Telechargé par Mourad Shaissah

Chap 2 variables aléatoires discrete et continues

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24/10/2014
Chapitre 2:
Variables aléatoires
discrètes et continues
Pr. Mohamed El Merouani
1
Variable aléatoire
• On entend par variable aléatoire (v.a.) une
grandeur qui à la suite d’une expérience
aléatoire prend telle ou telle valeur.
• Suivant la notation ensembliste, une v.a. X est
une fonction d’un événement élémentaire ω:
X=f (ω) où ωЄΩ. La valeur de cette fonction
dépend de l’événement élémentaire ω apparu
à la suite de l’expérience.
Pr. Mohamed El Merouani
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1
24/10/2014
Définition d’une v.a.
• Soient (Ω,A) et (Ω’,A ’)deux espaces
probabilisables. L’application X:Ω—>Ω’ est dite
variable aléatoire lorsque pour tout BЄA ’,
on a:
X-1(B)={ωЄΩ/X(ω)ЄB} Є A
• Si Ω’=IR, on prend pour A ’ la plus petite tribu
contenant les intervalles de IR. A ’, est dans ce
cas, dite tribu des boréliens de IR. On note
A ’=BIR. Dans ce cas X est variable aléatoire
réelle notée v.a.r.
Pr. Mohamed El Merouani
3
Variable aléatoire réelle
• Donc, une v.a.r X est une application de
l’ensemble fondamental Ω dans l’ensemble IR
des nombres réels
X:Ω—>IR
qui
vérifie ∀I Є BIR, ona X-1(I)={ωЄΩ/X(ω)Є I} Є A
• Les valeurs de la variable X sont dites
réalisations de X.
• L’ensemble de ces réalisations est noté X(Ω).
Pr. Mohamed El Merouani
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2
24/10/2014
Loi de probabilité d’une v.a.r.
• Soient (Ω,A,P) un espace probabilisé et X une
v.a.r.
• L’application, notée PX, définie par
PX: BIR
[0,1]
B
PX(B)=P(X-1(B))
est une probabilité sur (IR, BIR), et appelée loi
de probabilité de X.
Pr. Mohamed El Merouani
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Démonstration:
• PX(IR)=P(X-1(IR))=P(Ω)=1
• Pour toute famille (Bi)i≥1 d’événements 2 à 2
incompatibles;

P X 

U
i≥1
B
i


 = P  X


−1

= P  U X
 i≥1
= ∑ P X
i≥1
=
∑
i≥1
(
PX



U
i≥1
−1
−1
B
i








( B i ) 

(B i )
(B i )
)
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3
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Variable aléatoire discrète
• Une variable aléatoire X est dite discrète si X(Ω) a un
nombre fini (ou infini dénombrable) d’éléments.
• Soient x1, x2,…,xn les réalisations de X. On note pour
tout i=1,2,…,n X-1({xi})={ωЄΩ/X(ω)=xi}=(X=xi)
• Les événements (X=xi) forment un système complet
et n P( X = x ) = 1
∑
i =1
i
Pr. Mohamed El Merouani
7
Loi de probabilité d’une variable
aléatoire discrète:
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X
discrète est définie par la donnée de:
– x1, x2,…,xn les réalisations de la v.a. X.
– p1, p2,…,pn les probabilités des événements (X=xi);
c’est-à-dire P(X=xi)=pi; pour i=1,2,…,n
Pr. Mohamed El Merouani
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24/10/2014
Exemple:
Pour l’expérience du lancement d’un dé.
L’ensemble fondamental est Ω={1,2,3,4,5,6}
et soit
A={Ø; {1,4} ;{2,5}; {3,6}; {2,3,5,6} ;{1,3,4,6}; {1,2,4,5};Ω}.
Soit X l’application de Ω dans IR telle que X(ω) soit le
reste de ω modulo 3.
Pr. Mohamed El Merouani
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Exemple (suite)
On a: X(Ω)={0,1,2} et
(X=0)=X-1({0})={3,6}ЄA;
(X=1)=X-1({1})={1,4} ЄA;
(X=2)=X-1({2})={2,5}ЄA ;
X est une v.a.r.
et P(X=0)=1/3; P(X=1)=1/3; P(X=2)=1/3.
On vérifie que:
P( X = x ) = 1
∑
i
i
en effet; P(X=0)+ P(X=1)+P(X=2)=1
Pr. Mohamed El Merouani
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Variable aléatoire continue
• Une variable aléatoire X est dite continue si X(Ω) est
un ensemble infini non dénombrable.
• Une v.a.r. X est dite continue si X(Ω) est un intervalle
ou une réunion d’intervalles de IR.
• Les valeurs que prend X sont infinies non
dénombrables, alors la probabilité de ces valeurs est
une fonction continue f, appelée fonction densité de
probabilité.
Pr. Mohamed El Merouani
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Propriétés de la densité de
probabilité:
1. La fonction f est à valeurs positives sur IR:
f (x)≥0, ∀ xЄIR.
2. La fonction f est continue sauf peut être en un
nombre fini (dénombrable) de points de IR.
3. L’intégrale de f sur IR converge et est égale à 1.
∫
IR
+∞
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = 1
−∞
Pr. Mohamed El Merouani
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Loi de probabilité d’une variable
aléatoire continue:
• On rappelle que la loi d’une v.a.r. X sur un
espace probabilisé (Ω,A,P) est une probabilité
sur (IR, BIR) définie par ∀ B ∈BIR
PX (B)=P(X-1(B)).
• Si X est une v.a. continue de fonction de
densité f alors sa loi de probabilité est donnée
par ∀ B ∈ BIR on a:
PX (B ) = ∫ f ( x) dx
B
Pr. Mohamed El Merouani
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• La probabilité de tout intervalle ]a,b[ est égale
à
b
P(a < X < b ) = ∫ f ( x) dx
a
f (x)
P(a<X<b)
Cf
b
a
Pr. Mohamed El Merouani
x
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• Intuitivement, on peut écrire
f (x)dx=P(x<X<x+dx)
où dx est considéré comme « infiniment petit ».
f (x)
x
Cf
x
dx
Pr. Mohamed El Merouani
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Fonction de répartition d’une v.a.r.:
• Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et X une
v.a.r.. On appelle fonction de répartition de la
v.a.r. X, l’application F: IR—>[0,1] définie par:
pour tout xЄIR:
F(x)=P(X≤x)
=PX(]-∞,x])
=P(X-1]-∞,x]).
• Si X est discrète:
F ( x) = ∑ P( X = xi ) = ∑ pi
xi ≤ x
xi ≤ x
• Si X est continue de fonction de densité f:
x
F ( x ) = ∫ f ( t ) dt
_∞
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Proposition:
La fonction de répartition F d’une v.a.r. X
satisfait les propriétés suivantes:
1) 0≤F(x)≤1;
2) F est une fonction croissante,
3) F est continue à droite en tout point x de IR.
F ( x) = 0 et lim F ( x) = 1 .
4) xlim
→ −∞
x → +∞
Pr. Mohamed El Merouani
17
Démonstration:
1) Cette propriété est évidente.
2) Prenons deux nombres réels x et x’ tels que
x≤x’. Alors
]-∞,x]C ]-∞,x’].
D’où
PX (]-∞,x]) ≤ PX (]-∞,x’])
et par conséquent
F(x) ≤ F(x’).
Pr. Mohamed El Merouani
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24/10/2014
Démonstration (suite):
3) Soit (xn)n une suite décroissante de nombres
réels telle que lim xn = x0
n → +∞
lim F ( xn ) = lim P( X ≤ xn ) = lim P( An )
n →∞
n →∞
n →∞
avec An = ( X ≤ xn ) mais ( X ≤ xn ) ⊃ ( X ≤ xn +1 )
car la suite (xn)n est décroissante.
∞
∞
Donc (An)n décroissante et I An = I ( X ≤ xn ) = ( X ≤ x0 )
n =1
D’où
n =1
lim P( X ≤ xn ) = P( X ≤ x0 ) = F ( x0 )
n → +∞
Pr. Mohamed El Merouani
19
Démonstration (suite):
4) La suite des événements (X≤-n); n=1,2,3,… est
∞
décroissante et I
( X ≤ −n ) = ∅
n =1
Donc lim F (−n) = lim P( X ≤ − n ) = P (∅ ) = 0
n →∞
D’où
n →∞
lim F ( x) = 0
x → −∞
Pr. Mohamed El Merouani
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10
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Démonstration (suite):
La seconde relation s’obtient en considérant la
suite croissante (X≤n), n=1,2,3,… et U A = IR .
Donc
lim F (n) = lim P( X ≤ n ) = P(IR ) = 1
n → +∞
n → +∞
D’où
lim F ( x ) = 1
∞
n
n =1
x → +∞
Pr. Mohamed El Merouani
21
Remarques:
1. La fonction de répartition permet de calculer
les probabilités concernant les intervalles.
On a:
P(a<X≤b)=F(b)-F(a)
En effet:
P(a < X ≤ b) = P(a < X et X ≤ b) = P((a < X ) I ( X ≤ b))
= P(a < X ) + P( X ≤ b) − P((a < X ) U ( X ≤ b))
=1− P( X ≤ a) + P( X ≤ b) − P(IR)
= P( X ≤ b) − P( X ≤ a) = F(b) − F(a)
Pr. Mohamed El Merouani
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24/10/2014
Remarques:
2. On peut démontrer que toute fonction F(x)
vérifiant les propriétés précédentes
représente la fonction de répartition d’une
certaine v.a.
Pr. Mohamed El Merouani
23
Exemple précédent:
L’expérience « lancement d’un dé »
On a X la v.a. définie sur (Ω,A,P) par X(ω) reste
de ω modulo 3, ∀ω ∈ Ω . On a trouvé:
xi
pi
donc
0
1/3
1
1/3
2
1/3
 0
1 3

