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Outils Mathématiques

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Marwane Farhane
13, Avril 2020
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Sommaire
1
Sommaire
2
Méthode de calcul des déterminants
Définition
Définition
Cas particulier - Matrices diagonales et triangulaire
Remarque
Méthode
3
Théorème du Rang
Théorème
Théorème - DES dans le cas complexes
Exemple de décomposition - Pôles de degré 1
Exemple de décomposition - Pôles de degré 1
Régle générale
4
Définition de Probabilité
Définition
Théorème
Remarque
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Sommaire
Théorème - Cas de l’équiprobabilité des cas possibles
5
Probabilités Conditionnelles
Définition
Théorème
Théorème - Formule des probabilités totales
Cas particulier
Formule de BAYES - Inversion d’une probabilité conditionnelle
6
Indépendence
Définition
Théorème
Remarque
7
Loi conjointe, loi marginale
Définition
Définition
8
Références
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Méthode de calcul des déterminants
Méthode de calcul des déterminants
Définition
La valeur de calcul d’un déterminant |A| d’ordre n est donnée par suivant
une ligne i ou une colonne j resp.
|A| = ai1 ∆i1 + ai2 ∆i2 + ... + ain ∆in =
n
X
aij ∆ij .
j=1
|A| = a1j ∆1j + a2j ∆2j + ... + anj ∆nj =
n
X
aij ∆ij .
i=1
pour n = 3, soit la matrice d’ordre 3


a11 a12 a13
A3 = a21 a22 a23 
a31 a32 a33
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Méthode de calcul des déterminants
Définition
Un développement suivant la 2e colonne par exemple conduit à
|A3 | = −a12
a
a
a
a
a21 a23
+ a22 11 13 − a32 11 13
a21 a23
a31 a33
a31 a33
= −a12 (a21 a33 − a31 a23 ) + a22 (a11 a33 − a31 a13 ) − a32 (a11 a13 − a21 a23 ).
Cas particulier - Matrices diagonales et triangulaire
Comme pour les déterminants d’ordre 2, la valeur du déterminant est égale
au produit des termes de la diagonale principale
a 0 0
|D3 | = 0 b 0 = abc.
0 0 c
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a d e
|Tsup3 | = |(Tinf3 )T | = 0 b f = abc.
0 0 c
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Méthode de calcul des déterminants
Remarque
On choisira la ligne ou la colonne comprenant plus de zéros pour
effectuer le simple calcul du déterminant.
Méthode
Si le déterminant est à l’ordre 2, revient à faire une différence de produits
en croix. La régle de Sarrus est utilisé pour le calcul d’un déterminant
d’ordre 3 (det(A3 )).
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Théorème du Rang
+
a11
+
a12
+
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
−
a32
−
a33
−
a31
a32
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Régle de Sarrus
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Théorème du Rang
Théorème du Rang
Théorème
Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K et soit f ∈ L(E , F )
une application linéaire. Alors:
rg (f ) + dim(Ker f ) = dim(E ).
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Théorème du Rang
Fractions rationnelles: Décomposition en éléments simples
(DES)
Théorème - DES dans le cas complexes
Soit F =
P
Q
∈ C(X ) irreductible. Si la factorisation de
Q = (X − Z1 )n1 (X − Z2 )n2 ...(X − Zn )np
alors F admet une décomposition unique en éléments simples suivantes
p
nj
XX
aij
P
=T+
Q
(X − Zi )j
i=1 j=1
où les aij ∈ C et T est un polynôme.
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Théorème du Rang
Exemple de décomposition - Pôles de degré 1
Prenons la fraction rationnelle
F =
X +3
X 4 − 5X 2 + 4
Par factorisation du polynôme bicarré et par utilisation des identités
remarquables, on peut l’écrire:
F =
X +3
(X − 1)(X + 1)(X − 2)(X + 2)
qui se décompose en
X +3
A
B
C
D
=
+
+
+
(X − 1)(X + 1)(X − 2)(X + 2)
X −1 X +1 X −2 X +2
Pour trouver A, il suffit de multiplier F par X − 1, puis remplacer X par 1.
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Théorème du Rang
Exemple de décomposition - Pôles de degré 1
X +3
B(X − 1) C (X − 1) D(X − 1)
=A+
+
+
(X + 1)(X − 2)(X + 2)
X +1
X −2
X +2
1+3
= A = −2/3
(1 + 1)(1 − 2)(1 + 2)
De même,
Pour trouver B, multiplier F par X
Pour trouver C , multiplier F par X
Pour trouver D, multiplier F par X
On obtient B = 1/3, C = 5/12,
+ 1, puis remplacer X par -1.
− 2, puis remplacer X par 2.
+ 2, puis remplacer X par -2.
D = −1/12
Régle générale
Il suffit de multiplier la fraction rationnelles par (X+le pôle), puis
remplacer X par (– le pôle).
