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TOPOLOGIEMASTER2009

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Cours de Topologie. Master 1. Année 2009/2010.
Richard Zekri.
15 septembre 2009
2
Chapitre 1
Rappels.
1.1
Topologies, ouverts, et voisinages.
Définition 1.1.1 [Topologie.] Une topologie τ , sur un ensemble X, est une famille de parties de X, qui
contient {φ} et {X}, et qui est stable par réunions quelconques, et par intersections finies. Les éléments
de τ sont appelés des ouverts de X. Le complémentaire d’un ouvert de X est appelé un fermé. On dit
que X, muni de τ , est un espace topologique. On le notera (X, τ ).
Définition 1.1.2 [Base d’une topologie.] On appelle base d’une topologie τ , toute famille F d’ouverts,
telle que tout ouvert de X est réunion d’éléments de F.
Remarque 1.1.3 Il est équivalent de dire que F est une base de la topologie τ , et que, pour tout point
x ∈ X, et tout ouvert Ox , contenant x, il existe un ouvert U ∈ F, tel que x ∈ U ⊂ Ox .
Définition 1.1.4 [Voisinage.] Soit x un point de l’espace topologique (X, τ ). On appelle voisinage de
x toute partie V, de X, contenant un ouvert qui lui-même contient le point x.
Définition 1.1.5 [Base de voisinages.] Une famille F de sous ensembles d’un espace topologique X est
une base de voisinages en x ∈ X, si chaque N ∈ F est un voisinage de x, et si pour tout voisinage M ,
de x, il existe N ∈ F, tel que N ⊂ M .
Définition 1.1.6 [Intérieur et adhérence.] Soit A une partie quelconque de X. On appelle intérieur de
A, et l’on note A◦ , le plus grand ouvert de X, contenu dans A. On appelle adhérence de A, et l’on note
A, le plus petit fermé de X, contenant A. On a la relation : X − A◦ = (X − A). Les points de A sont
dits adhérents à A.
Remarque 1.1.7 Un point x ∈ X est adhérent à A si et seulement si tout ouvert contenant x contient
également au moins un point de A.
Définition 1.1.8 [Densité.] Soit X un espace topologique. Un sous-ensemble A, de X, est dit dense
dans X, si tout ouvert non vide de X contient au moins un point de A. (Ceci est équivalent à A = X.)
Définition 1.1.9 [Frontière.] Si A est un sous-ensemble de X, on appelle frontière de A, et l’on note
F r(A), l’ensemble : F r(A) = A − A◦ .
1.2
Axiomes de séparation.
Définition 1.2.1 Un espace topologique X est :
3
– Un espace T1 si pour tous x, y, points distincts de X, il existe un ouvert O, tel que y ∈ O, mais x ∈
/O
– Un espace T2 (ou Hausdorff ) si pour tous x, y, points distincts de X, il existe deux ouverts, Ox , et
Oy , tels que x ∈ Ox , y ∈ Oy , et Ox ∩ Oy = φ.
– on dit que X est régulier si pour tout x ∈ X, pour tout fermé C ⊂ X, x ∈
/ C, il existe deux ouverts
Ox , et OC , contenant x, et C respectivement, tels que Ox ∩ OC = φ.
– Un espace T3 si X est T1 , et régulier. (On dit également Hausdorff régulier.)
– Un espace T4 (ou normal) si X est T1 , et si, étant donnés deux fermés disjoints de X, C1 et C2 , il
existe deux ouverts disjoints O1 , et O2 , tels que C1 ⊂ O1 , et C2 ⊂ O2 .
Evidemment, T4 ⇒ T3 ⇒ T2 ⇒ T1 . Les caractérisations suivantes sont également utiles :
Lemme 1.2.2
1. Un espace X est T1 si et seulement si les singletons {x} ⊂ X sont des fermés.
2. Un espace est régulier si et seulement si les voisinages fermés de chaque point constituent une
base de voisinages.
Démonstration: 1- Soit {x} un singleton dans X. La propriété T1 implique que chaque point du
complémentaire de {x} est contenu dans un ouvert O, ne contenant pas x. Le complémentaire de {x}
est donc ouvert. Inversement, si l’on suppose que tout singleton est fermé, et x, y sont deux points
distincts de X, alors le complémentaire de {x} est un ouvert contenant y, mais pas x.
2- Supposons que les voisinages fermés de chaque point constituent une base de voisinages dans X.
Soient x, et C, comme dans (3). Le complémentaire X − C, de C, est un ouvert contenant x, donc,
d’après l’hypothèse, contient aussi un voisinage fermé, F , de x . On prend pour OC , le complémentaire
de F , et pour Ox , n’importe quel voisinage ouvert de x, contenu dans F . Inversement, supposons que X
est régulier. Soient x un point de X, et O un voisinage ouvert de X. La régularité de X implique qu’il
existe un ouvert U, contenant le complémentaire de O, et un ouvert V, contenant x, tels que U ∩ V = φ.
Le complémentaire de U est un fermé contenant V, et contenu dans O
•
Les axiomes le plus souvent utilisés en topologie sont T2 et T4 . Par exemple R est un espace normal.
Plus généralement, tout espace métrique est un espace normal. Habituellement, un espace de Hausdorff
est appelé simplement un espace séparé (sans autres précisions.)
1.3
Axiomes de dénombrabilité.
Définition 1.3.1 Un espace topologique S
1. Est séparable si S contient un sous ensemble dénombrable dense.
2. Satisfait le premier axiome de dénombrabilité (D1), si chaque point de S admet une base de
voisinages, qui est dénombrable.
3. Satisfait le second axiome de dénombrabilité (D2), si la topologie de S est à base dénombrable.
Tout espace métrique satisfait D1. Un espace métrique satisfait D2 si et seulement si il est séparable.
Tout espace qui satisfait D2 est séparable. La réciproque est fausse : voir R, avec la topologie engendrée
par les {[a, b[, a, b ∈ R}.
1.4
1.4.1
Treillis des topologies.
Comparaison des topologies.
Définition 1.4.1 (Topologie plus fine.) Soient deux topologies τ1 , et τ2 sur un ensemble X. On dit
que τ2 est plus fine que τ1 , si tout ouvert de τ1 est aussi un ouvert pour τ2 . C’est à dire, si τ1 ⊂ τ2 .
Remarque 1.4.2 Deux topologies τ1 et τ2 ne sont pas obligatoirement comparables. La topologie la
plus fine sur un ensemble est la topologie discrète (dans laquelle toute partie de X est un ouvert.) La
4
topologie la moins fine est la topologie grossière (qui ne contient que deux ouverts, X et φ.) On reviendra
plus en détail sur ces notions par la suite.
Définition 1.4.3 (Treillis des topologies.) Le treillis des topologies sur un ensemble X est la famille
partiellement ordonnée des topologies de X. Dans ce treillis, deux topologies τ1 et τ2 admettent toujours
un plus petit majorant, qui est la plus petite topologie contenant à la fois τ1 , et τ2 .
Si X est un ensemble fini, ce treillis s’explicite facilement (voir exercices.)
1.5
Suites généralisées.
Dans un espace métrique X, l’adhérence d’une partie A, de X, peut se décrire comme l’ensemble des
limites des suites convergentes de points de A. Cela reste vrai, plus généralement, si l’espace X satisfait
l’axiome D1. Dans le cas général, les suites ne sont plus suffisantes (voir exercices.) On utilise alors
des suites généralisées, ou nets. La différence essentielle avec les suites étant que l’ensemble des indices
de la suite n’est plus supposé dénombrable, ni totalement ordonné. Un ordre partiel reste cependant
indispensable.
Définition 1.5.1 [Ordre partiel.] Soit I un ensemble. Un ordre (partiel) sur I est la donnée d’un sous
ensemble G, de I × I, satisfaisant les conditions suivantes :
Pour tous i, i1 , i2 , éléments de I :
1. Transitivité : si (i1 , i2 ) ∈ G, et (i2 , i3 ) ∈ G, alors : (i1 , i3 ) ∈ G
2. Reflexivité : pour tout i ∈ I, (i, i) ∈ G.
3. Antisymétrie : si (i1 , i2 ) ∈ G, et (i2 , i1 ) ∈ G, alors i1 = i2 .
L’ensemble G est appelé un graphe.
On considére le plus souvent la relation sur I, associée au graphe G. On note cette relation , avec
i1 i2 ⇔ (i1 , i2 ) ∈ G.
Définition 1.5.2 [Ordre filtrant croissant.] Soit (I, ) un ensemble partiellement ordonné. On dit que
l’ordre est filtrant croissant si pour toute paire (i1 , i2 ), d’éléments de I, il existe une élément i, de I,
tel que i1 i, et i1 i. On dit que i est un majorant de {i1 , i2 }
Définition 1.5.3 [Nets] Soit X un espace topologique. Un net (ou suite généralisée) dans X est la
donnée d’un couple (x, I), dans lequel I est un ensemble muni d’un ordre filtrant croissant, et x est une
application de I dns X. On notera souvent xi l’élément x(i), et (xi )i∈I le net x.
Définition 1.5.4 [Sous-net (définition simplifiée).] Soit (xi )i∈I un net dans X. Un sous-net de (xi )i∈I ,
est un net (yj )j∈J dans X, dans lequel J ⊂ I, avec l’ordre hérité de I, et tel que pour tout i ∈ I, il
existe j ∈ J, avec j i.
On remarque que si I est l’ensemble des entiers naturels, avec l’ordre usuel, ces définitions coincident
avec les définitions de suites et de sous-suites.
Définition 1.5.5 [Convergence.]
– Un net (xi )i∈I dans un espace topologique X converge vers un point x ∈ X, si quel que soit le voisinage
Vx , de x, il existe i0 ∈ I, tel que, pour tout i, avec i0 i, xi ∈ Vx .
– Un point x ∈ X est appelé point d’accumulation (ou valeur d’adhérence) d’un net (xi )i∈I , si, quel que
soit le voisinage Vx , de x, et quel que soit i0 ∈ I, il existe i ∈ I, avec i0 i, tel que xi ∈ Vx . C’est à
dire, s’il existe un sous-net de (xi )i∈I , convergeant vers x.
Proposition 1.5.6 Soient X un espace topologique. Soit A une partie de X. Un point x est adhérent
à A si et seulement si il existe un net dans A, convergeant vers x.
5
Démonstration: Supposons d’abord que x est adhérent à A. Soit Bx une base de voisinages en x. Soit
V ∈ Bx , un voisinage de x. Alors V contient (au moins) un point de A que l’on notera aV . On ordonne
Bx par inclusion inverse. (C’est à dire : V1 V2 ⇔ V2 ⊂ V1 .) Le net (aV )V∈Bx converge vers x. La
réciproque est évidente.
•
6
Rappels - Exercices
Exercice 1 Sur X = [0, 1[⊂ R, on considére τ = {[0, α[, 0 < α ≤ 1} ∪ {φ}. Vérifier que τ est une
topologie sur X. Décrire les fermés de (X, τ ). Soit I = [a, b] ⊂ X. Décrire l’intérieur, l’adhérence et la
frontiére de I. X est-il un espace de Hausdorff ?, un espace T1 ?
Exercice 2 Soit R = {(x, 0)/x ∈ R} ⊂ R2 la droite réelle, considérée comme le sous ensemble du
plan, constituée des points dont l’ordonnée est nulle. On définit X = R ∪ {a}, avec a = (0, 1), a ∈ R2 .
On munit X de la topologie τ , dont les ouverts sont les parties de X qui sont contenues dans R, ou
sont le complémentaire d’un ensemble dénombrable :
τ = {O ∈ P(X)/O ⊂ R, ou : ∃A dénombrable : O = X − A}
Montrer que a est dans l’adhérence de R, mais qu’aucune suite de points de R ne converge vers a.
Quelles sont les suite de X qui admettent a comme valeur d’adhérence ? Quelle est la topologie induite
par X sur R ?
Exercice 3 Une partie K, d’un espace vectoriel E est dite convexe si quels que soient a1 et a2 , éléments
de K, et quels que soient les réels positifs λ1 , λ2 , avec λ1 + λ2 = 1, λ1 a1 + λ2 a2 ∈ K. Montrer
l’équivalence des propriétés suivantes :
1) K est convexe.
2) Pour tout ensembles
fini {a1 , a2 , . . .P
an } ⊂ K, et pour toute famille finie {λ1 , λ2 , . . . λn } de réels
Pn
n
positifs, telle que i=1 λi = 1, on a : i=1 λi ai ∈ K. (On appelle ce type de some une combinaison
convexe des ai .)
Exercice 4 Trouver toutes les topologies d’un ensemble à deux éléments (il en existe 4). Faire le treillis
de ces topologies.
Exercice 5 Soit X un ensemble ordonné. On définit, pour x ∈ X, les sous ensembles [x, →) = {y ∈
X/y ≥ x}, et (←, x] = {y ∈ X, y ≤ x}.
Les ensembles suivants de parties de X : Ad = {[x, →), x ∈ X}, et : Ag = (←, x], x ∈ X}, engendrent
des topologies sur X notées τd et τg , et appelées respectivement topologie droite et topologie gauche.
Montrer les assertions suivantes :
1) Les ensembles Ad , et Ag forment une base de τd et τg .
2) Pour les topologies τd et τg , toute intersection d’ouverts est un ouvert.
3) Pour la topologie droite {x} = (←, x]. Pour la topologie gauche {x} = [x, →).
4) Pour ces deux topologies, toute partie non vide finie possède un point isolé.
5) Si, pour τd , la partie X est sans point isolé, alors tout ouvert est infini (de même pour τg ).
6) Sup(τd , τg ) = U, la topologie discrète.
Exercice 6 Pour a > 0 et b, c ∈ R, soit Da,b,c = {(x, y) ∈ R × R/y ≥ ax + b, et y ≥ −ax + c}. On
note D l’ensemble des Da,b,c , avec a > 0 et b, c ∈ R.