F ( x) = 
2 3
 1
si x < 0
si 0 ≤ x < 1
si 1 ≤ x < 2
si x ≥ 2
24
12
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Remarque:
• Si X prend une suite (finie ou infinie) de
valeurs x1<x2<x3<…, la fonction de répartition
F de X est une fonction en escalier croissante,
discontinue en x1,x2,x3,…, . Le saut en xi vaut
P(X=xi).
• La fonction F est continue en tout point x tel
que x Є X(Ω).
• F est constante sur tout intervalle [xk,xk+1[;
k=1,2,3…; xkЄ X(Ω).
Pr. Mohamed El Merouani
25
Exemple:
• Pour l’expérience de lancement d’une pièce de
monnaie, on a la loi de probabilité de X est résumée
par le tableau suivant:
xi
0
1
Σpi
pi
1/2
1/2
1
• Sa fonction de répartition sera:
 0 si x < 0

F(x) = 1 / 2 si 0 ≤ x < 1
 1 si x ≥ 1

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13
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Représentation graphique de F(x):
F(x)
1
1/
2
1
0
x
Pr. Mohamed El Merouani
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Exemple 3:
Soit Ω={(i,j)/ i,j Є {1,2,3,4,5,6}} et soit A =P (Ω).
1
Soit P((i, j ) ) =
, ∀(i, j ) ∈ Ω
36
On définit la v.a.
X(i, j) = i+j ; 1 ≤ i,j ≤ 6
La loi de probabilité de X est donnée par:
xk
pk
2
1
36
3
4
2
36
3
36
5
4
36
6
5
36
7
8
6
36
Pr. Mohamed El Merouani
9
5
36
10
4
36
3
36
11
12
2
36
1
36
28
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24/10/2014
Donc, sa fonction de répartition est:

 1

 3

F (x) =  6


 35


0
si x < 2
36
si 2 ≤ x < 3
36
si 3 ≤ x < 4
36
si 4 ≤ x < 5
M
36
si 11 ≤ x < 12
1 si x ≥ 12
Pr. Mohamed El Merouani
29
Remarques (Fonction de répartition d’une
v.a. continue):
• On définit la fonction de répartition F d’une v. a.
continue X de la même manière que pour une v.a.
discrète, c’est-à-dire F(x)=P(X≤x).
x
• La fonction continue F( x ) = ∫−∞ f ( t )dt est
croissante de 0 à 1 lorsque x varie de -∞ à +∞.
• Par conséquent, une v.a. continue est une v.a. dont
la fonction de répartition est continue.
• Si la fonction de densité f d’une v.a. continue X est
continue au point x alors f est la dérivée de da
fonction de répartition F, c’est-à-dire F’(x)=f(x).
Pr. Mohamed El Merouani
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24/10/2014
Représentation graphique de F(x) continue:
F(x)
1
0
x
Pr. Mohamed El Merouani
31
Conséquences:
Pour X v.a. continue on a:
• P(X=c)=0 avec c une constante réelle.
• P(a≤X≤b)= P(a<X≤b)= P(a≤X<b)= P(a<X<b)= F(b)-F(a)
b
= ∫ f (t )dt
a
a
• P(X≤a)=P(X<a) = ∫ f (t ) dt
−∞
+∞
• P(X≥b)=P(X>b) = ∫b f (t) dt
Pr. Mohamed El Merouani
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16
24/10/2014
Exemple:
Soit f la fonction de densité, d’une v.a.
continue X, définie par:
 x si 0 < x ≤ 1

