ISM-AFRICA Institut des Sciences et de Management Licence 1 Professionnelle_Comptabilité-Contrôle-Audit et Sciences de Gestion SYLLABUS DE COURS MATHEMATIQUES FINANCIERES ENSEIGNANT : Aimé Fiacre LIKA INGASSO ANNEE ACADEMIQUE 2018-2019 CHAPITRE 0 : RAPPELS MATHEMATIQUES I. LES PROGRESSIONS ARITHMETIQUES 1. Définition Soient n termes a1, a2, a3, ………………., an. Ces termes sont dits en progression arithmétique si chacun d’eux est obtenu en ajoutant au précédent un même nombre réel constant r appelé raison de la progression. a2 = a1+r a3 = a2+r =a1+2r . . . . an = an-1+r = a1+ (n-1)r an+1 = an+r = a1+nr a2-a1 = a3-a2 =………………= an-an-1 = r Exemple : les nombres 17, 15, 13, 11, 9, 7 sont en progression arithmétique de raison r = -2. Le premier terme de cette progression est 17 et le dernier terme est 7. Cette progression comporte 6 termes. 2. Propriétés a. Expression d’un terme quelconque en fonction d’un autre k et p étant deux nombres entiers naturels. Les termes a k et ap d’une progression arithmétique de raison r sont liés par : ak = ap + (k-p)r Exemple : a8 = a3+(8-3)r = a3+5r a2 = a6+(2-6)r = a6-4r b. Somme des n termes consécutifs d’une progression arithmétique Considérons n termesa1, a2, a3, ………………., an en progression arithmétique de raison r. La somme des termes de cette progression est : Sn = a1+a2+a3+ ………………. +an. (1) Or (2) En remplaçant l’équation (2) dans l’équation (1) on a : Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 [ ] [ ] APPLICATION Pour s’acheter une voiture dans 2 ans Exaucée verse à la fin de chaque mois des intérêts des sommes en progression arithmétiques de raison 10.000FCFA. Le versement effectué à la fin de la première année s’élevait à 1.000.000FCFA. TAF : 1er. Déterminer le versement effectué par Exaucée à la fin du premier mois 2e. Quelle est la valeur de la voiture 3e. Déterminer la somme des 5 derniers versements. II. LES PROGRESSIONS GEOMETRIQUES 1. Définition Soient n termes a1, a2, a3, ………………., an. Ces termes sont dits en progression géométrique si chacun d’eux est obtenu en multipliant le précédent par un même nombre réel constant q appelé raison de la progression. a2 = a1 x q a3= a2 x q =a1 x q2 . . . . an = an-1 x q = a1 x qn-1 an+1 = an x q = a1 x qn Exemple : les nombres 16, 8, 4, 2, 1 sont en progression géométrique de raison 2. Propriétés a. Expression d’un terme quelconque en fonction d’un autre k et p étant deux nombres entiers naturels. Les termes a k et ap d’une progression géométrique de raison q sont liés par : ap = ak x qp-k Exemple : a10 = a15 x q10-15= a15 x q-5 a5 = a3 x q5-3= a3 x q2 Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 b. Somme des n termes consécutifs d’une progression géométrique Considérons n termes a1, a2, a3, ………………., an en progression géométrique de raison q. La somme des termes de cette progression est : Sn = a1+a2+a3+ ………………. +an. avec q ≠ 1 III. NATURE DES PROGRESSIONS Des termes en progression arithmétique de raison r sont croissants si r>0, décroissant si r<0 et constant si r = 0. Des termes en progression géométrique de raison q sont croissants si q>1, décroissant si 0<q<1 et constants si q = 1 et alternés si q<0. Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 CHAPITRE 1 : INTERETS SIMPLES I. NOTION D’INTERETS SIMPLES 1. Définition L’intérêt peut être défini comme la rémunération d’un placement (ou d’un prêt) ou comme le prix payé par un emprunteur pour utiliser un capital pendant un temps donné. L’intérêt peut donc être considéré comme le loyer de l’argent prêté. L’intérêt est dit simple lorsqu’il est calculé une seule fois à la fin de la dernière période. Lorsque la durée d’un placement est courte (en général moins d’une année), on calcule un intérêt simple. Celui-ci est directement proportionnel au capital placé, à la durée du placement et au taux d’intérêt. L’intérêt simple ne tient donc pas compte de la capitalisation des intérêts, contrairement à l’intérêt composé qu’on utilise lors de placement à plus longue échéance (plus d’une année). 