1) Représenter graphiquement les ensembles Da,b,c . Montrer que si A, B ∈ D, alors A ∩ B 6= φ, et
∀x ∈ A ∩ B, ∃Cx ∈ D tel que x ∈ Cx ⊂ A ∩ B
2) En déduire que A ∩ B est réunion d’éléments de D.
3) Soit τ l’ensemble des réunions quelconques ou vides d’éléments de D. Montrer que (R2 , τ ) est un
espace topologique de base D.
4) Pour cette topologie τ montrer que tout ouvert non vide est partout dense.
5) Déterminer l’intérieur et l’adhérence de :
A = {(0, 0)};
B = {(x, y), x2 + y 2 < 1};
S = {(x, y), x2 + y 2 = 1};
B 0 = {(x, y), x2 + y 2 ≤ 1};
C = {(x, y), y > 0};
7
D = {(x, y), x > 0};
E = {(0, y), y > 0};
R × {0};
{0} × R;
Z × Z.
6) Trouver les topologies induites surR × {0} ; et {0} × R par τ .
7) Soit D0 = D ∪ E, où E = {Ea,b , a, b ∈ R}, et Ea,b = {(a, y), y ≥ b}
a) Montrer que D0 est base d’une topologie τ 0 sur R2 .
b) Démontrer que τ 0 est strictement plus forte que τ .
c) Quelles sont les topologies induites par τ 0 sur {0} × R et R × {0} ?
d) Trouver les points isolés pour τ et τ 0 de B, B 0 et S.
e) Est-ce que τ 0 possède la propriété 4) ?
f ) Calculer l’intérieur et l’adhérence de D, pour τ 0 .
Exercice 7 Soit (X, d) un espace métrique, et soit P ⊂ X une partie de X. Soit x un point de X.
1) Montrer l’équivalence des assertions a) et b) ci dessous :
a) x est un point adhérent à P .
b) Il existe une suite de points de P qui converge vers X.
2) En déduire que la topologie définie à l’exercice 2 n’est pas métrisable.
Exercice 8 On reprend l’espace X, de l’exercice ??. Soit f : X → {0, 1}, définie par f (x) = 0, si
x ∈ R, et f (a) = 1. Montrer que f est séquentiellement continue, mais non continue sur X. (On dit
qu’une application f est séquentiellement continue sur X, si, pour tout x ∈ X, et pour toute suite
(xn )n∈N , convergeant vers x, dans X, la suite (f (xn ))n∈N converge vers f (x).)
Exercice 9 Soit (X, τ ) un espace topologique. On dit qu’une partie A ⊂ X est rare (ou nulle part
dense) si A est d’intérieur vide. Une réunion au plus dénombrable de parties rares est dite maigre.
1) Montrer que si A est rare, toute partie de A est rare.
2) Montrer que toute réunion dénombrable de parties maigres est maigre.
3) Montrer l’équivalence de ii), et iii), et que i) implique ii) ci dessous :
i) Toute partie maigre est rare.
ii) Toute réunion dénombrable de fermés rares est d’intérieur vide.
iii) Toute intersection dénombrable d’ouverts denses est dense.
(Un espace qui satisfait ces propriétés est appelé espace de Baire.)
4) On munit R de la topologie τ , engendrée par les parties de R, dont le complémentaire est au plus
dénombrable ; (R, τ ) est il un espace de Baire ?
5) Même question pour R muni de la topologie droite τd ( ayant pour base les intervalles [x, +∞[).
8
Chapitre 2
Produits d’espaces topologiques
2.1
Topologie produit.
Définition 2.1.1 [Application ouverte, application fermée.] Soient X et Y deux espaces topologiques.
Une application f : X → Y est dite dite ouverte (resp.fermée) si l’image par f d’un ouvert (resp. d’un
fermé) de X est un ouvert (resp. un fermé) de Y .
Définition 2.1.2 [Espace produit.] Soit (Xi )i∈I une famille
Q d’espaces topologiques (pouvant être finie,
dénombrable ou non dénombrable). L’ espace produit X = i∈I Xi est leQproduit cartésien des espaces
Xi , muni de la topologie engendrée par les ouverts élémentaires : O = i∈I Oi , pour lesquels chaque
Oi est un ouvert de Xi , et Oi = Xi , sauf pour un nombre fini d’indices. Ces ouverts élémentaires
constituent une base de la topologie produit.
Note 2.1.3 Dans tout ce qui suit, nous supposerons que l’espace produit X n’est pas vide (i.e., aucun
des Xi est vide.) L’exclusion de cas trivial permettra d’alléger l’énoncé des propositions et théorèmes.
La topologie produit est donc constituée des réunions quelconques
d’ouverts élémentaires.
Les ouverts
Q
Q
Q
élémentaires
sont
une
base
de
la
topologie
produit,
car
O
∩
U
=
O
∩
U
, pour tout
i
i
i
i
i∈I
i∈I
i∈I
Q
Q
couple ( i∈I Oi , i∈I Ui ) d’ouverts élémentaires.
Q
S
Notation 2.1.4 Un élément x, du produit X = i∈I Xi , est une application x : I → i∈I Xi , telle
que, pour tout i, élément de I, x(i) ∈ Xi . On notera également l’application x comme la famille (xi )i∈I .
Définition 2.1.5 (Projection canonique.) On note, pour chaque i ∈ I, la projection canonique pi :
X → Xi , définie par pi ((xj )j∈I ) = xi (ou encore : pi (x) = x(i).)
Proposition 2.1.6 Chacune des projections pi est une application surjective, continue et ouverte.
Démonstration:QLa surjectivité est évidente. Soit pi une projection. Soit Oi un ouvert de
Q Xi . On a
p−1
(O
)
=
O
×
X
,
qui
est
un
ouvert
élémentaire
;
p
est
donc
continue.
Soit
U
=
i
i
j
i
i
j6=i
j∈I Uj un
ouvert élementaire. pi (U) = Ui est un ouvert de Xi ; pi est donc une application ouverte.
•
Note 2.1.7 Les projections
pi ne sont cependant en général pas fermées. Penser par exemple à R2 ,
S
avec le fermé F = {n>0, entier} [n, n + 1/2] × [0, 1 − 1/n].
Proposition 2.1.8 La topologie produit est la topologie la moins fine sur X rendant toutes les projections pi continues.
9
Démonstration: On a déjà vu que les projections sont continues, si X est muni de la topologie produit.
Soit τ une topologie
Q sur X rendant chacune des projections pi continues. Soit Oi un ouvert de Xi . Alors
p−1
i (Oi ) = Oi ×
j6=i Xj est un ouvert de τ . Les ouverts élémentaires sont des intersections finies de ce
type d’ouverts, donc appartiennent aussi à τ . Il en résulte que τ contitent la topologie produit.
•
Note 2.1.9 On dit que la topologie produit est la topologie initiale de la famille d’application (pi )i∈I .
Les topologies initiales seront étudiées de maniére plus systématique dans la suite du cours.
2.2
Propriétés de la topologie produit.
Q
Proposition 2.2.1 Si chacun des espaces Xi est un espace de Hausdorff, le produit X = i Xi est
également un espace de Hausdorff. Inversement, si X est un espace séparé (au sens de Hausdorff ),
chacun des Xi est également un espace de Hausdorff.
Démonstration: Soient x et y deux points distincts de X. Il existe un indice i ∈ I, tel que xi 6= yi .
Soient Ox et Oy deux ouverts disjoints de Xi , contenant respectivement xi et yi . Alors p−1
i (Ox ), et
p−1
(O
)
sont
deux
ouverts
disjoints
de
X,
contenant
respectivement
x
et
y.
y
i
•
Proposition 2.2.2 Soit (xν )ν∈J un net dans l’espace produit X. Alors (xν )ν∈J converge vers x ∈ X
si et seulement si pour chaque projection pi : X → Xi , le net (pi (xν ))ν∈J converge vers vers pi (x).
Démonstration: Il est clair que si (xν )ν∈J converge vers x, alors (pi (xν ))ν∈J converge vers pi (x), par
continuité des applications
projections.Q
Réciproquement, soit Ux un ouvert élémentaire de X, contenant
Q
x. Ecrivons Ux = j∈{j1 ,j2 ,...,jn } Oj × i∈{j
/ 1 ,j2 ,...,jn } Xi . Il existe ν0 , tel que pour tout ν > ν0 , et pour
tout j ∈ {j1 , j2 , . . . , jn }, pj (xν ) ∈ Oj . Alors, pour tout ν > ν0 , xn u ∈ Ux .
•
Théorème 2.2.3 [Théorème de Tychonov.] Soit X =
si chacun des espaces Xi est compact.
Q
i∈I
Xi . Alors X est compact si et seulement
Démonstration: Si X est compact, chacun des Xi = pi (X) est compact, car les projections pi sont
continues. Inversement, supposons que chacun des Xi est compact. La réciproque peut se démontrer de
maniére simple pour un produit dénombrable d’espaces métriques (voir les exercices.) La démonstration
dans le cas général sera donnée dans un chapitre ultérireur, consacré aux propriétés et caractérisations
des espaces compacts.
•
Théorème 2.2.4 Si chacun des Xi est connexe, l’espace produit X =
Q
i∈I
Xi est également connexe.
Démonstration: Voir le chapitre sur les espaces connexes.
•
Note 2.2.5 On rappelle qu’un espace topologique Y est dit compact si, de tout recouvrement ouvert
de Y , on peut extraire un sous-recouvrement fini. Si Y est un espace métrique, alors Y est compact
si et seulement si de toute suite de points de Y , on peut extraire une sous suite convergente dans Y
(théorème de Bolzano-Weierstrass).
Un espace topologique Y est dit connexe si les seules parties à la fois ouvertes et fermées de Y sont l’ensemble vide, et Y lui-même. On étudiera cette notion de connexité en détail dans un chapitre ultérieur.
10
Produits d’espaces topologiques - Exercices
˜ définie par d(x,
˜ y) = d(x, y)/(1 + d(x, y))
Exercice 10 Soit (X, d) un espace métrique. Montrer que d,
˜
est également une distance sur X, et que les topologies définies par d et d sont identiques.
Exercice 11 Soit (Xn , dn )n∈N une suite d’espaces métriques. On suppose que pour tout entier n, et
pour tout couple (xn , yn ), d’éléments de Xn , on a dn (xn , yn ) < 1.
1. Soit X le produit des (Xn )n∈N . Montrer que d(x, y) =
sur X.
P
n∈N
2−n dn (xn , yn ) définit une distance
2. Montrer que chacune des projection pn : X → Xn est une application continue, lorsque X est
muni de la distance d.
3. En déduire que la topologie de X, associée à la distance d, est plus fine que la topologie produit
sur X.
4. Soient x ∈ X, et B(x, ) une boule ouverte, centrée en x de rayon > 0 relative à la distance d.
Montrer qu’il existe un voisinage V, de x, pour la topologie produit, tel que V ⊂ B(x, ).
5. En déduire que la topologie produit sur X est identique à la topologie associée à la distance d.
Exercice 12 Soit X un produit dénombrable d’espaces métriques (X(l), dl )l∈N . On suppose que chacun
des (X(l))l∈N est compact. Soit (xn )n∈N une suite dans X.
1. Construire par récurrence, pour chaque q ∈ N, une suite x(q) , telle que
– x(0) est une sous-suite de la suite (xn )n∈N
– x(q) est une sous-suite de x(q−1) , pour tout q ≥ 1
– pq (x(q) ) est une suite de Cauchy dans X(q).
2. Soit (yq )q∈N une suite construite en choisissant, pour chaque q, un point, xn(q) arbitrairement,
dans la suite x(q) , de telle sorte que : n(q + 1) > n(q). Montrer que la suite (yq )q∈N est une
sous-suite convergente de la suite (xn )n∈N , dans X.
3. En déduire que X est compact.
Exercice 13 Soit X =
Q
j∈J
XJ . Soient Y un espace topologique, et f : Y → X une application.
1. Montrer que si f est continue, chacune des applications pj ◦ f : Y → Xj est continue.
2. Inversement, on suppose maintenant que chacune des pj ◦ f : Y → Xj est continue. Soient y ∈ Y ,
et O un ouvert élémentaire de X contenant f (y). Montrer que, pour chaque j ∈ J, il existe un
voisinage ouvert Uj , de y dans Y , tel que pj ◦ f (Uj ) ⊂ pj (O)
3. Montrer que l’on peut choisir les Uj de la question précédente, de telle sorte que leur intersection
soit encore un ouvert de Y .
4. En déduire que, sous l’hypothése de la question (2), f est continue.
Exercice 14 Soit f : R × R → R, définie par f (x, y) = xy/(x2 + y 2 ), si x2 + y 2 6= 0, et f (0, 0) = 0.
Montrer que pour tout x ∈ R, l’application partielle fx : y → f (x, y) est continue, de R, dans R.
Montrer de même que, pour y ∈ R fixé, l’application partielle fy : x → f (x, y) est continue, mais que f
n’est pas continue, de R2 , dans R
Exercice 15 Montrer que les applications de R dans R : x → sin(x), et x → x2 ne sont pas ouvertes.
Exercice 16
1. Donner un exemple d’application f : R → R, qui soit continue, ouverte, et fermée.
2. Donner un exemple d’application f : R → R, qui soit continue et ouverte, mais non fermée.
3. Donner un exemple d’application f : R → R, qui soit continue et fermée, mais non ouverte.
4. Donner un exemple d’application f : R → R, qui soit continue, mais ne soit ni ouverte, ni fermée.
11
Exercice 17 Soit f : X → Y une application entre deux espaces topologiques.
1. Montrer que f est ouverte si et seulement si , pour toute partie P ⊂ X, f (P ◦ ) ⊂ (f (P ))◦ .
2. Montrer que f est fermée si et seulement si , pour toute partie P ⊂ X, f (P ) ⊂ f (P ).
Exercice 18 Soit X =
Q
i∈I
Xi .
