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Art5-1 5

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Rev. Energ. Ren. Vol. 5(2002)49-58
Modélisation des Pertes Thermiques dans un
Capteur Solaire à Air à deux Passes
A. Zerrouki , B. Tedjiza et N. Said
CDER B.P. 62 Bouzaréah, Alger, ALGERIE
Résumé – Cette étude porte sur une modélisation mathématique d’un capteur solaire à air de
conception conventionnelle à deux passes (circulation d'air de part et d'autres de l'absorbeur).
Nous avons étudié le cas où le capteur est dans un état tel que les conditions de BLISS sont
respectées. Nous avons établi un bilan thermique respectivement sur la couverture transparente,
l'absorbeur puis l'isolation thermique arrière. Nous avons résolu le système d’equations obtenus.
Nous avons ensuite fourni les expressions mathématiques exactes des paramètres UL ,Fr et F’.
Une représentation graphique de ces paramètres a été présentée.
Abstract – in the present paper, we have discussed a solar air heater of a conventional design. In
this type of collector, there are two flow channels one above and other below the absorber plate.
The steady state equations which govern the behaviour of the system are obtained by considering
the energy balance on absorber, the cover and the insulation. The analytical derivations of
equations for computing the solar collector efficiency factor, F' and the collector loss factor UL
and the heat removal factor Fr are presented. The results equations are presented in both
analytic and graphical form. The use of the formulae derived in this paper will enable the
designer to make a prediction of collector performance for a selected flow rate and environmental
conditions. The prediction of the performance provided by this procedure is particularly useful
in comparing performance of air heaters with conventional design. The designer of solar
collectors would do well to carefully consider the values of these two functions (F' and UL) for
constructing an air heating solar collector.
Mots clés : Capteur solaire - Energie solaire – Performance - Pertes thermiques
1. INTRODUCTION
Le capteur solaire à air de conception conventionnelle a été introduit durant les années
quarante. L'adoption d'absorbeurs plans dans ce type d'insolateurs a commencé durant les
années soixante. Plusieurs études ont été faites sur ce type de capteurs solaires [1,2,3,4]. La
majeure partie de ces d'études porte sur la détermination des expressions donnant le
coefficient des pertes globales (UL ) et du facteur de rendement (Fr ) du capteur. En 1974,
Klein proposé un modèle mathématique qui estime la conductance F' et le facteur (Fr ) des
capteurs. Ces facteurs de transfert sont déterminés en se basant sur la théorie de BlissWhillier [ 2,5 ]. Cependant, dans la littérature il n'existe que très peu d'études qui traitent le
capteur solaire à deux passes.
Le présent travail, consiste à fournir les expressions exactes de la conductance des pertes
thermiques (UL) et du facteur de conduction (Fr) en suivant les hypothèses de Bliss.
2. ANALYSE THERMIQUE D'UN CAPTEUR SOLAIRE A DEUX PASSES
Considérons un capteur solaire à air à deux passes (voir la figure 1). On suppose que ce
capteur est dans un état tel que les conditions de Bliss sont respectées.
49
A. Zerrouki et al.
50
V itr a g e
A b so rb e u r
Ut
h c2
h c3
x'
a ir h c 1
a ir
h c4
hr
( G 1, T 1 )
hs
( G 2, T 2 )
x
Is o la t io n
Ub
Fig. 1: Schéma d'un élément du capteur
On se propose de calculer le coefficient de conduction (Fr) et le facteur de déperdition
thermique (UL). Pour les besoins du problème, nous allons établir un bilan thermique
respectivement sur la couverture transparente, l'absorbeur puis l'isolation thermique arrière.
Nous obtenons ainsi un système d'équations à 3 inconnues ( Tvit ,Tab et Tar ):
U t (Ta − Tvit ) + h c1 (T1 − Tvit ) + h r (Tab − Tvit ) = 0
I + h c2 (T1 − Tab ) + h c3 (T2 − Tab ) + h r (Tvit − Tab ) + h s (Tar − Tab ) = 0
U b (Ta − Tar ) + h c4 (T2 − Tar ) + h s (Tab − Tar ) = 0





