2-pres-cinetiquec-imp

Cin´etique
Torseur cin´etique- Torseur dynamique - ´ Energie cin´etique
Papanicola
Lyc´ee Jacques Amyot
7 octobre 2012
Sommaire
Torseur cin´etique
D´efinition
R´esultante cin´etique
Changement de point
Solide ind´eformable
Torseur dynamique
D´efinition
Changement de point de
r´eduction
Relation entre σet δ
Solide ind´eformable
´
Energie cin´etique
D´efinition
Solide ind´eformable
cas particuliers
Caract´eristiques cin´etiques d’un
ensemble de solide
Torseur cin´etique d’un ensemble
de solides
Torseur dynamique d’un
ensemble de solides
´
Energie cin´etique d’un ensemble
de solides
Torseur cin´etique
D´efinition
CE/R=
# »
pE/R=Zp∈E
# »
VP/R·dm
# »
σA,E/R=Zp∈E
# »
AP ∧
# »
VP/R·dm
A
(1)
Le torseur cin´etique est le torseur des quantit´es de mouvement d’un
syst`eme mat´eriel E dans son mouvement par rapport au r´ef´erentiel
R.
Torseur cin´etique
D´efinition
CE/R=
# »
pE/R=Zp∈E
# »
VP/R·dm
# »
σA,E/R=Zp∈E
# »
AP ∧
# »
VP/R·dm
A
I
# »
VP/R: Vitesse du point P du syst`eme mat´eriel E dans son
mouvement par rapport au r´ef´erentiel R;
I
# »
pE/R=Zp∈E
# »
VP/R·dm: R´esultante cin´etique de l’ensemble
mat´eriel E dans son mouvement par rapport `a R;
I
# »
σA,E/R=Zp∈E
# »
AP ∧
# »
VP/R·dm: Moment cin´etique au point A
de l’ensemble mat´eriel E dans son mouvement par rapport `a R.

Torseur cin´etique
R´esultante cin´etique
Soit O un point li´e au r´ef´erentiel Ret Gle centre d’inertie de
l’ensemble mat´eriel E, par d´efinition du centre d’inertie :
mE
# »
OG =RP∈E
# »
OP dm.
En d´erivant par rapport au temps dans R:
mE·d
dt
# »
OG R =d
dt ZP∈E
# »
OP dmR .
Compte tenu du principe de conservation de la masse, on peut
inverser la d´erivation par rapport au temps et l’int´egration sur la
masse :
mE·d
dt
# »
OG R =ZP∈Ed
dt
# »
OPR dm.
On reconnaˆıt la vitesse du point G et celle du point P par rapport au
r´ef´erentiel R:
# »
pE/R=Zp∈E
# »
VP/R·dm=mE·
# »
VG/R(2)
Torseur cin´etique
Changement de point
Le champ des moments cin´etiques # » σA,E/Rest ´equiprojectif, on peut
donc ´ecrire :
# »
σB,E/R=# » σA,E/R+
# »
BA ∧# » pE/R(3)
soit
# »
σB,E/R=# » σA,E/R+
# »
BA ∧mE·
# »
VG/R.(4)
Torseur cin´etique
Cas du solide ind´eformable
L’hypoth`ese de solide ind´eformable, permet d’associer les propri´et´es
du champ des vecteurs vitesses d’un solide aux propri´et´es du torseur
cin´etique. Ainsi, pour P et A deux points li´es au solide :
# »
VP∈S/R=
# »
VA∈S/R+
# »
ΩS/R∧
# »
AP (5)
avec
# »
ΩS/R: le vecteur rotation du solide S par rapport au r´ef´erentiel
Rd’o`u le torseur.
CS/R=
# »
pS/R=Zp∈S
# »
VP∈S/R·dm
# »
σA,S/R=Zp∈S
# »
AP ∧
# »
VP∈S/R·dm
A
(6)
Torseur cin´etique
Cas du solide ind´eformable - r´esultante cin´etique
La r´esultante cin´etique devient :
# »
pS/R=Zp∈S
# »
VP/R·dm=ms·
# »
VG∈S/R.(7)

Torseur cin´etique
Cas du solide ind´eformable - moment cin´etique
D´eterminons le moment cin´etique :
# »
σA,S/R=Zp∈S
# »
AP ∧
# »
VP∈S/R·dm=Zp∈S
# »
AP ∧# » VA∈S/R+
# »
ΩS/R∧
# »
AP·dm
=Zp∈S
# »
AP ·dm∧
# »
VA∈S/R+Zp∈S
# »
AP ∧# » ΩS/R∧
# »
AP·dm
avec :
Zp∈S
# »
AP ·dm=ms
# »
AG et
Zp∈S
# »
AP ∧# » ΩS/R∧
# »
AP·dm=IA(S)·
# »
ΩS/R
# »
σA,E/R=ms
# »
AG ∧
# »
VA∈S/R+IA(S)·
# »
ΩS/R.(8)
Torseur cin´etique
Cas du solide ind´eformable
R´esultante cin´etique
# »
pS/R=Zp∈S
# »
VP/R·dm=ms·
# »
VG∈S/R.(9)
Moment cin´etique
# »
σA,E/R=ms
# »
AG ∧
# »
VA∈S/R+IA(S)·
# »
ΩS/R.(10)
Torseur cin´etique
Cas du solide ind´eformable - Cas particulier
A≡G
# »
σG,E/R=IG(S)·
# »
ΩS/R
A fixe
# »
σA,E/R=IA(S)·
# »
ΩS/R
Mvt de translation
# »
σA,E/R=ms
# »
AG ∧
# »
VA∈S/R
Torseur dynamique
D´efinition
Le torseur dynamique est le torseur des quantit´es d’acc´el´eration d’un
syst`eme mat´eriel E dans son mouvement par rapport `a R:
DE/R=
# »
AE/R=Zp∈E
# »
ΓP/R·dm
# »
δA,E/R=Zp∈E
# »
AP ∧
# »
ΓP/R·dm
A
(11)

