ExercicesL1

Exercices d’Analyse 1
Année 2016-2017
François Simenhaus
Bureau B 640
[email protected]
2
3
Feuille d’exercices n◦ 1 : Nombres réels
Exercice 1 .
1. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ? Justifier votre
réponse.
a) ∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0
b) ∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + y > 0
c) ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + y > 0
d) ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y 2 > x.
Dans tous les cas, écrire leur négation en termes de quantificateurs.
2. Soit f : R → R une application définie sur R, à valeurs réelles. Ecrire
à l’aide de quantificateurs que
— f est la fonction constamment égale à 1.
— f n’est pas la fonction constante égale à 1.
— f est une fonction constante.
— f n’est pas une fonction constante.
Exercice 2 (Vrai ou faux ?) .
1. La somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est irrationnel.
2. La somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle.
3. La racine carrée d’un nombre irrationnel positif est irrationnelle.
4. Soit A ⊂ R.“∃M > 0, ∀a ∈ A, a ≤ M ” signifie que A est bornée.
5. R∗− possède un plus grand élément.
6. x = y ⇔ ∀ε > 0, |x − y| < ε.
7. (∀ > 0, x < y + ) =⇒ x ≤ y
Exercice 3 .
Pour chacun des ensembles suivants, dire s’il est majoré, minoré, borné. Trouver, sous réserve d’existence, le plus petit élément, le plus grand élément, la
borne inférieure, la borne supérieure.
1. A = [0, 1[∪{2}.
2. B = {en ; n ∈ N}.
4
3. C = {x2 + 3x + 1; x ∈]0, 1[}.
4. D = { n1 + (−1)n ; n ∈ N∗ }.
5. E = {x ∈ R; −2 < x + (2x)−1 ≤ 2}.
Exercice 4 .
1. Soit a et b deux réels tels que a < b. Montrer que
[a, b] = {ta + (1 − t)b, t ∈ [0, 1]}.
2. Monter que
I = {x − y; x ∈] − 1, 4[, y ∈] − 3, −1[}
est un intervalle de R que l’on précisera.
Exercice 5 .
Soit A un sous-ensemble non vide de R. On définit
−A = {−a, a ∈ A}.
Donnez des conditions nécessaires et suffisantes pour que −A soit majoré,
minoré, borné. Dans le cas où elles existent, que valent sup(−A) et inf(−A) ?
Exercice 6 .
Soit A une partie bornée de R telle qu’il existe des réels a, b tels que b > a > 0
et A ⊂ [a, b]. Montrer que la partie B de R formée des inverses des éléments
de A est bornée, et exprimer ses bornes inférieure et supérieure en fonction
de celles de A.
Exercice 7 .
Soient A et B deux parties non vides de R telles que
∀a ∈ A, ∀b ∈ B, a ≤ b.
1. Montrer que sup(A) et inf(B) existent et que sup(A) ≤ inf(B).
2. Montrer que sup(A) = inf(B) ⇔ ∀ε > 0, ∃a ∈ A, ∃b ∈ B, b − a ≤ ε.
On dit dans ce cas que A et B sont adjacentes.
5
3. Donner un exemple de parties adjacentes.
Exercice (∗) 8 .
Enoncer la propriété de la borne supérieure dans R. On considère l’ensemble
A = {q ∈ Q; q 2 < 2}.
Quelle est sa borne supérieure dans R ?
Montrer qu’il existe des sous-ensembles bornés de Q qui n’ont pas de borne
supérieure dans Q. On dit que Q ne vérifie pas la propriété de la borne
supérieure.
Exercice 9 .
1. Montrer que la réunion de deux intervalles n’est pas un intervalle en
général.
2. Montrer que l’intersection de deux intervalles est un intervalle (éventuellement
vide).
3. Soit I un intervalle de R. Montrer que c’est un intervalle ouvert si et
seulement si
∀x ∈ I, ∃ε > 0, ]x − ε, x + ε[⊂ I.
4. Montrer que l’intersection de deux intervalles ouverts est un intervalle
ouvert.
Exercice 10 .
Résoudre les équations suivantes.
1. |x + 3| = 5
2. |x + 3| ≤ 5
3. |x + 2| > 7
2
4. |2x − 4| ≤ |x + 2| 5. |x + 12| = |x − 8| 6. |x + 12| ≤ |x2 − 8|
Exercice (∗) 11 .
1. Montrer que pour tout x ∈ R, bx + 1c = bxc + 1.
2. Montrer que pour tout (x, y) ∈ R2 , bxc+byc ≤ bx+yc ≤ bxc+byc+1.
k
j
= bxc.
3. Montrer que : ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ R, bnxc
n
√
4. Calculer b n2 + n + 1c pour tout entier naturel n.
6
Exercice (∗) 12 .
Soit A ⊂ R vérifiant
(
(i) ∀x ∈ R, ∃(a, b) ∈ A2 , a < x < b
(ii) ∀(a, b) ∈ A2 , a+b
∈ A.
2
Montrer que A est dense dans R. Donner un exemple de sous-ensemble non
trivial de R vérifiant les points (i) et (ii).
Exercice (∗) 13 .
√
Soit n ∈ N. Montrer que n ∈ Q si et seulement si n est un carré parfait
(c’est-à-dire s’il existe k ∈ N tel que n = k 2 ).
Exercice (∗) 14 .
−1 si x ∈ R\Z,
1. Montrer que ∀x ∈ R, E(x) + E(−x) =
0 si x ∈ Z.
2. En déduire que si p, q sont deux entiers naturels non nuls premiers
entre eux (c’est-à-dire que la fraction p/q est irréductible), alors
q−1
X
p
(p − 1)(q − 1)
.
E k
=
q
2
k=1
Indication : on pourra faire le changement de variable k 0 = q − k dans
la somme.
Exercice 15 .
√
√
Soient A = {x ∈ R; ∃p, q ∈ Z, x = p + q 2} et u = 2 − 1.
