Chapitre 2 : systèmes optiques simples (images
par réflexion et réfraction) et systèmes centrés
1 Système optique, points objets, images, espace objet, espace image
1.1 Notion d’objet et de système optique
En optique, on désigne simplement par « objet » tout dispositif émettant ou
diffusant de la lumière.
Un point objet est un point géométrique d'où émanent des rayons lumineux.
Un objet lumineux est un ensemble de points sources.
Par exemples, la flamme d'une bougie peut
être considérée comme un objet lumineux,
un trou percé dans un écran et éclairé par
derrière, une diapositive éclairée, une
préparation sur lamelle pour mettre sur la
platine d'un microscope, la Lune, etc., sont
des objets.
L'observation de ces objets passe généralement par
l'usage d'instruments d'optique : loupe, microscope
optique, lunette astronomique, télescope, jumelles,
appareil photo, etc. De tels instruments sont des systèmes
de lentilles et miroirs qui guident par réflexion et
réfraction la lumière jusqu'à l'œil, l'écran, la pellicule...
De façon générale, on parle alors de « système optique ».
Un système optique est dit centré s’il possède une symétrie de révolution autour d’un axe (cet
axe est alors appelé axe optique).
Tout point objet O de l’objet est donc un point jouant le rôle de source de lumière pour un
système optique.
Fichier en local
Exemples de systèmes optiques (centrés)
Télescope de type Newton, formés de
deux miroirs et d’un oculaire
Lunette astronomique, formée de
plusieurs lentilles.
L'œil est également un système optique qui peut être
modélisé par une lentille (le cristallin) et un écran (la
rétine).
1.2 Notion d’image
L'analyse de la formation des images d'objets par des instruments d'optique repose sur la
modélisation de tout objet comme un ensemble de points lumineux : de chaque point de
l'objet partent ainsi des rayons lumineux dont une partie est interceptée par le système
optique.
On dit obtenir l'image d'un point objet, lorsque tous les rayons issus de ce point et passés par
le système optique, convergent en un point unique, ou bien semblent provenir d'un point
unique. On parle alors de point image ou de l'image du point objet.
1.3 Stigmatisme rigoureux et points conjugués
Si un système optique possède la propriété
d’associer à un point objet A un et un seul point
image A’ on parle de stigmatisme rigoureux.
Une telle propriété des systèmes optiques est
rare. Nous verrons que seul le miroir plan est
stigmatique pour tout point objet.
D'autres systèmes ne sont rigoureusement
stigmatiques que pour quelques points
particuliers. Dans de nombreux cas (en
particulier pour les lentilles) on doit se
contenter d'un stigmatisme approché (voir plus
loin).
D’après le principe du retour inverse de la lumière, si le point A’ est considéré comme un point
objet du système optique renversé, alors le point image de A’ est le point A.
On dit aussi que les points objet A et image A’ sont conjugués pour le système optique.
Le rôle des instruments d’optique est de fournir des représentations, appelées images,
d’ensembles de points lumineux appelés objets.
Les rayons lumineux issus de chaque point de l’objet subissent dans l’instrument une
succession de réfractions ou de réflexions et interagissent avec un détecteur (œil ou système
d’enregistrement photosensible).
Lorsque les rayons issus d’un point objet A émergent de l’instrument en convergeant vers un
point A’ unique, on dit que A’ est l’image conjuguée de A ou que l’instrument est
rigoureusement stigmatique pour le couple de points A et A’.
La relation de conjugaison est la relation mathématique qui relie la position de A avec celle de
A’ :
Pour schématiser le fait qu’un système optique (SO) conjugue un objet A et une image A’ on
écrit :
1.4 Types de systèmes optiques
Un système optique constitué uniquement de dioptres transparents séparant des milieux
homogènes transparents d’indices différents est appelé système optique dioptrique. Un
système dioptrique ne comporte donc que des surfaces réfringentes. Le phénomène
réfraction contrôle la propagation de la lumière. C’est le cas des systèmes rencontrés dans
beaucoup d’instruments (loupes, microscopes, lunettes astronomiques, jumelles, objectifs
photo, etc.). Ces systèmes ont une face d’entrée et une face de sortie distinctes.
Un système ne comportant que des surfaces réfléchissantes est appelé système catoptrique.
Le phénomène contrôlant la propagation de la lumière est la réflexion. De tels systèmes sont
souvent réalisés par une combinaison de miroirs, par exemple dans certains télescopes.
Un système comportant à la fois des surfaces réfléchissantes et réfringentes est appelé
système catadioptrique. La lumière subit un certain nombre de réfractions, une réflexion puis
une nouvelle série de réfractions en sens inverse. La face d’entrée et la face de sortie sont des
surfaces dioptriques confondues. Par exemple, la réalisation d’objectifs de très grande
ouverture (ou de très longue focale) peut nécessiter l’introduction de miroirs.
Objectif photographique dioptrique Nikkor AF 20 mm f/2.8D réglé sur l’infini.
Objectif photographique catadioptrique
Télescope de type Newton, système
catoptrique (sauf l’oculaire)
1.5 Espace objet et espace image
Pour chaque système optique on définit, en fonction du sens d’utilisation par rapport à la
direction de propagation de la lumière, un dioptre d’entrée et un dioptre de sortie.
Pour un système dioptrique, on définit comme espace objet l’espace se trouvant avant le
dioptre d’entrée et l’espace image, l’espace qui se trouve au‐delà du dioptre de sortie.
Pour les systèmes catadioptrique et catoptrique, on définit comme espace objet et l’espace
image, l’espace se trouvant avant le dioptre d’entrée.
1.6 Types d’images
Un point image ou plus simplement, « une image » peut être qualifié(e) de réel(le) ou de
virtuel(le).
Une image est dite réelle si elle
peut être observée sur un support
physique (écran, pellicule, rétine,…)
dans l’espace image du système ;
les rayons peuvent donc être reçus
sur un écran placé au bon endroit.
Une image est dite virtuelle
lorsqu’elle se forme avant le
dioptre de sortie du système (loupe,
lame à faces parallèles) : on peut la
voir en plaçant directement son œil
dans le faisceau émergent (l'œil
accommode automatiquement).
Une image réelle se forme donc après la face de sortie
d'un instrument d'optique (dans le sens de parcours de
la lumière).
On détermine alors la position d’une image réelle en
construisant le point d'intersection des directions des
rayons lumineux sortants du système.
Une image virtuelle se forme donc avant la face de
sortie d'un instrument d'optique (dans le sens de
parcours de la lumière) et ne peut donc pas être
visualisée sur un écran.
On détermine alors la position d’une image virtuelle en
construisant le point d'intersection des prolongements
(vers le système) des directions des rayons lumineux
sortants du système.
C'est parfois la position de l'objet par rapport au système optique qui détermine si l'image
obtenue est virtuelle ou réelle (cf. dioptre sphérique ou lentille mince).
1.7 Types d’objets
Le point objet A est le sommet d’un faisceau conique incident, entrant dans le système
optique. Si le faisceau lumineux diverge à partir de A quand il pénètre dans le système
optique, A est qualifié d’objet réel vis‐à‐vis du système optique. La lumière vient
effectivement du point A (ou semble seulement provenir de A) : le point A se trouve avant la
face d’entrée du système optique.
Le point objet A joue le rôle
d’objet réel vis‐à‐vis de {S}.En
(a) A se trouve dans l’air ; en
(b), A se trouve dans un
système antérieur à {S}
Si le faisceau incident est convergent au niveau de la face d’entrée du système {S}, le point A
est dit objet virtuel vis‐à‐vis de {S}. Ce sont les prolongements des rayons incidents (tracés en
trait discontinu) qui se coupent en A, au‐delà de la face d’entrée de {S}.
Le point A joue le rôle
d’objet virtuel pour le
système optique {S}, à
distance finie en (a)
et à l’infini en (b)
Un point objet réel est donc un point situé avant la face
d’entrée du système d’où émergent les rayons lumineux
(faisceau divergent à partir de O).
Un objet est réel si il existe physiquement. Pour qu’un système
optique puisse en donner une image il doit se trouver dans
l’espace objet.
Un point objet virtuel est un point situé après la face d’entrée
du système et vers où convergent les prolongements (à
l’intérieur du système) des rayons lumineux entrants (faisceau
convergent en O).
Un objet est virtuel si il se trouve au‐delà du dioptre d’entrée
du système. Un tel objet peut‐être obtenu lorsque que cet
objet est une image produite par un autre système optique.
Si l’objet est effectivement situé dans le milieu objet, on dit qu’il est un objet réel (cf. figure
2.9a et 2.9b après) mais s’il est situé après la face d’entrée du système, on dit qu’il est un
objet virtuel.
Un objet virtuel est toujours une image produite par un autre système optique et cette
image joue le rôle d’objet pour le système considéré (cf. figure 2.10a). Son image à travers
peut‐être réelle (cf. figure 2.10b) ou virtuelle (cf. figure 2.10c).
Le rétroprojecteur, une illustration de la formation par un miroir
de l’image réelle d’un objet virtuel (lui‐même image d’un objet
réel, le transparent éclairé, par une lentille convergente, l’objectif).
En guise de résumé :
Si les rayons entrants dans le système divergent du point objet A, l’objet est dit réel.
Si les prolongements dans le système des rayons entrants dans le système convergent au
point objet A, l’objet est dit virtuel.
Si après traversée du système, les rayons sortants convergent au point image A’, l’image est
dite réelle.
Si les prolongements vers le système des rayons sortants divergent du point image A’, l’image
est dite virtuelle.
Formation d’une image (réelle à gauche et virtuelle à droite)
d'un objet ponctuel réel par un système optique stigmatique.
Formation d’une image (réelle à gauche et virtuelle à droite) d'un
objet ponctuel virtuel par un système optique stigmatique.
1.8 Notion d’objet ou d’image à l’infini
On parlera souvent d’objet ou d’image « à l’infini ». Que signifie ce terme ? Voyons ce qui se
passe quand un objet est situé à une distance D d’un système optique
Si D est petit, les rayons issus d’un point de l’objet
(appelé B sur le schéma) arrivent sur le système
optique avec des angles très différents.
Si D augmente (l’objet s’éloigne), les rayons
issus de B qui arrivent sur le système optique
ont des angles qui deviennent comparables les uns
aux autres.
Si D est très grand, les rayons issus de B qui arrivent
sur le système optique sont presque parallèles (ils
font tous le même angle avec l’axe optique). On dit
alors que l’objet est à l’infini : en pratique, cela
signifie qu’il est assez loin pour que les rayons
provenant de cet objet soient quasi‐parallèles
lorsque ils atteignent le système optique.
Remarque : attention! Les rayons partant du point B sont toujours émis dans toutes les
directions, quel que soit D ! Mais quand D est grand, seul quelques rayons atteignent le
système optique, et sont alors parallèles entre eux. Les autres passent « à côté » du système
optique.
Objet ponctuel situé à l’infini dans la
direction de l’axe optique (a.o.)
Image ponctuelle située à l’infini dans
la direction de l’axe optique (a.o.)
Objet ponctuel situé à l’infini dans la
direction α par rapport à l’axe optique (a.o.)
Image ponctuelle située à l’infini dans la
direction α′ par rapport à l’axe optique (a.o.)
1.9 Structure des espaces objet et image des différents systèmes optiques
Système optique dioptrique
Système optique catadioptrique
2 Etude du stigmatisme pour un système optique
2.1 Orientation des distances pour un système optique
Les distances horizontales (par rapport à l’axe optique)
sont comptées positivement dans le sens de parcours de
la lumière.
Pour repérer les dimensions transversales, des objets et
images, on utilise des mesures algébriques repérées sur
un axe perpendiculaire à l'axe optique, donc vertical,
généralement orientée vers le haut.
2.2 Le stigmatisme rigoureux est rare
Seul quelques systèmes optiques sont rigoureusement stigmatiques et en général uniquement
pour des couples de points particuliers :
Le miroir parabolique est stigmatique pour le couple de points formé du
point à l’infini et du foyer
Applet présentant le stigmatisme ou l’astigmatisme du miroir parabolique
http://ressources.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/parabole.html
Le plus souvent, un système n’est rigoureusement stigmatique que pour quelques points objets.
Un miroir parabolique est stigmatique pour
un point situé à l’infini sur l’axe et pour son
foyer.
Un miroir elliptique est stigmatique pour un
point objet et son image situés en ses foyers F
et F´.
http://ressources.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/stigmir.html
2.3 Condition de stigmatisme en termes de chemin optique
Pour un système optique donné, le stigmatisme implique la stationnarité du chemin
optique entre le point objet et son image quel que soit le trajet suivi par les rayons
lumineux issus du point objet.
Soit :
L( AA ') c
ste
Il suffit pour démontrer ceci de considérer deux rayons proches issus de A : la condition
de stigmatisme nous dit qu'ils passeront par A', et le principe de Fermat que la variation
de chemin optique est nulle. De proche en proche, on montre donc que tous les rayons
issus de A correspondent au même chemin optique entre A et A'.
2.4 Stigmatisme du point de vue de l’optique ondulatoire
En termes de rayons, le système optique est dit rigoureusement stigmatique lorsque
tous les rayons utiles issus de A passent par A´ (l’image d’un point sujet est un point
image).
Nous avons vu qu’une surface d'onde est perpendiculaire, en chaque point, au rayon
lumineux. Une surface d'onde correspondant à un point objet A est donc une sphère S
centrée en A. Une surface d'onde image issue d'un système stigmatique est une
sphère S´ centrée en A´. La surface d'onde émergente n'est plus une sphère dès que le
système perd ses qualités de stigmatisme. Les déformations de la surface d'onde
entraînent une baisse de la qualité de l'image : on parle d’aberrations géométriques (cf.
cours de B2).
2.5 Surfaces rigoureusement stigmatiques pour un couple de points
2.5.1 Stigmatisme par réflexion
Soit I le point d'incidence et n l'indice du milieu où se trouvent l'objet A et l'image A'. On a :
n( AI IA ') constante ou encore
AI IA ' constante
où AI et IA' sont mesurés positivement dans le sens de la lumière.
Deux cas se présentent :
A et A‘ sont de même nature (tous deux réels ou tous deux virtuels)
Dans ce cas, les valeurs algébriques des distances orientées AI et IA' sont de même signe et la
condition de stigmatisme s'écrit :
AI IA ' constante
La somme des distances (non orientées) de I aux deux points A et A’ est donc une constante
lorsque I parcourt la surface réfléchissante, et cette surface réfléchissante est donc un
ellipsoïde de révolution de foyers A et A'.
Application du stigmatisme rigoureux du miroir elliptique : le
télescope de Grégory
Le télescope de Gregory utilise deux miroirs convergents. Le miroir primaire est parabolique
et il forme une image en son foyer (foyer primaire). Celle‐ci est récupérée par le miroir
secondaire concave et elliptique qui la projette en l'agrandissant vers le centre du miroir
primaire (foyer résultant). Le miroir secondaire concave du télescope de Gregory est placé
après le foyer image F’1 du miroir principal. Cette dernière image est analysée avec un
oculaire par l'observateur qui est placé derrière le miroir principal.
De plus, on remarquera que la normale en un point quelconque de l'ellipse trace dans le plan
d'incidence de l'ellipsoïde, est la bissectrice de l'angle obtenu enjoignant ce point aux deux
foyers.
A et A' sont de natures différentes (l'un réel et l'autre virtuel)
Les valeurs algébriques des distances orientées AI et IA' sont de signes contraires et la
condition de stigmatisme devient :
AI IA ' constante
La différence des distances (non orientées) de I aux deux points A et A’ est donc une constante
lorsque I parcourt la surface réfléchissante, et la surface réfléchissante est donc une nappe
d'hyperboloïde de révolution de foyers A et A'.
Application du stigmatisme rigoureux du miroir hyperbolique : le
télescope de Cassegrain
Dans le cas du télescope de Cassegrain, l'image projetée par le miroir principal parabolique
n'existe pas réellement car le miroir secondaire intercepte les rayons lumineux avant le foyer
primaire. Cette image est virtuelle.
Le miroir secondaire convexe et hyperbolique projette cette image virtuelle vers le foyer
résultant en l'agrandissant dans le rapport p'/p.
Une image réelle se forme au foyer résultant et elle est analysée avec l'oculaire.
Cas particuliers importants
Si AI ‐ IA' = 0 , ou autrement dit si la constante est nulle, I est dans le plan médiateur de AA'
et la surface réfléchissante est un miroir plan. A tout point A on peut faire correspondre
son symétrique A' par rapport au miroir.
Si l'un des points A ou A' s'éloigne indéfiniment, la surface réfléchissante
stigmatique devient un paraboloïde de révolution de foyer A‘ ou A et d'axe AA'.
2.5.2 Stigmatisme par réfraction
Soit un système optique constitué par un dioptre séparant deux milieux homogènes d'indices
n et n'. Le même raisonnement que précédemment nous conduit à la condition
n AI n ' IA ' constante
avec les mêmes conventions de signe.
Cette condition implique que I appartient à une famille de
courbes qui délimitent en général des surfaces du
quatrième degré (quartiques) appelées « ovales de
Descartes » dont A et A’ sont ici les foyers.
Un(e) ovale de Descartes est l'ensemble des points M vérifiant une équation de la forme :
bF1M + aF2M = cF1F2,
où a, b et c sont trois réels non nuls et F1, F2 deux points donnés appelés foyers.
En divisant par b les deux membres et en posant m=a/b et A=c/b.F1F2, cette équation peut
être réécrite :
F1M + mF2M = A,
Pour chaque ovale non dégénéré, de foyers F1 et F2, il existe un troisième foyer F3 et de
nouveaux paramètres qui font de la courbe un ovale de foyers F1, F3. C'est la raison pour
laquelle on parle des trois foyers d'un ovale.
L'ensemble des points M tels que :
|bF1M ± aF2M| = |cF1F2|
ou encore, avec les notations précédentes :
F1M ± mF2M = ±A,
est appelé ovale complet et regroupe deux courbes du type précédent. Un ovale complet est
un cas particulier de courbe quartique.
Le nom « ovale de Descartes » fait référence au mathématicien René Descartes qui fut le
premier à les étudier dans des problèmes de réfraction.
Les ovales intérieurs ont cette particularité: si l'ovale d'équation bF1M+ aF2M = cF1F2 où 0 < a
< c < b sépare un milieu intérieur d'indice b d'un milieu extérieur d'indice a alors les rayons
issus de F2 et rencontrant l'ovale vont se réfracter en F1.
Sur cette figure, pour I suffisamment proche de A, le rayon
lumineux issus de F, et réfracté en I par l'ovale, converge vers G
L’ensemble des points M=(x,y) satisfaisant l’équation quartique suivante :
ou encore :
1
𝑚
𝑥
𝑦
2𝑚 𝐶𝑥
𝐴
𝑚 𝐶
4𝐴 𝑥 + 𝑦 )
où on a placé l’origine des coordonnées en F1=(0,0), C est la distance F1F2, donc F2=(C,0)
correspond à l’ovale complet, formé des deux ensembles de points vérifiant deux des quatre
équations bF1M ± aF2M= ± cF1F2 équivalentes aux quatre équations F1M ± mF2M = ±A.
L'ovale peut être défini par deux quelconques de ces foyers et lorsque |a/b| tend vers 1,
alors le troisième foyer s'éloigne à l'infini : on retrouve les coniques.
Ainsi :
Lorsque 0< a=b < c (et donc m=1) l'ensemble des points M est une ellipse, la quartique se
réduit à une quadrique, le troisième foyer est envoyé à l'infini. On considère en général
qu'il s'agit d'un ovale dégénéré.
Lorsque a + b = 0, (et donc m=‐1) l'ensemble des points M est une demi‐hyperbole, la
quartique se réduit à une quadrique, Le troisième foyer est envoyé à l'infini. Il s'agit aussi
d'un cas dégénéré.
Lorsque a = ± c, le troisième foyer est confondu avec F1 et
l'ovale complet est un limaçon de Pascal.
Il existe des cas particuliers où les surfaces sont du deuxième degré. C'est le cas où la
constante c est nulle, A et A' sont alors de natures différentes :
nAI - n ' IA ' 0
Et la surface stigmatique par réfraction est une sphère et les points A et A' sont appelés
points de Weierstrass du dioptre sphérique. Nous y reviendrons.
Rappel géométrique
Le lieu des points M du plan vérifiant :
MA
k
MB
est (sauf pour k = 1) le cercle (dit d'Apollonius) de diamètre [I J] où I et J sont les deux points
de la droite (AB) vérifiant également :
MA
k
MB
Les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices de l'angle AMB.
2.6 Conditions de Gauss et stigmatisme approché
La plupart des instruments ne sont pas rigoureusement stigmatiques ; toutefois sous
certaines conditions appelées « conditions de Gauss », les instruments seront considérés
comme fonctionnant avec un stigmatisme approché.
Pour la plupart des autres systèmes qui ne sont pas rigoureusement stigmatiques, la
formation d’une image de bonne qualité implique :
que ces systèmes vérifient les conditions de stigmatisme approché ;
que ce stigmatisme approché se conserve dans l’espace.
2.6.1 Conditions de stigmatisme approché
L’approximation de Gauss consiste à limiter physiquement l’étendue des faisceaux lumineux
avec des trous (ou diaphragmes) afin de limiter les angles d’incidence et de conserver les
rayons proches de l’axe : on parle alors de rayons paraxiaux.
Un rayon lumineux est donc paraxial s’il est incliné faiblement sur l’axe optique (sin i ≃ i), et
s’il frappe le système à une distance h faible devant son rayon de courbure.
Pour que le stigmatisme soit approché il faut se placer dans les conditions dites de Gauss
c'est‐à‐dire avoir :
des faisceaux peu larges et donc une petite ouverture,
des angles d’incidence petits et donc un petit champ angulaire.
L’approximation de Gauss consiste en l’étude des systèmes centrés, limitée aux rayons
paraxiaux. Il s’agit de l’approximation linéaire de l’optique géométrique : sin i ≃ i.
2.6.2 Conservation du stigmatisme dans l’espace pour des points voisins
Réaliser le stigmatisme pour un couple de points AA´ conjugués situés sur l'axe d'un
système optique est généralement insuffisant.
