12 TD Corrigé - Géométrie des masses

12 TD Corrigé - Géométrie des masses
CPGE MP
Demi-circonférence
Q1.
y
Par symétrie yG  0
dl  R.d 
v
L.OG   OQ.dl
l
u
L.xG   x.dl
d
l
.R.xG   R.cos .R.d 
dl
Q



.R.xG  R. sin  2
O
2
xG 
2.R

x
Toujours vérifier que le résultat obtenu
est homogène à une longueur.
DEMI-DISQUE
Q1.
Par symétrie yG  0
y
v
S.OG   OQ.ds
ds  dr .r .d 
s
2
.R
.xG   r .cos   r .d 
2
r ,
u



.R 2
.xG    r 2 .dr  .   cos .d  



2
r
 

car les 2 variables r et  sont indépendantes
 
  3 R  
.R 2
r



2
.xG    . sin   
  3   

2
2 
  0  
d

ds
Q
x
O
.R 2
R3
.xG 
.2
2
3
4.R
xG 
3.
Toujours vérifier que le résultat obtenu
est homogène à une longueur.
18/01/2014
Page 1 sur 8
12 TD Corrigé - Géométrie des masses
CPGE MP
DEMI-SPHÈRE
Q1.
V .OG   OQ.dv
Z
v
u
3
2..R
.OG 
3
 r .u.r
2
.sin .d .d .dr
Q
d
r ,,


 
2..R 3
.OG    r 3 .dr  .   cos .z  sin .(cos .x  sin .y ) .sin .d .d  

 

3
r
  ,



  4 R  

2..R 3
r
.OG      .   cos .sin .z  sin2 .(cos .x  sin .y ) .d .d  
  4   

3

  0   ,


2..R 3
R4
1  cos 2
 sin 2

.OG 
.  
.z 
.(cos .x  sin .y )  .d .d 
3
4 ,  2
2




3.R    cos 2 
  sin 2 
.  
.
z


.(cos .x  sin .y )  .d 




8.   
4
4 0
0
2


3.R  

OG 
.
.(cos .x  sin .y )  .d 
8.   2


r
O

X
d
Y
OG 


3.R 
OG 
. sin .x  cos .y  2


16

Attention aux bornes d'intégration :
r varie entre 0 et R
 varie entre 0 et 
 varie entre


et
2
2
2
OG 
donc
3.R
.2.x
16
OG 
18/01/2014
3.R
.x
8
Toujours vérifier que le résultat obtenu
est homogène à une longueur.
Page 2 sur 8
12 TD Corrigé - Géométrie des masses
CPGE MP
Barrage poids
Q1. Surface du triangle S 
ah
2
On peut retrouver ce résultat par :
S   ds
S
s
 dx.dz
S   dx   dz
x, z
x
a
h
S   x 0 . z 0
ce
S  ah
qui
est
complètement
faux 
z
Attention, ici x et z ne sont pas indépendants. Voyons 2 méthodes pour calculer cette intégrale.
Pour un x fixé  z varie de 0 à
h
.x  h
a
a
h
Pour un z fixé  x varie de 0 à a  .z
équation de la droite enveloppe
z
h
.x  h
a
x
ou
a
a
.( z  h)  a  .z
h
h
z
eau
dx
h
dz
O
Q
barrage
x
a
Donc :
S
 dx.dz
S
x,z
 dx.dz
x,z
  h .x  h
a a