1. Montrer que pour tout z ∈ Z et tout x ∈ A, on a zx ∈ A.
2. Montrer que pour tout n ∈ N, un ∈ A.
3. Montrer que 0 < u < 1/2 et en déduire que ∀n ∈ N∗ , 0 < un < 1/n.
4. Soient a, b des réels tels que a < b. Montrer qu’il existe un entier
n ≥ 1 tel que 0 < un < b − a. En déduire qu’il existe un élément de A
appartenant à l’intervalle ]a, b[.
5. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, il existe pn , qn ∈ Z tels que :
√
un = pn + qn 2, avec pn qn < 0.
En déduire qu’il existe une infinité d’irrationnels dans tout intervalle
]a, b[, a < b.
7
Feuille d’exercices n◦ 2 : Quelques outils
Exercice 1 .
Soient x et y deux réels tels que 0 < x ≤ y. On définit les réels m, g et h par
m=
x+y
,
2
g=
√
xy,
1
1 1 1
= ( + )
h
2 x y
Montrer que x ≤ h ≤ g ≤ m ≤ y.
Exercice 2 .
Soit a un réel positif et n un entier naturel. Montrer que (1 + a)n ≥ 1 + na.
Exercice 3 .
Soit n ≥ 1 une entier. On définit la fonction
f : R →
x 7→
R
x
1+nx2
1. Etudier fn et dessiner son graphe.
2. L’ensemble fn (R) admet il un sup ? un max, un inf ? un min. Même
question pour |fn (R)|.
3. Montrer que (sup{|fn (x)|, x ∈ R})n≥1 tend vers 0 quand n tend vers
l’infini.
Exercice 4 .
Etudier la fonction f définie par
f : D(f ) →
x
7→
x2
2
R
− ln x
On suivra pour cela les étapes proposées dans le cours.
8
Exercice 5 .
Etudier la fonction f définie par
f : D(f ) → R
1
x
7→ e ln x
On suivra pour cela les étapes proposées dans le poly de cours.
Exercice 6 .
Etude des fonctions suivantes :
f1 : R →
x 7→
f2 : R →
x 7→
f3 : R →
x 7→
R
sin2 x
−x
e
R
sin2 x
R
1
1+e−x
√
f4 : x 7→ 2x 1 − x2
Exercice 7 .
Calculer les dérivées des fonctions suivantes
√
−x
2. x → 2p
1. x → cos( x)
4. x → (1 + x2/3 )3/2 5. x → sin(x2 )
x
7. x → cos(ln(x))
8. x → 33
√
10. x → x + ex
11. x → ln(x sin(x))
:
3. x → ln(ln(ln(x)))
6. x → sin(2 cos(3x))
x
)
9. x → sin( cos(x)
x sin(x)
12. x → 2
Remarque : Pour cet exercice on s’autorisera à dériver de façon formelle
sans se préoccuper de l’ensemble de définition ni de l’ensemble où la fonction
est dérivable. A part pour cet exercice, il ne faut jamais faire ça !
Exercice 8 .
Résoudre les équations suivantes (refaire également l’exercice 10 de la feuille
1).
1. |1 + 3x| + 1 = 0
2. | − x2 − 1| = x + 32 3. |2x + 3 + |x − 1|| = 3
|≤3
6. |1 − x| ≤ −1
4. − 2 − 2x2 + 13|x| − 16 = 0 5. | 2x+1
x+1
x
7. ln( x+1 ) > 0
9
Exercice 9 .
1. Montrer que le graphe de la fonction x 7→ x2 + 2x + 3 est symétrique
par rapport à la droite d’équation x = −1.
2. Montrer que le graphe de la fonction x 7→ x3 − 3x2 + 3x − 6 est
symétrique par rapport au point (1, −5).
Exercice 10 .
Déterminer les domaines de définition, de dérivabilité et calculer les dérivées
des fonctions suivantes :
1. x → 8x3/4 2. x → xe1/x 3. x → ex sin(x)
ex ln(x)
5.
x
→
6. x → 3x sin(x)
4. x → 1−4x
2/3
x2 +2x3
x
Exercice 11 .
Calculer les limites suivantes :
√
e x
2.
lim
1. limx→+∞ x2x+2
x→+∞
ln(x)
x+2
√
ln(x)
√
4. limx→0 2x ln(x + x) 5. limx→0 x
x
7. limx→+∞ (x+1)
xx+1
ln(x+2)
√
x
1
ex +1 x+1
limx→+∞ ( x+2 )
3. limx→+∞
6.
10
Feuille d’exercices n◦ 3 : Suites réelles
Exercice 1 .
Les résultats de cet exercice servent souvent et sont donc à connaı̂tre. Trouver
les valeurs des limites (lorsqu’elles existent) des suites suivantes :
1. suites puissances : un = nα , avec α ∈ R fixé (distinguer les cas α > 0,
α = 0, α < 0)
2. suites géométriques : un = an , avec a ∈ R fixé (distinguer suivant la
position de a par rapport à 1 et −1)
P
3. séries géométriques : un = nk=0 ak , a ∈ R fixé. On commencera par
montrer que
an+1 − 1
, lorsque a 6= 1.
un =
a−1
Exercice 2 .
Soit (un )n≥0 une suite réelle convergeant vers un réel l et l < a. Montrer que
un < a à partir d’un certain rang.
Exercice 3 .
Soit (un )n≥0 une suite réelle et l un réel. Prouver que les phrases logiques
suivantes sont équivalentes et sont donc deux définitions possibles de ”u
converge vers l” :
1. ∀ > 0 ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N, |un − l| < 2. ∀ > 0 ∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N, |un − l| ≤ Exercice 4 .
Soit (un )n≥0 une suite réelle.
1. Soit l ∈ R. Ecrire à l’aide de quantificateurs que la suite u ne converge
pas vers l.
2. Ecrire à l’aide de quantificateurs ”u est divergente”.
3. On suppose qu’il existe l ∈ R et > 0 tel que à partir d’un certain
rang |un − l| ≥ . Montrer que u ne converge pas vers l.
11
Exercice 5 .
Soit (un )n≥0 une suite réelle à valeurs entières i.e. un ∈ N pour tout n.
1. On suppose que u est convergente. Montrer que (un ) est stationnaire
à partir d’un certain rang.
