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Cours-Transfert-de-chaleur

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Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
CHAPITRE 1
MODES DE TRANSFERT DE CHALEUR
1. Introduction
L’énergie thermique se transmet d’un point à un autre, dans un même corps, à chaque fois
qu’il existe un gradient de température. Ce phénomène est aussi valable lorsque 2 systèmes, à
températures différentes se mettent en contact. La théorie qui étudie le processus de propagation
de la chaleur porte le nom de transfert ou transmission de chaleur. La chaleur transmise ne peut
être mesurée ou observée directement. Mais les effets qu’elle produit sont observables et
mesurables.
La science qui étudie les relations entre la chaleur et les autres formes d’énergie
s’appelle : thermodynamique. Elle gouverne toutes les transformations d’énergie
quantitativement. Mais ne place pas de restrictions quant à la direction de la transformation.
Tous les processus de transfert de chaleur impliquent la transmission et la conversion
d’énergie. Ils doivent, alors obéir aux premier et deuxième principes de la thermodynamique.
 Premier principe : L’énergie ne peut être ni créée ni détruite.
 Deuxième principe : La chaleur ne peut être transmise d’une zone à température moins
élevée vers une zone à température plus élevée.
Mais cela ne peut, pour autant, dire que la théorie de transfert de chaleur est dérivée de la
thermodynamique. Car la thermodynamique classique a pour but principal d’étudier les états
d’équilibre mécanique, chimique et même thermique. Alors que le transfert de chaleur est le
résultat de non équilibre de température. Son traitement quantitatif doit se baser sur une autre
branche de la science. Le même raisonnement s’applique aux autres types de processus de
transport tel que celui de masse ou de diffusion.
La thermodynamique classique traite des états de système d’un point de vue
macroscopique et ne fait pas d’hypothèses au sujet de la structure de la matière. L’analyse
thermodynamique permet de décrire l’état d’un système en terme de caractéristiques grossières,
tels que la pression, volume et température qui peuvent être mesurer directement et n’implique
aucune supposition concernant la structure de la matière. Ces variables ou propriétés
thermodynamiques ne sont pas significatives pour le système seulement si elles sont uniformes
durant les transformations. Ainsi, la thermodynamique classique n’est pas concerné par le détail
du processus, mais plutôt, par les états d’équilibre et leurs relations. D’un point de vue
thermodynamique, la quantité de chaleur transmise au cours d’un processus est simplement égale
à la différence des énergies échangées du système et le travail effectué. Il est évident que ce type
d’analyse ne considère ni le mécanisme de l’écoulement de la chaleur ni le temps nécessaire au
transfert de la chaleur. Elle décrit simplement quelle quantité de chaleur faut-il fournir au
système ou la céder durant le processus entre des états spécifiques finaux, sans considérer quand
ni comment ceci peut être accompli. Le fait que cette information ne peut pas être obtenue de
l’analyse thermodynamique résulte de l’absence du temps en tant que variable. La question de
combien de temps va durer le transfert d’une certaine quantité spécifique de chaleur qui malgré
son importance, ne rentre habituellement pas dans l’analyse thermodynamique.
Dans le domaine d’engineering la clef des problèmes consiste à la détermination du taux
de transfert de chaleur correspondant à une différence de température bien spécifique. Pour
estimer le coût, la faisabilité et les dimensions de l’équipement nécessaires à la transmission
d’une certaine quantité de chaleur pour un temps donné, une analyse détaillée du mécanisme de
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Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
transfert de chaleur doit être réalisée. Les dimensions d’un évaporateur, d’un réchauffeur, d’un
réfrigérateur ou d’un échangeur de chaleur ne dépendent pas seulement de la quantité de chaleur
à transmettre, mais encore du taux auquel cette chaleur sera transférée dans les conditions
données. Le fonctionnement réussi des systèmes de machines tels que les aubes d’une turbine ou
bien les parois d’une chambre de combustion dépend des possibilités de refroidissement de
certaines parties des matériaux par évacuation continue de la chaleur à des taux rapides.
L’analyse de transfert de chaleur doit être aussi réalisée pour le design des machines électriques,
transformateurs et les paliers de roulement afin d’éviter les conditions qui peuvent conduire à
une surchauffe et la détérioration des équipements. Ces exemples montrent que la plupart des
branches d’engineering rencontrent les problèmes de transfert de chaleur dont les solutions ne
proviennent pas du raisonnement thermodynamique seul mais exige une analyse basée sur la
théorie de transfert de chaleur.
En transfert de chaleur, comme dans d’autres branches d’engineering, les solutions
réussies des problèmes nécessitent des suppositions et idéalisations. Il est presque impossible de
décrire exactement un phénomène physique. Ainsi, pour exprimer un problème sous forme
d’équations qui peuvent être résolues il est nécessaire d’introduire des approximations. Dans les
calculs des circuits électriques, par exemple, il est usuel d’assumer que les valeurs de résistances,
capacités et inductances sont indépendantes du courant qui les traverse. Cette supposition
simplifie l’analyse, mais dans certains cas elle peut sérieusement affecté la précision des
résultats. Des approximations similaires sont prises en compte dans les problèmes de transfert de
chaleur. En réalité les propriétés physiques telles que : chaleur spécifique ou la viscosité
changent avec la température. Mais si une valeur moyenne adéquate est choisie, le calcul peut
être considérablement simplifier sans faire d’erreur appréciable dans les résultats finaux.
Le transfert de chaleur peut être défini comme étant le phénomène de transmission de la
chaleur d’une zone à une autre à la base de la différence de température qui existe entre elles.
Etant donné que la différence de température existe dans tout l’univers, le phénomène de
l’écoulement de la chaleur est universel comme ceux associés à l’attraction terrestre. Ce
phénomène étant différent de la gravité terrestre, il n’est pas gouverné par une unique relation,
mais plutôt par une combinaison varié de lois physiques indépendantes.
Généralement dans la littérature sur le transfert de chaleur il est reconnu trois modes de
transmission de la chaleur : Conduction, Rayonnement et Convection. Mais, proprement dit, seul
la conduction et le rayonnement doivent être classés en tant que processus de transfert de
chaleur. Parce que c’est les deux seuls mécanismes, qui pour leur opération dépendent
uniquement de l’existence d’une différence de température. L’autre mode qui est la convection
n’est pas tout à fait compatible avec la définition du transfert de chaleur, parce que son opération
dépend aussi du transport mécanique de masse. Mais parce que la convection assure aussi la
transmission d’énergie d’une zone à température élevée vers une autre à faible température, que
l’expression « de transfert de chaleur par convection » est acceptée.
Dans les paragraphes suivants nous passerons en revue les équations de base gouvernant
chaque mode de transfert de chaleur. Le but principal est de faire connaissance de manière
superficielle sans donner trop de détails. Nous commençons par considérer des cas simples. Puis
mettre l’accent sur le cas naturel des transferts de chaleur combinés ou simultanés.
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Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
1.1 Conduction
Dans un même corps (solide, liquide ou gazeux) si on soumet l’une de ses parties à une
température plus élevée, par exemple, l’équilibre thermique (même température partout) dans
lequel se trouvait ce corps sera rompu et la différence de température (gradient de température)
qui s’installe va engendrer une propagation de la chaleur vers les parties les moins chaudes. Ce
phénomène porte le nom de transfert de chaleur par conduction. L’agitation moléculaire élevée
de la zone chaude communiquera de l’énergie cinétique aux zones plus froides par interactions
de ces dernières. Ce phénomène a lieu sans déplacement de la matière. C’est pour cette raison
que, généralement, la conduction concerne les corps solides. Il en est de même pour les liquides
et gaz, mais dès que le milieu se mets en mouvement ça devient un autre mode de transfert de
chaleur qui est la convection. La conduction est un phénomène de diffusion qui permet donc à la
chaleur de se propager à l’intérieur d’un corps solide. La propagation de la chaleur par
conduction à l’intérieur d’un corps s’effectue selon deux mécanismes distincts : une transmission
par les vibrations des atomes ou molécules et une transmission par la diffusion des électrons
libres.
1.1.1Quelques définitions
Pour bien comprendre les définitions qui suivent prenons un exemple concret de
transfert de chaleur. Considérons le cas d’une barre.
t1>t2
z
t2
t1
y
x
Fig. 1.1 : Conduction dans une barre
1.1.1.1 Champ de température
Le processus de transfert de chaleur par conduction, comme d’autre modes
d’échange de chaleur, peut avoir lieu uniquement dans le cas où il y a une
différence de température entre les points de ce corps (fig.1). Ce phénomène
s’accompagne d’une variation de température dans l’espace et dans le temps.
L’étude analytique de la conduction conduit à la résolution de l’équation :
t = f(x, y, z, )
(1.1)
Cette équation représente l’expression mathématique du champ de température.
Ainsi, nous définissons le champ de température comme étant l’ensemble des
valeurs de température de tous les points de l’espace étudié dans le temps.
1.1.1.2 Régime temporel
Du point de vue temporel on peut citer les 2 cas possibles de type de
conduction.
 La conduction en régime stationnaire appelé aussi régime permanent,
lorsque le température ne dépend pas du temps. Dans ce cas là l’équation
(1.1) s’écrit :
t = f(x, y, z),
t
0

Exemple : Si on maintient les extrémités de la barre (fig.1) à des
températures différentes et constantes tout en isolant les surfaces latérales,
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Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
on peut constater la stabilité des températures de tous les points de la barre.
Ces températures deviennent constantes et ne varient pas dans le temps.
On peut réaliser cela facilement expérimentalement en plaçant l’extrémité
gauche de la barre dans un récipient d’eau en ébullition (100°C) et
l’extrémité droite dans un autre récipient contenant de la glace fondante
(0°C).
 Dans le cas contraire, lorsque la température dépend du facteur temps, on
dit que le régime est instationnaire ou variable (défini par l’équation
(1.1))
Exemple : Dans le cas de la barre (fig.1), entre l’instant initial où la
température de tous les points est la même (équilibre thermique) et l’état
de stabilité des températures de tout ces points et les extrémités à T1 et T2,
il y a eu évolution des températures dans le temps.
Pour la résolution des problèmes thermiques on est souvent appeler à rechercher
l’équation de la distribution de la température qui est elle-même celle du champ
de température.
Selon les exigences une étude thermique peut être considérée dans l’un des cas
suivants :
- Unidimensionnelle :
- Stationnaire : t = f(x),
t t
t

 0;
0
y z

;
t t

0
y z
;
- ou instationnaire : t = f(x, ),
- Bidimensionnelle :
t
t
 0;
0
z

t
y, ),
0 ;
z
-Stationnaire : t = f(x, y),
- Instationnaire : t = f(x,
- Tridimensionnelle :
-Stationnaire : t = f(x, y, z),
t
0