Il est souhaitable d'étendre le stigmatisme à des points voisins de A. Le stigmatisme étant
réalisé pour les points A et A´, on cherche les conditions pour que le stigmatisme soit
conservé pour un couple de points B et B´ situés perpendiculairement à l’axe optique
(condition d’Abbe ou d’aplanétisme) et un couple de points C et C’ situés
longitudinalement selon l’axe optique (condition d’Herschell).
2.6.3 Condition des sinus d’Abbe et notion d’aplanétisme
La conservation du stigmatisme approché dans l’espace implique une conservation du
stigmatisme approché dans un plan perpendiculaire à l’axe du système.
Cette considération appliquée au principe de Fermat permettent d’établir d’une part la loi des
sinus d’Abbe :
n. AB.sin n '. A ' B 'sin '
Cette relation exprime la notion d’aplanétisme ; ce terme, dont l’étymologie grecque
(aplanetos, formé de « planetes » et d’un alpha privatif) signifie « qui n’erre pas », « qui ne
dévie pas » traduit donc le fait que l’image d’un plan perpendiculaire à l’axe optique est un
plan perpendiculaire à l’axe optique.
Démonstration :
Pour un point objet B, voisin de A, situé dans un plan perpendiculaire passant par A, la
condition de stigmatisme s’écrit :
L(BB’)=cste.
quel que soit le point
d’incidence I sur la face d’entrée
du système.
La différence des chemins optiques L(AA’) et L(BB’) doit donc être constante (chaque chemin
étant constant).
Évaluons cette différence en la considérant comme la variation du chemin [AA’] lorsque les
points A et A’ sont déplacés en B et B’ ; les points A et B étant très proches l'un de l'autre, on
se permet d'écrire que les deux rayons (provenant de A et de B) au point I émergent par un
même point I ′ :
L( AA ') - L( BB ') [ AII ' A '] -[ BII ' B '] n.( AI - BI ) n '( I ' A '- I ' B ')
En faisant l'approximation AI HI et I′H′ I′A′ , on a :
AI BI HB AB sin et I ' A ' I ' B ' H ' B ' A ' B 'sin '
Finalement, on obtient :
L( AA ') - L( BB ') n. AB.sin n '. A ' B 'sin ' c ste
Cette relation doit être nécessairement satisfaite pour que le système optique stigmatique
pour le couple (AA’) soit aussi stigmatique pour le couple (BB’). Elle doit être satisfaite pour
toutes les valeurs de .
La constante précédente s’annule si =0, car le rayon étant confondu avec l’axe n’est pas
dévié (donc ’=0 aussi) ; AB est très petit et reste perpendiculaire à l’axe. Pour que la
constante de la relation soit indépendante de , il est nécessaire qu’elle reste nulle pour tout
couple (, ’). La condition d’aplanétisme pour A, à distance finie, s’écrit donc :
n. AB.sin n '. A ' B 'sin '
2.6.4 Condition d’Herschel
La conservation du stigmatisme approché dans l’espace implique aussi une conservation du
stigmatisme approché le long de l’axe optique.
Si B est situé près de A le long de l’axe, toujours grâce au principe de Fermat on établit la
condition dite d’Herschel telle que :
'
0
n. AB sin 2 n ' A ' B 'sin 2
2
2
Démonstration :
Quand le point A se déplace le long de l’axe de dx jusque B, son image se déplace le long de
l’axe de dx’ jusque B’ ; pour que le stigmatisme soit conservé, il faut que :
L( AA ') L( BB ') c ste soit : [ AII ' A '] [ BII ' B '] c ste
Les points A et B étant très proches l'un de l'autre, on se permet d'écrire que les deux
rayons (provenant de A et de B) au point I émergent par un même point I ′ donc :
n. AH n ' A ' H ' c ste
D’où :
n. AB cos n ' A ' B 'cos ' c ste (1)
Cette relation doit être vérifiée avec la même constante, pour tous les points d’incidence sur
la face d’entrée du système optique. En choisissant comme cas particulier I sur l’axe, les angles
et ’ sont nuls, la relation (1) conduit à :
n. AB n ' A ' B ' c ste (2)
En soustrayant membre à membre (2) et (1), on a :
c’est‐à‐dire encore, la relation annoncée :
n ' A ' B '(1 cos ') n. AB (1 cos ) 0
n. AB sin 2
2
n ' A ' B 'sin 2
'
2
0
2.6.5 Grandissements d’un système optique et relation de Lagrange‐Helmholtz
En optique, le grandissement (noté ) est associé au rapport d'une grandeur de l'objet à son
équivalent pour l'image de cet objet à travers un système optique. C'est une grandeur sans
dimension, qui permet de relier :
les dimensions d'un objet et de son image perpendiculaires à l'axe optique dans le cas
du grandissement transversal ;
les angles des rayons passant par un objet et son image par rapport à l'axe optique
dans le cas du grandissement angulaire ;
les dimensions de l'objet et de son image parallèles à l'axe optique sur l'axe optique
dans le cas du grandissement longitudinal ;
Plus précisément, on appelle grandissement linéaire ou encore
grandissement transversal le rapport algébrique de la taille de l’image
sur la taille de l’objet :
En utilisant le grandissement linéaire, la loi des sinus d’Abbe peut s’écrire :
Dans l’approximation de Gauss le rapport :
sin n '
. T
sin ' n
sin ' '
sin
s’appelle le grandissement angulaire ou encore le rapport de convergence. Il s’agit donc du
rapport algébrique de l’angle du rayon émergent sur l’angle du rayon incident.
L’équation précédente donne la relation dite de Lagrange‐Helmholtz :
Attention, comme les distances, les angles
peuvent être orientés.
En définissant le grandissement longitudinal ou axial par :
A ' C ' dz '
C A AC
dz
ou plus rigoureusement par :
L lim
L
A'C '
AC
(les distances z et z’ étant mesurées le long de l’axe par rapport à une origine quelconque),
sin 2
2 n'
' n L
sin 2
2
la condition d’Herschel s’écrit :
Dans le cadre de l’approximation de Gauss, en considérant les angles comme petits il vient :
sin 2
2
2
2 n' n' 2
L
T
'
n
2 '
n
sin
2
Soit :
2.6.6 Incompatibilité des relations d’Abbe et d’Herschel
Les conditions d’Abbe et d’Herschel ne peuvent être simultanément réalisées ; elles sont
généralement incompatibles, aussi un stigmatisme tridimensionnel est en général impossible .
D'une part la relation des sinus d'Abbe mène à :
D'autre part la relation d'Hershell mène à :
Ces deux relations ne sont compatibles que pour :
C’est le cas, par exemple, au centre d’un miroir ou d’un dioptre sphérique (=’) et pour un
miroir plan ; mais on a incompatibilité des conditions d'Abbe et Herschell en général.
2.6.7 Autre démonstration des formules d’Abbe, de Lagrange‐Helmholtz et d’Herschel
3 Systèmes optiques les plus simples : le miroir plan et le dioptre plan
3.1 Miroir plan
3.1.1 Stigmatisme et aplanétisme
Soit I le point d’incidence d’un rayon
incident quelconque AI. Le rayon réfléchi IR
d’un rayon incident quelconque AI est dans
le plan d’incidence AIN qui contient aussi
AH (puisque AH et IN sont parallèles,
comme droites perpendiculaires à un
même plan, et que par définition A
appartient au plan d’incidence). Le support
de IR rencontre AH en un point A’.
Dans le triangle AIA' la hauteur IH est aussi
la bissectrice (en raison de la loi de la
réflexion de l’égalité des angles d’incidence
et de réflexion), donc ce triangle est isocèle.
Par conséquent IH est aussi la médiane et
on a AH = HA'.
Ceci montre que A' est le symétrique de A par rapport au plan du miroir quel que soit le rayon
incident considéré.
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐
nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/miroirs/miroir_plan.php
http://ressources.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/miroirplan.html
Au point A, choisi quelconque pour la démonstration, correspond toujours un point A' tel que
tous les rayons issus de A qui arrivent sur la surface du miroir se réfléchissent en passant par
A'. On dit que A' est l’image de A.
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch01/co/simuler_ch01_03.html
Le miroir est donc rigoureusement stigmatique et on peut énoncer les trois propriétés :
Le miroir plan réalise le stigmatisme rigoureux pour tout point de l’espace. L’image A’ d’un
point A est le symétrique de A par rapport au plan du miroir.
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_
ch01/co/simuler_ch01_03.html
Mathématiquement, les positions des points objet et image sont liées par la relation de
conjugaison du miroir plan :
HA HA '
que l’on peut écrire, sous une forme plus symétrique :
HA HA ' 0
L'image de A est le symétrique orthogonal de A.
La symétrie de A et A’ par rapport au miroir entraîne que l’objet et son image sont toujours de
nature opposée (un objet réel donne une image A’ virtuelle, et réciproquement).
Le miroir plan présente un aplanétisme exact : l'image d'un objet étendu plan vertical est
verticale et plane.
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch01/co/simuler_ch01_04.html
3.1.2 Grandissements et relation de Lagrange‐Helmholtz du miroir plan
Construisons l’image d’un segment AB transverse
(parallèle au miroir), et calculons le grandissement
transverse défini par :
Le grandissement transversal est de 1 : image droite et
pas de déformation. Par contre, il y inversion gauche
droite entre l’objet et l’image.
Construisons à présent l’image d’un segment AB axial
(perpendiculaire au miroir), calculer le grandissement
axial défini par :
Le grandissement axial est de ‐1 : image renversée et
toujours pas de déformation.
Le
grandissement
angulaire
ou
grossissement vaut également ‐1 pour le miroir
plan (pas de grossissement).
La relation de Lagrange‐Helmholtz est bien vérifiée puisque =‐1/ et a=‐ 2.
Le miroir plan est le seul système optique qui donne une image exempte de toute
déformation. Il donne une image sans grandissement ni grossissement.
3.1.3 Champ d'un miroir plan
Le champ d'un miroir plan désigne la région de l'espace que
l'on peut « voir » à travers le miroir à partir d'une position
donnée O de l'œil.
Il correspond à l'ensemble des points A susceptibles de
donner un rayon réfléchi passant par O.
On peut dire qu'inversement le champ d'un miroir plan est
la région de l'espace que O éclairerait s'il était une source
lumineuse.
3.1.4 Types de miroirs plans
Application : rétroviseur jour et nuit
En conduite de nuit, le reflet des phares dans le rétroviseur intérieur des véhicules provoque
un fort éblouissement du conducteur. Pour résoudre ce problème, les constructeurs ont
adopté divers systèmes tous basés sur la différence de réflexion entre une glace sans tain et
un miroir. Pour une glace sans tain, le coefficient de réflexion est de l'ordre de 4% alors que
pour un miroir, il est pratiquement égal à 100 %.
Dans les rétroviseurs intérieurs, les miroirs sont plans ce qui permet une meilleure
appréciation des distances.
Dans le système présenté ici, une glace sans tain est solidaire du corps du rétroviseur.
Derrière cette glace, on place un miroir mobile.
http://ressources.univ‐
lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02b/optigeo/retroviseur.html
En position jour, le miroir est parallèle à la glace. Le rétroviseur est réglé pour permettre au
conducteur de voir vers l'arrière avec un champ maximum.
En position nuit, on bascule le haut du miroir vers l'avant du véhicule sans modifier la position
de la glace sans tain. Le conducteur voit dans cette glace une image non éblouissante à cause
du faible coefficient de réflexion. L'image donnée par le miroir est envoyée hors du champ
visuel du conducteur.
Ce que l'on voit en position « jour »
L'image de la route à travers la vitre arrière est en fait réfléchie
deux fois : par la vitre et par le miroir. Chaque rayon lumineux
traverse la vitre et se réfléchit sur le miroir.
Mais il ne traverse pas entièrement la vitre : elle laisse passer une grande partie de la lumière
(~90%) et réfléchit le reste (~10%).
Le rétroviseur donne donc deux images un peu décalées. Si on les voyait toutes les deux, on
verrait une image floue. Mais notre œil ne voit que la plus lumineuse : celle renvoyée par le
miroir car elle est 9 fois plus forte que l'autre.
Ce que l'on voit en position « nuit »
L'image de la route à travers le coffre est toujours réfléchie deux fois : par la vitre et par le
miroir. Puisque le miroir a été basculé vers le haut, il renvoie maintenant la lumière des phares
vers le plafond.
Mais, la vitre du rétroviseur n'a pas bougé, elle continue de refléter une petite partie (10%) de
la lumière qui arrive de la route et des phares. Le conducteur voit les phares comme s'ils
éclairaient dix fois moins.
Mais attention, le miroir est toujours là. Le conducteur continue donc de voir deux images
superposées : les phares qui se reflètent dans la vitre et... le plafond de sa voiture qui se reflète
dans le miroir ! Là encore, notre œil ne voit que l'image la plus lumineuse. La nuit, on ne verra
donc que l'image renvoyée par la vitre car le plafond de la voiture est sombre.
3.2 dioptre plan
Un dioptre plan est constitué par l’ensemble de deux milieux transparents d’indices de
réfraction différents séparés par une surface plane. On dit aussi que les deux milieux sont
inégalement réfringents.
C’est ainsi que, par exemple, l’air et l’eau calme d’une piscine ou d’un lac, réalisent un dioptre
plan.
Les rayons issus du point objet A1 situé dans le milieu (1) d’indice n1 se réfractent en passant
dans le milieu (2) d’indice n2.
3.2.1 Stigmatisme rigoureux du dioptre plan
On va chercher, en effectuant un raisonnement purement géométrique, s’il existe des points
particuliers qui réalisent le stigmatisme rigoureux : c’est‐à‐dire pour lesquels tous les rayons
issus du point objet passent par un même point image après réfraction.
Cas 1 : A1 est à l’infini
Tous les rayons incidents sont parallèles entre eux et
forment un faisceau cylindrique.
D’après la 3ème loi de Descartes (n1 sin i1 = n2 sin i2)
tous les rayons émergents sont eux aussi parallèles et
donc, pour un observateur, ils paraissent provenir
d’un point A2 unique qui est également à l’infini.
Le dioptre plan est donc stigmatique pour les points à
l’infini.
Cas 2 : A1 est sur la surface du dioptre
Dans ce cas le stigmatisme rigoureux est évident. Mais ceci ne présente aucun intérêt
pratique.
Cas 3 : A1 est à distance finie
Le système est de révolution autour de A1H. Le
rayon A1H traverse la surface sans déviation. Si une
image de A1 existe, elle est donc nécessairement sur
A1 H.
Pour dessiner la figure on se place dans le plan
d’incidence correspondant à un rayon incident
quelconque A1I.
Le rayon réfracté coupe A1H en A2 .
On a :
donc :
HI HA1 tan i1 HA2 tan i2
HA2 tan i1 sin i1 cos i2
n2
n12
.
1 2 sin 2 i1
n2
HA1 tan i2 cos i1 sin i2 n1 cos i1
Pour les différents rayons issus de A1, i1 varie et le rapport (tan i1/tan i2), et donc HA2/HA1 n’est
pas constant lorsque i1 varie, puisque le rapport (sin i1/sin i2), lui, est constant (loi de Descartes
de la réfraction).
Les rayons réfractés ne se rencontrent donc pas tous en un même point. On peut donc
conclure : le dioptre plan n’est pas rigoureusement stigmatique pour les points situés à
distance finie.
Dioptre plan : étude du stigmatisme
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐
nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/dioptres/stig_dioptre_plan.php
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/o
ptigeo_ch02/co/simuler_ch02_04.html
3.2.2 Stigmatisme approché du dioptre plan, première condition de Gauss:
Si l’angle d’incidence i1 est faible il en est de même pour l’angle de réfraction i2 et on peut
écrire :
On obtient alors avec une bonne approximation :
Dans cette approximation des rayons peu inclinés sur l’axe optique (dite des petits angles), qui
constitue la première condition de Gauss, le rapport tan i1/tan i2 devient alors constant et tous
les rayons réfractés se rencontrent à présent en un point unique : le système est donc
stigmatique dans cette approximation pour tous les points à distance finie : on parle de
stigmatisme approché et le point A1 a alors un seul point image A2, le couple (A1 A2) étant
qualifiés de points conjugués :
La relation de conjugaison peut être mise sous la forme symétrique :
On verra lors de l’étude du dioptre sphérique qu’on peut considérer un plan comme le cas
particulier d’une sphère de rayon infini et qu’on retrouve alors plus facilement la formule de
conjugaison du dioptre plan sous la forme :
Cette relation porte le nom de formule de conjugaison du dioptre plan.
Lorsque l’œil voit une image, il reçoit des
rayons semblant provenir de cette image.
L’œil voit une image située au point
d’intersection des rayons qui l’atteignent.
Les relations établies montrent que HA1 et HA2 sont de même signe et donc que A1 et A2
sont dans le même milieu et, par conséquent, de natures opposées (réels/virtuels) comme
le montrent les figures ci‐dessous.
L’image A2 se déduit de A1 par une translation apparente, le long de la normale,
d’amplitude :
Le pêcheur est vu
« moins gros » et
plus loin de la
surface par le
poisson
Le poisson est
vu « plus
gros » et plus
près de la
surface par le
pêcheur
Remarque :
Lorsque l’angle i1 est grand (supérieur à 15°), la relation de conjugaison n’est plus valable. Le
point A2 n’est plus unique (il y a autant de points A2 que de rayons incidents issus de A1) : le
dioptre plan n’est plus stigmatique (même de manière approchée). En conséquence, l’image
de A1 n’est plus ponctuelle, mais se présente comme une tache. Pour un objet étendu,
l’ensemble des points objets donne lieu à des taches qui se recouvrent partiellement, donnant
une sensation de flou.
Par exemple, si au fond d’une cuve contenant de l’eau il y a plusieurs objets A, B, C et D, l’œil
verra une image nette de A voire de B car les rayons issus de ces deux objets sont à peu près
paraxiaux. Par contre, les images de C et D seront floues.
A et B sont vus nettement, tandis que C et D
sont flous.
3.2.3 Aplanétisme du dioptre plan, deuxième condition de Gauss
Jusqu’ici, nous n’avons considéré que l’image d’un objet ponctuel. Considérons à présent
l’image d’un objet étendu.
Si les rayons émis par un objet situé dans un plan P et reçus par un observateur sont presque
normaux (première condition de Gauss) à la surface du dioptre son image est dans un plan P'
dont chaque point A’ est l’image d’un point A de P située à une distance de la surface du
dioptre égale à (n2/n1) fois celle de A (car le système est quasiment stigmatique si les rayons
sont normaux).
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/o
ptigeo_ch02/co/simuler_ch02_05.html
Si P n’est pas parallèle à la surface du dioptre, les proportions ne sont pas conservées dans
toutes les directions et l’image n’est plus semblable à l’objet.
Mais, si l’objet AB est dans un plan P parallèle à la surface du dioptre (soit donc dans un
plan perpendiculaire à AH) et si l’objet est petit (deuxième condition de Gauss), l’image A’B’
est, parallèle à l’objet, égale en grandeur, de même sens et de nature opposée à celui‐ci.
L’image A’B’ d’un petit objet AB placé
parallèlement au dioptre plan est plane,
de taille égale à l’objet et de nature
contraire.
Le dioptre introduit une correspondance plan à plan. On dit que le système est aplanétique
(l’image d’un plan est un plan).
Se placer dans l’approximation de Gauss revient donc à supposer que les rayons concernés
par la formation de l’image à travers l’instrument sont des rayons proches de l’axe (c’est
pourquoi ils sont qualifiés de paraxiaux).
3.2.4 Grandissements et relation de Lagrange‐Helmholtz
Le grandissement linéaire transversal du dioptre plan est égal à 1 :
La relation de Lagrange‐Helmholtz s’applique au dioptre plan :
AB.n.u A ' B '.n '.u ' soit n.u n '.u '
Le grandissement angulaire ou grossissement ou encore rapport de convergence est :
u' n
c ste
u n'
Le poisson paraît donc plus « gros » mais pas plus grand (son image
est plus près du dioptre et occupe donc un angle plus grand)
Considérons à présent un objet A1B1 est perpendiculaire à la surface du dioptre et réel :
L'image virtuelle A2B2 de l'objet se forme sur la normale A1B1H du dioptre. L'application de
la formule de conjugaison du dioptre plan aux couples de points conjugués (A1A2) et (B1B2)
permet d'autre part d'établir que le grandissement reste positif mais n'est plus égal à 1; on
trouve en effet que :
Ce grandissement correspond en fait au grandissement axial L et vérifie bien la relation de
Lagrange Helmholtz :
L
puisque T=1
n2 2
T
n1
Considérons pour terminer comme objet un solide de forme
quelconque et réel. Prenons l'exemple d'un objet réel de
forme pyramidale, dont la base A1B1C1 est parallèle au plan du
dioptre et dont le sommet S1 est à l'aplomb de A1.
Conformément à ce qui vient d'être noté, les grandeurs
algébriques A2B2, B2C2 et C2A2 sont telles que :
En revanche :
En conclusion, l'image du solide est une pyramide dont la base est vue en vraie grandeur,
mais dont la hauteur est réduite ; cette image est virtuelle car n1> n2.
Expérience des deux bougies
Sur ce film, la bougie rose semble allumée, quelle que soit la position de l’observateur.
Explication : la vitre est un miroir et est à la fois transparente : dans les conditions de
l’expérience (bougies de même taille, et placées symétriquement), l’image de la bougie
blanche se superpose à la bougie rose.
http://phymain.unisciel.fr/experience‐des‐deux‐bougies/
3.3 Exercices (miroir plan et dioptre plan)
1. Si on incline un miroir d'un angle α par rapport à un axe passant par le point d'incidence
d'un rayon lumineux, de combien tourne le rayon réfléchi ?
http://ressources.univ‐
lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/mirtournant.html
Résolution de l’exercice du miroir tournant
Application :
http://ressources.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/sextant.html
http://ressources.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/miroirs2.html
http://ressources.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/miroirs2.html
2. Un pêcheur aperçoit un poisson situé à 1 m sous la
surface de l’eau, sur la même verticale que son œil. En
considérant que ses yeux sont situés à 1,40 m au‐
dessus de l’eau :
à quelle distance le pêcheur voit‐il le poisson ?
à quelle distance de l’œil du poisson se trouve
l’image du pêcheur ?
à quelle profondeur doit se trouver le poisson pour
que l’image vue par le pêcheur soit décalée de 15 cm
par rapport à sa position réelle ?
