ExercicesL1

Exercices d’Analyse 1
Ann´ee 2016-2017
Fran¸cois Simenhaus
Bureau B 640
[email protected]

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Feuille d’exercices n◦1: Nombres r´eels
Exercice 1 .
1. Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ? Justifier votre
r´eponse.
a) ∀x∈R,∀y∈R, x +y > 0
b) ∀x∈R,∃y∈R, x +y > 0
c) ∃x∈R,∀y∈R, x +y > 0
d) ∃x∈R,∀y∈R, y2> x.
Dans tous les cas, ´ecrire leur n´egation en termes de quantificateurs.
2. Soit f:R→Rune application d´efinie sur R, `a valeurs r´eelles. Ecrire
`a l’aide de quantificateurs que
—fest la fonction constamment ´egale `a 1.
—fn’est pas la fonction constante ´egale `a 1.
—fest une fonction constante.
—fn’est pas une fonction constante.
Exercice 2 (Vrai ou faux ?) .
1. La somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est irra-
tionnel.
2. La somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle.
3. La racine carr´ee d’un nombre irrationnel positif est irrationnelle.
4. Soit A⊂R.“∃M > 0, ∀a∈A,a≤M” signifie que Aest born´ee.
5. R∗
−poss`ede un plus grand ´el´ement.
6. x=y⇔ ∀ε > 0,|x−y|< ε.
7. (∀ > 0, x < y +) =⇒x≤y
Exercice 3 .
Pour chacun des ensembles suivants, dire s’il est major´e, minor´e, born´e. Trou-
ver, sous r´eserve d’existence, le plus petit ´el´ement, le plus grand ´el´ement, la
borne inf´erieure, la borne sup´erieure.
1. A= [0,1[∪{2}.
2. B={en;n∈N}.

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3. C={x2+ 3x+ 1; x∈]0,1[}.
4. D={1
n+ (−1)n;n∈N∗}.
5. E={x∈R;−2< x + (2x)−1≤2}.
Exercice 4 .
1. Soit aet bdeux r´eels tels que a<b. Montrer que
[a, b] = {ta + (1 −t)b, t ∈[0,1]}.
2. Monter que
I={x−y;x∈]−1,4[, y ∈]−3,−1[}
est un intervalle de Rque l’on pr´ecisera.
Exercice 5 .
Soit Aun sous-ensemble non vide de R. On d´efinit
−A={−a, a ∈A}.
Donnez des conditions n´ecessaires et suffisantes pour que −Asoit major´e,
minor´e, born´e. Dans le cas o`u elles existent, que valent sup(−A) et inf(−A) ?
Exercice 6 .
Soit Aune partie born´ee de Rtelle qu’il existe des r´eels a, b tels que b > a > 0
et A⊂[a, b]. Montrer que la partie Bde Rform´ee des inverses des ´el´ements
de Aest born´ee, et exprimer ses bornes inf´erieure et sup´erieure en fonction
de celles de A.
Exercice 7 .
Soient Aet Bdeux parties non vides de Rtelles que
∀a∈A, ∀b∈B, a ≤b.
1. Montrer que sup(A) et inf(B) existent et que sup(A)≤inf(B).
2. Montrer que sup(A) = inf(B)⇔ ∀ε > 0,∃a∈A, ∃b∈B, b −a≤ε.
On dit dans ce cas que Aet Bsont adjacentes.

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3. Donner un exemple de parties adjacentes.
Exercice (∗)8.
Enoncer la propri´et´e de la borne sup´erieure dans R. On consid`ere l’ensemble
A={q∈Q;q2<2}.
Quelle est sa borne sup´erieure dans R?
Montrer qu’il existe des sous-ensembles born´es de Qqui n’ont pas de borne
sup´erieure dans Q. On dit que Qne v´erifie pas la propri´et´e de la borne
sup´erieure.
Exercice 9 .
1. Montrer que la r´eunion de deux intervalles n’est pas un intervalle en
g´en´eral.
2. Montrer que l’intersection de deux intervalles est un intervalle (´eventuellement
vide).
3. Soit Iun intervalle de R. Montrer que c’est un intervalle ouvert si et
seulement si
∀x∈I, ∃ε > 0,]x−ε, x +ε[⊂I.
4. Montrer que l’intersection de deux intervalles ouverts est un intervalle
ouvert.
Exercice 10 .
R´esoudre les ´equations suivantes.
1.|x+ 3|= 5 2.|x+ 3| ≤ 5 3.|x+ 2|>7
4.|2x−4| ≤ |x+ 2|5.|x+ 12|=|x2−8|6.|x+ 12|≤|x2−8|
Exercice (∗) 11 .
1. Montrer que pour tout x∈R,bx+ 1c=bxc+ 1.
2. Montrer que pour tout (x, y)∈R2,bxc+byc≤bx+yc≤bxc+byc+1.
3. Montrer que : ∀n∈N∗,∀x∈R,jbnxc
nk=bxc.
4. Calculer b√n2+n+ 1cpour tout entier naturel n.