- Instationnaire : t = f(x, y, z, )
1.1.1.3 Gradient de température
Dans le cas de la barre (fig. 1), certains points peuvent avoir la même
température. La liaison de ces points donne une surface isotherme. Si on suppose
que les surfaces latérales sont soumises à un échange de chaleur avec le milieu
ambiant et que les points du centre ont des températures plus élevées, on peut
représenter schématiquement les surfaces isothermes dans la barre. Comme un
point ne peut avoir 2 températures différentes, les surfaces isothermes ne se
coupent pas.
La coupe des surfaces isothermes par un plan perpendiculaire à l’une des surfaces
latérales donne un ensemble d’isothermes (fig. 2).
t1>t2
y
t1
x
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Isotherme
t2
Fig. 1.2 : Surfaces isothermes
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Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
Le plus grand accroissement de température entre des isothermes voisines a lieu
dans la direction normale aux isothermes (fig.3).
t1>t2
t1
t+∆t
n
∆t
t-∆t
∆n
t2
Fig. 1.3 : Gradient de température
Cet accroissement est caractérisé par le gradient de température qui est défini par
la relation mathématique suivante :
 t
t
lim
grad t ;
g r a d t = n0
 n 0  n
n

où n 0 est le vecteur unitaire normal à l’isotherme.
∆n : distance entre 2 isothermes voisines.
Le gradient de température est un vecteur dirigé suivant la normale à l’isotherme
dans le sens de l’augmentation de la température. Ainsi, il est opposé au sens de
propagation de la chaleur.
La valeur scalaire du gradient de température  t /  n n’est pas la même pour les
différents points d’une isotherme. Cette valeur est plus grande là où ∆n est plus
petite.
La valeur de  t /  n dans le sens de la propagation de chaleur est négative.
1.1.2
Loi de Fourier (1822)
Le transfert de chaleur spontané dans un corps solide, d’une zone de
température élevée vers une autre zone de température plus basse obéit à la loi
dite de Fourier (établie mathématiquement par Jean Baptiste Biot en 1804 puis
expérimentalement par Fourier en 1822)
Expérience
Considérons l’expérience de la figure 3. Une paroi plane d’un matériau connu est
soumise à 2 sources de chaleur. Le côté gauche est en contact avec l’eau en
ébullition pour maintenir sa température constante à t1=100°C. Le côté droit en
contact de l’eau contenant de la glace permet de maintenir sa température
constante à t2=0°C. Les surfaces en contact avec les liquides sont égales à S. Pour
ne considérer que la propagation de chaleur unidimensionnelle suivant l’axe X,
nous prévoyons une isolation thermique des surfaces latérales suivant Y et Z. Le
transfert de chaleur dans la paroi étant en régime stationnaire, en mesurant les
températures à différents points suivant X et en les portant dans un graphe t=f(x),
nous constatons que la distribution de température est linéaire. La pente de la
S
t1=100°C
Q
t2=0°C
x
Fig. 1.4 : Schéma de l’expérience
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Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
droite obtenue est égale à dt/dx. Si cette expérience est répétée pour d’autres
parois de matériau différent, les données de résultats nous conduisent à en déduire
que la quantité de chaleur transmise entre les 2 surfaces S, au cours du temps ,
est proportionnel au gradient de température et au coefficient caractérisant le
matériau de la paroi.
dt
(1.2)
d Q  
.d S.d 
dx
dQ : quantité de chaleur, [Joule]
dt/dx : gradient de température
S : surface perpendiculaire au passage de la chaleur
 : temps
L’expérience a montré que le coefficient  de proportionnalité caractérisant le
matériau de la paroi est un paramètre physique du matériau ; on l’appelle:
Coefficient de conductivité thermique
La loi de Fourier (1.2) est une loi qui a été observée expérimentalement. Dans la
théorie de transfert de chaleur on utilise souvent la notion de flux de chaleur, noté
par : «  », qui exprime le taux de transfert de chaleur [J/s]. C’est aussi la
puissance thermique.
dQ/d= d [Joule/s=Watt]
(1.3)
Le flux thermique transmis par unité de surface qui représente la puissance
thermique par unité de surface porte le nom de densité de flux de chaleur, noté
par : « q ».
q
d
dQ
dt

 
d s d S.d 
dx
[W/m2]
(1.4)
La densité de flux thermique est un vecteur dirigé suivant la normale à la surface
isotherme, mais de sens contraire au vecteur gradient de température. Son sens
positif coïncide avec celui de l’accroissement de la température. Ce qui explique
la présence du signe moins (-) dans la formule (1.2).
∆t
t+∆t
t-∆t
t1>t2
t1
t2
grad t
q
Fig. 1.5 : Représentation des vecteurs q et grad
Ce signe moins exprime aussi que la chaleur se propage dans le sens de la
diminution de la température (de la zone chaude vers la zone froide). Ainsi, si la
température dans la paroi diminue avec l’augmentation de la coordonnée X le
gradient de température est négatif (comme défini précédemment), le signe moins
assure que la densité de flux thermique soit positif. Inversement, si la température
augmente avec l’augmentation de X, dt/dx est positif et q négative.
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Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
Les figures suivantes montrent bien le rôle du signe moins de la loi de Fourier
(1.2).
q
q
q
q
t1
t2
t1
x
x
dt
dx
q0
d t t 2  t1
0

dx
x
x
x
x
q  
1.1.3
t2
t1
t2
dt
dx
q0
d t t 2  t1
0

dx
x
q  
;
t2
t1
x
dt
dx
q0
d t t 2  t1
0

dx
x
x
q  
;
x
dt
dx
q0
d t t 2  t1
0

dx
x
q  
;
Conduction à travers une paroi plane
Déterminons La quantité de chaleur transmise à travers une paroi d’épaisseur « e »
et de coefficient de conductivité thermique «  ». Les températures aux surfaces
étant t1 et t2 constantes (t1>t2).
dt
D’après la loi de Fourier : q  
dx
La séparation de variables donne : q.d x  .d t
L’intégration de x=0 à x=e pour la partie gauche et de t1 à t2 pour la partie
e
t2
0
t1
droite donne :  q.d x   .d t




q.e   (t 2  t1 )

q  (t1  t 2 ) [ w / m 2 ]
e

  q.s  (t1  t 2 )s [ w]
e

Q  .  q.s.  (t1  t 2 )s. [ J]
e
(1.5)
(1.6)
(1.7)
Application 1.1
Calculer la densité de flux, le flux et la quantité de chaleur transmise,
pendant 3 heures, à travers un mur de béton de longueur 5m, de hauteur 4m et
d’épaisseur 250 mm. Les surfaces interne et externe sont aux températures 40°C
et 15°C respectivement. Le coefficient de conductivité thermique du béton est
égal à 1,1 W / m  C .
Solution : Appliquons la relation (1.5) pour calculer la densité de flux.
1,1
q   (t1  t 2 ) 
40 15 110 W/m2 
3 
e
250.10
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Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
Pour le flux, appliquons la formule (1.6).
  q.s  110  5x4   2200 [W]
La quantité de chaleur est calculé à partir de (1.7).
Q  .  2200  3x3600  23760 [kJ]
1.1.4
Analogie électrique
Etant donné la similitude dans le mécanisme de passage du courant électrique et
du transfert de chaleur dans les corps solide, nous pouvons faire une analogie.
Après arrangement de l’équation du flux thermique donnée par la loi de Fourier, nous
pouvons l’écrire sous la forme suivante :
t
t
(1.8)
s
; 
x
x
s
Cette équation ressemble à la loi d’Ohm de la conduction électrique qui a pour
expression :
V
I
R
Avec : I=courant électrique (A) ;
∆V=différence de potentiel (V) ;
R= résistance électrique () ;
On peut remarquer qu’il y a une analogie mathématique directe entre la conduction de la
chaleur (loi de Fourier) et la conduction de l’électricité (loi d’Ohm). La résistance
analogue dans la loi de Fourier s’appelle résistance thermique, notée par Rt et défini par:
x
(1.9)
Rt 
s
t t
d’où l’équation (1.5) s’écrit sous la forme :  
=
 x Rt

s
q
 t t1  t 2

=
t1
t2
t1
R
Rt
t
Rt
t2
I
V1
1.1.5
Re
x
V2
 V V1  V2
I
=
Re
Re
x
t1
Rt
t2
Coeficient de conductivité themique
Le coefficient de conductivité est un paramètre physique du matériau. Il
caractérise la capacité d’un matériau à transmettre de la chaleur. D’après la loi de
Fourier, le coefficient de conductivité thermique est numériquement égal à la
quantité de chaleur qui est transmise par unité de temps à travers une unité de
surface isotherme et un gradient de température égal à l’unité.
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Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur

q
grad t

q
d t/d x
 w 
m . K


(1.10)
Etant donné, que dans le système international l’unité de la quantité de chaleur est
Joule [J], le temps en seconde [s], la surface en mètre carré [m2] et la température
en Kelvin [K], l’unité du coefficient de conductivité thermique est : [w/m.K].
En raison de la différence des interactions moléculaires, notamment l’espacement
entre molécules, dans les corps solides , liquides et gazeux, le coefficient de
conductivité thermique diffère d’un état à un autre. Un matériau ayant une bonne
conductivité thermique conduit la chaleur plus rapidement qu’un autre à faible
conductivité, comme les plastiques. Les matériaux qui présentent une grande
résistance à la propagation de la chaleur sont appelés matériaux isolants. La laine
de verre, le polystirène et la scorie sont ds isolants thermiques très utilisés dans
l’industrie. La figure 6 donne une idée générale sur les valeurs moyennes du
coefficient de conductivité des différents corps.
La conductivité thermique, comme tout autre propriété thermique, doit être
déterminée expérimentalement pour l’ensemble des matériaux.
Dans l’introduction de la loi de Fourier nous avons considéré le coefficient de
conductivité comme étant constant. Alors qu’en réalité, comme toutes les
propriétés mécaniques et thermiques de la matière, il dépend de la température. La
figures 7, illustre la variation du coefficient de conductivité thermique des
différents corps (solides, liquides et gaz) en fonction de la température.
Zinc
Argent
Métaux purs
Nickel
Aluminium
Alliages
Plastiques
Glace
Oxydes
Solides non métalliques
Huiles
Eau
Mercure
Liquides
Mousses
Fibres
Isolants
CO2
H2
Gaz
0,01
0,1
1
10
100
1000
Conductivité thermique, [w/m.K]
Fig. 1.6 : Valeurs du coefficient de conductivité thermique
pour différents corps aux conditions normales [1]
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Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
Figure 1.7 : Varistion du coefficient de conductivité en fonction de la température
Lors du transfert de chaleur dans un même corps, lorsque ses points sont à
différente température, il est important de connaître la dépendance du coefficient
de conductivité en fonction de la température. Dans un intervalle de température
limité, on peut adopter par approximation une loi linéaire de variation de la
conductivité on fonction de la température.
  t   0 1  b(t  t 0 )
(1.11)
où 0 est la valeur de la conductivité à la température t0 ;
et b est une constante empirique.
1.2 Convection
La convection est le mode de transfert de chaleur lié au mécanisme de propagation
de la chaleur entre une surface solide et un fluide (gaz ou liquide) en mouvement en
contact de cette surface. Ce phénomène est omniprésent dans notre vie quotidienne. Les
enfants ont toujours appris que pour refroidir un aliment chaud, il faut lui souffler dessus.
En hivers, pour réchauffer les mains froides on souffle dessus. Pour refroidir un verre de
lait chaud on le verse dans un autre verre. Pour faire sécher des cheveux mouillés on
utilise un séchoir qui envoie de l’air chaud. Dans l’industrie on utilise des équipements
appelés échangeurs de chaleurs qui fonctionnent sur le principe de la convection pour
chauffer ou refroidir des fluides. Les deux fluides (l’un chauffant et l’autre chauffé)
s’échangent de la chaleur à travers une paroi. On peut citer le radiateur de la voiture qui
constitue l’un des meilleurs exemples des échangeurs de chaleur.
La convection peut être forcée ou naturelle (libre). Dans le cas où le mouvement du fluide
est provoqué par une force extérieure : pompes pour les liquides ; ventilateurs et
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10
Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
compresseurs pour les gaz, on est en présence de la convection forcée (fig.1.8a). Et dans
le cas contraire, quand le mouvement du fluide se fait naturellement sous l’effet de la
différence de masse volumique des particules du fluide, on l’appelle naturelle (fig.1.8b).
Dans ce cas les particules qui ont reçu une énergie thermique de la part de la paroi leur
masse volumique diminue, et sous l’effet de la poussée d’Archimède un écoulement
ascendant est crée au sein du fluide.
b) Convection naturelle
a) Convection forcée
y
y
u
x
uy
t
y
Ecoulement
forcé de
fluide
uy
q
Paroi
chauffée
ty
q
tp
y
x
Paroi chauffée
uy : distribution de la vitesse
ty : distribution de la température
ty
tp
Ecoulement ascendant naturel
Fig. 1.8 : Couche limite en convection forcée et naturelle
Dans les deux cas de la figure 1.8 (forcée ou naturelle) au contact de la surface de
la paroi la vitesse des particules du fluide est nulle, en raison des effets de la viscosité. On
sait aussi, d’après la mécanique des fluides, que la vitesse augmente de plus en plus en
s’éloignant de la paroi, jusqu’à une certaine distance de la surface, où la vitesse devient
constante et égale à u. La couche de fluide à coté de la paroi dans laquelle la vitesse
varie de zéro à la valeur u porte le nom de couche limite dynamique. Dans cette couche
l’écoulement peut être aussi bien laminaire que turbulent.
Dans le cas de la convection naturelle, la vitesse croit de zéro jusqu’à une valeur
maximale, correspondant à un maximum de la poussée d’archimède. Puis décroît jusqu’à
s’annuler en raison de la perte d’énergie thermique en s’éloignant de la parois.
La paroi étant chauffée et maintenue à la température tp supérieure à celle du fluide, elle
provoque la variation de la température dans une certaine couche du fluide de tp à t.
Cette couche dans laquelle la température varie de tp à t s’appelle couche limite
thermique. Au-delà de cette couche la température du fluide reste constante à t.
Le transfert de chaleur par convection est proportionnel à l’écart de température existant
entre la paroi et le fluide. Mathématiquement ceci peut être exprimé par la relation
suivante :
  S(t p  t  )
Avec S : surface de contact du fluide
En introduisant une constante proportionnelle, on obtient :
(1.12)
  hS(t p  t  )
  h.S. t
L’équation (1.9) est connue sous le nom de loi de Newton. La constante de
proportionnalité « h » s’appelle coefficient de transfert de chaleur par convection. Il
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11
Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
dépend d’un grand nombre de paramètres caractérisant le fluide, l’écoulement, la
géométrie de la paroi, etc. Son unité est : W/m2.K ou bien :W/m2.°C
La différence de température ∆t de l’expression (1.20) peut s’écrire de deux façons :
Dans le cas où l’échange de la chaleur se fait de la paroi vers le fluide :  t  (t p  t  ) , et
dans le cas contraire :  t  (t   t p ) . Dans la suite du cours le symbole « ∞ » sera
remplacé par l’indice «fl » qui veut dire fluide.
1.2.1 Valeurs typiques du coefficient de transfert de chaleur par convection [2]
1. Convection naturelle
 Paroi verticale H=0,25 m (hauteur), à l’air libre :
 Cylindre horizontale, =5 cm (extérieur), à l’air libre
 Cylindre horizontale, =2 cm (extérieur), dans l’eau
 Sphère,  = 2 cm, dans l’huile moteur :
 h = 5,0 w/m2.K
 h = 8,0 w/m2.K
 h = 800 w/m2.K
 h = 60 w/m2.K
2. Convection forcée
 Ecoulement d’air à u=10m/s et t=25°C sur paroi plane de longueur :
L = 10 cm  h = 40 w/m2.K
L = 50 cm  h = 17 w/m2.K
 Ecoulement : u=5m/s à travers cylindre: =1 cm (extérieur)
Air atmosphérique  h = 85 w/m2.K
Huile moteur :
 h = 1800 w/m2.K
 Ecoulement d’eau à l’intérieur d’un tube : =2,5 cm (intérieur) à un débit de:
0,5 kg/s  h = 3500 w/m2.K
1,0 kg/s  h = 11000 w/m2.K
3. Convection avec changement de phase
 Eau en ébullition :
Bassin ou récipient
 h = 2500 à 35000 w/m2.K
Ecoulement dans un tube  h = 5000 à 100000 w/m2.K
 Condensation de la vapeur d’eau :
Surfaces verticales
 h = 4000 à 11000 w/m2.K
A l’extérieur de tube horizontal  h = 9500 à 25000 w/m2.K
1.2.2 Analogie électrique
De même que nous avons procédé
pour la conduction, la notion de résistance
thermique est aussi valable pour le cas
du transfert de chaleur par convection.
Ainsi, si nous considérons que la résistance
thermique est égale à : R = 1/h, la formule
(1.9) s’écrit alors :
S
(t p  t  )
Fluide en écoulement
t1
t2

conv
()
tfl

x
x
R
t2
Rt
tfl
Fig. 1.9 :Résistance thermique de convection
Enseignant : A. Benbrik
12
Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
Application 1.2
Calculer le taux de chaleur (flux de chaleur) transmis par convection entre le toit
d’une maison et l’air ambiant. La surface du toit étant égale à 20m x 20m. La température
du toit est de 27°C et celle de l’air -3°C. Le coefficient de transfert de chaleur par
convection entre le toit et l’air est égal à 10 W / m 2  C .
Solution : Le flux recherché peut être obtenu en appliquant l’équation (1.12).
  hS(t p  t fl )  10 20x20 27  ( 3)  120 kW
1.3 Rayonnement
La conduction et la convection sont des mécanismes de transfert de chaleur qui
nécessitent des milieux matériels pour la propagation de la chaleur. Alors que la chaleur peut
aussi bien être transmise sans la présence de ce milieu matériel. L’exemple le plus connu de
tous est celui de l’échauffement de la terre par le soleil. Effectivement c’est grâce aux ondes
électromagnétiques, qu’on appelle rayonnement, que la chaleur est transmise entre les corps.
D’après la théorie des ondes électromagnétiques, on sait que leur vitesse de propagation dans
le vide est de 3.108m/s (vitesse de la lumière dans le vide). Pour faire la part des choses, il
faut dire que ce n’est pas toutes les ondes électromagnétiques qui transportent de la chaleur.
Parmi la variété d’ondes électromagnétiques les plus connues telles que : rayon de
transmission de radio et télévision, téléphonie, micro-ondes, infrarouge, Lumière visible,
ultraviolet, rayon X, rayon cosmiques  et , seules les rayons infrarouge, lumière visible et
l’ultraviolet transportent la chaleur.
1.3.1
Lois du rayonnement
D’après la théorie du rayonnement, tout corps rayonne quelque soit sa
température. Considérons une paroi plane telle que représentée sur la figure 10. Etant à
une température différente de celle des corps avoisinant, elle reçoit et émet du
rayonnement thermique.
G
E
Fig. 1.10 : Emittance et Eclairement
Le rayonnement émit par la paroi, appelé aussi Emittance, est défini comme suit.
 Emittance : noté par la lettre "E", correspond à l’énergie émise par la paroi.
D’après la loi de Stefan-Boltzman, on peut calculer l’ Emittance d’ un corps
noir :
E n   T 4 [w/m 2 ]
(1.13)
Avec  : constante de Stefan-Boltzman, = 5,67.10-8 [w/m2.K4] ;
T : température de la surface de la paroi en Kelvin ;
L’ indice « n » indique que le corps est noir ;
Enseignant : A. Benbrik
13
Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
Connaissant l’ Emittance d’ un corps noir, on peut calculer le flux de
chaleur émit par ce corps.
  E n .S  S  T 4 [W]
(1.14)
Avec S : surface émettant le rayonnement.

