Intégration sur un segment I. Fonctions continues par morceaux Soit a < b ∈ ℝ . 1°) Subdivision d’un segment Déf : On appelle subdivision d’un segment [a ,b ] , toute famille finie de réels σ = (a 0 , a1 ,...,an ) telle que : a = a 0 < a1 < ... < an = b . Les ai sont alors appelés points de subdivision et les ]ai −1 ,ai [ sont appelés intervalles de subdivision. p(σ ) a b a0 a1 a2 Déf : Soit σ = (a 0 , a1 ,...,an ) une subdivision de [a ,b ] . a3 a4 On appelle pas de la subdivision σ le réel p (σ ) = max(ai −ai −1 ) . 1≤i ≤n Déf : Soit σ = (a 0 , a1 ,...,an ) une subdivision de [a ,b ] . On appelle support de σ l’ensemble : Supp(σ ) = {a 0 ,a1 ,...,an } . Déf : Soit σ et σ ′ deux subdivisions de [a ,b ] . On dit que σ est plus fine que σ ′ ssi Supp(σ ′) ⊂ Supp(σ ) . Déf : Soit σ1 et σ2 deux subdivisions de [a ,b ] . On appelle réunion de σ1 et σ2 la subdivision σ de support Supp(σ1 ) ∪ Supp(σ2 ) . 2°) Fonction en escalier Déf : Une fonction f : [a ,b ] → ℝ est dite en escalier ssi il existe σ = (a 0 , a1 ,...,an ) subdivision de [a ,b ] pour laquelle : ∀1 ≤ i ≤ n , f est constante sur ]ai −1 ,ai [ . Cette subdivision σ est alors dite adaptée à f . a a0 Déf : On note E ([a ,b ], ℝ ) l’ensemble de ces fonctions. a1 b a3 a2 Prop : Soit f , g : [a ,b ] → ℝ et λ ∈ ℝ . Si f et g sont en escalier alors λ.f , f + g , fg , f le sont aussi. 3°) Fonction continue par morceaux Déf : Une fonction f : [a ,b ] → ℝ est dite continue par morceaux ssi il existe σ = (a 0 , a1 ,...,an ) subdivision de [a ,b ] pour laquelle : ∀1 ≤ i ≤ n , f est continue sur ]ai −1 ,ai [ et a a0 ∀1 ≤ i ≤ n , lim f , lim f existent et sont finies. + − ai−1 ai a1 a2 b a3 La subdivision σ est alors dite adaptée à la fonction f . 0 Déf : On note Cpm ([a ,b ], ℝ ) l’ensemble de ces fonctions. Prop : Soit f , g : [a ,b ] → ℝ et λ ∈ ℝ . Si f et g sont continues par morceaux alors λ.f , f + g , fg , f le sont aussi. Prop : Toute fonction continue par morceaux sur [a ,b ] y est bornée. 4°) Approximation par des fonctions en escalier Théorème : Soit f : [a ,b ] → ℝ continue par morceaux. ϕ ≤ f ≤ ψ ∀ε > 0, ∃ϕ, ψ ∈ E ([a ,b ], ℝ ) telles que . 0 ≤ ψ − ϕ ≤ ε -1/8- y = ψ (x ) ε y = f (x ) a y = ϕ (x ) b x h2 II. Construction de l’intégrale h3 h1 1°) Intégrale d’une fonction en escalier Soit a < b ∈ ℝ . a a0 a) définition a1 a2 b a3 Soit f : [a ,b ] → ℝ une fonction en escalier. Soit σ = (a 0 ,..., an ) une subdivision adaptée à f . n ∀1 ≤ i ≤ n , posons hi la valeur de f sur ]ai −1 ,ai [ . On pose I σ ( f ) = ∑ hi (ai −ai −1 ) . i =1 On peut montrer que I σ ( f ) est indépendante de la subdivision σ adaptée à f choisie. Déf : Cette quantité est appelée intégrale de la fonction en escalier f sur [a ,b ] . On la note I [a ,b ] ( f ) . b) propriétés Prop : Soit f , g : [a ,b ] → ℝ en escalier et λ ∈ ℝ . I [a ,b ] (λ.f ) = λ.I [a ,b ] ( f ) et I [a ,b ] ( f + g ) = I [a ,b ] ( f ) + I [a ,b ] (g ) . Prop : Soit f , g : [a ,b ] → ℝ en escalier. Si f ≥ 0 alors I [a ,b ] ( f ) ≥ 0 . Si f ≤ g alors I [a ,b ] ( f ) ≤ I [a ,b ] (g ) . Prop : Soit f : [a ,b ] → ℝ en escalier et c ∈ ]a ,b[ . I [a ,b ] ( f ) = I [a ,c ] ( f ) + I [c ,b ] ( f ) . 