Chap 2 variables aléatoires discrete et continues

24/10/2014
Chapitre 2:
Variables aléatoires
discrètes et continues
Pr. Mohamed El Merouani
1
Variable aléatoire
• On entend par variable aléatoire (v.a.) une
grandeur qui à la suite d’une expérience
aléatoire prend telle ou telle valeur.
• Suivant la notation ensembliste, une v.a. X est
une fonction d’un événement élémentaire ω:
X=f (ω) où ωЄΩ. La valeur de cette fonction
dépend de l’événement élémentaire ω apparu
à la suite de l’expérience.
Pr. Mohamed El Merouani
2
1
24/10/2014
Définition d’une v.a.
• Soient (Ω,A) et (Ω’,A ’)deux espaces
probabilisables. L’application X:Ω—>Ω’ est dite
variable aléatoire lorsque pour tout BЄA ’,
on a:
X-1(B)={ωЄΩ/X(ω)ЄB} Є A
• Si Ω’=IR, on prend pour A ’ la plus petite tribu
contenant les intervalles de IR. A ’, est dans ce
cas, dite tribu des boréliens de IR. On note
A ’=BIR. Dans ce cas X est variable aléatoire
réelle notée v.a.r.
Pr. Mohamed El Merouani
3
Variable aléatoire réelle
• Donc, une v.a.r X est une application de
l’ensemble fondamental Ω dans l’ensemble IR
des nombres réels
X:Ω—>IR
qui
vérifie ∀I Є BIR, ona X-1(I)={ωЄΩ/X(ω)Є I} Є A
• Les valeurs de la variable X sont dites
réalisations de X.
• L’ensemble de ces réalisations est noté X(Ω).
Pr. Mohamed El Merouani
4
2
24/10/2014
Loi de probabilité d’une v.a.r.
• Soient (Ω,A,P) un espace probabilisé et X une
v.a.r.
• L’application, notée PX, définie par
PX: BIR
[0,1]
B
PX(B)=P(X-1(B))
est une probabilité sur (IR, BIR), et appelée loi
de probabilité de X.
Pr. Mohamed El Merouani
5
Démonstration:
• PX(IR)=P(X-1(IR))=P(Ω)=1
• Pour toute famille (Bi)i≥1 d’événements 2 à 2
incompatibles;

P X 

U
i≥1
B
i


 = P  X


−1

= P  U X
 i≥1
= ∑ P X
i≥1
=
∑
i≥1
(
PX



U
i≥1
−1
−1
B
i








( B i ) 

(B i )
(B i )
)
6
3
24/10/2014
Variable aléatoire discrète
• Une variable aléatoire X est dite discrète si X(Ω) a un
nombre fini (ou infini dénombrable) d’éléments.
• Soient x1, x2,…,xn les réalisations de X. On note pour
tout i=1,2,…,n X-1({xi})={ωЄΩ/X(ω)=xi}=(X=xi)
• Les événements (X=xi) forment un système complet
et n P( X = x ) = 1
∑
i =1
i
Pr. Mohamed El Merouani
7
Loi de probabilité d’une variable
aléatoire discrète:
La loi de probabilité d’une variable aléatoire X
discrète est définie par la donnée de:
– x1, x2,…,xn les réalisations de la v.a. X.
– p1, p2,…,pn les probabilités des événements (X=xi);
c’est-à-dire P(X=xi)=pi; pour i=1,2,…,n
Pr. Mohamed El Merouani
8
4
24/10/2014
Exemple:
Pour l’expérience du lancement d’un dé.
L’ensemble fondamental est Ω={1,2,3,4,5,6}
et soit
A={Ø; {1,4} ;{2,5}; {3,6}; {2,3,5,6} ;{1,3,4,6}; {1,2,4,5};Ω}.
Soit X l’application de Ω dans IR telle que X(ω) soit le
reste de ω modulo 3.
Pr. Mohamed El Merouani
9
Exemple (suite)
On a: X(Ω)={0,1,2} et
(X=0)=X-1({0})={3,6}ЄA;
(X=1)=X-1({1})={1,4} ЄA;
(X=2)=X-1({2})={2,5}ЄA ;
X est une v.a.r.
et P(X=0)=1/3; P(X=1)=1/3; P(X=2)=1/3.
On vérifie que:
P( X = x ) = 1
∑
i
i
en effet; P(X=0)+ P(X=1)+P(X=2)=1
Pr. Mohamed El Merouani
10
5
24/10/2014
Variable aléatoire continue
• Une variable aléatoire X est dite continue si X(Ω) est
un ensemble infini non dénombrable.
• Une v.a.r. X est dite continue si X(Ω) est un intervalle
ou une réunion d’intervalles de IR.
• Les valeurs que prend X sont infinies non
dénombrables, alors la probabilité de ces valeurs est
une fonction continue f, appelée fonction densité de
probabilité.
Pr. Mohamed El Merouani
11
Propriétés de la densité de
probabilité:
1. La fonction f est à valeurs positives sur IR:
f (x)≥0, ∀ xЄIR.
2. La fonction f est continue sauf peut être en un
nombre fini (dénombrable) de points de IR.
3. L’intégrale de f sur IR converge et est égale à 1.
∫
IR
+∞
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx = 1
−∞
Pr. Mohamed El Merouani
12
6
24/10/2014
Loi de probabilité d’une variable
aléatoire continue:
• On rappelle que la loi d’une v.a.r. X sur un
espace probabilisé (Ω,A,P) est une probabilité
sur (IR, BIR) définie par ∀ B ∈BIR
PX (B)=P(X-1(B)).
• Si X est une v.a. continue de fonction de
densité f alors sa loi de probabilité est donnée
par ∀ B ∈ BIR on a:
PX (B ) = ∫ f ( x) dx
B
Pr. Mohamed El Merouani
13
• La probabilité de tout intervalle ]a,b[ est égale
à
b
P(a < X < b ) = ∫ f ( x) dx
a
f (x)
P(a<X<b)
Cf
b
a
Pr. Mohamed El Merouani
x
14
7
24/10/2014
• Intuitivement, on peut écrire
f (x)dx=P(x<X<x+dx)
où dx est considéré comme « infiniment petit ».
f (x)
x
Cf
x
dx
Pr. Mohamed El Merouani
15
Fonction de répartition d’une v.a.r.:
• Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé et X une
v.a.r.. On appelle fonction de répartition de la
v.a.r. X, l’application F: IR—>[0,1] définie par:
pour tout xЄIR:
F(x)=P(X≤x)
=PX(]-∞,x])
=P(X-1]-∞,x]).
• Si X est discrète:
F ( x) = ∑ P( X = xi ) = ∑ pi
xi ≤ x
xi ≤ x
• Si X est continue de fonction de densité f:
x
F ( x ) = ∫ f ( t ) dt
_∞
16
8
24/10/2014
Proposition:
La fonction de répartition F d’une v.a.r. X
satisfait les propriétés suivantes:
1) 0≤F(x)≤1;
2) F est une fonction croissante,
3) F est continue à droite en tout point x de IR.
F ( x) = 0 et lim F ( x) = 1 .
4) xlim
→ −∞
x → +∞
Pr. Mohamed El Merouani
17
Démonstration:
1) Cette propriété est évidente.
2) Prenons deux nombres réels x et x’ tels que
x≤x’. Alors
]-∞,x]C ]-∞,x’].
D’où
PX (]-∞,x]) ≤ PX (]-∞,x’])
et par conséquent
F(x) ≤ F(x’).
Pr. Mohamed El Merouani
18
9
24/10/2014
Démonstration (suite):
3) Soit (xn)n une suite décroissante de nombres
réels telle que lim xn = x0
n → +∞
lim F ( xn ) = lim P( X ≤ xn ) = lim P( An )
n →∞
n →∞
n →∞
avec An = ( X ≤ xn ) mais ( X ≤ xn ) ⊃ ( X ≤ xn +1 )
car la suite (xn)n est décroissante.
∞
∞
Donc (An)n décroissante et I An = I ( X ≤ xn ) = ( X ≤ x0 )
n =1
D’où
n =1
lim P( X ≤ xn ) = P( X ≤ x0 ) = F ( x0 )
n → +∞
Pr. Mohamed El Merouani
19
Démonstration (suite):
4) La suite des événements (X≤-n); n=1,2,3,… est
∞
décroissante et I
( X ≤ −n ) = ∅
n =1
Donc lim F (−n) = lim P( X ≤ − n ) = P (∅ ) = 0
n →∞
D’où
n →∞
lim F ( x) = 0
x → −∞
Pr. Mohamed El Merouani
20
10
24/10/2014
Démonstration (suite):
La seconde relation s’obtient en considérant la
suite croissante (X≤n), n=1,2,3,… et U A = IR .
Donc
lim F (n) = lim P( X ≤ n ) = P(IR ) = 1
n → +∞
n → +∞
D’où
lim F ( x ) = 1
∞
n
n =1
x → +∞
Pr. Mohamed El Merouani
21
Remarques:
1. La fonction de répartition permet de calculer
les probabilités concernant les intervalles.
On a:
P(a<X≤b)=F(b)-F(a)
En effet:
P(a < X ≤ b) = P(a < X et X ≤ b) = P((a < X ) I ( X ≤ b))
= P(a < X ) + P( X ≤ b) − P((a < X ) U ( X ≤ b))
=1− P( X ≤ a) + P( X ≤ b) − P(IR)
= P( X ≤ b) − P( X ≤ a) = F(b) − F(a)
Pr. Mohamed El Merouani
22
11
24/10/2014
Remarques:
2. On peut démontrer que toute fonction F(x)
vérifiant les propriétés précédentes
représente la fonction de répartition d’une
certaine v.a.
Pr. Mohamed El Merouani
23
Exemple précédent:
L’expérience « lancement d’un dé »
On a X la v.a. définie sur (Ω,A,P) par X(ω) reste
de ω modulo 3, ∀ω ∈ Ω . On a trouvé:
xi
pi
donc
0
1/3
1
1/3
2
1/3
 0
1 3