(1)
Les énergies utiles récupérées par l'air à la sortie des conduits (1) et (2) sont données par:
Q u1 = h c1(Tvit − T1 ) + h c2 (Tab − T1 )
Q u2 = h c3 (Tab − T2 ) + h c4 (Tar − T2 )



(2)
La résolution mathématiquement du système d'équations (1) permet d'écrire:
f
U
U
Q u1 = 1 I − 11 (T1 − Tamb ) + 12 (T2 − Ta )
D
D
D
f
U
U
Q u2 = 2 I + 21 (T1 − Ta ) − 21 (T2 − Ta )
D
D
D





(3)
L'énergie totale récoltée à la sortie du capteur est donnée par la relation suivante:
Q u = Q u1 + Q u2
(4)
En remplaçant Qu1 et Qu2 par leurs expressions dans (4), on arrive à:
f +f
U − U 21
U − U12
Q u = 1 2 I − 11
(T1 − Ta ) + 22
(T2 − Ta )
D
D
D
(5)
Les expressions mathématiques des différents paramètres contenus dans les équations
précédentes sont présentées en annexe.
2.1. Cas d'un capteur solaire parfaitement symétrique
Considérons un capteur solaire à air à deux passes parfaitement symétrique par rapport à
l'absorbeur. Cette symétrie se traduit mathématiquement par les équations (6):
h c1 = h c4 ;
h 2 = h 3;
hs = h r
G
U t = U b ; G1 = G 2 =
2




(6)
Modelisation des Pertes Thermiques…
51
Par ailleurs, l'énergie utile Qu peut être aussi obtenue en utilisant la relation de BlissWhillier:
Q u = F' (I − U L (T − Tamb ))
(7)
En remplaçant les relations (6) dans (5) et en identifiant le résultat à l'équation
fondamentale (7), on obtient:
h α + h 2α 3 + h 3α 3 + h 4α1 f1 + f 2

F' = 1 2
=

D
D
(8)
h1β 2 + h 2 β 3 + h 3 β3 + h 4 β1 U11 + U 22 − U 21 − U 21 
0
UL =
=
h1α 2 + h 2α 3 + h 3α 3 + h 4α1
f1 + f 2

En simplifiant le résultat, on obtient:
2f1 2f 2
=
D
D
2U11 − 2U12 2U 22 − 2U 21
U 0L =
=
2f1
2f 2
F' =





(9)
L'expression du facteur de conduction ( Fr ) est alors obtenue en utilisant la théorie de BlissWhillier :
0 ' 
GCp 
1 − exp(− U L F ) 
(10)
Fr =
GCp 
U 0L 
Très souvent, les conditions de symétrie citées ci-dessus ne sont pas vérifiées
approximation, on peut utiliser les
( U t ≠ U b et h r ≠ h s ). Cependant, en première
expressions précédentes pour estimer les performances des capteurs solaires à deux passes.
2.2. Cas d'un capteur solaire non symétrique
Dans la pratique, les relations (6) ne sont pas vérifiées. Les expressions exactes des
paramètres (UL et Fr ) sont alors obtenues en résolvant le système d'équations (2). Pour cela,
considérons un élément de volume (adx) du fluide caloporteur (l'axe x étant orienté dans la
direction de l'écoulement voir figure 1). Pour simplifier le problème, nous allons poser les
hypothèses suivantes:
C p1 + C p2 
C p1 = C p2 et C p =

(11)

2

Ti1 = Ti2 = Ti

Calculons les énergies récoltées à la sortie de l'élément de volume (adx) dans les deux
conduits. Nous avons donc:
f Iadx U11adx
U adx

dq u1 = G1ACp1dT1 = 1
−
(T1 − Ta ) + 12
(T2 − Ta ) 

D
D
D

f 2Iadx U 21adx
U 22adx
dq u2 = G 2 ACp2dT2 =
+
(T1 − Ta ) −
(T2 − Ta )

