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Statique des solides
Compétences attendues
3 Identifier et résoudre un problème de statique.
3 Déterminer la valeur des paramètres conduisant à des positions d’équilibre (ex : arc-boutement).
3 Déterminer la liaison équivalente du point de vue du torseur d’action mécanique.
1
CHAPITRE 10. STATIQUE DES SOLIDES
I
Introduction
La conception d’un système mécanique consiste à dimensionner ses pièces et ses liaisons.
L’objectif de ce cours est de déterminer les efforts transitant
à travers les différents éléments d’un mécanisme afin de les
dimensionner.
Pour cela, il est nécessaire de connaı̂tre les relations traduisant l’influence de la géométrie du mécanisme sur la transmission des efforts entre les éléments qui le compose. Ce sont
les deux domaines de la statique et de la dynamique qui vont
nous permettre d’écrire les équations reliant les grandeurs
cherchées et connues.
Figure 10.1 – Effort transitant
dans un bras de robot
Cette leçon traite uniquement de l’étude statique des mécanismes, c’est à dire lorsque ceux-ci
sont en équilibre. La dynamique sera vue en deuxième année.
II
Notion d’équilibre
Définition 1 Un ensemble (E) est en équilibre par rapport à un référentiel R supposé galiléen si, au cours du temps, chaque point de (E) conserve une position fixe par rapport à R.
Remarques
– Tout référentiel animé d’un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport aux axes
du repère de Copernic 1 est un référentiel galiléen.
– Un ensemble matériel en équilibre n’est donc pas forcément immobile ; il peut être en mouvement de translation rectiligne uniforme.
– La Terre est généralement considérée comme un référentiel galiléen. Mais cette approximation n’est plus valable pour l’étude du mouvement d’un avion ou du décollage d’une
fusée par exemple.
III
III.1
Principe fondamental de la statique
Écriture torsorielle
Principe fondamental de la statique (PFS)
Si un ensemble matériel (E) soumis à n actions mécaniques extérieures (représentées par leur torseur
respectif {Ti→E }) reste en équilibre par rapport à un référentiel galiléen R, alors la somme
des actions mécaniques extérieures est nulle :
n
X
{Ti→E }J = {0}J
i=1
Remarques
– Attention ! Tous les torseurs doivent être réduits au même point !
P
– La réciproque n’est pas forcément vraie ! ni=1 {Ti→E }J = {0}J n’implique pas que (E) soit en
équilibre. C’est le cas des ciseaux que l’on ouvre : l’ensemble est soumis à deux force opposées,
1. Le centre du repère de Copernic est le centre du soleil ; ses trois directions passent par trois étoiles.
2
CHAPITRE 10. STATIQUE DES SOLIDES
donc la somme des actions mécaniques est nulle, et pourtant les ciseaux s’ouvrent donc l’ensemble
n’est pas en équilibre.
!
FB, index!ciseau2
!
FA, pouce!ciseau1
B
A
Le PFS peut ainsi se décomposer tel que :
{T1→E }J + {T2→E }J + ... + {Tn→E }J = {0}J
Un torseur étant composé d’une résultante et d’un moment, on peut alors écrire :
( −−−→ )
( −−−→ )
( −−−→ )
( →
− )
0
R1→E
R2→E
Rn→E
+ −−−−−→
+ ... −−−−−→
=
→
−
−−−−−→
0
MJ,1→E J
MJ,2→E J
MJ,n→E J
J
soit
( P −−−→ )
(
n
i=1 Ri→E
=
Pn −−−−−→
i=1 MJ,i→E
J
→
− )
0
→
−
0
J
On peut ainsi déduire de l’écriture du Principe Fondamental de la Statique deux équations vectorielles, qui portent sur les résultantes pour la première et sur les moments pour la seconde.
III.2
III.2.1
Écriture vectorielle
Théorème de la résultante
Théorème de la résultante
Si un ensemble matériel (E) soumis à n actions mécaniques extérieures est en équilibre par rapport
à un référentiel galiléen R, alors on a :
n
X
−−−→ →
−
Ri→E = 0
i=1
−−−→
où les Ri→E sont les résultantes des n actions mécaniques extérieures.