F ( x) = 
2 3
 1
si x < 0
si 0 ≤ x < 1
si 1 ≤ x < 2
si x ≥ 2
24
12
24/10/2014
Remarque:
• Si X prend une suite (finie ou infinie) de
valeurs x1<x2<x3<…, la fonction de répartition
F de X est une fonction en escalier croissante,
discontinue en x1,x2,x3,…, . Le saut en xi vaut
P(X=xi).
• La fonction F est continue en tout point x tel
que x Є X(Ω).
• F est constante sur tout intervalle [xk,xk+1[;
k=1,2,3…; xkЄ X(Ω).
Pr. Mohamed El Merouani
25
Exemple:
• Pour l’expérience de lancement d’une pièce de
monnaie, on a la loi de probabilité de X est résumée
par le tableau suivant:
xi
0
1
Σpi
pi
1/2
1/2
1
• Sa fonction de répartition sera:
 0 si x < 0

F(x) = 1 / 2 si 0 ≤ x < 1
 1 si x ≥ 1

26
13
24/10/2014
Représentation graphique de F(x):
F(x)
1
1/
2
1
0
x
Pr. Mohamed El Merouani
27
Exemple 3:
Soit Ω={(i,j)/ i,j Є {1,2,3,4,5,6}} et soit A =P (Ω).
1
Soit P((i, j ) ) =
, ∀(i, j ) ∈ Ω
36
On définit la v.a.
X(i, j) = i+j ; 1 ≤ i,j ≤ 6
La loi de probabilité de X est donnée par:
xk
pk
2
1
36
3
4
2
36
3
36
5
4
36
6
5
36
7
8
6
36
Pr. Mohamed El Merouani
9
5
36
10
4
36
3
36
11
12
2
36
1
36
28
14
24/10/2014
Donc, sa fonction de répartition est:

 1

 3

F (x) =  6


 35


0
si x < 2
36
si 2 ≤ x < 3
36
si 3 ≤ x < 4
36
si 4 ≤ x < 5
M
36
si 11 ≤ x < 12
1 si x ≥ 12
Pr. Mohamed El Merouani
29
Remarques (Fonction de répartition d’une
v.a. continue):
• On définit la fonction de répartition F d’une v. a.
continue X de la même manière que pour une v.a.
discrète, c’est-à-dire F(x)=P(X≤x).
x
• La fonction continue F( x ) = ∫−∞ f ( t )dt est
croissante de 0 à 1 lorsque x varie de -∞ à +∞.
• Par conséquent, une v.a. continue est une v.a. dont
la fonction de répartition est continue.
• Si la fonction de densité f d’une v.a. continue X est
continue au point x alors f est la dérivée de da
fonction de répartition F, c’est-à-dire F’(x)=f(x).
Pr. Mohamed El Merouani
30
15
24/10/2014
Représentation graphique de F(x) continue:
F(x)
1
0
x
Pr. Mohamed El Merouani
31
Conséquences:
Pour X v.a. continue on a:
• P(X=c)=0 avec c une constante réelle.
• P(a≤X≤b)= P(a<X≤b)= P(a≤X<b)= P(a<X<b)= F(b)-F(a)
b
= ∫ f (t )dt
a
a
• P(X≤a)=P(X<a) = ∫ f (t ) dt
−∞
+∞
• P(X≥b)=P(X>b) = ∫b f (t) dt
Pr. Mohamed El Merouani
32
16
24/10/2014
Exemple:
Soit f la fonction de densité, d’une v.a.
continue X, définie par:
 x si 0 < x ≤ 1

