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Cinétique
Torseur cinétique- Torseur dynamique - Énergie cinétique
Papanicola
Lycée Jacques Amyot
7 octobre 2012
Sommaire
Énergie cinétique
Définition
Solide indéformable
Torseur cinétique
Définition
Résultante cinétique
Changement de point
cas particuliers
Caractéristiques cinétiques d’un
ensemble de solide
Torseur cinétique d’un ensemble
de solides
Torseur dynamique d’un
ensemble de solides
Énergie cinétique d’un ensemble
de solides
Solide indéformable
Torseur dynamique
Définition
Changement de point de
réduction
Relation entre σ et δ
Solide indéformable
Torseur cinétique
Définition
CE /R




p# E /R» =
Z
=

#
»

σA,E /R =
# »
VP/R · dm
Z
p∈E
p∈E




#» # »

AP ∧ VP/R · dm

(1)
A
Le torseur cinétique est le torseur des quantités de mouvement d’un
système matériel E dans son mouvement par rapport au référentiel
R.
Torseur cinétique
Définition
CE /R




p# E /R» =
Z
=

#
»

σA,E /R =
# »
VP/R · dm
Z
p∈E
p∈E




#» # »

AP ∧ VP/R · dm

A
I
# »
VP/R : Vitesse du point P du système matériel E dans son
mouvement par rapport au référentiel R ;
Z
# »
p# » =
V
· dm : Résultante cinétique de l’ensemble
I
matériel E dans son mouvement par rapport à R ;
Z
#» # »
AP ∧ VP/R · dm : Moment cinétique au point A
σ# A,E /R» =
I
E /R
P/R
p∈E
p∈E
de l’ensemble matériel E dans son mouvement par rapport à R.
Torseur cinétique
Résultante cinétique
Soit O un point lié au référentiel R et G le centre d’inertie de
l’ensembleRmatériel E , par définition du centre d’inertie :
# »
# »
mE OG = P∈E OP dm .
En dérivant par rapport
au temps
dans
ZR:
d # »
d
# »
mE ·
OG =
OP dm .
dt
dt P∈E
R
R
Compte tenu du principe de conservation de la masse, on peut
inverser la dérivation par rapport au temps et l’intégration sur la
masse :
Z
d # »
d # »
mE ·
OG =
OP dm.
dt
P∈E dt
R
R
On reconnaı̂t la vitesse du point G et celle du point P par rapport au
référentiel R :
Z
# »
# »
p# » =
V
· dm = m · V
(2)
E /R
P/R
E
G /R
p∈E
Torseur cinétique
Changement de point
Le champ des moments cinétiques σ# A,E /R» est équiprojectif, on peut
donc écrire :
#»
σ# B,E /R» = σ# A,E /R» + BA ∧ p# E /R»
(3)
#»
# »
σ# B,E /R» = σ# A,E /R» + BA ∧ mE · VG /R .
(4)
soit
Torseur cinétique
Cas du solide indéformable
L’hypothèse de solide indéformable, permet d’associer les propriétés
du champ des vecteurs vitesses d’un solide aux propriétés du torseur
cinétique. Ainsi, pour P et A deux points liés au solide :
#
» #
» # » #»
VP∈S/R = VA∈S/R + ΩS/R ∧ AP
(5)
# »
avec ΩS/R : le vecteur rotation du solide S par rapport au référentiel
R d’où le torseur.


Z
#
»


# »=


p
V
·
dm


S/R
P∈S/R
p∈S
Z
CS/R =
(6)
#» #
»

#
»


AP ∧ VP∈S/R · dm
σA,S/R =

p∈S
A
Torseur cinétique
Cas du solide indéformable - résultante cinétique
La résultante cinétique devient :
Z
# »
#
»
p# S/R» =
VP/R · dm = ms · VG ∈S/R .
p∈S
(7)
Torseur cinétique
Cas du solide indéformable - moment cinétique
Déterminons le moment cinétique :
Z
Z
» # » # »
#» #
»
# » #
σ# A,S/R» =
AP ∧ VP∈S/R · dm =
AP ∧ VA∈S/R + ΩS/R ∧ AP · dm
p∈S
p∈S
Z
Z
#»
#
»
# » # » # »
=
AP · dm ∧ VA∈S/R +
AP ∧ ΩS/R ∧ AP · dm
p∈S
p∈S
Zavec :
Zp∈S
#»
# »
AP · dm = ms AG et
# »
# » # » # »
AP ∧ ΩS/R ∧ AP · dm = IA (S) · ΩS/R
p∈S
# »
#» #
»
σ# A,E /R» = ms AG ∧ VA∈S/R + IA (S) · ΩS/R .
(8)
Torseur cinétique
Cas du solide indéformable
Résultante cinétique
# »
#
»
VP/R · dm = ms · VG ∈S/R .
(9)
# »
# » #
»
σ# A,E /R» = ms AG ∧ VA∈S/R + IA (S) · ΩS/R .
(10)
p# S/R» =
Z
p∈S
Moment cinétique
Torseur cinétique
Cas du solide indéformable - Cas particulier
A≡G
# »
σ# G ,E /R» = IG (S) · ΩS/R
A fixe
# »
σ# A,E /R» = IA (S) · ΩS/R
Mvt de translation
#» #
»
σ# A,E /R» = ms AG ∧ VA∈S/R
Torseur dynamique
Définition
Le torseur dynamique est le torseur des quantités d’accélération d’un
système matériel E dans son mouvement par rapport à R :