1. On se donne, pour chaque i ∈ I, un fermé Fi ∈ Xi . Montrer que
Q
i∈I
Fi est un fermé de X.
2. Soit (Ai ⊂ Xi )i∈I une famille de parties des XQ
i . Soit x ∈ X. Montrer que si, pour tout i ∈ I,
pi (x) est adhérent à Ai , alors, x est adhérent à i∈I Ai .
Q
Q
3. En déduire que pour toute famille (Ai ⊂ Xi )i∈I de parties des Xi , on a i∈I Ai = i∈I Ai .
Exercice 19 Soit X = X1 × X2 × . . . × Xn un produit fini d’espaces
Qn topologiques.
Qn Montrer pour toute
famille {A1 ⊂ X1 , A2 ⊂ X2 , . . . An ⊂ Xn } de parties des Xi , ( i=1 Ai )◦ = i=1 (Ai )◦ . Cela reste-t-il
vrai pour un produit infini ?
Exercice 20 [Exercice de révisions.] Soit f : X → Y une application entre deux espaces topologiques.
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
1. Pour tout ouvert O, de Y , f −1 (O) est un ouvert de X.
2. Pour tout fermé F , de Y , f −1 (F ) est un fermé de X.
3. f est continue en chaque point x ∈ X (i.e : pour tout voisinage ouvert, Of (x) , fr f (x) dans Y , il
existe un voisinage ouvert Ox , de x dans X, tel que f (Ox ) ⊂ Of (x) .
Une application satisfaisant ces conditions est dite continue sur X.
12
Chapitre 3
Espaces compacts.
3.1
Nets et filtres.
Définition 3.1.1 [Eventuellement et finalement.]
1. Soient (xi )i∈I un net dans un ensemble X, et A une partie de X. On dira que le net (xi )i est
fréquemment dans A si, quel que soit i0 ∈ I, il existe i1 ∈ I, i0 i1 , tel que xi1 ∈ A.
2. Soient (xi )i∈I un net dans un ensemble X, et A une partie de X. On dira que le net (xi )i est
finalement dans A s’il xiste i0 ∈ I, tel que pour tout i ∈ I, avec i0 i, xi ∈ A.
Note 3.1.2 On peut réecrire avec cette terminologie les notions de convergence déjà vues au chapitre
précédent : Soit (xi )i∈I un net dans X.
– Le net (xi )i∈I converge vers x ∈ X si et seulement si (xi )i∈I est finalement dans chacun des
voisinages ouverts de x.
– Un point x ∈ X est un point d’accumulation du net (xi )i∈I , si et seulement si (xi )i∈I est fréquemment
dans chacun des voisinages ouverts de x.
Lemme 3.1.3 Soit x : I → X un net dans X. Soient A et B deux parties de X. Alors x est
fréquemment dans A ∪ B si et seulement si x est fréquemment dans A, ou fréquemment dans B.
Démonstration: Supposons que x est fréquemment dans A∪B, et que x n’est fréquemment ni dans A,
ni dans B. Il existe iA et iB , éléments de I, tels que pour tout i0 , élément de I, on ait : [iA i0 ⇒ xi0 ∈
/ A],
et [iB i0 ⇒ xi0 ∈
/ B]. Il suffit alors de considérer un majorant de {iA , iB }, pour voir que x n’est pas
fréquemment dans A ∪ B. La réciproque est évidente.
•
Définition 3.1.4 [Sous-net : définition généralisée.] Soit x : I → X un net dans un espace X. Un
sous-net de (xi )i∈I est la donnée d’un net y : M → X, et d’une application h : M → I, telle que
y = x ◦ h (i.e : (ym = xh(m) )m∈M ), et telle que pour tout i, élément de I, il existe m ∈ M , tel que
i h(m0 ), pour chacun des m0 ∈ M , majorant m
Dans la plupart des cas, l’application h pourra être choisie monotone croissante. Il suffira alors de
vérifier que pour chaque i ∈ I, il existe m ∈ M , tel que i h(m). On est alors ramenés à la définition
simplifiée, donnée au chapitre précédent.
Définition 3.1.5 [Net universel.] Un net (xi )i∈I , dans un espace X est dit universel si, pour toute
partie A ⊂ X, le net (xi )i∈I est finalement dans A, ou est finalement dans X − A.
On remarque qu’un net universel converge vers chacun de ses points d’accumulation. Si X est un espace
de Hausdorff, un net universel posséde au plus un point d’accumulation, qui est alors sa limite.
13
Lemme 3.1.6 [Lemme technique.] Soit B une famille de parties de X, qui est filtrante croissante pour
l’inclusion inverse. Soit (xi )i∈I un net qui est fréquemment dans chacune des parties B ∈ B. Il existe
un sous-net (xh(µ) )µ∈M , de (xi )i∈I , qui soit finalement dans chacun des b ∈ B.
Démonstration: Soit M = {(i, B) ∈ I × B, /xi ∈ B}. On munit M de l’ordre produit sur I × B, c’est
à dire : (i1 , B1 ) (i2 , B2 ) si et seulement si i1 i2 , et B2 ⊂ B1 . On vérifie que M , muni de cete ordre,
est filtrant croissant. On définit h : M → I, par h(i, B) = i, alors le net (xh(µ) )µ∈M est finalement dans
chacune des parties B ∈ B.
•
Définition 3.1.7 [Filtre pour un net.] On appelle filtre pour le net (xi )i∈I , une famille F, de parties
non vides de X, telle que :
1. Si F1 ∈ F, et F2 ∈ F, alors F1 ∩ F2 ∈ F. (En particulier, F est une famille de parties de X qui
est filtrante croissante pour l’inclusion inverse.)
2. Si F ∈ F, et si G est une partie de X contenant F , alors G ∈ F.
3. Le net (xi )i∈I est fréquemment dans chacun des F ∈ F.
Les filtres pour un net (xi )i∈I sont ordonnés partiellement par l’inclusion. On dira que F1 F2 , ou
encore, que F2 est plus fin que F1 , si F1 ⊂ F2 . L’ ensemble des filtres de (xi )i∈I est non vide ({X}
est toujours un filtre de (xi )i∈I ). De plus, tout famille de filtres {Fj , j ∈ J}, totalement ordonnée par
l’inclusion admet un majorant (la réunion des filtres {Fj , j ∈ J} est encore un filtre pour (xi )i∈I .) Par
le lemme de Zorn, il existe donc un filtre maximal F, pour (xi )i∈I .
Lemme 3.1.8 [Lemme technique.] Tout net (xi )i∈I admet un sous-net universel.
Démonstration: Soit F un filtre maximal pour (xi )i∈I . Fixons une partie Y ⊂ X. Soient E ∈ F et F ∈
F. Le net (xi )i∈I est fréquemment dans E∩F , car E∩F ∈ F. Comme E∩F = (E∩F ∩Y )∪(E∩(F −Y )),
le net (xi )i∈I , est fréquemment dans E ∩ F ∩ Y , ou fréquemment dans E ∩ (F − Y ). A fortiori, le net
(xi )i∈I est fréquemment dans dans E ∩ Y , ou fréquemment dans F − Y . Il en résulte que (xi )i∈I est
fréquemment dans E ∩ Y , pour tout E ∈ F, ou fréquemment dans F − Y , pour tout F ∈ F.
Dans le premier cas, F 0 = {G ⊂ X/E ∩ Y ⊂ G, E ∈ F } est un filtre pour (xi )i∈I , contenant F. Par
maximalité, on a F = F 0 , et donc Y ∈ F. Dans le second cas (en remplaçant E ∩ Y par F − Y ), on
conclut de la même maniére que F −Y ∈ F, ce qui implique X −Y ∈ F. Appliquant le lemme technique
précédent, avec B = F, on obtient un sous net (xµ )µ de (xi )i∈I , qui est finalement dans Y (premier
cas), ou finalement dans X − Y (second cas.)
•
3.2
Espaces compacts.
Théorème 3.2.1 Soit (X, τ ) un espace topologique. les conditions suivantes sont équivalentes :
1. Tout recouvrement ouvert de X contient un sous-recouvrememnt fini de X.
2. Si ∆ est une famille de fermés de X, telle que toute intersection finie d’éléments de ∆ soit non
vide, alors l’intersection de tous les éléments de ∆ est non vide.
3. Tout net dans X posséde un point d’accumulation.
4. Tout net universel dans X est convergent.
5. Tout net dans X admet un sous-net convergent.
Démonstration:
T
(1) ⇒ (2). Soit ∆ comme dans (2), et supposons que F ∈∆ F = φ. Alors {X − F, F ∈ ∆} est un
recouvrement ouvert de X. Par (1), on peut en extraire un sous recouvrement fini {X − F1 , X −
F2 , . . . , X − Fn } de X. Alors, F1 ∩ F2 ∩ . . . ∩ Fn = φ, ce qui est une contradiction.
14
(2) ⇒ (3). Soit (xi )i∈I un net dans X. On définit, T
pour chaque i ∈ I, Fi = {xj , i j}. Alors ∆ =
{Fi , i ∈ I} vérifie les conditions de (2). Soit x ∈ i∈I Fi . Soit Ox un voisinage ouvert x. Comme x
est adhérent à chacun des sous ensembles {xj , i j}, lorsque i parcourt I, Ox rencontre chacun de
ces sous ensembles. Le net (xi )i∈I est donc fréquemment dans Ox . Comme cela est vrai quel que soit
le voisinage ouvert de x, x est un point d’accumulation de (xi )i∈I .
(3) ⇒ (4). Un net universel converge vers chacun de ses points d’accumulation.
(4) ⇒ (5). Utiliser le lemme technique ??.
(5) ⇒ (3). Evident.
(3) ⇒ (1). Soit σ un recouvrement ouvert de X, dont on ne peut extraire aucun sous-recouvrement
S
fini. Soit λ un sous ensemble fini de σ. Il existe un point xλ ∈ X, n’appartenant pas à {O ∈ λ}.
On ordonne les sous ensembles finis λ ⊂ σ par l’inclusion (λ1 λ2 si tout ouvert appartenant à
λ1 appartient aussi à λ2 .) Cet ordre est filtrant croissant. Utilisant l’axiome du choix, on peut donc
former le net (xλ )λ , indéxé par les parties finies λ, de σ. Par (3) (qui est une conséquence de (1)),
(xλ )λ possède un point d’accumulation x ∈ X. Soit U ∈ σ. Soit Ox un voisinage ouvert quelconque
de x. Il existe λ0 , partie finie de σ, telle que xλ ∈ Ox , pour toute partie finie, λ ⊂ σ, contenant λ0 .
En particulier, xλ0 ∪{U } ∈ Ox . A fortiori, X − U ∩ Ox 6= φ. Ceci étant vrai pour tout voisinage ouvert
Ox , de x, on en déduit x ∈ X − U (car X − U est fermé.) En répétant l’argument pour chacun des
U ∈ σ, on conclut que x n’appartient à aucun des ouverts de σ, et que σ ne recouvre donc pas X, ce
qui est contradictoire.
Définition 3.2.2 [Espace compact.] Un espace X satisfaisant les condition du théorème ?? sera dit
compact.
Note 3.2.3 On inclut parfois, dans la définition d’un espace compact, la condition que X soit séparé
(au sens de Hausdorff ). Il existe cependant des exemples importants d’espaces qui sont compacts (au
sens ci-dessus), mais non séparés. De plus, l’axiome de séparation ne simplifie pas substanttiellement
les démonstrations. On adoptera donc la terminologie distinguant ”espace compact” et ”espace compact
séparé.”
3.3
Propriétés des espaces compacts.
Lemme 3.3.1 Soit X un espace compact. Soit C ⊂ X, un fermé de X. Alors C est compact (pour la
topologie héritée de X.)
Démonstration: C’est une conséquence de ??, (2). Comme C est fermé dans X, les fermés de C pour
la topologie relative sont également des fermés de X.
•
Proposition 3.3.2 Tout espace compact séparé est un espace T3 (i.e. Hausdorff régulier.)
Démonstration: Soit (X, τ ) un espace compact séparé. Soit C un fermé dans X, soit x ∈ X − C.
Comme X est un espace de Hausdorff, on peut trouver, pour chacun des y ∈ C, deux voisinages
ouverts Uy , de y, et Vy , de x, dont l’intersection est vide. Comme C est compact, il existe un ensemble
fini {yS
tel que {Uy1 , Uy2 . . . , Uyn } recouvre C. Il suffit alors de prendre
1 , y2 . . . , yn } de points de C, T
OC = {Uy1 , Uy2 . . . , Uyn }, et Ox = {Vy1 , Vy2 . . . , Vyn }.
•
Proposition 3.3.3 Si X est Hausdorff, et si C ⊂ X est compact, alors, pour tout x ∈ X − C, il existe
deux ouverts disjoints Ox , et OC , contenant respectivement x et C
Démonstration: Identique à la démonstration précédente.
•
Corollaire 3.3.4 Soit X un espace de Hausdorff. Soit C ⊂ X. Si C est compact, alors C est fermé.
15
Démonstration: Soit x ∈ X, x 6∈ C. La proposition précédente montre que x n’est pas dans l’adhérence
de C.
•
Corollaire 3.3.5 Soit X un espace compact séparé. Soit C ⊂ X. Alors C est compact si et seulement
si C est fermé.
Démonstration: Utiliser ?? et ??
Théorème 3.3.6 Tout espace de Hausdorff compact est un espace normal.
Démonstration: Soient C1 et C2 deux fermés disjoints dans X. Alors C1 et C2 sont compacts. Comme
X est T3 , on peut trouver, pour chaque x ∈ C2 , deux ouverts disjoints Ox et Ux , contenant x,
et C1 respectivement. Du recouvrement ouvert
S {Ox , x ∈ C2 }, on extrait unTsous recouvrement fini
{Ox1 , Ox2 , . . . , Oxn }. On prend alors OC2 = {Ox1 , Ox2 , . . . , Oxn }, et OC1 = {Ux1 , Ux2 , . . . , Uxn }.