D
D
D
Après simplification, on obtient:
(12)
A. Zerrouki et al.
52
dT1
f1Ia
U11a
U12a
=
−
(T1 − Ta ) +
(T2 − Ta )
dx G1ACp1D G1ACp1D
G1ACp1D
dT2
f 2Ia
U 21a
U 21a
=
+
(T1 − Ta ) −
(T2 − Ta )
dx
G 2ACp2D G 2ACp2 D
G 2ACp2 D







(13)
Pour faciliter la résolution du système d'équations différentielles (13), nous allons
introduire un changement de variables:
u = T1 − Ta 

v = T2 − Ta 
(14)
En adoptant ces deux nouvelles variables dans ce système d'équations différentielles, on
obtient:
fS
U
U
u ' = 1 − 11 u + 12 v
BG1 BG1
BG1
f S
U
U
v' = 2 + 21 u − 22 v
BG 2 BG 2
BG 2






(15)
u ' et v ' désignent respectivement les dérivées de u et v par rapport à la variable x. Les
conditions initiales se traduisent par:
u(0) = Ti − Ta 

v(0) = Ti − Ta 
(16)
La résolution du système d'équations différentielles ci-dessus donne:
U12
 U11

+ n2


nx
G1
G1

T1 − Ta =
(Ti1 − Ta ) −
(Ti2 − Ta ) + C3S exp( 1 ) +
 n 2 − n1

n 2 − n1
B




U12
 U11

− n1
−

n x
G
G

1
1
(Ti1 − Ta ) +
(Ti2 − Ta ) + C4S exp( 2 ) + C1S
 n 2 − n1

n 2 − n1
B




(17)
U12
U11

U
+ n1  11 + n 2

nx
G
G
G1

1
1
(Ti1 − Ta ) −
(Ti2 − Ta ) + C3S exp( 1 ) +
T2 − Ta =

n 2 − n1
B
n 2 − n1  n 2 − n1




U11
U12

 U
+ n 2  − 11 − n1

n x
G1
G1
 G1
(Ti1 − Ta ) −
(Ti2 − Ta ) + C4S exp( 2 ) + C2S


U11
n − n1
n 2 − n1
B

 2
G1


Maintenant, on calcule la température moyenne du fluide caloporteur dans le capteur.
(18)
Modelisation des Pertes Thermiques…
53
Pour le premier conduit
T1 − Ti =
1 L
(T1 − Ti )dx
L ∫0
(19)
1 L
(T2 − Ti )dx
L ∫0
(20)
Pour le second conduit
T2 − Ti =
Après avoir remplacé (T1 -Ti ) et (T2 -Ti ) par leurs expressions dans les relations 19 et
20, et après intégration, on obtient:
n1
n2


 A11Cp D C D

A
C
D
12
p
C
D
T1 − Ti = 
(e p − 1) +
(e p − 1) − 1(Ti − Ta ) +
n2
 n1



c3SC p D
n1
(e
n1
CpD
− 1) +
c 4SC p D
n2
(e
n2
Cp D
(21)
− 1) + c1S
n1
n2




A
C
D
A
C
D
Cp D
Cp D
21 p
22 p

− 1) +
− 1) − 1(Ti − Ta ) +
T2 − Ti =
(e
(e
 n

n2
1




n1
n2
c3SC p DA 23 Cp D
c4SCp DA 24 C p D
(e
− 1) +
(e
− 1) + c 2S
n1
n2
(22)
La température moyenne ( Tfm ) de l'air, relative au débit total (G) à la sortie du capteur
peut être aussi obtenue par l'équation suivante:
Tfm − Ti =
G1(T1 − Ti ) + G 2 (T2 − T)
G
(23)
2.2.1. Calcul de l'énergie utile récupérée à la fin des conduits
L'énergie utile récupérée par l'air dans le conduit j (j=1 ou 2) est donnée par la relation
suivante :
Q uj = C pjG j (Tsj − Ti )
(24)
Les variations de températures entre l'entrée et la sortie (Tsj -Ti ) dans les conduits 1 et 2
est déterminée à l'aide des équations (17) et (18) (x=L).
2.2.2. Calcul du rendement
Le rendement énergétique relatif au conduit j est calculé à l'aide de la relation de base:
ηj =
Q uj
AI
Par ailleurs, ce rendement peut aussi s'exprimer par la relation de BLISS:
(25)
A. Zerrouki et al.
54
η


j = Frj  (τα )e − U Lj
(Ti − Ta ) 

