24/10/2014 Chapitre 2: Variables aléatoires discrètes et continues Pr. Mohamed El Merouani 1 Variable aléatoire • On entend par variable aléatoire (v.a.) une grandeur qui à la suite d’une expérience aléatoire prend telle ou telle valeur. • Suivant la notation ensembliste, une v.a. X est une fonction d’un événement élémentaire ω: X=f (ω) où ωЄΩ. La valeur de cette fonction dépend de l’événement élémentaire ω apparu à la suite de l’expérience. Pr. Mohamed El Merouani 2 1 24/10/2014 Définition d’une v.a. • Soient (Ω,A) et (Ω’,A ’)deux espaces probabilisables. L’application X:Ω—>Ω’ est dite variable aléatoire lorsque pour tout BЄA ’, on a: X-1(B)={ωЄΩ/X(ω)ЄB} Є A • Si Ω’=IR, on prend pour A ’ la plus petite tribu contenant les intervalles de IR. A ’, est dans ce cas, dite tribu des boréliens de IR. On note A ’=BIR. Dans ce cas X est variable aléatoire réelle notée v.a.r. Pr. Mohamed El Merouani 3 Variable aléatoire réelle • Donc, une v.a.r X est une application de l’ensemble fondamental Ω dans l’ensemble IR des nombres réels X:Ω—>IR qui vérifie ∀I Є BIR, ona X-1(I)={ωЄΩ/X(ω)Є I} Є A • Les valeurs de la variable X sont dites réalisations de X. • L’ensemble de ces réalisations est noté X(Ω). Pr. Mohamed El Merouani 4 2 24/10/2014 Loi de probabilité d’une v.a.r. • Soient (Ω,A,P) un espace probabilisé et X une v.a.r. • L’application, notée PX, définie par PX: BIR [0,1] B PX(B)=P(X-1(B)) est une probabilité sur (IR, BIR), et appelée loi de probabilité de X. Pr. Mohamed El Merouani 5 Démonstration: • PX(IR)=P(X-1(IR))=P(Ω)=1 • Pour toute famille (Bi)i≥1 d’événements 2 à 2 incompatibles; P X U i≥1 B i = P X −1 = P U X i≥1 = ∑ P X i≥1 = ∑ i≥1 ( PX U i≥1 −1 −1 B i ( B i ) (B i ) (B i ) ) 6 3 24/10/2014 Variable aléatoire discrète • Une variable aléatoire X est dite discrète si X(Ω) a un nombre fini (ou infini dénombrable) d’éléments. • Soient x1, x2,…,xn les réalisations de X. On note pour tout i=1,2,…,n X-1({xi})={ωЄΩ/X(ω)=xi}=(X=xi) • Les événements (X=xi) forment un système complet et n P( X = x ) = 1 ∑ i =1 i Pr. Mohamed El Merouani 7 Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète: La loi de probabilité d’une variable aléatoire X discrète est définie par la donnée de: – x1, x2,…,xn les réalisations de la v.a. X. – p1, p2,…,pn les probabilités des événements (X=xi); c’est-à-dire P(X=xi)=pi; pour i=1,2,…,n Pr. Mohamed El Merouani 8 4 24/10/2014 Exemple: Pour l’expérience du lancement d’un dé. L’ensemble fondamental est Ω={1,2,3,4,5,6} et soit A={Ø; {1,4} ;{2,5}; {3,6}; {2,3,5,6} ;{1,3,4,6}; {1,2,4,5};Ω}. Soit X l’application de Ω dans IR telle que X(ω) soit le reste de ω modulo 3. Pr. Mohamed El Merouani 9 Exemple (suite) On a: X(Ω)={0,1,2} et (X=0)=X-1({0})={3,6}ЄA; (X=1)=X-1({1})={1,4} ЄA; (X=2)=X-1({2})={2,5}ЄA ; X est une v.a.r. et P(X=0)=1/3; P(X=1)=1/3; P(X=2)=1/3. On vérifie que: P( X = x ) = 1 ∑ i i en effet; P(X=0)+ P(X=1)+P(X=2)=1 Pr. Mohamed El Merouani 10 5 24/10/2014 Variable aléatoire continue • Une variable aléatoire X est dite continue si X(Ω) est un ensemble infini non dénombrable. • Une v.a.r. X est dite continue si X(Ω) est un intervalle ou une réunion d’intervalles de IR. • Les valeurs que prend X sont infinies non dénombrables, alors la probabilité de ces valeurs est une fonction continue f, appelée fonction densité de probabilité. Pr. Mohamed El Merouani 11 Propriétés de la densité de probabilité: 1. La fonction f est à valeurs positives sur IR: f (x)≥0, ∀ xЄIR. 2. La fonction f est continue sauf peut être en un nombre fini (dénombrable) de points de IR. 3. L’intégrale de f sur IR converge et est égale à 1. ∫ IR +∞ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = 1 −∞ Pr. Mohamed El Merouani 12 6 24/10/2014 Loi de probabilité d’une variable aléatoire continue: • On rappelle que la loi d’une v.a.r. X sur un espace probabilisé (Ω,A,P) est une probabilité sur (IR, BIR) définie par ∀ B ∈BIR PX (B)=P(X-1(B)). • Si X est une v.a. continue de fonction de densité f alors sa loi de probabilité est donnée par ∀ B ∈ BIR on a: PX (B ) = ∫ f ( x) dx B Pr. Mohamed El Merouani 13 • La probabilité de tout