•
Proposition 3.3.7 Soit f : X → Y une application continue entre deux espaces topologiques X et Y .
Si X est compact, f (X) est compact.
Démonstration: Soit σ un recouvrement ouvert de f (X). Alors f −1 (σ) est un recouvrement ouvert de
X. On extrait de f −1 (σ) un sous-recouvrement fini {O1 , O2 , . . . , On } de X. Alors {f (O1 ), f (O2 ), . . . , f (On )}
est un recouvrement fini de f (X), extrait de σ.
•
Théorème 3.3.8 [Théorème de Tychonov.] Soit X =
compact.
Q
j∈J
Xj . Si chacun des Xj est compact, X est
Démonstration: Soit x un net universel dans X. Pour chaque j ∈ J, notons pj : X → Xj la projection.
Alors, pj (x) est un net universel dans Xj . Comme Xj est compact, pj (x) est convergent. Il en résulte
que x est convergent.
•
16
Espaces compacts - Exercices
P
Exercice 21 On note K3 l’ensemble des réels de la forme x = n≥1 αn 3−n , avec, pour tout n, αn ∈
{0, 2}. La topologie de K3 est la topologie héritée de la droite réelle (celle de la distance.) Montrer
que K3 est d’intérieur vide, et que K3 ne contient pas de point isolé. L’espace K3 s’appelle l’espace de
Cantor.
Exercice 22 Pour chaque entier n ≥ 0, on définit K3 (n) par récurrence :
– K3 (0) = [0, 1].
– K3 (n + 1) est obtenu de K3 (n) en enlevant le tiers central ouvert de chacun des intervalles composant
K3 (n).
On note I(3) l’intersection de tous les K3 (n), n parcourant N. Montrer que I(3) est compact, non vide.
Exercice 23 On reprend les espaces construits dans les exercices ?? et ??. Montrer que K3 et I(3)
sont les mêmes sous-ensembles de l’intervalle [0, 1].
Exercice 24 Soit f : X → Y une bijection continue entre deux espaces topologiques X et Y . Montrer
que si X est compact, et Y est séparé, f est automatiquement une application ouverte. En déduire
que la bijection réciproque f −1 est également continue. (Une bijection continue dont la réciproque est
également continue s’appelle un homéomorphisme.)
Exercice 25 Soit f : X → Y une application entre deux espaces de Hausdorff compacts. Montrer que
si le graphe de f est fermé dans X × Y , alors f est continue. Réciproque ?
Exercice 26 Montrer que si f : X → Y est une bijection entre deux espaces compacts séparés, alors f
est continue si et seulement si f est ouverte.
Exercice 27 Montrer que K3 est homéomorphe à
Q
n∈N
En , avec En = {0, 2}, pour tout n.
Exercice 28 [Plus difficile.]
1. Soit x ∈ K3 . Montrer qu’il existe une base de voisinages de x, constituée de parties à la fois
ouvertes et fermées de K3 .
2. Soit x ∈ K3 . Soit Ox un ouvert de K3 contenant x. Montrer que Ox est la réunion de deux ouverts
disjoints de K3
Exercice 29 Soit X un espace métrique compact. Soit R un recouvrement ouvert de X. Montrer qu’il
existe un > 0 tel que toute boule ouverte de rayon soit contenue dans l’un au moins des ouverts du recouvrement. (Le sup des satisfaisant cette condition est appelée le nombre de Lebesgue du recouvrement
R.)
Exercice 30 Soit X = ([−1, 0] × {0}) ∪ ([0, 1] × {1}) ⊂ [−1, 1] × {0, 1}. Vérifier que l’application
p : X → R+ , définie par p((x1 , i1 ), (x2 , i2 )) = |x1 − x2 | satisfait l’inégalité triangulaire. (On dit que
p est une pseudo-distance sur X.) En déduire que l’intersection de deux boules ouvertes (au sens de
la pseudo-distance p) est une réunion de boules ouvertes (toujours au sens de la pseudo-distance.) En
déduire que ces boules ouvertes constituent une base d’une topologie τ , sur X. Montrer que la suite
((1/n, 1))n>0 converge vers (0, 0), et vers (0, 1). Essayer de trouver une variante de cet exercice dans
lequel X est T1 .
Exercice 31 Soit (xi )i∈I un net dans un espace X. Soit A ⊂ X une partie de X. Montrer que le net
(xi )i∈I ne peut pas à la fois être finalement dans A, et finalement dans X − A.
17
Exercice 32 1-Soit X un espace de Hausdorff. Soit (xi )i∈I un net dans X, covergeant vers un point
x0 ∈ X. Soit y un point de X, distinct de x0 . Montrer qu’il existe un voisinage ouvert, Oy , de y, tel que
(xi )i∈I soit finalement dans X − Oy . En déduire qu’un net universel dans X admet au plus un point
d’accumulation.
2-Réciproque : montrer que si X n’est pas un espace de Hausdorff, on peut construire un net dans X
convergeant vers deux points distincts x, et y, de X. (Choisir une base Bx , de voisinages ouverts de x,
une base By , de voisinages ouverts de y. Indexer le net par les couples (Ox ∈ Bx , Oy ∈ By ), avec l’ordre
produit sur Bx × By .)
Exercice 33 [Lemme d’Urysohn.]
1. Soit X un espace normal. Soient F ⊂ O ⊂ X deux parties de X, avec F fermée et O ouverte.
Montrer qu’il existe un ouvert U ⊂ X, tel que F ⊂ U ⊂ U ⊂ O.
2. Construire par induction une suite (Ur )r , indéxée par {r = m/2n , avec : n ≥ 1, m < 2n }, telle
que pour tous r < r0 , on ait : F ⊂ Ur ⊂ Ur ⊂ Ur0 ⊂ Ur0 ⊂ O.
S
S
3. Soit f : X → [0, 1], définie par : f (x) = 1, si x ∈
/ r Ur , et f (x) = inf {r/x ∈ Ur }, si x ∈ r Ur .
Soit t ∈ [0, 1]. Expliciter f −1 ([0, t[) et f −1 ([0, t]), pour t > 0. En déduire f −1 (]t, 1]), pour t < 1.
Montrer que f est continue.
4. En déduire que si X est normal, et si E et F sont deux fermés disjoints de X, il existe une fonction
f : X → [0, 1], qui est continue, vaut 0 sur F , et vaut 1 sur E. (C’est le lemme d’Urysohn.)
Exercice 34 [Tiré du livre de Georges Skandalis.] Soit X un espace topologique normal. Soit Φ =
C(X, [0, 1]) l’espace des applications continues, de X dans [0, 1]. On note Y = [0, 1]Φ , l’ensemble des
applications de Φ dans [0, 1], muni de la topologie produit.
1. Montrer que l’application x ∈ X → Tx ∈ Y , avec Tx (f ) = f (x), pour toute fonction f ∈ Φ est
continue.
2. Montrer que x → Tx est injective. (Utiliser le lemme d’Urysohn.)
3. En déduire que pour tout espace compact séparé K, il existe un ensemble Φ, tel que K soit
homéomorphe à une partie fermée de [0, 1]Φ
Exercice 35 [Commentaires pour les curieux.] Soit K un compact de R. On dit que K est autosimilaire Ss’il existe des similitudes de R, de rapport inférieur strictement à 1, s1 , s2 , . . . , sn , telles
n
que K = j=1 sj (K). Appelons rj le rapport de chaque similitude sj . L’ application D : R+ → R+ ,
P
définie par D(t) = 1≤i≤n rit est strictement décroissante. Il existe donc un unique dH ∈ R, tel que
D(dH ) = 1. On dit alors que la dimension fractale de K est plus petite ou égale à dH . Montrer que
K3 est auto-similaire, avec deux similitudes de rapport 1/3. En déduire que la dimension fractale de K3
est ln(2)/ln(3). (Cette dimension fractale est ici un cas particulier de la dimension de Hausdorff, qui
est en général difficile à calculer.)
Soit E un espace métrisable séparable. On dit que la dimension topologique de E est 0 si E admet une
base topologique constituée de parties à la fois ouvertes et fermées. On dit que E est de dimension au
plus n si E admet une base topologique d’ouverts dont la frontiére est de dimension au plus n − 1.
L’espace K3 est donc de dimension topologique 0. La définition originale d’un fractal proposée par
Benoit Mandelbrojt, est ”un espace métrique compact, dont la dimension de Hausdorff est strictement
supérieure à la dimension topologique”. L’espace de Cantor K3 satisfait bien cette condition.
18
Chapitre 4
Topologies initiales.
4.1
Définition et exemples.
Définition 4.1.1 Soit (Xi )i∈I une famille d’espaces topologiques, soit X un ensemble. On suppose
donnée, pour chaque i ∈ I, une application fi : X → Xi . La topologie initiale de (X, (fi )i∈I ), est la
topologie la moins fine sur X, qui rende continues chacune des applications appartenant à {fi , i ∈ I}.
Q
Exemples 4.1.2
1. Soit X = i∈I Xi . Notons, pour chaque i ∈ I, pi : X → Xi la projection. La
topologie produit sur X est la topologie initiale de la famille (X, pi )i∈I .
2. Soit X un espace topologique. Soit A ⊂ X une partie de X. Notons j : A ,→ X l’inclusion.
La topologie induite par X sur A est la topologie initiale de (A, j). On appelle également cette
topologie la topologie de A, héritée de X, ou encore, la trace (sur A) de la topologie de X.
3. Soient X un ensemble, et Y un espace topologique. Notons Y X l’ensemble de toutes les applications
de X dans Y . Pour chaque point x ∈ X, on définit l’application d’évaluation : evx : Y X → Y ,
par evx (f ) = f (x). La topologie de la convergence simple sur Y X est la topologie initiale de
(Y X , (evx )x∈X ).
4. Soit B un espace de Banach. Soit B ∗ le dual topologique de B. On appelle topologie faible de B
la topologie initiale de (B, B ∗ ). Cette topologie est aussi appelée topologie vague de B, et notée
σ(B, B ∗ ). Cette topologie est en général strictement moins fine que la topologie de la norme sur
B, et non métrisable (elle lui est identique si et seulement si B est de dimension finie).
5. Soit B un espace de Banach. Le dual topologique B ∗ , de B (muni de la norme usuelle sur les
formes linéaires continues), est également un espace de Banach. Chaque x, élement de B définit
une forme linéaire continue, notée aussi x, sur B ∗ , par x(ϕ) = ϕ(x), pour tout ϕ ∈ B ∗ . La
topologie ∗−faible de B ∗ est la topologie initiale de (B ∗ , B). Elle est également notée σ(B ∗ , B).
Cette topologie n’est pas la topologie faible, σ(B ∗ , B ∗∗ ) de l’espace de Banach B ∗ . Les topologies
faible et ∗− faible de B ∗ coincident seulement si B est un espace réflexif (i.e, quand l’inclusion de
B dans son bidual est une isométrie surjective).
4.2
Propriétés.
Proposition 4.2.1 La topologie initiale de (X, (fi )i∈I ) est la topologie engendrée par les ensembles
{fi−1 (Oi ) : i ∈ I, Oi ouvert de Xi }.
Démonstration: Appelons τ la topologie initiale de (X, (fi )i∈I ). Soit i ∈ I. Comme τ contient les
préimages de chacun des ouverts de Xi , l’application fi est bien continue, lorsque X est muni de la
topologie τ . Réciproquement, si τ 0 est une topologie sur X, rendant continue chacune des applications
fi , τ 0 contient les préimages par fi de chacun des ouverts de Xi , et contient donc τ .
•
19
Proposition 4.2.2 Soient Y un espace topologique, et τ la topologie initiale d’une famille (X, (fi )i∈I ).
Une application f : Y → (X, τ ) est continue si et seulement si chacune des compositions fi ◦f : Y → Xi
est continue.
Démonstration: Supposons d’abord f continue. Alors pour tout i ∈ I, fi ◦f est continue. Inversement,
supposons que chacune des applications fi ◦ f est continue. Soient y ∈ Y , et O un voisinage ouvert de
f (y) dans X. On suppose que O = fi−1
(Oi1 ) ∩ fi−1
(Oi2 ) ∩ . . . ∩ fi−1
(Oin ), avec Oij voisinage ouvert de
1
2
n
fij ◦ f (y), dans Xij , pour tout 1 ≤ j ≤ n. Comme chacune des fi ◦ f est continue, on peut trouver des
voisinages ouverts U1 , U2 , . . . Un , de y dans Y , tels que fij ◦ f (Uj ) ⊂ Oij , pour tout 1 ≤ j ≤ n. Alors,
avec U = U1 ∩ U2 ∩ . . . ∩ Un , on a : f (U) ⊂ O.
•
20
Topologies initiales - Exercices
Exercice 36 Soit H un espace hilbertien de dimension infinie ; notons (x|y) le produit scalaire des
vecteurs x et y, dans H. La topologie faible de H est la topologie initiale des applications (semi normes) :
{pξ , ξ ∈ H}, avec pξ (x) = |(x|ξ)|.
1. Montrer que l’adhérence faible de la sphére unité de H contient la boule unité fermée de H. (Elle
est en fait égale à la boule unité fermée de H, d’aprés le théorème de Hahn-Banach.)
2. Montrer que l’intérieur faible de la boule unité ouverte de H est vide.
3. Montrer que tout ouvert faible contenant l’origine dans H contient également une intersection
finie d’ hyperplans (Un hyperplan est un sous espace de H, de codimension 1.)
4. (Question facultative.) Montrer qu’il n’existe aucun voisinage faible, faiblement borné de l’origine
dans H.
5. (Question facultative.) En déduire que la topologie faible de H n’est pas normable (elle n’est pas
non plus métrisable). Ces résultats se généralisent sans difficulté à la topologie faible des espaces
de Banach de dimension infinie en général.