I

(26)
On remplace Quj par son expression dans la relation (25) et on calcule le rendement ηi. Par
la suite on identifie le résultat avec l'équation (26). Pour les deux conduits, on obtient ainsi:
1 − A 21e
U L2 =
n1
CpD
c 2 + c3A 23e
n1
Cp D
− A 21e
n2
Cp D
+ c 4A 24e
n2
CpD
n2 

n1


Cp D 
GCp 
Cp D
Fr2 =
1 − A 21e
− A 22e

U L2 






U L1 =
1 − A11e
n1
Cp D
c1 + c3e
U L1 =
1 − A11e
n1
Cp D
n1
Cp D
c1 + c3e
n1
Cp D
− A12e
+ c 4e
n2
Cp D
− A12e
+ c 4e
n2
Cp D
n2
Cp D
n2
Cp D














(27)















(28)
A la sortie du capteur, l'énergie récupérée par l'air s'écrit de la façon suivante:
Q u = Q u1 + Q u2
(29)
On calcul le rendement du capteur, et après une démarche analogue à la précédente, on
obtient:
UL =
G1(1 − A11e
n1
n1
Cp D
n2
Cp D
n1
Cp D
n2
Cp D
) + G(1 − A 21e
)
− A12e
− A 21e
n1
n1
n2
C D
C D
C D
C D
G(c3e p + c 4e p + c1) + G(c3A 23e p + c4 A 24e p + c2
n1
n2
n1
n2 



Cp 
Cp D
Cp D
Cp D
Cp D 
Fr =
G1(1 − A 21e
− A 22e
) + G 2 (1 − A 21e
− A 22e
)

UL 




3. RESULTATS ET DISCUSSION













(30)
Modelisation des Pertes Thermiques…
55
Le modèle mathématique précèdent a été simulé sur micro-ordinateur. Un programme
informatique en matlab a été élaboré. Des simulations ont été faites pour les cas décrits cidessous. Tous les calculs ont été effectués pour des conditions stationnaires où les valeurs de
la température ambiante et de l’éclairement solaire sont respéctivement (Ta=20°C ) et
(I=800W/m2). La vitesse du vent est de 2 m/s. Le produit (τα)e=0.80. Ub=1W/m2°C. Les
émessivités εa=εab=εvit=0.90
h 1 = h h 2 = h h 3 =h h4 = h
h r = 5 h s = 5 U t = 15 U b = 1
G 1 = G et K 2 = 100
U L / U L0
F r / F r0
F r / F r0
h 1 = h h 2 = 3 h h 3 =h h 4 =h
h r = 5 h s = 5 Ut = 15 U b = 1
G1 = G2 et K =100
U L / U L0
Fig. 2b
Fig. 2a
h (W/m 2 °C)
h (W/ m2 °C )
h 1 = h h 3 =3h h 2 = h h 4 =h
h r =5 h s = 5 Ut =12 Ub =12
G1=G2 et K=100
h1 =h ; h 3= 3 h; h 2 = h; h 4 = h
h r =4 ; h s =4 ; Ut = 15 ; Ub =1
G1=G2 et K=100
F r / Fr0
FR / FR0
UL / UL0
UL / UL0
Fig. 2d
Fig. 2c
h (W/m2°C)
h (W/m2 °C)
Fig. 2: Evolution des rapports (Fr/Fro ) et (UL/ULo)
Le coefficient d'échange thermique à l'intérieur du capteur est donné par la relation [14,15 ]:
& 
 2 m