2. Calcul Soit C un capital placé au taux t (taux pour 100F) pendant une durée n. l’intérêt I produit par ce capital est : Les intérêts peuvent aussi être calculés par la méthode des nombres et diviseurs. Posons N = Cn et Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 N = Cn est appelé le nombre. Pour plusieurs capitaux le nombre total N=∑ est appelé le diviseur. APPLICATION Quel est l’intérêt produit par un capital de 900.000FACFA, placé au taux de 6% pendant : a. 2 ans b. 1 an 3 mois et 18 jours En utilisant la méthode des nombres et diviseurs, déterminer au taux de 4% l’intérêt total produit par les capitaux suivants : Capitaux Durée en mois 120.000 8 340.000 7 100.000 10 230.000 4 3. Valeur acquise La valeur acquise par un capital est la valeur nominale augmentée de l’intérêt acquis pendant le temps couru au-delà de la date origine. VA = C + I APPLICATION Quelle est la valeur acquise par un capital de 300.000FCFA placé au taux de 3% du 15 mars au 25 juin ? 4. Taux moyen de placement (tm) Considérons trois capitaux C1, C2, C3 placés respectivement aux taux t 1, t2, t3 pendant respectivement n1, n2, n3 périodes. Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 On appelle taux moyen de placement le taux unique auquel ces capitaux produisent ensemble un intérêt et gagne à la somme des intérêts produit par les mêmes capitaux chacun à son propre taux de placement. ∑ II. NOTION D’INTERET PRECOMPTE 1. Définition L’intérêt est dit précompté lorsqu’il est calculé et prélevé par anticipation. 2. Calcul Soit C le nominal d’un emprunt, t le taux d’intérêt précompté, n la durée de remboursement. L’intérêt Ip est : 3. Somme effectivement placée (S) C’est la différence entre le nominal de l’emprunt et les intérêts précomptés. S = C - Ip Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 4. Taux effectif de placement (te) C’est le taux auquel la somme effectivement placée produit un intérêt égal à l’intérêt précompté. Or ( ) ( =Cxt ) ( ( =t ) ) APPLICATION On négocie à la CBCA des bons de trésor du nominal 2.800.000FCFA. Sachant que les intérêts sont précomptés au taux de 5%. Déterminer : 1er. La somme effectivement placée 2e. Le taux effectif de placement N.B : échéance 8 mois. TRAVAUX DIRIGES Confère Planche d’exercice ! III. NOTION D’ESCOMPTE D’EFFET DE COMMERCE 1. Définition L’escompte est une opération de crédit par laquelle le banquier met à la disposition de son client une certaine somme contre remise d’effet de commerce moyennant des agios. Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 Un commerçant qui a dans son portefeuille un effet de commerce a la possibilité de le négocier auprès d’une banque commerciale avant sa date d’échéance. Lorsque l’effet est accepté par le banquier, ce dernier se chargera de calculer un intérêt en tenant compte de la valeur nominale de l’effet et le nombre de jour restant à courir par l’effet. Un tel intérêt est appelé Escompte Commercial. 2. Calcul de l’escompte commercial Soit V la valeur nominale d’un effet, t le taux d’escompte et n le nombre de jour restant à courir par l’effet de la date de négociation à la date d’échéance. L’escompte commercial e prélevé est : 3. Valeur actuelle commerciale C’est la différence entre la valeur nominale de l’effet et l’escompte commercial prélevé. Soit v cette valeur actuelle commercial. On a : v=V-e APPLICATION On négocie à la BSIC le 14/02/2016 un effet de commerce de nominal 720.000 créé le 08/01/2016 au taux de 6%. Sachant que l’effet échoit le 19/06/2016. Déterminer l’escompte commercial prélevé et la valeur actuelle commerciale. 