Exercice 37 Soit (αn )n∈N une suite dans l1 , qui converge faiblement vers 0, c’est à dire, pour la
topologie σ(l1 , l∞ ). On va montrer que (αn )n∈N converge vers 0 fortement (i.e en k.k1 ). (On dit que
1
lP
posséde la propriété de Schur.) On notera < ., . > le crochet de dualité, c’est à dire : < x, y >=
∞
1
n x(n)y(n), pour tout x ∈ l , et tout y ∈ l .
1. Montrer que ∀p ∈ N, αn (p) → 0,
n → ∞.
∞
2. Soit X la boule unité fermée de l . On munit X de la topologie de la convergence simple (i.e, la
topologie produit). Montrer
P∞ que X est compacte. Montrer que cette topologie peut être décrite par
la distance d(x, y) = i=0 |xi − yi |/(1 + 2i |xi − yi |). Il s’ensuit que X, comme tout espace compact
métrisable, est un espace de Baire (voir en analyse fonctionnelle).
3. Soit > 0. Pour n ∈ N, posons :
Fn = {x ∈ X : ∀k ≥ n, | < x, αk > | ≤ }
Montrer que X est la réunion des Fn .
4. Montrer que si α ∈ l1 , et si (xn )n converge vers x dans X, alors (α(xn ))n converge vers α(x). En
déduire que chacun des Fn est fermé (dans la topologie produit.)
5. Déduire de (2) et (4), que l’un (au moins) des Fn est d’intérieur non vide (toujours pour la topologie de X). [Indication : la propriété de Baire implique que X n’est pas une réunion dénombrable
de fermés d’intérieur vide.]
6. Soit N , tel que FN soit d’intérieur non vide. Montrer qu’ il existe un entier M ∈ N, et δ > 0, tels
que, quels que soit x ∈ X, (∀i ∈ {1, 2 . . . M }, |x(i)| ≤ δ) ⇒ x ∈ FN . (Remarquer pour cela que FN
est convexe et symétrique ; qu’en est-il de son intérieur ? Quel point remarquable contient-il ?)
7. En choisissant, pour chaque k ≥ N , x(i) = 0, ∀i ≤ M , et x(i) = phase(αk (i)), ∀i > N , conclure
que la suite (kαn k1 )n converge vers 0.
21
22
Chapitre 5
Topologie finales.
5.1
Définition et exemple.
Définition 5.1.1 Soient X un ensemble, (Yi )i∈I une famille d’espaces topologiques. On suppose donnée,
pour chaque i ∈ I, une application fi : Yi → X. La topologie finale de (X, (fi )i∈I ) est la topologie la
plus fine de X, rendant continue chacune des applications appartenant à {fi , i ∈ I}.
F
Exemple 5.1.2 Soit (Yi )i∈I une famille d’espaces topologiques. La réunion disjointe i∈I Yi est l’ensemble
des couples (y, i), avec i ∈ I, y ∈ Yi . Pour chacun des i ∈ I, on définitFl’ inclusion ji : Yi →
F
Y
,
par ji (y) = (y, i), pour tout y, élément de Yi . La topologie de i∈I Yi est la topologie
i∈I i définie
F
finale de ( i∈I Yi , (ji )i∈I ). C’est la topologie engendrée par les couples (Oi , i), avec i ∈ I, et Oi ouvert
de Yi .
Proposition 5.1.3 Soient X, (fi )i∈I , (Yi )i∈I comme dans la définition ??. La topologie finale de
(X, (fi )i∈I ) est constiutée des parties O ⊂ X, telles que pour tout i ∈ I, fi−1 (O) soit un ouvert de
Yi .
Démonstration: Notons τ = {O ⊂ X / pour tout i élément de I, fi−1 (O) est un ouvert de Yi }. Il est
facile de vérifier que τ est bien une topologie de X, et que τ rend continue chacune des applications fi .
Soit τ 0 une topologie de X, strictement plus fine que τ . Il existe un τ 0 − ouvert U, qui n’appartient pas
à τ . Il existe donc i ∈ I, tel que fi−1 (U) ne soit pas un ouvert de Yi , ce qui montre que fi n’est pas τ 0 −
continue.
•
Corollaire 5.1.4 Soient X, (fi )i∈I , (Yi )i∈I comme dans la définition ??. Soit Z un espace topologique.
Une application h : X → Z est continue pour la topologie finale de (X, (fi )i∈I ), si et seulement si
chacune des compositions h ◦ fi : Yi → Z est continue.
Démonstration: Si h est continue, chacune des compositions h◦fi est évidemment continue. Réciproquement,
supposons chacune des compositions h ◦ fi continue. Soit O un ouvert de Z. Alors, pour tout i ∈ I,
(h ◦ fi )−1 (O) est un ouvert de Yi , ce qui montre que h−1 (O) est un ouvert de X.
•
5.2
Relations d’équivalence.
Définition 5.2.1
1. Soit X un ensemble. On appelle relation d’équivalence sur X, toute relation
R, sur X, qui est reflexive (xRx, ∀x ∈ X), symétrique (x1 R x2 ⇔ x2 R x1 , ∀ x1 , x2 ∈ X), et
transitive ([x1 R x2 et x2 R x3 ] ⇒ x1 R x3 , ∀ x1 , x2 , x3 ∈ X). Le graphe de R est le sous espace
de X × X, constitué des couples (x1 , x2 ), tels que x1 R x2 . On le note G(R). La topologie de G(R)
est la topologie héritée de la topologie produit de X × X.
23
2. Soit x ∈ X. On appelle classe d’équivalence de x (pour la relation R), l’ensemble [x]R = {x0 ∈
X /x R x0 }. On note X/R l’ensemble des classes d’équivalence des éléments de X.
3. On note πR : X → X/R l’application quotient, définie par πR (x) = [x]R . L’espace quotient X/R
est muni de la topologie finale de (X/R, πR ).
Si aucune confusion n’est possible, on allégera les notations, en omettant l’indice R . Ainsi, πR sera noté
simplement π, etc...
Exemples 5.2.2 1) Espace vectoriel quotient.
Si X est un espace vectoriel, et Y ⊂ X est un sous espace vectoriel de X, on définit la relation
d’équivalence sur X : x1 R x2 ⇔ x1 − x2 ∈ Y . L’espace quotient X/R est un espace vectoriel. La classe
d’un vecteur x ∈ X est également notée [x] = x + Y . Si X est un espace vectoriel topologique, X/R est
également un espace vectoriel topologique. Il est séparé si et seulement si Y est fermé. Si X est normé,
et si Y est fermé, on définit la norme quotient sur X/R, par k[x]k = Inf {kx0 k /x0 ∈ X, x − x0 ∈ Y }.
La topologie de X/R est alors identique à la toplogie définie par la norme quotient.
2) Cône et suspension de X.
Soit X un espace topologique. Sur X × [0, 1], on définit la relation d’équivalence : (x1 , t)R(x2 , t0 ) si et
seulement si ([x1 = x2 , et t = t0 ], ou [t = t0 = 1].) L’espace quotient X × [0, 1]/R est appelé le cône de
X. On le note en général CX. On définit de la même maniére, la suspension SX, de X, au moyen de
la relation (x1 , t)R(x2 , t0 ) si et seulement si ([x1 = x2 , et t = t0 ], ou [t = t0 ∈ {0, 1}].) On verra plus
tard que la sphére S n est homéomorphe à la suspension de la sphére S n−1 , pour tout entier n ≥ 1.
3) Espaces projectifs réels.
Soit X = Rn −{0}, avec n entier strictement positif. On définit sur X la relation x1 Rx2 si et seulement
si x1 et x2 sont colinéaires. L’espace quotient X/R est appelé l’espace projectif réel, et noté Pn−1 (R).
C’est un espace séparé et compact. Il est clair que Pn−1 (R) est compact, car c’est l’image, par l’application πR , de {x ∈ Rn /1/2 ≤ kxk ≤ 1}, qui est un compact de Rn . Si [a]R et [b]R sont deux points
distincts de Pn−1 (R), on note ∆a la droite vectorielle contenant a, et ∆b la droite vectorielle contenant
b. On considére deux cônes ouverts ouverts disjoints, Ca et Cb , de sommet l’origine, d’axes respectifs
∆a et ∆b . Alors πR (Ca ) et πR (Cb ) sont deux voisinages ouverts disjoints de a et b dans Pn−1 (R).
5.3
Saturé d’une partie d’un ensemble.
Définition 5.3.1 Soit X un ensemble, muni d’une relation d’équivalence R. Soit E ⊂ X un sous−1
ensemble de X. On appelle saturé de E le sous ensemble : [E]R = πR
(πR (E)). On dit que E est saturé
(pour R) si E = [E]R .
Le saturé de E est donc l’ensemble des éléments de X, qui sont équivalents à l’un au moins des éléments
de E. La réunion et l’intersection de deux ensembles saturés est saturé. Le complémentaire d’un ensemble
saturé est saturé. (Le vérifier !)
Proposition 5.3.2 Soir X un espace topologique, muni d’un relation d’équvalence R. La topologie de
X/R est constituée des images πR (O), des ouverts saturés O, de X.
Démonstration: Appelons τ 0 l’ensembles des images πR (O), des ouverts saturés O, de X. Soit U un
−1
ouvert de X/R, alors πR
(U) est un ouvert saturé de X, ce qui montre que τ 0 est plus fine que τ (car
−1
U = πR (πR (U)), et que πR est τ 0 −continue. Donc τ = τ 0 .
•
24
Topologies finales - Exercices
Exercice 38 (Préparatoire du suivant)
Soient f1 , f2 : X → Y , deux applications continues, avec Y séparé. Montrer que F = {(x1 , x2 ) ∈
X × X /f1 (x1 ) = f2 (x2 )} est un fermé de X × X. En déduire que si une application f : X → Y est
continue, et si Y est séparé, le graphe de f est fermé.
Exercice 39 Soient X un espace topologique séparé, et R une relation d’équivalence sur X. On notera
le quotient Y = X/R, et π : X → Y la projection canonique. Montrer que :
1. Si Y est séparé, le graphe de R est fermé. (Utiliser l’exercice précédent.)
2. Si π est ouverte, et si le graphe de R est fermé, alors Y est séparé.
3. La projection π est ouverte si et seulement si , quel que soit O, ouvert de X, le saturé de O est
ouvert.
4. La projection π est fermée si et seulement si , quel que soit F , fermé de X, le saturé de F est
fermé.
Exercice 40 Soient X un espace topologique séparé, et R une relation d’équivalence sur X. On notera le quotient Y = X/R, et π : X → Y la projection canonique. Montrer que si l’une des classes
d’équivalence de R est dense (et 6= X), alors la topologie de Y n’est pas séparée. Montrer que si toutes
les classes d’équivalence sont denses, la topologie de Y est la topologie grossiére. En déduire que R/Q
est un espace grossier.
Exercice 41 Soient I1 , et I2 deux copies de l’intervalle [0, 1]. Soit X = I1 tI2 la réunion disjointe de ces
deux copies de l’intervalle unité. Sur X, on considére la relation R, définie par (t ∈ I1 )R(t ∈ I2 ), ∀t > 0.
Expliciter G(R). Montrer que l’espace quotient X/R n’est pas séparé.
Exercice 42 Soit R la relation d’équivalence sur R, définie par xRy si et seulement si x − y est entier,
pour x, y quelconques dans R. Montrer que l’espace quotient est homéomorphe au cercle S 1 .
Exercice 43 Soient X un espace normé et Y ⊂ X un sous espace vectoriel fermé de X. Montrer que
X/Y est un espace normé, avec norme kx + Y k = inf {kx0 k, x0 ∈ x + Y }. Que se passe-t-il si Y n’est
pas fermé ? (Penser par exemple à X = l2 (N) et à Y le sous espace de X constitué des suites à support
fini.)
25
26
Chapitre 6
Espaces connexes.
6.1
Définition et propriétés.
Proposition 6.1.1 Soit X un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. Les seules parties à la fois ouvertes et fermées de X sont l’ensemble vide et X lui-même.
2. L’espace X n’est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints.
3. L’espace X n’est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints.
Démonstration: (1 ⇒ 2.) Soient A et B deux ouverts disjoints de X, tels que X = A ∪ B. Alors A et
B sont également fermés, ce qui, d’aprés 1, implique A = φ et B = X, ou bien, A = X, et B = φ.
(2 ⇔ 3.) Soient A et B deux parties disjointes de X, telles que X = A ∪ B. Alors A et B sont fermées
si et seulement si A et B sont ouvertes.
(3 ⇒ 1.) Soit P une partie de X, non vide, et différente de X. Si P est un ouvert fermé de X, il en
est de même de son complémentaire, qui est par ailleurs non vide.
•
Définition 6.1.2 Un espace topologique X est dit connexe s’il satisfait les conditions équivalentes cidessus. Une partie C ⊂ X est dite connexe, si C, muni de la topologie héritée de X, est un espace
topologique connexe.
Proposition 6.1.3 Les connexes de R sont les intervalles.
Démonstration: (Tout intervalle de R est connexe.) Soit I un intervalle dans R, d’extrémités a < b.
(On ne considére pas le cas trivial I = φ.) L’intervalle I est une réunion croissante d’intervalles compacts
Kj = [xj , yj ]. Supposons I = P1 ∪ P2 , avec P1 et P2 deux ouverts fermés disjoints, non vides, de I.
Alors Kj = (Kj ∩ P1 ) ∪ (Kj ∩ P2 ) est la réunion de deux parties compactes disjointes de I. Si j est assez
grand, aucune de ces deux parties n’est vide. On peut alors trouver aj ∈ (Kj ∩ P1 ), et bj ∈ (Kj ∩ P2 ),
tels que |aj − bj | = M in{|x − y|, /x ∈ (Kj ∩ P1 ), y ∈ (Kj ∩ P2 )}. Alors l’intervalle ouvert ]aj , bj [ ne
rencontre pas (Kj ∩ P1 ) ∪ (Kj ∩ P2 ) = Kj , ce qui contredit le fait que K soit un intervalle.