f ( x) = 2 − x si 1 < x ≤ 2
 0 ailleurs

1. Trouver F(x).
2. Calculer P(0,3<X≤1,5)
Pr. Mohamed El Merouani
33
Exemple (suite):
1. Si x ≤ 0;
Si 0 < x≤ 1;
F(x)=0
F ( x) = ∫
x
0
x2
f (t )dt =
2
1
Si 1 < x≤ 2; F ( x) = ∫ t dt + ∫
0
x
1
x2
(2 − t )dt = 2 x − − 1
2
Si x≥2;
F(x)=1
2. P(0,3<X≤1,5)=F(1,5)-F(0,3)=0,83
Pr. Mohamed El Merouani
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Loi d’une fonction d’une v.a. discrète:
Soit une v.a. discrète X telle que
X(Ω)={x1,x2,…} et g une fonction de X(Ω) dans
un ensemble E={y1,y2,…}.
Alors Y=g(X) est une v.a. discrète telle que:
∀j , (Y = y j ) = U ( X = xi ) où I = {i / g ( xi ) = y j }
i∈I
D’où
P (Y = y j ) = ∑ P( X = xi )
i∈I
Pr. Mohamed El Merouani
35
Exemple:
Soit la v.a. discrète X de loi de probabilité:
xi
pi
-2
-1
0
1
2
0,1
0,1
0,3
0,2
0,3
On cherche la loi de la v.a.:
a) Y= X 2 + 1
b) Z=|X|
Pr. Mohamed El Merouani
36
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24/10/2014
Exemple (suite):
a) Y prend les valeurs 1,2,5 avec les probabilités:
P(Y=1)=P(X=0)=0,3
P(Y=2)=P(X=-1)+P(X=1)=0,1+0,2=0,3
P(Y=5)=P(X=-2)+P(X=2)=0,1+0,3=0,4
D’où
yj
P(Y=yj)
1
0,3
2
0,3
5
0,4
Pr. Mohamed El Merouani
37
Exemple (suite):
b) De la même façon on trouve:
zj
P(Z=zj)
0
0,3
1
0,3
Pr. Mohamed El Merouani
2
0,4
38
19
24/10/2014
Loi d’une fonction d’une v.a.
continue:
Soit une v.a. continue X de densité de
probabilité f et soit Y=g(X) dérivable pour
tout x et telle que
g’(x)>0, ∀ x ou
g’(x)<0, ∀ x.
Alors Y=g(X) est une v.a. continue dont la
densité de probabilité est donnée par:
h(y)=f [g-1(y)]|(g-1(y))’|
Pr. Mohamed El Merouani
39
Loi d’une fonction d’une v.a.
continue:
• Si g’(x)>0, pour tout x, on a: Y=g(X)<=>X=g-1(Y)
et
P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X≤g-1(y))
d’où
H(y)=F(g-1(y)) (ou H est la fonction de
répartition de Y). En dérivant, on obtient:
h(y)=f (g-1(y))(g-1(y))’
• Si g’(x)<0, pour tout x, on a: Y=g(X)<=>X=g-1(Y)
et P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X≥g-1(y))=1- P(X<g-1(y))
d’où
H(y)=1-F(g-1(y))
En dérivant, on obtient: h(y)=−f (g-1(y))(g-1(y))’
(car g’<0)
Pr. Mohamed El Merouani
40
20
24/10/2014
Exemple:
Soit X v.a. de densité de probabilité:
1 si 0 < x < 1
f ( x) = 
 0 autrement
Cherchons les densités de:
a) Y=eX
b) Z=-2LogX
Pr. Mohamed El Merouani
41
Exemple (suite):
a) Y=eX X=LogY avec y>0 pour tout x
1
et nous avons h( y ) = .1, 0 < Log y < 1
y
C’est-à-dire que
1 y , 1 < y < e
h( y ) = 
 0 , autrement
Pr. Mohamed El Merouani
42
21
24/10/2014
Exemple (suite):
b)
1
h( y ) = − e − y 2 .1 , 0 < e − y 2 < 1
2
1 −y 2
 e , 0< y<∞
= 2
 0 , autrement
Pr. Mohamed El Merouani
43
Remarque:
La formule précédente est valable sous la
condition que «la fonction g est dérivable et g’(x)
garde un signe constant pour tout x».
Contre-exemple
Soit Y=X2. On a
(
H(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=
) ( y )− F (− y )
=P− y≤X ≤ y =F
En dérivant, on obtient:
1
h (y) =
f
2 y
( y )+ 2 1 y f (− y )
44
22
24/10/2014
Couple de variables aléatoires
Définition:
Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé.
• Une application (X,Y) de Ω dans IR2, qui à tout
ω de Ω fait correspondre un couple (X(ω),Y(ω))
de IR2, s’appelle couple de variables aléatoires
(où X et Y sont deux variables aléatoires).
• (X,Y) s’appelle aussi variable aléatoire à deux
dimensions.
Pr. Mohamed El Merouani
45
Loi de probabilités conjointes de deux
v. a. discrètes:
• Un couple de v. a. (X, Y) peut prendre les valeurs
successives suivantes:
(x1,y1) ; (x1,y2) ; …; (xi,yj) ; …; (xn,ym)
A chaque couple (xi,yj) correspond une probabilité pij
d’observer simultanément la valeur xi pour X et la
valeur yj pour Y:
pij=P(X=xi et Y=yj)=P(X=xi, Y=yj)
• On a
n
m
0 ≤ pij ≤ 1
et
∑∑ p =1
i =1 j =1
ij
∀ i = 1, 2 , K , n ; ∀ j = 1, 2 , K , m
46
23
24/10/2014
Fonction de répartition d’un couple
de v.a. discrètes:
• On appelle fonction de répartition d’une v.a. à
deux dimensions (X,Y) la fonction définie par:
F( x, y) = P( X ≤ x,Y ≤ y) = ∑∑P(X = xi ,Y = y j )
xi ≤x y j ≤ y
Pr. Mohamed El Merouani
47
Lois de probabilités marginales:
• La probabilité P(X=xi)=pi. est appelée loi
marginale de X. On a:
P ( X = x i ) = p i⋅ =
∑
p ij
j
i = 1, 2 , K , n
• La probabilité P(Y=yj)=p.j est appelée loi
marginale de Y. On a:
P Y = y j = p ⋅ j = ∑ p ij
(
)
j = 1, 2 , K , m
Pr. Mohamed El Merouani
i
48
24
24/10/2014
Y
y1
….
yj
…
ym
Total
X
x1
p11
…
p1j
…
p1m
p1.
xi
pi1
…
pij
…
pim
pi.
xn
pn1
…
pnj
…
pnm
pn.
Total
p.1
p.m
1
p.j
49
Lois de probabilités conditionnelles:
• La loi conditionnelle de X si Y=yj est définie
par:
P(X = xi , Y = y j )
P (X / Y = y j ) =
P (Y = y j )
• De même, la loi conditionnelle de Y si X=xi est
définie par:
P(Y / X = xi ) =
P(X = xi , Y = y j )
P( X = xi )
Pr. Mohamed El Merouani
50
25
24/10/2014
Indépendance de deux variables
aléatoires discrètes :
• Deux v. a. discrètes X et Y sont dites
indépendantes si
P(X=xi , Y=yj)=P(X=xi).P(Y=yj)
pour tout xi et yj.
• Dans ce cas:P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x).P(Y≤y); pour
tout x et y
ou
F(x,y)=FX(x).FY(y)
• Aussi:
P (X / Y = y j ) = P( X = xi )
et
P(Y / X = xi ) = P(Y = y j )
Pr. Mohamed El Merouani
51
Loi de probabilités conjointes de deux v.
a. continues:
Une v.a. à deux dimensions Z= (X,Y) est dite
continue s’il existe une application f(x,y) appelée
densité de probabilité conjointe du couple de
v.a.(X ,Y), vérifiant:
a)
b)
f(x,y) ≥ 0 ; ∀( x, y ) ∈ IR 2
+∞
+∞
-∞
-∞
∫ ∫
f(x,y)dxdy = 1
Pr. Mohamed El Merouani
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24/10/2014
Fonction de répartition d’un couple
de v.a. continues:
• La fonction de répartition du couple (X,Y) est
définie par:
F ( x, y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) =
x y
∫ ∫ f (u, v )dudv
− ∞− ∞
et l’on a
∂ 2 F ( x, y )
f ( x, y ) =
∂x∂y
Pr. Mohamed El Merouani
53
Lois marginales (Fonctions de
répartitions marginales):
• Les fonctions:
FX ( x ) = P( X ≤ x ) =
x
∫∫
−∞
et FY ( y ) = P(Y ≤ y ) =
y
∫∫
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
f (u , v)dvdu
f (u, v )dudv
sont dites
fonctions de répartition marginales des v.a. X
et Y respectivement.
Pr. Mohamed El Merouani
54
27
24/10/2014
Lois marginales (Fonctions de
densités marginales):
• Les fonctions:
et
f X ( x) =
fY ( y ) =
+∞
∫ f (x, v )dv
−∞
+∞
∫ f (u, y )du
−∞
sont les densités de probabilités marginales de
X et Y respectivement.
Pr. Mohamed El Merouani
55
Lois conditionnelles:
• La densité conditionnelle de X si Y=y est
définie par:
f X (x Y = y ) =
f ( x, y )
, si fY ( y ) ≠ 0
fY ( y )
• La densité conditionnelle de Y si X=x est
définie par:
fY ( y X = x ) =
f ( x, y )
, si f X ( x) ≠ 0
f X (x )
Pr. Mohamed El Merouani
56
28
24/10/2014
Indépendance de deux variables
aléatoires continues :
Deux v. a. continues X et Y sont dites indépendantes
si: P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x).P(Y≤y); pour tout x et y
ou
F(x,y)=FX(x).FY(y)
ou encore, en dérivant 2 fois par rapport à x et à y:
f (x,y)=fX(x).fY(y)
Dans ce cas
f X (x Y = y ) = f X (x)
et
fY ( y X = x ) = fY ( y )
Pr. Mohamed El Merouani
57
Exemple:
Un couple de variables aléatoires continues
Z=(X,Y) de densité de probabilité conjointe:
kxye − (x
f ( x, y ) = 
 0
2
+ y2
) si x > 0 et y > 0
autrement
1. Trouver le coefficient k.
2. Trouver les lois marginales de X et Y.
3. Calculer les densités conditionnelles de X
sachant Y=y et de Y sachant X=x.
Pr. Mohamed El Merouani
58
29
24/10/2014
Corrigés:
1. La fonction f (x,y) est une densité de probabilité
+∞ +∞
si f (x,y)≥0 et ∫
∫ f ( x, y)dxdy = 1. D’une part k≥0 et
− ∞− ∞
+∞+∞
d’autre part k ∫ ∫ xye − x e − y dxdy = 1 . On a donc
2
2
0 0
+∞
+∞
k ∫ xe − x dx ∫ ye − y dy =
2
0
0
2
k
et par suite k=4.
4
Pr. Mohamed El Merouani
59
2. Les densités marginales sont: fX(x)=0 si x≤0 et
f X ( x) =
+∞
∫
−∞
+∞
f ( x, y )dy = 4 ∫ xye− (x
On a donc
2
+ y2
)dy = 2 xe − x si x>0.
2
0
 2 xe − x
f X ( x) = 
0
De même on trouve
2
 2 ye − y
fY ( y ) = 
0
2
si x > 0
si x < 0
si y > 0
si y < 0
60
30
24/10/2014
3. La densité conditionnelle de X sachant Y=y
2
est:
f (x, y ) 2 xe − x si x > 0
f X (x Y = y ) =
=
fY ( y )  0 si x ≤ 0
La densité conditionnelle de Y sachant X=x est:
2
f ( x, y ) 2 ye − y si y > 0
fY ( y X = x ) =
=
f X ( x)  0 si y ≤ 0
On remarque que les deux v.a. X et Y sont
indépendants puisque f X ( x Y = y ) = f X (x) et
fY ( y X = x ) = fY ( y ). On a, aussi
f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y )
61
Espérance mathématique:
v.a. discrète:
• L’espérance mathématique d’une v. a. discrète X,
notée E(X) est:
E ( X ) = ∑ xi P ( X = xi ) = ∑ xi pi
i
i
v.a. continue:
• L’espérance mathématique d’une v. a. continue X, de
fonction de densité f est donnée par:
+∞
E ( X ) = ∫ x f ( x ) dx
−∞
Pr. Mohamed El Merouani
62
31
24/10/2014
Remarque:
Dans le cas discret:
Lorsque X(Ω) est fini, ∑xi pi est finie.
i
Si X(Ω) est infini, on a la somme d’une série
qui peut ne pas exister.
Dans le cas continue:
+∞
L’intégrale ∫−∞ x f ( x) dx peut être divergente.
Dans ces cas l’espérance mathématique
n’existe pas.
Pr. Mohamed El Merouani
63
Exemple 1:
• Soit une v.a. X de loi donnée par:

3i  2
pi = P X =  = i ; i = 1,2,3...
i  3

• Alors
∞
3i 2 ∞ 2
xi pi = ∑ ⋅ i = ∑ →∞
∑
i=1
i=1 i 3
i=1 i
• Donc, l’espérance mathématique n’existe pas.
Pr. Mohamed El Merouani
64
32
24/10/2014
Exemple 2:
Soit une v.a. X continue de densité de
1
probabilité:
f ( x) =
π (1 + x 2 )
, x ∈ IR
Posons t=1+x2, on obtient
x
1 ∞ dt 1
∞
dx
=
=
[
Log
t
]
1 →∞
∫0 1 + x 2 2 ∫1 t 2
+∞
x
Donc ∫−∞ π (1 + x 2 )dx est divergente.
∞
D’où E(X) n’existe pas
Pr. Mohamed El Merouani
65
Propriétés de l’espérance:
Soient X et Y deux v. a., et α et β deux réels
quelconques, alors:
1°) E(α ) = α
2°) E ( X + α ) = E ( X ) + α
3°) E (αX ) = αE ( X )
4°) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y )
5°) E ( X − Y ) = E ( X ) − E (Y )
6°) E ( X − E ( X )) = 0
Pr. Mohamed El Merouani
66
33
24/10/2014
Démonstration:
1°) E(α) = α ?
La moyenne d’une constante est elle-même!
E(α)=α.P(X=α)=α.1=α
2°) E ( X + α ) = E ( X ) + α ?
Cas discret: E ( X + α ) = ∑ (xi + α ) ⋅ P ( X = xi )
E ( X + α ) = ∑ xi ⋅ P( X = xi ) + α ∑ P( X = xi )
i
E(X + α ) = E(X ) + α
i
i
Cas continu:
E(X + α ) = ∫
+∞
+∞
+∞
(x + α ) f ( x)dx = ∫−∞ xf ( x)dx + α ∫−∞ f ( x)dx = E ( X ) + α
−∞
67
Démonstration:
3°) E (αX ) = αE ( X ) ?
Cas discret:
E (αX ) = ∑ αxi P( X = xi ) = α ∑ xi P ( X = xi ) = αE ( X )
i
i
Cas continu:
+∞
+∞
−∞
−∞
E (αX ) = ∫ α xf ( x ) dx = α ∫ xf ( x ) dx = α E ( X )
Pr. Mohamed El Merouani
68
34
24/10/2014
Démonstration:
4°) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y ) ?
Cas discret:
E ( X + Y ) = ∑∑ (xi + y j )P (X = xi , Y = y j )
i
j




E( X +Y ) = ∑xi ∑P(X = xi ,Y = y j ) + ∑y j ∑P(X = xi ,Y = y j )
i

 j
 j i
Mais,
∑ P(X = x , Y = y ) = P( X = x )
et
∑ P(X = x , Y = y ) = P(Y = y )
i
j
i
j
i
j
j
i
Pr. Mohamed El Merouani
69


∑ P(X = x , Y = y ) = P U (( X = x ) I (Y = y ))
i
j
j

i
j
j




= P ( X = xi ) I  U (Y = y j )

 j

= P[( X = xi ) I Ω]
= P( X = xi )
Pr. Mohamed El Merouani
70
35
24/10/2014
Démonstration:
• On obtient, donc,
E ( X + Y ) = ∑ xi P( X = xi ) + ∑ y j P (Y = y j )
i
j
= E ( X ) + E (Y )
Pr. Mohamed El Merouani
71
Démonstration:
4°) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y ) ?
Cas continu:
E(X + Y ) =
+∞
+∞ +∞

+∞

∫ ∫−∞ (x + y ) f ( x, y)dxdy = ∫  ∫ (x + y ) f ( x, y)dy dx
− ∞ − ∞
+∞
 +∞

= ∫  x ∫ f ( x, y )dy + ∫ yf ( x, y )dy dx
− ∞ − ∞
−∞

+∞
+∞
+∞


= ∫ xf X ( x) dx + ∫ y  ∫ f ( x, y )dx  dy
−∞
−∞  − ∞

−∞
+∞
= E(X ) +
+∞
∫ yf
Y

( y )dy = E ( X ) + E (Y )
−∞
Pr. Mohamed El Merouani
72
36
24/10/2014
Démonstration:
5°) E ( X − Y ) = E ( X ) − E (Y ) ?
E(X-Y)=E(X+(-Y))=E(X)+E(-Y)=E(X)-E(Y)
6°) E ( X − E ( X )) = 0
E(X-E(X))=E(X)-E(E(X))=E(X)-E(X)=0
Pr. Mohamed El Merouani
73
Propriété (Théorème de transfert):
• X v.a. discrète:
Si Y=φ(X), alors E (Y ) = ∑ ϕ ( xi ) P( X = xi )
i
• X v.a. continue:
+∞
Si Y=φ(X), alors E (Y ) = ∫ ϕ (x ) f (x )dx
−∞
Pr. Mohamed El Merouani
74
37
24/10/2014
Démonstration:
• X v.a. discrète:
E (Y ) = E (ϕ ( X ) ) = ∑ y j P(ϕ ( X ) = y j )
j
Où φ(X)(Ω)={y1,y2,…,yj,…}.
Pour j fixé, soit φ-1(yj). On a φ-1(yj) ⊂X(Ω).
On note φ-1(yj) ={xi/iЄIj}, ensemble des xi ayant
même image yj;
D’où
E (ϕ ( X ) ) = ∑ y j ∑ P ( X = xi )
j
i∈I j
= ∑∑ y j P ( X = xi )
j i∈I j
75
Démonstration:
• Donc
E (ϕ ( X ) ) = ∑∑ ϕ ( xi ) P ( X = xi )
j i∈I j
• Mais, dans un cas général, certaines des
valeurs φ(x1), φ(x2),…, φ(xi),…coïncident.
• En regroupant les xi ayant même image yj,
c’est-à-dire les valeurs qui coïncident et en
additionnant leur probabilité, on a:
E (Y ) = ∑ ϕ (xi ) P ( X = xi )
i
Pr. Mohamed El Merouani
76
38
24/10/2014
Exemple:
• Soit X v.a. discrète de loi de probabilités:
-3
0
3
xi
1/4
1/2
1/4
pi
• En posant Y=X 2, d’après la propriété
précédente, on a:
E (Y ) = ∑ ϕ ( xi ) pi = (−3) 2
i
1
1
1 9
+ 0 2 + (3) 2 =
4
2
4 2
Pr. Mohamed El Merouani
77
Exemple (suite):
• Mais, on peut aussi écrire la loi de Y:
yj
pj
0
1/2
9
1/2
• Dans cet exemple, on a φ-1(0)=0, φ-1({9})={-3,3}
1 1 1 9
E (Y ) = 0 + 9 +  =
2 4 4 2
Pr. Mohamed El Merouani
78
39
24/10/2014
Démonstration:
(Théorème de transfert)
• Dans le cas où X v.a. continue:
#La démonstration sera donnée comme exercice
à faire en T.D.#
Pr. Mohamed El Merouani
79
Exemple:
• Soit X une v.a. continue de densité de
probabilité:
 3
(
1− x2 ) ; 0 ≤ x ≤ 1
f ( x) =  2
 0 ;
autrement
• Trouver E(X2).
( )
E X
2
+∞
1
(
)
3
1
= ∫ x f ( x)dx = ∫ x 2 1 − x 2 dx =
20
5
−∞
2
Pr. Mohamed El Merouani
80
40
24/10/2014
Théorème de transfert dans le cas
d’un couple de v.a.:
• Soit (X,Y) une variable aléatoire à deux
dimensions et soit φ(X, Y) une fonction de (X,Y) à
valeurs réelles. Alors:
• Cas où (X,Y) est discrète:
E (ϕ ( X , Y ) ) = ∑∑ ϕ (xi , y j ) P (X = xi , Y = y j )
i
j
• Cas où (X,Y) est continue:
E (ϕ ( X , Y ) ) =
+∞+∞
∫ ∫ ϕ (x, y ) f (x, y )dxdy
− ∞− ∞
où f (x,y) est la fonction de densité conjointe de X
et Y
Pr. Mohamed El Merouani
81
Propriété:
• Si deux v.a. X et Y sont indépendantes, alors
on a:
E(XY)=E(X).E(Y)
En effet, si X et Y sont discrètes, alors:
E ( XY ) = ∑∑ xi y j P (X = xi , Y = y j )
= ∑∑ xi y j P( X = xi ) ⋅ P (Y = y j )
i
i
j
j
Car X et Y sont indépendantes.
Pr. Mohamed El Merouani
82
41
24/10/2014
Propriété (suite):
• On en tire


E ( XY ) = ∑  xi P( X = xi )∑ y j P (Y = y j )
i 
j

= ∑ xi P( X = xi )E (Y )
i
= E ( X )E (Y )
Pr. Mohamed El Merouani
83
• Si X et Y sont continues:
E ( XY ) =
+∞ +∞
∫ ∫ xyf ( x, y)dxdy
− ∞− ∞
=
+ ∞+ ∞
∫ ∫ xyf
X
( x) fY ( y )dxdy
− ∞− ∞
+∞
+∞


= ∫  xf X ( x) ∫ yfY ( y )dy dx
− ∞
−∞

=
+∞
∫ (xf
X
( x) E (Y ) )dx
−∞
= E ( X ) E (Y )
84
42
24/10/2014
Remarque:
• La réciproque est fausse: E(XY)=E(X)E(Y)
n’implique pas l’indépendance de X et Y.
Pr. Mohamed El Merouani
85
Exemple:
• On considère le couple de v.a. (X,Y) de loi:
X
Y
-1
0
1
P(X=xi)
-3
0
3
P(Y=yj)
0
1/4
0
1/4
1/4
0
1/4
1/2
0
1/4
0
1/4
1/4
1/2
1/4
1
Pr. Mohamed El Merouani
86
43
24/10/2014
Exemple (suite):
1
1
1
On a E ( X ) = −3 + 0 + 3 = 0 ; E (Y ) = −1 + 0 + 1 = 0
4
2
1
4
4
1
2
1
4
et E ( XY ) = (− 1)(− 3)0 + (− 1)0 + (− 1)3 × 0 + 0(− 3) + 0 × 0 × 0 +
1
4
1
4
1
1
+ 0 × 3 + 1(− 3) × 0 + 1× 0 + 1× 3 × 0 = 0
4
4
Mais, l’égalité
E ( XY ) = E ( X )E (Y )
n’entraine pas l’indépendance de X et Y. Il suffit de
vérifier, par exemple, que:
1
1 1 1
P ( X = 0, Y = 1) = ≠ P( X = 0 ) ⋅ P(Y = 1) = ⋅ =
4
2 4 8
Pr. Mohamed El Merouani
87
Variance:
• On définit une mesure de dispersion de X
autour de son espérance mathématique, dite
variance de X.
• La variance d’une v.a. X, notée Var(X) est
définie par:
[
Var ( X ) = E ( X − E ( X ) )
• Ou encore:
2
]
Var( X ) = E( X 2 ) − (E( X ))2
#La vérification de cette dernière est facile#
Pr. Mohamed El Merouani
88
44
24/10/2014
Écart-type:
• L’écart-type d’une variable aléatoire X, noté σ(X) ou
tout simplement σ, est défini comme la racine carrée
de sa variance,
σ ( X ) = Var ( X )
et évidemment ,
σ 2 = Var ( X )
Pr. Mohamed El Merouani
89
Exemple:
• On lance un dé. On a:
1
P ( X = xi = i ) = , i = 1, 2,L , 6
6
et E ( X ) = 3,5
La variance Var(X) de X sera égale à
Var( X ) = E( X 2 ) − ( E( X ))2 =
1
1
1
1
1
1
2
= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 − (3,5) = 2,92
6
6
6
6
6
6
et
σ ( X ) = Var ( X ) = 2,92 = 1,71
Pr. Mohamed El Merouani
90
45
24/10/2014
Propriétés:
∀a, b ∈ IR, on a :
#La démonstration
de ces propriétés
sera donnée
comme exercice à
faire en T.D.#
1) Var (aX + b ) = a 2Var ( X )
(
2) E ( X − c )
2
) est
minimum quand c = E ( X )
3) Si X et Y sont indépendantes, alors
Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var (Y )
4) Si X et Y sont indépendantes, alors
Var ( X − Y ) = Var ( X ) + Var (Y )
Pr. Mohamed El Merouani
91
Variable centrée réduite:
• Si X est une v.a. non nulle, on appelle variable
centrée réduite associée à X la v.a. Z définie
par:
Z=
X − E(X )
σ (X )
• On a E(Z)=0 et Var(Z)=1.
Pr. Mohamed El Merouani
92
46
24/10/2014
Variable centrée réduite:
• En effet,
 X − E( X )  E( X − E ( X )) E( X ) − E( X )
 =
E (Z ) = E
=
=0
(
)
σ
σ
σ
X
(
X
)
(
X
)


 X − E( X ) 
 =
Var (Z ) = Var 
σ
(
X
)


 X
E( X ) 
1
 = 2
= Var 
−
Var ( X ) = 1
σ
X
σ
X
σ
X
(
)
(
)
(
)


Pr. Mohamed El Merouani
93
Moments (Cas discrèt):
• Moment d’ordre k d’une v.a. discrète X, noté
mk est:
( )
mk = E X k = ∑ xik P( X = xi )
i
• Moment centré d’ordre k d’une v.a. discrète X,
noté µk est:
(
)
µ k = E ( X − E ( X ) )k = ∑ (xi − E ( X ) )k P( X = xi )
i
Pr. Mohamed El Merouani
94
47
24/10/2014
Moments (Cas continu):
• Moment d’ordre k d’une v.a. continue X, noté
mk est:
+∞
( )= ∫ x
mk = E X
k
k
f ( x)dx
−∞
• Moment centré d’ordre k d’une v.a. X, noté µk
est:
(
) ∫ (x − E ( X ))
µk = E ( X − E ( X )) =
k
+∞
k
f ( x)dx
−∞
Pr. Mohamed El Merouani
95
Remarques:
• La variance correspond au moment centré
d’ordre 2:
Var(X)=µ2
• Comme pour l’espérance mathématique, si la
série ou l’intégrale correspondante diverge,
les moments peuvent parfois ne pas exister.
Pr. Mohamed El Merouani
96
48
24/10/2014
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev:
• Soit X une v.a. telle que E(X) et Var(X)
existent. Pour tout réel ε>0, on a:
Var ( X )
P( X − E ( X ) ≥ ε ) ≤
2
ε
• En posant ε=tσ, on obtient une autre forme de
cette inégalité:
1
P ( X − E ( X ) ≥ tσ ) ≤ 2
t
ou encore:
1
P ( X − E ( X ) < tσ ) ≥ 1 − 2
t
Pr. Mohamed El Merouani
97
Covariance de deux variables aléatoires:
• La covariance entre deux v. a. X et Y, notée Cov(X,Y),
est définie par Cov(X,Y)=E[(X–E(X))(Y–E(Y))]
ou encore
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
• Cas discrèt:
n
m
Cov(X , Y ) = ∑∑ xi y j P( X = xi , Y = y j ) − E( X ) E(Y )
i =1 j=1
• Cas continue:
Cov( X,Y) = ∫
+∞
-∞
∫
+∞
-∞
x y f(x,y) dx dy − E ( X ) E (Y )
Pr. Mohamed El Merouani
98
49
24/10/2014
Propriétes:
•
Soient X et Y deux v. a. La covariance est une forme
bilinéaire symétrique:
1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
2) Cov(X+Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z)
3) Cov(λX,Y)=λCov(X,Y)
#La démonstration de
cette propriété sera
donnée comme
exercice à faire en
T.D.#
Pr. Mohamed El Merouani
99
Propriétes:
•
•
Si les variables X et Y sont indépendantes, alors
E(XY)=E(X)E(Y)
et par suite Cov(X,Y)=0
La réciproque n’est cependant pas vraie.
Remarque:
Pour X=Y, on retrouve la variance de X comme
covariance de (X, X):
Cov(X, X)=E[(X-E(X))(X-E(X))]
=E[(X-E(X))2]=Var(X)
Pr. Mohamed El Merouani
100
50
24/10/2014
Exemple déjà vu:
• Soit le couple de v.a. (X,Y) de loi:
X
Y
-1
0
1
P(X=xi)
-3
0
3
P(Y=yj)
0
1/4
0
1/4
1/4
0
1/4
1/2
0
1/4
0
1/4
1/4
1/2
1/4
1
Pr. Mohamed El Merouani
101
Exemple (suite):
On a vu que E ( X ) = 0 ; et E (Y ) = 0
et
E ( XY ) = 0
D’où Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X )E (Y ) = 0
Mais, X et Y comme on l’a déjà vu ne sont pas
Indépendantes . Il suffit de vérifier, par exemple,
que:
1
1 1 1
P ( X = 0, Y = 1) = ≠ P( X = 0 ) ⋅ P(Y = 1) = ⋅ =
4
2 4 8
Pr. Mohamed El Merouani
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51
24/10/2014
Propriétes:
• On a: Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)
#La démonstration sera donnée comme exercice à faire en T.D.#
• Si les variables X et Y sont indépendantes,
alors, on retrouve:
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) , résultat déjà vu.
Pr. Mohamed El Merouani
103
Coefficient de corrélation entre deux v. a. :
• Le coefficient de corrélation entre deux v. a. X et Y,
de variances non nulles, noté ρ ( X , Y )
est définie par:
ρ (X ,Y ) =
Cov ( X , Y )
Cov ( X , Y )
=
Var ( X ) Var (Y ) σ ( X ) σ (Y )
• Le coefficient de corrélation varie entre -1 et 1:
-1 ≤ ρ ( X , Y ) ≤ 1
#La démonstration sera donnée comme exercice à faire en T.D.#
Pr. Mohamed El Merouani
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Inégalité de Schwartz:
• On a:
( )( )
E ( XY ) ≤ E X 2 E Y 2
#La démonstration sera donnée comme
exercice à faire en T.D.#
Pr. Mohamed El Merouani
105
Fonction génératrice des moments:
• La fonction génératrice des moments est
définie pour toute v.a. X par:
∑ e tx P( X = x ) si X est discrète
 x
M (t ) = E e tX =  + ∞
tx
 ∫ e f ( x)dx si X est continue
 −∞
Si E(etX) existe dans un voisinage de l’origine.
( )
Pr. Mohamed El Merouani
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Théorème:
Si M(t) existe pour t Є ]-t0,t0[, t0>0, alors ses
dérivées de tout ordre existent pour t=0
et de plus
M(k)(0)=E(Xk), k = 0,1,2,…
C’est-à-dire que:
Tout les moments d’ordre k peuvent être
calculés à l’aide des dérivées de M(t) au point
t =0.
Pr. Mohamed El Merouani
107
( )
d
′
M
(
t
)
=
E etX
• En effet,
dt
Si X est discrète:
M ′(t ) =
d 