III.2.2
Théorème du moment
Théorème du moment
Si un ensemble matériel (E) soumis à n actions mécaniques extérieures est en équilibre par rapport
à un référentiel galiléen R, alors on a, en tout point J de l’espace :
n
X
−−−−−→ →
−
MJ,i→E = 0
i=1
−−−−−→
où les MJ,i→E sont les moments exprimés en J des n actions mécaniques extérieures.
Remarque
Tous les moments doivent être écrits au même point !
3
CHAPITRE 10. STATIQUE DES SOLIDES
IV
IV.1
Isolement d’un solide
Notion d’isolement
Pour identifier les actions mécaniques s’exerçant sur un système, il faut tout d’abord l’isoler.
Définition 2 Un système isolé est un système matériel que l’on rend distinct de son environnement.
On appelle système matériel une quantité de matière, homogène ou non, dont la masse reste
constante pendant son étude. Le système matériel isolé peut être un solide (une pièce mécanique) ou
un ensemble de solides (de pièces mécaniques), ou encore un fluide.
Isoler un système matériel consiste à diviser l’environnement en deux parties :
– d’une part, le système matériel considéré (E), objet de l’étude ;
– d’autre part, l’extérieur (ou milieu extérieur) (E), c’est-à-dire tout ce qui n’est pas le système
considéré (y compris les autres pièces du mécanisme qui n’appartiennent pas au système isolé).
Si le système matériel n’est pas clairement identifié et délimité, l’inventaire des actions mécaniques
est compromis. Il faut donc créer mentalement une frontière autour du système matériel isolé.
IV.2
IV.2.1
Outils et méthode d’isolement
Frontière d’isolement
Pour déterminer les actions mécaniques extérieures qui s’exercent sur un ensemble matériel (E), il
est nécessaire de délimiter cet ensemble par une frontière. On l’isole ainsi de son milieu extérieur (E) :
tout ce qui est de l’autre côté de cette frontière appartient à (E).
De cette façon, les contacts entre l’ensemble (E) isolé et son milieu extérieur (E) deviennent visibles, et les actions mécaniques de contact exercées sur l’ensemble (E) par son milieu extérieur
(E) sont ainsi plus facilement identifiables.
Il faut ensuite, bien évidemment, ne pas oublier les actions mécaniques à distance (la Terre
fait par exemple partie du milieu extérieur (E) et donc l’action de la pesanteur qu’elle exerce sur
l’ensemble (E) est à prendre en compte).
Le milieu extérieur agit donc sur l’ensemble (E) via des actions de contacts ou à distance. On note
{TE→E } le torseur des actions mécaniques extérieurs agissant sur (E). Si l’ensemble (E) est
soumis à n actions mécaniques extérieures notées {Ti→E }, on aura alors l’égalité :
{TE→E } =
n
X
i=1
4
{Ti→E }
2011
CHAPITRE 10. STATIQUE DES SOLIDES
IV.2.2
Graphe de liaisons
Le graphe de liaisons (ou graphe de structure) d’un mécanisme permet de rendre systématique
l’identification des actions mécaniques extérieures agissant sur un ensemble (E). En effet, on peut
facilement y faire apparaı̂tre la frontière d’isolement et visualiser les actions mécaniques qui s’exercent
sur l’ensemble isolé.
Pour cela, on reporte sur le graphe de
Poids
liaisons toutes les actions mécaniques qui
s’appliquent sur le mécanisme : sur chaque
classe d’équivalence, on représente, à l’aide
Couple
de flèches symbolisant les vecteurs-forces, les
2
Action
différentes actions mécaniques.
ressort
liaison 2-3
3
liaison 0-2
0
Poids
liaison 3-4
liaison 0-1
1
4
Frontière
d’isolement de E
liaison 1-4
Poids
Lorsque l’on isole un ensemble de solides (E) en dessinant une frontière autour
de celui-ci, les actions mécaniques
extérieures agissant sur (E) sont alors
matérialisées par les intersections entre
les connexions (flèches ou liaisons) et la
frontière d’isolement.
Poids
Remarques
— Dans la plupart des cas, l’action de la pesanteur est négligeable devant les autres actions mécaniques mises en jeu. On ne la prend en compte que si elle joue un rôle prépondérant dans le
fonctionnement du mécanisme (pour un contrepoids par exemple).