intervalle ]a,b[ est égale à b P(a < X < b ) = ∫ f ( x) dx a f (x) P(a<X<b) Cf b a Pr. Mohamed El Merouani x 14 7 24/10/2014 • Intuitivement, on peut écrire f (x)dx=P(x<X<x+dx) où dx est considéré comme « infiniment petit ». f (x) x Cf x dx Pr. Mohamed El Merouani 15 Fonction de répartition d’une v.a.r.: • Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et X une v.a.r.. On appelle fonction de répartition de la v.a.r. X, l’application F: IR—>[0,1] définie par: pour tout xЄIR: F(x)=P(X≤x) =PX(]-∞,x]) =P(X-1]-∞,x]). • Si X est discrète: F ( x) = ∑ P( X = xi ) = ∑ pi xi ≤ x xi ≤ x • Si X est continue de fonction de densité f: x F ( x ) = ∫ f ( t ) dt _∞ 16 8 24/10/2014 Proposition: La fonction de répartition F d’une v.a.r. X satisfait les propriétés suivantes: 1) 0≤F(x)≤1; 2) F est une fonction croissante, 3) F est continue à droite en tout point x de IR. F ( x) = 0 et lim F ( x) = 1 . 4) xlim → −∞ x → +∞ Pr. Mohamed El Merouani 17 Démonstration: 1) Cette propriété est évidente. 2) Prenons deux nombres réels x et x’ tels que x≤x’. Alors ]-∞,x]C ]-∞,x’]. D’où PX (]-∞,x]) ≤ PX (]-∞,x’]) et par conséquent F(x) ≤ F(x’). Pr. Mohamed El Merouani 18 9 24/10/2014 Démonstration (suite): 3) Soit (xn)n une suite décroissante de nombres réels telle que lim xn = x0 n → +∞ lim F ( xn ) = lim P( X ≤ xn ) = lim P( An ) n →∞ n →∞ n →∞ avec An = ( X ≤ xn ) mais ( X ≤ xn ) ⊃ ( X ≤ xn +1 ) car la suite (xn)n est décroissante. ∞ ∞ Donc (An)n décroissante et I An = I ( X ≤ xn ) = ( X ≤ x0 ) n =1 D’où n =1 lim P( X ≤ xn ) = P( X ≤ x0 ) = F ( x0 ) n → +∞ Pr. Mohamed El Merouani 19 Démonstration (suite): 4) La suite des événements (X≤-n); n=1,2,3,… est ∞ décroissante et I ( X ≤ −n ) = ∅ n =1 Donc lim F (−n) = lim P( X ≤ − n ) = P (∅ ) = 0 n →∞ D’où n →∞ lim F ( x) = 0 x → −∞ Pr. Mohamed El Merouani 20 10 24/10/2014 Démonstration (suite): La seconde relation s’obtient en considérant la suite croissante (X≤n), n=1,2,3,… et U A = IR . Donc lim F (n) = lim P( X ≤ n ) = P(IR ) = 1 n → +∞ n → +∞ D’où lim F ( x ) = 1 ∞ n n =1 x → +∞ Pr. Mohamed El Merouani 21 Remarques: 1. La fonction de répartition permet de calculer les probabilités concernant les intervalles. On a: P(a<X≤b)=F(b)-F(a) En effet: P(a < X ≤ b) = P(a < X et X ≤ b) = P((a < X ) I ( X ≤ b)) = P(a < X ) + P( X ≤ b) − P((a < X ) U ( X ≤ b)) =1− P( X ≤ a) + P( X ≤ b) − P(IR) = P( X ≤ b) − P( X ≤ a) = F(b) − F(a) Pr. Mohamed El Merouani 22 11 24/10/2014 Remarques: 2. On peut démontrer que toute fonction F(x) vérifiant les propriétés précédentes représente la fonction de répartition d’une certaine v.a. Pr. Mohamed El Merouani 23 Exemple précédent: L’expérience « lancement d’un dé » On a X la v.a. définie sur (Ω,A,P) par X(ω) reste de ω modulo 3, ∀ω ∈ Ω . On a trouvé: xi pi donc 0 1/3 1 1/3 2 1/3 0 1 3 F ( x) = 2 3 1 si x < 0 si 0 ≤ x < 1 si 1 ≤ x < 2 si x ≥ 2 24 12 24/10/2014 Remarque: • Si X prend une suite (finie ou infinie) de valeurs x1<x2<x3<…, la fonction de répartition F de X est une fonction en escalier croissante, discontinue en x1,x2,x3,…, . Le saut en xi vaut P(X=xi). • La fonction F est continue en tout point x tel que x Є X(Ω). • F est constante sur tout intervalle [xk,xk+1[; k=1,2,3…; xkЄ X(Ω). Pr. Mohamed El Merouani 25 Exemple: • Pour l’expérience de lancement d’une pièce de monnaie, on a la loi de probabilité de X est résumée par le tableau suivant: xi 0 1 Σpi pi 1/2 1/2 1 • Sa fonction de répartition sera: 0 si x < 0 F(x) = 1 / 2 si 0 ≤ x < 1 1 si x ≥ 1 26 13 24/10/2014 Représentation graphique de F(x): F(x) 1 1/ 2 1 0 x Pr. Mohamed El Merouani 27 Exemple 3: Soit Ω={(i,j)/ i,j Є {1,2,3,4,5,6}} et soit A =P (Ω). 