f ( x) = 2 − x si 1 < x ≤ 2
 0 ailleurs

1. Trouver F(x).
2. Calculer P(0,3<X≤1,5)
Pr. Mohamed El Merouani
33
Exemple (suite):
1. Si x ≤ 0;
Si 0 < x≤ 1;
F(x)=0
F ( x) = ∫
x
0
x2
f (t )dt =
2
1
Si 1 < x≤ 2; F ( x) = ∫ t dt + ∫
0
x
1
x2
(2 − t )dt = 2 x − − 1
2
Si x≥2;
F(x)=1
2. P(0,3<X≤1,5)=F(1,5)-F(0,3)=0,83
Pr. Mohamed El Merouani
34
17
24/10/2014
Loi d’une fonction d’une v.a. discrète:
Soit une v.a. discrète X telle que
X(Ω)={x1,x2,…} et g une fonction de X(Ω) dans
un ensemble E={y1,y2,…}.
Alors Y=g(X) est une v.a. discrète telle que:
∀j , (Y = y j ) = U ( X = xi ) où I = {i / g ( xi ) = y j }
i∈I
D’où
P (Y = y j ) = ∑ P( X = xi )
i∈I
Pr. Mohamed El Merouani
35
Exemple:
Soit la v.a. discrète X de loi de probabilité:
xi
pi
-2
-1
0
1
2
0,1
0,1
0,3
0,2
0,3
On cherche la loi de la v.a.:
a) Y= X 2 + 1
b) Z=|X|
Pr. Mohamed El Merouani
36
18
24/10/2014
Exemple (suite):
a) Y prend les valeurs 1,2,5 avec les probabilités:
P(Y=1)=P(X=0)=0,3
P(Y=2)=P(X=-1)+P(X=1)=0,1+0,2=0,3
P(Y=5)=P(X=-2)+P(X=2)=0,1+0,3=0,4
D’où
yj
P(Y=yj)
1
0,3
2
0,3
5
0,4
Pr. Mohamed El Merouani
37
Exemple (suite):
b) De la même façon on trouve:
zj
P(Z=zj)
0
0,3
1
0,3
Pr. Mohamed El Merouani
2
0,4
38
19
24/10/2014
Loi d’une fonction d’une v.a.
continue:
Soit une v.a. continue X de densité de
probabilité f et soit Y=g(X) dérivable pour
tout x et telle que
g’(x)>0, ∀ x ou
g’(x)<0, ∀ x.
Alors Y=g(X) est une v.a. continue dont la
densité de probabilité est donnée par:
h(y)=f [g-1(y)]|(g-1(y))’|
Pr. Mohamed El Merouani
39
Loi d’une fonction d’une v.a.
continue:
• Si g’(x)>0, pour tout x, on a: Y=g(X)<=>X=g-1(Y)
et
P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X≤g-1(y))
d’où
H(y)=F(g-1(y)) (ou H est la fonction de
répartition de Y). En dérivant, on obtient:
h(y)=f (g-1(y))(g-1(y))’
• Si g’(x)<0, pour tout x, on a: Y=g(X)<=>X=g-1(Y)
et P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=P(X≥g-1(y))=1- P(X<g-1(y))
d’où
H(y)=1-F(g-1(y))
En dérivant, on obtient: h(y)=−f (g-1(y))(g-1(y))’
(car g’<0)
Pr. Mohamed El Merouani
40
20
24/10/2014
Exemple:
Soit X v.a. de densité de probabilité:
1 si 0 < x < 1
f ( x) = 
 0 autrement
Cherchons les densités de:
a) Y=eX
b) Z=-2LogX
Pr. Mohamed El Merouani
41
Exemple (suite):
a) Y=eX X=LogY avec y>0 pour tout x
1
et nous avons h( y ) = .1, 0 < Log y < 1
y
C’est-à-dire que
1 y , 1 < y < e
h( y ) = 
 0 , autrement
Pr. Mohamed El Merouani
42
21
24/10/2014
Exemple (suite):
b)
1
h( y ) = − e − y 2 .1 , 0 < e − y 2 < 1
2
1 −y 2
 e , 0< y<∞
= 2
 0 , autrement
Pr. Mohamed El Merouani
43
Remarque:
La formule précédente est valable sous la
condition que «la fonction g est dérivable et g’(x)
garde un signe constant pour tout x».
Contre-exemple
Soit Y=X2. On a
(
H(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)=
) ( y )− F (− y )
=P− y≤X ≤ y =F
En dérivant, on obtient:
1
h (y) =
f
2 y
( y )+ 2 1 y f (− y )
44
22
24/10/2014
Couple de variables aléatoires
Définition:
Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé.
• Une application (X,Y) de Ω dans IR2, qui à tout
ω de Ω fait correspondre un couple (X(ω),Y(ω))
de IR2, s’appelle couple de variables aléatoires
(où X et Y sont deux variables aléatoires).
• (X,Y) s’appelle aussi variable aléatoire à deux
dimensions.
Pr. Mohamed El Merouani
45
Loi de probabilités conjointes de deux
v. a. discrètes:
• Un couple de v. a. (X, Y) peut prendre les valeurs
successives suivantes:
(x1,y1) ; (x1,y2) ; …; (xi,yj) ; …; (xn,ym)
A chaque couple (xi,yj) correspond une probabilité pij
d’observer simultanément la valeur xi pour X et la
valeur yj pour Y:
pij=P(X=xi et Y=yj)=P(X=xi, Y=yj)
• On a
n
m
0 ≤ pij ≤ 1
et
∑∑ p =1
i =1 j =1
ij
∀ i = 1, 2 , K , n ; ∀ j = 1, 2 , K , m
46
23
24/10/2014
Fonction de répartition d’un couple
de v.a. discrètes:
• On appelle fonction de répartition d’une v.a. à
deux dimensions (X,Y) la fonction définie par:
F( x, y) = P( X ≤ x,Y ≤ y) = ∑∑P(X = xi ,Y = y j )
xi ≤x y j ≤ y
Pr. Mohamed El Merouani
47
Lois de probabilités marginales:
• La probabilité P(X=xi)=pi. est appelée loi
marginale de X. On a:
P ( X = x i ) = p i⋅ =
∑
p ij
j
i = 1, 2 , K , n
• La probabilité P(Y=yj)=p.j est appelée loi
marginale de Y. On a:
P Y = y j = p ⋅ j = ∑ p ij
(
)
j = 1, 2 , K , m
Pr. Mohamed El Merouani
i
48
24
24/10/2014
Y
y1
….
yj
…
ym
Total
X
x1
p11
…
p1j
…
p1m
p1.
xi
pi1
…
pij
…
pim
pi.
xn
pn1
…
pnj
…
pnm
pn.
Total
p.1
p.m
1
p.j
49
Lois de probabilités conditionnelles:
• La loi conditionnelle de X si Y=yj est définie
par:
P(X = xi , Y = y j )
P (X / Y = y j ) =
P (Y = y j )
• De même, la loi conditionnelle de Y si X=xi est
définie par:
P(Y / X = xi ) =
P(X = xi , Y = y j )
P( X = xi )
Pr. Mohamed El Merouani
50
25
24/10/2014
Indépendance de deux variables
aléatoires discrètes :
• Deux v. a. discrètes X et Y sont dites
indépendantes si
P(X=xi , Y=yj)=P(X=xi).P(Y=yj)
pour tout xi et yj.
• Dans ce cas:P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x).P(Y≤y); pour
tout x et y
ou
F(x,y)=FX(x).FY(y)
• Aussi:
P (X / Y = y j ) = P( X = xi )
et
P(Y / X = xi ) = P(Y = y j )
Pr. Mohamed El Merouani
51
Loi de probabilités conjointes de deux v.
a. continues:
Une v.a. à deux dimensions Z= (X,Y) est dite
continue s’il existe une application f(x,y) appelée
densité de probabilité conjointe du couple de
v.a.(X ,Y), vérifiant:
a)
b)
f(x,y) ≥ 0 ; ∀( x, y ) ∈ IR 2
+∞
+∞
-∞
-∞
∫ ∫
f(x,y)dxdy = 1
Pr. Mohamed El Merouani
52
26
24/10/2014
Fonction de répartition d’un couple
de v.a. continues:
• La fonction de répartition du couple (X,Y) est
définie par:
F ( x, y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) =
x y
∫ ∫ f (u, v )dudv
− ∞− ∞
et l’on a
∂ 2 F ( x, y )
f ( x, y ) =
∂x∂y
Pr. Mohamed El Merouani
53
Lois marginales (Fonctions de
répartitions marginales):
• Les fonctions:
FX ( x ) = P( X ≤ x ) =
x
∫∫
−∞
et FY ( y ) = P(Y ≤ y ) =
y
∫∫
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
f (u , v)dvdu
f (u, v )dudv
sont dites
fonctions de répartition marginales des v.a. X
et Y respectivement.
Pr. Mohamed El Merouani
54
27
24/10/2014
Lois marginales (Fonctions de
densités marginales):
• Les fonctions:
et
f X ( x) =
fY ( y ) =
+∞
∫ f (x, v )dv
−∞
+∞
∫ f (u, y )du
−∞
sont les densités de probabilités marginales de
X et Y respectivement.
Pr. Mohamed El Merouani
55
Lois conditionnelles:
• La densité conditionnelle de X si Y=y est
définie par:
f X (x Y = y ) =
f ( x, y )
, si fY ( y ) ≠ 0
fY ( y )
• La densité conditionnelle de Y si X=x est
définie par:
fY ( y X = x ) =
f ( x, y )
, si f X ( x) ≠ 0
f X (x )
Pr. Mohamed El Merouani
56
28
24/10/2014
Indépendance de deux variables
aléatoires continues :
Deux v. a. continues X et Y sont dites indépendantes
si: P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x).P(Y≤y); pour tout x et y
ou
F(x,y)=FX(x).FY(y)
ou encore, en dérivant 2 fois par rapport à x et à y:
f (x,y)=fX(x).fY(y)
Dans ce cas
f X (x Y = y ) = f X (x)
et
fY ( y X = x ) = fY ( y )
Pr. Mohamed El Merouani
57
Exemple:
Un couple de variables aléatoires continues
Z=(X,Y) de densité de probabilité conjointe:
kxye − (x
f ( x, y ) = 
 0
2
+ y2
) si x > 0 et y > 0
autrement
1. Trouver le coefficient k.
2. Trouver les lois marginales de X et Y.
3. Calculer les densités conditionnelles de X
sachant Y=y et de Y sachant X=x.
Pr. Mohamed El Merouani
58
29
24/10/2014
Corrigés:
1. La fonction f (x,y) est une densité de probabilité
+∞ +∞
si f (x,y)≥0 et ∫
∫ f ( x, y)dxdy = 1. D’une part k≥0 et
− ∞− ∞
+∞+∞
d’autre part k ∫ ∫ xye − x e − y dxdy = 1 . On a donc
2
2
0 0
+∞
+∞
k ∫ xe − x dx ∫ ye − y dy =
2
0
0
2
k
et par suite k=4.
4
Pr. Mohamed El Merouani
59
2. Les densités marginales sont: fX(x)=0 si x≤0 et
f X ( x) =
+∞
∫
−∞
+∞
f ( x, y )dy = 4 ∫ xye− (x
On a donc
2
+ y2
)dy = 2 xe − x si x>0.
2
0
 2 xe − x
f X ( x) = 
0
De même on trouve
2
 2 ye − y
fY ( y ) = 
0
2
si x > 0
si x < 0
si y > 0
si y < 0
60
30
24/10/2014
3. La densité conditionnelle de X sachant Y=y
2
est:
f (x, y ) 2 xe − x si x > 0
f X (x Y = y ) =
=
fY ( y )  0 si x ≤ 0
La densité conditionnelle de Y sachant X=x est:
2
f ( x, y ) 2 ye − y si y > 0
fY ( y X = x ) =
=
f X ( x)  0 si y ≤ 0
On remarque que les deux v.a. X et Y sont
indépendants puisque f X ( x Y = y ) = f X (x) et
fY ( y X = x ) = fY ( y ). On a, aussi
f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y )
61
Espérance mathématique:
v.a. discrète:
• L’espérance mathématique d’une v. a. discrète X,
notée E(X) est:
E ( X ) = ∑ xi P ( X = xi ) = ∑ xi pi
i
i
v.a. continue:
• L’espérance mathématique d’une v. a. continue X, de
fonction de densité f est donnée par:
+∞
E ( X ) = ∫ x f ( x ) dx
−∞
Pr. Mohamed El Merouani
62
31
24/10/2014
Remarque:
Dans le cas discret:
Lorsque X(Ω) est fini, ∑xi pi est finie.
i
Si X(Ω) est infini, on a la somme d’une série
qui peut ne pas exister.
Dans le cas continue:
+∞
L’intégrale ∫−∞ x f ( x) dx peut être divergente.
Dans ces cas l’espérance mathématique
n’existe pas.
Pr. Mohamed El Merouani
63
Exemple 1:
• Soit une v.a. X de loi donnée par:

3i  2
pi = P X =  = i ; i = 1,2,3...
i  3

• Alors
∞
3i 2 ∞ 2
xi pi = ∑ ⋅ i = ∑ →∞
∑
i=1
i=1 i 3
i=1 i
• Donc, l’espérance mathématique n’existe pas.
Pr. Mohamed El Merouani
64
32
24/10/2014
Exemple 2:
Soit une v.a. X continue de densité de
1
probabilité:
f ( x) =
π (1 + x 2 )
, x ∈ IR
Posons t=1+x2, on obtient
x
1 ∞ dt 1
∞
dx
=
=
[
Log
t
]
1 →∞
∫0 1 + x 2 2 ∫1 t 2
+∞
x
Donc ∫−∞ π (1 + x 2 )dx est divergente.
∞
D’où E(X) n’existe pas
Pr. Mohamed El Merouani
65
Propriétés de l’espérance:
Soient X et Y deux v. a., et α et β deux réels
quelconques, alors:
1°) E(α ) = α
2°) E ( X + α ) = E ( X ) + α
3°) E (αX ) = αE ( X )
4°) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y )
5°) E ( X − Y ) = E ( X ) − E (Y )
6°) E ( X − E ( X )) = 0
Pr. Mohamed El Merouani
66
33
24/10/2014
Démonstration:
1°) E(α) = α ?
La moyenne d’une constante est elle-même!
E(α)=α.P(X=α)=α.1=α
2°) E ( X + α ) = E ( X ) + α ?
Cas discret: E ( X + α ) = ∑ (xi + α ) ⋅ P ( X = xi )
E ( X + α ) = ∑ xi ⋅ P( X = xi ) + α ∑ P( X = xi )
i
E(X + α ) = E(X ) + α
i
i
Cas continu:
E(X + α ) = ∫
+∞
+∞
+∞
(x + α ) f ( x)dx = ∫−∞ xf ( x)dx + α ∫−∞ f ( x)dx = E ( X ) + α
−∞
67
Démonstration:
3°) E (αX ) = αE ( X ) ?
Cas discret:
E (αX ) = ∑ αxi P( X = xi ) = α ∑ xi P ( X = xi ) = αE ( X )
i
i
Cas continu:
+∞
+∞
−∞
−∞
E (αX ) = ∫ α xf ( x ) dx = α ∫ xf ( x ) dx = α E ( X )
Pr. Mohamed El Merouani
68
34
24/10/2014
Démonstration:
4°) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y ) ?
Cas discret:
E ( X + Y ) = ∑∑ (xi + y j )P (X = xi , Y = y j )
i
j




E( X +Y ) = ∑xi ∑P(X = xi ,Y = y j ) + ∑y j ∑P(X = xi ,Y = y j )
i

 j
 j i
Mais,
∑ P(X = x , Y = y ) = P( X = x )
et
∑ P(X = x , Y = y ) = P(Y = y )
i
j
i
j
i
j
j
i
Pr. Mohamed El Merouani
69


∑ P(X = x , Y = y ) = P U (( X = x ) I (Y = y ))
i
j
j

i
j
j




= P ( X = xi ) I  U (Y = y j )

 j

= P[( X = xi ) I Ω]
= P( X = xi )
Pr. Mohamed El Merouani
70
35
24/10/2014
Démonstration:
• On obtient, donc,
E ( X + Y ) = ∑ xi P( X = xi ) + ∑ y j P (Y = y j )
i
j
= E ( X ) + E (Y )
Pr. Mohamed El Merouani
71
Démonstration:
4°) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y ) ?
Cas continu:
E(X + Y ) =
+∞
+∞ +∞

