10 Statique des solides
Comp´etences attendues
3Identifier et r´esoudre un probl`eme de statique.
3D´eterminer la valeur des param`etres conduisant `a des positions d’´equilibre (ex : arc-boutement).
3D´eterminer la liaison ´equivalente du point de vue du torseur d’action m´ecanique.
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CHAPITRE 10. STATIQUE DES SOLIDES
I Introduction
La conception d’un syst`eme m´ecanique consiste `a dimensionner ses pi`eces et ses liaisons.
L’objectif de ce cours est de d´eterminer les efforts transitant
`a travers les diff´erents ´el´ements d’un m´ecanisme afin de les
dimensionner.
Pour cela, il est n´ecessaire de connaˆıtre les relations tra-
duisant l’influence de la g´eom´etrie du m´ecanisme sur la trans-
mission des efforts entre les ´el´ements qui le compose. Ce sont
les deux domaines de la statique et de la dynamique qui vont
nous permettre d’´ecrire les ´equations reliant les grandeurs
cherch´ees et connues.Figure 10.1 – Effort transitant
dans un bras de robot
Cette le¸con traite uniquement de l’´etude statique des m´ecanismes, c’est `a dire lorsque ceux-ci
sont en ´equilibre. La dynamique sera vue en deuxi`eme ann´ee.
II Notion d’´equilibre
D´efinition 1 Un ensemble (E)est en ´equilibre par rapport `a un r´ef´erentiel Rsuppos´e ga-
lil´een si, au cours du temps, chaque point de (E)conserve une position fixe par rapport `a R.
Remarques
– Tout r´ef´erentiel anim´e d’un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport aux axes
du rep`ere de Copernic 1est un r´ef´erentiel galil´een.
– Un ensemble mat´eriel en ´equilibre n’est donc pas forc´ement immobile ; il peut ˆetre en mou-
vement de translation rectiligne uniforme.
–La Terre est g´en´eralement consid´er´ee comme un r´ef´erentiel galil´een. Mais cette ap-
proximation n’est plus valable pour l’´etude du mouvement d’un avion ou du d´ecollage d’une
fus´ee par exemple.
III Principe fondamental de la statique
III.1 ´
Ecriture torsorielle
Principe fondamental de la statique (PFS)
Si un ensemble mat´eriel (E) soumis `a nactions m´ecaniques ext´erieures (repr´esent´ees par leur torseur
respectif {Ti→E})reste en ´equilibre par rapport `a un r´ef´erentiel galil´een R, alors la somme
des actions m´ecaniques ext´erieures est nulle :
n
X
i=1
{Ti→E}J={0}J
Remarques
– Attention ! Tous les torseurs doivent ˆetre r´eduits au mˆeme point !
– La r´eciproque n’est pas forc´ement vraie ! Pn
i=1{Ti→E}J={0}Jn’implique pas que (E) soit en
´equilibre. C’est le cas des ciseaux que l’on ouvre : l’ensemble est soumis `a deux force oppos´ees,
1. Le centre du rep`ere de Copernic est le centre du soleil ; ses trois directions passent par trois ´etoiles.
2
CHAPITRE 10. STATIQUE DES SOLIDES
donc la somme des actions m´ecaniques est nulle, et pourtant les ciseaux s’ouvrent donc l’ensemble
n’est pas en ´equilibre.
FA, pouce!ciseau1
!FB, index!ciseau2
!
B
A
Le PFS peut ainsi se d´ecomposer tel que :
{T1→E}J+{T2→E}J+... +{Tn→E}J={0}J
Un torseur ´etant compos´e d’une r´esultante et d’un moment, on peut alors ´ecrire :
(−−−→
R1→E
−−−−−→
MJ,1→E)J
+(−−−→
R2→E
−−−−−→
MJ,2→E)J
+...(−−−→
Rn→E
−−−−−→
MJ,n→E)J
=(−→
0
−→
0)J
soit
(Pn
i=1
−−−→
Ri→E
Pn
i=1
−−−−−→
MJ,i→E)J
=(−→
0
−→
0)J
On peut ainsi d´eduire de l’´ecriture du Principe Fondamental de la Statique deux ´equations vecto-
rielles, qui portent sur les r´esultantes pour la premi`ere et sur les moments pour la seconde.
III.2 ´
Ecriture vectorielle
III.2.1 Th´eor`eme de la r´esultante
Th´eor`eme de la r´esultante
Si un ensemble mat´eriel (E) soumis `a nactions m´ecaniques ext´erieures est en ´equilibre par rapport
`a un r´ef´erentiel galil´een R, alors on a :
n
X
i=1
−−−→
Ri→E=−→
0
o`u les −−−→
Ri→Esont les r´esultantes des nactions m´ecaniques ext´erieures.
III.2.2 Th´eor`eme du moment
Th´eor`eme du moment
Si un ensemble mat´eriel (E) soumis `a nactions m´ecaniques ext´erieures est en ´equilibre par rapport
`a un r´ef´erentiel galil´een R, alors on a, en tout point Jde l’espace :
n
X
i=1
−−−−−→
MJ,i→E=−→
0
o`u les −−−−−→
MJ,i→Esont les moments exprim´es en Jdes nactions m´ecaniques ext´erieures.
Remarque
Tous les moments doivent ˆetre ´ecrits au mˆeme point !
3
CHAPITRE 10. STATIQUE DES SOLIDES
IV Isolement d’un solide
IV.1 Notion d’isolement
Pour identifier les actions m´ecaniques s’exer¸cant sur un syst`eme, il faut tout d’abord l’isoler.
