÉS I. OBJET DE L’OPTIQUE L’optique s’intéresse principalement à l’ensemble des phénomènes perçus par l’œil. La cause de ces phénomènes est la LUMIÈRE. La plaque photographique amorce une transformation chimique de sels comme les halogénures d’argent. Une lame métallique noircie s’échauffe : ce qui montre que la lumière transporte de l’énergie utilisée, par exemple, dans les chauffe-eau solaires). La partie non visible à l’œil de l’optique couvre les domaines de lumière INFRAROUGE et ULTRAVIOLET. De nombreuses sources de lumière comme le soleil ou la lampe à filament de tungstène émettent de la lumière ”blanche” qui couvre tout le spectre visible. Les corps qui reçoivent cette lumière : soit la réfléchissent sans filtrage et paraissent blancs, soit absorbent plus ou moins certaines longueurs d’ondes et sont vus avec la couleur des longueurs d’onde réfléchies, soit absorbent tout le spectre et apparaissent noirs. II LES SOURCES DE LA LUMIÈRE. Le soleil constitue la principale source de la lumière, Les sources incandescentes : L’expérience a montré que de très nombreux corps émettent de la lumière lorsqu’ils sont portés à une température plus ou moins élevée. Les tubes à décharge : Si l’on fait éclater une étincelle dans un tube contenant un gaz ou une vapeur, il y a émission, Les LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) : est une source de lumière monochromatique. III LES DIFFERENTES SORTES DE LUMIERE La lumière blanche : On appelle lumière blanche la lumière émise par le soleil, les sources incandescentes et qui contient toutes les radiations du domaine visible. La lumière monochromatique : C’est une lumière qui n’a qu’une seule couleur, c’est-à-dire dont la longueur d’onde varie très peu autour de la longueur d’onde centrale. IV LES DOMAINES Domaine du visible (spectre visible du violet au rouge), Domaine de faibles longueurs d’onde (Ultraviolet (UV), Rayon X, Rayon gamma), Domaine de grandes longueurs d’onde (Infrarouge, onde Radio, …) Longueurs d’onde en mètre Ondes Radioélectriques Circuit Rayon Rayon Rayon Spectr Rayon Rayon FM Onde Onde Grand en Gamm X U. V e Infrarou Radar courte moyenn e onde courant a 10-14 10-12 10-10 400 nm Violet visible ge 10-8 10-6 10-4 Bleu-vert Bleu 500 nm Vert T. V 10-2 VertPage jaune 1 102 e 104 alternatif 108 700 nm 600 nm Jaune 106 Orange Rouge UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 B. LES PRINCIPES DE L’OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE I. CHEMIN OPTIQUE LE LONG D’UNE COURBE L( AB) = nAB c - indice de réfraction du milieu v n= c : La célérité (vitesse de la lumière dans le vide) v : vitesse de la lumière dans le milieu considéré. Pour l’air, n = 1,000293 ≈1 II. PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE DANS UN MILIEU HOMOGENE ET ISOTROPE LA LUMIERE SE PROPAGE EN LIGNE DROITE Un milieu est : • homogène si ses propriétés sont les mêmes en tout point • isotrope si elles sont, en un point donné, indépendantes de la direction d’observation. • rayon lumineux, toute courbe suivant laquelle se propage la lumière. • Faisceau lumineux un ensemble de rayons lumineux • rayon lumineux, toute courbe suivant laquelle se propage la lumière. LE TRAJET SUIVI PAR LA LUMIERE EST INDEPENDANT DU SENS DE PROPAGATION. III. LOIS DE LA RÉFLEXION ET DE LA RÉFRACTION OU LOIS DE SNELL-DESCARTES Soit une surface séparant deux milieux homogènes isotropes d’indices N1 différents. Quand on envoie à partir d’une source située dans le R A1 premier milieu (1) un faisceau de lumière incidente, l’expérience i1 permet de distinguer de la lumière réfléchie (celle qui revient dans le milieu (1)) et/ou de la lumière réfractée (celle qui passe dans le milieu M1 (2) ). r M2 n1 n2 I i2 • I:Point d’incidence • [A1I]: Rayon incident • i1: Angle d’incidence : Angle entre la normale et le rayon incident • [IA2]: rayon réfracté i • i2: angle de réfraction : Angle entre la normale et le rayon réfracté • [N1N2]: La normale : la perpendiculaire à la surface de séparation des deux milieux passant par le N2 point d’incidence. Page A2 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 • M1M2: surface de séparation des deux milieux • n1 et n2 les indices des mil 1 et 2 • Les angles sont comptés positivement dans le sens contraire des aiguilles d’une montre • Les angles sont comptés toujours de la normale au rayon • [IR] : rayon réfléchit • r: angle de réflexion : Angle entre la normale et le rayon réfléchit Principe.1. Il existe des rayons lumineux qui restent indépendants les uns des autres (pas d’interaction entre eux). Principe.2. Dans un Milieu Transparent, Homogène, et Isotrope, les rayons lumineux sont des lignes droites. i Principe.3. A la surface de séparation de deux milieux, les rayons lumineux obéissent aux lois de Snell-Descartes : • 1ere loi de Snell descartes n1 Les rayons réfracté et réfléchi sont contenus dans le plan d’incidence. • n2 I 2eme Loi de Snell Descartes 𝒓 = −𝒊𝟏 • 3eme Loi de Snell Descartes Pour chaque lumière monochromatique, les sinus des angles d’incidence et de réfraction sont liés par la relation : 𝒏𝟏 . 𝐬𝐢𝐧(𝒊𝟏 ) = 𝒏𝟐 . 𝐬𝐢𝐧(𝒊𝟐 ) IV. ANGLE DE RÉFRACTION LIMITE ; RÉFLEXION TOTALE Cas n2> n1 Le milieu (2) d’indice n2 est plus réfringent que le milieu (1) d’indice n1 : .La loi de la réfraction nous permet d’écrire : n1sini1= n2sini2. De plus -1£sini £1 ce qui Þ -n £n sini £n1 soit -n1£n2 sini2 £n1 et - n1 £sini £ n1 . 1 1 1 1 2 n n2 2 Pour l’angle de réfraction limite nous avons : n sini2lim = 1 n2 donc Air : n1 = 1 i1 = n i2limite = Arcsin 1 . Eau : n2 = 1,33 n2 Dans ce cas n n1sin i1=n2 sin i2 =n2 1 =n1 et sini1=1 n2 ce qui entraîne i =p . Ici le rayon est toujours réfracté 1 2 Page i2 limite = 49° UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 Exemple : L’angle i2 se situe entre 0 et 49° pour i1 variant entre 0° et 90° Cas n1> n2. Le milieu (2) d’indice n2 est moins réfringent que le milieu (1) d’indice n1 : Nous avons -1£sini2 £1 soit n -n2 £ n2 sini2 £n2 Þ-n2 £n1sini1£n2 Þ- 2 £sini1 £ n2 n1 n1 donc : n sini1limite = 2 Þi1limite = Arcsin n2 n1 n1 ce qui correspond à : i1 limite n1 ( ) n1 > n2 n2 i2=90° sin i2 =1Þi2 =p 2 Nous déduisons que : si i1≤i1limite alors il y a réfraction et si i1 > i1 limite il n’y a plus de réfraction mais une réflexion totale C. STIGMATISME ET APLANETISME I. SYSTEME OPTIQUE DEFINITIONS Un système optique comporte un ensemble de milieux homogènes transparents et isotropes ( M.H.T.I.) séparés : - soit par des surfaces réfringentes on a alors un système dioptrique ; - soit par des surfaces réfléchissantes ce qui donne un système catoptrique; -soit par des surfaces réfringentes et réfléchissantes ce qui conduit à un système dit catadioptrique. Un système optique est dit « centré » quand il présente un axe de symétrie de révolution qui est définit comme étant l’axe optique du système. II. STIGMATISME ; IMAGE D’UN POINT DE L’AXE OTIQUE II.1. Stigmatisme rigoureux Un système optique centré est rigoureusement stigmatique relativement au couple (A, A’) si tout rayon lumineux partant de A passe par le point A’ après avoir traversé le système (S). i A’ est l’image conjuguée de A à travers le système (S), et le chemin optique L(AA’) indépendant de l’angle d’inclinaison i est A A’ constant. II.2. Caractère réel ou virtuel d’un objet ou d’une image. L’objet est réel s’il est situé dans l’espace objet réel, il est virtuel dans le cas contraire. L’image est réelle si elle est située dans l’espace réel, elle est dite virtuelle dans le cas contraire. espace objet réel Système (S) objet réel Espace image réel Page image virtuelle objet virtuel Systè meS image réelle UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 III. STIGMATISME APPROCHE ; CAS D’UN SYSTEME CENTRE Définition On dit qu’un système optique est approximativement stigmatique pour le couple (A,A’) quand l’image du point objet A à travers le système (S) est une tâche de dimension très petite centrée en A’ Condition d’approximation de Gauss Ces conditions résument l’étude du stigmatisme faite ci-dessus pour obtenir une image convenable. Ces conditions sont les suivantes: L’objet doit être plan et perpendiculaire à l’axe D et être de petite dimension ; Cet objet ne doit envoyer sur le système que des rayons paraxiaux . Ces conditions permettent d’obtenir une image de bonne qualité, plane et perpendiculaire à l’axe D. D. LE DIOPTRE SPHÉRIQUE I. DEFINITION : On désigne par dioptre sphérique une surface sphérique séparant deux milieux transparents d’indices différents. C• C = centre du dioptre W = angle d’ouverture du dioptre S = sommet du dioptre = rayon du dioptre W S • n1 n2 i2 II. FORMULE DE CONJUGAISON Considérons