+∞

∫ ∫−∞ (x + y ) f ( x, y)dxdy = ∫  ∫ (x + y ) f ( x, y)dy dx
− ∞ − ∞
+∞
 +∞

= ∫  x ∫ f ( x, y )dy + ∫ yf ( x, y )dy dx
− ∞ − ∞
−∞

+∞
+∞
+∞


= ∫ xf X ( x) dx + ∫ y  ∫ f ( x, y )dx  dy
−∞
−∞  − ∞

−∞
+∞
= E(X ) +
+∞
∫ yf
Y

( y )dy = E ( X ) + E (Y )
−∞
Pr. Mohamed El Merouani
72
36
24/10/2014
Démonstration:
5°) E ( X − Y ) = E ( X ) − E (Y ) ?
E(X-Y)=E(X+(-Y))=E(X)+E(-Y)=E(X)-E(Y)
6°) E ( X − E ( X )) = 0
E(X-E(X))=E(X)-E(E(X))=E(X)-E(X)=0
Pr. Mohamed El Merouani
73
Propriété (Théorème de transfert):
• X v.a. discrète:
Si Y=φ(X), alors E (Y ) = ∑ ϕ ( xi ) P( X = xi )
i
• X v.a. continue:
+∞
Si Y=φ(X), alors E (Y ) = ∫ ϕ (x ) f (x )dx
−∞
Pr. Mohamed El Merouani
74
37
24/10/2014
Démonstration:
• X v.a. discrète:
E (Y ) = E (ϕ ( X ) ) = ∑ y j P(ϕ ( X ) = y j )
j
Où φ(X)(Ω)={y1,y2,…,yj,…}.
Pour j fixé, soit φ-1(yj). On a φ-1(yj) ⊂X(Ω).
On note φ-1(yj) ={xi/iЄIj}, ensemble des xi ayant
même image yj;
D’où
E (ϕ ( X ) ) = ∑ y j ∑ P ( X = xi )
j
i∈I j
= ∑∑ y j P ( X = xi )
j i∈I j
75
Démonstration:
• Donc
E (ϕ ( X ) ) = ∑∑ ϕ ( xi ) P ( X = xi )
j i∈I j
• Mais, dans un cas général, certaines des
valeurs φ(x1), φ(x2),…, φ(xi),…coïncident.
• En regroupant les xi ayant même image yj,
c’est-à-dire les valeurs qui coïncident et en
additionnant leur probabilité, on a:
E (Y ) = ∑ ϕ (xi ) P ( X = xi )
i
Pr. Mohamed El Merouani
76
38
24/10/2014
Exemple:
• Soit X v.a. discrète de loi de probabilités:
-3
0
3
xi
1/4
1/2
1/4
pi
• En posant Y=X 2, d’après la propriété
précédente, on a:
E (Y ) = ∑ ϕ ( xi ) pi = (−3) 2
i
1
1
1 9
+ 0 2 + (3) 2 =
4
2
4 2
Pr. Mohamed El Merouani
77
Exemple (suite):
• Mais, on peut aussi écrire la loi de Y:
yj
pj
0
1/2
9
1/2
• Dans cet exemple, on a φ-1(0)=0, φ-1({9})={-3,3}
1 1 1 9
E (Y ) = 0 + 9 +  =
2 4 4 2
Pr. Mohamed El Merouani
78
39
24/10/2014
Démonstration:
(Théorème de transfert)
• Dans le cas où X v.a. continue:
#La démonstration sera donnée comme exercice
à faire en T.D.#
Pr. Mohamed El Merouani
79
Exemple:
• Soit X une v.a. continue de densité de
probabilité:
 3
(
1− x2 ) ; 0 ≤ x ≤ 1
f ( x) =  2
 0 ;
autrement
• Trouver E(X2).
( )
E X
2
+∞
1
(
)
3
1
= ∫ x f ( x)dx = ∫ x 2 1 − x 2 dx =
20
5
−∞
2
Pr. Mohamed El Merouani
80
40
24/10/2014
Théorème de transfert dans le cas
d’un couple de v.a.:
• Soit (X,Y) une variable aléatoire à deux
dimensions et soit φ(X, Y) une fonction de (X,Y) à
valeurs réelles. Alors:
• Cas où (X,Y) est discrète:
E (ϕ ( X , Y ) ) = ∑∑ ϕ (xi , y j ) P (X = xi , Y = y j )
i
j
• Cas où (X,Y) est continue:
E (ϕ ( X , Y ) ) =
+∞+∞
∫ ∫ ϕ (x, y ) f (x, y )dxdy
− ∞− ∞
où f (x,y) est la fonction de densité conjointe de X
et Y
Pr. Mohamed El Merouani
81
Propriété:
• Si deux v.a. X et Y sont indépendantes, alors
on a:
E(XY)=E(X).E(Y)
En effet, si X et Y sont discrètes, alors:
E ( XY ) = ∑∑ xi y j P (X = xi , Y = y j )
= ∑∑ xi y j P( X = xi ) ⋅ P (Y = y j )
i
i
j
j
Car X et Y sont indépendantes.
Pr. Mohamed El Merouani
82
41
24/10/2014
Propriété (suite):
• On en tire


E ( XY ) = ∑  xi P( X = xi )∑ y j P (Y = y j )
i 
j

= ∑ xi P( X = xi )E (Y )
i
= E ( X )E (Y )
Pr. Mohamed El Merouani
83
• Si X et Y sont continues:
E ( XY ) =
+∞ +∞
∫ ∫ xyf ( x, y)dxdy
− ∞− ∞
=
+ ∞+ ∞
∫ ∫ xyf
X
( x) fY ( y )dxdy
− ∞− ∞
+∞
+∞