D´efinition 2 Un syst`eme isol´e est un syst`eme mat´eriel que l’on rend distinct de son environne-
ment.
On appelle syst`eme mat´eriel une quantit´e de mati`ere, homog`ene ou non, dont la masse reste
constante pendant son ´etude. Le syst`eme mat´eriel isol´e peut ˆetre un solide (une pi`ece m´ecanique) ou
un ensemble de solides (de pi`eces m´ecaniques), ou encore un fluide.
Isoler un syst`eme mat´eriel consiste `a diviser l’environnement en deux parties :
– d’une part, le syst`eme mat´eriel consid´er´e (E), objet de l’´etude ;
– d’autre part, l’ext´erieur (ou milieu ext´erieur) (E), c’est-`a-dire tout ce qui n’est pas le syst`eme
consid´er´e (y compris les autres pi`eces du m´ecanisme qui n’appartiennent pas au syst`eme isol´e).
Si le syst`eme mat´eriel n’est pas clairement identifi´e et d´elimit´e, l’inventaire des actions m´ecaniques
est compromis. Il faut donc cr´eer mentalement une fronti`ere autour du syst`eme mat´eriel isol´e.
IV.2 Outils et m´ethode d’isolement
IV.2.1 Fronti`ere d’isolement
Pour d´eterminer les actions m´ecaniques ext´erieures qui s’exercent sur un ensemble mat´eriel (E), il
est n´ecessaire de d´elimiter cet ensemble par une fronti`ere. On l’isole ainsi de son milieu ext´erieur (E) :
tout ce qui est de l’autre cˆot´e de cette fronti`ere appartient `a (E).
De cette fa¸con, les contacts entre l’ensemble (E) isol´e et son milieu ext´erieur (E) deviennent vi-
sibles, et les actions m´ecaniques de contact exerc´ees sur l’ensemble (E) par son milieu ext´erieur
(E) sont ainsi plus facilement identifiables.
Il faut ensuite, bien ´evidemment, ne pas oublier les actions m´ecaniques `a distance (la Terre
fait par exemple partie du milieu ext´erieur (E) et donc l’action de la pesanteur qu’elle exerce sur
l’ensemble (E) est `a prendre en compte).
Le milieu ext´erieur agit donc sur l’ensemble (E) via des actions de contacts ou `a distance. On note
{TE→E}le torseur des actions m´ecaniques ext´erieurs agissant sur (E). Si l’ensemble (E) est
soumis `a nactions m´ecaniques ext´erieures not´ees {Ti→E}, on aura alors l’´egalit´e :
{TE→E}=
n
X
i=1
{Ti→E}
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CHAPITRE 10. STATIQUE DES SOLIDES
IV.2.2 Graphe de liaisons
Le graphe de liaisons (ou graphe de structure) d’un m´ecanisme permet de rendre syst´ematique
l’identification des actions m´ecaniques ext´erieures agissant sur un ensemble (E). En effet, on peut
facilement y faire apparaˆıtre la fronti`ere d’isolement et visualiser les actions m´ecaniques qui s’exercent
sur l’ensemble isol´e.
0
2
3
1
4
Poids
Poids
Poids
Poids
Frontière
d’isolement de E
Action
ressort
liaison 0-1
liaison 1-4
liaison 3-4
liaison 2-3
liaison 0-2
Couple
vendredi 4 mars 2011
Pour cela, on reporte sur le graphe de
liaisons toutes les actions m´ecaniques qui
s’appliquent sur le m´ecanisme : sur chaque
classe d’´equivalence, on repr´esente, `a l’aide
de fl`eches symbolisant les vecteurs-forces, les
diff´erentes actions m´ecaniques.
Lorsque l’on isole un ensemble de so-
lides (E) en dessinant une fronti`ere autour
de celui-ci, les actions m´ecaniques
ext´erieures agissant sur (E) sont alors
mat´erialis´ees par les intersections entre
les connexions (fl`eches ou liaisons) et la
fronti`ere d’isolement.
Remarques
— Dans la plupart des cas, l’action de la pesanteur est n´egligeable devant les autres actions m´e-
caniques mises en jeu. On ne la prend en compte que si elle joue un rˆole pr´epond´erant dans le
fonctionnement du m´ecanisme (pour un contrepoids par exemple).
— Les actions m´ecaniques de liaisons sont d´ej`a rep´er´ees par les traits symbolisant les liaisons.
— Les actions m´ecaniques int´erieures ne sont pas prises en compte lorsque l’on isole un ensemble
de solides : l’action de 2 sur 3 ne nous int´eresse pas dans la cadre de l’isolement de l’exemple.
— Attention ! On n’isole jamais le bˆati ! ! Il est fixe par rapport `a la Terre, laquelle est soumise
`a tant d’actions qui ne nous int´eressent pas dans le cadre de l’´etude d’un m´ecanisme... Et qu’il
serait difficile, fastidieux, et mˆeme impossible de d´eterminer.
IV.2.3 Ordonnancement des isolements
Le choix des isolements est important. Si l’on ne veut pas faire de calculs inutiles, il faut d’abord
´elaborer une strat´egie d’isolements.
La premi`ere des choses `a faire pour cela est de rep´erer la grandeur cherch´ee (inconnue) et la
(ou les) grandeur(s) connue(s) (donn´ee(s)). Ce sont elles qu’il faut relier l’une `a l’autre.
`
A partir de l`a, la mise en ´equation guide les choix d’isolements `a r´ealiser : selon les inconnues `a
d´eterminer pour ´ecrire une relation compl`etement connue entre la grandeur cherch´ee et la grandeur
connue, il faudra isoler diff´erents ensembles de solides.
5
6
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/
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