corriges-exam-electromag

CORRIG´ ES DES EXAMENS
D’ELECTROMAGN´ ETISME
ET D’OPTIQUE
Christian Carimalo

Superposition, interf´erences
1˝)k“ω
c;ÝÑ
u1“ÝÑ k1{k1“ ´cos θÝÑ ex`sin θÝÑ ez
2˝)ÝÑ B1“ ´j
2B0
ÝÑ
eyejpωt´
ÝÑ
k1¨ÝÑ rq, avec ÝÑ
k1¨ÝÑ r“kp´cos θx `sin θzq.
3˝) La relation ÝÑ rot ÝÑ B1“jω
c2
ÝÑ
E1, donne ici ÝÑ E1“ÝÑ B1^cÝÑ u1d’o`u
ÝÑ
E1“ ´jc
2B0”sin θÝÑ
ex`cos θÝÑ ezıejpωt´
ÝÑ
k1¨ÝÑ rq.
4˝)ÝÑ e1“<rÝÑ E1s “ cB0
2”sin θÝÑ
ex`cos θÝÑ ezısinpωt´ÝÑ k1¨ÝÑ rq;
ÝÑ
b1“<rÝÑ B1s “ B0
2
ÝÑ
eysinpωt´ÝÑ k1¨ÝÑ rq
5˝)
1
x
z
b1
θ
θ
k1
e
6˝)ÝÑ R1“1
µ0
ÝÑ
e1^ÝÑ b1“cB2
0
4µ0
sin2pωt´ÝÑ k1¨ÝÑ rqÝÑ u1. 7˝)r1“cB2
0
8µ0“3,3 10´4W/m2
(puissance moyenne transf´er´ee par unit´e de surface).
8˝)ÝÑ B2“j
2B0
ÝÑ
eyejpωt´
ÝÑ
k2¨ÝÑ rq, avec ÝÑ
k2¨ÝÑ r“kpcos θx `sin θzq;ÝÑ E2“ÝÑ B2^cÝÑ u2avec
ÝÑ
u2“cos θÝÑ ex`sin θÝÑ ez, soit ÝÑ E2“jc
2B0ejpωt´
ÝÑ
k2¨ÝÑ rq”sin θÝÑ
ex´cos θÝÑ ezı
9˝)ÝÑ E“cB0ejpωt´ksin θzq”sin θÝÑ exsinpkcos θxq ´ jcos θÝÑ ezcospkcos θxqı
ÝÑ
B“B0ejpωt´ksin θzqÝÑ eysinpkcos θxq. Cette onde se propage dans la direction z1z, avec la
vitesse de phase vφ“ω{pksin θq “ c{sin θąc; les champs r´eels sont :
ÝÑ
e“cB0”ÝÑ exsin θsinpkcos θxqcos ϕ`ÝÑ ezcos θcospkcos θxqsin ϕıet
Christian Carimalo 3Superp., interf.

ÝÑ
b“B0
ÝÑ
eysinpkcos θxqcos ϕ, o`u ϕ“ωt ´ksin θz.
10˝) a) ÝÑ R“1
µ0
ÝÑ
e^ÝÑ b“cB2
0
µ0”ÝÑ
ezsin θsin2pkcos θxqcos2ϕ
´1
4
ÝÑ
excos θsinp2kcos θxqsin 2ϕ;
ăÝÑ Rą “ IÝÑ ezavec I“cB2
0
2µ0
sin θsin2pkcos θxq “ cB2
0
4µ0
cos θr1´cosp2kcos θxqs.
b) L’interfrange est : `“λ
2 cos θo`u λ“2πc{ω.
11˝) i) Circulation du champ ´electrique.
E“ża{2
´a{2
dz rEzpt, 0, zq ´ Ezpt, a, zqs ` ża
0
dx rExpt, x, a{2q ´ Expt, x, ´a{2qs;
ża{2
´a{2
dz rEzpt, 0, zq ´ Ezpt, a, zqs “ ´jcB0ejωt r1´cospka cos θqs 2 cos θ
ksin θsinpka sin θ 2q,
ża
0
dx rExpt, x, a{2q ´ Expt, x, ´a{2qs “ ´jcB0ejωt sinpka sin θ
2q2 sin θ kcos θr1´cospka cos θqs,
d’o`u E“ ´ 4jcB0
ksin θcos θsin2pka cos θ 2qsinpka sin θ 2qejωt.
ii) Flux du champ magn´etique.
E“ ´
9
Φ“ ´jω ejωt ża{2
´a{2
dz e´jk sin θz ża
0
dx sinpkcos θxq“´jω ejωt ´2jsinpka sin θ
2q
´jk sin θˆ
r1´cospka cos θqs
kcos θ“ ´ 4jcB0 ksin θcos θsin2pka cos θ 2qsinpka sin θ 2qejωt.
a
z
x
a/2
−a/2
M0
0
Christian Carimalo 4Superp., interf.

Cable coaxial
1˝) a) b) La relation ÝÑ rotÝÑ E“ ´jω ÝÑ Bdonne en coordonn´ees cylindriques
´jωBρ“1
ρBEz Bϕ´BEϕ Bz,´jωBϕ“BEρ Bz´BEz Bρ,´jωBz“1 ρ"B BρrρEϕs ´ BEρ Bϕ*
La sym´etrie cylindrique impose que les d´eriv´ees partielles par rapport `a ϕsoient nulles et que
Eϕ“0car les demi-plans d´efinis par ϕ“constante sont ici consid´er´es comme des P`. Les
seules composantes a priori non nulles sont donc Eρ,Ezet Bϕ.
2˝) a) On prend Ez“0, d’o`u BEρ
Bz“ ´jωBϕ. La relation ÝÑ
rotÝÑ B“jω
v2
ÝÑ
E, o`u v“1{?µ0,
conduit `a BBϕ
Bz“ ´jω v2Eρ.
b) La relation div ÝÑ E“0“1
ρB BρrρEρsimplique que Eρsoit de la forme (en notation
complexe) Eρpρ, z, tq “ Fpzq
ρejωt.
3˝) a) b) Combinant les deux relations du 2˝) a), on d´eduit B2Eρ
Bz2“ ´k2Eρo`u k“ω{v“
ω?µ0. La fonction Fdu 2˝) b) doit donc satisfaire l’´equation d2F
dz2“ ´k2Fdont la
solution g´en´erale peut ˆetre ´ecrite sous la forme Fpzq “ F“e´jkz `rejkz ‰o`u Fet rsont
deux constantes. Le premier terme F e´jkz repr´esente une onde progressive dans la direction
z1ztandis que le second repr´esente une onde r´etrograde dans la direction oppos´ee, cette
derni`ere pouvant r´esulter d’une r´eflexion de la premi`ere, avec un coefficient de r´eflexion r.
Dans la suite, pour simplifier l’´ecriture, nous omettons, partout o`u cela est possible, le
facteur temporel ejωt.
c) Bϕ“1
v
F
ρ”e´jkz ´rejkz ı.
4˝) a) σa“Eρpρ“a`0q “ F
a”e´jkz `rejkz ı;Qa“2πa σa;
σb“ ´Eρpρ“b´0q “ F
b”e´jkz `rejkz ı;Qb“2πb σb“ ´Qa.
b) Ja“1
µ0
Bϕpρ“a`0q “ 1
µ0v
F
a”e´jkz ´rejkz ı;Ia“2πa Ja“2π µ0vF”e´jkz ´rejkz ı;
Jb“ ´ 1
µ0
Bϕpρ“b´0q“´ 1
µ0v
F
b”e´jkz ´rejkz ı;Ib“2πb Jb“ ´Ia.
5˝) a) ÝÑ B“ÝÑ rotÝÑ A;ÝÑ E“ ´ ÝÑ grad V´
ÝÑ
BA
Bt;Eϕ“0et BV Bϕ“0conduisent `a Aϕ“0. Si l’on
peut prendre de plus Aρ“0, alors Eρ“ ´BV
Bρet Bϕ“ ´BAz Bρ.
Christian Carimalo 5Cable coaxial