Formulaire sur les fonctions usuelles
L1 - Maths 2b
1
Limites usuelles
1. Puissances de x, pour n ∈ N∗ :
•
lim xn = +∞,
+∞ si n pair
• lim xn =
,
−∞ si n impair
x→−∞
1
= 0,
• lim
x→±∞ xn
1
• lim+ n = +∞.
x→0 x
x→+∞
2. Exponentielle:
•
•
lim ex = 0,
x→−∞
lim ex = +∞.
x→+∞
• Exponentielle en base a > 0. On repasse par la définition ax = ex ln a .
3. Logarithme
• lim+ ln(x) = −∞,
x→0
•
lim ln(x) = +∞.
x→+∞
4. Limites données par des taux d’accroissements
sin x
= 1,
x→0 x
1 − cos x
1
• lim
= ,
2
x→0
x
2
ex − 1
• lim
= 1,
x→0
x
ln(1 + x)
• lim
=1
x→0
x
5. Comparaisons de fonction:
• lim
(ln x)a
= 0,
x→+∞
xb
cx
• ∀b ∈ R, ∀c > 0 lim b = +∞,
x→+∞ x
• ∀a ∈ R, ∀b > 0,
lim
1
2
2
FONCTIONS ET DÉRIVÉES USUELLES
2
Fonctions et dérivées usuelles
Les fonctions ci-dessous sont continues sur leurs ensembles de définition.
Expression de f (x)
Df
Nombre dérivé (x)
Df 0
xn , n ∈ N
R
nxn−1
R
1
= x−n , n ∈ N \ {0}
xn
R \ {0}
xα , α ∈]0, +∞[
]0, +∞[
αxα−1
]0, +∞[
ex
R
ex
R
ln |x|
R \ {0}
1
x
R \ {0}
cos x
R
− sin x
R
sin x
R
cos x
R
tan x
R \ { π2 + πZ}
1 + tan2 (x) =
cot x
R \ πZ
−1 − cot2 (x) = −
cosh x
R
sinh x
R
sinh x
R
cosh x
R
tanh x
R
1 − tanh2 (x) =
arccos x
[−1, 1]
−√
arcsin x
[−1, 1]
√
arctan x
R
−
n
= −nx−n−1
xn+1
1
cos2 (x)
1
cosh2 (x)
1
1 − x2
1
1 − x2
1
1 + x2
1
sin (x)
2
R \ {0}
R \ { π2 + πZ}
R \ πZ
R
] − 1, 1[
] − 1, 1[
R