2°) Définition de l’intégrale d’une fonction continue par morceaux. Soit a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ continue par morceaux. Γf Notons : Φ = {ϕ ∈ E ([a ,b ], ℝ ) / ϕ ≤ f } } Γf Γϕ et Ψ = {ψ ∈ E ([a ,b ], ℝ ) / f ≤ ψ} . { Γψ { } Posons I − = I [a ,b ] (ϕ ) / ϕ ∈ Φ et I + = I [a ,b ] (ψ ) / ψ ∈ Ψ . a On montre l’existence et l’égalité de sup I − a b b + et de inf I . Déf : Cette valeur commune est appelée intégrale de f sur [a ,b ] . On la note ∫[ a ,b ] f ou ∫[ a ,b ] f (t )dt . 3°) Propriétés de l’intégrale Soit a < b ∈ ℝ . a) linéarité Théorème : Soit f , g : [a ,b ] → ℝ continues par morceaux et λ ∈ ℝ . ∫ [a ,b ] Cor : Si f = g sauf en un nombre fini de points alors ∫[ a ,b ] f =∫ λf = λ∫ [a ,b ] [a ,b ] f et ∫[ a ,b ] g. b) croissance Théorème : Soit f , g : [a ,b ] → ℝ continues par morceaux Si f ≥ 0 alors ∫[ Si f ≤ g alors ∫[ a ,b ] a ,b ] f ≥0 . f ≤∫ [a ,b ] g. Cor : Soit f : [a ,b ] → ℝ continue par morceaux. On a ∫[ a ,b ] f ≤∫ [a ,b ] f . c) relation de Chasles Théorème : Soit f : [a ,b ] → ℝ continue par morceaux et c ∈ ]a ,b[ . -2/8- ∫[ a ,b ] f =∫ [a ,c ] f +∫ [c ,b ] f. f +g = ∫ [a ,b ] f +∫ [a ,b ] g. Γf d) inégalité de la moyenne Déf : Soit f : [a ,b ] → ℝ continue par morceaux. On appelle valeur moyenne de f sur [a ,b ] le réel µ( f ) = µ( f ) 1 b −a ∫[ a ,b ] f. a Théorème : (inégalité de la moyenne) Soit f , g : [a ,b ] → ℝ continues par morceaux. ∫[ a ,b ] fg ≤ sup f [a ,b ] ∫[ a ,b ] b g . e) inégalité de Cauchy Schwarz Prop : Soit f , g : [a ,b ] → ℝ continues. ∫ f (t )g (t )dt ≤ ∫ f (t ) 2 dt ∫ g (t ) 2 dt . [a ,b ] [a ,b ] [a ,b ] 2 4°) Extension Soit I un intervalle de ℝ . Déf : Une fonction f : I → ℝ est dite continue par morceaux ssi f est continue par morceaux sur tout segment 0 (I , ℝ ) l’ensemble de ces fonctions. [a ,b ] avec a < b ∈ I . On note Cpm Déf : Soit f : I → ℝ continue par morceaux et a ,b ∈ I . ∫[a ,b ] f b b b On définit ∫ f (ou encore ∫ f (t )dt ) par : ∫ f = 0 a a a − f ∫[b ,a ] Théorème : Soit f , g : I → ℝ continues par morceaux et λ , µ ∈ ℝ . Pour tout a ,b ∈ I on a ∫ b a b si a < b si a = b si a > b b λ f + µg = λ ∫ f + µ ∫ g . a a Théorème : Soit f : I → ℝ continue par morceaux et a ,b , c ∈ I . ∫ b a c b f = ∫ f +∫ f . a c III. Primitives et intégrales Soit I un intervalle non singulier 1°) Primitives d’une fonction Déf : On appelle primitive d’une fonction f : I → ℝ , s’il en existe, toute fonction F : I → ℝ dérivable telle que F ′ = f . Prop : Si f : I → ℝ admet une primitive F alors l’ensemble des primitives de f est constitué des fonctions de la forme t ֏ F (t ) +C avec C ∈ ℝ Déf : On note : ∫ f (t )dt = F (t ) +C te pour