= ∫  xf X ( x) ∫ yfY ( y )dy dx
− ∞
−∞

=
+∞
∫ (xf
X
( x) E (Y ) )dx
−∞
= E ( X ) E (Y )
84
42
24/10/2014
Remarque:
• La réciproque est fausse: E(XY)=E(X)E(Y)
n’implique pas l’indépendance de X et Y.
Pr. Mohamed El Merouani
85
Exemple:
• On considère le couple de v.a. (X,Y) de loi:
X
Y
-1
0
1
P(X=xi)
-3
0
3
P(Y=yj)
0
1/4
0
1/4
1/4
0
1/4
1/2
0
1/4
0
1/4
1/4
1/2
1/4
1
Pr. Mohamed El Merouani
86
43
24/10/2014
Exemple (suite):
1
1
1
On a E ( X ) = −3 + 0 + 3 = 0 ; E (Y ) = −1 + 0 + 1 = 0
4
2
1
4
4
1
2
1
4
et E ( XY ) = (− 1)(− 3)0 + (− 1)0 + (− 1)3 × 0 + 0(− 3) + 0 × 0 × 0 +
1
4
1
4
1
1
+ 0 × 3 + 1(− 3) × 0 + 1× 0 + 1× 3 × 0 = 0
4
4
Mais, l’égalité
E ( XY ) = E ( X )E (Y )
n’entraine pas l’indépendance de X et Y. Il suffit de
vérifier, par exemple, que:
1
1 1 1
P ( X = 0, Y = 1) = ≠ P( X = 0 ) ⋅ P(Y = 1) = ⋅ =
4
2 4 8
Pr. Mohamed El Merouani
87
Variance:
• On définit une mesure de dispersion de X
autour de son espérance mathématique, dite
variance de X.
• La variance d’une v.a. X, notée Var(X) est
définie par:
[
Var ( X ) = E ( X − E ( X ) )
• Ou encore:
2
]
Var( X ) = E( X 2 ) − (E( X ))2
#La vérification de cette dernière est facile#
Pr. Mohamed El Merouani
88
44
24/10/2014
Écart-type:
• L’écart-type d’une variable aléatoire X, noté σ(X) ou
tout simplement σ, est défini comme la racine carrée
de sa variance,
σ ( X ) = Var ( X )
et évidemment ,
σ 2 = Var ( X )
Pr. Mohamed El Merouani
89
Exemple:
• On lance un dé. On a:
1
P ( X = xi = i ) = , i = 1, 2,L , 6
6
et E ( X ) = 3,5
La variance Var(X) de X sera égale à
Var( X ) = E( X 2 ) − ( E( X ))2 =
1
1
1
1
1
1
2
= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 − (3,5) = 2,92
6
6
6
6
6
6
et
σ ( X ) = Var ( X ) = 2,92 = 1,71
Pr. Mohamed El Merouani
90
45
24/10/2014
Propriétés:
∀a, b ∈ IR, on a :
#La démonstration
de ces propriétés
sera donnée
comme exercice à
faire en T.D.#
1) Var (aX + b ) = a 2Var ( X )
(
2) E ( X − c )
2
) est
minimum quand c = E ( X )
3) Si X et Y sont indépendantes, alors
Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var (Y )
4) Si X et Y sont indépendantes, alors
Var ( X − Y ) = Var ( X ) + Var (Y )
Pr. Mohamed El Merouani
91
Variable centrée réduite:
• Si X est une v.a. non nulle, on appelle variable
centrée réduite associée à X la v.a. Z définie
par:
Z=
X − E(X )
σ (X )
• On a E(Z)=0 et Var(Z)=1.
Pr. Mohamed El Merouani
92
46
24/10/2014
Variable centrée réduite:
• En effet,
 X − E( X )  E( X − E ( X )) E( X ) − E( X )
 =
E (Z ) = E
=
=0
(
)
σ
σ
σ
X
(
X
)
(
X
)


 X − E( X ) 
 =
Var (Z ) = Var 
σ
(
X
)


 X
E( X ) 
1
 = 2
= Var 
−
Var ( X ) = 1
σ
X
σ
X
σ
X
(
)
(
)
(
)


Pr. Mohamed El Merouani
93
Moments (Cas discrèt):
• Moment d’ordre k d’une v.a. discrète X, noté
mk est:
( )
mk = E X k = ∑ xik P( X = xi )
i
• Moment centré d’ordre k d’une v.a. discrète X,
noté µk est:
(
)
µ k = E ( X − E ( X ) )k = ∑ (xi − E ( X ) )k P( X = xi )
i
Pr. Mohamed El Merouani
94
47
24/10/2014
Moments (Cas continu):
• Moment d’ordre k d’une v.a. continue X, noté
mk est:
+∞
( )= ∫ x
mk = E X
k
k
f ( x)dx
−∞
• Moment centré d’ordre k d’une v.a. X, noté µk
est:
(
) ∫ (x − E ( X ))
µk = E ( X − E ( X )) =
k
+∞
k
f ( x)dx
−∞
Pr. Mohamed El Merouani
95
Remarques:
• La variance correspond au moment centré
d’ordre 2:
Var(X)=µ2
• Comme pour l’espérance mathématique, si la
série ou l’intégrale correspondante diverge,
les moments peuvent parfois ne pas exister.
Pr. Mohamed El Merouani
96
48
24/10/2014
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev:
• Soit X une v.a. telle que E(X) et Var(X)
existent. Pour tout réel ε>0, on a:
Var ( X )
P( X − E ( X ) ≥ ε ) ≤
2
ε
• En posant ε=tσ, on obtient une autre forme de
cette inégalité:
1
P ( X − E ( X ) ≥ tσ ) ≤ 2
t
ou encore:
1
P ( X − E ( X ) < tσ ) ≥ 1 − 2
t
Pr. Mohamed El Merouani
97
Covariance de deux variables aléatoires:
• La covariance entre deux v. a. X et Y, notée Cov(X,Y),
est définie par Cov(X,Y)=E[(X–E(X))(Y–E(Y))]
ou encore
Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
• Cas discrèt:
n
m
Cov(X , Y ) = ∑∑ xi y j P( X = xi , Y = y j ) − E( X ) E(Y )
i =1 j=1
• Cas continue:
Cov( X,Y) = ∫
+∞
-∞
∫
+∞
-∞
x y f(x,y) dx dy − E ( X ) E (Y )
Pr. Mohamed El Merouani
98
49
24/10/2014
Propriétes:
•
Soient X et Y deux v. a. La covariance est une forme
bilinéaire symétrique:
1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
2) Cov(X+Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z)
3) Cov(λX,Y)=λCov(X,Y)
#La démonstration de
cette propriété sera
donnée comme
exercice à faire en
T.D.#
Pr. Mohamed El Merouani
99
Propriétes:
•
•
Si les variables X et Y sont indépendantes, alors
E(XY)=E(X)E(Y)
et par suite Cov(X,Y)=0
La réciproque n’est cependant pas vraie.
Remarque:
Pour X=Y, on retrouve la variance de X comme
covariance de (X, X):
Cov(X, X)=E[(X-E(X))(X-E(X))]
=E[(X-E(X))2]=Var(X)
Pr. Mohamed El Merouani
100
50
24/10/2014
Exemple déjà vu:
• Soit le couple de v.a. (X,Y) de loi:
X
Y
-1
0
1
P(X=xi)
-3
0
3
P(Y=yj)
0
1/4
0
1/4
1/4
0
1/4
1/2
0
1/4
0
1/4
1/4
1/2
1/4
1
Pr. Mohamed El Merouani
101
Exemple (suite):
On a vu que E ( X ) = 0 ; et E (Y ) = 0
et
E ( XY ) = 0
D’où Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X )E (Y ) = 0
Mais, X et Y comme on l’a déjà vu ne sont pas
Indépendantes . Il suffit de vérifier, par exemple,
que:
1
1 1 1
P ( X = 0, Y = 1) = ≠ P( X = 0 ) ⋅ P(Y = 1) = ⋅ =
4
2 4 8
Pr. Mohamed El Merouani
102
51
24/10/2014
Propriétes:
• On a: Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)
#La démonstration sera donnée comme exercice à faire en T.D.#
• Si les variables X et Y sont indépendantes,
alors, on retrouve:
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) , résultat déjà vu.
Pr. Mohamed El Merouani
103
Coefficient de corrélation entre deux v. a. :
• Le coefficient de corrélation entre deux v. a. X et Y,
de variances non nulles, noté ρ ( X , Y )
est définie par:
ρ (X ,Y ) =
Cov ( X , Y )
Cov ( X , Y )
=
Var ( X ) Var (Y ) σ ( X ) σ (Y )
• Le coefficient de corrélation varie entre -1 et 1:
-1 ≤ ρ ( X , Y ) ≤ 1
#La démonstration sera donnée comme exercice à faire en T.D.#
Pr. Mohamed El Merouani
104
52
24/10/2014
Inégalité de Schwartz:
• On a:
( )( )
E ( XY ) ≤ E X 2 E Y 2
#La démonstration sera donnée comme
exercice à faire en T.D.#
Pr. Mohamed El Merouani
105
Fonction génératrice des moments:
• La fonction génératrice des moments est
définie pour toute v.a. X par:
∑ e tx P( X = x ) si X est discrète
 x
M (t ) = E e tX =  + ∞
tx
 ∫ e f ( x)dx si X est continue
 −∞
Si E(etX) existe dans un voisinage de l’origine.
( )
Pr. Mohamed El Merouani
106
53
24/10/2014
Théorème:
Si M(t) existe pour t Є ]-t0,t0[, t0>0, alors ses
dérivées de tout ordre existent pour t=0
et de plus
M(k)(0)=E(Xk), k = 0,1,2,…
C’est-à-dire que:
Tout les moments d’ordre k peuvent être
calculés à l’aide des dérivées de M(t) au point
t =0.
Pr. Mohamed El Merouani
107
( )
d
′
M
(
t
)
=
E etX
• En effet,
dt
Si X est discrète:
M ′(t ) =
d 