1 Soit P((i, j ) ) = , ∀(i, j ) ∈ Ω 36 On définit la v.a. X(i, j) = i+j ; 1 ≤ i,j ≤ 6 La loi de probabilité de X est donnée par: xk pk 2 1 36 3 4 2 36 3 36 5 4 36 6 5 36 7 8 6 36 Pr. Mohamed El Merouani 9 5 36 10 4 36 3 36 11 12 2 36 1 36 28 14 24/10/2014 Donc, sa fonction de répartition est: 1 3 F (x) = 6 35 0 si x < 2 36 si 2 ≤ x < 3 36 si 3 ≤ x < 4 36 si 4 ≤ x < 5 M 36 si 11 ≤ x < 12 1 si x ≥ 12 Pr. Mohamed El Merouani 29 Remarques (Fonction de répartition d’une v.a. continue): • On définit la fonction de répartition F d’une v. a. continue X de la même manière que pour une v.a. discrète, c’est-à-dire F(x)=P(X≤x). x • La fonction continue F( x ) = ∫−∞ f ( t )dt est croissante de 0 à 1 lorsque x varie de -∞ à +∞. • Par conséquent, une v.a. continue est une v.a. dont la fonction de répartition est continue. • Si la fonction de densité f d’une v.a. continue X est continue au point x alors f est la dérivée de da fonction de répartition F, c’est-à-dire F’(x)=f(x). Pr. Mohamed El Merouani 30 15 24/10/2014 Représentation graphique de F(x) continue: F(x) 1 0 x Pr. Mohamed El Merouani 31 Conséquences: Pour X v.a. continue on a: • P(X=c)=0 avec c une constante réelle. • P(a≤X≤b)= P(a<X≤b)= P(a≤X<b)= P(a<X<b)= F(b)-F(a) b = ∫ f (t )dt a a • P(X≤a)=P(X<a) = ∫ f (t ) dt −∞ +∞ • P(X≥b)=P(X>b) = ∫b f (t) dt Pr. Mohamed El Merouani 32 16 24/10/2014 Exemple: Soit f la fonction de densité, d’une v.a. continue X, définie par: x si 0 < x ≤ 1 f ( x) = 2 − x si 1 < x ≤ 2 0 ailleurs 1. Trouver F(x). 2. Calculer P(0,3<X≤1,5) Pr. Mohamed El Merouani 33 Exemple (suite): 1. Si x ≤ 0; Si 0 < x≤ 1; F(x)=0 F ( x) = ∫ x 0 x2 f (t )dt = 2 1 Si 1 < x≤ 2; F ( x) = ∫ t dt + ∫ 0 x 1 x2 (2 − t )dt = 2 x − − 1 2 Si x≥2; F(x)=1 2. P(0,3<X≤1,5)=F(1,5)-F(0,3)=0,83 Pr. Mohamed El Merouani 34 17 24/10/2014 Loi d’une fonction d’une v.a. discrète: Soit une v.a. discrète X telle que X(Ω)={x1,x2,…} et g une fonction de X(Ω) dans un ensemble E={y1,y2,…}. Alors Y=g(X) est une v.a. discrète telle que: ∀j , (Y = y j ) = U ( X = xi ) où I = {i / g ( xi ) = y j } i∈I D’où P (Y = y j ) = ∑ P( X = xi ) i∈I Pr. Mohamed El Merouani 35 Exemple: Soit la v.a. discrète X de loi de probabilité: xi pi -2 -1 0 1 2 0,1 0,1 0,3 0,2 0,3 On cherche la loi de la v.a.: a) Y= X 2 + 1 b) Z=|X| Pr. Mohamed El Merouani 36 18 24/10/2014 Exemple (suite): a) Y prend les valeurs 1,2,5 avec les probabilités: P(Y=1)=P(X=0)=0,3 P(Y=2)=P(X=-1)+P(X=1)=0,1+0,2=0,3 P(Y=5)=P(X=-2)+P(X=2)=0,1+0,3=0,4 D’où yj P(Y=yj) 1 0,3 2 0,3 5 0,4 Pr. Mohamed El Merouani 37 Exemple (suite): b) De la même façon on trouve: zj P(Z=zj) 0 0,3 1 0,3 Pr. Mohamed El Merouani 2 0,4 38 19 24/10/2014 Loi d’une fonction d’une v.a. continue: Soit une v.a. continue X de densité de probabilité f et soit Y=g(X) dérivable pour tout x et telle que g’(x)>0, ∀ x ou g’(x)<0, ∀ x. Alors Y=g(X) est une v.a. continue dont la densité de probabilité est donnée par: h(y)=f [g-1(y)]|(g-1(y))’| Pr. Mohamed El Merouani 39 Loi d’une fonction d’une v.a. continue: • Si g’(x)>0, pour tout x, on a: Y=g(X)<=>X=g-1(Y) et P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X≤g-1(y)) d’où H(y)=F(g-1(y)) (ou H est la fonction de répartition de Y). En dérivant, on obtient: h(y)=f (g-1(y))(g-1(y))’ • Si g’(x)<0, pour tout x, on a: Y=g(X)<=>X=g-1(Y) et P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X≥g-1(y))=1- P(X<g-1(y)) d’où H(y)=1-F(g-1(y)) En dérivant, on obtient: h(y)=−f (g-1(y))(g-1(y))’ (car g’<0) Pr. Mohamed El Merouani 40 20 24/10/2014 Exemple: Soit X v.a. de densité de probabilité: 1 si 0 < x < 1 f ( x) = 0 autrement Cherchons les densités de: a) Y=eX b) Z=-2LogX Pr. Mohamed El Merouani 41 Exemple (suite): a) Y=eX X=LogY avec y>0 pour tout x 1 et nous avons h( y ) = .1, 0 < Log y < 1 y C’est-à-dire que 1 y , 1 < y < e h( y ) = 0 , autrement Pr. Mohamed El Merouani 42 21 24/10/2014 Exemple (suite): b) 1 h( y ) = − e − y 2 .1 , 0 < e − y 2 < 1 2 1 −y 2 e , 0< y<∞ = 2 0 , autrement Pr. Mohamed El Merouani 43 Remarque: La formule précédente est valable sous la condition que «la fonction g est dérivable et g’(x) garde un signe constant pour tout x». Contre-exemple Soit Y=X2. On a ( H(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)= ) ( y )− F (− y ) =P− y≤X ≤ y =F En dérivant, on obtient: 1 h (y) = f 2 y ( y )+ 2 1 y f (− y ) 44 22 24/10/2014 Couple de variables aléatoires Définition: Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé. • Une application (X,Y) de Ω dans IR2, qui à tout ω de Ω fait correspondre un couple (X(ω),Y(ω)) de IR2, s’appelle couple de variables aléatoires (où