2. On suppose que u est strictement croissante, montrer que pour tout
n ≥ 0, un ≥ n.
Exercice 6 .
Soit (un )n≥0 une suite réelle décroissante et convergeant vers 0. Montrer que
u est positive.
Exercice 7 .
Soit (un )n≥0 une suite réelle croissante non majorée. Montrer que
lim un = +∞.
n→+∞
En déduire qu’une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée.
Exercice 8 .
Montrer que si limn→+∞ un = +∞ et vn ≥ a > 0 à partir d’un certain rang,
alors limn→+∞ un vn = +∞.
Exercice 9 .
Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. Montrer que s’il existe N tel que
un ≤ vn ,
∀n ≥ N
et si limn→+∞ un = +∞ alors limn→+∞ vn = +∞.
Exercice 10 (Vrai ou Faux ?) .
1. Si la suite (|un |) est majorée, la suite (un ) est bornée.
2. Si (un ) et (vn ) sont deux suites divergentes, la suite somme (un + vn )
est aussi divergente.
3. Si la suite (|un |) est divergente, il en est de même de la suite (un ).
12
4. Si (un ) et (vn ) sont deux suites telles qu’à partir d’un certain rang on
ait un ≤ vn , alors la convergence de (vn ) implique celle de (un ).
5. La convergence d’une suite extraite implique la convergence de la suite
elle-même.
6. Toute suite positive décroissante est convergente de limite nulle.
7. Toute suite positive de limite nulle est décroissante à partir d’un certain rang.
8. Toute suite convergente vers une limite ` > 0 est strictement positive
à partir d’un certain rang.
9. Si (un ) converge vers 1/2, alors un+1 /un tend vers 1/2.
10. Si un+1 /un tend vers 1/2, alors (un ) converge vers 1/2.
Exercice 11 .
1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1,
1 + 2 + ... + n =
n(n + 1)
.
2
2. Soit x ∈ R. Montrer que la suite de terme général
un =
E(x) + E(2x) + ... + E(nx)
n2
converge et déterminer sa limite.
Exercice 12 .
Soit (un ) la suite définie par
un =
1. Montrer que
1
1
1
1
√ .
√ + ... +
+
+
n n+1 n+ 2
n+ n
1√
n+ n
≤
1√
n+ k
≤
1
n
pour tous les entiers 0 ≤ k ≤ n.
2. En déduire que la suite (un ) converge et déterminer sa limite.
Exercice 13 .
Montrer que si (un ) est divergente et tend vers +∞, alors toute suite extraite
de (un ) tend également vers +∞.
13
Exercice 14 .
n
1. Soit a ∈ R+ . trouver la limite de ( an! )n≥1
n
2. Soit a ∈ R, p ∈ N∗ . Etudier la convergence de ( anp )n≥1 .
3. Etudier la convergence de ( nn!n )n≥1 .
Indication : considerer le rapport de deux termes consécutifs.
Ces limites sont souvent utiles : soyez capables de les retrouver !
Exercice 15 .
Montrer, à l’aide d’une étude de fonctions, que
x−
x2
≤ ln(1 + x) ≤ x,
2
∀x ≥ 0.
En déduire les limites des trois suites suivantes :
n
1. un = 1 + n12 , n ≥ 1 ;
n
2. un = 1 + n1 , n ≥ 1 ;
n
3. un = 1 + √1n , n ≥ 1.
On pourra utiliser pour cela que si une suite (vn ) converge vers 0, alors la
suite (exp(vn )) converge vers 1.
Exercice (∗) 16 .
Soit (un ) une suite réelle.
1. Montrer que si les deux sous-suites (u2n ) et (u2n+1 ) convergent vers la
même limite ` ∈ R, alors (un ) converge vers `.
2. Montrer que si les trois sous-suites (u2n ), (u2n+1 ) et (u3n ) convergent
respectivement vers `1 , `2 et `3 alors `1 = `2 = `3 et (un ) converge
vers cette limite commune.
3. Cette propriété est-elle encore vraie pour les sous-suites (u3n ), (u3n+1 )
et (u3n+2 ) ?
Exercice 17 .
Soit (un )n≥0 une suite réelle et l ∈ R. Montrer que (un )n≥0 ne converge pas
vers l si et seulement s’il existe > 0 et une extraction φ tel que
∀n ≥ 0,
|uφ(n) − l| > .
14
Exercice 18 (suites arithmético-géometriques) .
On dit qu’une suite (un ) est arithmético-géométrique si
∃(q, r) ∈ R2 , ∀n ∈ N,
un+1 = qun + r.
1. Justifier cette terminologie.
2. Montrer que si q 6= 1, alors ∀r ∈ R,
un+1 = q n+1 u0 + r
q n+1 − 1
,
q−1
∀ n ∈ N.
Et si q = 1 ?
Exercice (∗) 19 .
1. Montrer
n
1X1
lim
= 0.
n→+∞ n
k
k=1
Indication : à > 0 fixé, couper la somme en deux en b1/c.
2. Etudier la convergence de
un =
n
X
k=1
1
, n ≥ 1.
n+k
On ne cherchera pas à expliciter la limite.
Exercice 20 .
On définit les suites (an ) et (bn ) par récurrence de la façon suivante :
a0 = 1,
b0 = 2,
bn+1 =
an + b n
,
2
an+1 =
2
bn+1
.
1. Montrer par récurrence que an et bn sont bien définies et 0 < an−1 <
an < bn < bn−1 < ∞, ∀n ≥ 1.
2. Montrer que pour tout n,
bn+1 − an+1 =
(bn − an )2
,
2(an + bn )
puis que
bn+1 − an+1 < (bn − an )/4.
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3. En déduire que les suites (an ) et (bn ) sont adjacentes.
√
4. Montrer que leur limite commune est 2.
Exercice 21 .
Soient (un ), (vn ) deux suites d’éléments dans [0, 1], telles que
limn→+∞ un vn = 1. Montrer que (un ) et (vn ) convergent vers 1.
Exercice 22 (suite définie par une relation de récurrence) .