S     dx .dz
 0

0




a

h
a  .z 
S     x 0 h .dz


0 

 h

S  
.x  h .dx
a


0
a
a 

S    a  .z .dz
h 

0
a
 h x 2

S

 h  x
 a 2
0

a z2 
S  a  z  . 
h 2 

0


S     dz .dx
 0

0





h

a
.x  h 
.dx
S     z 0a


0

S
h a2

 ha
a 2
 a  a .z
h
h
h
h

S
ha
2
S  ah 
a h2
.
h 2

S
ah
2
Q2. V .OG   OQ.dv
v
l.
a.h
.OG 
2
18/01/2014

( x.x  y .y  z.z ).dx.dy .dz
x,y ,z
Page 3 sur 8
12 TD Corrigé - Géométrie des masses
a.h
l.
.OG 
2
CPGE MP

l

 2
y2
x
.
y
.
x

.y  z.y .z  dx.dz


2
  l
x,z 
2


a.h
l.
.OG   x.l .x  z.l .z .dx.dz
2
x,z
h

a.h
z2  a
.OG    x.z.x 
.z 
2
2 
x 
0
.x  h
dx
h


( .x  h)2 
 h
a.h
.OG    x.( .x  h).x  a
.z .dx
2
a
2

x 



a
h


( .x  h)3 
 h x 3
a.h
x2
a a
.OG  ( .
 h. ).x 
.
.z 
2
2
3.h
2
 a 3

0

a.h
h a3
a2
a (h)3
.OG  ( .
 h. ).x 
.
.z
2
a 3
2
3.h 2
OG 
a
h
.x  .z
3
3
Toujours vérifier que le
résultat obtenu est
homogène à une longueur.
Disque percé
18/01/2014
Page 4 sur 8
12 TD Corrigé - Géométrie des masses
CPGE MP
Sphère
Position du centre d'inertie de la demi-circonférence (C)
On cherche la position du centre de gravité de la ligne qui par
rotation engendre la surface de la sphère :
D’après Guldin
S  XGL  θ  L  XG L 
S
θL
L  π  R et
2 R
4  π  R2
4 R
 XG L 
 XG L 

2π
2π  πR
π
Avec S  4  π  R
2
θ  2 π
Position du centre d'inertie du demi disque (S)
On cherche la position du centre de gravité de la surface qui par
rotation engendre le volume de la sphère :
V
θS
π  R2
4
3
Avec V   π  R
et θ  2  π
S
3
2
4  π  R3
4 R


X

G
S
3 π
πR 2
3  2π 
2
D’après Guldin
 XG S
V  XGS  θ  S  XGS 
Tore
Surface du tore :
D’après Guldin
S  R  2π  2πr
S  XGL  θ  L
 S  4π2  R  r
Volume du tore :
D’après Guldin
V  XGS  θ  S
V  R  2π  πr 2  V  2π2  r 2  R
18/01/2014
Page 5 sur 8
12 TD Corrigé - Géométrie des masses
CPGE MP
Inertie d'un solide extrudé par rapport à son plan de symétrie
Q1. Calculer le moment d’inertie du solide extrudé ci-contre par rapport au plan (G, x , y ) .
y
z
dz
Surface : S
z
h/2
G
h/2
x
Inertie d'un cylindre
z
R
dr
Q1. Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R

et de hauteur h par rapport à l'axe (G z ).
r
G
x
18/01/2014
h
y
Page 6 sur 8
12 TD Corrigé - Géométrie des masses
CPGE MP
z
R

Q2. Déterminer le moment d'inertie A par rapport à l'axe (G x ).
dz
h/2
z
G
h/2 x
y
On s’appuie sur le résultat
obtenu pour le solide extrudé :
Q3. Déterminer les produits d’inertie D, E et F.
Ils sont nuls.
Inertie d'un parallélépipède

Q1. Déterminer le moment d'inertie A par rapport à l'axe (G x ).
En déduire les moments d’inertie B et C.
z
c
G
y
a
x
18/01/2014
b
Page 7 sur 8
12 TD Corrigé - Géométrie des masses
CPGE MP
Q2. Déterminer les produits d’inertie D, E et F.
Ils sont nuls.
Inertie d'une sphère
z
Q1. Déterminer l'opérateur d'inertie d'une sphère de rayon R
par rapport à un repère situé en son centre.
R
dr
1.1.1
G
1.1.2
1.1.3
1.1.4
x
r
y
Q2. Déterminer les produits d’inertie D, E et F.
Ils sont nuls.
18/01/2014
Page 8 sur 8