Ou calculer la limite de la fraction F(X) quand X tend vers le pôle.
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Définition de Probabilité
Définition de Probabilité
Définition
Ω un univers fini. Une probabilité sur Ω est une application P de F(Ω)
dans [0, 1] telle que:
P(Ω) = 1
∀A et B tels que A ∩ B = ∅. P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Dans ce cas (Ω, F) est un espace probabilisé
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Définition de Probabilité
Calculs des probabilités
Théorème
P(∅) = 0.
P(A) = 1 − P(A).
Si A ⊂ B, P(A) ≤ P(B) (Croissance d’une probabilité).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Si A1 , ..., An sont deux à deux incompatibles*:
P(A1 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + ...P(An ).
Si (Ai )1≤i≤n est un système complet d’événements
alors:
P
P(A1 ) + ... + P(An ) = 1 et ∀B, P(B) = ni=1 P(B ∩ Ai ).
Remarque
Ne pas confondre la notion d’incompatibilité* avec celle d’événements
indépendents.
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Définition de Probabilité
Théorème - Cas de l’équiprobabilité des cas possibles
Si ∀ω ∈ Ω, pω =
1
Card(Ω) ,
alors
∀A ∈ F(Ω), P(A) =
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le nombre des cas favorables
Card(A)
=
.
Card(Ω)
le nombre des cas possibles
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Probabilités Conditionnelles
Probabilités Conditionnelles
Définition
Soit A un événement tel que P(A) 6= 0. La probabilité de B sachant A est
P(B|A)
P(B ∩ A)
P(B|A) =
.
P(A)
Théorème
L’application PA : F(Ω) −→ R est une probabilité sur Ω.
B −→ P(B|A)
Pour tout A et B et si P(A), P(B) 6= 0
P(A ∩ B) = P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B).
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Probabilités Conditionnelles
Théorème - Formule des probabilités totales
(Ai )1≤i≤n un systéme complet d’événements / ∀i ∈ [|1, n|], P(Ai ) 6= 0
alors
n
X
∀B ∈ F(Ω), P(B) =
P(B|Ai )P(Ai ).
i=1
Cas particulier
Si P(A) 6= 0 et P(A) 6= 0 alors
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A)P(A).
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Probabilités Conditionnelles
Formule de BAYES - Inversion d’une probabilité conditionnelle
Soit (Ai )1≤i≤n un système complet d’événements ∀i ∈ [|1, n|], P(Ai ) 6= 0
alors ∀B tel que P(B) 6= 0
P(B|Ai )P(Ai )
P(Ai |B) = Pn
.
i=1 P(B|Ai )P(Ai )
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Indépendence
Indépendence
Définition
A et B sont indépendents ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Si P(A) 6= 0, il revient de dire P(B|A) = P(B).
Théorème
Si A et B sont indépendants, alors (A et B), (A et B), (A et B) sont
indépendants.
(A1 , ..., An ) n événements.
Q
(A1 , ..., An ) indépendants ⇔ ∀I ⊂ [|1, n|], P(∩i∈I Ai ) = i∈I P(Ai ).
(A1 , ..., An ) 2 à 2 indépendants ⇔ ∀i 6= j, P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai )P(Aj ).
Remarque
Indépendants ⇒ 2 à 2 indépendants. 2 à 2 indépendants ; indépendants.
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Loi conjointe, loi marginale
Loi conjointe, loi marginale
Définition
Un vecteur aléatoire (X , Y ) prend ses valeurs dans K2 . Si on cherche à
définir la loi d’un tel vecteur, il faut considérer tous les couples I × J
d’intervalles:
Soit (X , Y ) un vecteur aléatoire réel. On appelle loi conjointe de (X , Y )
la probabilité définit sur K2 par
P(X ,Y ) (I , J) = P(X ∈ I et Y ∈ J).
Les lois de probabilité de X et Y sont alors appelés lois marginales de
(X , Y ).
En particulier, lorsque X et Y sont à valeurs finies, la loi conjointe de
(X,Y) est l’ensemble
P((X = xi ) ∩ (Y = yi )).
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Loi conjointe, loi marginale
Définition
Il est toujours possible de retrouver les lois marginales à l’aide des lois
conjointes. Si X (Ω) = (x1 , ..., xn) et Y (Ω) = (y1 , ..., ym) on a
P(X = xi ) =
m
X
P(X = xi , Y = yj ), P(Y = yi ) =
i=1
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n
X
P(X = xi , Y = yj ).
j=1
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Références
(en) Serge Lang, Algebra, 1965 [détail des éditions], Theorem 4, p. 87
Wikiversity, fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples
dans C OUP, 1975. (Now in second edition.)
uel.unisciel.fr /physique/outilsn ancyc h11/co/apprendrec h111 5.html
Maths −france.fr /MathSpe/Cours/resume −sup −09−probabilite.pdf
bibmaths.net/dico/index.php?action = affiche&quoi =
./c/conjointe.html
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