Torseur dynamique
D´efinition
I
# »
ΓP/R: acc´el´eration du point P de l’ensemble mat´eriel E dans
son mouvement par rapport `a R;
I
# »
AE/R=Zp∈E
# »
ΓP/R·dm: r´esultante dynamique de l’ensemble
mat´eriel E dans son mouvement par rapport `a R, on montre
aussi que # »
AE/R=mE·
# »
ΓG/R; (12)
I
# »
δA,E/R=Zp∈E
# »
AP ∧
# »
ΓP/R·dm: moment dynamique en A de
l’ensemble mat´eriel E dans son mouvement par rapport `a R.
Torseur dynamique
Changement de point de r´eduction
Le champ des moments dynamiques est un champ de torseur. Pour
changer de point de r´eduction on utilise donc la relation g´en´erale des
torseurs : # »
δB,E/R=
# »
δA,E/R+
# »
BA ∧mE·
# »
ΓG/S.(13)
Torseur dynamique
Relation entre σet δ
# »
σA,E/R=Zp∈E
# »
AP ∧
# »
VP/R·dm, on peut ´ecrire en d´erivant
d
dt
# »
σA,E/RR =
d
dt Z
p∈E
# »
AP ∧
# »
VP/Rdm
R
=Z
p∈E
d
dt
# »
AP ∧
# »
VP/RR ·dm
=Z
p∈E
d
dt
# »
APR ∧
# »
VP/R·dm+Zp∈E
# »
AP ∧d
dt
# »
VP/RR ·dm
=Z
p∈E
d
dt
# »
OP −
# »
OAR ∧
# »
VP/R·dm+Zp∈E
# »
AP ∧
# »
ΓP/R·dm
=Zp∈E# » VP/R−
# »
VA/R∧
# »
VP/R·dm+Zp∈E
# »
AP ∧
# »
ΓP/R·dm
d
dt
# »
σA,E/RR =Z
p∈E
# »
AP ∧
# »
ΓP/R·dm−Zp∈E
# »
VA/R∧
# »
VP/R·dm
Torseur dynamique
Relation entre σet δ
d
dt
# »
σA,E/RR =Z
p∈E
# »
AP ∧
# »
ΓP/R·dm−Zp∈E
# »
VA/R∧
# »
VP/R·dm
IZp∈E
# »
AP ∧
# »
ΓP/R·dm=
# »
δA,E/R;
IZ
p∈E
# »
VA/R∧
# »
VP/R·dm=
# »
VA/R∧Z
p∈E
# »
VP/R·dm=mE·
# »
VA/R∧
# »
VG/R.
D’o`u la relation cherch´ee entre le moment dynamique et le moment
cin´etique :
# »
δA,E/R=d
dt
# »
σA,E/RR +mE·
# »
VA/R∧
# »
VG/R(14)
A un point g´eom´etrique quelconque et G le centre d’inertie de cet
ensemble mat´eriel.

Torseur dynamique
Relation entre σet δ
Finalement
# »
δA,E/R=d
dt
# »
σA,E/RR +mE·
# »
VA/R∧
# »
VG/R
Cas particuliers
IA≡G :
# »
δG,E/R=d
dt
# »
σG,E/RR ;
IA fixe de R :
# »
δA,E/R=d
dt
# »
σA,E/RR .
D´etermination du moment dynamique
Il est en g´en´eral plus facile de d´eterminer le moment cin´etique que le
moment dynamique (le champ des vitesses est en g´en´eral connu) puis de
d´eriver. On choisira de le calculer en un point caract´eristique. Pour
obtenir le moment dynamique en un autre point on utilise la relation liant
les moments d’un torseur.
Torseur dynamique
Cas du solide ind´eformable
Pour un solide, `a partir de la relation de composition des vitesses des
points du solide :
# »
VP∈S/R=
# »
VQ∈S/R+
# »
ΩS/R∧
# »
QP.
R´esultante dynamique :
# »
AS/R=mS
# »
ΓG∈S/R(15)
Moment dynamique en A point g´eom´etrique :
# »
δA,S/R=d
dt
# »
σA,S/RR +mS·
# »
VA/R∧
# »
VG∈S/R(16)
Attention
Cette derni`ere relation est `a manipuler avec pr´ecaution, en effet
# »
VA/Rn’est pas toujours facile `a ´evaluer pour un point quelconque,
on se limitera donc `a calculer le moment dynamique uniquement en
des points avec des propri´et´es particuli`eres.
Torseur dynamique
Cas du solide ind´eformable
Cas particuliers
IA est confondu avec G, alors :
# »
δG,S/R=d
dt
# »
σG,S/RR ; (17)
IA est un point fixe de R, alors :
# »
δA,S/R=d
dt
# »
σA,S/RR .(18)
Puis on utilisera la relation de changement de point des torseurs.
# »
δB,S/R=
# »
δA,S/R+
# »
BA ∧mS·
# »
ΓG/S.(19)
´
Energie cin´etique
D´efinitions
Masse ponctuelle L’´energie cin´etique ´el´ementaire d’un point P
affect´e de la masse dmdans son mouvement par
rapport `a un rep`ere R est donn´ee par :
dTP/R=1
2
# »
VP/R2dm(20)
Ensemble mat´eriel L’´energie cin´etique d’un ensemble mat´eriel E en
mouvement par rapport `a un rep`ere R est alors :
TE/R=1
2ZP∈E
# »
VP/R2dm(21)
L’unit´e de l’´energie cin´etique est le Joule.