On considère la suite définie par récurrence par
un+1 =
√
2 + un ,
u0 ≥ 0.
1. Montrer que un est bien définie pour tout n.
√
2. Etudier sur R+ le signe de x − 2 + x.
3. En déduire que (un ) est monotone en discutant le sens de la monotonie
selon que u0 est supérieur ou inférieur à 2.
4. Montrer que (un ) est convergente et donner sa limite.
Exercice 23 .
Soit (un ) la suite de Fibonacci, définie par : u1 = 1, u2 = 1, ∀n ∈ N∗ ,
un+2 = un+1 + un .
1. Montrer que ∀n ∈ N∗ , u2n+1 − un un+2 = (−1)n .
2. Montrer que que la suite
un+1
)
un
converge et trouver sa limite.
Exercice (∗) 24 (Théorème de Césaro) .
Soit (un ) une suite réelle et (vn ) la suite définie par v0 = u0 et pour n ≥ 1,
Pn
vn =
k=1
uk
n
i.e. la moyenne des n premiers termes.
1. On suppose que (un ) converge vers 0.
,
16
(a) Soit ε > 0 fixé. Montrer qu’il existe N ∈ N tel que pour tout
n ≥ N , on a
PN
ε
k=1 uk
|vn | ≤
+ .
n
2
(b) L’entier N étant fixé par la question précédente, montrer qu’il
existe un entier N 0 tel que pour tout entier n ≥ N 0 ,
PN
k=1
n
uk
ε
≤ .
2
(c) En déduire que (vn ) converge vers 0.
2. On suppose cette fois-ci que (un ) converge vers ` ∈ R. Montrer que
(vn ) converge vers `.
Exercice (∗) 25 .
Soit (an )n∈N une suite réelle. On lui associe deux suites, (bn ) et (cn ), définies
par :
bn = an−1 − an et cn = an+1 + an−1 − 2an , ∀n ∈ N∗ .
On suppose que cn ≥ 0 ∀n ∈ N∗ et que la suite (an ) est bornée.
1. Montrer que la suite (bn ) est monotone et convergente. On note ` sa
limite.
2. Montrer que ` = 0.
3. En déduire que (bn ) est à termes positifs et que (an ) converge.
Exercice (∗) 26 .
Une suite (un )n≥0 réelle est dite suite de Cauchy si pour tout > 0 il existe
N ∈ N tel que
∀n ≥ N ∀m ≥ N,
|un − um | ≤ .
1. Montrer qu’une suite convergente est de Cauchy.
2. En utilisant l’axiome des segments emboités, montrer la réciproque.
On vient de montrer que R est complet, c’est-à-dire que toute suite de Cauchy
est convergente. Donner un contre-exemple pour montrer que Q n’est pas
complet.
17
Exercice (∗) 27 .
Cet exercice utilise les résultats de l’exercice précédent.
1. Soit (un ) une suite réelle telle que : ∀ n ∈ N, |un+1 −un | ≤ 2−n . Montrer
que (un ) est une suite de Cauchy. En déduire qu’elle converge.
P
2. Montrer que la suite de terme général un = nk=0 2k1k! , à valeurs dans
Q, converge dans R\Q.
Exercice (∗) 28 .
Soit (un )n≥0 une suite réelle et l ∈ R. Montrer que u converge vers l si et
seulement si de toute sous-suite de u on peut extraire une sous-sous-suite qui
converge vers l.
Exercice (∗) 29 (Bolzano-Weierstrass) .
On propose dans cet exercice une autre preuve du Théorème de BolzanoWeierstrass que celle vue en cours.
1. Montrer le lemme suivant :
De toute suite réelle (un )n≥0 on peut extraire une sous-suite monotone.
On pourra s’appuyer sur l’ensemble suivant (ou son complémentaire) :
A = {n ∈ N tel que pour tout k ≥ n, uk ≤ un }.
2. En déduire une nouvelle preuve du Théorème de Bolzano-Weierstrass.
Exercice (∗) 30 .
Donner un exemple de suite réelle (un ) divergente telle que pour tout entier
k ∈ N\{0, 1}, (ukn ) est convergente.
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Université Paris-Dauphine, DEMI2E
Analyse 1 (2015-16)
Feuille d’exercices n◦ 4 : Fonctions réelles
Exercice 1 .
On se donne une fonction réelle f et un réel c > 0.
1. Comment obtenir le graphe des fonctions suivantes à partir de celui
de f ?
x 7→ f (x) + c, x 7→ f (x) − c, x 7→ f (x − c), x 7→ f (x + c)
et
x 7→ cf (x), x 7→ f (cx), x 7→ −f (x), x 7→ f (−x), x 7→ |f (x)|
2. Comment obtenir le graphe de la fonction réciproque f −1 , si elle existe,
à partir de celui de f ?
Exercice 2 .
1. Soient f et g deux fonctions définies sur un domaine commun D.
(a) Discuter la monotonie de la fonction f + g en fonction de celles de
f et g.
(b) Etudier la parité de f g, selon la parité de f et celle de g.
2. On suppose à présent que f est définie sur un domaine D et g sur un
domaine D0 tels que f (D) ⊂ D0 .
(a) Discuter la monotonie de g ◦ f en fonction de celles de f et g.
(b) Etudier la parité de g ◦ f en fonction de la parité de f et de celle
de g.
Exercice 3 .
Déterminer les domaines maximaux sur lesquels on peut définir les relations
fonctionnelles suivantes (pour les domaines des fonctions puissances, on se
19
reportera à l’Annexe B du polycopié de cours) :
x 7→
x 7→
x 7→
p√
x3 +3x+2
x2 −2x−3
q
x+1
x−1
x−2−
x 7→
x 7→
√
x3 − 1
x 7→
√
3
1 − x2
x 7→
√
1
1
−x + (2 − x)− 2 x 7→ (x − |x|)− 2
√
x−2
2+x
x 7→ ln 2−x
x 7→ ln x
2 −3x+2
x+1
√
x2 + x − 2
x 7→
q
1−|x|
2−|x|
.
Exercice 4 .