Emittance d’un corps réel :
E   T 4 [w/m 2 ] et   S  T 4 [W]
(1.15)
Avec  : coefficient d’émissivité thermique, caractérisant l’état de surface ;
  1, pour les corps noir  = 1
D’après cette loi, on en déduit qu’un corps noir émet plus que tous les
corps réels.
Le rayonnement reçu par la paroi, appelé aussi rayonnement incident ou
éclairement, est défini comme suit.
 Eclairement : noté par la lettre "G", est défini comme étant le rayonnement
parvenant de l’extérieur à la surface de la paroi. Selon les caractéristiques
radiatives de cette surface, une partie ou la totalité de ce rayonnement incident
peut être absorbée. L’énergie thermique du rayonnement absorbée par la paroi
peut être calculé d’après la relation suivante :
(1.16)
G abs  a.G
Avec a : coefficient d’absorption de la paroi
Pour certains corps a = .
1.3.2
Echange de chaleur entre surfaces
Le phénomène de rayonnement implique toujours l’échange de chaleur entre deux
ou plusieurs surfaces. Dans ces conditions on s’intéresse à la connaissance du flux
net résultant de cet échange de chaleur. Ainsi, le flux net est égal à la différence
entre les flux de chaleur émit et absorbé par une surface. En général, le calcul du
flux net est compliqué, car il dépend des propriétés radiatives des surfaces en
interaction, de l’orientation de ces surfaces et du milieu qui les sépare. Parfois Les
surfaces sont séparées par un milieu participant au rayonnement (absorbant,
émettant et même diffusant) appelé milieu semi transparent.
Considérons le cas simple d’un corps de surface S1 et un coefficient d’émissivité
1, à la température absolue T1 qui se trouve complètement entouré par un autre
corps noir (2 =1) de surface plus grande S2 à la température T2 (T1>T2) (fig. 1.11).
Le milieu séparant les 2 corps étant un milieu transparent (milieu non absorbant,
non émettant et non diffusant), l’air par exemple, le flux net échangé est calculé de
la manière suivante.
S2 (surfaces environnantes),
2=1, T2
E
E
G
G
S1, 1, T1
Fig. 1.11:Flux net échangé entre surfaces
Enseignant : A. Benbrik
14
Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
En appliquant la définition du flux net échangé entre ces 2 surfaces, il en résulte :
 net  12   21
1 2  S11 T14
 21  S1G abs
et G abs  a1G  a1 T24
 21  S1a1 T24
d’où  net  S11T14  a1T24 
et pour   a ,
 net  S1T14  T24  [W]
(1.17)
Pour plus de commodité, nous écrivons l’expression précédente du flux net
sous la même forme que celle de la convection. Au lieu du coefficient de
convection h nous introduisons le coefficient de rayonnement hr. Ainsi, nous
aurons la relation suivante :
 net  S1h r T1  T2 
(1.18)
avec h r  T1  T2 T12  T22 
Application 1.3
Calculer le flux de chaleur, par unité de surface, émis par le soleil si sa
température est égale à 5700°C et les conditions de rayonnement sont proches de celles
d’un corps noir.
Solution : En considérant le soleil comme étant un corps noir (=1), appliquons
l’équation (1.15). Le flux par unité de surface correspond à la densité de flux (q).
q   T 4  15,67.10 8 5700+273  72,2.106 W/m 2 
4
1.4
Modes de transfert de chaleur combinés
De manière générale, il est rare de trouver un processus de transmission de chaleur réalisé
sous un seul mode de transfert de chaleur (conduction, convection ou rayonnement). Dans la
plupart des cas pratiques les modes de transfert de chaleur sont combinés et associés à 2 ou 3
modes en même temps.
Exemple : pour un corps chaud en contact d’un fluide, sa chaleur est transmise au milieu ambiant
par convection et rayonnement. Dans ce cas 3 situations peuvent se présenter.
 Si le corps est en contact de liquide c’est la convection qui est dominante ;
 Si le corps est à haute température et est en contact de gaz, c’est le
rayonnement qui est dominant ;
 Si aucun mode n’est dominant, on doit considérer la convection et la
rayonnement.
Exemple d’application : Si on considère une paroi plane soumise à un flux de chaleur 1 d’un
côté et de l’autre côté à un écoulement (fig. 1.12). Ce flux sera transmis à travers la paroi par
conduction et à partir de la surface en contact avec le fluide le transfert de chaleur se fait par
convection et rayonnement.
Enseignant : A. Benbrik
15
Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
Fluide en écoulement
cond
t1
ray
t2
1
conv
()
e
tfl
x
Fig. 1.12: Transfert combiné
D’après le premier principe de la thermodynamique, la loi de conservation d’énergie pour le cas
stationnaire (sans considération du facteur temps) est la suivante.
1   cond   conv   ray
1.4.1
Conservation d’énergie d’un volume de contrôle
En thermodynamique on utilise la notion de système thermodynamique. Et on
défini le système thermodynamique fermé comme étant le système qui n’échange ni
énergie (chaleur ou travail) ni matière avec le milieu extérieur. Et un système ouvert par
la possibilité d’échanger de l’énergie.
En transfert de chaleur on utilise la notion de volume de contrôle pour caractériser
la zone du corps étudié, limitée par les surfaces à travers desquelles il y a lieu les
échanges d’énergies (chaleur).
Considérons un volume de contrôle représenté par sa surface limite (ligne en
pointillées (fig. 1.13).
Eg
Ee
Es
Est
Fig. 1.13 : Energies dans un volume de contrôle
En appliquant la loi de conservation d’énergie à ce volume de contrôle on obtient
l’expression suivante :
(1.19)
E e  E g  E s  E st
Avec :
Ee : énergie entrante
Es : énergie sortante
Ces 2 types d’énergie correspondent aux échanges d’énergie au niveau des
surfaces du volume de contrôle (conduction, convection et rayonnement). Dans
certains cas, il arrive que même la matière soit échangée au niveau des surfaces du
volume de contrôle (énergie interne, cinétique et potentielle).
Eg : énergie générée
L’énergie générée à lieu à l’intérieur du volume de contrôle. Elle est due à la
transformation d’énergie d’origine électrique, chimique, électromagnétique, ou
nucléaire en énergie thermique. L’exemple le plus connu est celui de
l’échauffement par effet joule des circuits électrique lors du passage de courant
Enseignant : A. Benbrik
16
Chapitre 1 : Modes de transfert de chaleur
dans ces circuits. L’énergie générée est volumique car elle concerne tout le
volume du corps étudié. Son unité est : w/m3.
Est : énergie stockée
L’énergie stockée est relative au changement des énergies : interne, cinétique et
potentielle dans le volume de contrôle. Mais souvent dans les applications on
néglige la variation des énergies cinétique et potentielle. Et on ne considère que la
variation de l’énergie interne comme pour le cas du changement de phase d’un
corps où l’énergie stockée est égale à la variation de l’énergie latente. L’énergie
stockée est elle aussi volumique.
Selon l’importance de chacun de ces énergies, se présente les cas suivants :
Si
E e  E g  E s  Accumulation d’énergie dans le volume de contrôle ;
E e  E g  E s  Diminution d’énergie dans le volume de contrôle ;
Si
Si
E e  E g  E s  E st  0 c’est le cas stationnaire (pas de changement de
quantité d’énergie stockée dans le volume de contrôle).
Application 1.4
Une surface dont la température est maintenue constante à 400°C est séparée d’un
écoulement d’air par une couche d’isolant de 25mm d’épaisseur et de coefficient de
conductivité égal à 0,1 W / m  C . Si la température de l’air est à 35°C et le coefficient de
convection entre l’air et la surface externe de l’isolant est égal à 500 W / m 2  C , quelle est
la température de cette surface externe.
Solution :
Isolant
Volume de contrôle
q2
q1
t1
Fluide
t2
tfl
λ
x
Figure 1.14 : Volume de contrôle
Enseignant : A. Benbrik
En considérant le volume de contrôle autour de la
couche d’isolant (figure 1.14), nous pouvons voir
qu’il y a une énergie entrante (Ee=q1) et une énergie
sortante (Es=q2). Appliquons l’équation 1.19 pour
établir le bilan d’énergie.
Comme il n’y a pas de source de chaleur à l’intérieur
de l’isolant l’énergie générée est nulle. Aussi, parce
que le régime est stationnaire, l’énergie stockée est
nulle.
E e  E g  Es  Est
 Ee  Es
 q1  q 2 ;

avec q1   t1  t 2  et q 2  h  t 2  t fl 
e

  t1  t 2   h  t 2  t fl 
e
 /e t1  ht fl  37,9 C
 t2 
 /e  h
17
Chapitre 2 : Equation d’énergie
CHAPITRE 2
CONDUCTION : EQUATION D’ENERGIE
1. Introduction
Dans la résolution des problèmes de transfert de chaleur par conduction dans les corps
solides on s‘intéresse souvent à connaitre le champ de température, ainsi que le flux de chaleur
transmis. Ces données importantes sont essentielles pour optimiser le dimensionnement de ces
corps soumis aux échanges de chaleur, notamment les épaisseurs de couches d’isolation
thermique. Pour cela nous avons besoin de l’équation de base qui réunie tous les paramètres
caractérisant le phénomène de conduction dans un corps solide. Cette équation parte le nom
d’équation d’énergie.
2. Equation d’énergie
L’équation d’énergie appelée aussi équation de la diffusion de la chaleur ou bien encore
équation différentielle de la chaleur a pour but de permettre de déterminer le champ de
température dans l’espace et dans le temps du corps étudié. Une fois la distribution de la
température est connue, on peut aisément calculer le flux de chaleur transmis par conduction.
Etudier un phénomène quelconque, d’une manière générale, revient à mettre en relation (en
équation) les paramètres qui le caractérisent. A cause de la variation des ces paramètres dans
l’espace et le temps, il est compliqué de les lier en relation. Mais à l’aide de la théorie de la
physique mathématique on a pu solutionner ce problème. En limitant l’espace en un volume
élémentaire (dv) et le temps en un laps de temps (d). Ainsi, ces considérations ont permit
d’éviter la variation de certains paramètres caractérisant le phénomène et de simplifier
considérablement la dépendance de ces paramètres. Les grandeurs dv et d sont infiniment
petites du point de vue mathématique, mais suffisamment grand du point de vue physique, afin
de permettre de considérer le milieu continu.
Pour l’obtention de cette équation, prenons un volume élémentaire (volume de contrôle), en
coordonnées cartésiennes (fig. 2.1). Nous supposons la présence d’une source de chaleur à
l’intérieur de ce volume qui génère une énergie thermique volumique de puissance Eg. Afin de
simplifier l’obtention de cette équation, nous considérons les hypothèses suivantes :
 Le corps étudié est homogène et isotrope,
 Les paramètres physiques (c, , ),
 La déformation du volume élémentaire due à la variation de la température est
négligeable.
Enseignant : A. Benbrik
1
Chapitre 2 : Equation d’énergie
z
z+dz
t(x, y, z)
x
Eg
∆z
x+dx
Es
∆y
x
∆x
y
y
y+dy
z
Fig. 2.1 Volume de contrôle en coordonnées cartésiennes
Le volume de contrôle est soumis à un ensemble de quantité d’énergie à ses surfaces
limitrophes énergies entrant et sortant) et à l’intérieur (énergie générée et stockée) qui se
résument comme suit.
 Sur les faces avants (x, y, z) arrivent une certaine énergie entrant dans le volume de
contrôle qu’on désigne par le flux de chaleur : x, y, z.
 Sur les facettes opposées (x+dx, y+dy, z+dz) il en sort un flux de chaleur :
x+dx, y+dy, z+dz.
Le développement en série de Taylor de ces grandeurs et en négligeant les termes de rang élevé,
nous obtenons :
 x
 x  dx   x 
dx
x
 y
 y dy   y 
dy
y
 z
dz
z
 A l’intérieur du volume de contrôle est générée une certaine énergie à cause de la
présence de la source de chaleur. Cette énergie générée vaut :
w
  qdxdydz

E g  qdv
; où q est le flux généré par unité de volume  3 
m 
 z  dz   z 
 Aussi à l’intérieur du volume de contrôle l’énergie est stockée sous forme d’énergie
interne. Cette énergie stockée est égale à :
u
E st   dv

Enseignant : A. Benbrik
2
Chapitre 2 : Equation d’énergie
Etant donné la relation de thermodynamique suivante :
h  u  pv ; où h : enthalpie, u : énergie interne ; p : pression
et v : volume spécifique.
 du  dh  pdv  vdp
En présence de conduction dans les solides : dv=dp=0
 du  dh
c v dt  cp dt  c v  cp  c
La variation de l’énergie interne du volume de contrôle en fonction du temps est égal à :
u
t
c


Ainsi, l’énergie stockée dans le volume de contrôle est égale à :
t
t
E st   c dv   c dxdydz


Maintenant que nous connaissons les différentes énergies soumises au volume de contrôle,
appliquons la loi de conservation d’énergie à ce volume de contrôle.
E e  E g  E s  E st
   x  dx   y dy   z  dz   c
 x   y   z  qdv

t
dv

 y
 x
 z
t
   c dv
dx 
dy 
dz  qdv
x
y
z

(2.1)
D’après la loi de Fourier :
 x   Sx
t
t
t
t
;  y   Sy
;
  dydz
  dxdz
x
x
y
y
t
t
  dxdy
z
z
En introduisant ces expressions dans l’équation (2.1) et en divisant tous les termes par dv nous
obtenons la forme générale de l’équation de la chaleur:
et  z   Sz
  t    t    t 
t
            q   c
x  x  y  y  z  z 

(2.2)
En divisant par  et en introduisant le coefficient de diffusivité de chaleur : a 

, nous
c
obtenons l’équation d’énergie:
 2 t  2 t  2 t q 1  t


 
(2.3)
 x 2  x 2  x 2  a 
t
Si la conduction est stationnaire (
 0 ) on retrouve l’équation de Poisson

 2 t  2 t  2 t q


 0
x2 x2 x2 
Enseignant : A. Benbrik
3
Chapitre 2 : Equation d’énergie
Si dans l’équation (2.3) il y a absence du terme de chaleur générée ( q  0 ), l’équation est
appelée : équation de diffusion.

2t 2t 2t 1 t



 x 2  x 2  x 2 a 
Si la conduction est stationnaire (
(2.4)
t
 0 ), en absence de la chaleur générée, l’équation porte le

nom de Laplace :
2t 2t 2t


0
(2.5)
x2 x2 x2
Pour le cas d’étude de la conduction monodimensionnelle, l’équation (2.5) devient :

2t
 0 ou bien encore si nous utilisons l’équation (2.2) :
x2
qx
  qx 
  t 
 0,
   0  
0 
x
x  x 
x  x 
Cette dernière expression nous indique qu’en régime stationnaire et en absence de source de
chaleur, le flux reste constant.
2.1 Coordonnées cylindriques
Dans le cas où le transfert de chaleur par conduction a lieu dans des corps de forme
cylindrique tel que les tubes ou conduites cylindriques (fig. 2.2), il est nécessaire d’utiliser les
coordonnées cylindriques.
Les nouveaux paramètres sont : r,  et z
Le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques se fait à l’aide des
relations suivantes :
x  r cos  et y  r sin
Fig. 2.2 Coordonnées cylindriques
D’après la loi de Fourier, la densité de flux thermique suivant les 3 coordonnées sont :
Enseignant : A. Benbrik
4
Chapitre 2 : Equation d’énergie
t
 t
t
, q  
et q z  
r
r 
z
En appliquant le bilan d’énergie au volume de contrôle différentiel, on obtient la forme générale
de l’équation de la chaleur en coordonnées cylindrique.
q r  
1   t  1   t    t 
t
 r   2         q  c
r r  r  r     z  z 

(2.6)
2.2 Cordonnées sphériques
Dans le cas de géométries sphériques, il faut utiliser les coordonnées sphériques.
Les nouvelles paramètres sont : r,  et 
Le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées cylindriques se fait à l’aide des
relations suivantes :
x  r sin cos , y  r sin sin et z  r cos
Fig. 2.3 Coordonnées sphériques
D’après la loi de Fourier, la densité de flux thermique suivant les 3 coordonnées sont :
t
 t
 t
q r   , q   
et q  
r sin 
r
r 
En appliquant le bilan d’énergie au volume de contrôle différentiel, on obtient la
générale de l’équation de la chaleur en coordonnées sphériques.
forme
1   2 t 
1
  t 
1 
t 
t
  2
(2.7)
 r
 2 2
  sin    q  c

2
r r 
r  r sin      r sin   
 

3. Conditions aux limites
L’équation de la chaleur obtenue précédemment est déduite des lois générales de la
physique. Cette équation aux dérivées partielles linéaire du 2ème ordre décrit le processus de
transfert de chaleur par conduction dans un contexte général. Du point de vue mathématique, sa
résolution permet d’obtenir une infinité de solutions. Ainsi, pour rechercher l’unique solution
d’un problème concret de transfert de chaleur par conduction, on doit fournir toutes les
Enseignant : A. Benbrik
5
Chapitre 2 : Equation d’énergie
informations qui le caractérisent. Ces informations appelées conditions aux limites informent sur
le processus dans le temps et les conditions aux frontières (surfaces limitant) le corps étudié.
Concernant le temps, l’équation différentielle de la conduction est de 1ère ordre, d’où il faut
fournir une seule condition exprimée par la condition de l’état initial. Pour les coordonnées
spatiales, l’équation est de 2ème ordre, d’où il faut fournir 2 conditions aux frontières pour chaque
coordonnée.
3.1 Conditions initiales
Ces conditions sont indispensables dans le cas de l’étude du transfert de la chaleur
en régime instationnaire (transitoire). Dans le cas général, les conditions initiales sont
données sous la forme suivante :
t(  0,x,y,z)  f (x,y,z)
Si à l’instant initial, la température est uniforme égale à t0, on écrit :
t(  0,x,y,z)  t 0
3.2 Conditions aux frontières
A  > 0 les conditions réelles de l’état thermique des surfaces limitant le corps
étudié peuvent être très variées, mais elles se ramènent souvent, après approximation, à
l’une des 3 conditions classiques suivantes.
3.2.1 Conditions de 1er ordre (Dirichlet)
Cette condition correspond au cas où les températures aux surfaces sont connues (fig.
2.3a). Elle est exprimée par la relation suivante.
t(x,y,z, )  f (x,y,z, )
Si la température est constante, égale à t0, la condition est exprimée par la relation:
t(x,y,z, )  t 0
Cette condition peut être réalisé approximativement par la mise en contact de la surface du
système avec de la glace fondante à la température constante de 0°C (fig. 2.3b).
z
z
75
0
67
55
0
73
0
41
0
0
39
0
x
a) : t(x,y,z)=f(x,y,z)
y
x
b) : t(x,y,z)=t0
y
Fig. 2.3 Condition de 1er ordre (Dirichlet)
La résolution de l’équation différentielle associée à ce type de condition permet de déterminer le
gradient de température, la distribution de la température et le flux thermique.
Enseignant : A. Benbrik
6
Chapitre 2 : Equation d’énergie
3.2.2 Conditions de 2ème ordre (Newman)
Cette seconde condition correspond à l’existence d’un flux de chaleur arrivant à la
surface du corps étudié (fig. 2.5). Elle est exprimé par la relation suivante.
q  f (x,y,z, )  q x 0  
t  x, 
 f (x,y,z, ) , à la surface x=0.
x x 0
Si le flux est constant sur toute la surface, cette condition s’exprime par :
q  q 0  const  -
t  x,
 q0
x x 0
z
q1
z
q0
q0
q2
q0
q3
q0
q4
q5
q0
x
a) : q=f(x,y,z)
x
b) : q=q0=Const.
y
y
Fig. 2.4 Condition de 2er ordre (Newman)
Cette condition est réalisée, pratiquement, en installant à la surface d’un corps une résistance
électrique chauffante. C’est aussi le cas du chauffage de pièces dans un four à haute température.
3.2.2.1 Cas particuliers
 Condition d’isolation thermique
Dans la pratique, on utilise souvent des couches de matériaux isolant (polystyrène, laine
de verre, etc…) pour éviter les déperditions de chaleur (fig. 2.5). Cette condition implique que le
flux de chaleur sur cette surface est nul (q=0). C’est le cas d’une frontière parfaitement isolée ou
adiabatique. Cette condition est exprimée par la relation suivante.
t  x,
0
x x 0
Isolant
t=100°C
x
e
0
L
Fig. 2.5 Condition d‘isolation thermique
Enseignant : A. Benbrik
7
Chapitre 2 : Equation d’énergie
 Condition de symétrie
La condition de symétrie (fig.2.6) est exprimée par la relation suivante.
t  x,
0
x x L/2
.
axe de symétrie
pente nulle
x
0
L/2
L
Fig. 2.6 Condition de symétrie
3.2.3 Conditions de 3ème ordre
Ce type de condition concerne l’échange de chaleur par convection entre la surface d’un
corps et un fluide en mouvement en contact de ce corps (fig. 2.7).
Ecoulement d’eau
tfl1
cond
Gaz chaud
h1
h2
t1
conv1
conv2
t2
()
0
tfl2
L
x
Fig. 2.7 Condition de 3ème ordre
Cette condition aux frontières s’exprime à l’aide de la loi fondamentale de convection.
q  h(t s  t fl ) ,
Si la température de la surface du corps (ts) est supérieure à celle du fluide (tfl). Dans le cas
contraire, on a : q  h(t fl  t s ) .
Enseignant : A. Benbrik
8
Chapitre 2 : Equation d’énergie
D’où la condition de 3ème ordre s’exprime par :
 Pour la surface de gauche

t  x, 
 h(t fl  t1 )
x x 0
 Pour la surface de droite

t  x, 
 h(t 2  t fl )
x x  L
Application
Donner la formulation du problème pour l’étude du transfert de chaleur stationnaire dans
un petit cylindre plein (tige) de rayon R et une hauteur H dont lequel se trouve une source de
chaleur interne. Le cylindre est soumis à un échange de chaleur par convection sur sa surface
latérale. La température de l’air ambiant est tfl et le coefficient de convection h. La surface de
base (z=0) est isolée et celle du haut (z=H) reçoit un flux thermique q constant.
Solution :
1    t   2 t q
 0
Equation d’énergie :
r 
r  r  r  z 2 
Conditions aux limites :
 t(r, 0)
 0 , condition de symétrie
z
 t(r, H)

q
z
t(0, z)
 0, condition d'isolation thermique
r
t(r1 , z)

 h[t(r, z)  t fl ]
r
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9
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
CHAPITRE 3
CONDUCTION STATIONNAIRE
1. Introduction
Rappelons la définition qui a été donnée au chapitre précédent. La conduction en régime
stationnaire appelé aussi régime permanent veut dire que la température ne dépend pas du
temps. Pratiquement ceci correspond à la situation où les différents points d’un corps ont chacun
une température qui est stable dans le temps. P
Exemple : Si on maintient les extrémités de la barre (fig.3.1) à des températures différentes et
constantes tout en isolant les surfaces latérales, on peut constater la stabilité des températures de
tous les points de la barre. Ces températures sont constantes et ne varient pas dans le temps.
On peut réaliser cela facilement expérimentalement en plaçant l’extrémité gauche de la barre
dans un récipient d’eau en ébullition (100°C) et l’extrémité droite dans un autre récipient
contenant de la glace fondante (0°C).
2. Paroi plane (Mur plan)
2.1 Conditions aux limites de 1er ordre (Dirichlet)
Dans ce paragraphe nous étudions le transfert de chaleur stationnaire dans une paroi plane
à une seule dimension X (appelée aussi mur plan car les dimensions suivant les axes Y et Z sont
illimitées), sans source de chaleur. A l’issue de cette étude nous devons obtenir la température à
n’importe quelle coordonnée de cet axe ainsi que le flux de chaleur transmis à travers cette paroi.
Pour introduire ce cas d’étude, considérons les conditions de l’exemple cité
précédemment. Un corps sous forme de mur plan dont les faces droite et gauche sont maintenues
aux températures de 100°C et 0°C respectivement comme illustré sur la figure (3.1).
Surfaces isolées
q
t1=100°C
t1=100°
t2=0°C
Q
Q
(λ)
e
Surfaces isolées
t2=0°C
x
x
Rt
Fig. 3.1 : schéma su mur plan soumis à l’échange de chaleur
Enseignant : A. Benbrik
1
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
Pour la résolution, posons le problème à l’aide d’une formulation correct de ce dernier.
Cette formulation consiste d’abord à donner l’équation d’énergie relative au cas étudié, plus les
conditions aux limites.
Formulation du problème
Etant donné que l’étude est en régime stationnaire, en coordonnées cartésiennes à 1D et
sans source de chaleur, l’équation d’énergie est la suivante :
∂ 2 t + ∂ 2 t + ∂ 2 t + q& = 1 ∂t
a ∂τ
∂x 2 ∂x 2 ∂x 2 λ
2
⇒ ∂ t =0
∂x 2
(0.1)
Les conditions aux limites :
t ( x = 0 ) = t1 = 100°C;
t ( x = e ) = t 2 = 0°C
Résolution
Maintenant que la formulation du problème est complète (équation d’énergie plus les
conditions aux limites), passons à la résolution.
Une première intégration de l’équation différentielle de 2ème ordre, donne :
dt = C
1
dx
Une 2ème intégration, nous donne :
t ( x ) = C1x + C2
(0.2)
On en déduit que la distribution de la température est linéaire.
Calculons les constant en utilisant les conditions aux limites.
Pour x = 0 ⇒ t=t1 → C2 = t1;
t −t
Pour x = e ⇒ t=t 2 → C1 = 2 1 ;
e
Introduisons les expressions de C1 et C2 dans l’équation (3.2).
t −t
t ( x ) = 2 1 x + t1
e
(3.3)
Déterminons la densité du flux thermique. D’après la loi de Fourier on a : q=-λ dt
dx
−λ ( t 2 − t1 )
q=-λ dt = −λC1 =
dx
e
Enseignant : A. Benbrik
2
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
λ ( t1 − t 2 )
(3.4)
[W/m 2 ]
e
Si la surface latérale du mur à travers laquelle passe la chaleur est donnée, on peut
calculer le flux thermique.
Φ = q.s = λ (t1 − t 2 )s [W]
(3.5)
e
Et si on donne le temps de passage du flux, on peut calculer la quantité de chaleur.
Q = Φ.τ = q.s.τ = λ (t1 − t 2 )s.τ [J]
(3.6)
e
⇒ q=
• Analogie électrique
On peut résoudre ce problème par la méthode de l’analogie électrique qui a été
exposée au chapitre 1. En se référant à la figure (3.1), et en reprenant la formule de calcul
du flux de chaleur, on :
t −t
avec R t = e ⎡ K ⎤
(3.7)
Φ = Δt = 1 2 [ W ]
λs ⎢⎣ W ⎥⎦
Rt
Rt
Si on fait abstraction de la surface, on peut calculer la densité du flux : q.
⎡ 2 ⎤
t −t
q = Φ = Δt = 1 2 [ W ] avec R 't = e ⎢ m K ⎥
λ ⎣ W ⎦
s R'
R 't
m2
t
(3.8)
2.2 Conditions aux limites de 3ème ordre (Fourier)
Cette condition correspond à la situation d’une paroi comprise entre 2 fluides (liquideliquide, liquide-gaz ou gaz-gaz). Ainsi, le transfert de chaleur se fait entre les 2 fluides à travers
la paroi solide qui les sépare. C’est le cas du principe de fonctionnement des échangeurs de
chaleur. Pour bien comprendre comment se fait ce transfert de chaleur on peut prendre l’exemple
simple d’un chauffe-eau qui est constitué d’un serpentin (conduite de cuivre en forme de ressort
cylindrique au milieu duquel se trouve un bruleur (petite rampe de gicleur) à gaz (naturel ou
butane) qui produit une flamme. Ainsi, l’eau qui circule dans le tube en cuivre du serpentin est
chauffée grâce au contact des gaz de combustion chauds avec le tube. La figure 3.2 schématise
ce phénomène.
tfl1
Ecoulement d’eau
Φcond
Gaz chaud
Φconv1
t1
Φconv2
t2
(λ)
e
tfl2
x
Fig. 3.2 : Echange de chaleur à travers une paroi
Enseignant : A. Benbrik
3
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
Formulation du problème
2
Equation d’énergie : ∂ t = 0
∂x 2
• Conditions aux limites :
−λ
−λ
∂t ( x = 0, τ )
∂t ( x, τ )
= −λ
∂x
∂x
∂t ( x = L, τ )
∂t ( x, τ )
= −λ
∂x
∂x
x =0
x =L
= h1 (t fl1 − t1 )
= h 2 (t 2 − t fl2 )
Résolution
Pour la résolution, nous utilisons la condition du flux constant. Car étant en régime
stationnaire, on a la relation suivante:
∂q
=0
∂x
Ainsi, nous pouvons écrire :
Φ conv1 = Φ cond = Φ conv2 = Φ
D’où
h1S ( t fl1 − t1 ) = λS ( t1 − t 2 ) = h 2S ( t 2 − t fl2 ) = Φ
(3.9)
e
⇒ h1 ( t fl1 − t1 ) = λ ( t1 − t 2 ) = h 2 ( t 2 − t fl2 ) = q
(3.10)
e
A partir de cette équation, nous pouvons déterminer l’expression du flux de chaleur
transmis du fluide 1au fluide 2 de la manière suivante :
de l’équation : q = h ( t fl1 − t1 ) , nous tirons l’expression de t1
t1 = t fl1 −
q
h1
Introduisons cette expression dans l’équation de conduction q = λ ( t1 − t 2 ) .
e
Ainsi, t2 est égale à :
⎛
⎞
t 2 = t fl1 − q ⎜ e + 1 ⎟ .
⎝ λ h1 ⎠
De même, par substitution de celle-ci dans l'équation de la convection
2 : q = 1 ( t 2 − t fl2 ) , nous obtenons l’équation de la densité du flux transmis entre les 2 fluides.
h2
q=
( t fl1 − t fl2 )
⎛ 1 e 1 ⎞
⎜h +λ+h ⎟
2⎠
⎝ 1
Enseignant : A. Benbrik
(3.11)
4
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
⇒Φ=
( t fl1 − t fl2 )
(3.12)
⎛ 1
e
1 ⎞
⎜ h S + λS + h S ⎟
2 ⎠
⎝ 1
En appliquant l’analogie électrique (fig.3.6) pour ce cas où les résistances sont en série,
l’équation 2… s’écrit :
tfl1
Ecoulement d’eau
Φcond
Gaz chaud
t1
Φconv1
Φconv2
t2
(λ)
e
tfl1
R2
R1
tfl2
x
R3
tfl2
Fig. 3.3 : Formulation avec résistances électriques
Φ=
( t fl1 − t fl2 )
( R1 + R 2 + R 3 )
=
( t fl1 − t fl2 )
R tot
(3.13)
R1 = 1 , R 2 = e et R 3 = 1 : Résistances thermiques des différents milieux
h1S
λS
h 2S
(fluide1, paroi solide et fluide2).
Application 2.1
Un carreau de verre d’une voiture d’épaisseur 4mm et λ=1,4 w / m ⋅°C sépare
l’ambiance de l’intérieur qui est à la température de 40°C et le milieu ambiant extérieur dont la
température est de -10°C. Les coefficients de convection interne et externe sont respectivement
30 w / m 2 ⋅°C et 65 w / m 2 ⋅°C . Calculer les températures des surfaces interne et externe du
carreau de verre.
Solution :
Calculons la densité du flux transmise entre les 2 fluides.
( t fl1 − t fl2 ) = 40 − (−10) = 980,39 ⎡ W / m2 ⎤
q=
⎣
⎦
⎛ 1 e 1 ⎞ 1 0, 004 1
⎜ h + λ + h ⎟ 30 + 1, 4 + 65
2⎠
⎝ 1
La densité de flux est constante à travers les différentes résistances thermiques.
q
980,39
h1 ( t fl1 − t1 ) = q ⇒ t1 = t fl1 − = 40 −
= 7, 4°C
h1
30
Enseignant : A. Benbrik
5
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
q
980,39
h 2 ( t 2 − t fl2 ) = q ⇒ t 2 =
− t fl2 =
+ (−10) = 5°C
h2
65
2.2.1 Paroi à n-couches
Ce cas d’étude fait référence à des applications pratiques telles que les revêtements des
corps par plus d’une couche (fig. 3.4). Nous pouvons citer l’exemple du revêtement d’un mur de
maçonnerie à l’aide d’un crépissage plus l’enduit d’un côté et d’un simple crépissage de l’autre
côté.
Crépissage 1
Paroi du mur
Crépissage 2
Enduit
Φ
t2
t1
t3
Q
t4
t5
λ2
λ1
λ3
λ4
x
e1
e2
e3
e4
R1 R2
R3
R4
Figure 3.4 : schéma de mur à 4 couches
Etant toujours dans le cas de la conduction stationnaire, le flux passant à travers chaque
couche reste constant.
Φ1 = Φ 2 = Φ3 = Φ 4 = Φ
λ S
λS
λ S
λ S
⇒ 1 ( t1 − t 2 ) = 2 ( t 2 − t 3 ) = 3 ( t 3 − t 4 ) = 4 ( t 4 − t 5 ) = Φ
e1
e2
e3
e4
λ
λ
λ
λ
⇒ 1 ( t1 − t 2 ) = 2 ( t 2 − t 3 ) = 3 ( t 3 − t 4 ) = 4 ( t 4 − t 5 ) = q
e1
e2
e3
e4
A l’aide d’un raisonnement similaire à celui qui a été effectué ci-dessus, nous obtenons
l’expression de la densité de flux thermique transmis à travers ce mur à 4 couches.
t1 − t 5
e1 e2 e3 e4
+
+
+
λ1 λ 2 λ3 λ 4
t1 − t 5
⇒Φ=
e
e1
e2
e
+
+ 3 + 4
λ1S λ 2S λ3S λ 4S
q=
Enseignant : A. Benbrik
(3.14)
(3.15)
6
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
L’analogie électrique pour des résistances en série, permet d’obtenir l’expression
suivante :
( t1 − t 5 )
(t − t )
(3.16)
Φ=
= 1 5
( R1 + R 2 + R 3 + R 4 ) R tot
Pour le cas d’un mur à n-couches, nous en déduisons l’expression de la densité de flux
qui est la suivante :
t −t
q = 1 i +1
(3.17)
n
ei
∑ λi
i =1
t −t
⇒ Φ = 1 i +1
n
e
∑ λiiS
(3.18)
i =1
Dans le cas où on prend en considération les échanges de chaleur par convection de part
et d’autre du mur de l’exemple précédent, nous nous retrouvons en présence de la condition aux
limites de 3ème ordre (fig. 3.5).
Crépissage
Paroi du mur
Crépissage
Enduit
tfl1
t2
t1
t3
Q
Φ
t4
Fluide 1
Fluide 2
t5
λ1
λ2
λ3
λ4
e2
e3
e4
R2 R3
R4
R5
e1
R1
tfl2
x
R6
Figure 3.5 : Mur à 4 couches avec échange de chaleur par convection
Pour ce cas là, la densité du flux thermique transmis entre les 2 fluides a pour expression
la formule suivante :
( t fl1 − t fl2 )
(3.19)
q=
n
e
1 +
i + 1
h1 ∑ λi h 2
i =1
Enseignant : A. Benbrik
7
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
⇒Φ=
( t fl1 − t fl2 )
(3.20)
n
ei
1 +
+ 1
∑
h1S
λiS h 2S
i =1
Et à l’aide de l’analogie électrique on a :
Φ=
( t fl1 − t fl2 )
( R1 + R 2 + R 3 + R 4 + R 5 + R 6 )
=
( t fl1 − t fl2 )
R tot
(3.21)
Application 2.2
Une paroi d’un mur séparant l’intérieur et l’extérieur d’une maison est composée
de 2 couches de matériaux différents. La 1ère couche est en brique (λ=0,72 W/m°C) d’épaisseur
10cm. La 2ème est un panneau de fibres aggloméré (λ=0,06 W/m°C) d’épaisseur 2cm. L’isolant
(le panneau de fibre) se trouve du côté interne. La température de l’air à l’intérieur de la maison
est égale à 45°C et le coefficient de convection 25W/m2°C. Alors qu’à l’extérieur t=25°C et
h=8W/m2°C. Déterminer les températures interne et externe du mur.
Solution :
Appliquons la formule (3.19) pour obtenir la densité du flux de chaleur transmise.
( t fl1 − t fl2 ) =
( 45 − 25)
q=
= 31, 4 ⎡ W/m 2 ⎤
n
⎣
⎦
1 + 0, 002 + 0, 01 + 1
ei
1 +
1
+
h1 ∑ λi h 2 25 0, 06 0, 72 8
i =1
q
31, 4
h1 ( t fl1 − t1 ) = q ⇒ t1 = t fl1 − = 45 −
= 43, 7°C
h
25
1
q
31, 4
h 2 ( t 3 − t fl2 ) = q ⇒ t 3 =
−t =
+ 25 = 28,9°C
h 2 fl2
8
Enseignant : A. Benbrik
8
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
2.2.2 Mur composite
Dans la pratique, on trouve souvent des murs composés de couches non homogènes
suivant la hauteur (figure 2.9). Ainsi, chaque couche est elle-même composée de différents
matériaux.
t1
Section répétée
Φ
t2
A
t3
t4
C
a1
B
D a2
z
x
y
b
e3
R1
e2
R2
e1
R4
R3
Fig. 3.6 : Schéma du mur composite
Dans l’exemple de la figure 3.6, nous somme en présence d’un mur de dimensions
connus, composé de 3 couches. La 1ère couche est homogène de matériau A. la 2ème est composée
de matériaux différents B et C et la 3ème couche homogène de matériau D. Les 2 matériaux de la
2ème couche se répètent suivant la hauteur. A cet effet, pour les calculs du flux transmis à travers
ce mur nous allons considérer une seule section (section répétée) puis multiplier par le nombre
de sections pour obtenir le flux total.
Pour les calculs, il existe 2 approches différentes :
• Le modèle à une dimension caractérisé par des résistances en série et en parallèle
• Le modèle réel qui prend en charge le passage du flux multidimensionnel (passage de la
chaleur entre les matériaux suivant la coordonnée Z à cause des différents coefficients de
conductivité thermique).
Mais il est souvent raisonnable d’utiliser le modèle à une dimension dont les hypothèses sont les
suivantes :
• Flux unidimensionnel suivant la coordonnée X
• Les surfaces perpendiculaires à X sont isothermes
• Pas de passage de la chaleur entre matériaux suivant l’axe Z
En reprenant la théorie de l’analogie électrique, le flux de chaleur transmis à travers la section
désignée pour le calcul est donné par la formule suivante :
Enseignant : A. Benbrik
9
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
(t − t )
Φ= 1 5
R tot
Avec R tot : la somme de la résistance R1, de 2 résistances en parallèle R2, R3 et la résistance en
série R4.
1
R tot = R1 +
+ R4
1 + 1
R 2 R3
Les différentes résistances sont évaluées d’après les expressions suivantes :
R1 =
e
e1
e
e
; R 2 = 2 ; R3 = 3 ; R 4 = 4
λ1S1
λ 2S2
λ3S3
λ 4S4
Avec S1 = ( a1 + a 2 ) b; S2 = a 2 b; S3 = a1b; S4 = ( a1 + a 2 ) b;
Application 2.3
Une paroi de mur est composée de 3 couches de matériaux différents. La couche
du milieu est elle-même est constituée de sections qui se répètent (fig. 3.6). La couche A a une
épaisseur de 10cm et λ=0,45w/m°C. Le matériau B a une hauteur de 37,2cm, une épaisseur de
8,9cm et λ=0,0251w/m°C. Le matériau C a une hauteur de 3.8cm, une épaisseur de 8,9cm et
λ=0,15w/m°C. La couche D a une épaisseur de 1,3cm et λ=0,814w/m°C. La largeur du mur est
de 3m. déterminer le flux de chaleur transmis à travers une des section répétée du mur si
t1=25°C et t4=0°C.
Solution :
Calculons les résistances des différentes couches :
e
0,1
RA = A =
= 0,18°C / W ;
λ ASA 0, 45 ( 0, 41.3)
RB =
eB
0, 089
=
= 3,18°C / W ;
λ BSB 0, 0251( 0,372.3)
RC =
RD =
eC
0, 089
=
= 5, 2°C / W ;
λ CSC 0,15 ( 0, 038.3)
eD
0, 013
=
= 0, 013°C / W ,
λ DSD 0,814 ( 0, 41.3)
⇒ R tot = R A +
1
1
+ R D = 0,181 +
+ 0, 013 = 2,164°C / W
1 + 1
1 + 1
RB RC
3,18 5, 2
(t − t )
⇒ Φ = 1 5 = 25 − 0 = 11,55W
R tot
2,164
Enseignant : A. Benbrik
10
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
2.3 Coefficient de conductivité variable
Jusqu’à présent nous avons considéré le coefficient de conductivité thermique λ
indépendant de la température. Alors que dans certains cas, tel que la présence d’un gradient de
température important, il est fortement recommandé de considérer que ce coefficient est fonction
de la température. Cette dépendance est linéaire selon la relation suivante :
λ = λ 0 (1 + bt )
(3.22)
Avec λ 0 : coefficient de conductivité à t=0°C.
b : coefficient obtenu expérimentalement.
Exemple : λ = 0,838 + 0, 0007t
Déterminons l’expression du flux de chaleur pour ce cas de figure.
D’après la loi de Fourier :
q = −λ dt = −λ 0 (1 + bt ) dt
dx
dx
e
t2
0
t1
(3.23)
⇒ ∫ qdx = ∫ −λ 0 (1 + bt ) dt
(
)
⇒ q.e = −λ 0 ⎡( t 2 − t1 ) + b t 22 + t12 ⎤
⎥⎦
2
⎣⎢
(
)
⇒ q.e = λ 0 ⎡( t1 − t 2 ) + b t12 − t 22 ⎤
⎥⎦
2
⎣⎢
⇒ q.e = λ 0 ⎡1 + b ( t1 + t 2 ) ⎤ ( t1 − t 2 )
⎥
⎣⎢ 422444
144
3⎦
λm
⇒ λ m = λ 0 ⎡1 + b ( t1 + t 2 ) ⎤ ⇒ λ m = 1
t1 − t 2
⎣⎢ 2
⎦⎥
t1
∫ λ0 ( t ) dt
(3.24)
t2
λ
⇒ q.e = λ m ( t1 − t 2 ) ⇒ q = m ( t1 − t 2 )
e
λ
(3.25)
⇒ Φ = m S ( t1 − t 2 )
e
Après séparation des variables et intégration de l’équation 3.23 de x=0 à x pour la
coordonnée x et entre t1 à t pour les températures, on obtient :
t =
( 1b +t )
1
2
−
2qx 1
−
λ0 b b
(3.26)
Ainsi, on peut constater que la distribution de la température n’est plus linéaire.