le triangle (CIA1) et (CIA2): en utilisant la relation des sinus dans un triangle, et la relation de Descartes on montre que : C I i1 w A1 S A2 n1 Axe optique n2 CA1 CA2 = n2 IA1 IA2 n1 La quantité n CA est l’invariant fondamental. IA STIGMATISME RIGOUREUX Il faut que A1 et son image A2 à travers le système restent fixes pour toute valeur de l’angle d’ouverture w c’est à dire quelque soit l’inclinaison des rayons sur l’axe optique. Dans ce cas nous avons : IA 2 IA1 = CA2 n2 CA1 n1 = constante STIGMATISME APPROCHE Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 Le point I est très proche du point S sommet du dioptre. Dans ce cas nous pouvons écrire: on déduit la nouvelle relation avec CA n n2 CA2 SA2 CA1 = n1 IA 2 IA1 = CA2 n2 SA2 » CA1 n1 SA1 : SA1 comme la nouvelle forme de l’invariant fondamental SA II.1. Équation de conjugaison : Origine au Sommet S n1 CA1 SA1 = n2 CA2 Þ n1 SA1 CS + SA1 SA1 = n2 CS + SA2 soit : SA2 n1 CS SA1 + n1 = n2 CS SA2 + n2 æ n1 n ö n1 n n -n n -n - 2 ÷ = n 2 - n1 Þ - 2 = 2 1 = 1 2 ç SA SA ÷ SA1 SA2 CS SC 2 ø è 1 ce qui conduit à la relation suivante : CS ç n1 en définitive nous pouvons écrire: SA1 - n2 SA2 n1 - n2 = SC soit n2 SA2 - n1 = SA1 n 2 - n1 SC plus facile à retenir qui est la formule de Descartes. La vergence est : n2 - n1 = V SC II.2. Équation de conjugaison : Origine au Centre De même on montre que : n1 n2 n1 - n2 CA2 - CA1 = CS qui est la relation de conjugaison avec origine au centre C du dioptre. III. FOYERS – CONVERGENCE Le foyer objet F est un point de l’axe dont le conjugué (l’image) est à l’infinie. Le foyer image F’ est un point de l’axe dont l’objet est à l’infinie. Origine au sommet: - SA2 n1 SA1 n2 et = n21 - n1 SC SF ' = SC SF ' = f ' = et on pose n2 n2 - n1 = SA2 = SF ' SA1 ® ¥ Þ n2 SF ' = ce qui nous amène à écrire : n2 - n1 SC ; qui est la distance focale et le point F’ est le point foyer image. Origine au sommet : SF = f = • S SC n2 SC n2 - n1 SA2 Þ ¥ •C n1 DISTANCE FOCALE OBJET Ici F n2 - n1 Si l’objet A1 est à l’infinie alors SA2 A1 • III.1. Expression des distances focales DISTANCE FOCALE IMAGE n2 F = foyer objet du dioptre F’ = foyer image du dioptre et n1 SA1 SA1 = SF - n2 SA2 Þ n1 - n2 = n1 SF SC = n1 - n2 SC soit : n1 SC n1 - n2 qui est la distance focale objet. Page • F’ A2 n2 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 Remarques : Les foyers objet F et image F’ sont de part et d’autre du sommet S ; F et F’ sont tous deux réels ou tous deux virtuels ; Nous avons : n f' =- 2 f n1 Þ f ' n1 + f n2 = 0 III.2. Grandissement transversal On appelle grandissement transversal la relation : g = A2 B2 . B1 A1B1 Les triangles A1B1C et A2B2C sont semblables et nous en tirons la relation suivante : F’ S A C A1 A2 B2 CA2 . = A1B1 CA1 B2 n2 Par ailleurs nous avons la relation: n1 CA1 SA1 = n 2 CA2 = invariance. SA2 Nous déduisons finalement : g = CA2 CA1 = n1 SA2 n2 SA1 III.3. Points Principaux Les points principaux sont deux points conjugués pour lesquels le grandissement transversal est égal à l’unité. Appelons H1 le point principal objet et H2 le point principal image. Nous avons g= centre ) d’où CH 2 CH1 1 CH1 = 1 Þ CH 2 = CH1 , par ailleurs n1 - n2 = n1 - n2 ( relation de conjugaison avec origine au CH 2 CH1 CS (n1 - n2 ) = n1 - n2 ce qui permet d’écrire : CS =CH1 =CH 2 . Nous observons que pour un CS dioptre sphérique les points H1, H2 et S sont confondus. Remarque : - le centre d’un dioptre convergent est situé dans le milieu d’indice le plus élevé ; - le centre d’un dioptre divergent est situé dans le milieu d’indice le plus faible. III.4. Formule de Newton f 1 = SF1 = distance focale objet ; f 2 = SF2 = distance focale image Nous observons : g= A2 B 2 A1 B1 = SI ' A1 B1 = B F1 S F1 A1 F1 S ( les triangles F1SI’ et F1A1B1 sont semblables) et aussi ( les triangles F2A2B2 et F2SI sont semblables) A2 B2 A1B1 = A2 B2 SI = F ' A2 F'S finalement nous avons : formule de Newton. Remarque : g = - f1 F1 A1 =- F2 A2 f2 Page •C A n g= + I g= F1S F1 A1 = F2 A2 F1S n2 F2 A B2 I’ Þ F1 A1.F2 A2 = F1S.F2 S = f1 f 2 qui est la UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 III.5. Plans conjugués, Plans focaux On appelle plan focal image (plan focale objet) le plan perpendiculaire à l'axe principal passant par le foyer image F2 (le foyer objet F1): Ces plans sont les lieux des foyers secondaires noté F, donc tout point situé sur ces deux plans est appelé foyer secondaire. Les foyers secondaires objet ou image permettent de déterminer un rayon émergent (incident) si l'on connait le rayon incident (émergent). EXEMPLE Φ Φ F1 F2 S F1 C F2 S Φ’ Φ’ S F1 S C F2 F1 C F2 Dans les conditions de gauss un dioptre sphérique est schématisé par: C S • n1 C S • n2 Dioptre Sphérique concave n1 n2 Dioptre sphérique convexe E. LE DIOPTRE PLAN A Le dioptre plan est un dioptre sphérique de rayon de courbure infini. n1 I. FORMULE DE CONJUGAISON : Pour le dioptre sphérique de sommet S nous avons pour formule de conjugaison avec origine au sommet la relation suivante : n2 - n1 = n2 - n1 ( 1 ) SA2 SA1 A n2 Dioptre plan SC Pour un dioptre plan nous faisons tendre le rayon de courbure SC du dioptre sphérique vers l’infini. En confondant le sommet S avec le point H la relation (1) donne : n1 HA1 - n2 HA2 =0 d’où la relation : HA1 HA2 = n1 n2 qui est la formule de conjugaison du dioptre plan. Cette relation est établie en respectant le principe de l’approximation de Gauss c’est à dire le point I très proche du point H. Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 II. FORMULE DU GRANDISSEMENT Le grandissement pour un dioptre sphérique a pour relation : g = A2 B2 = n1 SA2 . A1B1 n2 SA1 Si S º H alors g = n1 HA2 ; et la relation HA1 = HA2 nous donne: HA2 = n2 d’où n1 n2 HA1 n2 n1 HA1 g =1. Le grandissement pour un dioptre plan est égale à l’unité. L’image est donc de même grandeur que l’objet et de nature inverse. A un objet réel correspond une image virtuelle et inversement. III. LAME A FACES PARALLELES Une lame à faces parallèles comprend un milieu d’indice n séparé du milieu extérieur d’indice n’ par deux dioptres plans parallèles, distants de e. III.1. Propriété fondamentale dioptre plan La loi de la réfraction de Snell-Descartes nous permet d’écrire : n’sini1 = nsini2 = n’sini3 Þ sini1 = sini3 Þ i1 rayon incident A1 i1 = i3 Þ le rayon émergent est parallèle au dioptre plan i3 rayon émergent e = épaisseur n’ i2 ni2 e n’ A2 n n n’ rayon incident. III.2. Couple objet- image d’une lame à faces parallèles i2 i2 i1 Nous avons : A2 A n’ 1er dioptre A A1 ( H , n’® n ) 2ème dioptre La formule de conjugaison du dioptre plan nous donne : pour le premier dioptre : HA1 HA n n' = pour le deuxième dioptre : H ' A2 H ' A1 = n' n soit : H ' A2 = ( ) n' n' n' æ n n ö n' æ ö H ' A1 = H ' H + HA1 = ç H ' H + HA ÷ = ç - e + HA ÷ n n nè n' n' ø nè ø n' ö æ H ' A2 = ç HA - e ÷ n ø è or : AA2 = AH + HA2 = AH + HH ' + H ' A2 Þ AA2 = AH + HH ' + n' (- e) + HA n Page i3 (H’ , n ® n’ ) H H’ n n’ e A2 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 donc : AA2 = HH ' - soit : n' n' e = e- e n n æ n' ö AA2 = eç1 - ÷ è nø qui rend compte de la distance qui sépare l’objet A de son image à travers la lame à faces parallèles. IV. LE PRISME IV.1. Définition : On appelle prisme un milieu transparent, homogène et isotrope limité par deux dioptres plans non parallèles. Arête Angle au sommet A Face A Base  IV.2. Formules du prisme + Les lois de Descartes nous donnent : i 𝟏. 𝐬𝐢𝐧 𝒊 = 𝒏. 𝐬𝐢𝐧 𝒓 (𝟏) D I i-r i’-r’ C I r r’ 𝒏. 𝐬𝐢𝐧 𝒓! = 𝟏. 𝐬𝐢𝐧 𝒊! (𝟐) I’ I’ i’ B D’autre part : n (indice ) / (𝒂𝒏𝒈𝒍𝒆 𝒅𝒖 𝒑𝒓𝒊𝒔𝒎𝒆) = 𝒓 + 𝒓! (𝟑) 𝑨 / (𝟒) et l’angle de déviation D a pour expression : 𝑫 = 𝒊 + 𝒊! − (𝒓 + 𝒓! ), 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝑫 = 𝒊 + 𝒊! − 𝑨 Les relations ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) et ( 4 ) constituent les formules du prisme. Quand les angles sont petits, la déviation s’écrit : 𝐷 = 𝑛. 𝑟 + 𝑛. 𝑟 ! − 𝐴E = 𝑛(𝑟 + 𝑟 ! ) − 𝐴E / (𝒏 − 𝟏) ↪𝑫=𝑨 IV.3. Conditions d’émergence d’un rayon incident A i0 I r rl’ I’ p/2 n Figure 17 𝐬𝐢𝐧 𝒊 Au point I, nous avons : 𝐬𝐢𝐧 𝒊 = 𝒏. 𝐬𝐢𝐧 𝒓 (𝟏) 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝒓 = 𝒏 < 𝟏 ∀ 𝒊. Au point I’, nous avons aussi : 𝒏. 𝐬𝐢𝐧 𝒓! = 𝟏. 𝐬𝐢𝐧 𝒊! (𝟐) ! L’angle limite 𝑟'() de 𝑟 ! pour avoir l’émergence sur la face 𝐴𝐼′ du prisme est : 𝜋 1 𝟏 ! ! 𝑛. sin 𝑟'() = sin N Q = 1 ⟹ sin 𝑟'() = 𝑑 ! 𝑜ù: 𝒓!𝒍𝒊𝒎 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 Y Z ≥ 𝒓′ 2 𝑛 𝒏 𝟏 ↪ 𝒓! ≤ 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 Y Z (2.17) 𝒏 Page + UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 𝟏 Si cette condition n’est pas vérifiée c’est à dire si 𝒓! > 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 N𝒏Q , le rayon [𝐼𝐼′] se réfléchi sur la face 𝐴𝐼′. 