d tx
tx
(
)
e
P
X
=
x
=
e P( X = x )
∑
∑

dt  x
dt
 x
(
= ∑ xetx P( X = x ) = E XetX
)
x
Si X est continue:
+∞
 +∞ d tx
d  tx
M ′(t ) =  ∫ e f ( x)dx  = ∫ e f ( x)dx
dt  −∞
 −∞ dt
=
+∞
∫ xe
−∞
tx
(
f ( x) dx = E XetX
)
108
54
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• En posant t=0, on a M’(0)=E(X).
• De même,
(
) (
d
d
M ′(t ) = E XetX = E X 2 etX
dt
dt
2
et M ′′(0) = E X
M ′′(t ) =
)
( )
D’une façon générale, on a:
(
)
M ( k ) (t ) = E X k e tX , k ≥ 1
et
( )
M ( k ) ( 0) = E X k
Pr. Mohamed El Merouani
109
• Où encore, d’après le théorème précédent, Si
M(t) existe pour t Є ]-t0,t0[, t0>0, alors on peut
développer M(t) en série de Mc-Laurin:
t
t2
tk
M (t ) = M (0) + M ′(0) ⋅ + M ′′(0) ⋅ + L + M ( k ) (0) ⋅ + L
1!
2!
k!
k
t
• Ainsi E(Xk) est le coefficient de
k!
Pr. Mohamed El Merouani
110
55
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Remarque:
• La fonction génératrice des moments M(t)
peut ne pas exister.
• En effet, E(etX) n’est pas toujours définie.
Pr. Mohamed El Merouani
111
Exemple 1:
• Soit X une v.a. discrète définie par:
P( X = k ) =
• Donc, on a:
6 1
;
2
2
π k
k = 1, 2, ...
∞
etk
M (t ) = 2 ∑ 2 = ∞
π k =1 k
6
Pr. Mohamed El Merouani
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56
24/10/2014
Exemple 2:
• Soit X une v.a. continue de fonction de densité
f ( x) =
• Donc M (t ) =
M ′(t ) =
1 −x 2
e , x>0
2
1
pour t<1/2
1 − 2t
2
8
′
′
M
(
t
)
=
et
pour t<1/2
2
3
(1 − 2t )
(1 − 2t )
On en déduit E(X)=2, E(X 2)=8 et Var(X)=4.
Pr. Mohamed El Merouani
113
Exemple 3:
• Soit X une v.a. continue de densité de
probabilité la fonction f(x)=ce–|x|α, 0<α<1,
xЄIR, où c est+∞une constante déterminée par
la condition ∫ f ( x)dx = 1
−∞
∞
∞
• Pour t>0, on a:
tx − xα
x (t − xα −1 )
et puisque α-1<0,
pour t>0; car
∫ee
∫ee
0
∞
0
tx − xα
0
e(
dx = ∫ e
x t − xα −1
dx
dx n’est pas finie
) ~ etx
x →∞
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• D’où M(t) n’existe pas!
• Pourtant,
( ) = c∫
E X
n
+∞
−∞
n
x e
−x
α
∞
α
dx = 2c ∫ x n e − x dx
0
• Par un changement de variable y=xα, on
obtient:
( )= α ∫ y
E X
n
2c
∞
n +1
α
−1
e − y dy =
0
2c  n + 1 
Γ
 < ∞*
α  α 
• On remarque, donc, que même si M(t) est
infini, les moments peuvent être finis.
*Γ est la fonction gamma d' Euler.
115
Fonction Gamma Γ d’Euler:
La fonction Γ est définie sur ]0,+∞[ par:
∞
Γ(α ) = ∫ e −t t α −1dt
0
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Propriétés:
1) Γ(α)=(α-1)Γ(α-1).
En effet, ∞
Γ (α ) = ∫ e t
− t α −1
0
∞
dt = (α − 1)∫ e −t t α − 2 dt = (α − 1)Γ(α − 1)
0
2) Γ(1)=1.
∞
−t
(
)
Γ
1
=
En effet,
∫0 e dt = 1
3) Γ(n)=(n-1)!
En effet, Γ(n)=(n-1)Γ(n-1)=
=(n-1)(n-2)Γ (n-2)=…=(n-1)!Γ(1)=(n-1)!
Pr. Mohamed El Merouani
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59
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