Déterminer la parité des fonctions suivantes sur leurs domaines de définition
maximaux
x 7→
p
√
√
1 − |x| x 7→ 1 + x + x2 − 1 − x + x2 x 7→ |x2 − x| x 7→ |x + 1| − |x − 1|
x 7→
x− x1
x+ x1
x 7→ ln 1+x
1−x
x 7→
1+xx−1
.
(1−x)x+1
Exercice 5 .
Déterminer les réciproques des fonctions suivantes
x 7→
√
3
1 − x3 ,
x 7→ ln
x−1
,
x+1
f (x) =

 x

si x ≤ 0
x2 si x > 0.
Exercice 6 .
Determiner si les dessins suivants correspondent aux graphes d’une fonction,
d’une injection, d’une surjection de [0, 1] dans [0, 1]
20
Exercice 7 .
1. Déterminer
√
√
1+x− 1−x
.
lim
x→0
x
2. Soient a, b ∈ R+ , déterminer
√
√
1 + xa − 1 − xb
lim
.
x→0
xb
3. Déterminer
√
lim
x→0
x2 + x + 1 − 1
.
x
Exercice 8 .
1. Montrer que pour tout entier naturel n ∈ N∗ , on a
an − bn = (a − b)
n−1
X
k=0
ak bn−1−k .
21
2. En déduire
xn+1 − αn+1
.
x→α
xn − α n
3. Calculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes en fonction du réel
α
lim
x4
,
x→+∞ 1 + xα sin2 x
lim
r
lim
x→+∞
q
√
√
x + x + x − x,
tan x − sin x
,
sin x(cos 2x − cos x)
√
√
√
x− α− x−α
√
,
lim
x→α+
x2 − α 2
lim
x→0
ex − e2
.
x→2 x2 + x − 6
lim
Exercice 9 .
Quelles sont les fonctions f : R → R périodiques telles que f admette une
limite réelle en +∞ ?
Exercice (∗) 10 .
Trouver toutes les fonctions f : R → R croissantes telles que
∀x, y ∈ R,
f (x + y) = f (x) + f (y).
Exercice 11 .
1. On définit une fonction f : R∗ → R par f (x) = x sin( x1 ).
i. Montrer que f admet une limite en 0.
ii. Montrer que quelque soit η > 0, f n’est pas monotone sur ] − η, η[.
2. Montrer que
lim sin x sin
x→0
1
= 0,
x
x sin x
= 0.
x→∞ x2 + 1
lim
3. Montrer que la fonction
x2 sin x
x 7→ 2
x +1
n’a pas de limite en +∞.
22
Exercice (∗) 12 .
Soit I =]a, b[ un intervalle de R et f une fonction bornée définie sur I. Soient
S : I → R et s : I → R les fonctions définies par
S(x) = sup f (u)
et
s(x) = inf f (u).
x<u<b
x<u<b
1. Montrer que S est décroissante et s croissante.
2. En déduire que limx→b S(x) et limx→b s(x) existent et sont finies. Elles
seront notées respectivement lim supx→b f et lim inf x→b f .
3. Montrer que l’on a lim inf x→b ≤ lim supx→b f .
4. Montrer que f admet une limite en b si et seulement si lim inf x→b f =
lim supx→b f .
5. Soient f et g deux fonctions bornées définies sur I. Montrer que l’on
a:
lim sup(f + g) ≤ lim sup f + lim sup g
x→b
x→b
x→b
lim inf (f + g) ≥ lim inf f + lim inf g.
x→b
x→b
x→b
Exercice 13 .
On considère la fonction
f (x) = exp
1
ln(x)
.
1. Déterminer son ensemble de définition. On le note D.
2. Etudier l’existence et la valeur des limites de f en 0, 1, +∞. En cas
d’absence de limite en un de ces points, préciser s’il y a toutefois des
limites à droite et à gauche.
3. Montrer que f (D) ⊂ D et déterminer la fonction f ◦ f .
4. Soit x ∈ D. On considère la suite (un ) définie par récurrence par
u0 = x,
un+1 = f (un ), ∀n ≥ 0.
Pour quelles valeurs de x la suite (un ) est-elle convergente ?
Exercice (∗) 14 .
Soit f : I → R une fonction croissante, où I est un segment de R.
23
1. Montrer que f admet en tout point a ∈ I des limites à gauche et à
droite. Ces limites seront notées f− (a) et f+ (a).
2. Montrer qu’on a f− (a) ≤ f (a) ≤ f+ (a) en tout point a ∈ I.
3. Montrer que les fonctions x 7→ f+ (x) et x 7→ f− (x) sont croissantes.
4. On dit que f admet un saut à droite (resp. à gauche) en a si f− (a) <
f (a) (resp. f (a) < f+ (a)). On note Dk = {a ∈ I; f+ (a) − f (a) > 1/k}
pour k ≥ 1. Montrer que Dk ne peut contenir qu’un nombre fini
d’éléments.
5. En déduire que l’ensemble des sauts à droite d’une fonction croissante
est au plus dénombrable. De même pour les sauts à gauche.
Exercice (∗) 15 .
Les deux questions sont indépendantes.
1. Soient f, g deux fonctions de R dans R telles que
∀x, y ∈ R,
(f (x) − f (y)) (g(x) − g(y)) = 0.
Montrer que soit f soit g est constante.
2. Soit f : R → R∗ une fonction telle que
f (x) = f (x + 1)f (x − 1),
∀x ∈ R.
Montrer que f est périodique.
Exercice 16 .
Soient a ∈ R et f : [a; +∞[→ R une fonction croissante telle que
lim f (x) = b ∈ R.
x→+∞
Soit g :]a; +∞[→ R définie par g(x) =
sante. Montrer que f est constante.
f (x)−f (a)
.
x−a
On suppose que g est crois-
Exercice 17 .
Déterminer les limites suivantes pour a, b ∈ R∗+
x b
b jxk
lim+
, lim+
x→0 a x
x→0 x a
24
Exercice 18 .
Soit f : R → R telle que f ◦ f est croissante et f ◦ f ◦ f est strictement
décroissante. Montrer que f est strictement décroissante.