(Tout connexe de R est un intervalle.) Soit C un connexe non vide de R. On pose a = Inf {x ∈ C},
et b = Sup{x ∈ C}. Soit x0 ∈ R, avec a < x0 < b. Si x0 n’est pas un point de C, on a : C =
(] − ∞, x0 [∩C) ∪ (]x0 , ∞[∩C), chacune des ces deux parties étant ouvertes et non vides. Elles sont de
plus disjointes. Ceci montre que C n’est pas connexe.
•
Théorème 6.1.4 Soit X un espace topologique. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. X est connexe.
2. Toute application continue de X dans un espace discret est constante.
3. Toute application continue de X dans l’espace discret {0, 1} est constante.
27
Démonstration: (1 ⇒ 2.) Soit f : X → Y une application continue de X dans un espace discret
Y . Soient y0 , y1 ∈ f (X), quelconques. Posons A = f −1 (y0 ), B = f −1 (y1 ), C = f −1 (Y − {y0 , y1 }).
Supposons y0 6= y1 , alors X = (A ∪ B) ∪ C est une partition de X en deux ouverts disjoints, et non
vides, ce qui implique que X n’est pas connexe.
(2 ⇒ 1.) Supposons X non connexe, X = A ∪ B avec A et B ouverts, non vides et disjoints. La fonction
indicatrice de A est une application de X dans {0, 1}, qui est continue, et non constante. Ceci montre
également 3 ⇒ 1. Enfin, 2 ⇒ 3 est évident.
•
Corollaire 6.1.5 Si C est une partie connexe de X, alors C est également une partie connexe de X.
Démonstration: Evident d’aprés la proposition précédente. Noter que la réciproque est en général
fausse.
•
Corollaire 6.1.6
S Soit (Ci )i∈I une famille de parties connexes d’un espace X, deux à deux non disjointes. Alors i∈I Ci est une partie connexe de X.
S
Démonstration: Posons C = i∈I Ci , et soit f : C → {0, 1} une application continue. Choisissons
i0 ∈ I. Alors f est constante sur Ci0 . Soit i ∈ I, quelconque. Alors f est constante sur Ci . Comme
Ci0 ∩ Ci est non vide, f prend la même (unique) valeur sur Ci0 et sur Ci , ce qui montre que f est
constante sur C.
•
Corollaire 6.1.7 Soit g : X → Y une application continue entre deux espaces topologiques. Si X est
connexe, g(X) est connexe.
Démonstration: Soit f : g(X) → {0, 1} une application continue. Comme X est connexe, et f est
continue, g ◦ f est constante, g est donc constante.
•
Proposition 6.1.8 Soit f : [a, b] → X une application continue de l’intervalle [a, b] ⊂ R, dans un
espace topologique X. Soit A une partie de X, telle que f (a) ∈ A, et f (b) 6∈ A. Alors il existe t ∈ [a, b],
tel que f (t) ∈ F r(A).
Démonstration: On a : X = A◦ ∪ (X − A) ∪ F r(A). Si f −1 (F r(A)) = φ, alors, [a, b] = f −1 (A◦ ) ∪
f −1 (X − A), est une partition de l’intervalle [a, b] en deux ouverts non vides disjoints, ce qui est
impossible.
•
Proposition 6.1.9 Un produit fini d’espaces connexes est connexe.
Démonstration: En raisonnant par récurrence, il suffit de montrer que le produit de deux espaces
connexes est connexe. Soient X et Y deux espaces connexes, soient (x, y) ∈ X × Y , et (x0 , y 0 ) ∈ X × Y .
Soit f , une application continue, de X × Y , dans un espace discret. On a f (x, y) = f (x, y 0 ) = f (x0 , y 0 ).
La première égalité vient du fait que {x} × Y est connexe, la seconde vient du fait que X × {y 0 } est
connexe.
•
Théorème 6.1.10 Un produit quelconque d’espaces connexes est connexe.
Le démonstration fait l’objet d’un exercice.
6.2
Composantes connexes d’un espace topologique.
Définition 6.2.1 Soient X un espace topologique, et x ∈ X. On appelle composante connexe de x dans
X, la plus grande partie connexe de X contenat x. On note Cx la composante connexe de x.
28
Remarque 6.2.2 Cx est la réunion de toutes les parties connexes de X qui contiennent x.
Proposition 6.2.3 La composante connexe Cx , de x ∈ X est un fermé de X.
Démonstration: Comme l’adhérence de Cx est connexe, elle est contenue dans Cx .
•
Proposition 6.2.4 Soient x, y deux points d’un espace topologique X. Alors y ∈ Cx ⇔ Cy = Cx .
Démonstration: Si y ∈ Cx , alors Cx ∩ Cy 6= φ, et donc, Cx ∪ Cy est connexe. Par maximalité de Cx ,
on a Cx = Cx ∪ Cy , par maximalité de Cy , on a Cy = Cx ∪ Cy . La réciproque est triviale.
•
Corollaire 6.2.5 Soit X un espace topologique. La relation R, définie sur X par xRy ⇔ y ∈ Cx est
une relation d’équivalence.
Démonstration: Le vérifier !
•
29
Espaces connexes - Exercices
Exercice 44 Soit (Xi )i∈I une famille d’espaces connexes. On note X =
Q
i∈I
X l’espace produit.
1. Soit a = (ai )i∈I un point de X. Montrer que :
A = {x = (xi )i∈I ∈ X/xi = ai pour tous, sauf un nombre fini d’indices i ∈ I}
est dense dans X.
2. Pour chaque j ∈ I, on notera pj : X → Xj la projection canonique. Soit i ∈ I ; on considére
l’application Jj : Xj ,→ X, définie par pi (Jj (y)) = ai , si i 6= j, et pj (Jj (y)) = y, pour y ∈ Xj .
Montrer que Jj est continue.
3. Soit f : X → {0, 1}, une application continue. Déduire de (ii) que les applications partielles
fj = f ◦ Jj sont constantes.
4. Soient x et y deux points de A. Soit N ∈ N, tel que xi = yi = ai , pour toutes, sauf au plus N
valeurs de l’indice i. Généraliser le raisonnement de (2) et (3) à N coordonnées pour montrer que
f (x) = f (y)
5. Conclure que f est une application constante, et que X est connexe.
Exercice 45 On dit qu’un espace topologique X est totalement discontinu si, ∀x ∈ X, Cx = {x}.
Montrer que Q ⊂ R, et que l’espace de Cantor {0, 1}N sont totalement discontinus, mais non discrets.
En déduire que les composantes connexes ne sont pas toujours des ouverts.
Exercice 46 Montrer que dans un espace métrique connexe, et non métriquement borné, toute sphére
est non vide.
Exercice 47 Montrer que si f : [0, 1] → [0, 1] est une fonction continue, il existe au moins un t ∈ [0, 1],
tel que f (t) = t (utiliser le théorème du passage de frontiére)
Exercice 48 Soit X un espace métrique compact. Montrer l’équivalence des propriétés suivantes :
1. X est connexe
2. Pour tout > 0, et pour tous x, y ∈ X, il existe une - chaı̂ne liant x et y (c’est à dire une suite
finie (x0 , x1 , . . . xn ) de points de X, avec x0 = x, xn = y et d(xi , xi+1 ) < pour 0 ≤ i < n
Exercice 49 Soit X un espace connexe. Soit (Oi )i∈I un recouvrement ouvert de X. Montrer que pour
tous x, y ∈ X, il existe Oi1 , Oi2 , . . . Oin , tels que x ∈ Oi1 , y ∈ Oin , et Oij ∩Oij+1 6= φ, pour 1 ≤ j < n−1
Exercice 50 Soient A et B deux fermés d’un espace topologique X. Montrer que si A ∪ B et A ∩ B
sont connexes, alors A et B sont connexes.
Exercice 51 On note N0 , l’espace N, auquel on a ajouté deux points ω, et ω 0 . Si n ∈ N, on note
[n, ω] = {m ∈ N, m ≥ n} ∪ {ω}, et [n, ω 0 ] = {m ∈ N, m ≥ n} ∪ {ω 0 }. On munit N0 de la topologie
engendrée par les singletons {n}, les [n, ω], et les [n, ω 0 ], n ∈ N. Montrer que N0 est un espace totalement
discontinu, non séparé (donc aussi non discret).
Exercice 52 Un espace topologique X est localement connexe si pour tout point x ∈ X, et tout voisinage
V de x, il existe un voisinage connexe, U, de x, contenu dans V.
1. Montrer qu’un espace vectoriel normé est localement connexe.
2. Montrer que tout ouvert d’un espace topologique localement connexe est localement connexe.
3. Montrer que les composantes connexes d’un espace localement connexe sont ouvertes.
30
Exercice 53 Soit X un espace localement connexe séparé. On note R la relation sur X, définie par
xRy si et seulement si Cx = Cy . Montrer que la projection canonique π : X → X/R est une application
ouverte. En déduire que X/R est un espace discret.
Exercice 54 Soit U un ouvert de Rn . Montrer que les composantes connexes de U sont des ouverts de
Rn . En déduire que les composantes de U rencontrent Qn , et que l’ensemble des composantes connexes
de U est dénombrable.
31
32
Chapitre 7
Connexité par arcs.
7.1
Définitions.
Définition 7.1.1 Un chemin dans un espace topologique X est une application continue f : [a, b] → X,
où [a, b] est un intervalle compact quelconque de R. On note (f (a), f (b)) les extrémités de f
Définition 7.1.2 Un espace topologique X est dit connexe par arcs si pour tout x ∈ X, et pour tout
y ∈ X, il existe un chemin dans X, d’extrémités (x, y).
Proposition 7.1.3 Tout espace connexe par arcs est connexe.
Démonstration: On choisit arbitrairement
un point x0 ∈ X. Pour tout x ∈ X, on choisit un chemin
S
fx , d’extrémités (x0 , x). Alors X = x∈X fx est un espace connexe, d’aprés ??
•
Proposition 7.1.4 Tout produit d’espaces connexes par arcs est connexe par arcs.
Q
Démonstration: Soit X = i∈I Xi , avec Xi connexe par arcs, pour tout i ∈ I. Soient x = (xi )i∈I ,
et y = (yi )i∈I deux points de X. Pour tout i ∈ I, notons fi un chemin dans Xi , d’extrémités (xi , yi ).
En reparamétrant éventuellement fi , on peut supposer que chacun des fi est définie sur [0, 1]. Soit
f : [0, 1] → X, définie par f (t) = (fi (t))i∈I . Notons pi : X → Xi les projections canoniques. On a
pi ◦ f = fi , pour tout i ∈ I ; f est donc bien un chemin dans X. On a f (0) = x, et f (1) = y.
•
Proposition 7.1.5 Soit g : x → Y une application continue entre deux espaces topologiques. Si X est
connexe par arcs, g(X) est connexe par arcs.
Démonstration: Soient y1 = f (x1 ), et y2 = f (x2 ) deux points de Y . Soit f , un chemin dans X,
d’extrémités (x1 , x2 ), alors g ◦ f est un chemin dans y d’extrémités (y1 , y2 ).
•
Corollaire 7.1.6 Les espaces projectifs réels Pn (R) sont connexes par arcs.
Démonstration: Car Rn est connexe par arcs, et la projection π : Rn+1 → Pn (R) est continue.
•
Exemples 7.1.7 -Soit G le graphe de la fonction x → sin(1/x), définie sur l’ensemble des réels strictement positifs ; G est connexe, sont adhérence G, dans R2 est également connexe. Cependant G n’est
pas connexe par arcs.
-Soit E un espace vectoriel normé. Une partie C ⊂ E est dite étoilée, si il existe un point x0 ∈ C, tel
que, pour tout x ∈ C, le segment {tx0 + (1 − t)x /0 ≤ t ≤ 1} est contenue dans C. Tout partie étoilée
de E est connexe par arcs.
33
Connexité par arcs - Exercices
Exercice 55 Un espace topologique X est localement connexe par arcs si pour tout point x ∈ X, et
tout voisinage V de x, il existe un voisinage connexe par arcs, U, de x, contenu dans V.
1. Montrer qu’un espace vectoriel normé est localement connexe par arcs
2. Montrer qu’un espace topologique localement connexe par arcs est localement connexe.
3. Montrer que les composantes connexes d’un espace topologique localement connexe par arcs sont
ouvertes, et connexes par arcs.
Exercice 56 Soit A l’adhérence du graphe de la fonction f (x) = sin(π/2x), x > 0.
1. Soient X = A ∩ R×]1/2, 1], Y = A ∩ R×] − 3/4, 3/4[, Z = A ∩ R × [−1, −1/2[. Montrer que Y
est une réunion infinie de segments ouverts, deux a deux disjoints.
2. Supposons donné h : [0, 1] → A un chemin, avec h(0) = (1, 1), h(1) = (0, 0) Montrer , en utilisant
(i), que h permet de construire un recouvrement ouvert de [−1, 1], dont on ne peut extraire aucun
sous recouvrement fini.
3. En déduire que A n’est pas connexe par arcs.
4. Montrer que A n’est pas localement connexe.
Exercice 57 Dans R2 , on considére A = {(x, y) ∈ R2 /x ∈
/ Q, y ≥ 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 /x ∈ Q, y < 0}
Montrer que A est connexe, non localement connexe, et non connexe par arcs.
34
Chapitre 8
Groupe fondamental.
8.1
Homotopie et chemins.
Définition 8.1.1 Soit X un espace topologique. On appellera arc dans X tout chemin c : [0, 1] → X.
On notera C([0, 1], X) l’ensemble des arcs dans X. Si x, y ∈ X, on notera C([0, 1], X; (x, y)) l’ensemble
des arcs d’extrémités (x, y) dans X. Si x ∈ X, on notera Cx l’arc constant Cx (t) = x, ∀t ∈ [0, 1].