— Les actions mécaniques de liaisons sont déjà repérées par les traits symbolisant les liaisons.
— Les actions mécaniques intérieures ne sont pas prises en compte lorsque l’on isole un ensemble
de solides : l’action de 2 sur 3 ne nous intéresse pas dans la cadre de l’isolement de l’exemple.
— Attention ! On n’isole jamais le bâti ! ! Il est fixe par rapport à la Terre, laquelle est soumise
à tant d’actions qui ne nous intéressent pas dans le cadre de l’étude d’un mécanisme... Et qu’il
serait difficile, fastidieux, et même impossible de déterminer.
IV.2.3
Ordonnancement des isolements
Le choix des isolements est important. Si l’on ne veut pas faire de calculs inutiles, il faut d’abord
élaborer une stratégie d’isolements.
La première des choses à faire pour cela est de repérer la grandeur cherchée (inconnue) et la
(ou les) grandeur(s) connue(s) (donnée(s)). Ce sont elles qu’il faut relier l’une à l’autre.
À partir de là, la mise en équation guide les choix d’isolements à réaliser : selon les inconnues à
déterminer pour écrire une relation complètement connue entre la grandeur cherchée et la grandeur
connue, il faudra isoler différents ensembles de solides.
5
CHAPITRE 10. STATIQUE DES SOLIDES
IV.3
Bilan des actions mécaniques extérieures (BAME)
Le bilan des actions mécaniques extérieures (abrégé BAME) permet, comme son nom l’indique, de
dresser l’inventaire des actions mécaniques extérieures à l’ensemble (E) isolé.
Il découle directement des identifications faites grâce au graphe de liaisons et aux frontières d’isolement. Il y ajoute les caractéristiques de chaque action mécanique sous la forme d’une liste de
torseurs d’actions mécaniques extérieures s’exerçant sur l’ensemble (E) isolé.
IV.4
Principe des actions mutuelles (ou réciproques)
Toute action mécanique implique l’existence d’une autre action mécanique qui lui est opposée.
Théorème des actions réciproques
Soit (E) un ensemble matériel composé de deux sous-ensembles (E1 ) et (E2 ). Alors :
{TE2 →E1 } + {TE1 →E2 } = {0}
Remarques
— L’écriture du théorème des actions réciproques revient à écrire deux équations sur la résultante
et le moment :
−−−−−→
−−−−−→
−−−−−−−→
−−−−−−−→
RE2 →E1 = −RE1 →E2 ; MO,E2 →E1 = −MO,E1 →E2
— Les actions mécaniques intérieures à un système matériel (E) sont l’ensemble des actions
mécaniques mutuelles entre les différents sous-ensembles de (E). Pour cette raison, il est inutile
de les prendre en compte : elles s’annulent entre elles. C’est pourquoi on ne fait un bilan que
des actions mécaniques extérieures à l’ensemble isolé.
V
Méthode analytique de résolution d’un problème de statique
V.1
Hypothèses d’étude
Lors d’une étude de statique, on supposera toujours que :
– le référentiel d’étude est galiléen ;
– les solides sont indéformables ;
– les liaisons sont géométriquement parfaites.
D’autres hypothèses peuvent s’y ajouter : prise en compte du frottement, action de la pesanteur
négligée, hypothèse de problème plan,...
V.2
Isostatisme et hyperstatisme
Avant tout calcul, il s’agit de vérifier que le problème est soluble 2 !
Mathématiquement, cela se traduit par le fait qu’il ne faut pas que le problème présente plus d’inconnues que d’équations ! Or, avec le PFS, on peut écrire 6 équations scalaires par isolement. Il suffit
donc de faire le bilan des inconnues du problème et du nombre d’équations que l’on peut écrire.
S’il y a autant d’inconnues que d’équations, on peut résoudre et on parle de problème isostatique. C’est le cas idéal : il est important de pouvoir quantifier les inconnues de liaison pour pouvoir
2. Évidemment, pour les concours, si l’on vous demande de mener une étude statique, c’est qu’il est possible de
résoudre le problème !
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