Z
# »
# »




A
=
Γ
·
dm


E
/R
P/R
Z p∈E
DE /R = #
(11)
»
#
»
#
»



AP ∧ ΓP/R · dm
δA,E /R =

p∈E
A
Torseur dynamique
Définition
I
# »
ΓP/R : accélération du point P de l’ensemble matériel E dans
son mouvement par rapport à R ;
Z
# »
# »
AE /R =
ΓP/R · dm : résultante dynamique de l’ensemble
I
matériel E dans son mouvement par rapport à R , on montre
aussi que
# »
# »
AE /R = mE · ΓG /R ;
(12)
Z
#
»
#» # »
δA,E /R =
AP ∧ ΓP/R · dm : moment dynamique en A de
I
p∈E
p∈E
l’ensemble matériel E dans son mouvement par rapport à R.
Torseur dynamique
Changement de point de réduction
Le champ des moments dynamiques est un champ de torseur. Pour
changer de point de réduction on utilise donc la relation générale des
torseurs :
#
» #
» #»
# »
δB,E /R = δA,E /R + BA ∧ mE · ΓG /S .
(13)
Torseur dynamique
Relation entre σ et δ
σ# A,E /R» =
Z
#» # »
AP ∧ VP/R · dm , on peut écrire en dérivant
p∈E


Z
Z d #
d # » # »
# » # »
d

σA,E /R» = 
AP ∧ VP/R dm =
AP ∧ VP/R
· dm
dt
dt
dt
R
R
p∈E
Z =
d # »
AP
dt
p∈E
Z =
p∈E
Z
=
R
Z
# »
AP ∧
p∈E
R
d # »
VP/R
· dm
dt
R
Z
d # » # »
# »
# » # »
OP − OA ∧ VP/R · dm +
AP ∧ ΓP/R · dm
dt
p∈E
R
# » # »
AP ∧ ΓP/R · dm
Z
# » # » # »
VP/R − VA/R ∧ VP/R · dm +
p∈E
p∈E
# »
∧ VP/R · dm +
p∈E
Z
Z
d #
# » # »
# » # »
σA,E /R» =
AP ∧ ΓP/R · dm −
VA/R ∧ VP/R · dm
dt
p∈E
R
p∈E
Torseur dynamique
Relation entre σ et δ
Z
Z
d #
#» # »
# » # »
VA/R ∧ VP/R · dm
σA,E /R» =
AP ∧ ΓP/R · dm −
dt
p∈E
R
p∈E
#
»
#» # »
AP ∧ ΓP/R · dm = δA,E /R ;
Z
I
p∈E
Z
I
p∈E
# » # »
# »
VA/R ∧ VP/R · dm = VA/R ∧
Z
# »
# » # »
VP/R · dm = mE ·VA/R ∧VG /R .
p∈E
D’où la relation cherchée entre le moment dynamique et le moment
cinétique :
d #
#
»
# » # »
δA,E /R =
σA,E /R» + mE · VA/R ∧ VG /R
(14)
dt
R
A un point géométrique quelconque et G le centre d’inertie de cet
ensemble matériel.
Torseur dynamique
Relation entre σ et δ
Finalement
#
»
δA,E /R =
d #
# » # »
σA,E /R» + mE · VA/R ∧ VG /R
dt
R
Cas particuliers
d #
#
»
I A ≡ G : δG ,E /R =
σG ,E /R» ;
dt
R d #
#
»
I A fixe de R : δA,E /R =
σA,E /R» .
dt
R
Détermination du moment dynamique
Il est en général plus facile de déterminer le moment cinétique que le
moment dynamique (le champ des vitesses est en général connu) puis de
dériver. On choisira de le calculer en un point caractéristique. Pour
obtenir le moment dynamique en un autre point on utilise la relation liant
les moments d’un torseur.
Torseur dynamique
Cas du solide indéformable
Pour un solide, à partir de la relation de composition des vitesses des
#
» #
» # » # »
points du solide :VP∈S/R = VQ∈S/R + ΩS/R ∧ QP.
Résultante dynamique :
#
»
# »
AS/R = mS ΓG ∈S/R
(15)
Moment dynamique en A point géométrique :
d #
# »
# » #
»
δA,S/R =
σA,S/R» + mS · VA/R ∧ VG ∈S/R
dt
R
(16)
Attention
Cette dernière relation est à manipuler avec précaution, en effet
# »
VA/R n’est pas toujours facile à évaluer pour un point quelconque,
on se limitera donc à calculer le moment dynamique uniquement en
des points avec des propriétés particulières.
Torseur dynamique
Cas du solide indéformable
Cas particuliers
I A est confondu avec G, alors :
d #
#
»
δG ,S/R =
σG ,S/R»
;
dt
R
I
A est un point fixe de R, alors :
d #
# »
δA,S/R =
σA,S/R» .
dt
R
(17)
(18)
Puis on utilisera la relation de changement de point des torseurs.
#
» # » #»
# »
δB,S/R = δA,S/R + BA ∧ mS · ΓG /S .
(19)
Énergie cinétique
Définitions
Masse ponctuelle L’énergie cinétique élémentaire d’un point P
affecté de la masse dm dans son mouvement par
rapport à un repère R est donnée par :
1# »
dTP/R = VP/R 2 dm
2
(20)
Ensemble matériel L’énergie cinétique d’un ensemble matériel E en
mouvement par rapport à un repère R est alors :
Z
1
# »
TE /R =
VP/R 2 dm
(21)
2 P∈E
L’unité de l’énergie cinétique est le Joule.
Énergie cinétique
Cas du solide indéformable
Soit un solide S de masse m, de centre d’inertie G, en mouvement
par rapport à un repère R , A un point lié au solide.
On peut alors écrire l’énergie cinétique du solide dans son
mouvement par rapport au référentiel R :
Z
1
#
»2
TS/R =
VP∈S/R dm.
(22)
2 P∈E
Énergie cinétique
Cas du solide indéformable
Déterminons l’énergie cinétique d’un solide :
Z
1
#
»2
#
» # » #»
TS/R =
VP∈S/R dmavec VVPS/R = VA∈S/R + ΩS/R ∧ AP
2 P∈E
Z
#
1
» # » # »2
dm
=
VA∈S/R + ΩS/R ∧ AP
2 P∈E
Z
Z
1
# » # »2
#
»
=
VA∈S/R 2 dm +
ΩS/R ∧ AP
dm
2
Z P∈E
Z P∈E
1
#
»2
#
» # » # »
TS/R =
VA∈S/R dm +
VA∈S/R · ΩS/R ∧ AP dm
2 P∈E
P∈E
Z
# » # »2
1
+
ΩS/R ∧ AP
dm
2 P∈E
Énergie cinétique
Cas du solide indéformable
Z
Z
1
#
»
#
» # » # »
VA∈S/R 2 dm +
VA∈S/R · ΩS/R ∧ AP dm
2 P∈E
P∈E
Z
# » # »2
1
+
ΩS/R ∧ AP
dm
2 P∈E
# »
#
»
VA∈S/R et ΩS/R indépendant de dm
Z
1 #
# »
»
#
»
#»
mS VA∈S/R 2 + VA∈S/R · ΩS/R ∧
AP dm
2
P∈E
Z
# » # » # » # »
1
+
ΩS/R ∧ AP · ΩS/R ∧ AP dm
2 P∈E
#» invariant par permutation
On reconnaı̂t le produit mixte ( #»
u ∧ #»
v )·w
# » # »
# » #» # »
#»
#»
circulaire avec u = Ω , v = AP et w = Ω
∧ AP
TS/R =
S/R
S/R
Énergie cinétique
Cas du solide indéformable
1 #
# » # » #
»
»
TS/R = mS VA∈S/R 2 + mS · ΩS/R · AG ∧ VA∈S/R
2Z
# » # » # » # »
1
+
AP ∧ ΩS/R ∧ AP · ΩS/R dm
2 P∈E