Définition 8.1.2
1. Soit c un arc dans X. On notera c l’arc inverse, défini par c(t) = c(1 − t), pour
tout t ∈ [0, 1].
2. Soit c un arc d’extrémités (x, y) dans X. Soit c0 un arc d’extrémités (y, z) dans X. On définit la
composition cc0 : [0, 1] → X par cc0 (t) = c(2t), si t ∈ [0, 1/2], et cc0 (t) = c0 (2t − 1), si t ∈ [1/2, 1].
Alors, cc0 est un arc dans X, d’extrémités (x, z).
Définition 8.1.3 Deux arcs c et c0 dans X, ayant même origine x et même extrémité y sont dits
homotopes s’il existe une application continue H : [0, 1] × [0, 1] → X, telle que
1. H(t, 0) = c(t), et H(t, 1) = c0 (t), pour tout t ∈ [0, 1].
2. H(0, s) = x, et H(1, s) = y, pour tout s ∈ [0, 1].
On dira alors que l’application H est une homotopie d’arcs, d’extrémités (c, c0 ).
Proposition 8.1.4 Soient x et y deux points de X. On définit sur C([0, 1], X; (x, y)) la relation cRc0 si
et seulement si c et c0 sont homotopes. La relation R est une relation d’équivalence sur C([0, 1], x; (x, y)).
Démonstration:
i) Réfléxivité : Il suffit de prendre l’homotopie constante H(t, s) = c(t), pour tout (t, s) ∈ [0, 1] × [0, 1].
ii) Symétrie : Une homotopie H d’extrémités (c, c0 ) étant donnée, il suffit de considérer l’homotopie
inverse H(t, s) = H(t, 1 − s).
iii) Transitivité : On compose les homotopies en utilisant la remarque précedente, et la formule donnée
dans la définition ??
•
Définition 8.1.5 Soient x, y ∈ X. On appelle classe d’homotopie d’arcs d’extrémités (x, y) toute classe
d’équivalence de la relation R. On note πx,y (X) l’ensemble de ces classes d’homotopie.
8.2
Le groupoı̈de fondamental de X.
Un groupoı̈de est un ensemble muni d’une loi de composition associative, partiellement définie, d’éléments
neutres (appelés unités), et d’un inverse pour chacun de ses éléments. On va vérifier que les opérations
sur les arcs définies au paragraphe précédent passent au quotient par la relation R, et définissent un
groupoı̈de, appelé le groupoı̈de fondamental de X, ou encore, le groupoı̈de de Poincaré de X.
35
Proposition 8.2.1 Soient c, γ ∈ C([0, 1], X; (x, y)). Soient c0 , γ 0 ∈ C([0, 1], X; (y, z)). On suppose que
c et γ (resp. c0 et γ 0 ) sont homotopes. Alors :
1. Les chemins inverses c et γ sont homotopes.
2. Les compositions cc0 et γγ 0 sont homotopes.
Démonstration: 1- Soit F une homotopie d’extrémités (c, γ). Alors F : (t, s) → F (1 − t, s) est une
homotopie d’extrémités (c, γ).
2- Soient F une homotopie d’extrémités (c, γ), et G une homotopie d’extrémités (c0 , γ 0 ). On définit
H(t, s) = F (2t, s), si t ∈ [0, 1/2], et H(t, s) = G(2t − 1, s), si t ∈ [1/2, 1]. Alors H est une homotopie
d’extrémités (cc0 , γγ 0 ).
Proposition 8.2.2 Soient c1 ∈ C([0, 1], X; (x, y)), c2 ∈ C([0, 1], X; (y, z)), c3 ∈ C([0, 1], X; (z, t)).
Alors les compositions (c1 c2 )c3 et c1 (c2 c3 ) sont homotopes.
Démonstration: Considérer l’homotopie H(t, s) = c1 (4t/1 + s) si t ∈ [0, (1 + s)/4], H(t, s) = c2 (4t −
s − 1), si t ∈ [(1 + s)/4, (2 + s)/4], H(t, s) = c3 ((4t − s − 2)/(2 − s)), si t ∈ [(2 + s)/4, 1].
•
Proposition 8.2.3 Soit c ∈ C([0, 1], X; (x, y)). Les arcs cx c et ccy sont homotopes à c.
Démonstration: Considérer H(t, s) = c(2t/(1 + s)), si t ∈ [0, (1 + s)/2], H(t, s) = y si t ∈ [(1 + s)/2, 1].
C’est une homotopie d’extrémités (ccy , c). Pour cx c, la démonstration est analogue.
•
Proposition 8.2.4 Soit c un arc d’extrémités (x, y) dans X. La composition cc (resp. cc) est homotope
à Cx (resp. Cy ).
Démonstration: Considérer l’homotopie H(t, s) = x, si t ∈ [0, s/2], H(t, s) = c(2t−s), si t ∈ [s/2, 1/2],
H(t, s) = c(2 − 2t − s), si t ∈ [1/2, (2 − s)/2], H(t, s) = x, si t ∈ [(2 − s)/2, 1]. Alors H est une homotopie
d’extrémités cc (obtenu pour s = 0), et Cx (obtenu pour s = 1). On obtient le résultat pour cc en
remplaçant c par c.
•
On peut résumer les résultats de ce paragraphe dans le théorème :
Théorème 8.2.5 Soit X un espace topologique. Pour toutScouple (x, y), de points de X, soit πx,y (X)
l’ensemble des classes d’homotopie d’arcs dans X. Soit π = {x,y∈X} πx,y (X). Alors π est un groupoı̈de.
Chaque point x ∈ X correspond à une unité de π (la classe de l’arc constant en x). Si x, y sont deux
points de X, les flèches de source x, d’image y sont les classes d’homotopie d’arcs d’extrémités (x, y).
La composition de deux flèches se définit en choisissant un représentant de chacune d’entre elles, et en
prenant la classe d’homotopie de la composée de ces deux arcs. C’est une loi associative, partiellement
définie. Enfin, l’inverse d’une flèche est la classe d’homotopie de l’inverse (au sens des arcs) de l’un
quelconque de ses représentants.
8.3
Groupe fondamental et lacets.
Définition 8.3.1 Soient X un espace topologique, et x ∈ X. On appelle lacet en x tout arc dans
X d’extrémités (x, x). D’aprés le théorème précédent, l’ensemble πx,x (X), des classes d’homotopie de
lacets en x est un groupe, que l’on note π1 (X, x).
Proposition 8.3.2 Soit c un arc dns X, d’extrémités (x, y). Alors l’application αc : π1 (X, x) →
π1 (X, y), définie par αc ([γ]) = [cγc] est un isomorphisme de groupes.
36
Démonstration: Comme αc = αc−1 , αc est une bijection. Si γ1 , γ2 sont deux lacets en x, on calcule :
αc ([γ1 ])αc ([γ2 ]) = [cγ1 c][cγ2 c] = [(cγ1 c)(cγ2 c)] = [cγ1 (cc)γ2 c] = [cγ1 Cx γ2 c] = [cγ1 γ2 c] = αc ([γ1 γ2 ]).
•
Corollaire 8.3.3 Si deux points, x, y sont dans la même composante connexe par arcs de X, on a
π1 (X, x) ' π1 (X, y).
Définition 8.3.4 Soit x ∈ X. Le groupe π1 (X, x) est appelé le groupe fondamental, ou groupe de
Poincaré, de l’espace pointé (X, x). Si X est connexe par arcs, le groupe fondamental de (X, x) ne
dépend pas, à isomorphisme prés, du choix du point-base x. On note alors ce groupe π1 (X), on l’appelle
simplement le groupe fondamental de X.
Définition 8.3.5 Un espace topologique est dit simplement connexe, si X est connexe par arcs, et si
π1 (X) = {0} (i.e : tout lacet dans X est homotope à un lacet constant).
Exemples 8.3.6 Rn est simplement connexe. Le cercle S 1 est connexe par arcs, mais non simplement
connexe. Le tore T n n’est pas simplement connexe. les sphéres S n sont simplement connexes, si n > 1.
8.4
Propriétés fonctorielles du groupe fondamental.
Théorème 8.4.1 Soient (X, x), et (Y, y) deux espaces topologiques pointés. Soit f : (X, x) → (Y, y)
une application continue entre espaces pointés. (C’est à dire : f est une application continue, de X dans
Y , telle que f (x) = y.) Alors f induit un morphisme de groupes f∗ : π1 (X, x) → π1 (Y, y), définie par
f∗ ([c]) = [f ◦ c].
Démonstration: Il faut vérifier que f∗ est bien définie, et que f∗ ([c1 ][c2 ]) = f∗ ([c1 ])f∗ ([c2 ]), pour tous
lacets c1 , c2 en x. Cette vérification de routine est laissée au lecteur.
•
Remarque 8.4.2 On remarque que si f : (X, x) → (Y, y), et g : (Y, y) → (Z, z) sont deux applications
continues entre espaces pointés, on a (g ◦ f )∗ = g∗ ◦ f∗ . On résume parfois le théorème précédent et
cette remarque en disant que π1 est un foncteur, de la catégorie des espaces pointés dans la catégorie
des groupes.
Définition 8.4.3 Soient (X, x) et (Y, y) deux espaces topolgiques pointés. On dit que deux applications
continues, f1 : (X, x) → (Y, y), et f2 : (X, x) → (Y, y) sont homotopes relativement à (x, y), s’il existe
une application continue H : X × [0, 1] → Y , telle que :
1. H(x0 , 0) = f1 (x0 ), et H(x0 , 1) = f2 (x0 ), pour tout x0 ∈ X.
2. H(x, s) = y, pour tout s ∈ [0, 1].
Si (X, x) = (Y, y), on dira simplement que f1 et f2 sont homotopes relativement à x.
Proposition 8.4.4 Soient f1 : (X, x) → (Y, y), et f2 : (X, x) → (Y, y) deux applications continues
entre espaces pointés. Si f1 et f2 sont homotopes relativement à (x, y), alors (f1 )∗ = (f2 )∗ .
Démonstration: Le vérifier.
•
Corollaire 8.4.5 Soient (X, x) et (Y, y) deux espaces topolgiques pointés. On suppose qu’il existe f :
(X, x) → (Y, y), et g : (Y, y) → (X, x), continues, telles que f ◦ g est homotope à IdY , relativement à y,
et g ◦ f est homotope à IdX , relativement à x. Alors f∗ est un isomorphisme, de π1 (X, x) sur π1 (Y, y),
d’inverse g∗ .
37
8.5
Produits et rétractes.
Proposition 8.5.1 Soient (X, x) et (Y, y) deux espace topologiques pointés. Soient pX et pY , les projections de X × Y sur X et Y respectivement. Alors l’application (pX )∗ × (pY )∗ , définie par (pX )∗ ×
(pY )∗ ([c]) = ([pX (c)], [pY (c)]) est un isomorphisme, de π1 (X × Y, (x, y)) sur π1 (X, x) × π1 (Y, y).
Démonstration: i) (pX )∗ × (pY )∗ est surjectif : Si c1 est un lacet en x, et c2 est un lacet en y, alors
c1 × c2 est un lacet en (x, y), et pX × pY (c1 × c2 ) = (c1 , c2 ).
ii) (pX )∗ × (pY )∗ est injectif : Soit c un lacet en (x, y). Si H1 est une homotopie entre pX (c) et Cx , et
H2 est une homotopie entre pY (c) et Cy , alors H1 × H2 est une homotopie entre c et Cx,y .
Remarque 8.5.2 Notons iX : (X, x) → (X × Y, (x, y)) et iY : (Y, y) → (X × Y, (x, y)) les inclusions
canoniques. Alors l’application ([c1 ], [c2 ]) → (iX )∗ [c1 ](iY )∗ [c2 ] est l’inverse de (pX )∗ × (pY )∗ .
Corollaire 8.5.3 Si Y est simplement connexe, π1 (X × Y, (x, y)) ' π1 (X, x).
Corollaire 8.5.4 Si X et Y sont simplement connexes, X × Y est simplement connexe.
Définition 8.5.5 Soit X un espace topologique. Soit Y ⊂ X un sous espace de X. On dit que Y est
un rétracte de X s’il existe une application continue r : X → Y , telle que r(y) = y, pour tout y ∈ Y .
Une telle application r est appelée une rétraction de X sur Y .
Exemples 8.5.6 Tout point de X est un rétracte de X. Le disque unité fermé est un rétracte de R2 .
L’espace discret {0, 1} n’est pas un rétracte de l’intervalle unité.
Définition 8.5.7 Un sous espace Y d’un espace topologique X est appelé un rétracte par déformations
de X, s’il existe une rétraction r : X → Y , qui est homotope à IdX , relativement à Y . C’est à dire, s’il
existe une application continue H : X × [0, 1] → X telle que :
1. H(x, 0) = x et H(x, 1) = r(x), pour tout x ∈ X.
2. H(y, t) = y, pour tout y ∈ Y , et tout t ∈ [0, 1].
Exemples 8.5.8 La sphère S n−1 est un rétracte par déformation de Rn − {0}, pour tout entier n > 1.
Le cercle S 1 × {0} est un rétracte par déformation des cylindres S 1 × [0, 1] et S 1 × R.
Proposition 8.5.9 Soit Y un sous espace de X. Soit y ∈ Y , un point choisi arbitrairement. Soit
i : Y ,→ X l’inclusion canonique.
1. Si Y est un rétracte de X, i∗ : π1 (Y, y) → π1 (X, y) est injective.
2. Si Y est un rétracte par déformation de X, i∗ : π1 (Y, y) → π1 (X, y) est bijective.
Démonstration: 1- Soit R une rétraction de X sur Y . Comme r ◦ i = IdY , (r ◦ i)∗ = Idπ1 (Y,y) = r∗ ◦ i∗ ,
ce qui montre que i∗ est injective.
