2014PA090060

HAL Id: tel-01127114
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Submitted on 7 Mar 2015
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Résolution de problèmes d’optimisation combinatoire
mono et multi-objectifs par énumération ordonnée
Lyes Belhoul
To cite this version:
Lyes Belhoul. Résolution de problèmes d’optimisation combinatoire mono et multi-objectifs par
énumération ordonnée. Autre [cs.OH]. Université Paris Dauphine - Paris IX, 2014. Français. �NNT :
2014PA090060�. �tel-01127114�

Université Paris-Dauphine
Laboratoire d’Analyse et Modélisation de Systèmes pour l’Aide à la Décision
THÈSE
pour l’obtention du grade de
DOCTEUR EN INFORMATIQUE
R´ esolution de probl` emes d’optimisation
combinatoire mono et multi-objectifs par
´
enum´ eration ordonn´ ee
Candidat
Lyes BELHOUL
Jury
Daniel VANDERPOOTEN
Professeur à l’Université Paris-Dauphine (Directeur de thèse)
Lucie GALAND
Maître de Conférences à l’Université Paris-Dauphine (Co-encadrante)
André ROSSI
Maître de Conférences HDR à l’Université de Bretagne-Sud (Rapporteur)
Jacques TEGHEM
Professeur à la Faculté Polytechnique de l’Université de Mons (Rapporteur)
Olivier SPANJAARD
Maître de conférences HDR à l’Université Pierre et Marie Curie (Examinateur)
Date de soutenance prévisionnelle 13 Décembre 2014

Table des matières
Introduction 1
1 Notions préliminaires 5
1.1 Définitions des problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Problèmes d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Problèmes d’optimisation discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Problèmes d’optimisation combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Problèmes d’optimisation combinatoire multiobjectif . . . . . . . . 10
1.2 Schéma général de résolution par Branch and Bound . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Séparation................................ 16
1.2.2 Évaluation................................ 17
1.3 Problème d’affectation et algorithmes de k-best............... 19
1.3.1 Problème d’affectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Algorithmes de k-best pour le problème d’affectation . . . . . . . . 23
1.4 Contextedelathèse .............................. 28
2 Principe général de l’énumération ordonnée 31
2.1 Principe général de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Énumération ordonnée et algorithmes de k-best............... 34
2.3 Énumération ordonnée et minoration variable . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Amélioration des performances des algorithmes par énumération ordonnée 39
2.4.1 Algorithme de recherche de la kème solution avec règles d’élagage . 40
2.4.2 Suppression des sous-ensembles vides . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
i

2.4.3 Suppression des sous-ensembles non-améliorants . . . . . . . . . . . 41
2.5 Conclusion.................................... 44
3 Solution de compromis pour le problème d’affectation multiobjectif 47
3.1 Définitions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Énumération ordonnée avec minoration unique . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Fonction minorante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Recherche de la kème meilleure solution avec minoration unique . . 56
3.2.3 Bornes ˆ Bet ˜ B............................. 58
3.2.4 Ordre de séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3 Énumération ordonnée avec minoration variable . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.1 Recherche de la kème meilleure solution avec minoration variable . . 63
3.3.2 Résolution du problème d’affectation associé à un nœud de l’arbo-
rescence dans la version avec minoration variable . . . . . . . . . . 64
3.4 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.1 Conséquences des améliorations sur la procédure d’énumération
ordonnée avec minoration unique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.2 Résultats expérimentaux pour la procédure d’énumération ordon-
née avec minoration variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.3 Instances difficiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Conclusion.................................... 81
4 Problème du voyageur de commerce asymétrique 83
4.1 Définitions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Énumération ordonnée pour ATSP ...................... 85
4.2.1 Algorithmes fondés sur la relaxation en problème d’affectation dans
lalittérature .............................. 86
4.2.2 Algorithmes par énumération ordonnée pour ATSP ........ 88
4.3 Amélioration de l’énumération ordonnée pour ATSP ............ 91
4.3.1 Recherche d’une bonne tournée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.2 Critères de choix de la sous-tournée de séparation . . . . . . . . . . 92
4.3.3 Recherche de solutions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3.4 Principe et mode de calcul de la borne ˜ B.............. 94
ii