(Rép. : 2,15 m, 2,86 m, 0,6 m)
http://agregation.capes.free.fr/uniscielmrs/cabri/poisson/poisson_.htm
3. Un verre à fond épais est posé sur une table horizontale. Le fond du verre a une épaisseur
constante de 2 cm et un indice de 1,6. Le verre est rempli d’eau (indice 4/3) sur une hauteur
de 7 cm. L’œil d’un observateur est situé à 25 cm au‐dessus de la surface de l’eau. Le verre est
posé sur un timbre de 3 cm de longueur. Calculer le diamètre apparent sous lequel
l’observateur voit le timbre à travers le verre. Indice : le fond du verre n’est pas considéré dans
la chaîne d’images car le timbre étant en contact avec ce dioptre, son image est aussi sur le
dioptre, on peut donc considérer que le timbre est dans la masse du verre. (Rép. : 5°26’25’’).
4. Soit un hublot de sous‐marin composé de deux dioptres plans. Le premier sépare l’eau du
verre (nverre =1,5), le second sépare le verre de l’air. Un poisson est situé dans l’eau à une
distance d1 du premier dioptre plan. L’épaisseur du hublot est e. Un observateur est placé
dans l’air à une distance d2 du second dioptre plan.
Exprimer la distance entre le poisson AB et l’image du poisson A’B’ vue par l’observateur en
fonction des indices et des distances.
On donne e=15 mm, d1=200 mm. Sachant que le poisson mesure 5 cm, calculer en ° ‘ ‘’ le
diamètre apparent sous lequel l’observateur voit le poisson. (nair=1 et neau=4/3)
(Rép. : AA’=d1(1‐nair/neau)+e(1‐nair/nverre) ; 6°12’12’’)
5. Un têtard est dans une marre d’eau, sous un nénuphar rond de diamètre 20 cm flottant à la
surface. L’œil du têtard est placé sur la normale passant par le centre du nénuphar horizontal.
Calculer la distance minimale à laquelle le têtard doit être du nénuphar pour pouvoir voir
l’extérieur de la mare.
Les rayons du soleil sont inclinés de 40° par rapport à l’horizontale. Calculer la profondeur
minimale du têtard pour que celui‐ci puisse voir le soleil.
(Rép. : 8,82 cm ; œil à plus de 14,25 cm de profondeur)
6. Un prisme de verre d’indice n2=1.52
dont la section principale est isocèle
rectangle est placé dans une cuve
contenant du sulfure de carbone
d’indice n1=1.65.
A) Un rayon arrive parallèlement à la base BC du prisme et normalement à la paroi de la
cuve. Construire sommairement la marche des rayons et calculer la déviation finale à la sortie
de la cuve.
B) En jouant sur les conditions de pression et de température sur le liquide on fait varier
l’indice n1 d’une quantité dn1=+0.02. A l’aide d’un calcul différentiel dire de combien et dans
quel sens varie l’angle de déviation à la sortie du prisme.
C) La cuve est vidée et contient maintenant de l’air d’indice n1=1. Le rayon incident arrive
toujours dans les mêmes conditions. Calculer la nouvelle déviation finale D’. le rayon ressort‐
il par la même paroi de la cuve ?
7. Un miroir est placé au fond d’une cuve. L’œil d’un observateur est placé au‐dessus de la
surface de l’eau à 1,2m de cette surface. La profondeur de la cuve est de 1,2m. À quelle
distance l’observateur se voit‐il dans le miroir ? (Rép. : 4,2m )
8. Une cuve contient de l'eau dont la surface libre est AB. Sur une même verticale OP se
trouvent : en O, à 1.20 m au‐dessus de AB, l'œil d'un observateur ; en P, à 0.80 m au‐dessous
de AB, l'œil d'un poisson.
A quelle distance l'observateur croit‐il voir le poisson ? A quelle distance le poisson voit‐il
l'observateur ? (Rép. 60 cm, 160 cm)
Le fond de la cuve est un miroir plan horizontal CD. L'épaisseur de la couche d'eau est e =
1.20 m. L'observateur O se regarde dans le miroir CD ; à quelle distance voit‐il son image ?
Dans quel sens et de combien se déplace‐t‐elle lorsqu'on fait écouler toute l'eau de la
cuve ? (Rép. 420 cm, 60 cm vers le bas).
4 Lame à faces parallèles et prisme
4.1 Lame à faces parallèles
Si un rayon lumineux tombe verticalement sur une lame à faces parallèles, le rayon la traverse
sans réfraction. S'il tombe obliquement, il subit un déplacement parallèle lors de son passage.
d = déplacement parallèle = déplacement latéral.
La loi de réfraction en A donne :
Du fait de la symétrie du problème, on a en C les mêmes angles qu'en A. On obtient donc ici
également la loi de la réfraction :
Le rayon lumineux qui sort de la plaque est parallèle au rayon lumineux incident
Sur le schéma, on peut reconnaître une relation entre , et :
Dans le triangle ABC, on a le déplacement latéral :
Nous pouvons introduire l'épaisseur h de la plaque. Dans le triangle ACN :
(2) dans (1) donne :
Le déplacement latéral augmente avec l'épaisseur h de la plaque. Il dépend également de
l'angle d'incidence et de l'angle de réfraction , donc, via la loi de réfraction, des indices de
réfraction n1 et n2.
Le déplacement parallèle peut être exprimé uniquement à l'aide de l'épaisseur h, de l'angle
d'incidence et des indices de réfraction n1 et n2.
A l'aide de la formule trigonométrique :
on peut exprimer la formule du déplacement parallèle :
Par ailleurs, on a la formule trigonométrique :
d’où :
Pour la réfraction, on a :
De la sorte, on obtient pour le déplacement parallèle :
http://ressources.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/lamelle.html
4.2 Le prisme
4.2.1 Définitions
Les prismes sont des corps fabriqués dans des substances transparentes qui sont limités par
deux plans sécants. L'arête de coupe des deux plans est appelée arête de réfraction C ou
arête réfringente. L'angle à l'arête de réfraction est appelé l'angle réfringent ou angle du
prisme.
Lorsqu'un rayon lumineux tombe sur une face d'un prisme, il est en général réfracté deux fois
et sort ainsi dans une nouvelle direction de l'autre côté. L'angle entre les directions du rayon
lumineux incident et du rayon lumineux sortant est appelé angle de déviation .
4.2.2 Astigmatisme du prisme
http://ressources.univ‐
lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/prismeasti.html
4.2.3 Déviation totale
En général, le rayon lumineux est réfracté deux fois dans le même sens.
Réfraction à la face d'entrée (au point A) :
Lorsque le premier milieu est de l'air, on a n1 = 1 et nous posons n2 = n :
Réfraction à la face de sortie :
Dans le triangle ABC, la somme des trois angles (90°‐1) au point A, (90° ‐ 2) au point B et
au point C est égale à 180°:
Dans le triangle ABK, la somme des trois angles (1‐1) au point A, (2‐2) au point B et (180°‐
) au point K est égale à 180°:
On a donc avec (1) :
4.2.4 Déviation minimale
Lorsqu'on fait varier l'angle d'incidence 1 pour le même point d'entrée A, on peut montrer
expérimentalement la variation de la déviation . Lorsque l'angle d'incidence 1 augmente en
partant de zéro, la déviation diminue d'abord jusqu'à un minimum min et augmente ensuite
à nouveau.
Lorsque l'angle de déviation est minimum, le rayon traverse le prisme de manière
symétrique, on a ainsi 1 = 2 et 1 = 2.
Pour les angles dans le prisme, on a ainsi pour la déviation minimale :
L'angle de déviation donne alors pour la déviation minimale :
L'angle d'incidence peut être réécrit sous la forme :
Si on introduit ces équations dans la loi de réfraction, on obtient :
La dernière équation peut être utilisée pour mesurer l'indice de réfraction n du prisme, car
et min sont facilement mesurables.
Lorsque tous les angles sont petits (par exemple pour les prismes à faible angle de réfraction)
on peut remplacer sin par la mesure de (en radians !). On obtient alors :
valable uniquement pour les petits angles (en radians)
Remarque :
Afin que le rayon entrant sorte du prisme, ce dernier doit avoir un angle de réfraction
inférieur à un maximum donné. Celui‐ci est donné par :
4.2.5 Dérivation théorique de la déviation minimale
La déviation est donnée par :
Afin de déterminer la plus petite déviation min, nous devons exprimer en fonction d'une
variable individuelle et en annuler la dérivée. Nous essayons pour cette raison d'exprimer
en fonction de 1.
Loi de réfraction à la face d'entrée :
donc :
Loi de la réfraction à la face de sortie :
donc :
Avec = 1+ 2, ceci donne :
donc pour la déviation =1+ 2 ‐ :
La déviation est minimale si :
Ce qui donne :
Ceci est valable uniquement si :
et simultanément :
Ces deux équations sont uniquement vraies simultanément si :
Il s'en suit que est minimal si :
Par ailleurs, on a :
donc, on doit avoir :
Cela signifie que le trajet de la lumière est symétrique à travers le prisme.
http://ressources.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/prisme.html
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/prisme/prisme.php
5 Miroirs convexes et concaves (sphériques et paraboliques)
5.1 Histoire
L'usage des miroirs concaves pour projeter la lumière remonte à l'Antiquité. Ces miroirs
furent métalliques, en or, en bronze (airain), en argent. Les miroirs en verre étamés
n'apparaissent qu'au XVIème siècle. Pour l'éclairage, bien avant les phares des automobiles,
existèrent les lanternes à pétrole à réflecteur parabolique ou les lampes de mineurs.
Les célèbres miroirs ardents d'Archimède qu'il aurait utilisés pour brûler les vaisseaux
attaquant Syracuse, étaient (auraient été ?) fabriqués par juxtaposition de miroirs
hexagonaux (à la façon des ballons de football d'aujourd'hui) afin d'obtenir une forme
concave assimilable à un paraboloïde de révolution. En 2005, des étudiants du MIT
(Massachusetts Institut of Technology) tentèrent de renouveler l'exploit. Les résultats furent
mitigés : un navire en bois résista vaillamment malgré la courte distance qui le séparait des
129 miroirs installés.
Les Athéniens utilisaient des miroirs sphériques en or afin de concentrer les rayons du Soleil
et rallumer le feu sacré de Hestia, déesse du Foyer (Vesta chez les Romains). Au Moyen Âge,
les miroirs concaves furent nommés speculi ustori (miroirs crématoires), probablement parce
qu'ils servaient à allumer les bûchers funéraires.
Les lois de la réflexion sur un miroir plan ou sphérique semblent connues depuis l'École
platonicienne. Le célèbre Euclide, dans sa Catoptrique (du grec katoptron = miroir), étudie les
problèmes de réflexion de la lumière et recense les résultats connus de l'époque. Quoi qu'il
en soit, il semble que la théorie précise de la réflexion et de ses lois soit l‘œuvre du physicien
grec Damianus qui vécut au IVème siècle.
5.2 Miroirs sphériques, définitions
Les miroirs sphériques sont des portions de surfaces sphériques de centre C rendues
réfléchissantes par un dépôt métallique. Ce sont donc des calottes sphérique de sommet S et
de rayon R = SC . La droite CS représente l'axe principal du miroir. Ils peuvent être concaves ou
convexes. Le miroir est dit concave lorsque la surface intérieure est réfléchissante et il est dit
convexe lorsque c'est la surface extérieure qui l'est.
Précisons tout d'abord ici le sens de convexe et concave : vu de l'extérieur, un miroir concave
possède un « creux » : du latin concavus, formé sur cum = avec au sens de qui possède, et
cavea = cavité. Un miroir convexe est « bombé » (vu de l'extérieur) : du latin convexus.
Pour un miroir convexe (resp. concave), la surface réfléchissante est tournée vers l’extérieur
(resp. l’intérieur) de la sphère.
On dit aussi d'un miroir, avec un sens évident qu'il est plan‐convexe, biconcave, etc.
On remarquera que concave ou convexe pour un objet n'a guère de sens si on ne précise pas ce
qu'est l'intérieur ou l'extérieur de l'objet considéré, une courbe en particulier : un disque est
convexe, la surface d'un ballon aussi mais pour ce dernier (objet 3D équivalent à une sphère),
une bestiole qui serait dedans verrait sa surface comme concave ! De même pour un cercle
(convexe vu de l'extérieur, concave vu de l'intérieur).
Pour lever l'ambigüité un domaine D sera dit convexe si tout segment d'extrémités A et B
choisies dans D est entièrement contenu dans D.
Hergé n’aurait‐il pas commis une petite erreur ?
A gauche (face concave), le reflet est renversé. A droite
(face convexe), il est dans le bon sens
Un rayon de lumière qui part des pieds (en
rouge) est renvoyé vers le haut du fait de la
forme du miroir concave, tandis qu'un rayon de
lumière qui part du sommet du crâne (en bleu)
est renvoyé vers le bas. C'est de cette façon
qu'un miroir concave reflète les objets. En
appliquant ce raisonnement à chaque point du
corps, on obtient l'image inversée représentée
en pointillés sur le schéma. Ce raisonnement
explique aussi pourquoi la gauche se retrouve à
droite et inversement.
Ici le miroir convexe qu'est la cuillère
reflète l’image dans le bon sens, et la
droite et la gauche sont conservées. La
seule chose qui change c'est la taille
Les lois de la réflexion sont identiques à celles du miroir plan.
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch03/co/simuler_ch03_01.html
http://subaru.univ‐
lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/mirspherique.html
5.3 Centre et sommet des miroirs sphériques
On note souvent C le centre de la sphère et R son rayon.
Dans le cas d'un système centré, on peut placer un miroir sphérique dont le centre est sur
l'axe optique (on a ainsi la symétrie par révolution). L'intersection S entre le miroir et l'axe
optique est appelé sommet du miroir.
La première chose que l'on peut
remarquer est que l'image du centre est
le centre, et l'image du sommet est le
sommet.
En effet, un rayon issu de C est réfléchi
en direction de C, et tout rayon issu de S
passe automatiquement par ce même
point. Cela est illustré par les quatre
images ci‐contre :
On voit donc que le stigmatisme est rigoureux pour le centre et le sommet, mais ce n'est pas le
cas pour les autres points !
Point à l’infini :
Point à distance finie :
5.4 Astigmatisme du miroir sphérique
Applet montrant le manque de stigmatisme des miroirs sphériques
http://subaru.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/stigmspher.html
Simulation numérique montrant
que le miroir sphérique n’est pas
rigoureusement
stigmatique pour un objet
ponctuel réel situé sur l’axe
optique
Simulation numérique montrant que le
miroir sphérique n’est pas
rigoureusement stigmatique pour un
objet ponctuel réel quelconque
Applet montrant le stigmatisme approché du miroir sphérique dans les conditions de Gauss
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐
nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/miroirs/stig_miroir_spherique.php
On va maintenant se placer dans les conditions de Gauss pour avoir un stigmatisme approché.
5.5 Stigmatisme approché, relation de conjugaison du miroir sphérique
On se place dans le cas d'un miroir concave.
On considère un point objet A et son image A' comme le
montre l'image ci‐contre.
On veut trouver les conditions pour que le système soit
stigmatique, c'est‐à‐dire que quelle que soit la position du
point I, le rayon passe toujours par le même point A' .
Dans les triangles AIC et CIA' , les sommes des angles donnent respectivement :
α + i + π − β = π et β + i + π − θ = π,
ce que l'on peut réécrire par :
α + i = β et β + i = θ.
En soustrayant ces deux relations, on obtient :
α−β=β−θ
d'où :
D'autre part, on calcule les tangentes de ces trois angles :
Or lorsqu'on se place dans les conditions de Gauss les angles sont supposés petits.
Donc on sait que :
(et même chose pour β et θ).
De plus, comme le point I est très proche de l'axe optique, on peut pratiquement assimiler H à
S. Les relations précédentes deviennent donc :
Donc un utilisant la relation α + θ = 2 β, et en divisant le tout par
on obtient :
ou encore, en changeant tous les signes :
1
1
2
SA SA ' SC
qui est la relation de conjugaison avec origine au sommet S du miroir (relation de Descartes).
Comme A, S, C et A’ sont alignés, on peut aussi écrire :
CA CS SA et CA ' CS SA '
Ce qui permet de transformer la relation de conjugaison en une relation de conjugaison avec
origine au centre C du miroir :
1
1
2
CA CA ' CS
On notant p la distance orientée SA, p’ la distance orientée SA’ et R le rayon SC, cette relation
s’écrit encore :
1
1
2
p p ' R
1 2 1 2p R
p' R p
Rp
Rp
p'
2p R
Cette relation permet de calculer la position de l'image à partir de la position de l'objet et
réciproquement.
Cette relation est très importante et elle est identique pour un miroir sphérique convexe.
On a donc effectivement montré que dans les conditions de Gauss, les miroirs sphériques
présentent un stigmatisme approché.
Simulation numérique montrant que
lorsqu’on ne considère que des rayons
peu inclinés par rapport à l’axe
optique, le miroir sphérique
vérifie la propriété de stigmatisme
approché pour le couple de points
(A,A′)
Simulation numérique montrant que
lorsqu’on ne considère que des rayons
proches de l’axe optique, le miroir
sphérique vérifie la propriété de
stigmatisme approché pour le
couple de points
(A∞ ,A′≡F)
http://ressources.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/mirspher.html
Relations de conjugaison d’un miroir convexe
avec origine au sommet.
Relations de conjugaison d’un miroir concave
avec origine au sommet
5.6 Foyers et distances focales du miroir sphérique
5.6.1 Foyer objet
Le foyer objet F d’un miroir sphérique est par définition le point de l’axe optique dont l’image
est à l’infini, c’est‐à‐dire :
F ' S ou encore
1
0
F 'S
Or, le foyer F et son image F’ vérifient la relation de conjugaison, donc :
On déduit que le foyer objet F est équidistant du centre C et du sommet S comme l’indiquent
les figures suivantes (miroir concave puis convexe) :
Foyer objet d’un miroir concave et d’un miroir convexe
Sur ces figures, on remarque que les rayons issus de F sont bien renvoyés parallèlement à l’axe
optique (c’est la définition du foyer objet).
5.6.2 Foyer image
Le même raisonnement est applicable au foyer image F’ qui est l’image du point objet à
l’infini sur l’axe optique ; on obtient alors aussi :
F 'S
CS
2
qui est exactement la même relation que celle obtenue pour F.
On en déduit que :
les foyers objet et image d’un miroir sphérique sont confondus et situés à mi chemin entre
le centre et le sommet du miroir.
Ils sont réels pour un miroir concave et virtuels pour un miroir convexe
Foyer image d’un miroir concave et d’un miroir convexe
5.6.3 Distances focales
Pour un miroir sphérique, on définit :
la distance focale objet f par :
f SF
la distance focale image f’ par : f ' SF '
Les paragraphes précédents permettent donc d’écrire :
f f '
R
R
pour un miroir concave (convergent) et f f '
2
2
pour un miroir convexe
On appelle vergence d’un miroir sphérique l’inverse de la distance focale. Elle est négative
pour un miroir concave (qui est convergent, avec un foyer F réel) et positive pour un miroir
convexe (qui est divergent, avec un foyer F virtuel).
5.7 Image d’un objet plan, aplanétisme du miroir sphérique, grandissements et relation
d’Helmholtz
Selon l’approximation de Gauss, un point objet B appartenant à un axe secondaire
quelconque, peu incliné par rapport à l’axe principal, a une image définie par la relation :
1
1
2
CB CB ' CS
Un miroir sphérique donne d’un petit élément plan perpendiculaire à l’axe principal une
image plane, perpendiculaire à cet axe et homothétique de l’objet par rapport au centre du
miroir. Dans le cadre de l’approximation de Gauss, les miroirs sphériques réalisent un
stigmatisme et un aplanétisme approchés.
Le rapport de l’homothétie de centre C transformant A en A’ dépend de la position de A et
définit le grandissement linéaire transversal :
A ' B ' CA '
AB
CA
La relation de Lagrange‐Helmholtz s’écrit :
où les angles u et u’ sont très petits, donc :
AB.u A ' B '.u '
u SI
AS
et u ' SI
A'S
On en déduit le grandissement linéaire transversal et le grandissement angulaire ou
rapport de convergence valent respectivement :
A' B '
SA '
AB
SA
et :
Illustration de la relation de Lagrange‐
Helmholtz sur un miroir sphérique
concave
u'
AB
1
u
A' B '
Le grandissement axial vaut lui :
L
d SA
d SA '
1
1
2
SA SA ' SC
En utilisant :
d SA '
0
SA SA '
d SA
et en différentiant :
On obtient :
2
L
2
SA '
d SA
SA
d SA '
2
2
2
Le grandissement axial est toujours négatif, ce qui explique qu’un objet et son image
apparaissent toujours en vis‐à‐vis, quel que soit le type de miroir sphérique considéré.
Le fait que et L soient différents implique que l’image présente toujours une déformation
par rapport à l’objet.
5.8 Construction d’images pour le miroir sphérique
Dans les conditions de Gauss, le miroir sphérique vérifie un stigmatisme et un aplanétisme
approchés.
Considérons un objet transverse AB (A sur l’axe optique, et B dans un plan orthogonal à l’axe
optique et passant par A).
On commence par construire l’image de B. Pour cela, deux rayons, parmi les quatre suivants,
passant par B suffisent à déterminer B’ (stigmatisme).
Règles de construction :
tout rayon passant par (ou semblant se diriger vers) le centre du miroir n’est pas dévié ;
tout rayon passant par le sommet S du miroir est réfléchi symétriquement à l’axe
optique ;
tout rayon parallèle à l’axe optique est réfléchi en passant par le (ou semblant provenir
du) foyer F du miroir ;
tout rayon qui passe par (ou semble se diriger vers) le foyer F, est réfléchi parallèlement
à l’axe optique.
Le point A’ est obtenu en projetant B’ sur l’axe optique (aplanétisme).
En appliquant ces quelques règles simples, on peut construire toutes les images très
simplement.
Animation flash :
construction
d’images pour le
miroir concave
Animation flash :
construction
d’images pour le
miroir convexe
Applet montrant la construction d’images formées par un miroir sphérique dans les
conditions de Gauss
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐
nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/miroirs/miroir_spherique.php
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch03/co/simuler_ch03_02.html
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch03/co/simuler_ch03_03.html
https://fr.slideshare.net/louisemichelchampigny/prsentation‐miroirs‐sphriques
http://ressources.univ‐
lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/rayonmiroir.html
5.9 Retour à la petite cuillère…
En première approximation la cuillère constitue un miroir sphérique qui est concave ou
convexe, selon qu'on observe la réflexion sur la face creuse ou sur la face bombée.
