Art5-1 5

Rev. Energ. Ren. Vol. 5(2002)49-58
49
Modélisation des Pertes Thermiques dans un
Capteur Solaire à Air à deux Passes
A. Zerrouki , B. Tedjiza et N. Said
CDER B.P. 62 Bouzaréah, Alger, ALGERIE
Résumé – Cette étude porte sur une modélisation mathématique d’un capteur solaire à air de
conception conventionnelle à deux passes (circulation d'air de part et d'autres de l'absorbeur).
Nous avons étudié le cas où le capteur est dans un état tel que les conditions de BLISS sont
respectées. Nous avons établi un bilan thermique respectivement sur la couverture transparente,
l'absorbeur puis l'isolation thermique arrière. Nous avons résolu le système d’equations obtenus.
Nous avons ensuite fourni les expressions mathématiques exactes des paramètres UL ,Fr et F’.
Une représentation graphique de ces paramètres a été présentée.
Abstract – in the present paper, we have discussed a solar air heater of a conventional design. In
this type of collector, there are two flow channels one above and other below the absorber plate.
The steady state equations which govern the behaviour of the system are obtained by considering
the energy balance on absorber, the cover and the insulation. The analytical derivations of
equations for computing the solar collector efficiency factor, F' and the collector loss factor UL
and the heat removal factor Fr are presented. The results equations are presented in both
analytic and graphical form. The use of the formulae derived in this paper will enable the
designer to make a prediction of collector performance for a selected flow rate and environmental
conditions. The prediction of the performance provided by this procedure is particularly useful
in comparing performance of air heaters with conventional design. The designer of solar
collectors would do well to carefully consider the values of these two functions (F' and UL) for
constructing an air heating solar collector.
Mots clés : Capteur solaire - Energie solaire – Performance - Pertes thermiques
1. INTRODUCTION
Le capteur solaire à air de conception conventionnelle a été introduit durant les années
quarante. L'adoption d'absorbeurs plans dans ce type d'insolateurs a commencé durant les
années soixante. Plusieurs études ont été faites sur ce type de capteurs solaires [1,2,3,4]. La
majeure partie de ces d'études porte sur la détermination des expressions donnant le
coefficient des pertes globales (UL ) et du facteur de rendement (Fr ) du capteur. En 1974,
Klein proposé un modèle mathématique qui estime la conductance F' et le facteur (Fr ) des
capteurs. Ces facteurs de transfert sont déterminés en se basant sur la théorie de Bliss-
Whillier [ 2,5 ]. Cependant, dans la littérature il n'existe que très peu d'études qui traitent le
capteur solaire à deux passes.
Le présent travail, consiste à fournir les expressions exactes de la conductance des pertes
thermiques (UL) et du facteur de conduction (Fr) en suivant les hypothèses de Bliss.
2. ANALYSE THERMIQUE D'UN CAPTEUR SOLAIRE A DEUX PASSES
Considérons un capteur solaire à air à deux passes (voir la figure 1). On suppose que ce
capteur est dans un état tel que les conditions de Bliss sont respectées.