Exercice (∗) 19 .
Soit f :] − a, a[\{0} → R∗+ une fonction vérifiant
1
= 2.
lim f (x) +
x→0
f (x)
Montrer que limx→0 f (x) = 1.
25
Feuille d’exercices n◦ 5 : Continuité.
Exercice 1 .
A partir de l’inégalité | sin x| ≤ |x| valable pour tout x ∈ R et des formules
classiques de trigonométrie, montrer la continuité des fonctions sinus, cosinus
et tangente sur leurs domaines de définition respectifs.
Exercice 2 .
Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité en 0 ?
1. f (x) = sin(x) sin(1/x).
2. g(x) = cos(x) cos(1/x).
Exercice 3 .
Trouver un prolongement par continuité à R tout entier des fonctions suivantes :
a) f : R\{−1} → R, f (x) =
b) f : R∗ → R, f (x) =
x3 +5x+6
x3 +1
(1+x)n −1
,
x
n ∈ N.
Exercice 4 .
Etudier en tout point la continuité des fonctions suivantes :
a) f : R → R, f (x) = x2 si x ∈ Q, f (x) = x si x ∈ R\Q.
b) f : R → R, f (x) = (x − bxc)2 + bxc.
c) f (x) =
1
x
si x 6= 0 , f (0) = 0.
3
d) f (x) = x si x ≥ 0 , f (x) = 0 si x < 0.
e) f (x) = x x1 si x ≥ 0 , f (x) = 1 si x = 0.
Exercice (∗) 5 .
Trouver toutes les fonctions f : R → R continues telles que
∀x, y ∈ R,
f (x + y) = f (x) + f (y).
26
Exercice 6 (Vrai ou Faux ?) .
1. Une fonction f transformant un intervalle I en un intervalle J = f (I)
est continue.
2. L’image d’un intervalle [a, b] par une fonction continue est un intervalle
[c, d].
3. L’image d’un intervalle ]a, b[ par une fonction continue est un intervalle
]c, d[.
4. Si f est continue et ne s’annule pas sur [a, b], alors 1/f est bornée sur
[a, b].
5. Si f est continue et bornée sur [a, b[, f atteint sa borne inférieure et
sa borne supérieure.
6. Si f est continue et bornée sur [a, b[, f atteint sa borne inférieure ou
sa borne supérieure.
7. Tout polynôme à coefficients réels de degré pair a au moins une racine
réelle.
8. Tout polynôme à coefficients réels de degré impair a au moins une
racine réelle.
Exercice 7 .
1. Soit f : R → R une fonction continue qui vérifie ∀x ∈ R, f (x2 ) = f (x).
√
a) Montrer que ∀x ∈ R+ , f ( x) = f (x).
n
b) Montrer que pour tout n ∈ N et pour tout x ∈ R+ f (x1/2 ) = f (x).
c) Montrer que f est une fonction constante.
2. Donner un exemple de fonction f : R → R, non constante, telle que :
∀x ∈ R, f (x2 ) = f (x).
Exercice 8 .
1. Soient f, g : [0, 1] → R continues, telles que (f (0)−g(0))(f (1)−g(1)) ≤
0. Montrer qu’il existe x0 ∈ [0, 1] tel que f (x0 ) = g(x0 ).
2. Montrer que l’équation x12 = x11 + 1 admet au moins une solution sur
R+ .
Exercice 9 .
Soient I un intervalle de R et f : I → R une fonction continue ; montrer que
si l’ensemble f (I) est fini, alors f est constante.
27
Exercice 10 .
Soit f : R+ → R+ une fonction continue admettant 0 pour limite en +∞.
Montrer que f admet un maximum. Montrer à l’aide d’un contre-exemple
que ceci n’est plus vrai si on enlève l’hypothèse de continuité.
Exercice (∗) 11 .
a) Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert ]a, b[. Montrer que
si f est strictement croissante et continue sur l’intervalle ]a, b[, alors
on a f (]a, b[) =] lima+ f, limb− f [.
b) Soit I un intervalle réel et une fonction f définie, monotone sur I et
telle que f (I) est un intervalle. Montrer que f est continue sur I.
c) Existe-t-il une bijection continue de R sur [−1, 1] ?
d) Existe-t-il une fonction monotone de R sur [−1, 1] ?
Exercice 12 .
Soient f : [0, 1] → [0, 1] et g : [0, 1] → [0, 1] deux fonctions continues, telles
que
f ◦ g = g ◦ f.
On veut démontrer qu’il existe x0 ∈ [0, 1] tel que f (x0 ) = g(x0 ).
1. On pose h(x) = f (x) − x. Montrer que h s’annule en au moins un
point de [0, 1]. On note ce point x1 .
2. En déduire que g n (x1 ) = f (g n (x1 )), ∀n ≥ 1 (g n désigne la composée
g ◦ g ◦ ... ◦ g, où g figure n fois).
3. On pose un = g n (x1 ). Vérifier que f (un ) = un et g(un ) = un+1 .
4. On suppose que la suite (un ) est monotone. Montrer qu’elle a alors
une limite `. Que peut-on dire de f (`) et g(`) ?
5. (∗) On suppose que (un ) n’est pas monotone. Montrer qu’il existe des
réels u, v ∈ [0, 1] tels que (f − g)(u)(f − g)(v) ≤ 0. Conclure.
Exercice 13 .
Soit f :]0, +∞[→]0, +∞[ une fonction croissante et telle qu’il existe α > 0
tel que la fonction
g : x → x−α f (x)
est décroissante. Montrer que les fonctions g et f sont continues sur l’intervalle ouvert ]0, +∞[.
28
Exercice 14 .
Soit f : [0, +∞[→ R une fonction continue, positive, croissante, telle que :
f (x)
= l < 1.
x→+∞ x
lim
Montrer qu’il existe x0 ∈ [0, +∞[ tel que f (x0 ) = x0 .
Exercice 15 .
Soient a ∈ R∗+ et f : R → R une fonction continue telle que
∀ (x, y) ∈ R2 , |f (x) − f (y)| ≥ a|x − y|.