Pour la cuillère photographiée, on évalue entre 2 et 4 cm la valeur du rayon R de la
sphère équivalente et à environ 10 cm la distance de la flamme à la surface
réfléchissante.
Les constructions géométriques suivantes montrent la position de l'image de la bougie dans
chacun des cas, miroir concave ou convexe.
Les points C et F représentent le centre de courbure et le foyer du miroir sphérique de
sommet S (en valeur algébrique SC= + ou ‐ R, si le rayon de courbure est R).
Miroir sphérique concave ; l'objet est placé
avant le centre de courbure C
Miroir sphérique convexe
On constate que l'image est réelle et renversée dans le cas concave , et qu'elle est droite et
virtuelle dans le cas convexe.
L'image est plus petite que l'objet : si la bougie est à une distance 2R du miroir, on peut
calculer le grandissement qui est de ‐1/3 (cas concave) ou +1/5 (cas convexe).
Le cas du miroir sphérique convexe ou de la cuillère côté bombé correspond à la vision d'une
image virtuelle, tout comme le miroir plan, plus usuel. L'observateur interprète les rayons
lumineux réfléchis comme provenant de l'image de l'autre coté du miroir.
Les images prévues pour la vision oculaire sont généralement virtuelles et localisées à
grande distance, car l‘œil se fatigue moins s'il n'a pas à accommoder.
Comment peut‐on voir une image réelle ?
La vision d'images réelles se fait usuellement par l'intermédiaire de la lumière diffusée par un
écran (projection, cinéma...). Il est possible de regarder directement une image réelle si elle
n'est pas trop lumineuse et en accommodant correctement. Lorsque l'on regarde la cuillère
côté creux, l'image réelle et renversée d'un objet lointain se forme juste devant le foyer F, et
l‘œil accommode sur cette image, à 1 ou 2 cm devant le miroir.
Il n'est pas toujours aisé de percevoir cette accommodation en avant de la cuillère. Elle est
plus facilement perceptible si l'on regarde l'image d'un objet proche ou avec un miroir de
plus grand rayon de courbure, parce que l'image est située plusieurs centimètres devant le
miroir.
Comment expliquer la netteté des images photographiées ?
Elle est étonnante, car les miroirs sphériques ne sont pas stigmatiques et encore moins les
faces de la cuillère aux formes plus complexes.
On est dans le cas du stigmatisme approché grâce aux conditions de Gauss qui sont réalisées
pour le système bougie‐cuillère‐appareil photo ci‐dessus. La bougie de diamètre 4 cm est à
peu près centrée sur l'axe optique. L'appareil photo, situé à environ 1 m de la cuillère, est
dans une direction faisant un angle d'une douzaine de degrés avec l'axe optique. Les rayons
lumineux issus de l'objet, réfléchis par le miroir et atteignant l'objectif de l'appareil photo
s'écartent assez peu de l'axe, l'inclinaison est au maximum de 12 degrés
(Arctan (2/10) ≃ 11°).
Pour des objets plus écartés de l'axe optique, les conditions de Gauss ne sont plus remplies.
On observe de la distorsion (en barillet dans les deux cas photographiés) : les droites sont
courbées, les angles sont modifiés et les images sont déformées. On peut s'en convaincre en
observant un papier quadrillé par réflexion sur une cuillère ou une louche.
5.10 Formule de Newton avec origine au foyer pour le miroir sphérique
Dans le miroir sphérique, les foyers
sont confondus et l’origine est
unique. Nous pouvons directement
déduire de la construction une
relation de conjugaison et une
relation de grandissement. Les
couples de triangles semblables
(FAB) et (FSJ), (FA’B’) et (FSI) sont
homothétiques,
le
centre
d’homothétie étant F :
SJ FS
A ' B ' FA '
et
AB FA
SI
FS
On en déduit le grandissement transversal :
A ' B ' FS FA '
AB
FA FS
Cette dernière relation conduit à la formule de conjugaison de Newton, avec origine au
foyer :
2
FA.FA ' FS
5.11 Champ d'un miroir sphérique
Nous avons vu que le champ d'un miroir désigne la région de l'espace que l'on peut voir à
travers ce miroir à partir d'une position donnée O de l'œil et qu'il correspond donc à
l'ensemble des points A susceptibles de donner un rayon réfléchi passant par O. Ce rayon
semble provenir de l'image O' de O donnée par le miroir. Le champ du miroir est alors
délimité par le cône de sommet O' s'appuyant sur le contour du miroir.
Dans la figure ci‐après, nous avons comparé les champs d'un miroir sphérique concave, d'un
miroir plan et d'un miroir sphérique convexe, l'observateur O occupant la même position
devant les trois miroirs et les deux miroirs sphériques étant de même courbure.
La position de O est choisie de telle manière que, dans tous les cas, son image O' soit virtuelle.
La position du point O' est donnée par :
pour le miroir concave :
SO ' SO
SF
FS
FS
= SO
=- SO
SO SF
OS FS
FS OS
avec SF 0, SO 0 et SO SF
puisque l'on est dans le cas d'une image virtuelle, d'où :
SO ' SO
pour le miroir plan :
SO ' SO
pour le miroir convexe :
SO ' SO
SF
SO SF
d’où :
SO ' SO
avec SF 0, SO 0
SF
SF SO
Soit :
SO ' SO
Le champ le plus grand est donc celui du miroir convexe, puis vient celui du miroir plan, puis
enfin celui du miroir concave. Ceci explique l'emploi de miroirs convexes comme rétroviseurs.
5.12 Applications des miroirs sphériques
Les miroirs concaves sont utilisés pour leur capacité à concentrer la lumière provenant
d'une source lointaine (télescope, four solaire...) ou à transmettre en faisceau quasi
parallèle comme la lumière émise par une petite lampe (lampe de poche, phare
d'automobile).
Ils sont aussi utiles quand il est pratique d'obtenir une image plus grande que l'objet, par
exemple comme miroir de toilette grossissant. Le rayon de courbure du miroir est suffisant
pour que, naturellement, on place son visage entre le foyer et le sommet.
Les miroirs convexes peuvent former des images petites d'un objet éloigné et sont alors
utiles pour leur grand champ de vision : miroirs de surveillance, rétroviseurs
d'automobiles, ou miroirs au coin de rues pour permettre de voir derrière un obstacle.
5.13 Exercices sur les miroirs sphériques
1. a) On utilise un miroir sphérique convexe de rayon R = 1,2 m. Quelle est la valeur
algébrique de son rayon ? Quelle est la distance focale du miroir ? Quelle est la position de
l’objet dont l’image est virtuelle, droite et deux fois plus petite que l’objet ? Quelle est la
nature de l’objet ?
b) On considère un miroir sphérique concave de rayon R = 1,2 m. Quelle est la valeur
algébrique de son rayon ? Quelle est la distance focale du miroir ? Quelle est la position de
l’objet dont l’image est réelle, droite et deux fois plus petite que l’objet ? Quelle est la
nature de l’objet ?
2. (Miroir de dentiste) On imagine la scène chez un dentiste : un petit miroir placé à 1 cm
d’une dent en donne une image agrandie cinq fois. Quelle est la nature de l’image ? Quelle
est la nature du miroir ? Quel est son rayon ? (Rép. : R= ‐2,5cm)
3. On forme l’image du Soleil, de diamètre angulaire 32’ (32 minutes d’angle) grâce à un
miroir sphérique convergent de focale 900 mm. Où se trouve cette image ? Quelle est sa
taille ?
6 Miroir parabolique et miroir elliptique
Nous avons vu qu’un miroir sphérique ne focalise qu’approximativement un faisceau parallèle.
L’approximation est d’autant plus mauvaise que l’ouverture du miroir est grande. Les miroirs
paraboliques ne présentent pas cet inconvénient et sont pour cette raison abondamment
utilisés en pratique (par exemple réflecteur de projecteur ou de phare d’automobile,
télescope). En revanche les miroirs paraboliques sont plus difficiles à usiner que les miroirs
sphériques.
Le miroir parabolique est rigoureusement stigmatique de l’infini en son foyer. Cette
propriété remarquable en fait un élément optique privilégié pour les applications
astronomiques
Stigmatisme du miroir parabolique et principe de Huygens
http://www.youtube.com/watch?v=Bn9tJ1YcRWM
Application : principe des phares automobiles
Sur les véhicules actuels, on trouve divers types de projecteurs. Le modèle le plus courant
utilise un réflecteur parabolique équipé d'une lampe à iode de type H4. Sur les modèles haut
de gamme, on utilise une lampe à xénon placé au foyer d'un réflecteur elliptique et équipé
d'une lentille asphérique.
Lampe à iode
C'est une lampe équipée de deux filaments. Le filament avant est muni d'une coupelle qui
réfléchit la lumière vers le haut.
La puissance consommée est de 55 W. Le flux lumineux de l'ordre de 1500 lumens. La durée
de vie est de l'ordre de 500 heures.
En mode plein phare le centre
du filament arrière est placé au
foyer
d'un
réflecteur
parabolique. Dans ce cas le
miroir donne une image à
l'infini : on obtient un faisceau
parallèle dont l'axe est celui de
la parabole.
Le filament n'est pas ponctuel et de ce fait le faisceau n'est pas parallèle. Les points en avant
du foyer donnent un faisceau convergent et ceux en arrière un faisceau divergent.
Globalement on obtient un faisceau dont la portée minimale est de 100 m.
En mode croisement le centre du filament est placé nettement devant le foyer et on obtient un
faisceau convergent dont l'axe est dirigé vers le bas.
En réalité le faisceau final doit avoir une forme imposée (portée maximum de 60 m pour le
projecteur droit et de 30 m pour le projecteur gauche, éclairage du bas côté droit ...) pour ne
pas éblouir les usagers qui arrivent en face.
Sur les anciens modèles le verre avant du projecteur comportait des éléments de lentille de
type Fresnel. Sur les modèles récents, ce verre est neutre mais la forme des réflecteurs est
plus complexe.
http://ressources.univ‐
lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/phareauto.html
Lampe à xénon
C'est une lampe à décharge. Après amorçage d'un arc par une tension élevée (25 kV) il faut
pour le maintenir appliquer une tension de l'ordre de 85 V entre les électrodes. L'arc se
comporte comme une source pratiquement ponctuelle. La puissance consommée est de 35 W.
Le flux lumineux de l'ordre de 3200 lumens. La durée de vie est de l'ordre de 2000 heures.
Il existe divers types de projecteurs utilisant cette lampe. On présente ici le modèle le plus
évolué qui utilise un réflecteur elliptique.
Le brûleur est placé au foyer F1 de l'ellipsoïde. La lumière est réfléchie vers son foyer F2 qui est
aussi le foyer objet d'une lentille convergente asphérique.
Le passage en mode croisement est obtenu par le basculement d'un volet qui occulte une
partie du faisceau.
7 Dioptre sphérique
7.1 Définitions
Un dioptre sphérique est une surface sphérique ayant la forme d’une calotte sphérique,
séparant un milieu d’indice n=n1 d’un milieu d’indice n’=n2.
Image d’une composition florale vue à travers une boule de verre
http://www.wilsonhurst.com/blog/2006/02/refraction.php
Les lois de la réfraction de Descartes s’appliquent telles quelles aux surfaces non planes.
Lois de la réfraction du dioptre sphérique
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/
optigeo_ch04/co/simuler_ch04_03.html
Lois de la réfraction du dioptre sphérique
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐
nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/dioptres/dioptre_spherique.php
L’air est en blanc, le verre en bleu ; on voit que le dioptre peut être convergent ou divergent,
quelle que soit sa concavité, selon la nature des milieux qu’il sépare.
7.2 étude du stigmatisme du dioptre sphérique
7.2.1 Astigmatisme du dioptre sphérique
Si le point objet P (réel ou virtuel) a une image P’, celle‐ci se trouve nécessairement sur l’axe
principal (PSC), support d’un rayon lumineux non dévié lors de la réfraction.
P’ ne mérite le nom d’image de P que si P’ reste fixe lorsque le point d’incidence I décrit la
surface dioptrique.
À un rayon incident issu du point P, appartenant à l’axe principal, il correspond un rayon
réfracté dans le plan d’incidence. Ce rayon recoupe l’axe principal en P’. Le point d’incidence
sur la surface dioptrique est noté I. On suppose le dioptre convexe et n2>n1 (dioptre
convergent).
Les images de différents
rayons lumineux issus d’un
point P situé sur l’axe du
dioptre ne se coupent pas
en un même point : le
dioptre
sphérique
est
astigmate.
S
Mise en évidence de l’astigmatisme du dioptre sphérique
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐
nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/dioptres/stig_dioptre_spherique.php
Dioptre sphérique, stigmatisme approché
http://ressources.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/spherstig.html
7.2.2 stigmatisme approché du dioptre sphérique
http://ressources.univ‐
lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/dioptrespherique.html
Stigmatisme et aplanétisme approché du dioptre sphérique dans les conditions de Gauss
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/o
ptigeo_ch04/co/simuler_ch04_01.html
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optig
eo_ch04/co/simuler_ch04_02.html
7.2.3 étude théorique du stigmatisme (rigoureux et approché) du dioptre sphérique
7.2.3.a Invariant de Möbius
S
n1 sin i n2 sin r
La loi de la réfraction appliquée au dioptre, donne :
Dans le triangle PIC, la relation des sinus s’écrit :
sin i
PC
sin
PI
donc sin i
PC
sin
PI
Dans le triangle P’IC, la relation des sinus donne :
sin r sin
CP '
donc sin r
sin
CP '
IP '
IP '
En combinant ces trois relations, on obtient :
PC
CP '
n1
n2
PI
IP '
PC
P 'C
n2
K (1)
PI
P'I
Cette quantité K est conservée lors de la réfraction, c’est l’invariant fondamental du dioptre
sphérique (invariant de Möbius)
Ou encore :
n1
Dans cette formule, n1, n2 et C sont fixés. Nous constatons que P’ dépend non seulement de P
mais aussi de I, c’est‐à‐dire du rayon incident considéré : c’est le phénomène d’astigmatisme
mis en évidence par la construction précédente : différents rayons incidents ne convergent pas
au même point de l’axe optique et il n’y a en général pour P pas de point image proprement dit.
7.2.3.b Stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique
Il n’y a que trois cas pour lesquels la condition de stigmatisme rigoureux est satisfaite :
Comme pour toutes les surfaces réfringentes, il y a stigmatisme rigoureux pour les points I de
la surface dioptrique : P=I=P’, PI=0 entraîne P’I=0 ;
Les rayons issus du centre C traversent le dioptre sans déviation : C est sa propre image
rigoureusement stigmatique : P=C=P’, PC=0 entraîne P’C=0 ;
Pour un point P quelconque, le stigmatisme rigoureux ne peut être réalisé que si la
distance P’C est indépendante de l’angle , et donc du point I. D’après la relation (1), s’il y
a stigmatisme, PC étant constant, le rapport P’I/PI doit être constant pour tout point I de la
surface dioptrique :
P ' I n2 P ' C
n1 PC
PI
Si le stigmatisme rigoureux est réalisé pour P et P’, la surface dioptrique (correspondant au
lieu des points I) coïncide nécessairement avec la sphère qui est le lieu des points dont le
rapport des distances à P et P’ est constant et égal à :
n2 P ' C
n1 PC
Une telle condition ne peut pas être réalisée pour un couple de points (P,P’) quelconque
mais peut être vérifiée pour un couple de points particuliers appelés points de Young‐
Weierstrass.
Ce dernier cas est un cas particulier de stigmatisme rigoureux pour une surface réfractante.
Soit une surface (S) réfractante qui sépare deux milieux d'indices n et n’ et I le point
d'incidence sur la surface (S).
Deux points P et P’ sont stigmatiques si le chemin optique L(PP’) est indépendant de la position
du point I (et donc constant). La condition de stigmatisme s'écrit donc :
L( PP ') nPI n ' IP ' n. PI n ' IP ' c ste
Le signe ‐ correspondant à une image virtuelle (IP’<0) et le signe + à une image réelle (IP’>0)
de l’objet réel (PI>0).
En particulier, si le chemin optique L(PP’) est nul (condition nécessaire pour que la surface
dioptrique réfractante reste du second degré), on obtient :
nPI n ' IP ' c ste 0
c’est‐à‐dire :
PI
n'
0
P'I n
Dans l’espace, le point I décrit donc une portion de sphère, qui est le lieu géométrique des
points dont le rapport des distances à deux points fixes (ici P et P’) est constant (ici égal au
rapport des indices). Ce rapport étant positif, les points P et P’ doivent être du même côté de
la surface (S), et ils sont donc de nature contraire (P réel et P’ virtuel par exemple).
Rappel géométrique
Le lieu des points M du plan vérifiant :
MA
k
MB
est (sauf pour k = 1) le cercle (dit d'Apollonius) de diamètre [I J] où I et J sont les deux points
de la droite (AB) vérifiant également :
MA
k
MB
Les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices de l'angle AMB.
7.2.3.c position des points de Young‐Weierstrass
Désignons par C le centre de cette sphère, par S l’intersection de la surface dioptrique avec la
droite (PP’) et par S’ le point diamétralement opposé sur la sphère qui porte la surface
dioptrique (S), la relation précédente conduit à :
IP n ' SP
S 'P
IP ' n SP '
S 'P'
Soit :
n ' SC CP
S ' C CP
n SC CP '
S ' C CP '
ou :
n ' CP CS
CP CS '
CP CS
n CP ' CS
CP ' CS ' CP ' CS
On en déduit :
CP
n'
n
CS et CP ' CS
n
n'
Les points satisfaisant à cette condition
sont appelés points de Young‐
Weierstrass (notés en général W et W’
et A et A’ sur la figure) du dioptre
sphérique. Il existe un unique couple
de points (W,W’) sur chaque droite
passant par C. Il y a quatre cas de
figure selon le signe de CS et selon le
signe de n’‐n. La figure suivante
représente les deux cas où CS>0.
et encore :
SP
n n'
n n'
SC et SP '
SC
n
n'
L’existence des points de Weierstrass est exploitée dans la fabrication des objectifs
d’instruments d’optique (microscope)
Points de Weierstrass du dioptre sphérique
http://ressources.univ‐
lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/youngwier.html
Utilisation des points de Weierstrass
pour un objectif de microscopie
Un exemple classique d’utilisation des points de Weierstrass est l’objectif de microscope,
représenté sur la figure ci‐dessus. Une première lentille a pour premier dioptre un dioptre
plan collé contre la lame à observer. Le microbe W0 collé sur le dioptre en son centre est sa
propre image (cf. supra les exemples simples de stigmatisme rigoureux) et le second dioptre
a W0 comme point de Weierstrass objet dont il forme l’image en W1. Le premier dioptre de la
seconde lentille a W1 comme centre qui est donc sa propre image (cf. supra) et son second
dioptre l’admet comme point de Weierstrass objet dont il forme l’image en W2. Une
troisième lentille peut être ajoutée sur le même principe que la seconde. Le but du jeu est, en
respectant le stigmatisme rigoureux, de diminuer progressivement l’angle maximal que fait
avec l’axe le faisceau lumineux afin de l’amener dans le cadre d’un stigmatisme approché qui
suppose des angles avec l’axe pas trop élevés. De nos jours, l’usage des lentilles asphériques
permet des solutions moins volumineuses mais plus onéreuses
7.2.3.d Stigmatisme rigoureux du dioptre sphérique : analyse générale
Repartons de l’invariant de Möbius :
n1
PC
P 'C
n2
K
PI
P'I
Élevons au carré les deux membres :
2
PC 2
2 P 'C
n
n2
PI 2
P'I2
S
2
1
On peut écrire :
IP IC CP et IP ' IC CP '
Le théorème de Pythagore généralisé (ou l’utilisation du produit scalaire de deux vecteurs)
permet d’écrire :
IP 2 IP.IP IC 2 CP 2 2 IC.CP cos et IP '2 IP '.IP ' IC 2 CP '2 2 IC.CP 'cos( ) IC 2 CP '2 2 IC.CP 'cos
On a donc :
IP '2 n2 2 CP '2 IC 2 CP '2 2 IC.CP 'cos
IP 2 n12 CP 2
IC 2 CP 2 2 IC.CP cos
Cette relation montre que pour un point P fixé (CP fixé), CP’ dépend de et donc la position
de P’ dépend de .
Pour alléger les calculs, notons :
CP x, CP ' x ' et CS R
La relation précédente devient :
n2 2 x '2 R 2 x '2 2 R.x 'cos
2
n12 x 2
R x 2 2 R.x cos
Il y aura stigmatisme rigoureux si CP’ est indépendant de , ce qui implique que le rapport
précédent soit indépendant de ; en particulier, il doit prendre la même valeur si cos =1 ou
si cos =0 ; par conséquent, on doit avoir :
n2 2 x '2 R 2 x '2 2 R.x ' R 2 x '2
2
2
n12 x 2
R x 2 2 R.x
R x2
En appliquant la propriété générale des fractions :
On obtient :
n2 2 x '2 R 2 x '2 2 R.x ' R 2 x '2 2 Rx ' x '
2
2
n12 x 2
R x 2 2 R.x
R x2
2 Rx x
soit encore :
n 22 x
x x ' R xx ' 0 et : 2
n1
x'
a c
ac ac
kk
b d
bd bd
2
La première équation a deux solutions possibles :
La solution x = x’ est impossible puisqu’elle impliquerait n1=n2, sauf si P est sur la surface
(P=I, donc x=R) et donc P’ est sur la surface (x’=R) ou si P est le centre du dioptre (x=0) et P’
est aussi le centre du dioptre (x’=0). On retrouve donc le fait que le dioptre est
rigoureusement stigmatique pour les points de la surface dioptrique et pour le centre du
dioptre qui sont leurs propres conjugués.
La solution :
n2 2
n12
R xx ' 0 qui implique : xx ' R x ' 2 x 2
n1
n2
2
2
redonne (au signe près) la position des points de Young‐Weierstrass par rapport au centre C
du dioptre.
7.2.3.e stigmatisme approché du dioptre sphérique dans les conditions de Gauss
On peut retrouver la relation entre la position p=SP de l’objet P et la position p’=SP’ de
l’image P’ dans les conditions de stigmatisme approché, ou conditions de Gauss.
Si P est quelconque, pour que P’I varie le moins possible, il faut que PI varie le moins possible,
donc que le point I soit proche du sommet S du dioptre, c’est‐à‐dire que le rayon incident soit
faiblement incliné par rapport à l’axe du dioptre. Le stigmatisme du dioptre sera aussi
amélioré si le rayon de courbure du dioptre est grand. Ce sont les conditions de Gauss.
Dans ce cas, PIPS et P’IP’S et la formule (1) n1 PC n2 P ' C K (1) devient :
PI
P'I
n1
ou encore, comme S, P, P’ et C sont alignés :
n1
PC
P 'C
n2
PS
P'S
PS SC
P ' S SC
n2
PS
P'S
n1
n
n n
2 2 1
PS P ' S
SC
C’est la formule de conjugaison du dioptre sphérique, dans les conditions de stigmatisme de
Gauss.
Si on introduit les notations habituelles SP=p, SP’=p’, SC=r, la formule se réécrit sous la forme :
Qui redonne bien la relation de conjugaison :
n1
pr
p ' r
n2
p
p'
Finalement, on obtient :
ou encore n1
n2 n1 n2 n1
p' p
r
pr
r p '
n2
0
p
p'
ou encore :
p'
pn2
n1 p
Le signe de la quantité =V (vergence du dioptre) détermine le caractère convergent (>0) ou
divergent (<0) du dioptre.
7.2.3.f principe de Fermat et stigmatisme approché du dioptre sphérique dans les conditions
de Gauss ; autre calcul de la position des points de Weierstrass
7.3 Foyers du dioptre sphérique
L’image du point objet situé à l’infini sur l’axe optique est appelé foyer image F’. La distance SF’
est la distance focale image, notée f’.
Par définition, la distance focale image est la distance p’=SP’ obtenue en remplaçant p par
l’infini dans la relation de conjugaison, donc :
f ' lim
p
n2 rp
nr
n
2 2
p n2 n1 n1r n2 n1
Il résulte de cette définition que tout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte en
passant par le foyer image F'.
Le point objet de l’axe optique dont l’image se forme à l’infini sur l’axe optique s’appelle le
foyer objet F du dioptre sphérique. La distance SF s’appelle la distance focale objet, notée f.
Par définition, la distance focale objet est la distance p=SP conjuguée à une distance p’ infinie
par la relation de conjugaison, donc :
f lim
p '
n1rp '
nr
n
1 1
p ' n1 n2 n2 r
n2 n1
Un rayon incident passant par le foyer objet du
dioptre se réfractera en un rayon parallèle à l'axe
optique du dioptre.
Pour un dioptre concave et convergent (n’<n), on a donc les positions suivantes pour les
foyers :
Foyers, plans focaux et distances focales d’un dioptre sphérique
n’<n
n’>n
On remarque :
n
f
SF
1
f ' SF '
n2
Le rapport des distances focales d’un dioptre sphérique est égal au rapport des indices
changé de signe. Les foyers F et F’ sont donc toujours de part et d’autre du sommet S
Si F’ est dans le milieu d’indice n2 (f’=SF’>0), donc réel, F est dans le milieu d’indice n1 (car
f=SF est alors <0), donc également réel. De la même façon, si F’ est dans le milieu n1
(f’=SF’<0) il est virtuel et F qui est alors dans le milieu n2 (f=SF>0) est également virtuel. Les
deux foyers sont de même nature : tous deux réels ou tous deux virtuels.
Cette relation montre aussi que f=‐f’ lorsque les milieux extrêmes ont même indice de
réfraction (n1=n2) ;
On a aussi dans tous les cas :
f f 'r
Si on multiplie la relation de conjugaison par r/(n2‐n1), on obtient :
Cette relation est aussi appelée formule de conjugaison de Descartes.
f' f
1
p' p
7.4 Répertoire des formules relatives au dioptre sphérique
Par définition, la vergence V d’un dioptre sphérique est :
V
n2 n1
n
n
1 2
SC
SF SF '
Le grandissement linéaire est par définition le rapport de la dimension d’une image dans le
plan de front en A2 à la dimension correspondante de l’objet en A1 :
AB
2
2
A1 B1
7.4.1 Formules avec origine au sommet du dioptre
La relation de conjugaison établie ci‐dessus, avec
origine au sommet du dioptre S s’écrit donc :
n1
n
n n
2 1 2
SA1 SA2
SC
ou encore :
f' f
1
p' p
Dans SA1B1 on a :
A1B1 = SA1 tan i1 = SA1i1
dans les conditions de GAUSS (avec SA1 < 0, i1 < 0 et A1B1 > 0).
De même dans SA2B2 on a :
A2B2 = SA2 tan i2 = SA2i2
dans les conditions de GAUSS (avec SA2 > 0, i2 < 0 et A2B2 < 0).
D’où l’expression pour :
A2 B2 n1 SA2 n1 p '
fp '
f 'p
A1 B1 n2 SA1 n2 p
7.4.2 Formules avec origine au centre du dioptre
En repartant de l’invariant fondamental du dioptre
sphérique appliqué au rayon axial (I=S) :
on obtient aussi :
Et donc :
n1
A1C
AC
n2 2
A1S
A2 S
n1
CA1
CA2
n2
SC CA1
SC CA2
n1 SC CA2 CA1 n2 SC CA1 CA2
Divisons par le produit des trois segments, il vient :
Ou enfin :
n1
n
n n
2 1 2
CA2 CA1
CS
1
1
1
1
n1
n2
CA
SC
CA
SC
2
1
Cette formule est appelée relation de conjugaison avec origine au centre C du dioptre.
La similitude des triangles B1A1C et B2A2C permet d’écrire directement :
A2 B2 CA2
A1 B1 CA1
L’objet et l’image sont homothétiques par rapport au centre C.
7.4.3 Formules avec origine aux foyers
En repartant de la formule de conjugaison de Descartes :
f' f
1
p' p
Cette dernière relation s’écrit aussi (en notant F1 et F2 les foyers):
Dans ce cas on repère la position de l’objet A1 par rapport au foyer objet F1 et la position de
l’image A2 par rapport au foyer image F2. La relation précédente donne :
Soit :
et finalement une relation parfaitement symétrique qui constitue la formule de conjugaison
de Newton:
Comme F2A2B2 et F2SI sont semblables et que A1B1 = SI, il vient alors :
A2 B2 A2 B2 F2 A2
SI
A1 B1
F2 S
et finalement, puisque F1A1.F2A2 = SF1.SF2 (par la formule de Newton):
F2 A2
SF
1
SF2
F1 A1
7.5 Aplanétisme du dioptre sphérique , grandissements et relation de Lagrange‐Helmholtz
Soit un rayon incident quelconque A1I : il fait l’angle 1 avec l’axe principal. Dans les conditions
de l’approximation de GAUSS, le réfracté correspondant passe par l’image A2 de A1 et fait
l’angle 2 avec l’axe principal.
Sur cette figure on voit que :
‐SI = SA1.1 = SA2 2
d’où, en utilisant l’une des expressions
précédentes du grandissement linéaire :
Soit :
L’égalité précédente connue sous le nom de relation de Lagrange‐Helmholtz, exprime
évidemment la réalisation de l’aplanétisme dans les conditions simplificatrices de la limitation
aux rayons paraxiaux.
Remarque : il s’agit du passage à la limite des petits angles d’une relation plus générale
connue sous le nom de relation des sinus d’Abbe (n1 sin 1A1B1 = n2 sin 2A2B2).
Le support d’un rayon incident paraxial passant par le pied A de l’objet sur l’axe principal
présente l’inclinaison u sur l’axe ; le rayon émergent correspondant présente l’inclinaison
u’. Le rapport u’/u des angles d’inclinaison sur l’axe principal est le grandissement angulaire
relatif à ces deux points conjugués.
La relation de Lagrange‐Helmholtz n.AB.u=n’.A’B’.u’ conduit à :
u'
n. AB
n 1
u n ' A' B ' n '
Le grandissement axial vaut lui :
L
d SA
d SA '
n
n' n n'
SA SA '
SC
En utilisant :
d SA '
n
n'
0
SA
SA '
d SA
et en différentiant :
2
On obtient :
puisque :
L
2
n SA '
d SA n ' SA
d SA '
2
2
n' 2
n
n ' SA '
n SA
Le grandissement axial est toujours positif, l’objet et l’image se déplacent donc toujours
dans le même sens (en excluant F car si A=F, le grandissement axial devient infini).
Le fait que et L soient différents implique que l’image présente toujours une déformation
par rapport à l’objet.
7.6 Méthode générale de construction du rayon réfracté par un dioptre sphérique
Pour
construire
le
rayon
réfracté
correspondant à un rayon incident
quelconque, on cherche l'intersection du
rayon incident avec le plan focal objet puis on
trace un rayon passant par le centre C du
dioptre et le foyer secondaire précédemment
défini. Le rayon réfracté est parallèle à CFx.
On peut également tracer une parallèle au
rayon incident passant par C et chercher son
intersection F’x avec le plan focal image ; le
rayon réfracté semblera alors issu du foyer
secondaire ainsi défini.
Ce type de construction est valable quel que
soit le dioptre sphérique, divergent ou
convergent , convexe ou concave.
7.7 Méthode générale de construction de l’image d’un objet formée par un dioptre sphérique
Tout rayon incident parallèle à l'axe optique se réfracte en passant par le foyer image F'.
Un rayon incident passant par le foyer objet du dioptre se réfractera en un rayon parallèle à
l'axe optique du dioptre.
Pour construire l'image d'un objet plan, on utilise 3 rayons particuliers :
un rayon passant par le centre du dioptre et qui n'est pas dévié à la traversée de celui‐ci
un rayon issu de B et passant par le foyer objet F : il est réfracté suivant une parallèle à l'axe
principal
un rayon issu de B et parallèle à l'axe principal : il est réfracté suivant un rayon qui passe par
le foyer image F'.
Exemples de constructions
Objet à l’infini
Image d’un objet par un dioptre sphérique concave
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch04/co/simuler_ch04_04.html
Image d’un objet par un dioptre sphérique convexe
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch04/co/simuler_ch04_05.html
Dioptre convergent recevant la lumière sur sa face concave (n>n’) ; variation des
caractéristiques de l’image (position, nature et grandeur) en fonction de la position
de l’objet décrivant la totalité de l’axe optique.
Dioptre divergent recevant la lumière sur sa face convexe (n>n’) ; variation
des caractéristiques de l’image (position, nature et grandeur) en fonction de
la position de l’objet décrivant la totalité de l’axe optique
7.8 Exercices (dioptre sphérique)
1. Calculer les vergences des dioptres suivants :
n=1 ; n’ = 1,5 ; R=+100mm.
|n’‐n|= 0,525 et R = ‐ 175 mm, le dioptre est convergent.
n=1,7 ; n’ = 1 ; R=‐8,5cm
2. La distance entre le sommet et le centre d'un dioptre concave est de 75 mm. Les indices
sont 1,5 pour le milieu objet et 1,33 pour le milieu image.
Calculer la vergence .
Le dioptre est‐il convergent ou divergent ? Justifier.
Calculer les distances focales f etf’ du dioptre.
3. Soit un dioptre sphérique d'indices n = 1 et n’ = 1,336, de vergence +60.
Calculer le rayon de courbure.
L'indice objet est maintenant égal à 1,33. Le rayon de courbure prend la valeur
déterminée précédemment. Calculer , la nouvelle vergence.
4. La distance focale image d'un dioptre sphérique d'indices n = 1,33 et n' = 1,5 vaut +200
mm. Calculer le rayon de courbure du dioptre. Est‐il concave ou convexe ? Justifier.
5. Un dioptre sphérique de rayon 80 cm sépare l’air du verre (n=1,5). Son centre se trouve
dans le verre. Trouvez les distances focales. Déterminer la position de l’image et le
grandissement si l’objet est réel et se trouve à 200, 100 et 50 cm et si l’objet est virtuel et
se trouve à 50, 100 et 200 cm de la surface. (Rép. : f=‐160 cm, f’=240 cm ; si p=‐100 cm,
p’=‐400 virtuelle, =2,67 ; si p=200 cm, p’=133,3 cm réelle, G=0,144)
6. Quel doit être l’indice d’une boule pour que le foyer image soit à son intérieur lorsque la
boule est baignée dans l’air ? Les rayons solaires peuvent‐ils converger à l’intérieur d’un
aquarium sphérique et cuire un poisson qui s’y trouve ? Est‐il possible de choisir la forme
de l’aquarium pour que cela arrive ? (Rép. : n>2 ; dans le cas de l’eau (n=1,33), f’=4,03 R,
donc non).
7. Un dioptre sphérique de rayon de courbure r sépare deux milieux d’indice n=3/2 (espace
objet) et n’=4/3 (espace image).
A) Exprimer les distances focales f et f’ ainsi que la vergence Φ en fonction de r.
B) On donne r= ‐10cm. Calculer numériquement f, f’ et Φ. Quel est la nature du
dioptre ?
C) On place un objet AB à 50 cm en avant du dioptre. Calculer la position p’ de
l’image ainsi que son grandissement transverse γ.
D) Sur une figure, placer les foyers F et F’ et l’objet A. Construire son image A’.
Quelle est la nature de A’ ?
8. Dans cet exercice, on cherchera à comprendre comment une image se forme au fond d'un
verre « chinois » s'il contient du liquide et disparaît lorsque le verre est vide.
Habituellement, dans un tel verre, une photographie est collée dans le fond d'une cavité
remplie d'air. La cavité est fermée sur sa partie supérieure par une lentille épaisse de verre
d'indice n = 1,5 constituée d'un dioptre plan D1, de sommet S1, et d'un dioptre sphérique
D2, de sommet S2 et de centre C2. On se place dans les conditions de Gauss. On notera A0,
le point de la photo sur l'axe optique. On prendra comme valeurs S1 S2 = 2 cm.
8.1 Afin de déterminer la courbure du dioptre D2, on
extrait la lentille et on la place sur un
banc d'optique. On éclaire sa face plane avec un
faisceau
de
rayons
incidents
parallèles
à l'axe optique. On constate que les rayons
émergeant de la lentille se coupent en un point F' de
l'axe tel que S1F' = 4,5 cm.
a. Après avoir rappelé la séquence de
formation des images par cette lentille
épaisse, donnez l'expression des relations de
conjugaison
du
dioptre
D1
et
du
dioptre D2.
b. Dans le dispositif étudié ici, où sont
situés
l'objet
initial,
Ao,
l'image
intermédiaire, A1, et l'image finale, A2 ?
c. A l'aide de la relation de conjugaison du
dioptre D2, vérifiez que le rayon de
courbure de ce dioptre vaut S2C2 = ‐1,25 cm.
8.2 On considère maintenant cette même lentille placée dans le verre chinois lorsque celui‐ci
est vide. Elle est donc entourée d'air de part et d'autre. L'objet (la photo) est placé devant la
lentille, du côté de sa face plane, de sorte que A0S1 = 4/3 cm.
a. Donnez la position de l'image intermédiaire par rapport à S1 puis à S2.
b. Déterminez la position de l'image finale par rapport à S2.
c. Un observateur emmétrope placé à 25 cm du verre, donc de S2, peut‐il voir cette
image ?
8.3 Le verre est maintenant rempli d'une épaisseur x d'un liquide d'indice n’=4/3. La lentille
a donc de l'air du côté de sa face d'entrée et ce liquide du côté de sa face de sortie. D'un
point de vue optique, cela revient à ajouter un dioptre plan D3 après la lentille. D3 est un
dioptre liquide/air de sommet S3 tel que S2S3 = x cm.
a.
b.
c.
d.
e.
Réécrivez la séquence de formation des images et les relations de conjugaison des
trois dioptres en tenant compte des nouveaux indices.
Déterminez les positions de l'image intermédiaire A1 par rapport à S1 puis à S2.
Même question pour A2 par rapport à S2 puis à S3. Cette dernière sera donnée en
fonction de x.
Quelle est l'expression de S3A3 en fonction de x ?
En considérant le signe de cette expression, l'image est‐elle visible pour un
observateur emmétrope placé à 25 cm du verre ?
8 Les lentilles minces
8.1 Histoire
Les premières lentilles optiques furent fabriquées sous l'empire
assyrien et sont antérieures à ‐700 : il s'agissait de cristaux polis. La
plupart du temps de quartz.
Des lentilles similaires furent fabriquées par les anciens
Égyptiens, les Grecs et les Babyloniens.
La lentille Nimrud Assyrie, de 38
mm de diamètre, vers 750 av.
J.‐C. ‐ (British museum)
Les premières traces d'utilisation d'une lentille proviennent de la Grèce antique. Aristophane y
fait notamment référence dans sa pièce Les Nuées écrite en 423 av. J.‐C. en évoquant un verre
à feu (une lentille convexe utilisée pour produire du feu en focalisant les rayons solaires).
Les écrits de Pline l'ancien (23 ‐ 79) montrent également qu'un tel dispositif était connu dans
l'empire romain. Ils mentionnent ce qui peut être interprété comme la première utilisation
d'une lentille pour corriger la vue en décrivant l'utilisation que fait Neron d'une émeraude de
forme convexe lors des spectacles de gladiateurs (probablement pour corriger une myopie).
Sénèque le Jeune (3 av. J.‐C. ‐ 65) décrit l'effet grossissant d'un globe en verre rempli d'eau.
Le mathématicien arabe Alhazen (965‐1038), a écrit le premier traité d'optique qui décrit
comment le cristallin forme une image sur la rétine.
Les lentilles n'ont cependant pas été utilisées par le grand public avant la généralisation des
lunettes de vue, probablement inventées en Italie dans les années 1280.
8.2 Définitions
Une lentille est un milieu transparent homogène, isotrope, dont au moins
l'une des faces n'est pas plane. Elle peut être limitée par deux dioptres
sphériques ou un dioptre sphérique et un dioptre plan.
L’axe optique ou axe principal est la droite passant par les deux centres des dioptres
sphériques C1 et C2 (ou perpendiculaire au dioptre plan et passant par le centre du dioptre
sphérique).
Une lentille mince correspond à une lentille
dont l’épaisseur maximum est très petite
devant les rayons de courbure des deux
dioptres 𝑅
S1C1 et 𝑅
S2C2 . La
distance entre les deux sommets e=S1S2
est prise égale à 0 et les sommets S1 et S2
sont assimilés au même point O (qui porte
alors le nom de centre optique de la lentille
mince).
8.3 Types de lentilles
Il existe trois sortes de lentilles dites à bords
minces, et trois sortes de lentilles dites à
bords épais.
Classification des lentilles suivant l'épaisseur de leur bord
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch07/co/apprendre_ch07_01.html
Types de lentilles à bords minces
1 ‐ lentille biconvexe (les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situés
chacun d'un côté du plan de la lentille ).
2 ‐ lentille plan‐convexe (un des dioptres est sphérique, l'autre est plan)
3 ‐ ménisque convergent (les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont
situés du même côté du plan de la lentille, le premier dioptre a un plus petit rayon)
Types de lentilles à bords épais
4 ‐ lentille biconcave (les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situés
chacun d'un côté du plan de la lentille)
5 ‐ lentille plan‐concave (un des dioptres est sphérique, l'autre est plan)
6 ‐ ménisque divergent (les deux dioptres sont sphériques, les centres des sphères sont situés
du même côté du plan de la lentille, le premier dioptre a un plus grand rayon)
http://ressources.univ‐
lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/lentilleepais.html
Les lentilles à bords minces sont convergentes :
+
C2
+
S1
S2
Biconvexe
S1
S2
C1
C2
Ménisque convergent
+
C2
C1
+
S1
Plan‐convexe
S2
S1
S2
Convexe‐plan
C1
Les lentilles à bords minces sont toutes convergentes
Les lentilles à bords épais sont divergentes :
+
C1
S2
S1
+
S1
C2
Biconcave
Ménisque divergent
+
+
S1
Plan‐concave
S2
C2
C1
S1
S2
Concave‐plan
S2
C2
C1
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐
nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/lentille_sorte.php
Une lentille à bords
minces, donc
convergente, produit un
effet d’agrandissement
(à gauche) et une lentille
à bords épais, donc
divergente, produit un
effet de rapetissement (à
droite).
Si la lentille est convergente,
l'image
est
grossie
(grossissement>1), et lorsqu'on
déplace la lentille dans un sens,
l'image défile dans l'autre sens.
Fichier en local
Si la lentille est divergente,
l'image
est
rétrécie
(grossissement<1), et défile dans
le même sens que le déplacement
de la lentille.
http://www.sciences.univ‐
nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/conv_div.php
8.4 Approximation de Gauss et schématisation des lentilles minces
Les lentilles minces sont étudiées dans l’approximation de Gauss :
les points objets sont situés au voisinage de l’axe optique ;
les rayons considérés sont limités aux rayons paraxiaux .
Dans ces conditions, les lentilles minces sont stigmatiques (tout point objet A admet un point
image conjugué A’) et aplanétiques (l’image d’un petit objet plan est plane).
Stigmatisme et aplanétisme des lentilles dans les conditions de Gauss
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐
nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/stigmatisme_lentille.php
Simulation numérique montrant que la lentille sphérique n’est pas
rigoureusement stigmatique pour un objet ponctuel réel quelconque.
Simulation numérique montrant que la lentille
sphérique n’est pas rigoureusement
stigmatique pour un objet ponctuel réel situé
sur l’axe optique.
Simulation numérique montrant que la lentille
sphérique n’est pas rigoureusement
stigmatique pour un objet ponctuel situé à
l’infini dans la direction de l’axe optique.
Simulation numérique montrant que lorsqu’on
ne considère que des rayons peu inclinés par
rapport à l’axe optique. la lentille sphérique
vérifie la propriété de stigmatisme approché
pour le couple de points (A,A′).
Simulation numérique montrant que lorsqu’on
ne considère que des rayons proches de l’axe
optique la lentille sphérique vérifie la
propriété de stigmatisme approché pour le
couple de points (A∞,A′≡F′).
8.5 Formules de conjugaison et du grandissement des lentilles minces ; formule du fabricant
Une lentille est limitée par deux dioptres d1 et d2. Soit une lentille, par exemple biconvexe
donc convergente, et taillée dans un verre d’indice N ; le milieu d’entrée a un indice n et le
milieu de sortie un indice n’ ; si la lentille est en contact avec l’air, n=n’=1 et on peut alors
noter N=n.
L’image de P est P’ par le premier dioptre d1, de sommet O1 ; appliquons une première fois,
pour le dioptre d1, la relation de conjugaison du dioptre :
N
n
N n
r1
O1 P ' O1 P
avec
r1 O1C1
De la même manière, on peut écrire que P’’ est l’image de P’ par le dioptre d2 de sommet
O2:
n'
N
n ' N
r2
O2 P '' O2 P '
avec
r2 O2C2
En sommant membre à membre les deux relations de conjugaison, on obtient donc :
1
N n n ' N
n'
1 n
N
r
r
'
'
O2 P ''
O
P
O
P
O
P
1
2
1
1
2
Si la lentille est mince, on peut assimiler O1 et O2, et donc O1P’ et 02P’ :
O1 O2 O et O1 P ' O2 P '
La relation précédente devient donc :
n'
n N n n ' N
r2
OP '' OP r1
Dans cette formule, si OP’’, P, point objet dont l’image est à l’infini, se confond par
définition avec le foyer objet F, donc on déduit :
N n n ' N
n
n
f OF
r
r
2
1
De la même manière, si OP‐, P’’ est l’image d’un point objet P situé à l’infini, se
confond par définition avec le foyer image F’, donc on déduit :
n'
n ' N n n ' N
n
f ' OF ' r1
r2
f
Finalement, on a donc démontré la relation de conjugaison :
n'
n
n'
n
OP '' OP OF '
OF
Et on a obtenu au passage les expressions suivantes pour les distances focales objet et
image:
n ' N n n ' N
n
f ' r1
r2
f
Si la lentille est baignée dans l’air (n=n’=1), et que l’on note n l’indice du verre de la lentille, et
P’ l’image du point objet P par la lentille, ces formules se simplifient en :
1
1
1
1
OP ' OP OF '
OF
Les distances focales sont donc égales en valeur absolue et de signes opposés si les milieux
extrêmes sont identiques.
Et :
1 1
1
1 n 1 1 n
n 1 avec r1 S1C1 et r2 S 2C2
f'
f r1
r2
r1 r2
Cette dernière formule, appelée formule des
fabricants de lentilles montre comment la focale
de la lentille est reliée à ses cambrures et à
l’indice de réfraction du verre.
La quantité V définie par :
V
1
f'
est appelée vergence de la lentille mince ; la vergence est positive pour une lentille à bords
minces (convergente) ; elle vaut donc :
1 1
1
V
(n 1)
f'
r1 r2
r1 S1C1 R1 0
r2 S 2C2 R2 0
1
1
1
(n 1) 0
f'
R1 R2
r1 S1C1
r2 S 2C2 R2 0
1
1
(n 1) 0
f'
R2
r1 S1C1 R1 0
r2 S 2C2 R2 0
1
1
1
(n 1) 0 si R1 R2
f'
R1 R2
Convergence des lentilles à bords minces
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/apprendre_ch08_02.html
La vergence est négative pour une lentille à bords épais (divergente) :
r1 S1C1 R1 0
r2 S 2C2 R2 0
1
1
1
(n 1) 0
f'
R1 R2
r1 S1C1 R1 0
r2 S 2C2
1
1
(n 1) 0
f'
R1
Divergence des lentilles à bords épais
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/apprendre_ch08_02.html
Au niveau du grandissement de la lentille, si l’on rappelle que le grandissement du premier
dioptre sphérique de sommet S1 séparant des milieux d’indices n1=n et n2=N (et donnant de
l’objet AB l’image A’B’) est donné par la relation :
1
A ' B ' nS1 A '
AB
N S1 A
et que de la même manière le grandissement du deuxième dioptre sphérique de sommet S2
séparant des milieux d’indices N et n’ (et donnant de l’objet A’B’ l’image finale A’’B’’) est
donné par la formule :
2
A '' B '' N S 2 A ''
A ' B ' n ' S2 A '
On a pour le grandissement de la lentille la formule :
nS A ' N S2 A '' n SA ''
A '' B ''
1. 2 1
comme S2 S1 S si la lentille est mince
n
'
AB
N S1 A n ' S2 A '
SA
Si les milieux extrêmes sont identiques, si l’on note O le point où sont confondus les
sommets des dioptres composant la lentille (le centre optique) et si l’on réappelle A’B’
l’image finale donnée par la lentille de l’objet AB, on obtient la formule du grandissement
pour les lentilles minces :
A ' B ' OA '
AB
OA
8.6 Définition et propriété du centre optique d’une lentille mince
On a déjà dit que le centre optique O d’une lentille mince est confondu avec les sommets S1 et
S2 des dioptres. Au voisinage de l’axe optique, la lentille est équivalente à une lame à face
parallèle.
Une application directe des lois de Descartes de la
réfraction montre que le rayon émergent et le
rayon incident sont parallèles.
De plus, le décalage latéral entre le rayon incident
et le rayon émergent devient négligeable si e est
faible.
Par conséquent, on
l’importante propriété :
peut
en
déduire
Tout rayon passant par le centre optique d’une
lentille mince n’est pas dévié.
8.7 Définition et propriétés des foyers , des distances focales et des plans focaux
Comme on l’a dit, selon la forme de ses faces d'entrée et de sortie (bords minces ou bords
épais) , une lentille sera convergente ou divergente.
Une lentille convergente transforme un faisceau de rayons parallèles (provenant d’un point
objet situé à l’infini sur l’axe optique) en un faisceau qui converge vers un point image réel
situé en aval de la lentille.
Une lentille divergente transforme un faisceau de rayons parallèles (provenant d’un point
objet situé à l’infini sur l’axe optique) en un faisceau divergent qui semble provenir d'un
point image virtuel situé en amont de la lentille.
8.7.1 Lentille convergente
On appelle foyer principal image F′ l'image d'un point objet situé à l'infini sur l’axe : c'est donc
le point où focalisent des rayons qui se propagent parallèlement à l'axe optique.
On appelle foyer principal objet F le point de l’axe dont l'image est située à l'infini : les rayons
issus de ce point se propagent donc, après traversée de la lentille, parallèlement à l'axe
optique.
Pour une lentille à bords minces , les foyers objet F et image F’ sont réels.
Foyer principal image
Foyer principal objet
Remarque : la position des foyers
par rapport à la lentille dépend
du sens de parcours de la
lumière :
Si on choisit le sens gauche droit comme sens de parcours de la lumière, les foyers de la
lentille convergente sont fixés comme suit :
Existence du foyer d’une lentille convergente
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo
_ch08/co/apprendre_ch08_02.html
On appelle distance focale objet f la distance orientée du centre optique O au foyer objet F :
f OF 0
On appelle distance focale image f’ la distance orientée du centre optique O au foyer image F ‘:
f ' OF ' 0
Ces distances sont égales en valeur absolue si les milieux incident et émergents sont les mêmes.
Remarque : on a adopté comme convention de signe que toute distance orientée dans le
sens amont‐aval est positive et que toute distance orientée dans le sens aval‐amont est
négative.
8.7.2 Lentille divergente
Tout rayon incident parallèle à l'axe principal d'une lentille divergente émerge en semblant
provenir du foyer principal image F'.
Tout rayon incident semblant passer par le foyer principal objet F d'une lentille divergente
émerge parallèlement à l'axe principal de cette lentille.
Pour une lentille à bords épais, les foyers objet F et image F’ sont virtuels.
Foyer principal image
Foyer principal objet
Remarque : la position des foyers par
rapport à la lentille dépend du sens
de parcours de la lumière :
Si on choisit le sens gauche droit comme sens de parcours de la lumière, les foyers de la
lentille divergente sont fixés comme suit :
On appelle distance focale objet f la distance orientée du centre optique O au foyer objet F :
f OF 0
On appelle distance focale image f’ la distance orientée du centre optique O au foyer objet F ‘:
f ' OF ' 0
Ces distances sont égales en valeur absolue si les milieux incident et émergents sont les
mêmes.
Remarque : on a adopté comme convention de signe que toute distance orientée dans le sens
amont‐aval est positive et que toute distance orientée dans le sens aval‐amont est négative.
http://www.web‐sciences.com/optique/optique2.php
8.7.3 Plans focaux
On appelle plan focal le plan passant par un foyer et orthogonal à l'axe optique.
Un point situé dans le plan focal (objet ou image) est appelé foyer secondaire (objet ou
image).
Sur les applets ci‐dessous, on constate qu'il existe un unique foyer principal et une infinité de
foyers secondaires.
http://www.web‐sciences.com/optique/optique2.php
Un faisceau issu d'un foyer secondaire objet J
d'une lentille convergente émerge parallèlement
à l'axe secondaire JO.
Un faisceau semblant passer par un foyer
secondaire objet J d'une lentille divergente émerge
parallèlement à l'axe secondaire JO.
Un faisceau parallèle à un axe secondaire J’O
d'une lentille convergente émerge en passant
par le point J', intersection du plan focal image
et de l'axe secondaire.
Un faisceau parallèle à un axe secondaire J'O
d'une lentille divergente émerge en semblant
provenir du point J', intersection du plan focal
image et de l'axe secondaire.
8.8 Rayons remarquables pour les lentilles minces
Les foyers et le centre optique caractérisent complètement la lentille ; ces points permettent
en effet de construire l’émergent d’un rayon quelconque et de calculer la position de l’image
de tout point objet en utilisant des rayons particuliers et les règles suivantes :
un rayon incident passant par le centre optique de la lentille mince
n’est pas dévié ;
un rayon incident dont le prolongement du
support passe par le foyer principal objet ressort
parallèlement à l’axe optique ;
un rayon émergent dont le prolongement du
support passe par le foyer principal image
provient d’un rayon incident parallèle à l’axe
optique.
http://www.web‐sciences.com/optique/optique4.php
8.9 Construction de l’émergent d’un rayon quelconque
Deux méthodes de construction peuvent être envisagées pour tracer le rayon émergent
correspondant à un incident quelconque :
la première méthode consiste à remarquer que tout faisceau issu d'un foyer secondaire
Fs appartenant au plan focal objet émerge en un faisceau de rayons parallèles à l'axe
secondaire FsO
la deuxième méthode utilise le fait qu'un faisceau de lumière parallèle incident sur la
lentille converge en un foyer secondaire image F's appartenant au plan focal image; F's
est l'intersection de l'axe secondaire parallèle au faisceau incident avec le plan focal
image.
d'où les constructions suivantes pour un rayon incident quelconque ;
Méthode 1
On cherche l'intersection du rayon incident avec le plan focal objet Fs ; le rayon émergent
sera parallèle à FsO.
Méthode 2 :
On trace une parallèle au rayon incident passant par le centre optique O qui coupe le plan
focal image en F's; le rayon émerge en passant par le foyer secondaire F's.
Marche d'un rayon dans une lentille convergente
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/simuler_ch08_01.html
Marche d'un rayon dans une lentille divergente
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/simuler_ch08_03.html
Marche d'un faisceau dans une lentille convergente
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/simuler_ch08_02.html
Marche d'un faisceau dans une lentille divergente
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/simuler_ch08_04.html
8.10 Rayons remarquables et images des objets
Expérience : disposons la flamme
d’une bougie au voisinage de l’axe
optique d’une lentille convergente,
assez loin de celle‐ci. Déplaçons un
écran translucide de l’autre côté de la
lentille parallèlement à lui‐même, le
long de l’axe optique de la lentille
(figure 1.28).
Construction de l’image d’un objet par une lentille
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐
nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/construction_lentille.php
Lentille sphérique mince dans les conditions de Gauss
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐
nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/lentille_mince.php
L’application de ces règles permet non
seulement de construire l’image d’un
objet mais aussi de retrouver les formules
de conjugaison et du grandissement.
O
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/o
ptigeo_ch08/co/simuler_ch08_05.html
Les triangles OAB et OA’B’ sont semblables :
OA OB
AB
OA ' OB ' A ' B '
Les triangles F’OP et F’A’B’ sont semblables :
OF '
OP
F 'P
A' F ' A' B ' F ' B '
Mais OP = AB, donc tous ces rapports sont égaux, en particulier :
Décomposons A’F’ par rapport au point O :
Notre relation (*) devient :
OA
OF '
OA ' A ' O OF '
OA OF '
(*)
OA ' A ' F '
A ' F ' A ' O OF '
OA
OF '
OA ' A ' O OF '
Développons :
On effectue les produits en croix :
OA '.OF ' OA. A ' O OF '
On distribue :
OA '.OF ' OA. A ' O OA.OF '
On retourne une distance :
OA '.OF ' OA.OA ' OA.OF '
On change un terme de membre :
OA.OF ' OA '.OF ' OA.OA '
On factorise :
OA.OF ' OA ' OF ' OA
On résout :
On inverse :
On simplifie :
On aboutit à la relation de conjugaison :
OA.OF '
OA '
OF ' OA
1
OF ' OA
OA ' OA.OF '
1
1
1
OA ' OA OF '
1
1
1
OA ' OA OF '
Le grandissement linéaire G de la lentille est par définition le rapport :
G
A' B '
AB
On peut écrire grâce aux similitudes des triangles OAB et OA’B’ :
OA ' A ' B '
G
OA
AB
Remarque : au laboratoire, nous avons mis en évidence cette relation dans le cas de l’objet
réel et de l’image réelle sous la forme :
avec p’=s’= 𝑂𝐴′, p
s
𝑂𝐴 et f’= 𝑂𝐹′
http://subaru.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/lentillemince.html
De la même manière, pour une lentille divergente :
P
http://uel.unisciel.fr/physique/optig
eo/optigeo_ch08/co/simuler_ch08_
06.html
Les triangles OAB et OA’B’ sont semblables :
OA OB
AB
OA ' OB ' A ' B '
Les triangles A’F’B’ et OF’P sont semblables :
OF '
OP
F 'P
A' F ' A' B ' F ' B '
Mais OP = AB, donc tous ces rapports sont égaux, en particulier :
Décomposons A’F’ par rapport au point O :
Notre relation (*) devient :
OA
OF '
OA ' A ' O OF '
OA OF '
(*)
OA ' A ' F '
A ' F ' A ' O OF '
Développons :
OA
OF '
OA ' A ' O OF '
On effectue les produits en croix :
OA '.OF ' OA. A ' O OF '
On distribue :
OA '.OF ' OA. A ' O OA.OF '
On retourne une distance :
OA '.OF ' OA.OA ' OA.OF '
OA.OA '.OF '
En divise par le produit des distances
1
1
1
OA
OF ' OA '
On trouve :
On aboutit à la même relation de conjugaison que pour les lentilles convergentes :
1
1
1
𝑂𝐴′
𝑂𝐴
𝑂𝐹′
Pour le grandissement G, on obtient aussi :
OA '
G
OA
http://subaru.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/lentillemince.html
8.11 Formule de conjugaison de Newton (avec origine aux foyers) pour les lentilles
(convergentes ou divergentes)
Considérons un point A quelconque de l’axe optique et son image A’.
Au départ de la relation de conjugaison :
1
1
1
OA ' OA OF '
OF ' OF
en multipliant les deux membres par la distance focale image
on obtient :
OF ' OF
1
OA ' OA
Tirons de cette équation une expression de la distance focale objet et une expression de la
distance focale image :
OF ' OA
OA
OF OA. 1
.
OA
'
OF
'
.F ' A '
OA '
OA ' OA '
OF OA '
OA '
OF ' OA '. 1
.
OA
OF
.FA
OA
OA OA
Multiplions ces relations membre à membre :
Finalement, on obtient donc :
OF .OF ' F ' A '.FA
FA.F ' A ' OF '.OF OF '
C’est la relation de conjugaison de Newton.
2
OF
2
8.12 Formule de Lagrange‐Helmholtz pour les lentilles
Le rayon AI admet IA' comme rayon conjugué et on peut écrire dans les conditions de Gauss :
soit :
d'où la formule de Lagrange‐Helmholtz :
Le grandissement axial est défini par :
où dp' est le déplacement de l'image correspondant à un déplacement dp très petit de l’objet.
En reprenant la relation de conjugaison :
et en la différentiant on obtient :
d’où :
soit :
Le grandissement axial g est toujours positif. Le point image se déplace toujours dans le même
sens que le point objet lorsque celui‐ci décrit l’axe optique.
Les milieux extrêmes étant identiques, la relation de Lagrange Helmholtz :
implique que le grandissement angulaire =’/ vaut :
AB
1
A' B '
Le produit des grandissements angulaire et linéaire transversal est égal à 1.
8.13 Construction de l’image d’un objet par une lentille convergente
http://streams.univ‐
lyon1.fr/videoStream/streams/lyon1/modules/207d4/web/52a4e/lentilles/Optique.html
http://subaru.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/traceimage.html
http://ressources.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/lentispher.html
Espaces objet et image pour une lentille convergente
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=HGVUVFcyc6o
8.14 Construction de l’image d’un objet par une lentille divergente
Espaces objet et image pour une lentille divergente
8.15 Application à la projection sur un écran
Si l'on veut projeter sur un écran lointain une image très agrandie d'un objet (diapositive ou
pellicule par exemple), il faut utiliser une lentille convergente et positionner l'objet à
proximité du foyer objet, formant ainsi une image proche de l'infini, à une distance D.
On aura donc approximativement :
Exemple : pour projeter sur un écran de 1,5 m une diapositive de 36 mm, il faut donc un
grandissement de :
1,5
42
0, 036
Si l‘écran se trouve à D = 4 m, on doit donc utiliser une lentille de focale :
f '
D
4
0, 096 m 96 mm
42
8.16 Exercices sur les lentilles minces
1. Un photographe désire photographier un sujet de 2m de haut situé à une distance de
300m. Il veut en obtenir sur son film photographique une image de 1cm. Cette image est
inversée. En considérant l’objectif comme une lentille mince, déterminer g le grandissement
transverse, la position p’ de l’image et la distance focale f’ de l’objectif. Quelle est la nature
de l’image ?
2. a)Soit une lentille de distance focale f ’ = +3 cm. On considère un objet perpendiculaire à
l’axe optique de taille 2 cm respectivement à 4 cm et 2 cm en avant du centre optique.
Déterminer graphiquement l’image de l’objet dans chaque cas (échelle 1/1). Même question
avec un objet virtuel situé à 10 cm du centre optique.
b) Soit une lentille de distance focale f ’ = ‐3 cm. Trouver l’image d’un objet réel de taille 2 cm
situé à 5 cm du centre optique. Même question avec un objet virtuel situé à 1,5 cm puis 5 cm
du centre optique.
c) Retrouver les résultats précédents par le calcul algébrique.
3. Une lentille mince dont l’un des faces est plane donne d’un objet réel situé à 1m de son
sommet une image droite deux fois plus petite que l’objet. L’indice de la lentille vaut n=3/2.
A) Calculer la vergence de la lentille.
B) Quelle est la nature de la lentille ? Calculer le rayon de courbure de la seconde face.
4. Un timbre poste est observé à travers une lentille convergente de distance focale +8 cm,
faisant office de loupe. Le timbre de dimensions (3 cm x 2 cm) est situé à 6 cm de la lentille
supposée mince.
a)Déterminer les caractéristiques de l’image (position, nature, grandeur et sens par
rapport à l’objet).
b)Tracer la marche du faisceau lumineux issu d’un point de l’objet et pénétrant dans la
lentille de diamètre 4 cm (échelle ½).
5. Un objet est situé à une distance D d’un écran. Où faut‐il placer une lentille de distance
focale f’ pour que l’image de l’objet se forme sur l’écran ? Quelle est alors la nature de la
lentille et quelle condition sa distance focale doit‐elle vérifier ? Quel est le grandissement pour
chaque position possible de la lentille ? (Rép. : distance lentille‐objet = 0.5(D(D2‐4Df’)1/2);
lentille convergente et telle que D>4f’ ; G = (1‐D/2f’) (D2/4f’2‐D/f’)1/2)
6. Un objet lumineux est situé sur l’axe d’une lentille convergente à 16 cm de celle‐ci. Si on
éloigne l’objet de 2 cm, l’image se déplace de 12 cm. Quelle est la focale de lentille ? (Rép. : 12
cm pour une image réelle; 28,8 cm pour une image virtuelle).
7. Calculer la vergence d’un ménisque divergent, d’indice 1,5 et dont les rayons de courbures
des faces valent 20 et 30 cm. (Rép. : ‐0,83 dioptries).
8. Construire l’image A’B’ d’un objet AB donnée par une lentille convergente de distance
focale OF’ = 3cm. A est sur l’axe optique avec AB = 1cm et OA = 6cm.
Préciser les caractéristiques et la position de cette image par exploitation graphique.
Retrouver OA’ et A’B’ par le calcul.
9. Une lentille mince de distance focale OF’ = 3cm donne d’un objet AB de hauteur AB =
1cm, dont A est placé sur l’axe optique à une distance telle que OA = 2cm, une image A’B’.
Trouver OA’ et A’B’ par le calcul. Quelles sont les caractéristiques de l’image ?
10. Une lentille convergente de distance focale OF’ = 50mm donne d’une tour, de hauteur AB
= 50m, située à une distance de 250 m, une image A’B’ nette sur un écran.
Quelle est la distance lentille‐écran ? Conclure.
Quelle est la taille de l’image de la tour sur l’écran ?
11. Une loupe est assimilable à une lentille mince convergente de vergence égale à 6. Pour
voir des caractères quatre fois plus grands que ceux du texte, à quelle distance de la
feuille l’observateur doit‐il placer la loupe.
a. 4,0 cm ;
b. 12,5 cm ;
c. 6,0 cm ;
d. 24,0 cm ?
9 Association de deux lentilles minces
Considérons deux lentilles minces, de même axe, dont les centres optiques S1 et S2 sont
séparés par un écartement e. Appelons interstice la distance orientée joignant le foyer
image de la première lentille au foyer objet de la seconde lentille :
F '1 F2 F '1 S1 S1S2 S2 F2
S1S 2 S1 F '1 S 2 F '2 e f '1 f '2
Le foyer image F’ de l’ensemble est l’image de F’1 formée par la seconde lentille, donc on
peut écrire, d’après la relation de Newton appliquée à la lentille 2 :
F2 F '1.F '2 F ' f '2 2
De la même manière, le foyer objet F de l’ensemble a pour image par la première lentille
le foyer objet F2 de la seconde lentille, donc on peut écrire, grâce à la relation de Newton
appliquée à la première lentille :
F1 F .F '1 F2 f '12
On tire donc de ces relations :
et :
f '2 2
f '2 2
F '2 F '
F2 F '1
(1)
f '12
f '12
F1 F
(2)
F '1 F2
D’autre part, F’2 est l’image par la deuxième lentille du point à l’infini sur l’axe, qui est
lui‐même l’image de F1 par la première lentille.