𝟏 Le principe du retour inverse de la lumière impose que 𝒓 ≤ 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 N𝒏Q / = 𝒓 + 𝒓! ⟹ 𝑨 / ≤ 𝟐. 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏 N𝟏Q Et nous déduisons :𝑨 (𝟐. 𝟏𝟖) 𝒏 Le rayon ne pourra émergé du prisme que si la relation (2.17) ( ou (2.18)) est satisfaite. Cela correspond à une valeur i0 de l’angle d’incidence i. Si i > i0 , il y a réfraction sur la face AI’ et si i < i0 il y a réflexion sur la face AI’ du prisme. IV.4. Étude de la déviation en lumière monochromatique Nous avons la déviation D = f(i, Â, n). Nous allons examiner sur la déviation successivement, l’influence de l’angle du prisme Â, puis celle de l’angle d’incidence i, et enfin l’influence de l’indice de réfraction n du prisme. IV.4.1. Influence de  : fixons i et n (1) sini = n.sinr Þ di.cosi = n.dr.cosr = 0 Þ dr = 0 (2) sini’ = n.sinr’ Þ di’.cosi’ = n.dr’.cosr’ (3)  = r+r’ Þ d = dr + dr’ = dr’ (4) D = i + i’ – Â Þ dD = di’ – d or di' = ndr ' cos r ' Þ dD = ndr ' cos r ' - dr ' = dÂæç n cos r ' - 1ö÷ Þ dD = n cos r ' - 1; cos i' cos i' è cos i' ø d cos i' nous avons sini’ = n.sinr’ avec n > 0 Þ i’ > r’ Þ cosi’ < cosr’ Þ cos r ' > 1 Þ D > 0 donc D est une fonction croissante de Â. cos i' IV.4.2. Influence de l’angle d’incidence :  et n sont fixés Sini = n.sinr Þ cosi.di = n.dr.cosr Sini’ = n.sinr’ Þ di’.cosi’= n.cosr’.dr’  = r+ r’ Þ d = dr +dr’ =0 D = i+i’ – Â Þ dD =di + di’ et dr = di cosi ; dr'= di'cosi' ncosr Þ cos i.di + cos i'.di' = 0 n. cos r n. cos r ' Þ di' = - Þ dD = æç1 - cos i. cos r ' ö÷ di è ncosr' cos i. cos r ' æ cos i. cos r ' ö di Þ dD = diç1 ÷ cos i'.cos r è cos i'.cos r ø (2.19) cos i'.cos r ø ÉTUDE DE LA VARIATION DE D AVEC I 2 2 2 dD = 0 Þ cos i'.cos r = cos i. cos r ' Þ cos i'.cos r = cos i di 2 2 2 2 2 cos r ' Þ æç1 - sin i' ö÷æç1 - sin r ö÷ = æç1 - sin i ö÷æç1 - sin r ' ö÷ è øè ø è øè ø 2 2 2 2 2 2 2 2 Â Þ æç1 - n sin r ' ö÷æç1 - sin r ö÷ = æç1 - n sin r ö÷æç1 - sin r ' ö÷ Þ sin r = sin r ' Þ r = r ' = 2 è øè ø è øè ø æ Âö Þ i m = Arc sin (n. sin r ) = Arc sin çç n sin ÷÷ Þ i m = i' m Þ Dm = i m + i' m -  = 2i m -  2ø è i D 0 Pas d’émergence i0 im - 0 D D Page p/ 2 + D0 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 D D0 = i0 + p/2 –  Dm = 2im -  i0 im p/2 i Figure 18 Expression de l’indice de réfraction n en fonction de Dm Nous avons i = Dm + A 2 et r= D + Aö A æ Aö ; par ailleurs sini = nsinr Þ sin æçç m ÷÷ = n sin ç ÷ d’où 2 è2ø è 2 ø æ D + Aö sin ç m ÷ è 2 ø n= æ Aö sin ç ÷ è2ø (2.20) Remarque; si l’angle d’incidence i est très faible alors i=nr, i’=nr’, A= r+r’, et : D=(n-1)A IV.4.3. Étude de la déviation en fonction de la longueur d’onde l On appelle dispersion du prisme la quantité dD . dl Les variations de la déviation D sont dues aux variations de n en fonction de l. Pour un prisme en verre nous avons en première approximation : n=a+ b2 (Formule de Cauchy) avec b> 0. l La déviation D diminue quand l augmente. Le rouge est moins dévié que le violet. Nous observons que les angles de déviation sont inversement proportionnels aux longueurs d’onde. Dviolet (lv=0,4µm) > Djaune (lj=0,56µm) > Drouge(lr=0,8µm) Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 EXERCICES CORRIGES - 1) * Les affirmations suivantes concernent la prorogation de rayons lumineux. Cochez celles qui vous paraissent correctes : A. Dans un milieu homogène d’indice n, la trajectoire d’un faisceau lumineux est rectiligne. B. Lors de la traversée d’un dioptre, le plan d’incidence se définit comme le plan tangent à la surface de séparation entre les deux milieux d’indices optiques différents. C. Lors de la traversée d’un dioptre, le plan d’incidence est défini par la normale à la surface de séparation et par la direction du rayon incident. D. Le rayon réfracté existe toujours, quelque soit l’angle d’arrivée du rayon incident. 2) Quand un rayon lumineux arrive avec un angle d'incidence nul sur un dioptre air / verre, le rayon réfracté Surface de séparation des deux milieux a) n'est pas dévié b) fait un angle de réfraction de 90° c) s'éloigne de la normale d) se rapproche de la normale Milieu 1 Milieu 2 i1=0° i2=0° Rayon incident Rayon réfracté Normale en trait discontinu Réponse a) voir schéma. 3) Quand un rayon lumineux arrive avec un angle d'incidence non nul sur un dioptre verre/air le rayon réfracté a) se rapproche de la normale b) forme un angle de réfraction plus petit que l'angle d'incidence c) forme un angle de réfraction plus grand que l'angle d'incidence. Dioptre Milieu 1 Rayon incident Milieu 2 i1 i2¹0° et i2>i1 normale Réponse c) Le milieu 1 (verre d’indice n1) est plus réfringent que le milieu 2 (air d’indice n2 ) C’est-à-dire n1>n2 voir schéma Rayon réfracté 4) Quand un rayon lumineux arrive avec une incidence non nulle sur un dioptre air / eau, le rayon réfracté a) fait un angle de réfraction plus petit que l'angle d'incidence b) fait un angle de réfraction plus grand que l'angle d'incidence c) s'éloigne de la normale d) est dans le prolongement du rayon incident Diop Rayon incident Milieu 2 i1¹0° et Milieu 1 i2¹0° Normale Rayon réfracté Réponse a) Le milieu 1 (air d’indice n1) est moins réfringent que le milieu 2 (eau d’indice n2) C’est-à-dire n1<n2 voir schéma Dioptre Milieu 2 5) Un prisme en verre dévie plus a) les radiations bleues que les radiations violettes b) les radiations jaunes que les radiations vertes c) les radiations rouges que les radiations vertes Page Rayon incident i1¹0° et i1>i2 Milieu 1 i2¹0 ° Normal e Rayon réfracté UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 d) les radiations bleues que les radiations vertes Réponse d) Car les radiations vertes ont une longueur d’onde plus grande que celle des radiations bleues. Dr Db vert Lumière blanche (polychromatique) bleu 6) Un rayon traverse un dioptre plan séparant deux milieux d’indices n et n’ > n. Quel est le bon trajet ? n n n ’ n n’ n’ 7) Le rayon passe de l’eau dans l’air (neau = n =1,33 et n air = n’ = 1) Le rayon sortant est 1 2 3 (1) Le rayon 1 (2) Le rayon 2 (3) Le rayon 3 eau 8) Un rayon lumineux se réfracte en passant d’un milieu d’indice n dans l’air. L’indice n (1) vaut √2 (2) vaut 2 (3) est impossible à calculer n’=1 45° 60° n 9) Un dioptre sphérique convergent est retourné. Reste-t-il convergent ? (1). Oui. (2). Non. (3). Cela dépend des indices. F. MIROIR SPHÉRIQUE I. DÉFINITION C’est une calotte sphérique réfléchissante. partie réfléchissante S •C partie réfléchissante •C S n1 n1 Miroir convexe Page Miroir concave UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 II. RELATION DE CONJUGAISON Pour la détermination de la formule de conjugaison, nous allons considérer le miroir sphérique comme un dioptre sphérique, ayant les caractéristiques suivantes : n1 = -n2, le signe – traduit le retour de la lumière dans le même milieu. II.1. Origine au centre C Pour un dioptre sphérique avec origine au centre C nous avons pour formule de conjugaison : n1 - n2 = n1 - n2 où CA2 CA1 partie réfléchissante ¬ miroir CS A1 est le point objet et A2 le point image à travers le dioptre •A1 de sommet S. • • A2 C S n1 Axe principal Pour un miroir nous posons : n2 = - n1 ; la relation précédente n1 s’écrit alors CA2 + n1 CA1 = 2n1 CS Þ 1 CA2 + 1 CA1 2 = CS II.2. Origine au sommet S Pour un dioptre sphérique la relation est : sphérique : 1 SA2 + 1 = SA1 n2 SA2 - n1 SA1 = n 2 - n1 SC d’où la relation de conjugaison pour un miroir 2 SC III. RELATION DE GRANDISSEMENT III.1. Origine au centre C Nous avons déjà établi pour un dioptre sphérique la relation suivante : g = A2 B2 A1B1 = CA2 CA1 qui est valable pour le miroir sphérique. III.2. Origine au sommet S Nous avons pour un dioptre sphérique la relation : g= A2 B2 A1B1 = n1 SA2 n2 SA1 et nous déduisons pour un miroir sphérique : g = A2 B2 A1B1 =- SA2 SA1 avec n2 = -n1 IV. POSITION DES FOYERS Nous avons 1 + 1 = 2 comme relation de conjugaison pour le miroir sphérique. SA1 SA2 SC FOYER OBJET : Dans la formule de conjugaison précédente le point image A2 du point objet A1 à travers le miroir est rejeté à l’infini : SA2 ®¥ . Nous avons alors 1 + 1 = 2 qui devient 1 = 1 = 2 soit : SA1 SF = f = SA2 SC SC = distance focale objet du miroir sphérique. 2 SA1 SF FOYER IMAGE : Ici nous avons SA1 ® ¥ ( le point objet est situé à l’infini ) ce qui entraîne : Page SC UNA / UFR-SFA 1 SA1 + 1 SA2 = 2 SC COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 = 1 = 1 = 2 d’où : SA2 SF ' SC SC qui est la distance focale image. 