X et Y sont deux variables aléatoires). • (X,Y) s’appelle aussi variable aléatoire à deux dimensions. Pr. Mohamed El Merouani 45 Loi de probabilités conjointes de deux v. a. discrètes: • Un couple de v. a. (X, Y) peut prendre les valeurs successives suivantes: (x1,y1) ; (x1,y2) ; …; (xi,yj) ; …; (xn,ym) A chaque couple (xi,yj) correspond une probabilité pij d’observer simultanément la valeur xi pour X et la valeur yj pour Y: pij=P(X=xi et Y=yj)=P(X=xi, Y=yj) • On a n m 0 ≤ pij ≤ 1 et ∑∑ p =1 i =1 j =1 ij ∀ i = 1, 2 , K , n ; ∀ j = 1, 2 , K , m 46 23 24/10/2014 Fonction de répartition d’un couple de v.a. discrètes: • On appelle fonction de répartition d’une v.a. à deux dimensions (X,Y) la fonction définie par: F( x, y) = P( X ≤ x,Y ≤ y) = ∑∑P(X = xi ,Y = y j ) xi ≤x y j ≤ y Pr. Mohamed El Merouani 47 Lois de probabilités marginales: • La probabilité P(X=xi)=pi. est appelée loi marginale de X. On a: P ( X = x i ) = p i⋅ = ∑ p ij j i = 1, 2 , K , n • La probabilité P(Y=yj)=p.j est appelée loi marginale de Y. On a: P Y = y j = p ⋅ j = ∑ p ij ( ) j = 1, 2 , K , m Pr. Mohamed El Merouani i 48 24 24/10/2014 Y y1 …. yj … ym Total X x1 p11 … p1j … p1m p1. xi pi1 … pij … pim pi. xn pn1 … pnj … pnm pn. Total p.1 p.m 1 p.j 49 Lois de probabilités conditionnelles: • La loi conditionnelle de X si Y=yj est définie par: P(X = xi , Y = y j ) P (X / Y = y j ) = P (Y = y j ) • De même, la loi conditionnelle de Y si X=xi est définie par: P(Y / X = xi ) = P(X = xi , Y = y j ) P( X = xi ) Pr. Mohamed El Merouani 50 25 24/10/2014 Indépendance de deux variables aléatoires discrètes : • Deux v. a. discrètes X et Y sont dites indépendantes si P(X=xi , Y=yj)=P(X=xi).P(Y=yj) pour tout xi et yj. • Dans ce cas:P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x).P(Y≤y); pour tout x et y ou F(x,y)=FX(x).FY(y) • Aussi: P (X / Y = y j ) = P( X = xi ) et P(Y / X = xi ) = P(Y = y j ) Pr. Mohamed El Merouani 51 Loi de probabilités conjointes de deux v. a. continues: Une v.a. à deux dimensions Z= (X,Y) est dite continue s’il existe une application f(x,y) appelée densité de probabilité conjointe du couple de v.a.(X ,Y), vérifiant: a) b) f(x,y) ≥ 0 ; ∀( x, y ) ∈ IR 2 +∞ +∞ -∞ -∞ ∫ ∫ f(x,y)dxdy = 1 Pr. Mohamed El Merouani 52 26 24/10/2014 Fonction de répartition d’un couple de v.a. continues: • La fonction de répartition du couple (X,Y) est définie par: F ( x, y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) = x y ∫ ∫ f (u, v )dudv − ∞− ∞ et l’on a ∂ 2 F ( x, y ) f ( x, y ) = ∂x∂y Pr. Mohamed El Merouani 53 Lois marginales (Fonctions de répartitions marginales): • Les fonctions: FX ( x ) = P( X ≤ x ) = x ∫∫ −∞ et FY ( y ) = P(Y ≤ y ) = y ∫∫ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ f (u , v)dvdu f (u, v )dudv sont dites fonctions de répartition marginales des v.a. X et Y respectivement. Pr. Mohamed El Merouani 54 27 24/10/2014 Lois marginales (Fonctions de densités marginales): • Les fonctions: et f X ( x) = fY ( y ) = +∞ ∫ f (x, v )dv −∞ +∞ ∫ f (u, y )du −∞ sont les densités de probabilités marginales de X et Y respectivement. Pr. Mohamed El Merouani 55 Lois conditionnelles: • La densité conditionnelle de X si Y=y est définie par: f X (x Y = y ) = f ( x, y ) , si fY ( y ) ≠ 0 fY ( y ) • La densité conditionnelle de Y si X=x est définie par: fY ( y X = x ) = f ( x, y ) , si f X ( x) ≠ 0 f X (x ) Pr. Mohamed El Merouani 56 28 24/10/2014 Indépendance de deux variables aléatoires continues : Deux v. a. continues X et Y sont dites indépendantes si: P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x).P(Y≤y); pour tout x et y ou F(x,y)=FX(x).FY(y) ou encore, en dérivant 2 fois par rapport à x et à y: f (x,y)=fX(x).fY(y) Dans ce cas f X (x Y = y ) = f X (x) et fY ( y X = x ) = fY ( y ) Pr. Mohamed El Merouani 57 Exemple: Un couple de variables aléatoires continues Z=(X,Y) de densité de probabilité conjointe: kxye − (x f ( x, y ) = 0 2 + y2 ) si x > 0 et y > 0 autrement 1. Trouver le coefficient k. 2. Trouver les lois marginales de X et Y. 3. Calculer les densités conditionnelles de X sachant Y=y et de Y sachant X=x. Pr. Mohamed El Merouani 58 29 24/10/2014 Corrigés: 1. La fonction f (x,y) est une densité de probabilité +∞ +∞ si f (x,y)≥0 et ∫ ∫ f ( x, y)dxdy = 1. D’une part k≥0 et − ∞− ∞ +∞+∞ d’autre part k ∫ ∫ xye − x e − y dxdy = 1 . On a donc 2 2 0 0 +∞ +∞ k ∫ xe − x dx ∫ ye − y dy = 2 0 0 2 k et par suite k=4. 