Outils Mathématiques Marwane Farhane 13, Avril 2020 Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 1 / 17 Sommaire 1 Sommaire 2 Méthode de calcul des déterminants Définition Définition Cas particulier - Matrices diagonales et triangulaire Remarque Méthode 3 Théorème du Rang Théorème Théorème - DES dans le cas complexes Exemple de décomposition - Pôles de degré 1 Exemple de décomposition - Pôles de degré 1 Régle générale 4 Définition de Probabilité Définition Théorème Remarque Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 1 / 17 Sommaire Théorème - Cas de l’équiprobabilité des cas possibles 5 Probabilités Conditionnelles Définition Théorème Théorème - Formule des probabilités totales Cas particulier Formule de BAYES - Inversion d’une probabilité conditionnelle 6 Indépendence Définition Théorème Remarque 7 Loi conjointe, loi marginale Définition Définition 8 Références Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 1 / 17 Méthode de calcul des déterminants Méthode de calcul des déterminants Définition La valeur de calcul d’un déterminant |A| d’ordre n est donnée par suivant une ligne i ou une colonne j resp. |A| = ai1 ∆i1 + ai2 ∆i2 + ... + ain ∆in = n X aij ∆ij . j=1 |A| = a1j ∆1j + a2j ∆2j + ... + anj ∆nj = n X aij ∆ij . i=1 pour n = 3, soit la matrice d’ordre 3 a11 a12 a13 A3 = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 2 / 17 Méthode de calcul des déterminants Définition Un développement suivant la 2e colonne par exemple conduit à |A3 | = −a12 a a a a a21 a23 + a22 11 13 − a32 11 13 a21 a23 a31 a33 a31 a33 = −a12 (a21 a33 − a31 a23 ) + a22 (a11 a33 − a31 a13 ) − a32 (a11 a13 − a21 a23 ). Cas particulier - Matrices diagonales et triangulaire Comme pour les déterminants d’ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale a 0 0 |D3 | = 0 b 0 = abc. 0 0 c Marwane Farhane a d e |Tsup3 | = |(Tinf3 )T | = 0 b f = abc. 0 0 c Outils Mathématiques 13, Avril 2020 3 / 17 Méthode de calcul des déterminants Remarque On choisira la ligne ou la colonne comprenant plus de zéros pour effectuer le simple calcul du déterminant. Méthode Si le déterminant est à l’ordre 2, revient à faire une différence de produits en croix. La régle de Sarrus est utilisé pour le calcul d’un déterminant d’ordre 3 (det(A3 )). Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 4 / 17 Théorème du Rang + a11 + a12 + a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 − a32 − a33 − a31 a32 Marwane Farhane Régle de Sarrus Outils Mathématiques 13, Avril 2020 5 / 17 Théorème du Rang Théorème du Rang Théorème Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps K et soit f ∈ L(E , F ) une application linéaire. Alors: rg (f ) + dim(Ker f ) = dim(E ). Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 5 / 17 Théorème du Rang Fractions rationnelles: Décomposition en éléments simples (DES) Théorème - DES dans le cas complexes Soit F = P Q ∈ C(X ) irreductible. Si la factorisation de Q = (X − Z1 )n1 (X − Z2 )n2 ...(X − Zn )np alors F admet une décomposition unique en éléments simples suivantes p nj XX aij P =T+ Q (X − Zi )j i=1 j=1 où les aij ∈ C et T est un polynôme. Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 6 / 17 Théorème du Rang Exemple de décomposition - Pôles de degré 1 Prenons la fraction rationnelle F = X +3 X 4 − 5X 2 + 4 Par factorisation du polynôme bicarré et par utilisation des identités remarquables, on peut l’écrire: F = X +3 (X − 1)(X + 1)(X − 2)(X + 2) qui se décompose en X +3 A B C D = + + + (X − 1)(X + 1)(X − 2)(X + 2) X −1 X +1 X −2 X +2 Pour trouver A, il suffit de multiplier F par X − 1, puis remplacer X par 1. Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 7 / 17 Théorème du Rang Exemple de décomposition - Pôles de degré 1 X +3 B(X − 1) C (X − 1) D(X − 1) =A+ + + (X + 1)(X − 2)(X + 2) X +1 X −2 X +2 1+3 = A = −2/3 (1 + 1)(1 − 2)(1 + 2) De même, Pour trouver B, multiplier F par X Pour trouver C , multiplier F par X Pour trouver D, multiplier F par X On obtient B = 1/3, C = 5/12, + 1, puis remplacer X par -1. − 2, puis remplacer X par 2. + 2, puis remplacer X par -2. D = −1/12 Régle générale Il suffit de multiplier la fraction rationnelles par (X+le pôle), puis remplacer X par (– le pôle). Ou calculer la limite de la fraction F(X) quand X tend vers le pôle. Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 8 / 17 Définition de Probabilité Définition de Probabilité Définition Ω un univers fini. Une probabilité sur Ω est une application P de F(Ω) dans [0, 1] telle que: P(Ω) = 1 ∀A et B tels que A ∩ B = ∅. P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Dans ce cas (Ω, F) est un espace probabilisé Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 9 / 17 Définition de Probabilité Calculs des probabilités Théorème P(∅) = 0. P(A) = 1 − P(A). Si A ⊂ B, P(A) ≤ P(B) (Croissance d’une probabilité). P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Si A1 , ..., An sont deux à deux incompatibles*: P(A1 ∪ ... ∪ An ) = P(A1 ) + ...P(An ). Si (Ai )1≤i≤n est un système complet d’événements alors: P P(A1 ) + ... + P(An ) = 1 et ∀B, P(B) = ni=1 P(B ∩ Ai ). Remarque Ne pas confondre la notion d’incompatibilité* avec celle d’événements indépendents. Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 10 / 17 Définition de Probabilité Théorème - Cas de l’équiprobabilité des cas possibles Si ∀ω ∈ Ω, pω = 1 Card(Ω) , alors ∀A ∈ F(Ω), P(A) = Marwane Farhane le nombre des cas favorables Card(A) = . Card(Ω) le nombre des cas possibles Outils Mathématiques 13, Avril 2020 11 / 17 Probabilités Conditionnelles Probabilités Conditionnelles Définition Soit A un événement tel que P(A) 6= 0. La probabilité de B sachant A est P(B|A) P(B ∩ A) P(B|A) = . P(A) Théorème L’application PA : F(Ω) −→ R est une probabilité sur Ω. B −→ P(B|A) Pour tout A et B et si P(A), P(B) 6= 0 P(A ∩ B) = P(B|A)P(A) = P(A|B)P(B). Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 12 / 17 Probabilités Conditionnelles Théorème - Formule des probabilités totales (Ai )1≤i≤n un systéme complet d’événements / ∀i ∈ [|1, n|], P(Ai ) 6= 0 alors n X ∀B ∈ F(Ω), P(B) = P(B|Ai )P(Ai ). i=1 Cas particulier Si P(A) 6= 0 et P(A) 6= 0 alors P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|A)P(A). Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 13 / 17 Probabilités Conditionnelles Formule de BAYES - Inversion d’une probabilité conditionnelle Soit (Ai )1≤i≤n un système complet d’événements ∀i ∈ [|1, n|], P(Ai ) 6= 0 alors ∀B tel que P(B) 6= 0 P(B|Ai )P(Ai ) P(Ai |B) = Pn . i=1 P(B|Ai )P(Ai ) Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 14 / 17 Indépendence Indépendence Définition A et B sont indépendents ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B). Si P(A) 6= 0, il revient de dire P(B|A) = P(B). Théorème Si A et B sont indépendants, alors (A et B), (A et B), (A et B) sont indépendants. (A1 , ..., An ) n événements. Q (A1 , ..., An ) indépendants ⇔ ∀I ⊂ [|1, n|], P(∩i∈I Ai ) = i∈I P(Ai ). (A1 , ..., An ) 2 à 2 indépendants ⇔ ∀i 6= j, P(Ai ∩ Aj ) = P(Ai )P(Aj ). Remarque Indépendants ⇒ 2 à 2 indépendants. 2 à 2 indépendants ; indépendants. Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 15 / 17 Loi conjointe, loi marginale Loi conjointe, loi marginale Définition Un vecteur aléatoire (X , Y ) prend ses valeurs dans K2 . Si on cherche à définir la loi d’un tel vecteur, il faut considérer tous les couples I × J d’intervalles: Soit (X , Y ) un vecteur aléatoire réel. On appelle loi conjointe de (X , Y ) la probabilité définit sur K2 par P(X ,Y ) (I , J) = P(X ∈ I et Y ∈ J). Les lois de probabilité de X et Y sont alors appelés lois marginales de (X , Y ). En particulier, lorsque X et Y sont à valeurs finies, la loi conjointe de (X,Y) est l’ensemble P((X = xi ) ∩ (Y = yi )). Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 16 / 17 Loi conjointe, loi marginale Définition Il est toujours possible de retrouver les lois marginales à l’aide des lois conjointes. Si X (Ω) = (x1 , ..., xn) et Y (Ω) = (y1 , ..., ym) on a P(X = xi ) = m X P(X = xi , Y = yj ), P(Y = yi ) = i=1 Marwane Farhane n X P(X = xi , Y = yj ). j=1 Outils Mathématiques 13, Avril 2020 17 / 17 Références (en) Serge Lang, Algebra, 1965 [détail des éditions], Theorem 4, p. 87 Wikiversity, fractions rationnelles/Décomposition en éléments simples dans C OUP, 1975. (Now in second edition.) uel.unisciel.fr /physique/outilsn ancyc h11/co/apprendrec h111 5.html Maths −france.fr /MathSpe/Cours/resume −sup −09−probabilite.pdf bibmaths.net/dico/index.php?action = affiche&quoi = ./c/conjointe.html Marwane Farhane Outils Mathématiques 13, Avril 2020 17 / 17