4. Notion d’agio Lors de la négociation d’un effet de commerce en plus de l’escompte commercial prélevé, le banquier prélève d’autres commissions et une taxe spéciale pour le compte de l’Etat appelée Taxe sur Activités Financières (TAF). i. Les commissions Il existe trois grandes catégories de commission : Les commissions dépendantes à la fois de la valeur nominale et du temps : elles se calculent comme l’escompte commercial. Exemple : commissions d’endossement Les commissions dépendantes uniquement de la valeur commerciale : elles se calculent par simple pourcentage de la valeur nominale. Exemple : commissions de bordereau, commission de manipulation, commission de présentation à l’acceptation Les commissions fixes : leurs montants ne varient pas. Exemple : commissions de services Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 ii. La taxe (TAF) Elle est calculée sur toutes les commissions sans exception. L’agio est donc l’ensemble des prélèvements opérés par le banquier. On distingue : l’agio hors taxe (HT) et l’agio toutes taxes comprises (TTC). Agio HT = Escompte + Commissions Agio TTC = Agio HT + Taxes 5. Valeur nette négociée C’est la différence entre la valeur nominale de l’effet et le total des agios. VNette= V - Agio APPLICATION Un effet de nominal de 630.000 échéant dans 54 jours est négocié dans les conditions suivantes : Taux d’escompte 3%, commission d’endos 1,5%, commission d’acceptation 10/00, commission de services 1500F par effet, commission de manipulation 0,25%, TAF 17,5%. Déterminer le montant de l’agio prélevé et en déduire la valeur nette négociée. REMARQUE : JOURS DE BANQUE Ce sont des jours fictifs fixés par le banquier pour les opérations. Le nombre de jours définitivement retenus pour les calculs est égal au nombre de jours réels à courir par l’effet augmenté des jours de banque. 6. Escompte rationnel – Valeur actuelle rationnelle L’escompte rationnel est l’intérêt produit par la valeur actuelle rationnelle. Soit e’ l’escompte rationnel et v’ la valeur actuelle rationnelle. On a : v’ = V - e’(2) En remplaçant l’équation (2) dans l’équation (1), on a : Vtn – e’tn = 36000e’ Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 Vtn = 36000e’ + e’tn Vtn = e’(36000 + tn) APPLICATION On escompte rationnellement un effet de nominal 800.000 échéant dans 7 mois au taux de 4%. Déterminer l’escompte rationnel et la valeur actuelle rationnelle. 7. Taux annexes a. Taux réel d’escompte (T) Encore appelé taux d’agio, le taux réel d’escompte est le taux directement applicable à la valeur nominale et compte tenu du nombre de jours permet d’obtenir l’agio. Ce taux peut être calculé hors taxe HT (pour le banquier) et toutes taxes comprises TTC (pour le client). b. Taux d’aggravation (Ta) C’est la différence entre le taux réel d’escompte et la somme des taux d’escompte et d’endos. Ta = T – (tendos + tescompte) c. Taux de placement pour le banquier C’est le taux auquel la valeur actuelle commerciale produit un intérêt égal à l’escompte commercial. Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 d. Taux de revient de l’opération pour le client (tr) C’est le taux directement appliqué sur la valeur nette négociée et compte tenu du nombre de jour permet d’obtenir l’agio TTC. IV. Equivalence des effets de commerce 1. Equivalence de deux effets de commerce Les effets de nominales V1 et V2 échéants respectivement dans n1 et n2 période sont dits équivalents si et seulement si escomptés au même taux et à une même date (appelée date d’équivalence) ils ont même valeur actuelle à cette date. Date d’équivalence 0 n1 V1 V2 n2 2. Equivalence de deux groupes d’effets Deux groupes d’effets pourraient âtre équivalent si et seulement si escomptés au même taux à une même date la somme des valeurs actuelles des effets à remplacer est égale à la somme des valeurs actuelles des effets de remplacements. 