4 Pr. Mohamed El Merouani 59 2. Les densités marginales sont: fX(x)=0 si x≤0 et f X ( x) = +∞ ∫ −∞ +∞ f ( x, y )dy = 4 ∫ xye− (x On a donc 2 + y2 )dy = 2 xe − x si x>0. 2 0 2 xe − x f X ( x) = 0 De même on trouve 2 2 ye − y fY ( y ) = 0 2 si x > 0 si x < 0 si y > 0 si y < 0 60 30 24/10/2014 3. La densité conditionnelle de X sachant Y=y 2 est: f (x, y ) 2 xe − x si x > 0 f X (x Y = y ) = = fY ( y ) 0 si x ≤ 0 La densité conditionnelle de Y sachant X=x est: 2 f ( x, y ) 2 ye − y si y > 0 fY ( y X = x ) = = f X ( x) 0 si y ≤ 0 On remarque que les deux v.a. X et Y sont indépendants puisque f X ( x Y = y ) = f X (x) et fY ( y X = x ) = fY ( y ). On a, aussi f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y ) 61 Espérance mathématique: v.a. discrète: • L’espérance mathématique d’une v. a. discrète X, notée E(X) est: E ( X ) = ∑ xi P ( X = xi ) = ∑ xi pi i i v.a. continue: • L’espérance mathématique d’une v. a. continue X, de fonction de densité f est donnée par: +∞ E ( X ) = ∫ x f ( x ) dx −∞ Pr. Mohamed El Merouani 62 31 24/10/2014 Remarque: Dans le cas discret: Lorsque X(Ω) est fini, ∑xi pi est finie. i Si X(Ω) est infini, on a la somme d’une série qui peut ne pas exister. Dans le cas continue: +∞ L’intégrale ∫−∞ x f ( x) dx peut être divergente. Dans ces cas l’espérance mathématique n’existe pas. Pr. Mohamed El Merouani 63 Exemple 1: • Soit une v.a. X de loi donnée par: 3i 2 pi = P X = = i ; i = 1,2,3... i 3 • Alors ∞ 3i 2 ∞ 2 xi pi = ∑ ⋅ i = ∑ →∞ ∑ i=1 i=1 i 3 i=1 i • Donc, l’espérance mathématique n’existe pas. Pr. Mohamed El Merouani 64 32 24/10/2014 Exemple 2: Soit une v.a. X continue de densité de 1 probabilité: f ( x) = π (1 + x 2 ) , x ∈ IR Posons t=1+x2, on obtient x 1 ∞ dt 1 ∞ dx = = [ Log t ] 1 →∞ ∫0 1 + x 2 2 ∫1 t 2 +∞ x Donc ∫−∞ π (1 + x 2 )dx est divergente. ∞ D’où E(X) n’existe pas Pr. Mohamed El Merouani 65 Propriétés de l’espérance: Soient X et Y deux v. a., et α et β deux réels quelconques, alors: 1°) E(α ) = α 2°) E ( X + α ) = E ( X ) + α 3°) E (αX ) = αE ( X ) 4°) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y ) 5°) E ( X − Y ) = E ( X ) − E (Y ) 6°) E ( X − E ( X )) = 0 Pr. Mohamed El Merouani 66 33 24/10/2014 Démonstration: 1°) E(α) = α ? La moyenne d’une constante est elle-même! E(α)=α.P(X=α)=α.1=α 2°) E ( X + α ) = E ( X ) + α ? Cas discret: E ( X + α ) = ∑ (xi + α ) ⋅ P ( X = xi ) E ( X + α ) = ∑ xi ⋅ P( X = xi ) + α ∑ P( X = xi ) i E(X + α ) = E(X ) + α i i Cas continu: E(X + α ) = ∫ +∞ +∞ +∞ (x + α ) f ( x)dx = ∫−∞ xf ( x)dx + α ∫−∞ f ( x)dx = E ( X ) + α −∞ 67 Démonstration: 3°) E (αX ) = αE ( X ) ? Cas discret: E (αX ) = ∑ αxi P( X = xi ) = α ∑ xi P ( X = xi ) = αE ( X ) i i Cas continu: +∞ +∞ −∞ −∞ E (αX ) = ∫ α xf ( x ) dx = α ∫ xf ( x ) dx = α E ( X ) Pr. Mohamed El Merouani 68 34 24/10/2014 Démonstration: 4°) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y ) ? Cas discret: E ( X + Y ) = ∑∑ (xi + y j )P (X = xi , Y = y j ) i j E( X +Y ) = ∑xi ∑P(X = xi ,Y = y j ) + ∑y j ∑P(X = xi ,Y = y j ) i j j i Mais, ∑ P(X = x , Y = y ) = P( X = x ) et ∑ P(X = x , Y = y ) = P(Y = y ) i j i j i j j i Pr. Mohamed El Merouani 69 ∑ P(X = x , Y = y ) = P U (( X = x ) I (Y = y )) i j j i j j = P ( X = xi ) I U (Y = y j ) j = P[( X = xi ) I Ω] = P( X = xi ) Pr. Mohamed El Merouani 70 35 24/10/2014 Démonstration: • On obtient, donc, E ( X + Y ) = ∑ xi P( X = xi ) + ∑ y j P (Y = y j ) i j = E ( X ) + E (Y ) Pr. Mohamed El Merouani 71 Démonstration: 4°) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y ) ? Cas continu: E(X + Y ) = +∞ +∞ +∞ +∞ ∫ ∫−∞ (x + y ) f ( x, y)dxdy = ∫ ∫ (x + y ) f ( x, y)dy dx − ∞ − ∞ +∞ +∞ = ∫ x ∫ f ( x, y )dy + ∫ yf ( x, y )dy dx − ∞ − ∞ −∞ +∞ +∞ +∞ = ∫ xf X ( x) dx + ∫ y ∫ f ( x, y )dx dy −∞ −∞ − ∞ −∞ +∞ = E(X ) + +∞ ∫ yf Y ( y )dy = E ( X ) + E (Y ) −∞ Pr. Mohamed El Merouani 