Montrer que f est bijective.
Exercice 16 .
Soient (a, b) ∈ R2 tel que a < b et f : [a, b] → R une fonction continue,
non constante telle que f (a) = f (b). On note m = inf x∈[a,b] f (x) et M =
supx∈[a,b] f (x). Montrer que, pour tout k ∈]m, M [, il existe au moins deux
éléments de [a, b], distincts, d’image k par f .
Exercice 17 .
Soient f : R → R une aplication bornée et g : R → R une fonction continue.
Montrer que g ◦ f et f ◦ g sont bornées.
Exercice (∗) 18 .
Soient f, g : D → R. Montrer que :
a) si f est uniformément continue alors |f | est uniformément continue ;
b) si f et g sont u.c. alors max(f, g) et min(f, g) sont uniformément
continues ;
c) si f et g sont uniformément continues alors g ◦ f est uniformément
continue.
Exercice (∗) 19 .
Soit f : [0, +∞[→ R une fonction continue et périodique ; montrer que f est
uniformément continue sur [0, +∞[.
29
Exercice (∗) 20 .
Soit f : R → R une fonction uniformément continue. Montrer que
∃(α, β) ∈ R2+ : ∀x ∈ R : |f (x)| ≤ α|x| + β.
Exercice (∗) 21 .
Montrer que la somme de deux fonctions uniformément continues sur un
intervalle I est uniformément continue. En est-il de même pour le produit ?
Exercice 22 .
Soit p ∈ N∗ . Montrer que la fonction
f : x ∈ [1, +∞[7→ x1/p
est 1-lipschitzienne. Est-elle contractante ? (c’est-à-dire k-lipschitzienne pour
un k < 1 ?). Même question si on remplace l’intervalle [1, +∞[ par R+ .
Exercice (∗) 23 .
Soient f, g : [0, 1] → R deux fonctions bornées, et M : R → R la fonction
définie par :
∀ u ∈ R, M (u) = sup (f (x) + ug(x)).
x∈[0,1]
Montrer que M est lipschitzienne.
30
Feuille d’exercices n◦ 6 : Dérivabilité.
Exercice 1 (Encore une fois !) .
Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
√
−x
1. x → cos( x)
2. x → 2p
3. x → ln(ln(ln(x)))
4. x → (1 + x2/3 )3/2 5. x → sin(x2 )
6. x → sin(2 cos(3x))
x
x
9. x → sin( cos(x)
7. x → cos(ln(x))
8. x → 33
)
√
x sin(x)
x
11. x → ln(x sin(x)) 12. x → 2
10. x → x + e
Remarque : Pour cet exercice on s’autorisera à dériver de façon formelle sans
se préoccuper de l’ensemble de définition ni de l’ensemble où la fonction est
dérivable. A part pour cet exercice, il ne faut jamais faire ça !
Exercice 2 .
1. A l’aide du cercle trigonométrique, montrer que pour tout h ∈ [0, π/2[,
sin h ≤ h ≤ tan h.
2. En déduire dans un premier temps, à l’aide des formules de trigonométrie usuelles, que
sin h
→ 1 quand h → 0.
h
3. Puis que la fonction sinus est dérivable sur R, de dérivée la fonction
cosinus.
4. Et enfin que la fonction cosinus est dérivable sur R, de dérivée la
fonction −sinus.
Exercice 3 .
Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
1. f1 (x) = x2 cos x1 si x 6= 0, f1 (0) = 0
2. f2 (x) = sin x sin x1 si x 6= 0, f2 (0) = 0
3. f3 (x) =
√
|x| x2 −2x+1
x−1
si x 6= 1, f3 (1) = 1.
Exercice 4 .
Étudier en fonction de l’entier n ≥ 1 la régularité de x → xn sin(1/x).
31
Exercice 5 .
Soit f : R → R dérivable et a ∈ R tel que f 0 (a) 6= 0.
1. Montrer qu’il existe un voisinage V de a tel que ∀ x ∈ V \{a}, f (x) 6=
f (a).
2. Si f 0 est continue au point a, montrer qu’il existe un voisinage V de
a tel que f|V soit injective.
Exercice 6 .
Calculer la limite en +∞ de la fonction
1
1
x 7→ ln(x + 1) 3 − ln(x) 3 .
Indication : appliquer le théorème des accroissements finis entre x et x + 1
1
à la fonction t 7→ (ln(t)) 3 .
Exercice 7 .
1. Que peut-on dire de f 0 si on sait que f est paire ? impaire ? périodique ?
2. Que peut-on dire de f si on sait que f 0 est paire ? impaire ? périodique ?
3. Montrer que si f 0 est T -périodique et f (T ) 6= f (0), alors f n’a pas de
période (on étudiera f (nT ) pour n ∈ N).
Exercice (∗) 8 .
Soit f une fonction n fois dérivable sur ]a, b[ s’annulant en n + 1 points de
]a, b[. Montrer que si f (n) est continue alors il existe un point x0 de ]a, b[ tel
que f (n) (x0 ) = 0. En déduire qu’un polynôme de degré n a au plus n racines.
Exercice (∗) 9 (Règle de l’Hospital) .
Soient f, g : [a, b] → R dérivables avec ∀ x ∈]a, b[, g 0 (x) 6= 0.
1. Montrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que :
f (b) − f (a)
f 0 (c)
= 0 .
g(b) − g(a)
g (c)
(Appliquer le théorème de Rolle à f − λg, où λ est un réel bien choisi).
32
2. En déduire que si
f 0 (x)
→ l,
g 0 (x)
quand x → a+ ,
alors (règle de l’Hospital)
f (x) − f (a)
→ l,
g(x) − g(a)
quand x → a+ .
3. Cette règle permet de lever certaines formes indeterminées : déterminer
lim+
x→0
ex − x − 1
.
cos(x) − 1
Exercice 10 .
Soit n ≥ 2 un entier fixé et f : R+ → R la fonction définie par
f (x) = (1 + xn )(1 + x)−n .
1. Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f 0 (x) pour tout x ≥ 0.
2. En étudiant le signe de f 0 sur R+ , montrer que f atteint un minimum
sur R+ que l’on déterminera.