Z
# » # » # »
avec
AP ∧ ΩS/R ∧ AP
dm = IA (S), l’opérateur d’inertie
P∈E
du solide S en A.
Finalement la relation permettant de déterminer l’énergie cinétique
d’un solide :
1 #
# » # » #
»
»
TS/R = mS VA∈S/R 2 + mS · ΩS/R · AG ∧ VA∈S/R
(23)
2
1# »
# »
+ ΩS/R · IA (S) · ΩS/R
2
Énergie cinétique
Cas du solide indéformable
1 #
# » # » #
»
»
TS/R = mS VA∈S/R 2 + mS · ΩS/R · AG ∧ VA∈S/R
2
1# »
# »
+ ΩS/R · IA (S) · ΩS/R
2
(24)
Cette relation est assez difficile à utiliser, montrons que dans le cas
d’un solide, l’énergie cinétique peut aussi se calculer en réalisant le
comoment des torseurs cinématique et cinétique.
TS/R =
1
V
⊗ CS/R
2 S/R
(25)
Énergie cinétique
Cas du solide indéformable
I
Torseur cinématique
( # » en
) A du solide S par rapport R :
n
o
ΩS/R
VS/R = #
;
»
VA∈S/R
I
Torseur cinétique
du solide S par rapport
#
»
n
o mS · VG ∈S/R
R : CS/R =
.
σ# A,S/R»
A
A
TS/R =
o n
o 1
1n
VS/R ⊗ CS/R =
2
2
( # » )
#
»
Ω
mS · VG ∈S/R
⊗
# S/R »
#
»
σA,S/R
VA∈S/R
A
A
1# »
#
» #
»
= ΩS/R · σ# A,S/R» + mS · VA∈S/R · VG ∈S/R
2
1# »
# »
# » #
»
#
» #
»
= ΩS/R · ms · AG ∧ VA∈S/R + IA (S) · ΩS/R + mS · VA∈S/R · VG ∈S/R
2
1
# » # » #
# »
#
»
» 1 # »
TS/R = mS VA∈S/R 2 + mS · ΩS/R · AG ∧ VA∈S/R + ΩS/R · IA (S) · ΩS/R
2
2
On retrouve bien le même résultat. Cette relation est souvent plus facile
à mettre en œuvre que la relation générale.
Énergie cinétique
Cas du solide indéformable
L’énergie cinétique ne dépend pas du point de calcul, il est donc
toujours intéressant de la calculer en un point avec des propriétés
simplificatrices.
Pour un mouvement de translation ,
1 #
1 #
»
»
TS/R = mS VA∈S/R 2 = mS VG ∈S/R 2
2
2
(26)
En G, centre d’inertie du solide :
IG (S) la matrice d’inertie du solide S en G,
1 #
1# »
# »
»
TS/R = mS VG ∈S/R 2 + ΩS/R · IG (S) · ΩS/R
2
2
(27)
Énergie cinétique
Cas du solide indéformable
.
Pour un mouvement de rotation de centre C , point fixe dans le
mouvement de rotation ( rotule ou gyroscope) par
rapport au référentiel R avec IC (S) la matrice d’inertie
du solide S en C ;
1# »
# »
TS/R = ΩS/R · IC (S) · ΩS/R
(28)
2
#»
Pour un mouvement de rotation autour d’un axe fixe (C , u ) , dans
le référentiel, en C point fixe de l’axe de rotation du
solide S par rapport au référentiel R.
1# »
# » 1
TS/R = ΩS/R · IC (S) · ΩS/R = Iu · ωu2
(29)
2
2
#»
avec Iu le moment d’inertie autour de l’axe (C , u ) et
ωu , la vitesse de rotation.
Caractéristiques cinétiques d’un ensemble de solide
Torseur cinétique d’un ensemble de solides
Soit E un ensemble de n solides Si , en mouvement par rapport au
repère R Le torseur cinétique d’un ensemble de solide, est la somme
(en un même point) des torseurs cinétiques de chaque solide.
CE /R =
n
X
CSi /R
(30)
i=1
La résultante cinétique d’un ensemble de solides est la somme des
résultantes cinétiques et le moment cinétique en un point A d’un
ensemble de solides est la somme des moments cinétiques de chaque
solide en ce même point.
p# E /R» =
n
X
p# Si /R»
σ# A,E /R» =
i=1
n
X
σ# A,Si /R»
(31)
i=1
Caractéristiques cinétiques d’un ensemble de solide
Torseur dynamique d’un ensemble de solides
Le torseur dynamique d’un ensemble de solide, est la somme (en un
même point) des torseurs dynamique de chaque solide.
n
X
DE /R =
DSi /R
(32)
i=1
La résultante dynamique d’un ensemble de solides est la somme des
résultantes dynamiques et le moment dynamique en un point A d’un
ensemble de solide est la somme des moments dynamiques de
chaque solide en ce même point.
n
n
#
» X#
»
δA,E /R =
δA,Si /R
# » X# »
AE /R =
ASi /R
i=1
(33)
i=1
Caractéristiques cinétiques d’un ensemble de solide
Énergie cinétique d’un ensemble de solides
L’énergie cinétique d’un ensemble de solide est la somme des
énergies cinétiques.
n
X
TE /R =
TSi /R
(34)
i=1
En décomposant sur chaque solide :
n
1 X
VSi /R ⊗ CSi /R
2 i=1
( # » )
#
n
»
1 X ΩSi /R
mi VGi ∈Si /R
=
⊗
#
»
#
»
σAi ,Si /R
2 i=1 VAi ∈S/R
Ai
TE /R =
TE /R
Ai
Remarque : l’énergie cinétique ne dépendant pas du point de
calcul du comoment, chaque comoment peut-être calculé en un
point particulier caractéristique du mouvement considéré.
(35)
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