Nu = c
 ν (a + b) 
Pour 5000 <Re<100000
n
n=0.675 et c=0.092
(31)
A. Zerrouki et al.
56
Pour 2500 <Re<8000
n=0.699 et c=0.160
Tous les calculs ont été fait avec un débit d'air variant entre 0.002 et 0.2 kg/sm².
3.1. Cas ou hc1 = h = hc2= hc3=hc4; hr= 5 ;hs = 5 ;Ut=15 ;Ub=1
Ce cas est illustré par la figure 2a. Sur cette dernière, on remarque que le rapport (Fr/Fro)
diminue quand h augmente alors que (UL/ULo) augmente. Quand la valeur du coefficient de
transfert devient importante, ces deux paramètres tendent vers 1.
3.2. Cas ou h1 = h = h3 = h4; h2 = 3h; hr= 5 ; hs= 5 ;Ut =15 ;Ub=1
La simulation de ce cas est montrée sur la figure 2b. On constate que lorsqu'on augmente
le coefficient d'échange h, le paramètre (Fr/Fro) diminue jusqu'à atteindre un point minimum
(Fr/Fro=0.9740 pour h=1.3710 W/m²°C) . Au delà de ce point, ce facteur augmente et tend
vers la valeur 1. Comme sur la figure précédente, le coefficient (UL/ULo) augmente et tend
vers 1 quand h devient important.
3.3. Cas où h1 = h = h2= h4; h3 = 3h; hr= 4 ;hs= 4 ;Ut = 15 ;Ub = 1
Les résultats numériques sont illustrés sur la figure 2c. On constate que quand on
augmente le coefficient h, le rapport (UL/ULo) diminue alors que (Fr/Fro) augmente. Pour des
valeurs importantes de h ces deux rapports tendent vers 1.
3.4. Cas où h1 = h = h2 = h4 = h3; hr = 5 ;hs = 5 ;Ut = 12 ;U b=12
Si on analyse la figure 2d, on voit que pour des valeurs de h inférieures à h=2.9446
W/m²°C , le coefficient (Fr/Fro) augmente quand h augmente jusqu'à atteindre une valeur
maximale (Fr/Fro=1.0015 pour h=2.9446 W/m²°C). Au-delà de ce point ce rapport diminue en
tendant vers 1 pour des valeurs importantes de h. Quant au rapport (UL/ULo), on remarque que
ce dernier diminue jusqu'à atteindre une valeur minimale (UL/ULo= 0.9980 pour h=3.6480
W/m² C) puis augmente en tendant vers 1 pour des valeurs importantes de h.
4. CONCLUSION
Cette étude porte sur une modélisation mathématique d'un capteur solaire à air deux
passes. Nous avons présenté une solution mathématique exacte de ce modèle. Nous avons
fourni les expressions exactes du coefficient de conductance thermique et la conductance
totale d'un capteur solaire à deux passes en regime permanants. Ces expressions sont encore
non disponibles dans la littérature. La comparaison des résultats avec ceux obtenus avec
l'analyse de Bliss - Whillier sont satisfaisants.
Le travail qui a été entrepris dans ce papier doit être considéré comme une modeste
contribution dans la compréhension des phénomenes complexes régissant les transferts
thermique dans les capteurs solaires.
NOMENCLATURE
A: Surface du capteur [ m² ]
b: Epaisseur des canaux [ m ]
De: Diamètre hydraulique [ m ]
Tamb: Température ambiante [°C]
Qu: Puissance utile [ W ]
Re: Nombre de Reynolds [ - ]
η: Rendement du capteur [ - ]
m: Débit dans le conduit i [ kg/sm² ]
a: Largeur du capteur [ m ]
I: Eclairement solaire [W/m² ]
Fr: Coefficient de conduction thermique [ - ]
F': Facteur de correction thermique [ - ]
Ti: Température de l'air dans le conduit i [°C ]
Ub: Conductance totale du capteur [W/m²K ]
hi: Coefficient d'échange convectif [W/m²K ]
Modelisation des Pertes Thermiques…
57
UL: Coefficient des pertes thermiques à l'arrière du capteur [ W/°K ]
Ut:Coefficient des pertes thermiques à l'avant du capteur[W/m²K ]
REFERENCES
[1] H. G. Hottel et Woertz, "Performance of Flat-Plat Solar Heat Collectors", Trans. 64,
1642.
[2] R. Bliss, "The Derivations of Several Plat Efficiency Factor Useful in the Design of
Flat-Plat Solar-Heat Collectors", Solar Energy 3 (1955).
[3] N. E. Wijeysundera and al, "Thermal performance Study of two Pass Solar Air Heaters",
Solar Energy 28, No 5 (1962).
[4] D. J. Close, "Solar Air Heaters for Low and Moderate Temperature Applications", Sol.
Energy 7, N°3, 1663.
[5] A.Whillier, "Black Painted Solar Heaters of Conventional Design", Solar Energy,
Vol.13,No 1,1664.
[6] M. K. Selcuk, "Thermal and Economic Analysis of the Overlapped Glaze Plate Solar Air
Heaters", Sol Energy, Vol. 13, n°2, 1971.
[7] J. F. O. Saccadura, "Equations caractéristiques des capteurs solaires plans sans
concentration", R.G.T, No 171, France, mars 1976.
[8] J. A. Duffie and W.A. Beckman, "Solar Energy Thermal Process", Pu. J. Wiley, 1974.
[9] S. A. Klein, "Calculation of flat collector load coefficients", Solar Energy 17, No 17,
1676.
[10] M. Daguenet, "Les sechoires solaires : Théorie et pratique", UNESCO, Paris, 1985.
[11] A. A. M. Sayigh, "Solar Energy Engineering", Academic Press, 1977.
[12] Yvonne Howel and al, "Engineer's Guide to Solar Energy", SEIS. 1979.
[13] F. Kreith and al, "Principles of Solar Engineering", Hemisphere Publishing Corporation,
1979.
[14] M. Neckati Özisik, "Heat Transfert. A Basic Approach", McGraw-Hill , Inc., 1985 ,USA
ANNEXE
α1 = hs R
α 2 = hr R
α 3 = RP
β1 = RH + hr hsU t − hr2U t
β 2 = hr hsU b + U t C
β 3 = hrU b R + hrU t P
γ 1 = hc 2 hs R + hc1hr hs
γ 2 = hc1C + hc 2 hr P
γ 3 = hc 2 PR + hc1hr P
γ4 = γ3 − D
ou:
C = W + H + hr hs
H = U b (hc 2 + hc 3 + hr + hs )
W = hc 2 hc 4 + hc 3hc 4 + hc 4 hr + hs hc 4 + hc 2 hs + h3r hs
R = hc1 + hr + U t
P = hc 4 + hc + U b
D = CR − hr2 P
f1 = hc1α 2 + hc 2α 3
f 2 = hc 3α 3 + hc 4α1
U11 = −hc1γ 2 − hc 2γ 4
U11 = -h c1β 2 + h c2 β 3 + h c1γ 2 + h c2γ 4
U11 = hc 3γ 3 − hc 4γ 1
U 22 = h c3 β 3 + h c4 β1 + h c3γ 3 + h c4γ 1
B = DC p L
A. Zerrouki et al.
58
−(
n1 =
n2 =
4U U
U11 U 22
U
U
) + ( 11 − 11 ) 2 + 12 21
+
G1 G2
G1 G1
G1G2
2
4U U
U
U
U
U
− ( 11 + 22 ) − ( 11 − 11 ) 2 + 12 21
G1 G2
G1 G1
G1G2
2
d 3 = C1 S
f U + f 2U 12
c1 = 1 22
U 11U 22 − U 21U 12
c2U 12
U
− c1 ( 12 + n2 )
G1
G1
c3 =
n2 − n1
U 11
U
+ n2 − 12
G
G1
A11 = 1
n2 − n1

 U11
+ n1 

G

A21 = A11  1
 n2 − n1 




U11
+ n1
G1
A23 =
U12
G1
c2 =
f 2U 11 + f 1U 21
U 11U 22 − U 21U 12
−
c3 =
c2U 12
U
+ c1 ( 11 + n2 )
G1
G1
n2 − n1
U 12
U
− n1 − 11
G
G1
A12 = 1
n2 − n1

 U11
+ n2 

G

A22 = A12  1
 U12 


 G1 
U11
+ n2
G1
A24 =
U12
G1
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