F1 a donc F’2 pour image par l’ensemble des lentilles (cf. schéma), et on peut appliquer
une troisième fois la relation de Newton, à l’ensemble du système cette fois :
FF1.F ' F '2 f '2
On tire de ces trois relations l’égalité :
Des deux solutions possibles :
(3)
f '12 f '2 2
f'
2
2
f '
f '1 f '2
f '1 f '2
e f '1 f '2
seule celle correspondant au signe – est valable car il est clair que quand les lentilles
sont collées (e=0), les convergences des deux lentilles s’ajoutent simplement. De plus, il
faut que f’f’1 si f’2 ou que f’f’2 si f’1.
La relation finale est donc :
1
1
1
e
f'
f '1 f '2 f '1 f '2 f '1 f '2
Doublet de lentilles minces
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐
nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/doublet.php
http://ressources.univ‐lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/doublet.html
Triplet de lentilles minces
Fichier en local
http://www.sciences.univ‐nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/optiqueGeo/lentilles/triplet.php
10 Théorie des systèmes centrés
10.1 Définitions et conditions de Gauss
Un système centré est un ensemble de milieux transparents homogènes et isotropes séparés
par des dioptres présentant un axe de révolution commun : l'axe principal ou axe optique.
On peut distinguer deux sortes de systèmes centrés : les systèmes dioptriques que la lumière
traverse de bout en bout par réfraction successive et les systèmes catadioptriques qui
comportent un ou plusieurs dioptres réfléchissant et des dioptres réfractant et dans lequel la
lumière sort par la face d'entrée.
Sauf cas très particulier un tel système ne permet pas de réaliser le stigmatisme rigoureux : on
cherche donc le stigmatisme approché en se plaçant dans les conditions de l’approximation de
Gauss. La position des images est alors celle de l'imagerie paraxiale, même si les angles
d'incidence sur les surfaces optiques sont bien au‐delà de l'approximation paraxiale.
Si ces conditions sont satisfaites, à un point objet correspond un point image (stigmatisme) ;
de plus, un élément d’un plan de front admet une autre portion d’un autre plan de front
comme image à travers le système (aplanétisme) : les deux plans sont des plans conjugués.
10.2 Système centré vu comme association de surfaces dioptriques : grandissements et
relation de Lagrange‐Helmholtz
Le premier dioptre donne du petit objet (AB) perpendiculaire à l’axe l’image paraxiale (A1B1)
telle que A1B1=1AB. Le deuxième dioptre donne de (A1B1) l’image (A2B2) perpendiculaire à
l’axe en A2 telle que et ainsi de suite pour le jème dioptre :
j
Aj B j
Aj 1 B j 1
Le dernier dioptre fournit l’image définitive (A’B’) perpendiculaire à l’axe en A’. Compte tenu
des propriétés des dioptres, ces images sont semblables deux à deux.
L’image d’un petit objet plan perpendiculaire à l’axe est plane, perpendiculaire à l’axe, et
semblable à l’objet, le rapport de similitude étant tel que :
A ' B ' 1. 2 . 3 ... m AB AB
Ce rapport est le grandissement linéaire transversal du système ; il est donc égal au
produit des grandissements transversaux successifs des dioptres.
Les surfaces dioptriques du système séparent des milieux successifs dont les indices sont n,
n1, n2, …, n’. Le support d’un rayon incident passant par le pied A de l’objet (AB) fait avec l’axe
optique un angle orienté u. Les rayons réfractés successifs présentent sur l’axe optique les
inclinaisons u1, u2, … et le rayon émergent passant par A’ (image de A) est incliné sur l’axe de
l’angle orienté u’.
La relation de Lagrange‐Helmholtz est vérifiée pour tout couple de points conjugués sur l’axe,
dans l’approximation de Gauss (les angles ui sont petits). Elle peut être appliquée de proche
en proche ; la quantité n.AB.u est invariante à la traversée de chaque dioptre. En appliquant
ce résultat pour tout le système, on obtient :
n. AB.u n1. A1 B1.u1 n2 . A2 B2 .u2 ... n '. A ' B '.u '
Cette relation conduit, comme pour un dioptre unique à :
n. AB.u n '. A ' B '.u '
La symétrie de cette expression traduit la réciprocité des rôles joués par l’objet et l’image et
montre que le trajet suivi par la lumière est indépendant du sens de parcours (principe de
retour inverse de la lumière).
Avec d’autres notations, plus simples, pour chaque dioptre nous avons :
Par conséquent, pour tout système optique S, pour tout objet AB de dimension y ayant pour
image dans S A'B' de dimension y', et un rayon lumineux partant de A faisant l'angle avec
l'axe, arrivant en A' sous l'angle ’, nous avons :
Le rapport de convergence ou grandissement angulaire est le rapport des angles
d’inclinaison des rayons sur l’axe :
u1 u2 u3
u' u'
. . ...
u u1 u2 u p 1 u
soit, compte tenu de la relation précédente :
u'
n. AB
n
donc .
u n '. A ' B '
n'
Le produit des grandissements transversal et angulaire est constant et égal au rapport de
l’indice du milieu d’incidence à celui du milieu d’émergence.
10.3 éléments cardinaux des systèmes dioptriques
Un système centré est caractérisé en pratique par ses éléments cardinaux : les foyers, les plans
et les points principaux, les plans et les points nodaux.
Ce sont des points, des droites et des plans possédant des propriétés particulières, et définis
seulement dans le domaine de l’optique paraxiale.
La connaissance de la position de ces éléments suffit à la détermination de la position et de la
grandeur des images en partant d'objets donnés.
Notamment quatre éléments cardinaux : F et F' (respectivement foyer objet et foyer image) et
H et H' (respectivement points principaux objet et image), permettant de définir les distances
focales et de construire les images.
10.4 Foyers et plans focaux
On appelle foyer tout point conjugué d’un point à l’infini. Si le conjugué est à l’infini dans la
direction de l’axe, le foyer est principal, sinon, il est secondaire.
Le lieu géométrique des points dont les conjugués paraxiaux sont rejetés à l’infini est un plan
focal.
L'image d'un point à l'infini sur l'axe est le foyer principal image F´ (tout rayon conjugué d'un
rayon parallèle à l'axe passe par F´).
De même, le foyer principal objet F a pour image le point à l'infini sur l'axe (tout rayon incident
passant par F émerge parallèlement à l'axe).
Le plan focal objet (PFO) est le lieu géométrique des foyers objets secondaires et le plan focal
image (PFI) est le lieu géométrique des foyers images secondaires.
La correspondance entre un point objet et son image étant unique dans le système centré, le
foyer conjugué à un point à l’infini est unique quand il existe.
De par leurs définitions, les points foyers objet et image ne sont pas des points conjugués l’un
de l’autre.
10.5 Points et plans principaux
Un troisième couple de points conjugués de l’axe est défini en imposant une valeur au
grandissement (transversal ou angulaire).
En effet, à chaque valeur du grandissement transversal, il correspond un seul couple de plans
de front conjugués.
Il est donc possible de choisir une valeur particulière de et de déterminer le couple de plans
particuliers associés à cette valeur. On choisit généralement le couple de plans pour lequel le
grandissement transversal vaut = +1 : ce sont les plans principaux, tels que A’B’=AB.
On appelle plan principal objet et plan principal image deux plans de front conjugués pour
lesquels le grandissement transversal est égal à +1.
Leurs intersections avec l’axe principal sont respectivement le point principal objet H et le
point principal image H ’.
10.5.1 Existence des plans principaux
Si un rayon incident est parallèle à l’axe optique, le support du rayon émergent correspondant
rencontre celui de l’incident en I’. Lorsque le rayon incident s’éloigne de l’axe en lui restant
parallèle, le point I’ décrit une surface [’] ; par suite de la symétrie de révolution du système
et du faisceau incident, [’] est une surface de révolution.
Pour rester dans les conditions de Gauss, le faisceau incident doit être suffisamment
diaphragmé ; les supports de tous les rayons émergents passent approximativement par le
foyer principal image F’ et la portion de surface [’] peut être confondue avec un élément de
plan de front [P’].
De même, des rayons sortants parallèles à l’axe du système optique ont des supports qui
rencontrent des rayons incidents conjugués en des points appartenant à une surface de
révolution [] réductible, dans l’approximation de Gauss à un élément de plan de front [P].
La figure représente la marche de trois rayons (R1), (R2) et (R3). Supposons que l’on connaisse
l’émergent d’un rayon parallèle à l’axe, comme (R1) et les incidents (R2) et (R3) de rayons
émergents parallèles à l’axe.
Le rayon (R1) de support parallèle à l’axe est conjugué à un rayon émergent, supposé connu,
dont le support passe par le foyer principal image F’.
Les supports des deux rayons incident (R1) et son émergent passant par le foyer F’ se coupent
en un point I’.
Les rayons incidents (R2) et (R3) dont les supports passent par le foyer principal objet F donnent
des rayons émergents parallèles à l’axe optique, supposés connus aussi.
Les supports des deux rayons incidents (R2) et (R3) et émergents parallèles à l’axe se coupent
en un point J pour (R2) ou I pour (R3).
Si (R1) est le rayon parallèle à l’axe dont le support passe par I, les supports des deux rayons
incidents (R1) et (R3) se coupent donc au point I ; l’image de ce point I doit donc appartenir aux
supports des rayons émergents correspondant à (R1) et (R3), et est donc le point I’.
Ces deux points sont donc conjugués puisque deux rayons incidents dont les supports passant
par I donnent des rayons émergents dont les supports passent par I’.
Par conséquent :
I’ est le point image du point objet I dans le système ;
les plans de front [P] et [P’] passant respectivement par I et par I’, perpendiculaires à l’axe en
H et en H’, sont deux plans conjugués tels que HI=H’I’, donc le grandissement transversal vaut
=+1. Les plans [P] et [P’] forment donc un couple de plans principaux, et H et H’ sont les points
principaux (Hauptpunkte selon Gauss).
10.5.2 Unicité des plans principaux
Ce couple de plans ou de points est unique. En effet, pour un autre couple de plans de front
[Q] et [Q’] qui répondraient à la définition des plans principaux, les points Q et Q’, intersection
avec l’axe optique doivent être conjugués, le grandissement pour ces plans doit être de =+1.
Le support du rayon (R1), parallèle à l’axe couperait en J et en J’ respectivement les plans [Q]
et [Q’].
Par hypothèse, J’ serait l’image de J, donc J’ devrait appartenir au rayon émergent
correspondant à (R1). Mais à un rayon incident ne peut correspondre qu’un seul rayon
émergent ; par conséquent, J’ coïncide avec I’. Il en résulte que [Q’] coïncide avec [P’]. À un
plan image ne peut correspondre qu’un plan objet, donc [Q] coïncide avec [P].
En conclusion, un système dioptrique à foyers possède un couple et un seul, de plans
principaux [P] et [P’], un unique couple de points principaux H et H’ tels que HH’=+1.
10.5.3 Propriété importante des plans principaux
Il résulte de ce qui précède l’importante propriété suivante, qui permet de déterminer
facilement la position des plans et points principaux objet et image :
Le plan principal image [P’] est le lieu géométrique des points d’intersection des
supports des rayons incidents parallèles à l’axe avec les supports des rayons émergents
correspondant qui passent par le foyer image F’.
Le plan principal objet [P] est le lieu géométrique des points d’intersection des supports
des rayons émergents parallèles à l’axe avec les supports des rayons incidents
correspondants qui passent par le foyer objet F.
Comment déterminer graphiquement les éléments cardinaux d'un système réduit ?
https://www.youtube.com/watch?v=hSvX96txh6U
Points et plans principaux d’un objectif photographique
10.5.4 Résumé : propriétés des points principaux H et H’ :
Les points principaux et les plans principaux sont conjugués.
Tout rayon objet issu du foyer objet coupant le plan principal objet à une certaine hauteur
ressort du plan principal image parallèlement à l’axe optique et à la même distance de l’axe
optique.
Tout rayon image passant par le foyer image coupant le plan principal image a une
certaine hauteur provient d’un rayon parallèle à l’axe optique coupant le plan principal objet
à la même distance de l’axe optique.
Dans le cas de la lentille mince, les plans principaux sont confondus avec le
plan de la lentille
10.5.5 Points et plans antiprincipaux
Les plans antiprincipaux sont des plans de front conjugués tels que le grandissement
transversal est de =‐1. Leurs intersections avec l’axe sont les points antiprincipaux, notés et
’.
Compte tenu de cette définition, l’expression du grandissement transversal conduit à :
FH F ' H '
1 donc F FH et F ' ' F ' H '
F
F ' '
Les points antiprincipaux objet et image sont respectivement symétriques des points
principaux par rapport aux foyers.
Dans le cas de la lentille mince, les plans anti principaux correspondent à
cette configuration (reproduction grandeur nature)
10.6 Distances focales
On appelle distance focale image du système centré la distance entre le plan principal image
et le foyer image, c’est‐à‐dire :
f ' H 'F '
On appelle distance focale objet du système centré la distance entre le plan principal objet et
le foyer objet , c’est‐à‐dire :
f HF
10.6.1 Rapport des distances focales
À l’objet (HI) du plan principal objet correspond l’image (H’I’) telle que H’I’=HI. Au rayon
incident parallèle à l’axe et dont le support passe par I, il correspond le rayon émergent dont
le support est (I’F’). Le rayon incident précédent rencontre le plan focal objet au foyer
secondaire objet dont l’image est à l’infini dans la direction de (I’F’) comme le décrit la
figure ci‐dessous. Un rayon émergent parallèle à (I’F’) et dont le support passe par H’
correspond au rayon incident de support (H).
La relation de Lagrange‐Helmholtz appliquée à (HI) et à (H’I’) donne :
n.HI .u n '.H ' I '.u ' avec HI H ' I ' donc n.u n '.u '
Les angles u et u’ étant petits, u tan u et u’ tan u’ et on obtient :
u
Finalement :
F
H 'I '
n' u F 'H '
H 'F '
et u '
donc
n u'
HF
F 'H '
HF
HF
H 'F ' f '
n'
f
n
HF
Le rapport des distances focales d’un système centré est égal au rapport changé de signe des
indices des milieux extrêmes : les distances focales sont donc toujours de signe opposé.
Toutes les dispositions des quatre points importants (H, H’, F et F’) dits points cardinaux
peuvent être rencontrées, mais dans tous les cas, la relation précédente doit être satisfaite.
Notons que si les milieux extrêmes sont identiques, les distances focales sont égales en
𝐻𝐹 si n = n’.
valeur absolue mais de signe opposé : 𝐻 𝐹′
10.6.2 Vergence d’un système centré : convergence et divergence
Le sens positif choisi sur l’axe optique étant le sens de propagation de la lumière, la vergence
du système centré est la quantité algébrique :
V
n'
n
H 'F '
HF
Pour un système centré à foyers, deux possibilités se présentent :
le système est convergent si la vergence est positive : V > 0 donc f’ > 0 ;
le système est divergent si la vergence est négative : V < 0 donc f’ < 0.
10.7 Constructions géométriques
Un système centré est bien défini lorsque les points principaux conjugués H et H’ et les foyers F
et F’ sont connus. Leur connaissance permet de construire la marche de rayons lumineux et les
images.
10.7.1 Construction géométrique de la marche d’un rayon lumineux
La méthode pour construire la marche d’un rayon lumineux est la même que le système
centré soit convergent (figure 6.12) ou divergent (figure 6.13). On peut utiliser un foyer
secondaire objet ou un foyer secondaire image.
Le support du rayon incident (RA) provenant d’un point A de l’axe optique, incliné d’un angle u
sur cet axe, rencontre le plan principal objet au point I. Le support du rayon émergent passe
par le point I’ conjugué de I et appartenant au plan principal image : HI = H’I’. Il faut trouver
l’image d’un second point du rayon (RA) pour tracer l’émergent. Pour cela, on peut utiliser
l’une des deux possibilités suivantes.
Première possibilité : utiliser un rayon incident passant par F.
On trace le rayon incident (R1) passant par le foyer principal objet F et parallèle au rayon
donné (RA). Le support de ce rayon coupe le plan principal objet en K ; le rayon émergent
correspondant est parallèle à l’axe et passe par K’, image de K dans PPI et donc situé à la
même hauteur que K, et rencontre le plan focal image en un point foyer image secondaire ’.
Tous les rayons parallèles à R1 (et donc RA) ont un conjugué qui passe par ’. L’émergent
cherché, conjugué du rayon incident (RA) passe donc par ’ et on peut terminer la
construction.
Deuxième possibilité : utiliser un rayon parallèle à l’axe
Le rayon donné (RA) coupe le plan focal objet en un point foyer objet secondaire . Soit (R2) un
rayon incident parallèle à l’axe passant par ce foyer objet secondaire. Le support de ce rayon
rencontre le plan principal objet en J et a pour image un rayon passant par l’image J’ de J
située dans PPI à la même hauteur que J. Le rayon conjugué de (R2) passe en plus par le foyer
principal image F’ et on peut donc le tracer. Les deux rayons émergents, conjugués de (RA) et
de (R2) doivent être parallèles puisque ces rayons passent par un foyer secondaire dont
l’image est à l’infini, ce qui permet de tracer le conjugué de (RA).
Un seul de ces deux tracés suffit pour déterminer l’image A’ d’un point objet A de l’axe.
10.7.2 Construction de l’image d’un petit objet plan
Considérons un système optique, ses foyers F et F', ses points principaux H et H', ses plans
principaux P et P', un objet AB de dimension y. Pour construire l'image B' de B faisons partir
de B deux rayons lumineux.
Rayon 1 (rouge) : parallèle à l'axe, coupe P en I. Le rayon image passe par I’ (car I’ est
l’image de I) et F’ (car incident parallèle à l'axe), nous avons :
Rayon 2 (bleu) : passe par F, coupe P en J. Le rayon image passe par J’ (car J’ est l’image de
J) et sort parallèle à l'axe (car issu de F), nous avons :
Ces rayons se recoupent en B', image de B. Le stigmatisme paraxial entraîne que tout autre
rayon issu de B traversant le système optique passe par B'.
B' est parfaitement défini par la position de l'objet B et la position des 4 points (H, H', F, F'). Le
système optique est parfaitement défini par les points cardinaux (H, H', F, F'). Le point A',
image de A, est sur la perpendiculaire abaissée de B' sur l’axe (propriété d’aplanétisme).
10.8 Relations de conjugaison et de grandissement des systèmes centrés
10.8.1 Origine double aux foyers objet F et image F’
Le support d’un rayon incident
parallèle à l’axe optique et
passant par B (sommet de
l’objet) rencontre les plans
principaux objet et image
respectivement en I et I’.
L’émergent correspondant passe
par le foyer principal image F’.
Le support d’un second rayon incident passant par B et par le foyer principal objet F
rencontre les plans principaux objet et image respectivement en J et J’. Il émerge du système
parallèlement à l’axe et rencontre le premier rayon en B’.
Avec les notations de la figure, l’homothétie des triangles (FAB) et (FHJ) d’une part, et celle
des triangles (F’H’I’) et (F’A’B’) d’autre part donnent :
HJ FH
A' B ' F ' A'
et
AB FA
H 'I ' F 'H '
Et on obtient donc pour le grandissement transversal les expressions :
A ' B ' F ' A ' FH
AB
F ' H ' FA
La relation de conjugaison de Newton se déduit de l’expression du grandissement
précédente :
FA.F ' A ' FH .F ' H ' f . f ' f . f ' 0
10.8.2 Origine double aux points principaux
Avec les notations de la figure précédente, l’homothétie des triangles (BIJ) et (FHJ) d’une
part, celle des triangles (F’H’I’) et (B’I’J’) d’autre part, conduisent à :
HF JH
HF JH
H 'F ' I 'H '
H ' F ' HI
soit
et
soit
IB
JI
HA JI
J 'B' I 'J '
H ' A ' JI
L’addition membre à membre de ces deux relations conduit à :
HF H ' F ' JH HI JI
1
HA H ' A '
JI
JI
En multipliant les deux membres de cette équation par la vergence, on obtient :
HF n
H 'F '
n'
n'
n
.
.
HA HF H ' A ' H ' F ' H ' F ' HF
La formule de conjugaison avec origine double aux plans principaux du système centré dans
l’approximation de Gauss est donc :
ou encore :
HF H ' F '
n
n'
n'
n
HA
H ' A'
H 'F '
HF
HA
H ' A'
1
Comme dans les instruments les milieux extrêmes sont souvent identiques n=n’ (le système
étant baigné dans l’air), la formule de conjugaison se simplifie en :
1
1
1
1
HA H ' A '
H ' F ' HF
Ces formules sont analogues à celles du dioptre mais le sommet S s’est dédoublé en H et H’.
La formule de conjugaison précédente permet d’obtenir une nouvelle expression pour le
grandissement linéaire transversal :
n
n'
n
HA H ' A ' HF
Donc :
n
n
n'
HA HF H ' A '
nHF nHA
n'
HAHF
H ' A'
n FH HA
n'
H ' A'
HAFH
n FA
n'
.
HA FH H ' A '
Soit :
n 1
n'
HA H ' A '
On en déduit la nouvelle expression du grandissement transversal :
A' B ' n H ' A'
n ' HA
AB
Le rapport de convergence ou grandissement angulaire (qui est le rapport des
inclinaisons sur l’axe du rayon émergent passant par le point image A’ et du rayon incident
correspondant passant par A) vaut, compte tenu de la relation de Lagrange‐Helmholtz :
u ' n AB
n 1
puisque
u n ' A' B '
n'
10.9 Dimension de l'image d'un objet non ponctuel à l'infini
Un objet AB de dimension θ à l'infini a une image F'B' dans le plan focal image dont la
dimension est :
10.10 Résumé : formules de conjugaison et du grandissement des systèmes centrés à foyers
Connaissant les caractéristiques d'un système optique centré, à savoir les positions de ses
foyers et de ses points principaux (points cardinaux), on peut déterminer l'image d'un
objet AB soit par le calcul, soit graphiquement :
En effet, on démontre que les positions de A et de A´ sont liées par la formule de
conjugaison :
1
1
1
H ' A'
HA
H 'F '
Le grandissement du système est quant à lui donné par :
La formule de conjugaison de Newton quant à elle devient :
G
A' B ' H ' A'
AB
HA
FA.F ' A ' H ' F '.HF
Remarque : cette dernière relation montre bien que H et H’ sont conjugués.