72 36 24/10/2014 Démonstration: 5°) E ( X − Y ) = E ( X ) − E (Y ) ? E(X-Y)=E(X+(-Y))=E(X)+E(-Y)=E(X)-E(Y) 6°) E ( X − E ( X )) = 0 E(X-E(X))=E(X)-E(E(X))=E(X)-E(X)=0 Pr. Mohamed El Merouani 73 Propriété (Théorème de transfert): • X v.a. discrète: Si Y=φ(X), alors E (Y ) = ∑ ϕ ( xi ) P( X = xi ) i • X v.a. continue: +∞ Si Y=φ(X), alors E (Y ) = ∫ ϕ (x ) f (x )dx −∞ Pr. Mohamed El Merouani 74 37 24/10/2014 Démonstration: • X v.a. discrète: E (Y ) = E (ϕ ( X ) ) = ∑ y j P(ϕ ( X ) = y j ) j Où φ(X)(Ω)={y1,y2,…,yj,…}. Pour j fixé, soit φ-1(yj). On a φ-1(yj) ⊂X(Ω). On note φ-1(yj) ={xi/iЄIj}, ensemble des xi ayant même image yj; D’où E (ϕ ( X ) ) = ∑ y j ∑ P ( X = xi ) j i∈I j = ∑∑ y j P ( X = xi ) j i∈I j 75 Démonstration: • Donc E (ϕ ( X ) ) = ∑∑ ϕ ( xi ) P ( X = xi ) j i∈I j • Mais, dans un cas général, certaines des valeurs φ(x1), φ(x2),…, φ(xi),…coïncident. • En regroupant les xi ayant même image yj, c’est-à-dire les valeurs qui coïncident et en additionnant leur probabilité, on a: E (Y ) = ∑ ϕ (xi ) P ( X = xi ) i Pr. Mohamed El Merouani 76 38 24/10/2014 Exemple: • Soit X v.a. discrète de loi de probabilités: -3 0 3 xi 1/4 1/2 1/4 pi • En posant Y=X 2, d’après la propriété précédente, on a: E (Y ) = ∑ ϕ ( xi ) pi = (−3) 2 i 1 1 1 9 + 0 2 + (3) 2 = 4 2 4 2 Pr. Mohamed El Merouani 77 Exemple (suite): • Mais, on peut aussi écrire la loi de Y: yj pj 0 1/2 9 1/2 • Dans cet exemple, on a φ-1(0)=0, φ-1({9})={-3,3} 1 1 1 9 E (Y ) = 0 + 9 + = 2 4 4 2 Pr. Mohamed El Merouani 78 39 24/10/2014 Démonstration: (Théorème de transfert) • Dans le cas où X v.a. continue: #La démonstration sera donnée comme exercice à faire en T.D.# Pr. Mohamed El Merouani 79 Exemple: • Soit X une v.a. continue de densité de probabilité: 3 ( 1− x2 ) ; 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = 2 0 ; autrement • Trouver E(X2). ( ) E X 2 +∞ 1 ( ) 3 1 = ∫ x f ( x)dx = ∫ x 2 1 − x 2 dx = 20 5 −∞ 2 Pr. Mohamed El Merouani 80 40 24/10/2014 Théorème de transfert dans le cas d’un couple de v.a.: • Soit (X,Y) une variable aléatoire à deux dimensions et soit φ(X, Y) une fonction de (X,Y) à valeurs réelles. Alors: • Cas où (X,Y) est discrète: E (ϕ ( X , Y ) ) = ∑∑ ϕ (xi , y j ) P (X = xi , Y = y j ) i j • Cas où (X,Y) est continue: E (ϕ ( X , Y ) ) = +∞+∞ ∫ ∫ ϕ (x, y ) f (x, y )dxdy − ∞− ∞ où f (x,y) est la fonction de densité conjointe de X et Y Pr. Mohamed El Merouani 81 Propriété: • Si deux v.a. X et Y sont indépendantes, alors on a: E(XY)=E(X).E(Y) En effet, si X et Y sont discrètes, alors: E ( XY ) = ∑∑ xi y j P (X = xi , Y = y j ) = ∑∑ xi y j P( X = xi ) ⋅ P (Y = y j ) i i j j Car X et Y sont indépendantes. Pr. Mohamed El Merouani 82 41 24/10/2014 Propriété (suite): • On en tire E ( XY ) = ∑ xi P( X = xi )∑ y j P (Y = y j ) i j = ∑ xi P( X = xi )E (Y ) i = E ( X )E (Y ) Pr. Mohamed El Merouani 83 • Si X et Y sont continues: E ( XY ) = +∞ +∞ ∫ ∫ xyf ( x, y)dxdy − ∞− ∞ = + ∞+ ∞ ∫ ∫ xyf X ( x) fY ( y )dxdy − ∞− ∞ +∞ +∞ = ∫ xf X ( x) ∫ yfY ( y )dy dx − ∞ −∞ = +∞ ∫ (xf X ( x) E (Y ) )dx −∞ = E ( X ) E (Y ) 84 42 24/10/2014 Remarque: • La réciproque est fausse: E(XY)=E(X)E(Y) n’implique pas l’indépendance de X et Y. Pr. Mohamed El Merouani 85 Exemple: • On considère le couple de v.a. (X,Y) de loi: X Y -1 0 1 P(X=xi) -3 0 3 P(Y=yj) 0 1/4 0 1/4 1/4 0 1/4 1/2 0 1/4 0 1/4 1/4 1/2 1/4 1 Pr. Mohamed El Merouani 86 43 24/10/2014 Exemple (suite): 1 1 1 On a E ( X ) = −3 + 0 + 3 = 0 ; E (Y ) = −1 + 0 + 1 = 0 4 2 1 4 4 1 2 1 4 et E ( XY ) = (− 1)(− 3)0 + (− 1)0 + (− 1)3 × 0 + 0(− 3) + 0 × 0 × 0 + 1 4 1 4 1 1 + 0 × 3 + 1(− 3) × 0 + 1× 0 + 1× 3 × 0 = 0 4 4 Mais, l’égalité E ( XY ) = E ( X )E (Y ) n’entraine pas l’indépendance de X et Y. Il suffit de vérifier, par exemple, que: 1 1 1 1 P ( X = 0, Y = 1) = ≠ P( X = 0 ) ⋅ P(Y = 1) = ⋅ = 4 2 4 8 Pr. Mohamed El Merouani 87 Variance: • On définit une mesure de dispersion de X autour de son espérance mathématique, dite variance de X. • La variance d’une v.a. X, notée Var(X) est définie par: [ Var ( X ) = E ( X − E ( X ) ) • Ou encore: 2 ] Var( X ) = E( X 2 ) − (E( X ))2 #La vérification de cette dernière est