2 Remarques : f = f’ = SC et nous déduisons : 2 SF ' = f ' = les foyers F et F’ sont confondus; et le foyer du miroir sphérique est donc situé au milieu du segment SC les formules de Newton prennent les formes suivantes: FA1.FA2 = f . f = f 2 ( formule de Newton ) et g = A2 B2 = - FA2 = - f f A1B1 FA1 (Grandissement transversal) V. LES TYPES DE MIROIRS SPHERIQUES : surface réfléchissante partie réfléchissante •F •C Miroir convexe VI.3. Grandissement A1 B1 S n1 SA1 = -SA2 Þ H º S Þ HA1 = -HA2 =- F surface réfléchissante VI.2. Relation de conjugaison On a R ® ¥ A2 B2 • C Miroir concave VI. LE MIROIR PLAN VI.1. Définition C’est une surface plane réfléchissante ¶= • SA2 =1 SA1 C’est un système afocal Page H UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 Exercices corrigés 1) L’image d’un objet par un miroir plan est Objet réel réelle H virtuelle sur le miroir Réponse la deuxième (voir schéma) L’image se forme dans l’espace image virtuelle (ex : Votre Image à travers le miroir plan à la maison est virtuelle) 2) Un miroir sphérique possède Image virtuelle Miroir plan un foyer : le foyer principal deux foyers distincts : un foyer objet et un foyer image trois foyers distincts : un foyer objet, un foyer image et un foyer principal Réponse la première Les foyers objet et image d’un miroir sphérique sont confondus et se situent à michemin entre le sommet et le centre du miroir. 3) Un miroir convexe a un centre Miroir convexe Espace objet réel et image réelle. virtuel S réel C Partie réfléchissante n’a pas de centre Réponse la deuxième car le centre C est situé du coté de la courbure dans le sens de propagation de la lumière. Voir schéma 4) La distance focale d’un miroir sphérique est S égale à son rayon Partie réfléchissante le double de son rayon F C la moitié de son rayon Réponse la troisième car le foyer est situé au milieu du segment SC qui constitue le rayon du dioptre quelle que soit sa nature convexe ou concave. 5) On place un objet réel, sur l’axe optique, à une distance égale à 1,5 m du sommet d’un miroir concave de focale 1 m. L’image est virtuelle et située à 3 m du miroir C réelle et située à 3 m du miroir + réelle et située à 60 cm du miroir S virtuelle et située à 60 cm du miroir Réponse la deuxième Appliquons la formule de conjugaison des miroirs sphériques 1 1 2 1 2 1 1 1 - 1,5 1 + = Þ = = -1 + = = - Þ SA1 = -3m . L’image se forme dans la partie image et objet réels. SA1 SA SC SA1 SC SA 1,5 1,5 3 Le rayon de courbure du dioptre est négatif, de même pour la distance focale. 6) Avec un miroir convexe, on peut obtenir une image réelle si a) l’objet est réel Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE b) l’objet est virtuel, peu importe sa place c) l’objet est virtuel, placé entre S et F d) l’objet est virtuel, placé entre F et C e) l’objet est virtuel, placé entre C et l’infini image S 2018-2019 objet F C Réponse c). Voir construction. 7) On dispose d’un miroir concave de rayon R=1 m. a) Quelle est sa distance focale ? Réponse : f = f ' = SC = - 1 = -0,5m . Le miroir est concave donc SC á 0 2 2 b) Ce miroir est placé à la distance SA1 =D=5 m d’un écran E. Où doit-on mettre un petit objet pour en avoir une image nette sur l’écran ? Réponse : Appliquons la formule de conjugaison pour déterminer SA1 1 SA1 + 1 SA = 2 SC Þ 1 SA = 2 SC - 2 1 -1 - 10 11 5 =- - = = - Þ SA = - = -0,45m 1 5 5 5 11 SA1 1 c) Quel est son grandissement ? Réponse g = - SA1 = - 5 = 11 SA - 5 11 G. SYSTÈMES CENTRES DIOPTRIQUES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS I. SYSTEME CENTRE : On appelle système centré un ensemble de dioptres et/ou de miroirs, possédant le même axe de symétrie dit axe optique ou axe principal du système. II. GRANDISSEMENTS GRANDISSEMENT TRANSVERSALE Image droite : B’ + AB = grandeur de l’objet ; A'B' = grandeur de l’image Le grandissement transversal a pour expression : 𝛾 avec 𝛾 > 0 car l’image est droite. = B + %%%%%%% ! $! # %%%% #$ A A ’ S axe optique Image renversée : + Ici nous avons : 𝛾 < 0 car l’image est renversée par rapport à l’objet. + B A ’ A S axe optique B’ Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE GRANDEMENT ANGULAIRE On appelle grandissement angulaire la relation : 𝐺 = RELATION ENTRE g ET G : Nous sommes dans les conditions de l’approximation de Gauss (rayons faiblement !! ! + + B a ! 𝐵! . 𝛼 ! . dddd. 𝛼 = 𝑛! . 𝐴 dddddd Lagrange – Helmoltz : 𝑛. 𝐴𝐵 A axe optique B’ I inclinés sur l’axe optique ). Nous pouvons utiliser la formule de 2018-2019 I’ S milieu d’indice n Nous en déduisons : A’ a’ milieu d’indice n’ ! 𝐵! . 𝛼 ! ! 𝐵! 𝛼 ! dddddd dddddd 𝑛! . 𝐴 𝑛! 𝐴 𝑛! 𝑛 =1⟹ . . = 1 ⟹ . 𝛾. 𝐺 = 1, 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝛾. 𝐺 = ! dddd 𝛼 𝑛 𝐴𝐵 𝑛 𝑛 𝑛. dddd 𝐴𝐵. 𝛼 III. PLANS PRINCIPAUX LES PLANS PRINCIPAUX SONT DEUX PLANS DE FRONT CONJUGUÉS POUR LESQUELS LE GRANDISSEMENT LINÉAIRE EST ÉGAL A 1. Les foyers F et F' sont à distance finie. Considérons un incident SI, parallèle à l’axe, qui émerge suivant I'F'. Considérons également l’incident FJ tel que l’émergent correspondant ait même support que SI. Les points de rencontre K des incidents choisis et K' des émergents correspondants existent à distance finie et sont conjugués. On remarque que le grandissement pour les plans P et P' est égal à 1. Ces deux plans sont donc les plans principaux. Les points H et H' sont les points principaux. Par définition HH' caractérise l’interstice du système IV. DISTANCES FOCALES La distance focale objet est par définition la mesure algébrique HF = f La distance focale image est par définition la mesure algébrique H ' F ' = f ' Le système est représenté par ses foyers et ses plans principaux : n est l’indice du milieu que voit la face d’entrée et n' l’indice du milieu que voit la face de sortie. Tous les rayons issus d’un point du plan focal objet émergent parallèles entre eux et donc à K'F'. Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 Dans un système dioptrique, les distances focales sont toujours de signes contraires et leur rapport est celui des indices des milieux extrêmes changé de signe. H' F' =- HF n' n Comme pour les dioptres on définit la vergence V du système : n' n V = =H'F' HF La vergence se mesure en dioptries. Par définition, la dioptrie est la vergence d’un système optique de distance focale 1 mètre dans un milieu d’indice 1. V. FORMULES DES SYSTÈMES CENTRÉS V.1. Formule de conjugaison Origine aux points principaux On repère la position de l’objet A1 par rapport au point principal objet H à l’aide de HA1 et la position de l’image A2 par rapport au point principal H' à l’aide de H ' A2 . Les triangles LHF et LKB, d’une part, et les triangles K'H'F' et K'L'B' , d’autre part, sont semblables. On a donc : LH LK = HF H' K' et HA L' K ' = H' F' H ' A' En ajoutant les deux égalités membre à membre il vient : LH LK + H' K' L' K ' =1= nH ' F ' n' HA + HA H' F' Puisque - HF HF H' F' H ' A' + =- H' F' H ' A' n' n on peut remplacer HF par - n H ' F' n' de sorte que la relation précédente devient : =1 En multipliant par n' on fait apparaître la vergence V et la forme la plus utile de la relation de H'F' conjugaison : n' H ' A' - n HA = n' H'F' =V Origines aux foyers : Formule de NEWTON On repère la position de l’objet par FA et la position de l’image par F'A'. Sur la figure les triangles FAB et FHL, d’une part, F'H'K' et F'A'B', d’autre part, sont semblables. On en déduit la relation de conjugaison : FA × F ' A' = HF × H ' F ' et l’expression du grandissement : Page UNA / UFR-SFA g =- COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 HF F ' A' =FA H'F' Puisque HF et H'F' sont de signes contraires, il en est de même pour FA et F'A'. Par ailleurs, à chaque valeur du grandissement, correspond une seule position de l’objet. POUR LES SYSTÈMES CENTRÉS DIOPTRIQUES L’OBJET ET L’IMAGE SE DEPLACENT TOUJOURS DANS LE MÊME SENS. V.2. Cas particuliers : milieux extrêmes identiques Ce cas particulier est très important en pratique puisqu’il correspond à tous les systèmes optiques usuels [lentilles, loupes, microscopes (sauf cas du microscope à immersion) lunettes astronomiques, terrestres ... dont les faces d’entrée et de sortie baignent dans l’air n = n', on a HF = f = H ' F ' = f ' . On pose alors f ' = H ' F ' et on obtient les résultats suivants : - Formules de conjugaison : 1 1 1 = H ' A' HA f ' et FA × F ' A' = - f ' 2 - Grandissement: les relations de NEWTON donnent : g =- HF FA =- F ' A' H ' F' = H ' F' FA = H ' A' - F ' A' FA = F ' A' HF = F ' A' HA - FA d’où, on tire en sommant les numérateurs et les dénominateurs de la quatrième et de la dernière expression ci-dessus une nouvelle forme très utile du grandissement : g= H ' A' HA V.3. Association de deux systèmes a) Position du problème • • • • • • H et H', F et F', n et n’: pour le système équivalent 1er système: indice1(F1, F’1, H1 H’1) 2eme système: indice 2 (F2, F’2, H2 H’2) n et n’: indices milieux objet et image N: indice milieu intermédiaire e = H1' H2: distance entre les 2 milieux Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 b) Position des foyers dans une association de 2 systèmes centrés Le foyer image F' de l’ensemble (1) + (2) est l’image du foyer image F1' du système (1) à travers le système (2). Par application de la formule de conjugaison de NEWTON on trouve : F2 F 1' .F2' F ' = f 2 f 2' Le foyer objet F de l’ensemble a pour image, à travers le système (1), le foyer objet F2 du système (2). On trouve alors : F1 F.F1' F2 = f1 f1' Les positions des foyers se déduisent des relations précédentes. N.B. On trouve parfois désignée par le nom de”’ intervalle optique ” la quantité F1' F2 qui caractérise aussi la position du système (2) par rapport au système (1). On a en effet : F1' F2 = F1' H1' + H1' H 2 + H 2 F2 = - f1' + e + f 2 ' On pose D = - f1 + e + f 2 L’intervalle optique V.4. Calcul des distances focales La distance focale image f' du système peut être déterminé par application de la formule : H' F' = f '= - f1' f 2' F1' F2 L’utilisation du principe de retour inverse de la lumière donne : f f HF = f = 1 2 F1' F2 V.5. Formule de GULLSTRAND Le nouveau système a pour vergence : V = n.F ' F n' = - '1 ' 2 f' f1 f 2 On écrit l’intervalle optique sous la forme : F1' F2 = F1' H 1' + H 1' H 2 + H 2 F2 = - f1' + e + f 2 n' (- f1' + e + f 2 ) La vergence s’écrit alors : V = f12 f 2' Dans cette expression on fait alors apparaître les vergences V 1 et V 2 des deux systèmes : Page UNA / UFR-SFA V1 = COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 N n V1V2 n' N =V = V + V + e V = = 1 2 On obtient alors : f' f et 2 f 2' N : C’est la formule de f2 Gullstrand VI. LENTILLES SPHERIQUES MINCES VI.1. Définition Une lentille est un milieu transparent homogène et isotrope limité par deux dioptres sphériques ou un dioptre sphérique et un dioptre plan. VI.2. Types de lentilles : Ø Lentilles à bords minces : lentilles convergentes R2 R2 C1 C2 C2 C2 R2 C1 R1 R1 (rayon de courbure) Ménisque convergent Lentille planconvexe Lentille biconvexe Les lentilles convergentes convergent un faisceau parallèle en un seul point. S1 Û C1 S2 F’ C2 F’ Ø Lentilles à bords épais : lentilles divergentes Lentille plan-concave lentille biconcave Ménisque divergent VI.3. Centre optique On appelle centre optique d’un système optique le point O de l’axe de révolution D par lequel passe le rayon réfracté correspondant à un rayon incident qui émerge du système suivant la direction parallèle à la direction incidente. [ A1 I 1 ) est parallèle à [ I 2 A2 ) et le point O est le centre optique du système S. VI.4. Caractéristiques des lentilles Foyers principaux : • Définitions Page A1 S I1 D O I2 A2 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 Foyer principal objet : Le foyer principal objet F est le point objet de l’axe optique D dont l’image est rejetée à l’infinie sur cet axe F D O Foyer principal image Le foyer principal image F’ est l’image de l’objet situé à l’infini sur l’axe optique D. O D Distances focales F’ f = OF = distance focale objet ; f’ = OF ' = distance focale image Vergence La vergence est l’inverse de la distance focale image : C= 1 (m-1 ou dioptrie : d ) f' Lentilles convergentes ou divergentes Lentille convergente + + Une lentille convergente est caractérisée par : F - une distance focale image f’ = OF' > 0 ; - les foyers principaux objet ( F) et image (F’) réels. F’ Lentille divergente Une lentille divergente est caractérisée par : - une distance focale image f’ = OF ' < 0 ; - des foyers principaux virtuels ( F’ dans l’espace objet et F dans l’espace image ) O F F ’ + D Expression de la vergence d’une lentille mince deuxième dioptre premierdioptre (A) ¾ ¾¾® A1 ¾ ¾¾ ¾® A’ S1 S2 On a R1 = S1C1 et R1 = S 2 C 2 R1 et n1, n2, n3 sont des indices de réfraction des milieux. Les formules de conjuguaison avec origines aux sommets donnent : C2 R2 S1 n1 C1 n2 R1 n3 n2 n n -n - 1 = 2 1 (1) : pour le dioptre de sommet S1 ( A) point objet ; S1 A1 S1 A S1C1 A1 point image de A à travers le dioptre de sommet S1) n3 n n -n - 2 = 3 2 (2) : pour le dioptre de sommet S2 ( A1) point objet ; A’ point image de A1 à S2 A' S2 A1 S2C2 travers le dioptre de sommet S2 ) Cas : des lentilles minces Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 Une lentille est dite mince si l’on peut confondre S1 et S2 ( S1 = S2 = S ) Dans ces conditions (1) s’écrit n2 n1 n2 - n1 (1’) = SA1 SA SC1 et (2) devient : n3 n n -n - 2 = 3 2 (2’). SA' SA1 SC2 En additionnant (1’) et (2’) nous obtenons : n3 n1 n2 - n1 n3 - n2 (3) = + SA' SA SC1 SC2 supposons que n1 = n3 = next et n2 = n ; (3) peut s’écrire : é 1 1 ù n - next next - n 1 ù é 1 next ê - ú= + = (next - n)ê ú SC1 SC 2 ë SA' SA û êë SC 2 SC1 ûú soit : æ n = çç1 SA' SA è next 1 - 1 öé 1 1 ù æ n ÷ê ú = çç1 ÷ øëê SC 2 SC1 úû è next öæ 1 1 ö ÷ç ÷ ÷ç R - R ÷ (4) 1ø øè 2 si le milieu qui entoure la lentille est l’air alors next = 1 et la relation (4) devient æ 1 1 1 1 ö = (n - 1)çç - ÷÷ SA' SA è R1 R2 ø La vergence d’une lentille mince est par définition : C= æ 1 1 1 = (n - 1)çç f' è R1 R2 ö ÷ ÷ ø avec pour unité la dioptrie d ( m-1 ) Origine au centre optique : Formule de Descartes Formule du grandissement : Posons : OA' = p' ; OA = p; OF ' = f ' Les triangles OAB et OA’B’ sont semblables OA' B' OA' OB' A' B' p' A' B' p' Þ = = = Þg = = OAB OA OB AB p p AB donc g = p' p qui est le grandissement transversal.. Formule de conjugaison : Les triangles OIF’ et A’B’F’ sont semblables d’où A' B' F ' A' B' A' F ' B' F ' ; par ailleurs nous avons OI = AB d’où la Þ = = OIF ' OI OF ' relation : IF ' A' B' A' F ' A' O + OF ' A' B' OF ' - OA' OA' = = Þ = = 1AB OF ' OF ' AB OF ' OF ' g= A' B' AB = 1- OA' OF ' = p' p' p ' Þ 1- = p f' p B A I F F’ A’ o B’ et nous tirons la relation et nous déduisons la relation formule de Descartes ) Origine aux foyers : formule de Newton Page 1 1 1 - = p' p f' qui est la relation de conjugaison ( UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE + Les triangles OIF’ et A’B’F’ sont semblables : OIF ' OI IF ' OF ' et AB = OI Þ = = A' B' F ' A' B' B' F ' d’où A' F ' AB OF ' A' B' A' F ' A' F ' = Þ = Þg = A' B' A' F ' AB OF ' OF ' 2018-2019 (1) B I + A F Les triangles OJF et ABF sont semblables : OJF OJ OF JF Þ = = ABF AB AF BF et A' B ' = OJ donc g= A' B' AB = J OF AF Þg = (1) = (2) soit : A' F ' = OF Þ A' F '. AF = OF .OF ' OF ' A’ O OF AF (2) soit AF B’ FA.F ' A' = FO.F ' O = ff ' qui est la relation de Newton p’ F’ S F Foyers secondaires – plans focaux Le plan focal objet π (plan p ) est un plan perpendiculaire à l’axe p D O optique principal D passant par le foyer principal objet F. SO est l’axe optique secondaire et le point S situé dans le plan p est un foyer secondaire objet. Les rayons lumineux qui partent de S sortent de la lentille parallèlement à l’axe secondaire SO. Le plan focal image p’ est un plan perpendiculaire à l’axe optique D passant par le point foyer principal image F’. OS’ est un axe optique secondaire. Le point S’ est un foyer secondaire. Les rayons lumineux parallèles à OS’ convergent vers S’ après la traversée de la lentille. Page S’ O F’ p’ D UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 Exercices corrigés QCM (avec réponse) 1) Le foyer objet d’une lentille mince est dans l’espace objet réel dans l’espace image réelle dans l’espace objet, ou image réel 2) Un objet réel A situé à une distance 2f’ d’une lentille convergente de focale f’ et de centre O, a son image A’ au foyer image en 𝑂𝐴! = -.! / en OA’=2f’ 3) Sur un banc optique de 1,5 m de long, on place dans l’ordre : un objet réel, une lentille convergente de vergence et un écran. on pourra observer l’image de l’objet sur l’écran, elle sera forcément plus petite que l’objet on pourra observer l’image de l’objet sur l’écran, elle sera forcément plus grande que l’objet. Il faut au moins une distance égale à 4f’ entre l’objet et l’écran, ce qui n’est pas le cas ici. on pourra observer l’image de l’objet sur l’écran, elle sera plus petite ou plus grande que l’objet, ça dépend où on place la lentille Il faut au moins une distance égale à 4f’ entre l’objet et l’écran, ce qui n’est pas le cas ici. on ne pourra pas observer l’image de l’objet sur l’écran 4) Sur un banc optique de 1,5 m de long, on place dans l’ordre : un objet réel, une lentille divergente de vergence 2d et un écran. on pourra observer l’image de l’objet sur l’écran, elle sera forcément plus petite que l’objet on pourra observer l’image de l’objet sur l’écran, elle sera forcément plus grande que l’objet on pourra observer l’image de l’objet sur l’écran, elle sera plus petite ou plus grande que l’objet, ça dépend où on place la lentille on ne pourra pas observer l’image de l’objet sur l’écran (5) avec une lentille convergente, le seul moyen d’obtenir une image réelle est d’avoir un objet réel vrai faux 6 )Pour obtenir une image réelle avec une lentille divergente l’objet doit être réel l’objet doit être virtuel et placé n’importe où dans l’espace objet virtuel l’objet doit être virtuel et placé entre le centre optique et le foyer l’objet doit être virtuel et placé entre le foyer et l’infini 7) Soit une lentille convergente de centre O et de distance focale f' placée dans l'air. Construire par diverses méthodes le rayon émergent correspondant à un rayon incident quelconque. Refaire les mêmes constructions pour une lentille divergente. Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 VII. ASSOCIATION DE LENTILLES MINCES VI.1. Lentilles minces accolées L2 O1 erelentille 2eme entille (AB) 1¾ ¾®(A1,B1) ¾ ¾®(A'B') O On admet que la distance entre les centres optiques O1 et O2 est L1 négligeable donc on peut dire : O1 º O2 º O Un objet AB donne à travers la lentille L1 une image A1B1. Cette image joue le rôle d’objet pour la lentille L2. Cette lentille donne à partir de A1B1 une image définitive A’B’. La relation de conjugaison des lentilles minces nous donne : 1 OA1 - 1 OA g1 = A1B1 g2 = A' B' = 1 f 1' (1) ( pour la lentille L1 de distance focale f’1 ) OA1 = grandissement relativement à la lentille L 1 AB OA 1 1 1 = ' (2) ( pour la lentille L2 de distance focale f’2 ) OA' OA1 f 2 A1B1 = = OA' OA1 = grandissement relativement à la lentille L2 Nous avons (1) + (2) donne 1 - 1 = 1' + 1' = 1 avec f’ comme distance focale de la lentille équivalente. OA' OA f1 f' f2 Pour plusieurs lentilles accolées nous avons la vergence de la lentille équivalente qui a pour expression C = 1 =å 1 =åCi f' i f i ' i Remarque : g =Õg i i VI.2. Lentilles minces non accolées : Doublet Un doublet non accolé est caractérisé par son symbole, ensemble de trois nombres entiers p, q, r noté (p, q, r) tel ' ' que f1 = d = f 2 = a p q r avec q strictement positive et d = O1O2 > 0 Remarque : - pour les lentilles convergentes nous avons : p et r > 0 - pour les lentilles divergentes p et r < 0 Foyers du Doublet Foyer image : F’ est l’image de F’1 à travers la lentille L2 Calcul de la distance F2' F' (F’ image de f’1 à travers la deuxième lentille L2 La formule de Newton Þ F2 F1'.F2' F'= f 2 f 2' = -f 2'2 (1) car ( f2 = - f’2) D’autre part nous avons F2 F1' = F2O2 +O2O1 +O1F1' = -f 2 -d + f1' Þ F2 F1' = f 2' -d + f1' (2) F1 O1 Page O2 F2 L1 F1 O2 O1 L1 F’2 L2 F’1 '2 f 2'2 f '2 La relation (1) donne : F2' F'=- f 2 qui devient avec (2) : F2' F'= =- 2 d - f 2' - f1' - D F2 F1' D = F1' F 2 = intervalle optique F’1 F’2 S L2 F ’ UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 Foyer objet : (p ) F2 est l’image de F à travers la première lentille L1 La relation de Newton donne : F1' F2.F1F = -f1'2 (p’ ) F1 F1' F2 = F1'O1 +O1O2 +O2 F2 = -f1' + d + f 2 =-f1' + d - f 2' '2 f '2 f1'2 = f 1 soit F1F = - 1 Þ FF1 = d - f1' - f 2' D F1' F2 Distances focales O F F F2 S’ F’ F’2 la distance focale image : On montre que : f '= - f1 ' f 2 ' F1 ' F 2 =- f1 ' f 2 ' D la distance focale objet f = f1 f 2 F1 ' F 2 = f1 f 2 D EXERCICE Doublet de type Ramsden : symbole = ( 3, 2, 3) f1' d f 2' = = =aÞ f1' =3a ; d =2a ; f 2' =3a 3 2 3 Calcul de la vergence de ce doublet : 1 = 1 + 1 - d = 1 + 1 - 2a = 4 on déduit la distance focale image f ' = 9a f ' f1' f 2' f1' f 2' 3a 3a 9a 2 9a 4 Calcul de F2' F ' + F1' F2 = D= intervalle optique O1 Le foyer image F’ du doublet est le conjugué de F’1 à travers la lentille L2. La F2 F1'.F2' F ' = - f 2'2 Þ F2' F ' = Soit F2' F ' = relation de newton F1 O2 F’1 F2 L donne F’ L f 2'2 D + 9a 2 avec D = - 4a ce qui donne finalement D F F’1 F2 F1 L 9 F2' F ' = - a ( F’ est situé entre F’2 et O2 ) 4 Calcul de FF1 : Le foyer objet F est le conjugué du foyer objet F2 de la lentille L2 à travers la lentille L1 ' '2 La relation de Newton donne : F1F.F1 F2 = - f1 ce qui donne F1F = - F’2 f1'2 9a2 9a == ( F est en réalité situé entre F1 et O1 ) D - 4a 4 Page F’2 L F’ UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 - Doublet de type Huygens ( 3, 2, 1 ) Nous avons la relation F1' F2 = D = -2a Þ f ' = - f1' d f' = = 2 = a Þ f1' = 3a, 3 2 1 f 2' = a, d = 2a et d’autre part f1' f 2' 3a = = distance focale du doublet D 2 Et nous avons les distances F1F = - f1'2 9a f' a = et F2' F ' = 2 = D 2 D 2 Remarque : Nature du doublet Si F est avant la lentille L1 et F’ après la lentille L2 alors le doublet est dit positif convergent ; Si F est après la lentille L1 et F’ avant la lentille L2 nous avons un doublet négatif divergent H. LES INSTRUMENTS OPTIQUES I. L’OEIL L’œil est l’organe de la vision ; il peut examiner directement des objets ou examiner des images de ces objets fournies par des instruments d’optique (loupes, microscopes, lunettes). Son rôle est fondamental dans l’étude de l’optique. I.1. Descriptions et propriétés de l’œil I.1.1. Description complète : l’œil physiologique Volume de l’œil 7 cm3 Sclérotique : Membrane blanche ne jouant aucun rôle dans le fonctionnement de l’œil, il est interrompu par la cornée transparente qui constitue la fenêtre d’entrée de l’œil. Cornée : fenêtre d’entrée de l’œil est partiellement recouverte par l’iris coloré, membrane contractile percée d’un trou appelé pupille dont le diamètre est variable (2 à 8 mm) afin de contrôler le flux de lumière entrant dans l’œil. Choroïde : régulatrice thermique pigmenté en noir pour éviter les reflets, la lumière parasite et les éblouissements, si pas pigmenté comme pour les albinos le fond de l’œil est rouge, c’est cette coloration qui donne l’effet des yeux rouges sur les photos. Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 Le rayon de l’œil est d’environ 12mm. Le rayon de la cornée est d’environ 8mm. Le cristallin a une épaisseur d’environ 4mm; les rayons de courbure de ses faces sont respectivement égaux à 10 et 6mm. Ce n’est pas un milieu homogène : l’indice varie de 1, 36 au bord à 1,42 sur l’axe. Le cristallin est une lentille de distance focale variable, qui permet dans des conditions normales de placer toutes les images sur le plan de la rétine (situé à environ 25 mm derrière la cornée : on dit que le cristallin est doté d’un pouvoir d’accommodation du à l’action des muscles auxquels il est attaché. Un cristallin trop opaque cause un défaut de l’œil appelé chez les personnes âgées : cataracte, que l’on soigne en substituant le cristallin par un cristallin artificiel La transparence de la cornée est maintenue par les glandes lacrymales L’écran sur lequel se forme l’image observée est la rétine qui tapisse le fond de l’œil. La rétine est l’épanouissement du nerf optique : les cellules sensibles sont des cônes et des bâtonnets. La fovéa au centre de la tâche jaune a un diamètre d’environ 0,3mm et ne contient que des cônes. La tâche jaune, riche en cônes, correspond à la zone sensible en éclairage diurne (éclairage naturel dans la journée). Un point est vu nettement si son image se forme sur la fovéa. Pour permettre la vision de points différents, sans imposer à chaque fois des mouvements de la tête, l’œil effectue des rotations rapides dans son orbite autour d’un point O qui est approximativement le centre du globe oculaire. I.1.2. Description simplifiée Les rayons contribuant à la formation de l’image sur la fovéa ou la tache jaune sont paraxiaux et l’œil est un système centré qui fonctionne donc dans les conditions de l’approximation de GAUSS. Les milieux f' extrêmes, l’air et l’humeur vitrée, étant différents le rapport des distances focales est égal à -1,336. La f cornée avec un rayon de courbure de 8mm se comporte comme une paroi transparente et la convergence du dioptre sphérique d’entrée est d’environ 0,336 soit 42 dioptries. 