Pour comprendre ces relations, on
peut partir de la correspondance
objet‐image dans une lentille mince et
découper par la pensée le système en
passant par le milieu de la lentille, en
écartant l'espace objet de l'espace
image d'une certaine distance sans
modifier le tracé des rayons en entrée
et en sortie.
10.11 Points nodaux
10.11.1 Définitions
Ces points ne sont pas indispensables pour définir un système centré, mais ils sont souvent
très utiles.
Les points nodaux d’un système centré à foyers sont deux points conjugués de l’axe pour
lesquels le rapport de convergence ou grandissement angulaire (NN’) vaut +1, donc le
grandissement linéaire transverse vaut (NN’) = n/n’, donc u = u’. Si n=n’, on voit que les
points nodaux sont confondus avec les points principaux (puisque (NN’) =1).
Si N est le point nodal objet et N’ son conjugué, le point nodal image, tout rayon incident dont
le support passe par le plan nodal objet N fournit un rayon émergent qui lui est parallèle et
passe par le point nodal image N’.
10.11.2 Existence et unicité des points nodaux
Si le support d’un rayon incident parallèle à l’axe rencontre le plan focal objet en un point B, le
plan principal objet en I, le rayon émergent (I’F’) passe par le point I’ du plan image (HI=H’I’) et
par le foyer image F’ (propriété des plans principaux et des foyers).
À un rayon incident (BN) de support parallèle à (I’F’) (et qui définit la position du point N,
intersection de l’axe avec la parallèle à I’F’ menée par B) correspond un rayon émergent
(N’B’) parallèle à (I’F’) car B est un foyer secondaire.
Le couple de points N et N’ est tel qu’un rayon particulier (BN) donne un émergent (B’N’)
parallèle à (BN).
Ces points ne dépendent pas du rayon incident (BN), c’est‐à‐dire de la position de B dans le
plan focal objet. En effet, les triangles (BFN) et (I’H’F’) sont toujours égaux et semblablement
orientés, donc :
FN H ' F '
Par conséquent, le point N est fixé indépendamment de la direction de l’incident (BN) choisi. Il
en est de même de son conjugué N’ et on a :
F ' N ' HF
En supposant qu’une autre méthode de construction donne un autre couple de points nodaux,
deux rayons incidents parallèles, l’un passant par M et l’autre par N, donneraient deux rayons
émergents parallèles passant par M’ et N’. Le système serait alors afocal, ce qui est
contradictoire.
10.11.3 Interstice du système optique centré
Un système optique focal possède toujours un couple unique de points nodaux positionnés
par rapport aux points focaux par :
FN H ' F ' et F ' N ' HF
On peut écrire :
HN HF FN et H ' N ' H ' F ' F ' N '
HN HF FN HF H ' F ' f f '
On obtient donc :
H 'N ' H 'F ' F 'N ' f f '
Comme :
On a :
NN ' NF FH HH ' H ' N '
NN ' HH ' H ' F ' FN F ' N ' HF HH ' 0 0 HH '
La distance entre les points nodaux est donc égale à la distance entre les points principaux :
c’est une caractéristique du système optique centré, appelé l’interstice :
NN ' HH '
Cas particulier important
Lorsque les milieux extrêmes sont identiques (n=n’), la relation de Lagrange‐Helmholtz
conduit à :
N H et N ' H '
Les points nodaux et les points principaux sont confondus.
10.11.4 Propriétés des points nodaux
Les points nodaux N et N' sont deux points conjugués de l'axe optique.
En effet, par définition des points nodaux :
FN .F ' N ' H ' F '.HF
qui n’est autre que la relation de conjugaison de Newton avec A=N et A’=N’.
Les points nodaux sont tels qu'à tout rayon incident passant par N corresponde un rayon
émergent passant par N' , parallèle au rayon incident.
En effet, sur la figure précédente ou la figure ci‐dessous, on a :
C
C’
HC H ' C '
HN H ' N ' f f '
donc les triangles CHN et C’H’N’
sont semblables et les rayons CN
et C’N’ sont parallèles.
Remarque : pour les systèmes optiques à milieux d'entrée et de sortie identiques (par exemple
dans l'air) les points nodaux sont confondus avec les points principaux, soit N=H, N'=H'.
10.11.5 Résumé
Il existe deux points de l’axe optique, N (point nodal objet) et N’ son conjugué (point nodal
image) tels que tout rayon incident dont le support passe par le plan nodal objet N fournit
un rayon émergent qui lui est parallèle et passe par le point nodal image N’.
On démontre que le point nodal objet N est un point de l’axe optique situé à une distance
égale à la distance focale image du foyer objet F :
FN H ' F ' f '
De la même manière, le point nodal image N’ est un point de l’axe optique situé à une
distance égale à la distance focale objet du foyer image F’ :
F ' N ' HF f
Les points nodaux sont confondus avec les points principaux si les milieux extrêmes sont
identiques.
C
C’
10.12 Constructions à l'aide des trois rayons remarquables
On considère toujours un objet AB avec A sur l'axe optique et B en dehors, son image associée
sera A’B’ et se détermine à l’aide de deux rayons remarquables, utilisant les propriétés des
plans principaux et des foyers.
Pour diminuer les risques d'erreur, il est préférable de tracer les trois rayons remarquables
suivants :
Le rayon issu du point B parallèle à l'axe optique émerge à partir du plan principal image
à la même hauteur, en passant par le foyer image F'.
Le rayon issu de B passant par le foyer objet F émerge parallèlement à
l'axe optique, à partir du point du plan principal image situé à la même
hauteur que l'intersection du rayon incident avec le plan principal objet.
Le rayon issu de B passant par le point nodal N ressort parallèlement à
lui‐même à partir du point nodal N'.
Exemples de constructions :
L’image est virtuelle.
L’image est virtuelle.
10.13 Points antinodaux
Les points antinodaux sont des points conjugués de l’axe optique, notés et ’ pour lesquels le
rapport de convergence est =‐1 soit :
u' n 1
1
u n'
donc :
n FH
F ' '
n ' F F ' H '
d’où on déduit :
F
et :
F ' '
n'
FH F ' H ' FN
n
n
F ' H ' FH F ' N '
n'
Les points antinodaux objet et image sont respectivement les symétriques des points nodaux
objet et image par rapport aux foyers correspondants.
11 Lentilles sphériques épaisses
Une lentille épaisse est formée par l’association de deux dioptres sphériques ou un dioptre
sphérique et un dioptre plan. La distance e=S1S2 des sommets des deux dioptres sphériques
n’est pas négligeable par rapport aux rayons de courbures.
Le stigmatisme approché est réalisé dans les conditions de gauss, supposées satisfaites dans
la suite.
11.1 Centre optique d’une lentille à milieux extrêmes identiques
Lorsque les milieux extrêmes sont identiques, la connaissance du centre optique facilite
beaucoup l’étude du système optique.
11.1.1 Définition
Le centre optique d’une lentille épaisse est un point de son axe principal tel que tout rayon
passant par ce point émerge parallèlement à sa direction incidente, plus précisément :
Le centre optique O d'une lentille est défini comme le point de l'axe « appartenant » au milieu
d'indice n tel qu'à tout rayon intérieur dont le support passe par O correspondent un incident
et un émergent parallèles entre eux.
Remarque :
le point O « appartient » toujours au milieu d'indice n mais ceci n'implique pas qu'il soit
obligatoirement situé entre S1 et S2.
Déviation d’un rayon lumineux passant par le centre optique d’une
lentille convergente ou divergente
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch08/co/apprendre_ch08_01.html
Pour déterminer O, on considère une normale arbitraire C1I1 au dioptre d'entrée et la
normale C2I2, au dioptre de sortie, qui lui est parallèle.
Suivant la loi de Descartes l'incident SI1 et l'émergent I2R qui correspondent au rayon intérieur
I1I2 sont parallèles entre eux. Le support de I1I2 coupe l'axe qui joint les centres C1 et C2 des
deux faces de la lentille, c'est‐à‐dire l'axe principal, au point O conformément à la définition
du centre optique.
Les triangles OC1I1 et OC2I2 sont semblables puisque tous leurs angles sont égaux. On en
déduit :
d'où :
ou, de même :
ce qui fixe la position de O par rapport aux sommets des dioptres qui limitent la lentille.
11.1.2 Existence et unicité du centre optique
Pour que le rayon incident (A1I1), passant par un point quelconque I1 de la face d’entrée, autre
que le sommet S1, émerge selon une direction parallèle (I2A2), il faut et il suffit que les plans
tangents en I1 et I2 aux faces respectives de la lentille soient parallèles. Les normales à ces
plans (C1I1) et (C2I2) sont alors parallèles. Le rayon intermédiaire (I1I2), intérieur à la lentille
épaisse, coupe l’axe en un point O. Pour ce rayon lumineux, la lentille joue le rôle d’une lame
à faces parallèles.
Si cette condition est réalisée, le point d’intersection O de l’axe et du segment de droite (I1I2)
est le centre optique.
Compte tenu du parallélisme (C1I1) et (C2I2), on peut écrire :
OC1 I1C1 S1C1
OC2 I 2C2 S2C2
Le point O partage donc le segment (C1C2) dans un rapport algébrique déterminé. Le point O
ainsi obtenu (intersection de (I1I2) avec l’axe) est indépendant du point I1 particulier choisi, il
est donc unique et fixe.
11.1.3 Position du centre optique par rapport aux sommets
En transformant le rapport précédent, fixant la position du centre optique O, on obtient :
Soit :
OC1 S1C1 OC1 S1C1 OC1 S1C1
OC2 S 2C2 OC1 S1C1 OC1 S1C1
OS1 C1S1 C1O
OS 2 C2 S 2 C2O
D’après cette relation, le point O divise le segment (S1S2) dans le rapport algébrique des rayons
de courbure de la face d’entrée et de la face de sortie :
S1O S 2O
S1S2
(*)
S1C1 S 2C2 S1C1 S2C2
Le centre optique est rejeté à l’infini si les rayons de courbure sont égaux : S1C1=S2C2.
Les schémas suivants précisent la position du centre optique pour les six types de lentilles :
si la lentille est symétrique, le centre optique O est le centre de symétrie ;
si la lentille n’est pas symétrique, le centre optique O est plus rapproché de la face la plus
courbe (de plus petit rayon de courbure) ;
si une des deux faces est plane, O est au sommet de la face courbe ;
dans le cas des ménisques, le centre optique est extérieur au segment (S1S2).
11.2 Éléments cardinaux d’une lentille épaisse
11.2.1 Points nodaux et points principaux
Si un rayon incident (A1I1) donne un rayon (I1I2) intérieur à la lentille passant par le centre
optique, le rayon émergent (I2A2) lui est parallèle (cf. figures précédentes). Les intersections
respectives avec l’axe sont donc les points nodaux objet N et image N’ : N admet O comme
image par le premier dioptre et N’ est l’image de O par le second dioptre (et O appartient
optiquement au verre de la lentille).
On a donc, en utilisant la relation de conjugaison du dioptre sphérique :
D’où, en utilisant (*) :
on obtient :
1
n
1 n
S1 N S1O S1C1
n S1C1 S 2C2
n 1
1
S1 N
S1S2 .S1C1
S1C1
S1 N
On obtient pareillement :
S1S2 .S1C1
n S1C1 S2C2 S1S2 n 1
S2 N '
S1S2 .S2C2
n S1C1 S 2C2 S1S 2 n 1
Comme les milieux extrêmes sont identiques, les points principaux objet et image sont
respectivement confondus avec les points nodaux N et N’.
La distance entre les points nodaux ou les points principaux (interstice) est :
S1C1 S 2C2
NN ' S1S2
1 HH '
n S1C1 S2C2 S1S 2 n 1
En conclusion, le centre optique de la lentille O a pour conjugués, à travers les deux dioptres,
les points nodaux de la lentille, confondus avec les points principaux.
11.2.2 Foyers, vergence et distances focales
Les foyers principaux images du dioptre {S1}, du dioptre {S2} et de la lentille sont notés F’1, F’2
et F’.
Par définition, le foyer image F’ est le point dont le conjugué objet est à l’infini ; ce point objet
à l’infini a pour conjugué dans le premier dioptre le foyer image F’1 de ce dioptre. La
transformation de conjugaison transcrite en appliquant la relation de Newton conduit à :
{ S1 }
{ S2 }
A
F '1
F ' soit F2 F '1.F '2 F ' f 2 . f '2
(1, n )
( n ,1)
On en déduit :
où est l’intervalle optique :
F '2 F '
f 2 . f '2 f 2 . f '2
F2 F '1
F '1 F2 F '1 S1 S1S2 S 2 F2 f 2 e f '1
avec (cf. étude du dioptre sphérique):
S1 F '1
n.S1C1
n.S 2C2
et S 2 F2
n 1
n 1
Par définition, le foyer objet F est le point dont le conjugué image est à l’infini. La
transformation optique est :
{ S1 }
{ S2 }
F
F2
A ' soit F1 F .F '1 F2 f1. f '1
(1, n )
( n ,1)
d’où :
F1 F
f1. f '1 f1. f '1
F '1 F2
Les vergences des deux dioptres étant :
1
n
n 1
n 1
et
S1 F '1 S1C1
S 2 F '2
S 2 C2
L’application de la relation de Gullstrand à l’association de deux dioptres (avec H’1H2=S1S2=e)
conduit à :
1
1
1
n
e n
H 'F '
S1 F '1
S 2 F '2
.
n S1 F '1 S 2 F '2
En tenant compte des relations précédentes, on obtient la vergence de la lentille dans l’air,
inverse de la distance focale image :
1
S1S 2
1
1 n 1
n 1
n
H 'F '
S1C1 S 2C2
S1C1 S 2C2
2
Le premier terme est indépendant de l’épaisseur, le second (appelé terme d’épaisseur) est
proportionnel à l’épaisseur e.
Les indices des milieux extrêmes étant égaux à 1, on a :
H ' F ' HF
11.3 Propriétés et position des points cardinaux d’une lentille épaisse
Pour un système constitué d’une lentille unique, la distance focale image f’, ainsi que les
positions respectives du foyer principal F’ et du point principal H’ peuvent être aisément
déterminées par les formules courantes données à la figure suivante. L’inversion du système
permet de calculer la distance focale objet f, la position du foyer principal F et celle du point
principal H.
12 Associations de deux systèmes centrés quelconques de même axe
Un système centré est une succession de systèmes élémentaires, des dioptres ou éven‐
tuellement un miroir (ou plus moyennant quelques astuces technologiques, comme un trou
dans le premier miroir). Chacun peut être décrit par la seule donnée de ses foyers et de ses
points principaux. Pour trouver les foyers et plans principaux du système entier, qui suffiront à
le caractériser, l'on procède par récurrence en remplaçant deux systèmes par un seul ; c'est la
problématique des paragraphes qui suivent.
12.1 Recherche des foyers et points principaux.
12.1.1 Notations
Soient deux systèmes traversés successivement par la lumière ; le premier est caractérisé par
ses foyers objet et image F1 et F’1 et ses points principaux objet et image H1 et H’1, son espace‐
objet a un indice de réfraction noté n et son espace image, qui est l'espace objet du second
système, a un indice de réfraction noté N ; le second est caractérisé par ses foyers objet et
image F2 et F'2 et ses points principaux objet et image H2 et H'2, son espace‐objet, qui est
l'espace‐image du premier système, a l'indice de réfraction N (cf juste avant) et son espace‐
image a un indice de réfraction noté n'. Ces huit points et trois indices, qui sont les données
du problème, sont parfaitement arbitraires pourvu qu'ils vérifient (cf supra) :
La position relative des deux systèmes est repérée soit par la donnée de =F’1F2 appelée
intervalle optique, soit par la donnée de e = H’1H2 appelée épaisseur optique (plus rarement
interstice optique). Tout ceci est résumé par la figure ci‐dessous où une mini‐légende indique
les sens positifs sur l'axe transversal et angulaire. Par convention, sur cette figure, l'on a
arrêté, pour chacun des deux systèmes, les rayons‐objets au plan principal objet et non au
premier dioptre rencontré (et non dessiné) et commencé les rayons‐images au plan principal
image et non au dernier dioptre rencontré (et non dessiné lui non plus).
12.1.2 Recherche des foyers.
Le foyer‐image F’ du système équivalent à l'association des deux systèmes élémentaires est,
par définition, l'image du point‐objet à l'infini dans la direction de l'axe, dont l'image par le
premier système est, par définition, F’1 ; F’ est donc l'image par le second système de F’1. La
formule de NEWTON relative à la conjugaison pour le second système donne alors :
En notant les distances focales objet et image du second système f2 = H2F2 et f’2 = H'2F2 et
l'intervalle optique = F’1F2, on arrive ainsi à :
ce qui donne la position du foyer‐image du système équivalent.
Par un raisonnement symétrique, le foyer‐objet F du système équivalent a pour image par le
premier système le foyer‐objet du second et la formule de NEWTON aboutit alors à :
12.1.3 Recherche des plans principaux.
Pour trouver les plans principaux, nous allons nous servir de la propriété qui nous a servi à les
introduire : un rayon‐objet parallèle à l'axe recoupe le rayon émergent correspondant dans le
plan principal image et un rayon‐image parallèle à l'axe recoupe le rayon incident
correspondant dans le plan principal objet (cf supra).
Sur la figure précédente, le rayon‐objet parallèle à l'axe coupe en I le plan principal objet du
premier système qui en donne donc un rayon‐image, servant de rayon‐objet au second,
passant par I' (avec H1I = H’1I') et son foyer‐objet F'1 et coupant en J le plan principal objet du
second système qui en donne donc un rayon‐image passant par J' (avec H2J = H'2J') et F',
image de F'1 par le second système (donc le foyer objet du système équivalent, cf supra) et
coupant par construction le plan principal image du système équivalent en K' tel que H'K' =
H’1I'.
Les égalités :
entraînent que :
La formule de THALÈS appliquée aux droites H2F'H' et J'F'K' entre les parallèles H'K et H'2J'
donne :
En confrontant les trois résultats précédents, on en déduit que :
qui donne de façon brute la position du point principal image H' du système équivalent car
tous les autres points qui y figurent sont des données du problème, hormis F' qui en a été
déduit plus haut.
C'est d'autant plus agréable que cette position est donnée au travers de la distance focale
image du système équivalent, soit f' = H'F'. Mettons en forme, après inversion de signe
générale :
On note f’1= H’1F’1[ (cf supra) ; on a :
(avec, cf supra, H2F2 = f2 et F’1F2 = ) ; on a enfin, en reportant le résultat concernant la
position de F‘ :
En reportant dans le résultat brut qui précède, on arrive à :
On montre symétriquement que :
qui donne, pour le système équivalent dont on a déjà placé le foyer‐objet F, la distance
focale‐objet et la position du point principal objet.
12.2 Formule de Gullstrand
Cette dernière formule, généralisant celle obtenue pour l’association de lentilles minces,
porte le nom de formule de Gullstrand :
1
1
1
e
f'
f '1 f '2 f '1 f '2 f '1 f '2
où l’interstice vaut cette fois :
F '1 F2 F '1 H1 H1 H 2 H 2 F2
H1 H 2 H1 F '1 H 2 F '2 e f '1 f '2
La distance focale f’ et la position des points cardinaux d’un système de deux lentilles peuvent
également être déterminées par des formules simples telles que celles qui sont rappelées à la
figure suivante :
12.3 Systèmes afocaux
Par définition un système afocal ne possède pas de plans principaux et ses foyers sont à
l’infini. C’est le cas lorsque on associe deux systèmes centrés tel que F’1 est confondu avec F2.
Dans ce cas =0.
Pour un tel système l’image d’un objet à l’infini est à l’infini. Pour un objet réel ou virtuel les
grandissements sont indépendants de la position de l’objet :
et
Annexe 1 : Imaging Equations and Their Related Coordinate Systems
There are different possibilities for the formulation of imaging equations and correspondingly
different sets of coordinate systems related to them.
A1.1 Reciprocity Equation
Here the object and image side coordinate systems are located in the principal planes.
From geometrical considerations and with the sign conventions one has :
Equating the right‐hand sides of these equations gives :
and with f = −f’ :
With :
we get :
and :
and finally :
A1.2 Newton’s Equations
Here the origins of the object and image side coordinate systems are located at the object
and image side focal points
From geometrical considerations we get :
And :
where z and z’ are the Newton coordinates of the conjugate points O and O’, respectively. The
advantage of the Newton equations lies in the fact that there are no reciprocal quantities and
one may perform algebraic calculations in a somewhat easier way.
The position of the positive principal points H+, H’+
For the conjugated points H+ and H’+ we have by definition = +1. With Newton’s equations
we thus get for the position of these points :
Position of the negative principal points H−, H’−
The conjugate points for which the magnification ratio is equal to −1 are called negative
principal points H−, H’− .
The image has thus the same size as the object, but is inverted. From Newton’s equations
with = −1,
Object and image are located in twice the focal length distances (2 f) and (2f ‘) respectively,
counted from the corresponding principal planes H and H’. The image is real and inverted.
A1.3 General Imaging Equation
A more general applicable imaging equation is obtained when the origins of the object and
image side coordinate systems lie in two conjugate but elsewhere arbitrarily selected points P
and P’ in object and image space. We will use these equations with P and P’ lying in the
entrance and exit pupil of the optical system. Here is now the general derivation
From figure :
This is the analogous version of the reciprocal equation where the origins of the coordinate
systems are now generalized to two conjugate, but otherwise arbitrary points P and P’.
If these points coincide with the positive principal points H+ and H’+ with p = +1, then we
come back to the reciprocal equation:
With the notation p’ = a’, p = a, Eq. (4.43) changing to reciprocal equation. Later we will use
these imaging equations under the assumption P = entrance pupil, P’= exit pupil. Then p will
be the pupil magnification ratio.
A1.4 The Axial Magnification Ratio
The axial magnification ratio is defined as the ratio of the axial displacement of an image, if
the object is displaced by a small distance.
From Newton’s equation we have :