facile# Pr. Mohamed El Merouani 88 44 24/10/2014 Écart-type: • L’écart-type d’une variable aléatoire X, noté σ(X) ou tout simplement σ, est défini comme la racine carrée de sa variance, σ ( X ) = Var ( X ) et évidemment , σ 2 = Var ( X ) Pr. Mohamed El Merouani 89 Exemple: • On lance un dé. On a: 1 P ( X = xi = i ) = , i = 1, 2,L , 6 6 et E ( X ) = 3,5 La variance Var(X) de X sera égale à Var( X ) = E( X 2 ) − ( E( X ))2 = 1 1 1 1 1 1 2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 − (3,5) = 2,92 6 6 6 6 6 6 et σ ( X ) = Var ( X ) = 2,92 = 1,71 Pr. Mohamed El Merouani 90 45 24/10/2014 Propriétés: ∀a, b ∈ IR, on a : #La démonstration de ces propriétés sera donnée comme exercice à faire en T.D.# 1) Var (aX + b ) = a 2Var ( X ) ( 2) E ( X − c ) 2 ) est minimum quand c = E ( X ) 3) Si X et Y sont indépendantes, alors Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var (Y ) 4) Si X et Y sont indépendantes, alors Var ( X − Y ) = Var ( X ) + Var (Y ) Pr. Mohamed El Merouani 91 Variable centrée réduite: • Si X est une v.a. non nulle, on appelle variable centrée réduite associée à X la v.a. Z définie par: Z= X − E(X ) σ (X ) • On a E(Z)=0 et Var(Z)=1. Pr. Mohamed El Merouani 92 46 24/10/2014 Variable centrée réduite: • En effet, X − E( X ) E( X − E ( X )) E( X ) − E( X ) = E (Z ) = E = =0 ( ) σ σ σ X ( X ) ( X ) X − E( X ) = Var (Z ) = Var σ ( X ) X E( X ) 1 = 2 = Var − Var ( X ) = 1 σ X σ X σ X ( ) ( ) ( ) Pr. Mohamed El Merouani 93 Moments (Cas discrèt): • Moment d’ordre k d’une v.a. discrète X, noté mk est: ( ) mk = E X k = ∑ xik P( X = xi ) i • Moment centré d’ordre k d’une v.a. discrète X, noté µk est: ( ) µ k = E ( X − E ( X ) )k = ∑ (xi − E ( X ) )k P( X = xi ) i Pr. Mohamed El Merouani 94 47 24/10/2014 Moments (Cas continu): • Moment d’ordre k d’une v.a. continue X, noté mk est: +∞ ( )= ∫ x mk = E X k k f ( x)dx −∞ • Moment centré d’ordre k d’une v.a. X, noté µk est: ( ) ∫ (x − E ( X )) µk = E ( X − E ( X )) = k +∞ k f ( x)dx −∞ Pr. Mohamed El Merouani 95 Remarques: • La variance correspond au moment centré d’ordre 2: Var(X)=µ2 • Comme pour l’espérance mathématique, si la série ou l’intégrale correspondante diverge, les moments peuvent parfois ne pas exister. Pr. Mohamed El Merouani 96 48 24/10/2014 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev: • Soit X une v.a. telle que E(X) et Var(X) existent. Pour tout réel ε>0, on a: Var ( X ) P( X − E ( X ) ≥ ε ) ≤ 2 ε • En posant ε=tσ, on obtient une autre forme de cette inégalité: 1 P ( X − E ( X ) ≥ tσ ) ≤ 2 t ou encore: 1 P ( X − E ( X ) < tσ ) ≥ 1 − 2 t Pr. Mohamed El Merouani 97 Covariance de deux variables aléatoires: • La covariance entre deux v. a. X et Y, notée Cov(X,Y), est définie par Cov(X,Y)=E[(X–E(X))(Y–E(Y))] ou encore Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) • Cas discrèt: n m Cov(X , Y ) = ∑∑ xi y j P( X = xi , Y = y j ) − E( X ) E(Y ) i =1 j=1 • Cas continue: Cov( X,Y) = ∫ +∞ -∞ ∫ +∞ -∞ x y f(x,y) dx dy − E ( X ) E (Y ) Pr. Mohamed El Merouani 98 49 24/10/2014 Propriétes: • Soient X et Y deux v. a. La covariance est une forme bilinéaire symétrique: 1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X) 2) Cov(X+Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z) 3) Cov(λX,Y)=λCov(X,Y) #La démonstration de cette propriété sera donnée comme exercice à faire en T.D.# Pr. Mohamed El Merouani 99 Propriétes: • • Si les variables X et Y sont indépendantes, alors E(XY)=E(X)E(Y) et par suite Cov(X,Y)=0 La réciproque n’est cependant pas vraie. Remarque: Pour X=Y, on retrouve la variance de X comme covariance de (X, X): Cov(X, X)=E[(X-E(X))(X-E(X))] =E[(X-E(X))2]=Var(X) Pr. Mohamed El Merouani 100 50 24/10/2014 Exemple déjà vu: • Soit le couple de v.a. (X,Y) de loi: X Y -1 0 1 P(X=xi) -3 0 3 P(Y=yj) 0 1/4 0 1/4 1/4 0 1/4 1/2 0 1/4 0 1/4 1/4 1/2 1/4 1 Pr. Mohamed El Merouani 101 Exemple (suite): On a vu que E ( X ) = 0 ; et E (Y ) = 0 et E ( XY ) = 0 D’où Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X )E (Y ) = 0 Mais, X et Y comme on l’a déjà vu ne sont pas Indépendantes . Il suffit de vérifier, par exemple, que: 1 1 1 1 P ( X = 0, Y = 1) = ≠ P( X = 0 ) ⋅ P(Y = 1) = ⋅ = 4 2 4 8 Pr. Mohamed El Merouani 102 51 24/10/2014 Propriétes: • On a: Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) #La démonstration sera donnée comme exercice à faire en T.D.