0,008 Le cristallin a la convergence d’une lentille épaisse d’indice relatif 1,42 = 1,063 . Avec les rayons de 1,336 × 1,336 courbure indiqués, ceci conduit à une convergence d’environ 16,8 dioptries. La convergence de l’ensemble étant alors très voisine de 60 dioptries. Pour un œil ” moyen ” normal la distance focale image f' est voisine de +23mm tandis que la distance focale objet f est voisine de -17mm. Quand un œil normal observe un objet éloigné le foyer image F' est sur la rétine et le foyer objet F environ 15mm en avant de la cornée. L’œil est équivalent à un dioptre sphérique de sommet S et de centre C tel que SC = 6mm séparant l’air et le milieu d’indice 1, 336. C’est l’OEIL RÉDUIT représenté sur la figure SC = 6mm SF ' = 1,336 ´ 6 = 23,85mm 1,336 - 1 SF = - 1´ 6 = -17,85mm 1,336 - 1 I.2. Champs de l’œil Le champ de vision nette est défini par le cône de sommet C dont la génératrice s’appuie sur la fovéa. Son ouverture w N est d’environ 1o. En effet : Page UNA / UFR-SFA wN = COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 0,3 » 1,76.10 -2 radians or 1° » 1,745.10 -2 radians 17 I.3. Accommodation et défaut de l’œil L’accommodation est l’aptitude des yeux à subir des changements pour voir des objets situés à distances différentes. I.3.1 Œil normal Le foyer image F' est, naturellement et sans effort, sur la rétine. L’œil voit alors nettement des objets situés ” à l’infini ”. Le point le plus éloigné, sur l’axe, pour lequel il est possible d’obtenir une image rétinienne nette est le PUNCTUM REMOTUM R. Pour un œil normal R est à l’infini. La déformation du cristallin étant limitée, quel que soit l’effort musculaire fourni, l’œil ne peut pas voir les objets situés en deçà d’une distance minimale de vision distincte. Le point correspondant sur l’axe est le PUNCTUM PROXIMUM P. Pour un œil normal non fatigué P est situé 20 à 30cm en avant de la cornée. I.3.2. Œil myope L’œil est trop convergent. Le foyer image est naturellement en avant de la rétine. Le PUNCTUM REMOTUM R est à distance finie alors que le PUNCTUM PROXIMUM P est plus proche de la cornée que dans le cas d’un un œil normal. La correction de la myopie est possible en plaçant une lentille divergente devant l’œil. I.3.3. Œil hypermétrope L’œil n’est pas assez convergent. Le foyer image est naturellement en arrière de la rétine. Le PUNCTUM REMOTUM R est virtuel tandis que le PUNCTUM PROXIMUM P est plus éloignée de la cornée que dans le cas d’un œil normal. La correction de l’hypermétropie est possible en plaçant une lentille convergente devant l’œil. I.3.4. Autres défauts L’œil presbyte est un œil devenu moins convergent par suite du vieillissement (le relâchement des muscles entraîne au repos une augmentation des rayons de courbure du cristallin). On peut noter que si la presbytie est susceptible de réduire la myopie, elle ne peut qu’aggraver l’hypermétropie. EXERCICES AVEC CORRECTIONS 1) L’œil est assimilé à un dioptre sphérique séparant son intérieur d’indice n=1,5 de son extérieur (air) d’indice n0=1. L’œil voit un objet nettement lorsque son image par le dioptre se forme sur la rétine. La rétine est supposée être plane, perpendiculaire à l’axe optique et est à une distance d=25mm du sommet S du dioptre. a) Faire un schéma du modèle b) L’œil regarde un objet réel à l’infini sur l’axe optique. Dans le cas où l’œil l’objet nettement, déterminer la distance focale du dioptre. c) En déduire le rayon de courbure R du dioptre. Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 d) On considère maintenant un objet B à l’infini qui n’est pas sur l’axe optique. Cet objet envoie des rayons inclinés d’un angle a=0,1 rad par rapport à l’axe optique. Déterminer géométriquement et algébriquement la position de l’image B’ sur la rétine. Réponse n0=1 Rétine S n=1,5 a) b) A¥ Þ A' = F ' . L’image se forme sur la rétine. D’où D=25 mm -3 f ' = SF ' = 25.10 m c) Appliquons la formule de conjugaison des dioptres sphériques : (n - 1) SF ' , soit R = 0,5 25.10 -3 = 8,33.10 -3 m n 1 n -1 - = ÞR= R n 1,5 SA' ¥ d) Géométriquement tan a = a = S F ' B' CF ' ( ) Þ F ' B' = CF '.a = SF ' - SC .a = 10 -3 (25 - 8,3).0,1 = 1,67.10 -3 m Algébriquement En S appliquons la troisième loi de Snell-Descartes. n0 sin a = n sin a ' Û n0a = na ' , car a áá1. Soit a ' = tan a ' = F ' B' SF ' Rétine n0=1 n=1,5 a’ B’ a C F’ D=25mm n0 1 a= 0,1 = 0,067rad n 1,5 Þ F ' B' = SF ' tan a ' Û F ' B' = SF '.a ' = 25.10 -3.0,067 = 1,67.10 -3 m 2) L'œil O d'un observateur est placé à 1 m d'un miroir plan ; à quelle distance est-il de son image O' dans ce miroir? On déplace le miroir parallèlement à lui-même, d'abord en avant de 25 cm, puis en arrière de 25 cm, que devient dans chaque cas la distance de l'œil à son image? Généraliser ces résultats dans l'énoncé d'un théorème concernant la translation d'un miroir plan. Réponse L'équation de conjugaison du miroir plan est HO = -HO' Þ OO' = 2OH = 2 m si on avance le miroir de 25cm OO ' = 2OH = 1,5m si on recule le miroir de 25 cm OO' = 2OH = 2,5m Théorème: Quand on déplace un miroir plan d'une certaine longueur, l'image d'un objet se déplace dans le même sens que le miroir et d'une longueur double. Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 II. LA LOUPE II.1. La loupe : instrument d’observation à courte distance II.1.1. Principe de fonctionnement Une lentille mince convergente donne d’un objet AB, situé entre le centre optique O de la lentille et le foyer principal objet une image droite, virtuelle, agrandie. Pour l’observateur, l’œil est placé au foyer principal image F’ B’ B A’ F A F’ II.1.2. Grandissement, Puissance, Grossissement • Grandissement : g = A' B ' AB = f FA = F ' A' f' ; g >1 • Puissance : Soit a’ le diamètre apparent de l’image A’B’ vue par l’œil, qui observe l’objet AB à travers la loupe. La Puissance P exprimée en dioptrie (d) est définie par : P= a' 1 = AB f ' en OI OI tan(a ' ) » a ' = = f' OF ' effet B’ B (car AB = OI = a ' f ' A’ ) F I A O a F’ • Grossissement : G Définition : Le rapport du diamètre apparent de l’image à travers la loupe au diamètre de l’objet observé à l’œil nu à la distance minimale de vision distincte représente le grossissement G. B a dm G= a' a A ;a= AB a ' dm ÞG= dm AB soit : G=P.dm Nota Béné : On donne en général pour une loupe le grossissement commercial associé à l’œil normal observant à l’infini : Gc = P 1 = 4 4f' • Profondeur de champ (= Latitude de mise au point) Définition : La profondeur de champ (= latitude de mise au point, noté LMDP) : c’est la distance entre les deux positions extrêmes de l’objet telles que l’image de l’objet soit visible par l’œil placé en 𝐹′ (voir figure en dessous), c’est-`a-dire telles que l’image se forme entre - le Punctum Remotum (objet en 𝐹 et image à l’infini pour un œil normal ) - et le Punctum Proximum (objet en 𝐴 sur le schéma et image à 𝑑) de l’œil). Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 II.2. Les oculaires Définition : Un oculaire est une loupe « améliorée » : à la place d’une seule lentille, on utilise un ensemble de lentilles convergentes et divergentes équivalentes à une seule lentille convergente. La lentille d’entrée (côté objet observée) est appelée « lentille de champ » et la dernière (côté œil) est appelée « lentille d’œil ». Rémarque : Les images données par la loupe sont de qualité médiocre dès que la puissace est de l’ordre d’une vingtaine de dioptries. Pour améliorer la qualité des imges, on remplace les loupes par des oculaires qui sont des associations de lentilles. C’est le cas des doublets de Ramsden ou d’Huygens. III. LE MICROSCOPE OPTIQUE Figure. Schéma simplifié d’un microscope optique Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE III.1. Définition De manière très simplifiée, on peut considérer un microscope comme un système centré constitué par deux lentilles convergentes de faibles distances focales. La lentille qui est la plus proche de l’objet AB est l’objectif (L1) l’autre plus proche de l’observateur est l’oculaire (L2). En général fL1<<<<fL2 <<<< à la distance entre L1 et L2 2018-2019 + + F2 F’1 F1 F’2 D L1 L2 D (distance F1' F2 ) est l’intervalle optique avec une valeur admise de 16 cm. Remarque : L’oculaire L2 doit servir de loupe. Ceci entraîne que l’image donnée par l’objectif L1 soit entre le foyer principal F2 et le centre optique O2 de la lentille L2. L2 B O1 A B O1 F’1 A’ F2 A’ O2 ’ F1 F’1 F1 Construction de l’image définitive B ’ L1 a’ O2 A’ F’2 L1 L B A’B’ est l’image de AB à travers la lentille L1 (objectif). A’’B’’ est l’image de A’B’ à travers la lentille L2 (oculaire). III.2. Puissance – Grossissement • Puissance : P P= a' AB = a' . A' B' A' B' AB = P2 .g 1 avec : g 1 = A' B' = grandissement de l’objectif et P2 = a ' = puissance de l’oculaire. AB • A' B ' Puissance intrinsèque Considérons le cas suivant A’B’ objet pour la lentille L2 est dans le plan focal objet de cette dernière. Ceci a pour conséquence de rejeter l’image A’’B’’ de A’B’ à travers la lentille L2 l’infini. g1 = F '1 A' f1, = D f1, = int ervalle optique D f1, . F1 O1 L1 f1, or la puissance P du microscope a pour expression P = g 1P2 = F’1 B 1 f ,2 Page A’ O2 F2 a’ L2 F’2 à UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 P2 = 1, = puissance de l’oculaire (L2). f2 On définit : Pi = D comme étant la puissance intrinsèque du microscope. f1,.f 2, • a= G= Grossissement : G B AB dm a A dm a' a' = .d m = P.d m a AB On a pour grossissement commercial la relation Gc = Pi D = 4 4. f1, f 2, III.3. Pouvoir séparateur du microscope optique Le pouvoir séparateur d’un instrument est la distance linéaire minimum de deux points du plan objet dont l’instrument donne deux images distinctes. Pour le microscope, on montre que le pouvoir séparateur est en fait celui de l’objectif qui est limité par des phénomènes de diffraction. On montre que AB lim ite = y = 0,61l (critère de Raleigh) Diaphragme n sin u B l = longueur d’onde de la lumière qui traverse le microscope ; u= ½ angle d’ouverture A n = indice de réfraction du milieu objet. Objectif ( L1 ) IV. L’OBJECTIF PHOTOGRAPHIQUE IV.1. Description − 𝑷é𝒍𝒍𝒊𝒄𝒖𝒍𝒆 𝑺𝒖𝒓𝒇𝒂𝒄𝒆 𝑹é𝒄𝒆𝒑𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 / −𝑪𝒂𝒑𝒕𝒆𝒖𝒓 𝑪𝑪𝑫 − 𝑬𝒏𝒓𝒆𝒈𝒊𝒔𝒕𝒓𝒆𝒖𝒓 𝑶𝒃𝒋𝒆𝒄𝒕𝒊𝒇 B F’ A F A’ O B’ IV.2. Caractéristique de l’instrument photographique Dans un tel système la grandeur physique caractéristique est le Grandissement de l’objectif : 𝜸𝒐𝒃𝒋 = 5555555 ! 𝑩! 𝑨 5555 𝑨𝑩 V. LUNETTES ET TÉLESCOPES Ces instruments sont dédiés à l’observation visuelle ou photographique d’objets éloignés (planètes, étoiles, galaxies...). Ils sont composés de plusieurs parties : – le tube qui contient le miroir ou les lentilles, – la monture qui entraine l’instrument pour compenser la rotation de la Terre, Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 – un objectif : une lentille dans la lunette ou un miroir dans le télescope, – un oculaire qui permet d’agrandir l’image donnée par l’objectif. V.1. Lunette astronomique V.1.1. Principe de fonction La lunette astronomique est l’association de deux lentilles convergents dont 𝑳𝒆 𝑭𝑶𝒀𝑬𝑹 𝑰𝑴𝑨𝑮𝑬 (𝑭!𝟏 ) 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒆𝒏𝒕𝒊𝒍𝒍𝒆 𝑳𝟏 𝑒𝑠𝑡 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒐𝒏𝒅𝒖 𝑎𝑢 𝑭𝑶𝒀𝑬𝑹 𝑶𝑩𝑱𝑬𝑻 (𝑭𝟐 ) 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒄𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒍𝒆𝒏𝒕𝒊𝒍𝒍𝒆 𝑳𝟐 (voir figure ci-dessous). ⟹ 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒇𝒐𝒄𝒂𝒍𝒆 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒆 𝒇!𝟏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒆𝒏𝒕𝒊𝒍𝒍𝒆 𝑳𝟏 𝒆𝒔𝒕 𝒕𝒓è𝒔 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆𝒑𝒂𝒓 𝒓𝒂𝒑𝒑𝒐𝒓𝒕 à 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒇𝒐𝒄𝒂𝒍𝒆 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒆 𝒇!𝟐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒍𝒆𝒏𝒕𝒊𝒍𝒍𝒆 𝑳𝟐 . (𝒄! 𝒆𝒔𝒕 à 𝒅𝒊𝒓𝒆: ddddddd 𝑶𝟏 𝑭!𝟏 = 𝒇!𝟏 ≫≫≫ ddddddd 𝑶𝟐 𝑭!𝟐 = 𝒇! 𝟐 ) ⟹ 𝐿𝑢𝑛𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑎𝑠𝑡𝑟𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑺𝒚𝒔𝒕è𝒎𝒆 𝑨𝑭𝑶𝑪𝑨𝑳. V.1.2. Le Grossissement La grandeur physique qui caractérise la lunette astronomique est son Grossissement : 𝑮 = Lorsque G est grand alors nous avons une lunette astronomique (𝜽′ > 𝜽). 𝜽! 𝜽 𝒇! = − 𝒇𝟏! . 𝟐 V.2. Lunette de Galilée Le modèle de lunette étudié dans le paragraphe précédent présente le défaut de renverser les images. Pour l’observation terrestre, il faut alors adapter un redresseur ou remplacer l’oculaire convergent par un oculaire divergent ; on obtient ainsi la lunette dite de Galilée. C’est également le principe des jumelles à faible grossissement dites « jumelles de théâtre » (voir figure ci-dessous). V.3. Télescopes Le télescope est un instrument catadioptrique, inventé par Newton. Les astres situés à très grande distance observés avec un miroir de télescope donnent une image au foyer de l’instrument (figure a). Si l’on veut l’utiliser, il faut soit la photographier en plaçant un film au foyer, soit la regarder en agrandissant l’image avec un oculaire. Le foyer primaire étant à l’intérieur du tube, on y a accès en le « sortant » du tube avec un miroir dit miroir secondaire. Ce miroir est plan (figure b) ou hyperbolique (figure c) dans les télescopes ordinaires. Dans les très grands télescopes, l’observateur est à l’intérieur du tube, dans une cage qui tourne avec la monture. Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 Figure a. Miroir primaire : joue le rôle d’objectif dans un télescope, formant ainsi l’image primaire au foyer. Figure b. Le télescope de Newton. L’image du miroir primaire (objectif) est envoyée sur l’oculaire par l’intermédiaire d’un miroir secondaire plan. Dans les grands télescopes, l’astronome peut se placer dans une cage à l’intérieur du télescope afin de travailler directement sur l’image primaire. Figure c. Le télescope de Cassegrain. Le faisceau venant du miroir primaire sphérique est renvoyé́ à l’arrière du miroir à l’aide d’un miroir divergent. Le télescope est caractérisé par: • une distance focale (𝑓) et le diamètre (𝐷) du miroir primaire • Le pourcentage d’obstruction (𝐴) . • Un grossissement 𝐺 = . (𝑓9: = 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙 ! 𝑜𝑐𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒) $% Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE I. RESUMÉ Chapitre 1. La lumière et l’optique géométrique Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Chapitre 2. Du principe de Fermat aux lois de Snell-Descartes Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Chapitre 3. Le prisme Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Chapitre 4. La vision des images et les conditions de Gauss Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Chapitre 5. Les dioptres sphériques Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Chapitre 6. Les miroirs sphériques Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Chapitre 7. Les lentilles minces Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Chapitre 8. Les combinaisons ou associations Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Chapitre 9. L’œil Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Chapitre 10. Instruments Optiques Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE J. CONSTRUCTIONS 1. MIROIRS PLANS 2. DIOPTRES PLANS Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 Construire l’image de l’objet 3. LENTILLES 1) Construire géométriquement l’image A’B’ d’un objet rectiligne AB situé à une distance |𝑝| d’une lentille convergente de distance focale 𝑓 ! = ddddd 𝑂𝐹′ où 𝑝 = dddd 𝑂𝐴, O étant le centre optique et F’ le foyer principal image. On considérera pour la position de l’objet les quatre cas suivants : −𝑓 ! < 𝑝 < 0 , 0 < 𝑝 < 𝑓′, −∞ < 𝑝 < −𝑓′, 𝑓 ! < 𝑝 < +∞ 2) Effectuer les mêmes types de construction dans le cas d’une lentille divergente (𝑓′ < 0). Faire des constructions pour deux cas de miroirs concaves et convexes (avec objets réel et virtuel). 3) Déterminer les rayons émergent et incident dans le cas de figures suivantes. Lentille convergente Lentille divergente Page UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 4. ASSOCIATIONS Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE K. ANNEXE Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE Page 2018-2019 UNA / UFR-SFA COURS D’OPTIQUE GÉOMETRIQUE 2018-2019 L. BIBLIOGRAPHIE 1. COURS DE PHYSIQUE OPTIQUE - 2ème Edition, Licence 1ère et 2ème Année, Jean-Paul PARISOT, Patricia SEGONDS, Sylvie LE BOITEUX, Dunod, Paris, 2003. 2. Optique géométrique, RAPPELS DE COURS ET EXERCICES, Agnès MAUREL, Jean-Marie MALBEC, COLLECTION BELIN SUP SCIENCES, 2002. 3. Les nouveaux Précis, Optique MPSI-PCSI-PTSI, P. BRENDERS, M. SAUZEIX, Éditions, Bréals, 2003. 4. HPrépa, Optique, Jean-Marie BRÉBEC, Thierry DESMARAIS, Marc MÉNÉTRIER, Bruno NOËL, Régine NOËL, Claude ORSINI, HACHETTE LIVRE 2003. 5. Fascicule d’OPTIQUE GEOMETRIQUE, Dr Jocelyne BOSSON (Maître de Conférence), 1ère Année de Licence SFA & SN – 2015. 6. Fascicule d’OPTIQUE GEOMETRIQUE, Dr Moussé LOGBO (Maître de Conférence), 1ère Année de Licence SFA – 2018. Liens utiles de quelques cours sous forme de vidéos Cours prépa scientifique. L'Optique géométrique : https://www.youtube.com/watch?v=tPDmwX7g72U Réfraction de la lumière et loi Snell - Descartes : https://www.youtube.com/watch?v=NZoBBcatT38 Introduction à l’optique géométrique-Cours 1 : https://www.youtube.com/watch?v=dckvoph10p4 Introduction à l’optique géométrique-Cours 2 : https://www.youtube.com/watch?v=RoRGSkveXKQ Introduction à l’optique géométrique-Cours 3 :https://www.youtube.com/watch?v=26CAKgNLhho Introduction à l’optique géométrique-Cours 4 : https://www.youtube.com/watch?v=ElIebd7dH7M Introduction à l’optique géométrique-Cours 5 : https://www.youtube.com/watch?v=i4JKLB8HCMM Introduction à l’optique géométrique-Cours 6 : https://www.youtube.com/watch?v=IejZDYDgNuc Images données par un objet à travers une lentille divergente : https://www.youtube.com/watch?v=Io5q_gCN2Rw Comment tracer le rayon incident quelconque : https://www.youtube.com/watch?v=sVbPMQMELQA Page