A. Zerrouki et al.
50
Absorbeur
Vitrage
Iso lation
x'
x
hc2 air hc1 hr (G 1,T 1)
hc3 air hc4 hs (G 2,T2)
U b
U t
Fig. 1: Schéma d'un élément du capteur
On se propose de calculer le coefficient de conduction (Fr) et le facteur de déperdition
thermique (UL). Pour les besoins du problème, nous allons établir un bilan thermique
respectivement sur la couverture transparente, l'absorbeur puis l'isolation thermique arrière.
Nous obtenons ainsi un système d'équations à 3 inconnues ( Tvit ,Tab et Tar ):
=−+−+−
=−+−+−+−+
=−+−+−
0)T(Th)T(Th)T(TU
0)T(Th)T(Th)T(Th)T(ThI
0)T(Th)T(Th)T(TU
arabsar2c4arab
abarsabvitrab2c3ab1c2
vitabrvit1c1vitat
(1)
Les énergies utiles récupérées par l'air à la sortie des conduits (1) et (2) sont données par:
−+−=
−+−=
)T(Th)T(ThQ
)T(Th)T(ThQ
2arc42abc3u2
1abc21vitc1u1 (2)
La résolution mathématiquement du système d'équations (1) permet d'écrire:
−−−+=
−+−−=
)T(T
D
U
)T(T
D
U
I
D
f
Q
)T(T
D
U
)T(T
D
U
I
D
f
Q
a2
21
a1
212
u2
a2
12
amb1
111
u1
(3)
L'énergie totale récoltée à la sortie du capteur est donnée par la relation suivante:
u2u1u QQQ += (4)
En remplaçant Qu1 et Qu2 par leurs expressions dans (4), on arrive à:
)T(T
D
UU
)T(T
D
UU
I
D
ff
Qa2
1222
a1
211121
u−
−
+−
−
−
+
= (5)
Les expressions mathématiques des différents paramètres contenus dans les équations
précédentes sont présentées en annexe.
2.1. Cas d'un capteur solaire parfaitement symétrique
Considérons un capteur solaire à air à deux passes parfaitement symétrique par rapport à
l'absorbeur. Cette symétrie se traduit mathématiquement par les équations (6):
===
===
2
G
GG ; UU
hh ;hh ;hh
21bt
rs32c4c1
(6)

Modelisation des Pertes Thermiques… 51
Par ailleurs, l'énergie utile Qu peut être aussi obtenue en utilisant la relation de Bliss-
Whillier:
))TT(U(IFQ ambL
'
u−−= (7)
En remplaçant les relations (6) dans (5) et en identifiant le résultat à l'équation
fondamentale (7), on obtient:
+
−−+
=
+++
+++
=
+
=
+++
=
ff
UUUU
hhhh
hhhh
U
D
ff
D
hhhh
F'
21
21212211
14333221
14333221
0
L
2114333221
αααα
ββββ
αααα
(8)
En simplifiant le résultat, on obtient:
−
=
−
=
==
2f
2U2U
2f
2U2U
U
D
2f
D
2f
F
2
2122
1
1211
0
L
21
'
(9)
L'expression du facteur de conduction ( Fr ) est alors obtenue en utilisant la théorie de Bliss-
Whillier :
−−= )
GC
FU
exp(1
U
GC
F
p
'0
L
0
L
p
r (10)
Très souvent, les conditions de symétrie citées ci-dessus ne sont pas vérifiées
(srbt hhet UU ≠≠ ). Cependant, en première approximation, on peut utiliser les
expressions précédentes pour estimer les performances des capteurs solaires à deux passes.
2.2. Cas d'un capteur solaire non symétrique
Dans la pratique, les relations (6) ne sont pas vérifiées. Les expressions exactes des
paramètres (UL et Fr ) sont alors obtenues en résolvant le système d'équations (2). Pour cela,
considérons un élément de volume (adx) du fluide caloporteur (l'axe x étant orienté dans la
direction de l'écoulement voir figure 1). Pour simplifier le problème, nous allons poser les
hypothèses suivantes:
==
+
==
TTT
2
CC
Cet CC
ii2i1
p2p1
pp2p1 (11)
Calculons les énergies récoltées à la sortie de l'élément de volume (adx) dans les deux
conduits. Nous avons donc:
−−−+==
−+−−==
)T(T
D
adxU
)T(T
D
adxU
D
Iadxf
dTACGdq
)T(T
D
adxU
)T(T
D
adxU
D
Iadxf
dTACGdq
a2
22
a1
212
2p22u2
a2
12
a1
111
1p11u1
(12)
Après simplification, on obtient:

A. Zerrouki et al.
52
−−−+=
−+−−=
)T(T
DACG
aU
)T(T
DACG
aU
DACG
Iaf
dx
dT
)T(T
DACG
aU
)T(T
DACG
aU
DACG
Iaf
dx
dT
a2
p22
21
a1
p22
21
p22
22
a2
p11
12
a1
p11
11
p11
11
(13)
Pour faciliter la résolution du système d'équations différentielles (13), nous allons
introduire un changement de variables:
−=
−=
TTv
TTu
a2
a1 (14)
En adoptant ces deux nouvelles variables dans ce système d'équations différentielles, on
obtient:
−+=
+−=
v
BG
U
u
BG
U
BG
Sf
v
v
BG
U
u
BG
U
BG
Sf
u
2
22
2
21
2
2
'
1
12
1
11
1
1
'
(15)
uv'' et désignent respectivement les dérivées de uvet par rapport à la variable x. Les
conditions initiales se traduisent par:
−=
−=
TTv(0)
TTu(0)
ai
ai (16)
La résolution du système d'équations différentielles ci-dessus donne:
SC)
B
xn
exp(SC)T(T
nn
G
U
)T(T
nn
n
G
U
)
B
xn
exp(SC)T(T
nn
G
U
)T(T
nn
n
G
U
TT
1
2
4ai2
12
1
12
ai1
12
1
1
11
1
3ai2
12
1
12
ai1
12
2
1
11
a1
+
+−
−
+−
−
−−
+ +−
−
−−
−
+
=−
(17)
SC)
B
xn
exp(SC)T(T
nn
G
U
)T(T
nn
n
G
U
G
U
n
G
U
)
B
xn
exp(SC)T(T
nn
G
U
)T(T
nn
n
G
U
nn
n
G
U
TT
2
2
4ai2
12
1
12
ai1
12
1
1
11
1
11
2
1
11
1
3ai2
12
1
12
ai1
12
2
1
11
12
1
1
11
a2
+
+−
−
−−
−
−−+
+
+−
−
−−
−
+
−
+
=−
(18)
Maintenant, on calcule la température moyenne du fluide caloporteur dans le capteur.

Modelisation des Pertes Thermiques… 53
Pour le premier conduit
∫−=− L
0i1i1 )dxT(T
L
1
TT (19)
Pour le second conduit
∫−=− L
0i2i2 )dxT(T
L
1
TT (20)
Après avoir remplacé (T1 -Ti ) et (T2 -Ti ) par leurs expressions dans les relations 19 et
20, et après intégration, on obtient:
Sc1)(e
n
DSCc
1)(e
n
DSCc
)T(T11)(e
n
DCA
1)(e
n
DCA
TT
1
DC
n
2
p4
DC
n
1
p3
ai
DC
n
2
p12
DC
n
1
p11
i1
p
2
p
1
p
2
p
1
+−+−
+−
−−+−=−
(21)
Sc1)
DC
n
(e
n
DASCc
1)
DC
n
(e
n
DASCc
)T(T11)
DC
n
(e
2
n
DCA
1)
DC
n
(e
n
DCA
TT
2
p
2
2
24p4
p
1
1
23p3
ai
p
2
p22
p
1
1
p21
i2
+−+−
+−
−−+−=−
(22)
La température moyenne ( f
m
T ) de l'air, relative au débit total (G) à la sortie du capteur
peut être aussi obtenue par l'équation suivante:
G
T)T(G)TT(G
TT 22i11
ifm −+−
=− (23)
2.2.1. Calcul de l'énergie utile récupérée à la fin des conduits
L'énergie utile récupérée par l'air dans le conduit j (j=1 ou 2) est donnée par la relation
suivante :
)T(TGCQ isjjpjuj −= (24)
Les variations de températures entre l'entrée et la sortie (Tsj -Ti ) dans les conduits 1 et 2
est déterminée à l'aide des équations (17) et (18) (x=L).
2.2.2. Calcul du rendement
Le rendement énergétique relatif au conduit j est calculé à l'aide de la relation de base:
AI
Quj
j=
η (25)
Par ailleurs, ce rendement peut aussi s'exprimer par la relation de BLISS: