corriges-exam-electromag

CORRIGÉS DES EXAMENS
D’ELECTROMAGNÉTISME
ET D’OPTIQUE
Christian Carimalo
Superposition, interférences
1˝ ) k “
ω ÝÑ ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
; u1 “ k1 {k1 “ ´ cos θ ex ` sin θ ez
c
ÝÑ ÝÑ
ÝÑ ÝÑ
ÝÑ
j
ÝÑ
2˝ ) B1 “ ´ B0 ey ejpωt´ k1 ¨ r q , avec k1 ¨ r “ kp´ cos θx ` sin θzq.
2
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ ÝÑ
ω ÝÑ
ÝÑ
3˝ ) La relation rot B1 “ j 2 E1 , donne ici E1 “ B1 ^c u1 d’où
c
ı
”
ÝÑ ÝÑ
ÝÑ
jc
ÝÑ
ÝÑ
E1 “ ´ B0 sin θ ex ` cos θ ez ejpωt´ k1 ¨ r q .
2
ı
ÝÑ ÝÑ
ÝÑ
cB0 ”
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
4˝ ) e1 “ <r E1 s “
sin θ ex ` cos θ ez sinpωt´ k1 ¨ r q ;
2
ÝÑ
ÝÑ ÝÑ
ÝÑ
B0 ÝÑ
b1 “ <rB1 s “
ey sinpωt´ k1 ¨ r q
2
5˝ )
z
e1
k1
θ
θ
x
b1
ÝÑ
ÝÑ ÝÑ ÝÑ
1 ÝÑ
cB02
cB02
e1 ^ b1 “
sin2 pωt´ k1 ¨ r q u1 . 7˝ ) r1 “
“ 3, 3 10´4 W/m2
µ0
4µ0
8µ0
(puissance moyenne transférée par unité de surface).
ÝÑ
6˝ ) R1 “
ÝÑ ÝÑ
ÝÑ ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ ÝÑ
j
ÝÑ
ÝÑ
8˝ ) B2 “ B0 ey ejpωt´ k2 ¨ r q , avec k2 ¨ r “ kpcos θx ` sin θzq ; E2 “B2 ^c u2 avec
2
ı
ÝÑ ÝÑ ”
ÝÑ
jc
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
u2 “ cos θ ex ` sin θ ez , soit E2 “
B0 ejpωt´ k2 ¨ r q sin θ ex ´ cos θ ez
2
”
ı
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
9˝ ) E “ cB0 ejpωt´k sin θzq sin θ ex sinpk cos θxq ´ j cos θ ez cospk cos θxq
ÝÑ
ÝÑ
B “ B0 ejpωt´k sin θzq ey sinpk cos θxq. Cette onde se propage dans la direction z 1 z, avec la
vitesse de phase vφ “ ω{pk sin θq “ c{ sin θ ą c ; les champs réels sont :
”
ı
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
e “ cB0 ex sin θ sinpk cos θxq cos ϕ` ez cos θ cospk cos θxq sin ϕ et
Christian Carimalo
3
Superp., interf.
ÝÑ
ÝÑ
b “ B0 ey sinpk cos θxq cos ϕ, où ϕ “ ωt ´ k sin θz.
ÝÑ
1 ÝÑ ÝÑ cB02 ”ÝÑ
˝
10 ) a) R “
e ^ b “
ez sin θ sin2 pk cos θxq cos2 ϕ
µ0
µ0

1 ÝÑ
´ ex cos θ sinp2k cos θxq sin 2ϕ ;
4
ÝÑ
ÝÑ
ă R ą “ I ez avec I “
cB02
cB02
sin θ sin2 pk cos θxq “
cos θ r1 ´ cosp2k cos θxqs.
2µ0
4µ0
λ
où λ “ 2πc{ω.
2 cos θ
11˝ ) i) Circulation du champ électrique.
ża
ż a{2
dx rEx pt, x, a{2q ´ Ex pt, x, ´a{2qs ;
dz rEz pt, 0, zq ´ Ez pt, a, zqs `
E“
b) L’interfrange est : ` “
0
´a{2
ż a{2
dz rEz pt, 0, zq ´ Ez pt, a, zqs “ ´jcB0 ejωt r1 ´ cospka cos θqs
´a{2
ża
dx rEx pt, x, a{2q ´ Ex pt, x, ´a{2qs “ ´jcB0 ejωt sinp
0
d’où E “ ´
2 cos θ
ka sin θ
sinp
q,
k sin θ
2
ka sin θ 2 sin θ
r1 ´ cospka cos θqs,
q
2
k cos θ
4jcB0
ka cos θ
ka sin θ jωt
sin2 p
q sinp
qe .
k sin θ cos θ
2
2
ii) Flux du champ magnétique.
ża
ż a{2
E “ ´Φ9 “
´jk sin θz
´jω ejωt
jωt
dz e
dx sinpk cos θxq “ ´jω e
0
´a{2
ka sin θ
q
2
ˆ
´jk sin θ
´2j sinp
r1 ´ cospka cos θqs
4jcB0
ka cos θ
ka sin θ jωt
“´
sin2 p
q sinp
qe .
k cos θ
k sin θ cos θ
2
2
z
a/2
M0
a
0
x
−a/2
Christian Carimalo
4
Superp., interf.
Cable coaxial
ÝÑÝÑ
ÝÑ
1˝ ) a) b) La relation rot E “ ´jω B donne en coordonnées cylindriques
"
*
1 BEz
BEϕ
BEρ BEz
1 B
BEρ
´jωBρ “
´
, ´jωBϕ “
´
, ´jωBz “
rρEϕ s ´
ρ Bϕ
Bz
Bz
Bρ
ρ Bρ
Bϕ
La symétrie cylindrique impose que les dérivées partielles par rapport à ϕ soient nulles et que
Eϕ “ 0 car les demi-plans définis par ϕ “ constante sont ici considérés comme des P ` . Les
seules composantes a priori non nulles sont donc Eρ , Ez et Bϕ .
ÝÑÝÑ
BEρ
ω ÝÑ
?
2˝ ) a) On prend Ez “ 0, d’où
“ ´jωBϕ . La relation rot B “ j 2 E , où v “ 1{ µ0 ,
Bz
v
ω
BBϕ
“ ´j 2 Eρ .
conduit à
Bz
v
ÝÑ
1 B
rρEρ s implique que Eρ soit de la forme (en notation
b) La relation div E “ 0 “
ρ Bρ
F pzq jωt
complexe) Eρ pρ, z, tq “
e .
ρ
B 2 Eρ
“ ´k 2 Eρ où k “ ω{v “
Bz 2
d2 F
?
ω µ0 . La fonction F du 2˝ ) b) doit donc satisfaire l’équation
“ ´k 2 F dont la
2
dz
“
‰
solution générale peut être écrite sous la forme F pzq “ F e´jkz ` rejkz où F et r sont
deux constantes. Le premier terme F e´jkz représente une onde progressive dans la direction
z 1 z tandis que le second représente une onde rétrograde dans la direction opposée, cette
dernière pouvant résulter d’une réflexion de la première, avec un coefficient de réflexion r.
3˝ ) a) b) Combinant les deux relations du 2˝ ) a), on déduit
R
Dans la suite, pour simplifier l’écriture, nous omettons, partout où cela est possible, le
facteur temporel ejωt .
ı
1 F ” ´jkz
c) Bϕ “
e
´ rejkz .
vρ
ı
F ” ´jkz
4˝ ) a) σa “ Eρ pρ “ a ` 0q “
e
` rejkz ; Qa “ 2πa σa ;
a
”
ı
F ´jkz
e
` rejkz ; Qb “ 2πb σb “ ´Qa .
σb “ ´Eρ pρ “ b ´ 0q “
b
ı
ı
1
1 F ” ´jkz
2π ” ´jkz
b) Ja “
Bϕ pρ “ a`0q “
e
´ rejkz ; Ia “ 2πa Ja “
F e
´ rejkz ;
µ0
µ0 v a
µ0 v
”
ı
1
1 F ´jkz
Jb “ ´ Bϕ pρ “ b ´ 0q “ ´
e
´ rejkz ; Ib “ 2πb Jb “ ´Ia .
µ0
µ0 v b
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
BA
BV
; Eϕ “ 0 et
“ 0 conduisent à Aϕ “ 0. Si l’on
a) B “ rot A ; E “ ´ grad V ´
Bt
Bϕ
BV
BAz
peut prendre de plus Aρ “ 0, alors Eρ “ ´
et Bϕ “ ´
.
Bρ
Bρ
5˝ )
Christian Carimalo
5
Cable coaxial
ı
BV
F ” ´jkz
e
` rejkz . En intégrant cette équation par rapport à ρ et en
“ ´Eρ “ ´
Bρ
ρ
ajustant la “constante d’intégration” de telle sorte que V soit nul pour ρ “ b, on obtient
ı
b ”
V “ F lnr s e´jkz ` rejkz .
ρ
b)
BV
1 BV
´ jωAz , on déduit Az “ ´
, soit, en tenant compte de
Bz
jω Bz
ı
b ”
F
k{ω “ 1{v, Az “ lnr s e´jkz ´ rejkz .
v
ρ
ı
b ”
6˝ ) a) U pz, tq “ V pa, z, tq “ F lnr s e´jkz ` rejkz ejωt ;
a
b
U0
jωt
U p0, tq “ F lnr s r1 ` rs e , donc F “
.
b
a
p1 ` rq lnr s
a
“ ´jkz
‰
”
ı
jkz
e
` re
U0
2π
b) U pz, tq “ U0
ejωt , Ia pz, tq “
e´jkz ´ rejkz ejωt
b
1`r
µ0 v
p1 ` rq lnr s
a
„ ´jkz

„ ´jkz

jkz
jkz
µ0 v b e
` re
e
` re
1`x
7˝ ) a) Z “
ln
“ Zc ´jkz
“ Zc
, avec x “ re2jkz “
´jkz
jkz
jkz
2π
a e
´ re
e
´ re
1´x
Z ´ Zc
.
Z ` Zc
c) Puisque Ez “ 0 “ ´
b) A z “ h, re2jkh “
Z0 ´ Zc
. On supprime la réflexion en prenant Z0 “ Zc .
Z0 ` Zc
c) Zc “ 60 Ω.
ejωt
1
F t e´jk z où t est un coefficient de transmission, et k 1 “
ρ
ı
ı
?
F ” ´jkz
F ” ´jkz
F
1
ω µ0 1 ; Bϕą “ 1 e´jk z ; pour z ă ` : Eρă “
e
` rejkz , Bϕă “
e
´ rejkz .
ρv
ρ
ρv
”
ı
t
1 ´jk`
1
1
e
´ rejk` “ 1 e´jk ` . En posant v “ c{n,
b) En z “ ` : e´jk` ` rejk` “ te´jk ` ;
v
v
v 1 “ c{n1 , on obtient
n ´ n1
2n
1
r “ e´2jk`
, t “ ejpk ´kq`
1
n`n
n ` n1
8˝ ) a) Pour z ą ` : Eρą “
Christian Carimalo
6
Cable coaxial
Onde électromagnétique dans l’ionosphère
1˝ ) ρ “ eN ´ epN ` nq “ ´en.
ÝÑ
2˝ )
ÝÑ
dv
e ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
“ ´e E “ jmω v , d’où, en notation complexe, v “ ´
E
dt
jmω
m
N e2 ÝÑ
E
jmω
”ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ ÝÑÝÑ
ÝÑ
ÝÑı
ÝÑÝÑ
ne
ρ
4˝ ) div E “
“ ´ ; div B “ 0 ; rot E “ ´jω B ; rot B “ µ0  `jω0 E .
0
0
ÝÑ
ÝÑ
3˝ )  “ ´N e v “
ÝÑ
Bρ
5˝ ) La conservation de la charge s’exprime par la relation div j `
“ 0, qui se transcrit
Bt
”
ı
”
ı
ÝÑ
ÝÑ
ici comme div ´N´ e v ` jωp´neq “ 0, soit div N´ v “ ´jωn.

„
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑÝÑ
N e2
N e2 ÝÑ
˝
E `jω0 E “ jωµ0 0 E , avec “ 1 ´
.
6 ) a) rot B “ µ0
jmω
m0 ω 2
” ÝÑı
” ÝÑı
ÝÑÝÑ
b) De 6˝ ) a) on déduit div rot B “ 0 “ jωµ0 0 div E , donc div E “ 0.
ÝÑÝÑ
ÝÑ
c) rot E “ ´jω B (voir 4˝ )).
ÝÑ
d) div B “ 0 : c’est une équation fondamentale du magnétisme.
ÝÑ
ÝÑ ÝÑÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
7˝ ) De la relation rot rot E “ grad div E ´ ∆E, on tire, compte tenu de 6˝ ) b) ( est ici
”
ÝÑ
ÝÑı
ÝÑı
ÝÑ
ÝÑ ”
ω 2 ÝÑ
une constante), ´ ∆E “ rot ´jω B “ ´jω jωµ0 0 E , soit ∆E “ ´ 2 E , avec
c
ÝÑ
?
c “ 1{ 0 µ0 . En procédant de la même manière pour le champ B , on trouve que celui-ci
satisfait la même équation.
8˝ ) a) k 2 “
ω2
.
c2
b) La propagation dans d
le mileu ionisé n’est possible que si k 2 est positif, et cela n’est réalisé
que si ω ą ωp où ωp “
N e2
.
m0
c) ωp » 2, 4 107 rd/s ; λp “
2πc
» 75 m ; la propagation se fait sans atténuation dans le
ωp
domaine λ ă λp .
d
ω
c
c
dω
9˝ ) a) Vφ “ “ ? “ c
;
V
“
“
g
k
dk
ωp2
1´ 2
ω
Christian Carimalo
7
ˆ
dk
dω
˙´1
“c
1´
ωp2
ω2
Onde em dans l’ionosphère
b)
10˝ ) Continuité des composantes parallèles au plan xOy des champs électrique et magnétique.
ω
11˝ ) a) k0 “ .
c
ı
ÝÑ
?
E0 ” ´jk0 z
E0 n ´jkz jωt ÝÑ
ÝÑ ÝÑ
b) B1 “ ´
´ rejk0 z ejωt ex ; B2 “ ´
τe
e
e
ex , avec n “ .
c
c
˝
12 ) Continuité de Ey à z “ 0 : 1 ` r “ τ ; continuité de Bx à z “ 0 : 1 ´ r “ nτ . On en
déduit
1´n
2
r“
, τ“
1`n
1`n
„
2
„

2
1´n
1 ´ n2
u4
?
13˝ ) 14˝ ) R “ r2 “
“
“
; Rp0, 6q “ 1, 2 10´2 ;
2
4
1a
`n
p1 ` nq2
p1 ` 1 ´ u q
Rp0, 8q “ 6, 25 10´2 ; Rp p80{81qq “ 0, 64.
15˝ ) a) Le facteur de réflexion R devient de plus en plus important en avoisinant 100%, à
mesure que λ s’approche de λp “ 75 m par valeurs inférieures.
b) h “ c
δt
“ 90 km.
2
Christian Carimalo
8
Onde em dans l’ionosphère
Vitesse de phase, vitesse de groupe, réflexion
Exercice I
1˝ ) Les équations de Maxwell dans ce milieu sont :
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑÝÑ
n ÝÑ
?
E , div B “ 0, rot E “ ´jω B , div E “ 0, où c “ 1{ 0 µ0 . On a
2
c
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ ÝÑÝÑ
ÝÑÝÑ
ω 2 ÝÑ
ω 2 ÝÑ
rot rot E “ grad div E ´ ∆E“ ´ ∆E“ ´jω rot B “ 2 n E , donc ∆E“ ´ 2 n E . Le
c
c
ω
champ magnétique satisfait la même équation. On a ici k “ n.
c
c
ˆ ˙´1
ω2
dk
˝
2 ) a) Voir le cours. b) vφ “ ω{k “ c{n, vg “
. Avec n “ 1 ´ 02 où ω0 “
ω
c dω
2
ω
c
et vg “ c 1 ´ 02 . La vitesse de groupe, associée à
2πc{a, on obtient vφ “ c
2
ω
ω
1 ´ 02
ω
la propagation de l’énergie, est inférieure à c, ce qui est en accord avec la relativité, tandis
que la vitesse de phase peut bien être supérieure à c comme ici car elle ne représente pas la
propagation d’un phénomène matériel.
ÝÑÝÑ
rot B “ jω
Exercice II
ω ÝÑ
?
u , avec c “ 1{ 0 µ0 . Les ondes incidente et réfléchie se propageant
c
ÝÑ
ω
dans le même milieu ont des vecteurs d’onde de même module, donc || k 1 || “ k “ .
c
˝
2 ) a) Les composantes du champ électrique dans les directions parallèles à xOz, soit Ex et
Ez , doivent être continues en y “ 0. Le miroir étant supposé parfait, le champ électrique est
nul dans la région y ă 0 et par conséquent, Ex “ 0 et Ez “ 0 pour y “ 0.
ÝÑ
1˝ ) a) b) k “
b) Le champ total dans la région y ą 0 est la somme du champ de l’onde incidente et de
celui de l’onde réfléchie :
ÝÑ
ÝÑ
Etot “ E
1
ÝÑ
` E 1 . Pour y “ 0, on a,
1
1
1
1 e´jpkx x`kz zq “ 0, E e´jpkx x`kz zq ` E 1 e´jpkx x`kz zq “ 0
E0x e´jpkx x`kz zq ` E0x
0z
0z
Ces égalités doivent être vérifiées pour tout x et pour tout z. Par conséquent, on doit avoir
1 “ ´E
1
d’une part kx1 “ kx “ k sin θ, kz1 “ kz “ 0, et, d’autre part, E0x
0x et E0z “ ´E0z .
ÝÑ
c) Puisque p k 1 q2 “ k 2 “ pkx1 q2 ` pky1 q2 ` pkz1 q2 “ kx2 ` ky2 ` kz2 , et compte tenu des égalités
précédentes, on a pky1 q2 “ ky2 , soit ky1 “ ˘ky . Seule la solution ky1 “ ´ky représente une
onde réfléchie.
ÝÑ
d) Dans le milieu y ą 0, dépourvu de charge, est vérifiée l’équation div Etot “ 0, laquelle
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
conduit
à k ¨ E ` k 1 ¨ ‰E 1 “ 0.“ En prenant x “ 0 et z ‰“ 0, cette
donne elle-même
‰
“
“ équation
´jk
y
1
jk
y
´jk
y
1
jk
y
´jk
y
1 ejky y “ 0.
y
y
y
y
y
` ky E0y e
´ E0y
kx E0x e
` E0x e
` kz E0z e
` E0z e
En passant“ à la limite‰ y “ 0 et en tenant compte des égalités établies précédemment, on
1
1 “E .
obtient ky E0y ´ E0y
“ 0, donc E0y
0y
Christian Carimalo
9
Vitesses de phase, de groupe, réflexion
)
!
”
ı
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
3˝ ) ET “ 2 ejpωt´kx xq ´j sin ky y ex E0x ` ez E0z ` cos ky y ey E0y
Ex “ 2E0x sin ky y sinpωt ´ kx xq, Ey “ 2E0y cos ky y cospωt ´ kx xq,
Ez “ 2E0z sin ky y sinpωt ´ kx xq.
ÝÑ ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
1 ÝÑ
ui,r ^ Ei,r . On en déduit
c
ı
ÝÑ
ÝÑ
ey `pkx E0y ´ ky E0x q ez
ÝÑ
4˝ ) a) rot Ei,r “ ´jω Bi,r “ ´j ki,r ^ Ei,r , donc Bi,r “
1 jpωt´kx x´ky yq ”
ÝÑ
ky E0z ex ´kx E0z
B“ e
ω
ı
ÝÑ
1 jpωt´kx x`ky yq ”
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
1
B“ e
ky E0z ex `kx E0z ey `pkx E0y ´ ky E0x q ez .
ω
ÝÑ
b) Bx “
Bz “
2
2
ky E0z cos ky y cospωt ´ kx xq, By “ ´ kx E0z sin ky y sinpωt ´ kx xq
ω
ω
2
pkx E0y ´ ky E0x q cos ky y cospωt ´ kx xq
ω
ÝÑ ÝÑ
5˝ ) L’onde incidente étant plane, on doit aussi avoir k ¨ E “ 0 “ kx E0x ` ky E0y “
k rsin θE0x ´ cos θE0y s. On posera donc E0x “ E0 cos θ, E0y “ E0 sin θ. Exprimant toutes
les constantes en fonction de E0 , θ, ω et c, il vient Ez “ 0 et
Ex “ ´2E0 cos θ sinp
Ey “ 2E0 sin θ cosp
Bz “ 2
ω cos θ
sin θ
yq sin ωpt ´
xq,
c
c
ω cos θ
sin θ
yq cos ωpt ´
xq, puis Bx “ By “ 0 et
c
c
E0
ω cos θ
sin θ
cosp
yq cos ωpt ´
xq.
c
c
c
ÝÑ
1 ÝÑ ÝÑ
6˝ ) a) Energie transférée, par unité de surface et par unité de temps : P “
E ^ B“
µ0
”
ı
1
ÝÑ
ÝÑ
Ey ex ´ Ex ey Bz , Pz “ 0.
µ0
b) ă Py ą“ 0, ă Px ą“ 2
ω cos θ
E02
sin θ cos2 p
yq
cµ0
c
ω cos θ
ω cos θ
π
7˝ ) La fonction cos2 p
yq s’annule pour
y “ ` mπ où m est un entier relatif,
c
2
ˆ
˙c
λ
1 m
soit y “
`
où λ “ 2πc{ω.
cos θ 4
2
Christian Carimalo
10
Vitesses de phase, de groupe, réflexion
8˝ ) a) σ “ 0 Ey |y“0` “ 2E0 0 sin θ cos ωpt ´
sin θ
xq
c
2E0
sin θ
1
Bz |y“0` “
cos ωpt ´
xq
µ0
cµ0
c
ˆ
˙
sin θ
Bjx
2E0 ω sin θ
sin θ
˝
sin ωpt ´
9 ) a) b)
“
xq “ 20 E0 sin θ ω sin ωpt ´
xq
Bx
cµ0
c
c
c
b) jx “
sin θ
Bjx
Bσ
Bσ
“ ´20 E0 sin θ ω sin ωpt ´
xq. On a donc
“ ´ , équation qui traduit la loi
Bt
c
Bx
Bt
de conservation de la charge.
Christian Carimalo
11
Vitesses de phase, de groupe, réflexion
Milieu diélectrique absorbant
ω
?
n où n “ r .
c
ω
2˝ ) Pour l’air, n “ 1, donc k ” k0 “ .
c
ÝÑ
1 ÝÑ ÝÑ
3˝ ) Pour une onde plane, B “
k ^ E ;
ω
ÝÑ
E0 ÝÑ ÝÑ jpωt´k0 zq E0 ÝÑ jpωt´k0 zq ÝÑ
E0 ÝÑ jpωt`k0 zq
Bi “
ez ^ ex e
“
ey e
; Br “ ´r
ey e
;
c
c
c
ÝÑ
E0 ÝÑ ÝÑ jpωt´kzq
E0 ÝÑ jpωt´kzq
Bi “ nτ
ez ^ ex e
“ nτ
ey e
c
c
ÝÑ
ÝÑ
1˝ ) a) b) ∆E “ ´k 2 E , avec k “
4˝ ) n2 “ n1 2 ´ n2 2 ´ 2jn1 n2 “ 1r ´ j2r ,
1
donc n1 2 ´ n2 2 “ 1r , 2 n1 n2 “ 2r
2
5˝ ) e´jkz “ e´jk0 n z e´k0 n z . L’existence d’une partie imaginaire de l’indice doit rendre
compte d’un phénomène d’absorption du milieu. Elle fait apparaı̂tre dans l’amplitude du
2
champ un facteur réel e´k0 n z qui doit être décroissant lorsque z augmente. On doit donc
avoir n2 ą 0.
6˝ ) D’une façon générale, continuité des composantes tangentielles du champ électrique et de
la composante normale du champ magnétique. Pour un diélectrique, toutes les composantes
du champ magnétique sont continues.
7˝ ) Continuité du champ électrique : 1`r “ τ ; Continuité du champ magnétique : 1´r “ nτ .
D’où
τ“
2
1´n
, r“
.
n`1
1`n
1 ´ n1 ` jn2
1 ´ n12 ´ n22 ` 2jn2
8˝ ) r “
“
,
1 ` n1 ´ jn2
p1 ` n1 q2 ` n22
et
tan φ “ ´
d
donc r0 “ |r| “
p1 ´ n1 q2 ` n22
p1 ` n1 q2 ` n22
2n2
.
1 ´ n12 ´ n22
2
n2
τ0 “ |τ | “ a
, tan φ1 “
;
1 ` n1
p1 ` n1 q2 ` n22
?
n12 ` n22
n2
1
τ0 “ |nτ | “ 2 a
, tan φ2 “ ´ 1
;
n p1 ` n1 q ` n22
p1 ` n1 q2 ` n22
9˝ )
E0
cospωt ´ k0 zq ;
c
E0
Erx “ r0 E0 cospωt ` k0 z ´ φq, Bry “ ´r0
cospωt ` k0 z ´ φq ;
c
2
2 E0
Etx “ τ0 e´k0 n z E0 cospωt ´ k0 n1 z ` φ1 q, Bry “ τ01 e´k0 n z
cospωt ´ k0 n1 z ` φ2 q
c
Eix “ E0 cospωt ´ k0 zq, Biy “
Christian Carimalo
12
Diélectrique absorbant
ÝÑ
10˝ ) Pi “
2
2
ÝÑ
ÝÑ
1 ÝÑ
ÝÑ Eix ÝÑ
ÝÑ E
ÝÑ Etx Bty
; Pr “ ´ ez rx ; Pt “ ez
;
E i ^ B i “ ez
µ0
cµ0
cµ0
µ0
2
ÝÑ
E02
ÝÑ E0
cos2 pωt ´ k0 zq, ă Pi ą “ ez
;
cµ0
2cµ0
ÝÑ
Pi
“ ez
ÝÑ
Pr
“ ´ ez r02
ÝÑ
Pt
“ ez τ0 τ01 e´2k0 n
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
E2
E02
ÝÑ
cos2 pωt ´ k0 z ´ φq, ă Pr ą “ ´ ez r02 0 ;
cµ0
2cµ0
ÝÑ
ÝÑ
2z
ÝÑ
E02
cospωt ´ k0 n1 z ` φ1 q cospωt ´ k0 n1 z ` φ2 q,
cµ0
ă Pt ą “ ez τ0 τ01 e´2k0 n
2z
E02
cospφ1 ´ φ2 q ;
2cµ0
11˝ ) a) T “ τ0 τ01 cospφ1 ´ φ2 q ; or, τ ‹ τ 1 “ τ0 τ01 ejpφ
b) R “ r02 “
2 ´φ1 q
. On a donc T “ <pτ τ 1‹ q.
4n
4n1
p1 ´ n1 q2 ` n22
‹τ 1 “
‹τ 1q “
;
τ
,
et
<pτ
; d’où
p1 ` n1 q2 ` n22
|1 ` n|2
p1 ` n1 q2 ` n22
R ` T “ 1. Cette relation exprime la conservation de l’énergie au passage de l’onde à travers
le plan z “ 0.
18500
4625
“
» 0, 6 ; T “ 1 ´ R » 0, 4 ; Pabs. » 0, 4 mW.
7585
30100
1
c
13˝ ) δ “
“
» 2, 5 cm.
2
2k0 n
4πn2 ν
12˝ ) R “
Christian Carimalo
13
Diélectrique absorbant
Ondes em guidées - I
1˝ ) Les deux conducteurs étant supposés parfaits, le champ électrique doit y être nul. On sait
qu’à la traversée de la surface séparant deux milieux quelconques, les composantes du champ
électrique dans les directions parallèles à la surface sont continues. Or, ici, le champ étudié
n’a qu’une seule composante Ex , parallèle aux deux plans y “ 0 et y “ a. Par conséquent,
Ex p0q “ 0 et Ex paq “ 0.
ÝÑÝÑ
ÝÑ
2˝ ) rot E “ ´jω B , d’où Bx “ 0, By “
k
j dE
Ex et Bz pyq “ ´
pyq ejpωt´kzq ;
ω
ω dy
ÝÑ
ÝÑÝÑ
?
rot B “ jω0 µ0 E , d’où, avec c “ 1{ 0 µ0 ,
„

ω
BBz
BBy
j d2 E
k2
jpωt´kzq
j 2 Ex “
´
“ e
´
pyq ` j Epyq . On obtient ainsi l’équation
c
By
Bz
ω dy 2
ω
2
2
d2 E
ω
2
2
2 “ k2 ´ ω .
différentielle
“
pk
´
qE
“
K
E,
avec
K
dy 2
c2
c2
3˝ ) Si k “ ω{c, la solution génerale de l’équation différentielle est Epyq “ A1 y ` A2 , où les
deux constantes doivent être ajustées de telle sorte que Ep0q “ 0 et Epaq “ 0. On obtient
A2 “ 0, A1 “ 0. Dans ce cas, la solution avec lesdites conditions aux limites est nulle et il
ne peut y avoir propagation.
Supposons donc K ‰ 0. Epyq est alors de la forme Epyq` “ A1 eKy `˘ A2 e´Ky . Les deux
conditions aux limites donnent A1 “ ´A2 , et 0 “ A1 eKa ´ e´Ka . La solution n’est
différente de zéro que si A1 ‰ 0, ce qui implique que la deuxième condition soit réalisée
avec eKa ´ e´Ka “ 2 sinhpKaq “ 0. Mais cette nouvelle condition n’est réalisable que
si K est complexe. La propagation
c de l’onde n’est donc possible que si k ă ω{c. Posons
ω2
maintenant K “ jχ avec χ “
´ k 2 . La solution générale de l’équation différentielle
c2
peut maintenant s’écrire comme Epyq “ E0 sin χy ` A cos χy. On a Ep0q “ A “ 0, puis
Epaq “ E0 sin χa “ 0. Cette deuxième condition est vérifiée si χa “ pπ où p est ´un entier.
pπ ¯
y .
Il existe donc a priori une infinité (discrète) de solutions du type Ep pyq “ E0p sin
a
ω 2 p2 π 2
´ 2 . Si ω ă cpπ{a, kp est purement imaginaire. Ecrivant kp “ ´jαp ,
c2
a
le facteur de propagation e´jkz devient alors un facteur d’atténuation e´αp z : l’onde ne peut
alors se propager. La propagation de ce mode n’est donc possible que si ω ą cpπ{a. On voit
donc qu’il n’y aura de possibilité de propagation d’un quelconque mode que si ω est supérieur
cπ
à la valeur minimum ωm “
.
a
c
c
ˆ
˙
ωp2
ω 2 p2 π 2
ω
c
dkp ´1
c
c) kp “
´
;
v
“
“
;
v
“
“
c
1
´
.
πp
gp
c2
a2
kp
dω
ω2
ωp2
1´ 2
ω
„

ÝÑ
j
BEpx ÝÑ
j ÝÑÝÑ
ÝÑ
˝
5 ) Bp “
rot Ep “
´jkp Epx ey ´
ez “
ω
ω
By
4˝ ) a) b) kp2 “
Christian Carimalo
14
Ondes em guidées - I
„

kp
χp
ÝÑ
ÝÑ
E0p
sin χp y ey ´j
cos χp y ez , avec χp “ pπ{a.
ω
ω
c
ω2 π2
π
˝
´ 2 , χ1 “ ;
6 ) p “ 1, k ” k1 “
c2
a
a

„
ÝÑ
π
y ÝÑ
y ÝÑ
k1
sin π ey ´j
cos π ez ,
B1 “ E01 ejpωt´k1 zq
ω
a
aω
a
ejpωt´kp zq
On sait que les discontinuités des composantes tangentielles du champ magnétique à la
traversée de la surface d’un conducteur sont dues à la présence de courants superficiels sur
ladite surface. Comme ici Bx “ 0 à l’intérieur comme à l’extérieur des deux conducteurs, il
ne peut y avoir sur les deux surfaces y “ 0 et y “ a de composante de courant superficiel
dans la direction z 1 z. Par contre, il y a sur les deux surfaces des courants superficiels dans la
direction x1 x dont les densités sont données par
Jx “
1
π
Bz p0`q
rBz p0`q ´ Bz p0´qs ”
“ ´jE01 ejpωt´k1 zq pour y “ 0 ;
µ0
µ0
aω
Bz pa ´ 0q
π
1
rBz pa ´ 0q ´ Bz pa ` 0qs ”
“ `jE01 ejpωt´k1 zq “ ´Jx pour y “ a ;
µ0
µ0
aω
ı
jE0 jωt ” ´jpχy`kzq
7˝ ) Ecrivant le champ électrique sous la forme Ex “
e
e
´ e´jp´χy`kzq ,
2
celui-ci apparaı̂t comme la somme du champ électrique d’une onde se propageant dans la
ÝÑ
ÝÑ
direction du vecteur χ ey `k ez , et du champ électrique d’une onde se propageant dans la
ÝÑ
ÝÑ
direction du vecteur ´χ ey `k ez . Cette dernière onde provient de la réflexion de la première
sur la surface conductrice y “ a, et la première provient de la réflexion de la seconde sur
la surface conductrice y “ 0 (voir dessin), les réflexions s’effectuant avec un coefficient de
réflexion égal à ´1.
Jx1 “
z
θ
θ
L
y
θ
G
H
d
c
vg
k
kc
L’angle de réflexion θ est donné par sin θ “ a
“
“
“
“
2
2
ω
v
c
k `χ
φ
1´
ωp2
.
ω2
On constate ainsi qu’une onde ne se propage pas en ligne droite dans l’espace inter-conducteur
0 ď y ď a, mais y progresse par réflexions successives sur les parois des conducteurs. La
distance GL par exemple est parcourue à la vitesse c en un laps de temps ∆t “ GL{c, tandis
que le transfert d’énergie progresse de H à L à la vitesse HL{∆t “ c HL{GL “ c sin θ “ vg .
Christian Carimalo
15
Ondes em guidées - I
Effet Faraday
ÝÑ
1˝ ) m
´ÝÑ
¯
dv
ÝÑ
ÝÑ ÝÑ
“ ´mω02 u `q E ` v ^ B
dt
ÝÑ
ÝÑ
2˝ ) Pour une onde plane se propageant à la vitesse V , on a | B | “ | E |{V . Puisque
v ! V , on peut négliger la partie magnétique de la force de Lorentz.
ÝÑ
ÝÑ
3˝ )
ÝÑ
´mω 2 u “
a) b)
ÝÑ
´mω02 u
q2 E
q E
ÝÑ
ÝÑ
;
p
“
q
u
“
.
`q E , d’où ~u “
mpω02 ´ ω 2 q
mpω02 ´ ω 2 q
ÝÑ
N q2
.
m0 pω02 ´ ω 2 q
” ÝÑ
ÝÑ ÝÑÝÑ
ÝÑı
ÝÑ
ÝÑÝÑ
4˝ ) a) b) c) rot E “ ´jω B ; rot B “ µ0 jω P `0 jω E “ jω0 µ0 p1 ` χq E ;
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
c) P “ N p “ 0 χ E , avec χ “
ÝÑ
ÝÑ
div B “ 0 ; div E “ 0 (car χ est indépendant des coordonnées) ; {0 “ r “ n2 “ 1 ` χ,
d
N q2
.
et n “ 1 `
m0 pω02 ´ ω 2 q
ˆ ˙´1
dk
ωn
c
d) vφ “ ω{k ; vg “
, avec ici k “
. D’où, d’une part, vφ “ , et, d’autre part,
dω
c
n
„

„

dk
n
ω dn
n
ω N q2
2ω
1
N q2
ω2
2
“ `
“ `
“
n `
dω
c
2cn dω
c
2nc m0 pω02 ´ ω 2 q2
nc
m0 pω02 ´ ω 2 q2
„

1
N q2
ω02
nc
“
1`
, donc vg “
2
2
2
2
nc
m0 pω0 ´ ω q
Nq
ω02
1`
m0 pω02 ´ ω 2 q2
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
5˝ ) E pM, tq “ E0 ex ejpωt´kzq ; B pM, tq “
E0 n ÝÑ jpωt´kzq
ey e
.
c
6˝ ) a) mpω02 ´ ω 2 q ux “ qEx ` jωqB0 uy ; mpω02 ´ ω 2 q uy “ qEy ´ jωqB0 ux
mpω02 ´ ω 2 q uz “ qEz “ 0.
b) u˘ “
mpω02
qE˘
.
´ ω 2 q ¯ ωqB0
7˝ ) a) ∆E˘ “ ´
b) n˘ “
ω2
p1 ` χ˘ qE˘ ,
c2
avec χ˘ “
N q2
1
.
2
0 mpω0 ´ ω 2 q ¯ ωqB0
?
1 ` χ˘ ; k˘ “ k0 n˘ , avec k0 “ ω{c.
„

„

N q2
ωqB0
N q 3 B0 ω
2
˝
2
8 ) n˘ » 1 `
1˘
“n 1˘ 2 2
, soit
m0 pω02 ´ ω 2 q
mpω02 ´ ω 2 q
m n 0 pω02 ´ ω 2 q2
n˘ » n ˘
N q 3 B0 ω
.
2m2 n0 pω02 ´ ω 2 q2
Christian Carimalo
16
Effet Faraday
9˝ ) a) b) E˘ “ E0 ejpωt´k˘ zq , d’où
ı
ı
E0 jωt ” ´jk` z
E0 jωt ” ´jk` z
Ex “
e
` e´jk´ z , Ey “
e
´ e´jk´ z
e
e
2
2j
c) On pose k` “ k1 ` k2 , k´ “ k1 ´ k2 . On a alors
Ex “ E0 ejpωt´k1 zq cos k2 z , Ey “ ´E0 ejpωt´k1 zq sin k2 z. Le rapport Ey {Ex “ ´ tan k2 z
reste constant au cours du temps : en chaque point, le champ électrique garde une orientation
constante au cours du temps.
10˝ ) L’angle θ de cette orientation par rapport à l’orientation initiale selon x1 x est donné par
N q3ω2
N e3 ω 2
θ “ KB0 z avec K “ ´ 2
“
pour q “ ´e. Cette
2m c n 0 pω02 ´ ω 2 q2
2m2 c n 0 pω02 ´ ω 2 q2
epn2 ´ 1q ω 2
.
dernière expression peut encore s’écrire K “
2 m c n ω02 ´ ω 2
Christian Carimalo
17
Effet Faraday
Ondes guidées - II
x
n1
n2
z
ÝÑÝÑ
ÝÑ
ÝÑÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
1˝ ) rot E “ ´jω B ; rot B “ jωµ0 E ; div E “ 0 ; div B “ 0.
2˝ ) Les équations du 1˝ ) donnent ici
BEx BEz
BBy
BBy
´
“ ´jωBy ; jωµ0 Ex “ ´
; jωµ0 Ez “
; d’où
Bz
Bx
Bz
Bx
„

„

1 BBy
B
1 BBy
B
´
´
, soit finalement
´jωBy “
Bz
jωµ0 Bz
Bx jωµ0 Bx
a
B 2 By
ωn
ωn2
B 2 By
ωn1
`
“ ´k 2 By en posant k “
où n “ {0 . Ainsi, k1 “
, k2 “
.
2
2
Bx
Bz
c
c
c
3˝ ) a) Posant By “ f pxqgpyqejωt , on déduit de l’équation du 2˝ ) : f 2 g ` f g 2 “ ´k 2 f g, ou
f2
g2
pxq` pyq “ ´k 2 . Les deux variables x et y étant indépendantes, cette dernière équation
f
g
ne peut être satisfaite que si et seulement si chaque membre du terme de gauche est une
f2
g2
constante, soit
“ constante “ γ et
“ ´k 2 ´ γ.
f
g
b) La composante Ez du champ électrique est tangentielle vis-à-vis des parois conductrices et
ÝÑ
ÝÑ
de ce fait doit être continue au passage à travers ces parois. Or, E “ 0 dans le conducteur
BBy
supposé parfait. Donc Ez “ 0 pour x “ 0 et pour x “ a, et comme Ex 9
, on en déduit
Bx
f 1 p0q “ f 1 paq “ 0.
c) L’équation f 2 “ γf a pour solution générale :
i) f pxq “ A1 x ` A2 si γ “ 0 ;
?
?
ii) f pxq “ A1 coshp γxq ` A2 sinhp γxq si γ ą 0 ;
?
?
iii) f pxq “ A1 cosp ´γxq ` A2 sinp ´γxq si γ ă 0 ;
dans chaque cas, les constantes A1 et A2 doivent être ajustée de telle sorte que les deux
conditions du b) soient vérifiées. On montre facilement que compte tenu de ces conditions,
les formes i) et ii) ne conviennent pas car elles conduisent à la solution nulle. La forme iii) est
Christian Carimalo
18
Ondes guidées - II
?
la seule acceptable. En effet, posant α “ ´γ, on a f 1 pxq “ ´A1 α sinpαxq ` αA2 cospαxq,
et lesdites conditions donnent f 1 p0q “ αA2 “ 0, soit A2 “ 0, et f 1 paq “ ´αA1 sinpαaq “ 0,
soit sinpαaq “ 0, si l’on veut éviter la solution nulle. On obtient donc des solutions non nulles
si αa “ pπ où p est un entier que l’on peut supposer positif (strictement), et par conséquent,
π2
γ “ ´p2 2 .
a
4˝ ) a) g 2 “ ´pk 2 ` γqg “ ´χ2 g avec χ2 “ k 2 ´ p2
π2
.
a2
π
(sinon, χ “ jη
a
avec η ą 0, ce qui conduirait à un gpzq proportionnel au facteur décroissant e´ηz ).
b) Il y a propagation sans atténuation si et seulement si χ2 ą 0, soit k ą p
2πnν
π
c
ě , d’où (pour p “ 1), νmin “ νc “
; on trouve ν1c “ 7, 5 109 Hz pour
c
a
2na
n “ n1 et ν2c “ 15 109 Hz pour n “ n2 .
c) k “
Or, ν “ c{λ “ 20 109 Hz, soit ν2c pp “ 1q ă ν ă 2ν2c pp “ 2q : dans le milieu II, seul le
mode p “ 1 se propage sans atténuation.
c
π
π2
˝
5 ) a) Pour p “ 1, f pxq 9 cos αx avec α “ , et χ “ k 2 ´ 2 . En supposant que le
a
a
milieu II soit illimité vers les grandes valeurs positives de z, les expressions de By sont
By “ cos αx B2 ejpωt´χ2 zq pour z ą 0,
“
‰
By “ cos αx ejωt B0 e´jχ1 z ` B1 ejχ1 z
pour z ă 0,
c
π2
ω
où B0 , B1 et B2 sont des constantes, χi “ ki2 ´ 2 , ki “ ni (i “ 1, 2).
a
c
b) Le terme proportionnel à B1 rend compte de la réflexion de l’onde à l’interface z “ 0.
c) i) Pour z ă 0 :
“
‰
ωχ1
Ex “ 2 cos αx B0 ´jχ1 z ´ B1 ejχ1 z ejωt ;
k1
Ez “
“
‰
jωα
sin αx B0 e´jχ1 z ` B1 ejχ1 z ejωt ;
2
k1
ii) pour z ą 0 :
Ex “
jωα
ωχ2
cos αx B2 ejpωt´χ2 zq ; Ez “ 2 sin αx B2 ejpωt´χ2 zq .
k22
k2
6˝ ) a) By continu, Ex continu.
χ1
χ2
b) B0 ` B1 “ B2 , 2 rB0 ´ B1 s “ 2 B2 , d’où, en posant ρi “ i {χi , r “ B1 {B0 ,
k1
k2
ρ1
τ “ B2 {B0 : 1 ` r “ τ , 1 ´ r “ τ , soit
ρ2
r“
ρ2 ´ ρ1
2ρ2
, τ“
.
ρ2 ` ρ1
ρ2 ` ρ1
7˝ ) a) Les composantes des champs réels sont :
i) pour z ă 0 : by “ B0 cos αx r cospωt ´ χ1 zq ` r cospωt ` χ1 zq s,
Christian Carimalo
19
Ondes guidées - II
ex “
B0 ωχ1
cos αx r cospωt ´ χ1 zq ´ r cospωt ` χ1 zq s,
k12
ez “ ´
B0 ωα
sin αx r sinpωt ´ χ1 zq ` r sinpωt ` χ1 zq s.
k12
ii) pour z ą 0 : by “ B0 τ cos αx cospωt ´ χ2 zq ;
ωχ2
ωα
ex “ B0 τ 2 cos αx cospωt ´ χ2 zq ; ez “ ´B0 τ 2 sin αx sinpωt ´ χ2 zq.
k2
k2
ı
ÝÑ
1 ÝÑ ÝÑ 1 ” ÝÑ
ÝÑ
e ^ b “
ex uz ´ez ux by ;
La forme générique du vecteur de Poynting est P “
µ
µ0
ża
żh 0 ża
dy dx Pz “ 2h dx Pz . Tenant
le flux d’énergie radiante s’exprime comme Φ “
0
0
´h
ża
a
2
compte de
dx cos αx “ , on obtient :
2
0
Φ1 pt, zq “
‰
ah ωχ1 B02 “
cos2 pωt ´ χ1 zq ´ r2 cos2 pωt ` χ1 zq ;
2
µ0 k1
Φ2 pt, zq “
ah ωχ2 B02 τ 2
cos2 pωt ´ χ2 zq.
µ0
k22
La conservation de l’énergie implique Φ1 “ Φ2 pour z “ 0, soit
χ1
χ2
p1 ´ r2 q “ 2 τ 2 .
2
k1
k2
ω2
Vérifions cette relation. Comme τ “ 1 ` r, ki2 “ 2 n2i “ ω 2 µ0 i , on devrait donc avoir
c
χ1
1´r
χ2
τ
p1 ´ rq “
“
τ “ , et cette relation est bien vérifiée d’après 6˝ ) b).
1
ρ1
2
ρ2
ρ1 2
pρ2 ´ ρ1 q2
4ρ1 ρ2
, T “ rΦtrans. {Φinc. sz“0 “
,
τ “
2
pρ2 ` ρ1 q
ρ2
pρ2 ` ρ1 q2
et l’on vérifie aisément la relation R ` T “ 1 qui exprime la conservation de l’énergie en
z “ 0.
c) R “ rΦrefl. {Φinc. sz“0 “ r2 “
Christian Carimalo
20
Ondes guidées - II
Modèle plan d’une fibre optique
x
(2)
n2
a
n1
(1)
z’
z
−a
n2
(3)
x’
ÝÑÝÑ
ÝÑ
ÝÑÝÑ
1˝ ) rot E “ jω B , rot B “ j
ÝÑ
ÝÑ
ω 2 ÝÑ
n
E
,
div
B
“
0,
div
E “ 0.
c2
2˝ ) Les deux milieux sont supposés illimités dans les directions parallèles à y 1 y : il y a
invariance par translation parallèlement à cet axe, y ne peut être une variable sensible, les
composantes du champ em n’en dépendent pas.
3˝ ) ´ωBx “ kEy , ωBy “ kEx ´ j
BEz
BEy BEx
, ωBz “ j
,
“ jkEz ;
Bx
Bx Bx
ωn2
ωn2
BBz ωn2
BBy BBx
E
“
kB
,
E
“
´kB
`
j
, 2 Ez “ ´j
,
“ jkBz .
x
y
y
x
2
2
c
c
Bx
c
Bx Bx
4˝ ) Les composantes Bx , By , Bz , Ey , Ez sont continues pour x “ a et pour x “ ´a.
BEx
BBx
“ 0 et
“ 0. Les deux composantes Ex et Bx
Bx
Bx
ne dépendent pas de x, aussi bien dans le milieu (I) que dans le milieu (II). Or, les champs
sont supposés nuls pour |x| infini. Par suite, Ex “ 0 et Bx “ 0 pour x ą a et x ă ´a.
Utilisant les relations du 3˝ ), on en déduit By “ 0 et Ey “ 0 dans ces deux régions. Comme
conséquence de la continuité de ces deux dernières composantes et de Bx pour x “ a et
x “ ´a, on a aussi Ey “ 0, By “ 0 et Bx “ 0 aussi bien dans la région ´a ď x ď a.
ωn2
Utilisant la relation 2 Ex “ kBy , on en déduit enfin Ex “ 0 dans la région ´a ă x ă a.
c
En conclusion, le champ électromagnétique est nul partout si Ez “ 0 et Bz “ 0.
5˝ ) Ez “ 0, Bz “ 0. On a alors
ωn2
ω 2 n2
ωn
6˝ ) a) On a ωBy “ kEx et kBy “ 2 Ex , donc ωkBy “
Ex “ k 2 Ex . Si k ‰
,
2
c
c
c
cette relation n’est satisfaite que si Ex “ 0 et aussi By “ 0. On en conclut que dans ce cas
Ex “ 0 et By “ 0 partout (par continuité).
„ 2

ωn
BBz
ω 2 n2
B 2 Ey
2
b) ´ωkBx “ k Ey “ ω
E
´
j
“
E
`
, soit
y
y
c2
Bx
c2
Bx2
B 2 Ey
ω2
2
“
pk
´
qEy
Bx2
v2
Christian Carimalo
21
(v “ c{n)
Fibre optique
c) Ey “ A1 eα1 x ` A11 e´α1 x pour
Ey “ A3 eα2 x pour x ď ´a.
´a ď x ď a ; Ey “ A2 e´α2 x
pour
x ě a;
d) Ey est une composante tangentielle du champ électrique vis-à-vis des deux interfaces
BEy
x “ a et x “ ´a ;
9 Bz et Bz est continu.
Bx
‚ Continuité en x “ a :
A1 eα1 a ` A11 e´α1 a “ A2 e´α2 a , α1 rA1 eα1 a ´ A11 e´α1 a s “ ´α2 A2 e´α2 a , d’où

α2
A2 e´α2 a ,
“ 1´
α1
2 A1

α2
A2 e´α2 a .
“ 1`
α1
„
„
eα1 a
2 A11 e´α1 a
‚ Continuité en x “ ´a :
A1 e´α1 a ` A11 eα1 a “ A3 e´α2 a , α1 rA1 e´α1 a ´ A11 eα1 a s “ α2 A3 e´α2 a , d’où
„
2 A1
e´α1 a

α2
“ 1`
A3 e´α2 a ,
α1
„
2 A11 eα1 a

α2
“ 1´
A3 e´α2 a .
α1
D’où :
„
4A1 A11 e2α1 a
α2
“ 1´
α1
2
„
A2 A3
e´2α2 a
et
4A1 A11 e´2α1 a
α2
“ 1`
α1
2
A2 A3 e´2α2 a
pα1 ´ α2 q2
.
pα1 ` α2 q2
Etant donné que α1 ą 0, α2 ą 0, cette relation est impossible à réaliser puisque le membre
de gauche est supérieur à 1 tandis que celui de droite est inférieur à 1. Par conséquent,
A1 A11 “ A2 A3 “ 0. Si A1 “ 0, alors, d’après les relations précédentes, A2 “ A3 “ 0 et
donc A11 “ 0. De même, si A11 “ 0 alors A2 “ A3 “ 0 et par suite A1 “ 0. On en conclut
que pour le cas étudié, le champ électromagnétique est nul partout.
Si les constantes sont différentes de zéro, on en déduit la relation e4α1 a “
p1q
7˝ ) a) Ey “ A1 cos α1 x ` A11 sin α1 x, soit, en tenant compte des conditions à x “ 0 :
p1q
p2q
p3q
Ey “ E0 cos α1 x ; Ey “ A2 e´α2 x ; Ey “ A3 eα2 x .
b) ‚ Continuité en x “ a :
E0 cos α1 a “ A2 e´α2 a ; α1 E0 sin α1 a “ α2 A2 e´α2 a , donc, nécessairement (E0 ‰ 0 et
A2 ‰ 0),
tanpα1 aq “
α2
α1
α2
, cospα1 aq “ a 2
, sinpα1 aq “ a 2
2
α1
α1 ` α2
α1 ` α22
E0 α1
puis A2 “ eα2 a a 2
;
α1 ` α22
‚ Continuité en x “ ´a : E0 cos α1 a “ A3 e´α2 a ; ´α1 E0 sinp´α1 aq “ α2 A3 e´α2 a ; on
trouve donc A3 “ A2 .
ωn2
ωn1
n2
8˝ ) a) De
ăkă
, on tire
ă cos θ ă 1, soit encore
c
c
n1
d
n2
0 ă sin θ ă sin θc “ 1 ´ 22
n1
Christian Carimalo
22
Fibre optique
d
sin2 θc
´ 1 et tanpα1 aq “
sin2 θ
d
sin2 θc
2πn1 a
2πn1 a
tanp
sin θq. La relation (3) prend donc la forme tanp
sin θq “
´1
λ
λ
sin2 θ
ωn1 a 2
On a α2 “
sin θc ´ sin2 θ , d’où
c
α2
“
α1
2πn1 a
u, possède, dans chaque
λ
intervalle M π ă ψ ă pM `1qπ, où M est un entier positif, une branche positive allant jusque
λ
l’infini. A cet intervalle de longueur π pour ψ correspond pour u l’intervalle
M ăuă
c2n1 a
sin2 θc
λ
λ
pM ` 1q, de longueur ∆u “
. La fonction positive f2 puq “
´ 1 est
2n1 a
2n1 a
u2
strictement décroissante jusque la valeur zéro dans l’intervalle 0 ă u ă sin θc et son graphe
peut donc intercepter une ou plusieurs branches de celui de f1 puq. Pour connaı̂tre le nombre
p de points d’intersection entre les deux graphes, qui représente aussi le nombre de modes
transmissibles, il suffit de diviser sin θc par ∆u pour obtenir :

„

„ b
2n1 a
2a
2
2
n1 ´ n2 ` 1
p“E
sin θc ` 1 “ E
λ
λ
d) Le graphe de la fonction f1 puq “ tanpψpuqq où ψpuq “
où E rHs représente la partie entière de H. Ce nombre croı̂t avec a.
d) Pour que le premier mode soit le seul transmissible, on ne doit observer qu’une seule
intersection entre les graphes de f1 puq et de f2 puq, et ceci n’est réalisé que si le second zéro
λ
de f1 puq se trouvant après le zéro u “ 0, c’est-à-dire u “
(correspondant à ψ “ π), est
2n1 a

„ b
2a
2
2
plus éloigné que le zéro u “ sin θc de f2 puq. Dans ce cas, p “ 1, soit E
n1 ´ n2 “ 0,
λ
b
2a
λ
ou encore
“ 6, 25 µm.
n21 ´ n22 ă 1. La condition sur 2a est donc 2a ă a 2
λ
n1 ´ n22
Christian Carimalo
23
Fibre optique
Rayonnement d’une antenne
1˝ ) Tout plan défini par ϕ “ constante est un P ` et en chacun de ses points le champ
magnétique lui est orthogonal, tandis que le champ électrique est contenu dans ce plan ;
donc Bρ “ Bz “ 0 et Eϕ “ 0. La symétrie cylindrique fait que ϕ n’est pas une variable
sensible, les composantes non nulles du champ em n’en dépendent pas.
ÝÑÝÑ
2˝ ) L’équation rot B “ j
ÝÑÝÑ
BBϕ
ω ÝÑ
ω
E donne ´
“ j 2 Eρ ,
c2
Bz
c
et
1 B
ω
rρBϕ s “ j 2 Ez .
ρ Bρ
c
ÝÑ
BEρ BEz
´
“ ´jωBϕ .
Bz
Bρ
„

B 1 B
ω2
B 2 Bϕ
˝
˝
rρB
s
`
Bϕ ; si ρBϕ “
“
´
3 ) Les équations du 2 ) conduisent à
ϕ
Bz 2
Bρ ρ Bρ
c2
d2 F
ω
F pzqejωt , cette dernière équation conduit elle-même à
“ ´k 2 F où k “ . La fonction
2
dz
c
F pzq a donc nécessairement la forme générale F pzq “ A e´jkz ` B ejkz , A et B étant deux
constantes.
L’équation rot E “ ´jω B donne
4˝ ) a) Le corps de l’antenne étant parfaitement conducteur, le champ électromagnétique y est
nul. Le champ magnétique ne s’annulant lorsqu’on approche de l’antenne depuis l’extérieur,
subit donc une discontinuité qui mesure le vecteur densité superficielle du courant qui circule
sur la surface de l’antenne. Ce vecteur n’a qu’une seule composante jz selon z 1 z, donnée par
1
F pzq jωt
jz “
Bϕ pa ` 0, z, tq “
e .
µ0
µ0 a
b) Ipz, tq “ 2πajz “
2πF pzq jωt
e .
µ0
µ 0 I0
‰ 0, et F ph{2q “ A e´jkh{2 ` B ejkh{2 “ 0,
2π
jkh{2 ` B e´jkh{2 “ 0. Sommant les deux dernières conditions, on obtient
F p´h{2q
„ “ A e
kh
1
1
kh
2 cos
pA ` Bq “ 0, soit pA ` B ‰ 0q
“ pn ` qπ ou (k “ 2π{λ) h “ pn ` qλ.
2
2
2
2
5˝ ) On doit avoir F p0q “ A ` B “
Comme A ejkh{2 “ ´B e´jkh{2 et A e´jkh{2 “ ´B ejkh{2 , on a A2 “ B 2 et comme B ‰ ´A,
µ0 I0
il vient B “ A “
. L’intensité I a ainsi pour expression Ipz, tq “ I0 cos kz ejωt .
4π
c
z2
z
˝
2
2
2
6 ) P M “ r ` z ´ 2rz cos θ ; Pour r " |z|, on a P M “ r 1 ` 2 ´ 2 cos θ »
r
r
ż
z2
1
1
z
µ0 I0 jωpt´r{cq h{2
r ´ z cos θ ` Op q,
» ` Op 2 q, d’où Az »
e
cos kz ejkz cos θ dz
r PM
r
r
4πr
´h{2
ż h{2
7˝ )
J “
cos kz e
´h{2
jkz cos θ
1
dz “
2
ż h{2 ”
ı
ejkzp1`cos θq ` e´jkzp1´cos θq dz “
´h{2
„

1 2 sin kp1 ` cos θqh{2 2 sin kp1 ´ cos θqh{2
`
“
2
kp1 ` cos θq
kp1 ´ cos θq
Christian Carimalo
24
Antenne
π
„

λ cosp 2 cos θq
1 sinp1 ` cos θqπ{2 sinp1 ´ cos θqπ{2
“
`
, d’où
k
1 ` cos θ
1 ´ cos θ
π
sin2 θ
π
µ0 I0 λ jωpt´r{cq cosp 2 cos θq
e
Az »
4π 2 r
sin2 θ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
8˝ ) a) Ar “ er ¨ ez Az “ cos θAz , Aθ “ eθ ¨ ez Az “ ´ sin θAz .
ω ÝÑ ÝÑÝÑ
1 B
rrAθ s “ ´jkAθ , puis j 2 E “rot B
r Br
c
ω
1 B
ω2
donne Er » 0, Eϕ » 0 et j 2 Eθ » ´
rrBϕ s » ´ 2 Aθ , soit Eθ » ´jωAθ . Cette
c
r Br
c
dernière relation montre que l’on a fait le choix d’un potentiel électrique nul, puisque, d’une
ÝÑ
ÝÑÝÑ
b) De B “rot A on tire Br “ 0, Bθ “ 0, Bϕ »
ÝÑ
BA
ω
façon générale, on a E “ ´ grad V ´
. Comme Bϕ » ´j Aθ , on a bien Eθ » cBϕ
Bt
c
avec
ÝÑ
ÝÑ
π
µ0 I0 jωpt´r{cq cosp 2 cos θq
Bϕ » j
e
2πr
sin θ
»
fi2
π
cosp cos θq
2
ÝÑ
c
cµ
I
1
ÝÑ
ÝÑ
0
2
fl sin2 ωpt ´ r{cq,
e ^ b “
b2 er , Pr “ 2 02 –
9˝ ) a) P “
µ0
µ0 ϕ
4π r
sin θ
ÝÑ
fi2
»
fi2
π
π
żπ
ż 2π
cosp cos θq
cosp
cos
θq
2
2
2
–
fl , puis W “ cµ0 I0
fl ,
r2 sin θdθ
dϕ –
sin θ
8π 2 r2 0
sin θ
0
»
ă Pr ą “
cµ0 I02
8π 2 r2
soit
W “
b) R “
cµ0 I02
ˆ 1, 22
4π
cµ0
ˆ 1, 22 » 73 Ω.
2π
Christian Carimalo
25
Antenne
Diffraction par une fente rectangulaire - Apodisation
1˝ ) Voir le cours.
ż b{2
ż a{2
2˝ ) a) Epα, β, γq “
dxP
´a{2
2π
pαxP ` βyP q
dyP e λ
“
j
´b{2
fi
2πα a
2πα a
´j
–e λ 2 ´ e
λ 2 fl ˆ
»
1
2πα
j
λ
j
fi
2πβ b
2πβ b
´j
sin X sin Y
1 –
παa
πβb
λ 2 fl “ ab
e λ 2 ´e
où X “
et Y “
.
2πβ
X
Y
λ
λ
j
λ
»
j
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
ex ¨ F M
x
x
πa
O1 M
ÝÑ ÝÑ
“ 1
» et X »
x;
b) u “ 1 , α “ u ¨ ex “
1
OM
OM
OM
f
λf
ÝÑ
ÝÑ ÝÑ
de même, β “ u ¨ ey »
y
πb
et Y »
y.
f
λf
y
y
M
x
x
u
O
u
O’
f
F
L
c) et 3˝ ) L’intensité de l’éclairement est proportionnelle à |E|2 et peut être prise égale à
sin2 U
I “ HpXq HpY q avec HpU q “
.
U2
Christian Carimalo
26
Diffraction-Apodisation
D’où la répartition de l’intensité lumineuse dans le plan F schématisée par la figure ci-dessus,
λf
centrée sur le foyer F . Les premiers minima d’intensité nulle sont obtenus pour x “ ˘
et
a
λf
pour y “ ˘ . La région centrale de la figure de diffraction a donc pour dimensions
b
∆x “
2λf
2λf
“ 1, 2 mm, ∆y “
“ 0, 04 mm
a
b
On note que les zéros de HpXq sont donnés par X “ nπ avec |n| entier supérieur ou égal à
1, tandis que ses maximas secondaires sont obtenus lorsque X est solution de tan X “ X,
soit X “ ˘4, 49 (3π{2 “ 4, 71), X “ ˘7, 72 (5π{2 “ 7, 85), X “ ˘19, 9 (7π{2 “ 10, 99),
π
c’est-à-dire, pour des valeurs de X voisines de Xp “ ˘p2p ` 1q avec p entier supérieur ou
2
4
égal à 1, donnant HpXp q “ 2
, soit HpX1 q “ 0, 045, HpX2 q “ 0, 016, etc. Ces
π p2p ` 1q2
maximas sont à l’intérieur de bandes de largeur δX “ π, soit δx “ ∆x{2.
4˝ ) E 1 pα, β, γq “ b
sin Y
J
Y
avec
»
¨
« πxP
2πα
2πα π a
πxP ff
jp
´j
xP j
` q
1 j
1
1 —
a
a 2
J “
dxP
e λ
e a `e
“
– 2πα π ˝e λ
2
2j
´a{2
`
λ
a
˛
¨
˛fi
2πα π a
2πα π a
2πα π a
´jp
` q
jp
´ q
´jp
´ q ffi
1
˝e λ
λ
a 2 ‚`
a 2 ´e
λ
a 2 ‚fl
´e
2πα π
´
λ
a
»
fi
˜ παa
˜ παa
παa ¸
παa ¸
j
´j
j
´j
1
1
1—
ffi
λ
λ
e λ `e
e λ `e
´
“ –
fl
π
π
2πα
2πα
2
`
´
λ
a
λ
a
παa
2a
cos X
2
sin Y
, X“
“
F pXq avec F pXq “
. Ainsi, E 1 pα, β, γq “ a b F pXq
.
2
π
λ
π
Y
4X
1´ 2
π
ż a{2
5˝ ) a) b)
F pXq
F p´Xq “ F pXq ; F p0q “ 1 ; F pπ{2q “ π{4 ; F pπq “ 1{3 ; F p3π{2q “ 0 ; F 1 p3π{2q “
´1{8 ; F p2πq “ ´1{15 ; F p5π{2q “ 0 ; F 1 p5π{2q “ 1{24.
Christian Carimalo
27
Diffraction-Apodisation
π
avec n entier ě 0. Pour X1 “ 5, 93557 » 2π intervient
2
le premier extremum négatif de F pXq, égal à ´0.07. Le second extremum, positif et égal à
0, 02927, est obtenu pour X2 “ 9, 203 » 3π.
F pXq “ 0 pour X “ p2n ` 3q
c) Les deux figures ci-dessous permettent d’évaluer l’effet que provoque, sur la distribution
en X de l’intensité lumineuse, l’introduction de la pellicule transparente.
sin2 X
X2
F 2 pXq
On constate :
‚ que la largeur de la région centrale a augmenté de 50%, passant de 2π à 3π ;
‚ que les maximas secondaires sont notablement amoindris : la valeur des premiers passent
de 0, 045 pour HpXq à 0, 0049 pour F pXq, soit une diminution d’un facteur 10.
Ainsi, le “corps” de la distribution, représenté par la région centrale, a été élargi, tandis
que le reste de la distribution, caractérisé par les maximas secondaires qualifiés de “pieds”,
a été quasiment supprimé. C’est pourquoi on parle “d’apodisation” de la distribution. Ceci
peut présenter un avantage pour l’utilisation de certains instruments optiques. Cependant,
à intensité lumineuse incidente donnée, l’intensité lumineuse maximum dans la figure de
diffraction a été réduite d’un facteur 4{π 2 , soit d’environ 60%.
Christian Carimalo
28
Diffraction-Apodisation
Diffraction et interférences - I
1˝ ), 2˝ ), 3˝ ) Se reporter aux questions 1, 2 et 3 du problème sur l’apodisation.
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
4˝ ) a) On prend encore l’origine des phases en O. Comme OP 1 “ OO1 ` O1 P 1 , on a
2π ÝÑ 1 ÝÑ ij
2π ÝÑ
ÝÑ
j
OO
¨
u
O1 P 1 ¨ u
1
1
1
λ
λ
E “e
dxP dyP e
“ ejϕ Epα, β, γq où
j
ϕ“
2π ÝÑ 1 ÝÑ πh
πh
OO ¨ u “
α»
x.
λ
λ
λf
b) Puisque |E 1 | “ |E|, la figure de diffraction est inchangée.
5˝ ) a) Les ondes réémises par les quatre ouvertures étant cohérentes, l’amplitude totale de
l’onde derrière l’écran est E 1 “ E1 ` E2 ` E3 ` E4 avec E1 “ ejϕ E et E2 “ e3jϕ E, E3 “
e´jϕ E, E4 “ e´3jϕ E, soit E 1 “ 2 rcos ϕ ` cos 3ϕs E. Or, cos ϕ ` cos 3ϕ “ 2 cos ϕ cos 2ϕ
sin U
et GpZq “ 4 a b Z, Z “ cos ϕ cos 2ϕ.
d’où E 1 “ GpZqF pXqF pY q avec F pU q “
U
b) Ipx, yq “ |E 1 |2 “ 16a2 b2 Z 2 F 2 pXq F 2 pY q ; ϕ{X “ h{a.
6˝ ) a) Zpϕq est une fonction périodique de période 2π ; de plus, Zp2π ´ ϕq “ Zpϕq. Posant
u “ cos ϕ, on a Z “ up2u2 ´ 1q ; dans l’intervalle r0, 2πs, on a :
‚ Z “ 1 pour u “ 1, soit ϕ “ 0 et ϕ “ 2π ; Z “ ´1 pour u “ ´1, soit ϕ “ π ;
1
‚ Z “ 0 pour u “ 0 et pour u “ ˘ ? , soit pour ϕ “ π{4, ϕ “ π{2, ϕ “ 3π{4, ϕ “ 5π{4,
2
ϕ “ 3π{2 et ϕ “ 7π{4 ;
“
‰
‚ Z 1 pϕq “ ´ sin ϕ 6 cos2 ϕ ´ 1 ; cette dérivée est nulle pour ϕ “ 0, π, 2π, et pour cos ϕ “
1
˘ ? , soit ϕ “ φ0 “ 1, 15 rd “ 65, 9˝ (minimum négatif), ϕ “ π ´ φ0 “ 1, 99 rd “ 114˝
6
(maximum positif), ϕ “ π ` φ0 “ 4, 29 rd “ 245, 9˝ (maximum positif), ϕ “ 2π ´ φ0 “
5, 13 rd “ 294˝ (minimum négatif).
Z en fonction de ϕ dans l’intervalle r0, 2πs
Christian Carimalo
29
Diffraction et interférences
b)
Z 2 en fonction de ϕ
7˝ ) a)
Z 2 F 2 pXq en fonction de ϕ
b) La distance séparant deux maxima principaux consécutifs est telle que ∆i ϕ “ π “ π
soit ∆i x “
h∆i x
,
fλ
λf
“ 6 10´2 mm.
h
2λf
c) La largeur suivant x1 F x de la région centrale de la figure de diffraction est ∆d x “
et
a
∆d x
2h
l’on a
“
“ 20 : il y a donc dans cette zone 19 maxima principaux correspondant à
∆i x
a
des franges d’interférence brillantes, celles-ci étant par ailleurs de moins en moins lumineuses
à mesure qu’on approche des bords.
Christian Carimalo
30
Diffraction et interférences
Diffraction et interférences - II
1˝ ) Voir le cours.
2˝ ) a) Le calcul est similaire à celui de la question 2˝ ) du problème sur l’apodisation, en
remplaçant α et β par α ´ α0 et β ´ β0 , respectivement. On trouve donc Epα, β, γq “
sin U
πa
πb
a b F pXq F pY q où F pU q “
et X “
pα ´ α0 q, Y “
pβ ´ β0 q.
U
λ
λ
b)
ÝÑ
1
ÝÑ ÝÑ ÝÑ O M
α “ ex ¨ u “ ex ¨ 1
OM
De même,
ÝÑ
ÝÑ
“ ex ¨
FM
x
x
“ 1
» .
1
OM
OM
f
ÝÑ
1
ÝÑ ÝÑ ÝÑ O M0
α0 “ ex ¨ u0 “ ex ¨ 1
O M0
Avec la même approximation, Y »
ÝÑ
ÝÑ
“ ex ¨
F M0
x0
x0
πa
“ 1
»
, d’où X »
px ´ x0 q.
O 1 M0
O M0
f
fλ
πb
py ´ y0 q.
fλ
c) Ipx, yq “ |E|2 “ a2 b2 F 2 pXqF 2 pY q. La figure de diffraction est ici centrée sur le point
M0 . Pour sa représentation schématique en deux dimensions, voir 2˝ ) c) du problème sur
l’apodisation.
3˝ ) ∆x “
2λf
2λf
“ 1, 2 mm, ∆y “
“ 0, 04 mm.
a
b
ÝÑ
ÝÑ
ÝÑ
4˝ ) a) L’origine des phases est prise en O. Comme OP 1 “ OO1 ` O1 P 1 , on a
ÝÑ
2π ÝÑ 1 ÝÑ ij
2π ÝÑ
1 1
ÝÑ ÝÑ
OO
¨
∆u
j
O
P
¨
∆u
ÝÑ
E1 “ e λ
dx1P dyP1 e λ
“ ejϕ Epα, β, γq où ∆u “ u ´ u0 ,
j
ϕ“
2π ÝÑ 1 ÝÑ πh
πh
OO ¨ ∆u “
pα ´ α0 q »
px ´ x0 q.
λ
λ
λf
b) Puisque |E 1 | “ |E|, la figure de diffraction est inchangée.
5˝ ) a) Voir le cours. b) Les ondes réémises par les deux
ouvertures
`
˘ étant cohérentes, l’amplitude totale de l’onde derrière l’écran est E 1 “ E ejϕ ` e´jϕ “ 2 cos ϕ E, et l’intensité
de l’éclairement dans le plan F est I 1 px, yq “ 4a2 b2 cos2 ϕ F 2 pXq F 2 pY q.
cos2 p4Xq sin2 pXq{X 2 en fonction de X
c) d) Dans la zone centrale de la figure de diffraction où l’éclairement est le plus important,
Christian Carimalo
31
Diffraction et interférences
on observe des franges d’interférence, l’interfrange, distance entre deux franges voisines étant
λf
h
`“
. On a ici ϕ{X “ h{a “ 4, et ∆x{` “ 2 “ 8 : il y a donc 7 franges d’interférence
h
a
brillantes à l’intérieur de la zone centrale (voir figure). On note que plus h est grand, plus il
y a de franges d’interférences dans la zone centrale de diffraction.
6˝ ) a) b) Les lumières émises par les“ deux étoiles étant incohérentes,
lumineuse
‰ l’intensité
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
dans le plan F est I “ I `I “ 4a b cos ϕ F pXq ` cos ϕ F pX q F pY q. On supposera
ici que h est grand devant a, et que le nombre de franges d’interférence dans chacune des
deux zones centrales de diffraction est donc grand. Admettant aussi que ces deux zones sont
proches l’une de l’autre et en portant l’observation au voisinages de leurs centres qui sont les
plus lumineux, on peut négliger l’influence de la diffraction et écrire F 2 pXq » 1, F 2 pX 1 q » 1.
En outre, b est supposé suffisamment grand pour que l’on puisse aussi faire l’approximation
F 2 pY q » 1. La partie intéressante de l’intensité totale est donc I 1 “ cos2 ϕ ` cos2 ϕ1 .
Dans cette situation, on constate que les deux systèmes de franges se brouillent lorsque ϕ
π
et ϕ1 diffèrent de p2k ` 1q où k est un entier relatif, puisqu’alors cos2 ϕ “ sin2 ϕ1 et
2
I 1 “ 1, c’est-à-dire que dans ce cas, l’intensité lumineuse devient uniforme dans la région
étudiée. Concrètement, ce brouillage apparaı̂t lorsque les franges brillantes de l’un des deux
systèmes d’interférence viennent à la place des franges sombres de l’autre. Par exemple, les
π
franges brillantes dues à la lumière provenant de S correspondent à ϕ “ k1 π “ 2k1 où
2
k1 est un entier relatif, tandis que les franges sombres dues à la lumière provenant de S 1
π
correspondent à ϕ1 “ p2k2 ` 1q où k2 est aussi un entier relatif. Si ces valeurs de ϕ et
2
λ
1
de ϕ sont effectivement prises au même point M du plan F, on a α ´ α0 “
p2k1 q et
2h
λ
λ
λ
α ´ α01 “ p2k2 ` 1q , soit α01 ´ α0 “
r2pk1 ´ k2 q ` 1s “
r2k ` 1s où k est un entier
2h
2h
2h
relatif. Cette circonstance intervient
ˇ lorsqueˇ la distance h entre les ouvertures, supposée
λ ˇˇ 2k ` 1 ˇˇ
λ
variable, prend l’une des valeurs ˇ 1
. On en
, la plus petite étant hm “
2 α0 ´ α0 ˇ
2|α01 ´ α0 |
λ
déduit |α01 ´ α0 | “
“ 6 10´6 rd. En fait, le brouillage effectivement observé peut se
2hm
manifester bien avant que h ne prenne exactement l’une des valeurs critiques, car , selon la
sensibilité de l’appareil de mesure utilisé, le contraste de la figure résultante peut vite s’avérer
trop faible pour qu’on puisse déceler avec précision les faibles variations d’intensité lumineuse.
Pour finir, on notera qu’ici ∆x{` “ 2h{a et que chaque zone centrale de diffraction contient
au minimum une centaine de franges brillantes plus ou moins lumineuses dès que h ě hm .
Christian Carimalo
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Diffraction et interférences