2- D’aprés (1), il suffit de montrer que i∗ est surjective. Soit c un lacet dans X, en y. Alors r ◦ c est un
acet dans Y . Soit H une homotopie comme dans ??. Définissons H ◦ c(t, s) = H(c(t), s), pour tous t, s,
élements de [0, 1]. On a H ◦ c(t, 0) = c(t), et H ◦ c(t, 1) = r ◦ c(t).
•
8.6
Calcul de π1 (S 1 ).
On notera p : R → S 1 la projection p(t) = exp(2iπt), ∀t ∈ R. On notera e = p(0).
Si n est un entier naturel, on notera γn le lacet sur S 1 : γn (t) = exp(2iπnt), t ∈ [0, 1].
Proposition 8.6.1 Soit c : [0, 1] → S 1 , une application continue, telle que c(0) = e. Il existe un unique
arc c̃ dans R, tel que c̃(0) = 0, et p ◦ c̃ = c. (Un tel chemin c̃ est appelé un relèvement de c.)
38
Démonstration: 1- Unicité. Soient c̃1 et c̃2 deux relèvements de c. La fonction t → c̃1 (t)− c̃2 (t), est une
fonction continue, sur l’intervalle [0, 1], à valeurs entières. Elle est donc constante. Comme c̃1 (0) = c̃2 (0),
on a c̃1 = c̃2 .
2- Existence. Soit P = {t ∈ [0, 1]/c(t) = e}. On note C0 , C1 , . . . Cn les composantes connexes de
P . (Comme P est fermé, les composantes C0 , C1 , . . . Cn sont des intervalles compacts. Elles sont de
plus en nombre fini : dans le cas contraire, en choisissant un point xn dans chacune des composantes,
on obtiendrait une suite des points dans [0, 1]. Quitte à extraire une sous-suite convergente, on peut
supposer que la suite (xn )n∈N est de Cauchy. On a donc à la fois : |xn − xn+1 | → 0, quand n tend
vers l’infini, pour chaque n, c(xn ) = c(xn+1 ) = e, et un point yn ∈ [xn , xn+1 ], tel que c(yn ) = e2iπ .
Ceci est contradictoire, car c, étant continue sur un compact, est uniformément continue. On choisit
une détermination du Log, avec une coupure en 2π. On a ainsi un homéomorphisme Log : S 1 → [0, 2π[.
Soit c un lacet de base e dans S 1 . Supposons les composantes C0 , C1 , . . . Cn numérotées de maniére
croissante, suivant l’ordre des points de [0, 1]. On définit mi = M in(Ci ), et Mi = M ax(Ci ). On pose
li = LimSup(Log(c(t))), t tendant vers mi par valeurs inférieures, Li = LimInf (Log(c(t))), t tendant
vers Mi par valeurs supérieures. Si mi > Mi , on pose ki+1 = ki + 1. Si mi < Mi , on pose ki+1 = ki − 1.
Soit t ∈ [0, 1]. Il existe i tel que M ax(Ci ) ≤ t ≤ M in(Ci+1 ). On pose c̃(t) = Log(c(t)) + 2πki .
•
Proposition 8.6.2 Soit H : [0, 1] × [0, 1] → S 1 une application continue, telle que H(0, 0) = e. Il existe
une unique application continue H̃ : [0, 1] × [0, 1] → R, telle que H̃(0, 0) = 0, et p ◦ H̃ = H.
Démonstration: L’unicité se démontre de la même manière que dans la proposition précédente. Pour
l’existence, on définit, pour chaque t ∈ [0, 1], ct (s) = H(t, s), s ∈ [0, 1]. On construit, comme dans la
proposition précédente, le relévement c̃t : [0, 1] → R. On définit H̃(t, s) = c̃t (s).
•
Remarque 8.6.3 L’espace R est un revêtement du cercle S 1 , c’est à dire : tout point du cercle S 1
admet un voisinage ouvert V, dont la préimage par p est homéomorphe au produit de V par un espace
discret (ici Z) . Les propositions précédentes sont des cas particuliers de théorèmes plus généraux sur
les revêtements, qui ne seront pas abordées dans ce cours.
Définition 8.6.4 Soit c : [0, 1] → S 1 un lacet de base e (i.e c(0) = c(1) = e) dans S 1 . Soit c̃ l’unique
arc dans R relevant c. On appelle degré de c le nombre c̃(1). En particulier, le degré du lacet γn est n.
Proposition 8.6.5 Deux lacets c et γ, de base e, dans S 1 sont homotopes si et seulement si ils ont
même degré.
Démonstration: Si c et γ on même degré, les relévements c̃ et γ̃ on même extrémités dans R, et
sont donc homotopes. (Faire une homotopie convexe entre c̃ et γ̃.) En composant cette homotopie avec
la projection p, on obtient une homotopie entre c et γ. Inversement, si c et γ sont homotopes, soit
H : [0, 1] × [0, 1] → S 1 une homotopie de lacets d’extrémités (c, γ). Soit H̃ un relévement de H. Alors
H̃(1, s) est un entier, pour tout s ∈ [0, 1]. Par continuité, H̃(1, s) est donc constante sur [0, 1]. Le degré
de c est H̃(1, 0). Le degré de γ est H̃(1, 1).
Théorème 8.6.6 On a : π1 (S 1 ) = Z
Démonstration: L’identification se fait en associant à chaque lacet dans S 1 son degré. La proposition
montre que cette application est injective. Elle est surjective car les lacets canoniques γn existent, avec
un degré arbitraire n. En fait, tout lacet dans S 1 est homotope à l’un des lacets {γn , n ∈ Z}.
•
39
8.7
Indice d’un lacet dans R2 .
Définition 8.7.1 Soit f une application continue, du cercle S 1 dans R2 . Soit x ∈ R2 − f (S 1 ). On
définit fˆx : S 1 → S 1 , par la formule :
fˆx (z) = [(f (z) − x)/|f (z) − x|][(f (e) − x)/|f (e) − x|]−1 .
Le premier facteur entre crochets est une normalisation de f , pour obtenir une fonction à valeurs dans le
cercle nité du plan complexe. Le second terme entre crohets est un terme de phase, pour avoir fˆx (e) = e.
Définition 8.7.2 L’index du point x par apport à f est le degré du lacet fˆx . On le note Ix (f ).
Proposition 8.7.3 Si x et y sont dans la même composante connex par arcs de R2 − f (S 1 ), on a :
Ix (f ) = Iy (f ).
Démonstration: Soit c un arc d’extrémités (x, y) dans R2 − f (S 1 ). Considérer l’homotopie H(z, s) =
fˆc(s) (z). C’est une homotopie de lacets dans S 1 , d’extrémités (fˆx , fˆy ). On utilise alors les résultats du
paragraphe précédent.
•
Proposition 8.7.4 Si le point x n’est pas entouré par f (S 1 ), on a : Ix (f ) = 0.
Démonstration: Dans ce cas, le graphe de fˆx n’effectue pas un tour complet autour de l’origine du
plan complexe.
•
Proposition 8.7.5 Soit x ∈ R2 . Soient f et g deux applications continues, de S 1 dans R2 − {x}. Si
f et g sont homotopes, alors Ix (f ) = Ix (g).
Démonstration: Si H est une homotopie d’extrémités (f, g), alors t → Ĥx (t, s) est une homotopie,
paramétrés par s, d’extrémités (fˆx , ĝx ).
Un exemple d’application de cette proposition est le théorème de D’Alembert (voir exercices.)
8.8
Théorème de Van Kampenn.
On considére un espace X, connexe par arcs. Soient X1 , X2 , deux ouverts de X, également connexes
par arcs, tels que X = X1 ∪ X2 , et X0 = X1 ∩ X2 6= φ. On note k0 , k1 , k2 , les inclusions respectives de
X0 , X1 , X2 dans X. On note j1 , j2 les inclusions de X0 dans X1 et X2 respectivement. Les calculs de
groupes d’homotopie se feront en choisissant un point arbitraire, x0 ∈ X0 , comme point-base.
Théorème 8.8.1 Le groupe fondamental π1 (X) est le produit amalgamé des groupe k1∗ (π1 (X1 )) et
k2∗ (π1 (X2 )) sur le sous groupe k0∗ (π1 (X0 )).
Remarque 8.8.2 Si G et Γ sont deux groupes, avec H un sous groupe, contenu dans l’intersection
de G et Γ. L’amalgame de G et Γ sur H est le groupe dont les éléments sont ceux de G tH Γ. Les
relations sont celles provenant de la structure de groupe de G et de Γ respectivement. Un élément de H
est soumis à la fois aux relations dans G, et dans Γ. Les éléments de H appartenant aux deux copies
de l’union disjointe G t Γ sont identifiés. On note ce produit amalgamé G ∗H Γ.
Démonstration: Soit c un lacet en x dans X. On peut trouver des réels 0 = t0 < t1 < t2 < . . . <
tn + 1 = 1, tels que, pour tout i, c([ti , ti+1 ]) est inclus dans l’un des deux ouverts X1 ou X2 . Appelons
ci la restriction de c à [ti , ti+1 ]. On peut supposer que si ci est contenu dans X1 , ci+1 est contenu dans
40
X2 , et vice versa. (Dans la cas contraire, il suffit de supprimer la valeur ti+1 et de renuméroter.) Ceci
implique que c(ti ) ∈ X0 , pour tout i ∈ {0, 1, . . . n}. Pour i ∈ {1, 2, . . . n}, on choisit un arc γi , dans X0 ,
d’extrémités (x0 , c(ti )). Alors : [c] = [c0 ][c1 ] . . . [cn ] = [c0 γ 1 ][γ1 c1 γ 2 ] . . . [γn cn ], s’ecrit comme un produit
de classes d’homotopie de lacets, soit dans X1 , soit dans X2 .
•
Corollaire 8.8.3 Si X0 est simplement connexe, π1 (X) = π1 (X1 ) ∗{e} π1 (X2 ).
Corollaire 8.8.4 On appelle figure huit (∞), ou bouquet de deux cercles, le quotient de la réunion
disjointe de deux cercles, par l’identification des deux point-base e. On a π1 (∞) = Z ∗{e} Z. On définit
de même le bouquet de n cercles (voir exercices.)
41
Groupe fondamental - Exercices
Exercice 58 Soit D le disque unité fermé du plan complexe. On notera 0 l’origine du plan complexe,
et S 1 le bord de D
i) Montrer qu’il existe une application continue : H : D × I → D, telle que H(x, 0) = 0, H(x, 1) =
x, ∀x ∈ D (On dit que D est contractile).
ii) En déduire que D est simplement connexe.
iii) Soit f une application continue de D dans lui-même. Si x ∈ D avec f (x) 6= x, on définit r(x)
comme l’intersection avec S 1 de la demi droite d’origine f (x), passant par x. Montrer que si f n’admet
aucun point fixe, x → r(x) est une retraction de D sur son bord S 1
iv) Conclure que toute application continue de D dans lui même admet un point fixe. (C’est le théorème
de Brouwer.)
Exercice 59 Soit G un groupe topologique, dont on note e l’élément neutre, et × la loi de composition.
Si c et c0 sont deux lacets sur G en e, on notera c × c0 le lacet c × c0 (t) = c(t) × c0 (t), ∀t ∈ I. On notera
cc0 la composition des lacets c et c0 .
i) Montrer que si c est homotope à γ, et c0 est homotope à γ 0 , alors c × c0 est homotope à γ × γ 0
ii) En considérant F une homotopie de c à cce , G une homotopie de c à ce c, H une homotopie de c0 à
ce c0 , et K une homotopie de c0 à c0 ce , montrer que les lacets cc0 , c0 c, c×c0 , et c0 ×c sont tous homotopes.
iii) En déduire que le lacet c−1 : t → c(t)−1 est homotope au lacet inverse c(t) = c(1 − t), et que π1 (G, e)
est commutatif
Exercice 60 Soit P (z) = z n + an−1 z n−1 + an−2 z n−2 + . . . + a0 un polynme complexe de degré n ≥ 1.
Supposons que P n’ait pas de racines. Pour r ≥ 0, on définit fr = S 1 → R2 − {0}, par fr (z) = P (rz).
Pour r > 0, on définit gr : S 1 → R2 − {0} par gr (z) = rn z n .
1. Montrer que pour tout r ≥ 0, l’index I0 (fr ) est nul.
2. Montrer que pour tout r > 0, l’index I0 (gr ) est égal à n.
3. Montrer qu’il existe R ∈ R, tel que pour tout r > R, on a, pour tout z ∈ S 1 ,|gr (z) − fr (z)| < rn
4. Montrer que pour tout r > R, t → tfr + (1 − t)gr est une homotopie de gr à fr , dans R2 − {0}.
5. En conclure que P (z) a une racine.
Exercice 61 Montrer que la compactifiée à un point de Rn est la sphére S n . Utiliser la projection
stéréographique : (x1 , x2 , . . . xn+1 ) → (x1 /(1 − xn+1 ), x2 /(1 − xn+1 ), . . . xn /(1 − xn+1 )) qui est un
homéomorphisme, de S n − N sur Rn (N désigne le pôle nord, défini par l’ équation xn+1 = 1).
Exercice 62 On considére la sphére S m , avec m ≥ 2. Appelons n et s les ples nord et sud de S m .
Explicitement : n = (0, 0, . . . , 1), s = (0, 0, . . . , −1), en coordonnées canoniques.
Les ouverts S m − {n}, et S m − {s} sont homéomorphes à Rm (projection stéréographique)
Montrer que si m ≥ 2, la sphére S m est simplement connexe. En déduire que pour m ≥ 2, S m n’a pas
le type d’homotopie du cercle.
Exercice 63 Montrer que si m ≥ 3, Rm − {0} est simplement connexe.
Exercice 64 Soient p et q deux points distincts de R2 . Montrer que le groupe fondamental de R2 −{p, q}
est le produit libre de deux copies de Z. Généraliser à R2 privé de n points.
42
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