3. Remplacement de plusieurs effets par un effet Les effets de nominales V1, V2, …………………………….,Vk échéants respectivement dans n1, n2, ……………………………nk période pourraient être remplacés par un effet unique de nominale V échéant dans n période si et seulement si escomptés au même taux et à une même date la valeur actuelle de l’effet unique de remplacement est égal à la somme des valeurs actuelles es effets à remplacer. Deux cas peuvent être observés : 1er cas : si V1+V2+………………………………………………….Vk ≠ V alors l’échéance de l’effet unique est appelée échéance commune. 2ème cas : si V1+V2+………………………………………………….Vk = l’échéance de l’effet unique est appelée échéance moyenne. V Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 alors ∑ APPLICATION Exercice 1 Un effet de nominal 8000 échéant le 03 Mars doit être remplacé par un effet de nominal 8200 à une certaine date d’échéance. Quel est au taux de 6% la date d’échéance du second effet ? Exercice 2 Un débiteur retrouve dans son portefeuille les dettes suivantes : 180.000 échéant dans 54 jours, 260.000 échéant dans 74 jours et 320.000 échéant dans 60 jours. 1) Le débiteur négocie et obtient de son créancier de rembourser ces dettes par deux versements bimensuels qui sont entre eux comme le nombre 5 et 2. Déterminer au taux de 9% la valeur nominale des versements bimensuels. 2) Quelle est l’échéance moyenne des trois dettes ? TRAVAUX DIRIGES Confère Planche d’exercice ! Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 CHAPITRE 2 : INTERETS COMPOSES I. NOTION Lorsqu’on a un capital à placer, deux cas peuvent être observés en ce qui concerne le calcul des intérêts : Soit le capital est retiré augmenter les intérêts calculés une seule fois à la fin de la dernière période (Intérêts Simple). Soit le capital est retiré augmenter des intérêts calculés à la fin de chaque période (Intérêts Composés). Dans ce deuxième cas, l’intérêt calculé à la date d’une période est incorporé au capital de début de la période pour être replacé pour le compte de la période suivante. Ainsi ce sont les valeurs acquises obtenues à la fin de chaque période qui sont replacées pour le compte de la période suivante. Dans ces conditions les intérêts contenus dans ces valeurs acquises produisent à leur tour d’autres intérêts : on parle de capitalisation des intérêts. II. GENERALISATION DE LA NOTION : FORMULE FONDAMENTALE Soit un capital C placé au taux i (taux pour 1F : a: Période 1 2 3 . . . k . . . n Capital début de période C C(1+i) C(1+i)2 . . . C(1+i)k-1i . . . C(1+i)n-1 Intérêt Ci C(1+i)i C(1+i)2i . . . C(1+i)k-1i . . . C(1+i)n-1i ) pendant une durée n. On Capital fin de période C+Ci = C(1+i) C(1+i)+ C(1+i)i= C(1+i)2 C(1+i)2+C(1+i)2i= C(1+i)3 . . . C(1+i)k . . . C(1+i)n La formule fondamentale en intérêts composés est C(1+i)n. REMARQUES Cn= C(1+i)n est la valeur acquise en intérêts composés par un capital C placé au taux i pour une durée n. L’expression (1+i)n se lit dans la table financière n°1. C’est un coefficient de capitalisation. Exemple : i = 0,06 ; (1,06)8=1,593848 Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 Contrairement aux intérêts simples, la formule fondamentale en intérêts composés débouche sur la valeur acquise. Pour trouver l’intérêt il faut donc faire la différence entre la valeur acquise et le capital placé. I = Cn – C I = C(1+i)n – 1 I = C[(1+i)n – 1] L’intérêt au cours d’une période p quelconque est : Ip = C(1+i)p-1 x i Les valeurs acquises obtenues à la fin de chaque période de même que les intérêts contenus dans ces valeurs acquises sont en progression géométrique de raison q = (1+i). III. PROBLEME SUR LA FORMULE Exercice 1 Quelle est la valeur acquise par un capital de 200.000 placé au taux de 6% pendant 8 ans ? Exercice 2 Pendant combien de temps un capital donné placé au taux de 9% peut-il s’accroître de 25% de sa valeur ? Exercice 3 A quel taux doit-on placer un capital de 900.000 pour obtenir à la fin de la 10ème année un capital de 1.812.239,1F ? Exercice 4 Quel capital doit-on placé au taux de 8% pour obtenir une valeur acquise de 925.465F à la fin de la huitième année ? La valeur actuelle Conventionnellement la valeur actuelle en intérêts composés d’un capital C au taux i pour une durée n est : C0 = C(1+i)-n Déterminer donc une valeur actuelle c’est actualiser la valeur acquise. L’expression (1+i)-n se lit dans la table financière n°2. C’est un coefficient d’actualisation. Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 IV. TAUX PROPORTIONNELS – TAUX EQUIVALENTS Deux taux correspondant à des périodes de capitalisation différentes sont proportionnels lorsque leur rapport est égal au rapport de leur période de capitalisation respective. Si ia est le taux annuel, is le taux semestriel proportionnel à ia, ip le taux trimestriel proportionnel à ia, im le taux mensuel proportionnel à ia. Alors on a : N.B : les taux proportionnels sont utilisés en intérêts simples. Deux taux correspondant à des périodes de capitalisation différente sont équivalents si et seulement si pour un capital et pour une même durée ils conduisent à une même valeur acquise. Un capital C placé au taux ia pendant 1 an a pour valeur acquise C(1+ia). Divisons l’année en k période. Soit ik le taux associé à chaque période. Le même capital C placé au taux i k pendant 1 an a pour valeur acquise C(1+ik)k. ik équivalent à ia, implique que : C(1+ia) = C(1+ik)k (1+ia) = (1+ik)k ia = (1+ik)k– 1 ik = √ N.B : les taux équivalents sont utilisés en intérêts composés. APPLICATION Quel est le taux bimestriel proportionnel au taux semestriel de 5% ? Quel est le taux bisannuel équivalent au taux trimestriel de 2% ? V. EQUIVALENCE EN INTERETS COMPOSES 1. Escompte à intérêts composés Soit V la valeur nominale d’un effet, v sa valeur actuelle commerciale et e l’escompte commercial prélevé. On sait que v = V – e, ce qui implique que e = V –v Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 Or v = V(1+i)-n Donc e = V – v(1+i)-n e = V[(1-(1+i)-n] 2. Problèmes sur les équivalences P1 : une dette contractée il y a 4 ans au taux annuel de 7% doit être remboursée dans 2 ans par un capital de 2.400.000. Quel est la valeur de la dette contractée ? P2 : un débiteur retrouve dans son portefeuille les dettes suivantes : 2.000.000 impayés depuis 15 mois, 1.500.000 payable dans 42 mois, 3.400.000 payable dans 30 mois et 2.800.000 payable dans 4 ans. 1) Le débiteur négocie et obtient de son créancier de rembourser ces dettes par deux versements bisannuels égaux. Quel est au taux de 8% la valeur commune des versements bisannuels ? 2) En réalité les dettes devraient être remboursées par un versement unique dans 3 ans. Quelle est la valeur de ce versement unique ? 3) Déterminer l’échéance moyenne des 4 dettes. Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 CHAPITRE 3 : LES ANNUITES I. NOTION Les annuités sont des versements effectués à intervalles de temps régulier. Il s’agit donc de versements périodiques. Elle peut être chaque mois (mensualité), chaque deux mois (bimestrialité), chaque trois mois (trimestrialité), chaque six mois (semestrialité), chaque année (annualité), chaque deux ans (bisannualité). Ces versements sont effectués soit pour constituer un capital (annuités de capitalisation) soit pour rembourser une dette (annuités de remboursement). Le montant de ces versements peut être constant (annuités constantes) ou variable (annuités variables). II. ANNUITES CONSTANTES Soit n annuité placée à intérêts composés au taux i valant chacune aF. 1. Valeur acquise La valeur acquise par ces placements est égal à la somme Vn des valeurs acquises de chaque versement immédiatement après le dernier versement. Vn a a a a a a 0 1 2 3………………………………n-2 n-1 n a a(1+i) a(1+i)2 a(1+i)n Vn = a + a(1+i) + a(1+i)2 + ………………………………………………………+ a(1+i)n = a[1+(1+i)+(1+i)2+……………………………………………………………+(1+i)n-1] Vn = a[1 ] REMARQUES L’expression se lit dans la table financière n°3. Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 Elle permet d’évaluer la valeur acquise d’une suite d’annuité à la date du dernier versement. La lettre n contenue dans cette expression n’exprime pas la durée mais un nombre de versement (qui ne peut donc être décimal). APPLICATION Exercice 1 Quelle est la valeur acquise par une suite de 8 versements de 40.000 placés au taux de 5% ? Exercice 2 Pour constituer un capital un épargnant verse à la fin de chaque semestre et pendant 6 ans des sommes constantes de 50.000F au taux annuel de 10,25%. Sachant le premier versement a lieu immédiatement. Déterminer le capital constitué par l’épargnant 18 mois après le dernier versement. Exercice 3 A quel taux doit-on effectuer 10 versements de 500.000 pour disposer de 8.600.000 à la date du dernier versement ? Exercice 4 Combien de versement de 500.000doit-on effectuer au taux de 9% pour obtenir à la date du dernier versement une valeur acquise de 5.000.000 ? 2. Valeur actuelle Déterminer la valeur actuelle c’est actualiser la valeur acquise. 0 a a a 1 2 3………………………………n-2 V0 = Vn(1+i)-n a a Vn a n-1 n or Donc Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 REMARQUE L’expression se lit dans la table financière n°4. Elle permet d’obtenir la valeur actuelle des annuités une période avant le premier versement. Ce qui suppose que toute les fois que l’on écrit on doit dire instinctivement qu’on est déjà à une période avant le premier versement. APPLICATION Exercice 1 Une dette a été contractée au taux semestriel de 8,16% pour être remboursée en 3 ans. L’emprunteur verse à la fin de chaque trimestre des sommes constantes de 100.000F. Quelle est la valeur de la dette contractée ? Exercice 2 Combien de versement de 400.000 doit-on effectuer au taux de 12% pour rembourser une dette de 2.320.000 contractée une période avant le premier versement. III. EQUIVALENCE DES ANNUITES Exercice Une dette contractée il y a 19 mois au taux de 6% doit être remboursée par 10 bisannualités constantes de 1.000.000. la première dans 2 mois. Immédiatement après le versement de la sixième bisannualité le débiteur négocie et obtient de son créancier de rembourser le reste de sa dette par un versement de 1.500.000 dans un an et le reste par 8 semestrialités constantes. La première 10 mois plus tard. Consigne : 1) Déterminer la valeur de la dette contractée. 2) Déterminer le capital restant dû après paiement de la sixième bisannualité. Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 3) Déterminer la valeur commune des semestrialités. 4) L’échéance moyenne des 8 semestrialités. IV. LES ANNUITES VARIABLES 1. Les annuités en progression arithmétique Considérons une suite de n annuités en progression arithmétique de raison r et de premier terme a1, placé à intérêts composés au taux i. a1 0 a1+r 1 2 a1+2r……………………………….…………….a1+(n-1)r 3………………………………………………………n a. Valeur acquise La valeur acquise par ces annuités est égale à la somme Vn des valeurs acquises de chaque annuité immédiatement après le dernier versement. [ ] On démontre que : ( ) b. Valeur actuelle Déterminer une valeur actuelles c’est actualiser la valeur acquise. ( ) 2. Les annuités en progression géométrique Considérons une suite de n annuités en progression géométrique de raison q et de premier terme a1, placé à intérêts composés au taux i. a. Valeur acquise a1 a1q 0 1 2 a1q2……………………………a1qn-3 3………………………………n-2 a1qn-2 n-1 a1qn-1 n V’n Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 V’n = a1qn-1+a1qn-2(1+i)+ a1qn-3(1+i)2+…………………………………….+ a1(1+i)n-1 Si q = 1+i alors (1) indétermination à lever. Pour lever l’indétermination on remplace q par son expression dans la relation (1). On obtient alors : b. Valeur actuelle Déterminer la valeur actuelle c’est actualiser la valeur acquise. a1 a1q 1 2 0 a1q2……………………………a1qn-3 3………………………………n-2 a1qn-2 n-1 a1qn-1 n V’n Si q = 1+i alors APPLICATION Confère planche d’exercice et TD! Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019 Support de Cours préparé par : Aimé Fiacre LIKA INGASSO, Auditeur et Contrôleur de Gestion Consultant au Projet Londo/AGETIP-CAF L2CCA_ISM – AFRICA, 2018-2019