d tx
tx
(
)
e
P
X
=
x
=
e P( X = x )
∑
∑

dt  x
dt
 x
(
= ∑ xetx P( X = x ) = E XetX
)
x
Si X est continue:
+∞
 +∞ d tx
d  tx
M ′(t ) =  ∫ e f ( x)dx  = ∫ e f ( x)dx
dt  −∞
 −∞ dt
=
+∞
∫ xe
−∞
tx
(
f ( x) dx = E XetX
)
108
54
24/10/2014
• En posant t=0, on a M’(0)=E(X).
• De même,
(
) (
d
d
M ′(t ) = E XetX = E X 2 etX
dt
dt
2
et M ′′(0) = E X
M ′′(t ) =
)
( )
D’une façon générale, on a:
(
)
M ( k ) (t ) = E X k e tX , k ≥ 1
et
( )
M ( k ) ( 0) = E X k
Pr. Mohamed El Merouani
109
• Où encore, d’après le théorème précédent, Si
M(t) existe pour t Є ]-t0,t0[, t0>0, alors on peut
développer M(t) en série de Mc-Laurin:
t
t2
tk
M (t ) = M (0) + M ′(0) ⋅ + M ′′(0) ⋅ + L + M ( k ) (0) ⋅ + L
1!
2!
k!
k
t
• Ainsi E(Xk) est le coefficient de
k!
Pr. Mohamed El Merouani
110
55
24/10/2014
Remarque:
• La fonction génératrice des moments M(t)
peut ne pas exister.
• En effet, E(etX) n’est pas toujours définie.
Pr. Mohamed El Merouani
111
Exemple 1:
• Soit X une v.a. discrète définie par:
P( X = k ) =
• Donc, on a:
6 1
;
2
2
π k
k = 1, 2, ...
∞
etk
M (t ) = 2 ∑ 2 = ∞
π k =1 k
6
Pr. Mohamed El Merouani
112
56
24/10/2014
Exemple 2:
• Soit X une v.a. continue de fonction de densité
f ( x) =
• Donc M (t ) =
M ′(t ) =
1 −x 2
e , x>0
2
1
pour t<1/2
1 − 2t
2
8
′
′
M
(
t
)
=
et
pour t<1/2
2
3
(1 − 2t )
(1 − 2t )
On en déduit E(X)=2, E(X 2)=8 et Var(X)=4.
Pr. Mohamed El Merouani
113
Exemple 3:
• Soit X une v.a. continue de densité de
probabilité la fonction f(x)=ce–|x|α, 0<α<1,
xЄIR, où c est+∞une constante déterminée par
la condition ∫ f ( x)dx = 1
−∞
∞
∞
• Pour t>0, on a:
tx − xα
x (t − xα −1 )
et puisque α-1<0,
pour t>0; car
∫ee
∫ee
0
∞
0
tx − xα
0
e(
dx = ∫ e
x t − xα −1
dx
dx n’est pas finie
) ~ etx
x →∞
114
57
24/10/2014
• D’où M(t) n’existe pas!
• Pourtant,
( ) = c∫
E X
n
+∞
−∞
n
x e
−x
α
∞
α
dx = 2c ∫ x n e − x dx
0
• Par un changement de variable y=xα, on
obtient:
( )= α ∫ y
E X
n
2c
∞
n +1
α
−1
e − y dy =
0
2c  n + 1 
Γ
 < ∞*
α  α 
• On remarque, donc, que même si M(t) est
infini, les moments peuvent être finis.
*Γ est la fonction gamma d' Euler.
115
Fonction Gamma Γ d’Euler:
La fonction Γ est définie sur ]0,+∞[ par:
∞
Γ(α ) = ∫ e −t t α −1dt
0
Pr. Mohamed El Merouani
116
58
24/10/2014
Propriétés:
1) Γ(α)=(α-1)Γ(α-1).
En effet, ∞
Γ (α ) = ∫ e t
− t α −1
0
∞
dt = (α − 1)∫ e −t t α − 2 dt = (α − 1)Γ(α − 1)
0
2) Γ(1)=1.
∞
−t
(
)
Γ
1
=
En effet,
∫0 e dt = 1
3) Γ(n)=(n-1)!
En effet, Γ(n)=(n-1)Γ(n-1)=
=(n-1)(n-2)Γ (n-2)=…=(n-1)!Γ(1)=(n-1)!
Pr. Mohamed El Merouani
117
59