3. En déduire que
(1 + x)n ≤ 2n−1 (1 + xn ),
∀x ∈ R+ .
4. Montrer que si x ∈ R+ et y ∈ R+ alors on a
(y + x)n ≤ 2n−1 (y n + xn ),
∀x ∈ R+ .
Exercice 11 .
1
On considère la fonction f : R → R définie par f (t) = e t si t < 0 et 0 sinon.
1. Montrer que f est dérivable sur R et en particulier en 0.
2. Etudier l’existence de f 00 (0).
3. Montrer par récurrence que pour t < 0, la dérivée n-ième de f s’écrit
1
f (n) (t) = e t t−2n Pn (t)
où Pn est une fonction polynomiale.
33
4. Montrer que f est de classe C ∞ .
Exercice 12 .
A l’aide de la formule de Taylor-Lagrange, montrer que
exp(x) = lim
n→∞
n
X
xi
i=0
i!
,
∀x ∈ R.
Exercice 13 .
A l’aide de la formule de Taylor-Lagrange, montrer que pour tout x ≥ 0,
x−
x2
x3
x2 x3
+
≤
ln(1
+
x)
≤
x
−
+ .
2
3(1 + x)3
2
3
Exercice (∗) 14 .
Soient a un nombre réel strictement positif et g :] − a, a[→ R une fonction
de classe C ∞ telle que g(0) = 0. Soit f :] − a, a[\{0} → R la fonction définie
.
par f (x) = g(x)
x
1. Montrer que f se prolonge par continuité en 0.
2. Montrer que f est de classe C ∞ sur ] − a, a[\{0} et exprimer f (n) (x)
en fonction des dérivées de g.
3. Montrer que pour tout x ∈] − a, a[, il existe θ ∈]0, 1[ tel que l’on ait
−g(x) +
x2
xn
xn+1 (n+1)
x 0
g (x) − g 00 (x) + . . . + (−1)n+1 g (n) (x) = (−1)n+1
g
(θx)
1!
2!
n!
(n + 1)!
4. En déduire que pour tout n ∈ N, la limite limx→0 f (n) (x) existe.
5. Montrer que f est de classe C ∞ sur ] − a, a[.
Exercice 15 .
1. Soit f : R → R dérivable. Montrer que |f | admet en tout point une
dérivée à droite et une dérivée à gauche.
2. Soit f : R → R dérivable telle que ∀x ∈ R, f 0 (x) 6= 0. Montrer que
|f | est dérivable.
34
Exercice (∗) 16 .
Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle [a, +∞[ telle que f (a) = 0 et
lim+∞ f = 0. Montrer qu’il existe un réel c > a vérifiant f 0 (c) = 0.
Indication : f est soit nulle, soit il existe x0 tel que f (x0 ) 6= 0 et utiliser le
fait que l’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Exercice 17 .
A l’aide du théorème des accroissements finis, déterminer
ln(sin x) − ln(cos x)
.
x→π/4
sin x − cos x
lim
Exercice 18 .
Déterminer en fonction du réel a le nombre de solutions de l’équation ex = ax.
Exercice 19 .
Par application du théorème des accroissements finis à f (x) = ln x sur [n, n+
1] montrer que
n
X
1
Sn =
k
k=1
tend vers l’infini quand n tend vers l’infini.
Exercice 20 .
1. Soit f : R → R dérivable telle que f 0 (x) tende vers l quand x → +∞.
→ l quand x → +∞.
Montrer que f (x)
x
2. Chercher un contre-exemple pour la réciproque.
Exercice 21 .
Soit f une fonction de classe C 1 sur [a, b] avec a < b. On suppose que f (a) = 0
et que f (b)f 0 (b) < 0. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que f 0 (c) = 0.
Indication : utiliser le fait que l’image d’un segment par une fonction est un
segment.
35
Exercice (∗) 22 .
Soit f : [a, b] → R de classe C 2 .
1. On suppose que f (a) = f (b) = 0. Soit c ∈ ]a, b[. Montrer qu’il existe
d ∈ ]a, b[ tel que :
f (c) = −
(c − a)(b − c) 00
f (d).
2
(Considérer g(t) = f (t) + λ(t − a)(b − t) où λ est choisi de sorte que
g(c) = 0).
2. Cas général : Soit c ∈ ]a, b[. Montrer qu’il existe d ∈ ]a, b[ tel que :
f (c) =
c−a
(c − a)(b − c) 00
b−c
f (a) +
f (b) −
f (d).
b−a
b−a
2
Exercice (∗) 23 .
Soit f deux fois dérivable sur R+ , bornée et telle que f 00 ≥ 0. Montrer que f
est décroissante sur R+ .
Indication : procéder par l’absurde et utiliser le théorème des accroissements
finis.
Exercice 24 .
Soit f (x) = exp(− x12 ) si x 6= 0 et f (0) = 0. Montrer que f est C ∞ et que
pour tout n ∈ N on a f (n) (0) = 0.
Indication : utiliser la même méthode que pour l’exercice 11.
Exercice (∗) 25 .
Soit f : I = [−1, 1] → R une fonction impaire de classe C 4 . On suppose
que la dérivée f (5) existe sur I. On pose α = 31 f 0 (1) + 23 f 0 (0) − f (1) et on
considère la fonction g définie sur I comme suit
x
g(x) = f (x) − (f 0 (x) + 2f 0 (0)) + αx5 .
3
1. Montrer que g est de classe C 3 . Exprimer g, g 00 et g (3) en fonction des
dérivées de f .
2. Calculer g(0), g 0 (0) et g 00 (0).
3. Montrer qu’il existe β ∈ I tel que l’on ait g (3) (β) = 0.
36
4. Montrer qu’il existe γ ∈ I tel que l’on ait
1
2
1 (5)
f (1) = f 0 (1) + f 0 (0) −
f (γ).
3
3
180
Exercice (∗) 26 .
Trouver les fonctions f : R → R dérivables en 0 telles que
∃λ ∈ R \ {−1},
∀x ∈ R,
f (λx) = λ f (x).