# • Si les variables X et Y sont indépendantes, alors, on retrouve: Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) , résultat déjà vu. Pr. Mohamed El Merouani 103 Coefficient de corrélation entre deux v. a. : • Le coefficient de corrélation entre deux v. a. X et Y, de variances non nulles, noté ρ ( X , Y ) est définie par: ρ (X ,Y ) = Cov ( X , Y ) Cov ( X , Y ) = Var ( X ) Var (Y ) σ ( X ) σ (Y ) • Le coefficient de corrélation varie entre -1 et 1: -1 ≤ ρ ( X , Y ) ≤ 1 #La démonstration sera donnée comme exercice à faire en T.D.# Pr. Mohamed El Merouani 104 52 24/10/2014 Inégalité de Schwartz: • On a: ( )( ) E ( XY ) ≤ E X 2 E Y 2 #La démonstration sera donnée comme exercice à faire en T.D.# Pr. Mohamed El Merouani 105 Fonction génératrice des moments: • La fonction génératrice des moments est définie pour toute v.a. X par: ∑ e tx P( X = x ) si X est discrète x M (t ) = E e tX = + ∞ tx ∫ e f ( x)dx si X est continue −∞ Si E(etX) existe dans un voisinage de l’origine. ( ) Pr. Mohamed El Merouani 106 53 24/10/2014 Théorème: Si M(t) existe pour t Є ]-t0,t0[, t0>0, alors ses dérivées de tout ordre existent pour t=0 et de plus M(k)(0)=E(Xk), k = 0,1,2,… C’est-à-dire que: Tout les moments d’ordre k peuvent être calculés à l’aide des dérivées de M(t) au point t =0. Pr. Mohamed El Merouani 107 ( ) d ′ M ( t ) = E etX • En effet, dt Si X est discrète: M ′(t ) = d d tx tx ( ) e P X = x = e P( X = x ) ∑ ∑ dt x dt x ( = ∑ xetx P( X = x ) = E XetX ) x Si X est continue: +∞ +∞ d tx d tx M ′(t ) = ∫ e f ( x)dx = ∫ e f ( x)dx dt −∞ −∞ dt = +∞ ∫ xe −∞ tx ( f ( x) dx = E XetX ) 108 54 24/10/2014 • En posant t=0, on a M’(0)=E(X). • De même, ( ) ( d d M ′(t ) = E XetX = E X 2 etX dt dt 2 et M ′′(0) = E X M ′′(t ) = ) ( ) D’une façon générale, on a: ( ) M ( k ) (t ) = E X k e tX , k ≥ 1 et ( ) M ( k ) ( 0) = E X k Pr. Mohamed El Merouani 109 • Où encore, d’après le théorème précédent, Si M(t) existe pour t Є ]-t0,t0[, t0>0, alors on peut développer M(t) en série de Mc-Laurin: t t2 tk M (t ) = M (0) + M ′(0) ⋅ + M ′′(0) ⋅ + L + M ( k ) (0) ⋅ + L 1! 2! k! k t • Ainsi E(Xk) est le coefficient de k! Pr. Mohamed El Merouani 110 55 24/10/2014 Remarque: • La fonction génératrice des moments M(t) peut ne pas exister. • En effet, E(etX) n’est pas toujours définie. Pr. Mohamed El Merouani 111 Exemple 1: • Soit X une v.a. discrète définie par: P( X = k ) = • Donc, on a: 6 1 ; 2 2 π k k = 1, 2, ... ∞ etk M (t ) = 2 ∑ 2 = ∞ π k =1 k 6 Pr. Mohamed El Merouani 112 56 24/10/2014 Exemple 2: • Soit X une v.a. continue de fonction de densité f ( x) = • Donc M (t ) = M ′(t ) = 1 −x 2 e , x>0 2 1 pour t<1/2 1 − 2t 2 8 ′ ′ M ( t ) = et pour t<1/2 2 3 (1 − 2t ) (1 − 2t ) On en déduit E(X)=2, E(X 2)=8 et Var(X)=4. Pr. Mohamed El Merouani 113 Exemple 3: • Soit X une v.a. continue de densité de probabilité la fonction f(x)=ce–|x|α, 0<α<1, xЄIR, où c est+∞une constante déterminée par la condition ∫ f ( x)dx = 1 −∞ ∞ ∞ • Pour t>0, on a: tx − xα x (t − xα −1 ) et puisque α-1<0, pour t>0; car ∫ee ∫ee 0 ∞ 0 tx − xα 0 e( dx = ∫ e x t − xα −1 dx dx n’est pas finie ) ~ etx x →∞ 114 57 24/10/2014 • D’où M(t) n’existe pas! • Pourtant, ( ) = c∫ E X n +∞ −∞ n x e −x α ∞ α dx = 2c ∫ x n e − x dx 0 • Par un changement de variable y=xα, on obtient: ( )= α ∫ y E X n 2c ∞ n +1 α −1 e − y dy = 0 2c n + 1 Γ < ∞* α α • On remarque, donc, que même si M(t) est infini, les moments peuvent être finis. *Γ est la fonction gamma d' Euler. 115 Fonction Gamma Γ d’Euler: La fonction Γ est définie sur ]0,+∞[ par: ∞ Γ(α ) = ∫ e −t t α −1dt 0 Pr. Mohamed El Merouani 116 58 24/10/2014 Propriétés: 1) Γ(α)=(α-1)Γ(α-1). En effet, ∞ Γ (α ) = ∫ e t − t α −1 0 ∞ dt = (α − 1)∫ e −t t α − 2 dt = (α − 1)Γ(α − 1) 0 2) Γ(1)=1. ∞ −t ( ) Γ 1 = En effet, ∫0 e dt = 1 3) Γ(n)=(n-1)! En effet, Γ(n)=(n-1)Γ(n-1)= =(n-1)(n-2)Γ (n-2)=…=(n-1)!Γ(1)=(n-1)! Pr. Mohamed El Merouani 117 59