signifier que F est une primitive de f et pour Prop : f , g : I → ℝ et λ , µ ∈ ℝ . Si F et G sont primitives de f et g alors λF + µG est primitive de λ f + µg . Ainsi ∫ λ f (t ) + µg (t )dt = λ ∫ f (t )dt + µ ∫ g (t )dt . -3/8- Soit 2°) Primitives de fonctions usuelles f (t ) ∫ f (t )dt I t n avec n ∈ ℕ t n +1 +C te n +1 ℝ 1 avec n ∈ ℕ \ {0,1} tn − 1 1 +C te n −1 t n −1 ℝ + * ou ℝ − * t α avec α ∈ ℝ \ {−1} 1 α t +C te α +1 ℝ+ * 1 t ln t +C te ℝ + * ou ℝ − * et et +C te lnt t ln t − t +C sint − cos t +C te ℝ cost sin t +C te ℝ sht ch t +C te ℝ cht sh t +C ℝ 1 1+ t 2 arctan t +C te ℝ 1 1− t 2 1 1+ t +C te ln 2 1− t ]−∞, −1[ , ]−1,1[ et ]1,+∞[ arcsin t +C te ]−1,1[ ln(t + t 2 + 1) +C te ℝ ln t + t 2 −1 +C te ]−∞, −1] et [1,+∞[ 1 1− t 2 1 1+t 2 1 t −1 2 ℝ ℝ+ * te te 3°) Intégration par primitivation Théorème : Soit f : I → ℝ une fonction continue et a ∈ I . x f possède une unique primitive qui s’annule en a , c’est la fonction x ֏ ∫ f (t )dt . a Cor : Toute fonction réelle continue sur un intervalle I y admet des primitives. b Cor : Soit f : I → ℝ continue et F une primitive de f . ∀a ,b ∈ I , ∫ f (t )dt = [F (t )]a = F (b ) − F (a ) . b a 4°) Positivité de l’intégrale d’une fonction continue Théorème : Soit a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ . Si f est continue, positive et En particulier : Soit a < b et f : [a ,b ] → ℝ continue. ∫ b Si ∫ b Si a a f (t ) dt = 0 alors f = 0 . f 2 (t )dt = 0 alors f = 0 . -4/8- ∫ b a f (t )dt = 0 alors f = 0 . Cor : Soit a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ continue. Si f ≥ 0 et f ≠ 0 alors ∫ b Si f ≤ 0 et f ≠ 0 alors ∫ b a a f (t )dt > 0 . f (t )dt < 0 . Cor : Soit a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ continue. Si ∫ b a f (t )dt = 0 alors f = 0 ou bien f prend une valeur strictement positive et une valeur strictement négative. Dans les deux cas : ∃c ∈ ]a ,b[ , f (c ) = 0 . 5°) Fonction définie par une intégrale Pour dériver une fonction définie par g (x ) = ∫ v (x ) u (x ) f (t )dt avec f fonction continue, on introduit F primitive de f et on a alors g (x ) = F (v (x )) − F (u (x )) qui permet d’obtenir g ′(x ) = v ′(x ) f (v (x )) − u ′(x ) f (u (x )) . IV. Intégration par parties Soit I un intervalle non singulier. 1°) Primitivation par parties Soit u , v deux fonctions dérivables sur I . uv est dérivable sur I et (uv ) ′ = u ′v + uv ′ . Ainsi ∫ u ′v = ∫ (uv )′ − uv ′ = uv − ∫ uv ′ . 2°) Détermination de ∫ P (x )e αx dx Soit P une fonction polynomiale de degré n ∈ ℕ et α ∈ ℝ * . 2 méthodes usuelles : (1) Par ipp successives : 1 1 1 1 (−1)n (n ) αx αx αx αx te ∫ P (x )e dx = α P (x )e − α ∫ P ′(x )e dx = α P (x ) − α 2 P ′(x ) + ... + αn +1 P (x )e +C (2) D’après l’étude ci-dessus : ∫ P (x )e αx dx = Q (x )eαx +C te avec Q fonction polynomiale de degré n . On peut alors chercher Q par coefficients inconnus de sorte que : (Q (x )eαx ) ′ = (Q ′(x ) + αQ (x ))eαx = P (x )eαx . 3°) Détermination de ∫ P (x ) cos(αx )dx et ∫ P (x )sin(αx )dx Soit P une fonction polynomiale de degré n ∈ ℕ et α ∈ ℝ ∗ . Détermination de ∫ P (x ) cos(αx )dx . 2 méthodes usuelles : (1) Par ipp successives : ∫ P (x )cos(αx )dx = (2) Par l’étude ci-dessus : 1 1 P (x )sin αx − ∫ P ′(x )sin(αx )dx = ... α α ∫ P (x ) cos(αx )dx = A(x ) cos(αx ) + B (x )sin(αx ) +C te avec A, B fonctions polynomiales de degrés inférieurs à n . On peut alors chercher A et B par coefficients inconnues de sorte que : (A(x ) cos αx + B (x ) sin αx )′ = P (x ) cos αx Détermination ∫ P (x )sin(αx )dx : idem -5/8- 4°) Intégration par parties Théorème : Soit u , v : I → ℝ de classe C 1 et a ,b ∈ I . ∫ b a b u ′v = [uv ]a − ∫ uv ′ . b a V. Changement de variables Soit I et J des intervalles non singuliers 1°) Idée Soit u : I → J et F : J → ℝ dérivables. F u est dérivable et (F u ) ′ = u ′×F ′ u . On note encore (F (u )) ′ = u ′F ′(u ) . Ainsi ∫ u ′F ′(u ) = F (u ) +C . En particulier : 1 n +1 u +C te , n +1 u′ 1 1 Pour n ∈ ℕ, n ≥ 2 , ∫ n = − +C te , u n −1 u n−1 1 u α +1 +C te (en particulier α = ±1 2 ). Pour α ∈ ℝ , ∫ u ′u α du = α +1 u′ te u u te te te ∫ u = ln u +C , ∫ u ′e = e +C , ∫ u ′ sin u = − cos u +C , ∫ u ′ cos u = sin u +C , te te ∫ u ′ sh u = ch u +C , ∫ u ′ ch u = sh u +C , Pour n ∈ ℕ , u′ ∫ 1+ u 2 ∫ u ′u n = = arctan u +C te . 2°) Primitivation par changement de variables Soit u : I → J dérivable et f : J → ℝ possédant une primitive F . ∫ u ′(t ) f (u (t ))dt = F (u (t )) +C . Pour exploiter cette formule, on écrit : x = u (t ) , dx = u ′(t )dt : ∫ u ′(t ) f (u (t ))dt = ∫ f (x )dx = F (x ) +C = F (u (t )) +C te On a te te . Lors de cette manipulation, on dit qu’on a réalisé le changement de variable défini par la relation x = u (t ) . 3°) Intégration par changement de variables Théorème : Soit u : I → J de classe C 1 et f : J → ℝ continue. b ∀a ,b ∈ I , ∫ f (u (t ))u ′(t )dt = ∫ a u (b ) u (a ) f (x )dx . 4°) Changement de variables affines a) principe Les changements de variables affines sont ceux de la forme x = α t + β avec α, β ∈ ℝ et α ≠ 0 . b) propriétés géométriques b Prop : Soit τ ∈ ℝ et f : ℝ → ℝ continue. ∀a ,b ∈ ℝ, ∫ f (t + τ )dt = ∫ b +τ a +τ a f (t )dt . Prop : Soit a > 0 et f : [−a , a ] → ℝ continue. Si f est paire alors ∫ Si f est impaire alors a −a a f (t )dt = 2 ∫ f (t )dt . 0 ∫ a −a f (t )dt = 0 . Prop : Soit T > 0 et f : ℝ → ℝ continue et T périodique. ∀a ∈ ℝ, ∫ a -6/8- a +T T f (t )dt = ∫ f (t )dt . 0 VI. Méthodes d’approximation d’intégrales Soit a < b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℝ continue. Notre objectif est d’approcher numériquement ∫ b a f (t )dt . 1°) Par les sommes de Riemann Soit n ∈ ℕ∗ et ∀ 0 ≤ k ≤ n ,ak = a + k Rn+ = b −a . n b −a n b −a b −a n −1 b −a f (ak ) = f (ak ) = ( f (a1 ) + ⋯ + f (an )) et Rn− = ( f (a 0 ) + ⋯ + f (an −1 )) ∑ ∑ n k =1 n n k =0 n Déf : Rn+ (resp. Rn− ) est appelée somme de Riemann associée aux rectangles à droites (resp. à gauche) de la fonction f . Théorème : b Si f est k lipschitzienne (en particulier si f est C 1 ) alors Rn+ , Rn− → ∫ f (t )dt a En particulier : Pour a = 0 et b = 1 . 1 1 1 n k 1 n −1 k Soit f : [ 0,1] → ℝ continue. ∑ f → ∫ f (t ) dt et ∑ f → ∫ f (t )dt . 0 0 n k =1 n n k =0 n 2°) Méthode des trapèzes b −a . n n b −a b −a f (a 0 ) f (an ) Tn = ∑ ( f (ak −1 ) + f (ak )) = + f (a1 ) + ⋯ + f (an −1 ) + . 2 n n 2 2 k =1 Soit n ∈ ℕ∗ et ∀ 0 ≤ k ≤ n ,ak = a + k Théorème : Si f est de classe C 2 alors Tn = ∫ f (t )dt +O (1 n 2 ) l’erreur est un O (1 n 2 ) . b a 3°) Méthode de Simpson a + ak b −a n Sn = f (ak −1 ) + 4 f k −1 + f (ak ) . ∑ 6n k =1 2 Théorème : Si f est de classe C 3 alors Sn = ∫ f (t )dt +O (1 n 3 ) l’erreur est un O (1 n 2 ) . b a VII. Extension aux fonctions complexes Soit I un intervalle non singulier de ℝ . Les définitions qui suivent prolongent les définitions réelles. 1°) Construction de l’intégrale d’une fonction complexe Déf : On dit que f : I → ℂ est une fonction continue par morceaux ssi Re( f ) et Im( f ) le sont. On note 0 Cpm (I , ℂ) l’ensemble de ces fonctions. Déf : Soit f : I → ℂ continue par morceaux et a ,b ∈ I . On appelle intégrale de la fonction f de a à b le complexe : ∫ b a b b f (t )dt = ∫ Re( f )(t )dt + i ∫ Im( f )(t )dt . a a Prop : Soit f , g : I → ℂ continues par morceaux, λ ∈ ℂ et a ,b ∈ I . ∫ b a b λf = λ∫ f , a ∫ b a b b f + g = ∫ f + ∫ g et a a ∫ b a b f =∫ f . Prop : Soit f : I → ℂ continue par morceaux et a ,b , c ∈ I . -7/8- a ∫ b a c b f = ∫ f +∫ f . a c Théorème : Soit a ≤ b ∈ ℝ et f : [a ,b ] → ℂ continue par morceaux. ∫ b a b f (t )dt ≤ ∫ f (t ) dt . a 2°) Intégration et dérivation Déf : Soit f : I → ℂ , on appelle primitive de f s’il en existe toute fonction F : I → ℂ dérivable telle que F′= f . Théorème : Soit f : I → ℂ continue et a ∈ I . x f possède une unique primitive s’annulant en a , c’est la fonction x ֏ ∫ f (t )dt . a b Cor : Si F est une primitive de f alors ∀a ,b ∈ I , ∫ f (t )dt = [F (t )]a . b a VIII. Formules de Taylor I désigne un intervalle non singulier de ℝ . 1°) Formule de Taylor avec reste intégral Théorème : Soit f ∈ C n +1 (I , ℂ) et a ∈ I . Pour tout x ∈ I on a : x (x − t )n (x −a )2 (x −a )n (n ) f ′′(a ) + ⋯ + f (a ) + ∫ f (n +1) (t )dt a 2! n! n! n x (x − t )n (x −a )k (k ) soit encore f (x ) = ∑ f (a ) + ∫ f (n +1) (t )dt a k! n! k =0 f (x ) = f (a ) + (x −a ) f ′(a ) + (x −a )k (k ) f (a ) est appelée partie régulière du développement de Taylor de f à ∑ k! k =0 n Le terme polynomial l’ordre n en a . Le terme ∫ a x (x − t )n (n +1) f (t )dt est appelé reste intégral de ce développement. n! 2°) Inégalité de Taylor Lagrange Théorème : Soit f ∈ C n +1 (I , ℂ) et a ∈ I . On suppose : ∃M ∈ ℝ + , ∀x ∈ I , f (n +1) (x ) ≤ M . n +1 x −a (x −a )k (k ) f (a ) ≤ M. k! (n + 1)! k =0 n On a ∀x ∈ I , f (x ) − ∑ -8/8-