Enseignant : A. Benbrik
11
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
3. Paroi cylindriques
Considérons l’étude du transfert de chaleur dans la paroi d’un tube cylindrique
transportant un fluide chaud. L’étude est en régime stationnaire, unidimensionnelle (1D) et sans
source de chaleur (fig. 3.7).
z
t1
t2
fluide chaud
r1
r
r2
ϕ
Fig. 3.7 : Conduction dans tube cylindrique
Formulation du problème
L’équation d’énergie est de la forme suivante :
( )
( )
1 ∂ λr ∂t = 0 ⇒ d r dt = 0
r ∂r ( ∂r )
dr ( dr )
1 ∂ λr ∂t + 1 ∂ ⎛ λ ∂t ⎞ + ∂ λ ∂t + q& = ρc ∂t
⎜
⎟
∂r
r ∂r
∂τ
r 2 ∂φ ⎝ ∂φ ⎠ ∂z ∂z
(3.27)
Les conditions aux limites (conditions de 1er ordre) :
t(r=r1)=t1
t(r=r2)=t2
Résolution
Une 1ère intégration de l’équation (3.24) donne :
C
r dt = C1 ⇒ dt = 1
dr
dr
r
ème
Une 2 intégration donne:
t ( r ) = C1 ln r + C2
(3.28)
On en déduit que la distribution de la température est une courbe logarithmique.
Introduisons les conditions aux limites.
Pour r = r1 → t = t1 ⇒ C2 = t1 − C1 ln r1
Enseignant : A. Benbrik
12
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
Pour r = r2 → t = t 2 ⇒ t 2 = C1 ln r2 + t1 − C1 ln r1
t −t
⇒ C1 = 1 2
r
ln 1
r2
(t − t )
⇒ C2 = t1 − 1 2 ln r1
r
ln 1
r2
En introduisant les constantes obtenues dans l’équation (2…), elle devient :
(t − t )
(t − t )
⇒ t(r) = 1 2 ln r + t1 − 1 2 ln r1
r
r
ln 1
ln 1
r2
r2
(t − t )
⇒ t(r) = 1 2 ln r + t1
r
r1
ln 1
r2
(3.29)
Déterminons le flux de chaleur transmis à travers la paroi.
(t − t ) (t − t )
C
q = −λ dt = −λ 1 = −λ 1 2 = λ 1 2
dr
r
r
r
r.ln 1
r.ln 2
r2
r1
Alors que Φ = q.S avec S = 2πrL
(t − t )
Φ = 2πLλ 1 2
r
ln 2
r1
(3.30)
En appliquant l’analogie électrique, l’équation (3.27) s’écrit sous la forme suivante :
r
ln 2
t1 − t 2 ) ( t1 − t 2 )
(
r1
Φ = 2πLλ
=
; avec R =
r
R
2πLλ
ln 2
r1
3.1 Cylindre à n-couches
3.1.1 Conditions aux limites de 1er ordre
Souvent pour assurer l’isolation thermique des tubes, ils sont couverts de
couches de matériaux isolant. Considérons le problème de la figure (3.8) et
déterminons l’expression qui permet de calculer le flux de chaleur transmis.
Enseignant : A. Benbrik
13
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
z
t1
t2
tn
tn+1
r1
r2
rn
rn+1
Fig. 3.8 : Conduction dans tube cylindrique à n-couches
Etant donné, que la densité de flux est constante dans notre cas de régime
stationnaire et sans source de chaleur, en appliquons l’analogie électrique nous
pouvons écrire les relations suivantes :
r
ln 2
(t − t )
r1
Φ1 = 1 2 ; avec R1 =
R1
2πLλ1
Φ2
(t − t )
= 2 3
R2
r
ln 3
r2
; avec R 2 =
2πLλ 2
… ….. …. …. …. …… ….. ……
r
ln n +1
t
−
t
(
)
rn
Φ n = n n +1 ; avec R n =
Rn
2πLλ n
(t − t )
Φ = 1 n +1 ; avec R tot = R1 + R 2 + ... + R n
R tot
⇒Φ=
( t n − t n +1 )
Ln(r2 / r1 )
Ln(rn +1 / rn )
+ ... +
2πLλ1
2πLλ n
=
( t n − t n +1 )
n
Ln(r / r )
∑ 2πiL+1λi i
(3.31)
i =1
3.1.2 Conditions aux limites de 3ème ordre
En présence de l’échange de chaleur par convection sur la surface interne
et externe d’une paroi cylindrique multicouches, nous devons ajouter les
résistances thermiques de la convection 1 et 2 de part et d’autre des couches
solides (fig. 3.9).
Enseignant : A. Benbrik
14
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
z
tfl1
t1
t2
Conv1
Conv2
tn
tn+1
r1
tfl2
r2
rn
rn+1
Fig. 3.9 : Conduction dans tube cylindrique à n-couches avec convection
Les expressions des flux de convection 1 et 2 sont de la forme suivante :
t −t
t −t
Φ conv1 = h1S1 ( t fl1 − t1 ) = fl1 1 = fl1 1
1/ 2πr1Lh1 R conv1
t
−t
t
−t
Φ conv2 = h 2Sn +1 ( t n +1 − t fl2 ) = n +1 fl2 = n +1 fl2
1/ 2πrn +1Lh 2
R conv2
Le flux de chaleur transmis entre le fluide 1 et le fluide 2 à travers la paroi
multicouches est égal à :
( t fl1 − t fl2 )
(3.32)
⇒Φ=
n
Ln(ri +1 / ri )
1
1
+
+
2πr1Lh1 ∑ 2πLλi
2πrn +1Lh 2
i =1
4. Conduction en présence de source de chaleur interne
Le cas de présence de source de chaleur dans un corps est réel. Comme exemple, nous
citons les phénomènes suivants :
• Fil électrique se trouvant à l’intérieur d’un corps ;
• Eléments de réacteur nucléaire ;
• Réactions chimiques dégageant ou absorbant de la chaleur ;
L’étude du transfert thermique dans un corps contenant une source de chaleur interne
nécessite la connaissance de la puissance volumique de l’énergie générée q& [W/m3]. Si q& >0 la
source de chaleur est positive ; elle est négative pour q& <0.
Enseignant : A. Benbrik
15
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
4.1 Paroi plane homogène
4.1.1 Conditions aux limites de 1er ordre
Considérons un mur plan d’épaisseur 2e très petite par rapport à sa longueur et sa
largeur (fig.3.10). La source de chaleur générée est constante. Les surfaces latérales de la
paroi sont maintenues aux températures différentes t1 et t2.
q&
t1
t2
(λ)
-e
0
+e
x
Fig. 3.10 : Conduction en présence de source de chaleur
Notons par t0 la température sur l’axe médian du mur.
Déterminons la distribution de la température dans le mur.
Formulation du problème
L’équation différentielle de la conduction dans un mur plan unidimensionnel en régime
stationnaire dans lequel se trouve une source de chaleur interne est représentée par l’équation de
Poisson.
d 2 t + q& = 0
(3.33)
λ
dx 2
avec les conditions aux limites :
Pour x = + e → t(x= − e) = t1
Pour x = − e → t(x=+e) = t 2
Résolution
Après intégration de l’équation (3.30), nous obtenons :
dt = − q& x + C
1
dx
λ
Enseignant : A. Benbrik
(3.34)
(3.35)
(3.36)
16
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
q& x 2
+ C1x + C2
2λ
Appliquons les conditions aux limites pour déterminons les constantes C1 et C2.
De la condition (3.31) nous avons:
⇒ t(x) = −
(3.37)
& 2
q.e
− C1.e + C2
2λ
Et de la condition (3.32) nous pouvons écrire:
⇒ t1 = −
⇒ t2 = −
& 2
q.e
+C1.e + C2
2λ
D’où on obtient :
t −t
t 2 − t1 = 2C1.e ⇒ C1 = 2 1
2e
t1 + t 2 = −2
& 2
& 2 t1 + t 2
q.e
q.e
+ 2C2 ⇒ C2 =
+
2λ
2λ
2
Ainsi, l’équation (3.35) devient :
()
2 ⎤ (t − t )
& 2 ⎡
t +t
q.e
(3.38)
t(x) =
1 - x ⎥+ 2 1 x + 1 2
⎢
2λ ⎣
e ⎦
2
e
2
Dans le cas où t1 = t2 = ts (température de surface) selon la figure (3.11), l’équation (3.39)
devient :
t(x) =
()
2
& 2 ⎡
q.e
x ⎤+t
1
2λ ⎢⎣
e ⎥⎦ s
(3.40)
Nous constatons que la température se propage selon une courbe parabolique dans la totalité de
l’épaisseur du mur. Ainsi la température maximale se trouve au milieu.
t(x) = t 0 =
& 2
q.e
+ ts
2λ
(3.41)
q&
t0
t1
t2
(λ)
-e
0
+e
x
Fig. 3.11 : Conduction en présence de source de
Enseignant : A. Benbrik
17
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
4.1.2 Conditions aux limites de 3er ordre
Reprenons les mêmes données que le cas précédant avec en plus l’existence d’un
échange de chaleur par convection sur les 2 côtés de la paroi (fig.3.12). L’échange de
chaleur a pour rôle d’évacuer la chaleur générée dans la paroi. Le fluide a une
température constante. Le coefficient de transfert de chaleur par convection h est aussi
constant.
q&
t0
h
t1
h
t2
tfl
tfl
(λ)
x
-e
0
+e
Fig. 3.12 : Conduction en présence de source de chaleur
Avec échange de chaleur par convection
Formulation du problème
L’équation d’énergie est la même que pour les cas précédents.
d 2 t + q& = 0
λ
dx 2
Les conditions aux limites prennent en compte l’échange de chaleur par convection.
(3.42)
Pour x = + e → q = − λ ∂t
= h ( t 2 − t fl )
∂x x = +e
Pour x = − e → − q = λ ∂t
= h ( t1 - t fl )
∂x x = -e
(3.43)
Etant donné, que les conditions aux limites sont identiques des deux côtés du mur,
le champ de température doit être symétrique par rapport au plan x=0. La chaleur est
transmise à travers les surfaces de gauche et de droite avec la même intensité. Ainsi, nous
convenons d’étudier la distribution de la température d’un seul côté (côté des x positifs)
D’où la condition de symétrie suivante :
(3.44)
Pour x = 0 ; ∂t
= 0
∂x x = 0
Résolution
Après une double intégration on obtient l’équation suivante :
⇒ t(x) = −
Enseignant : A. Benbrik
q& x 2
+ C1x + C2
2λ
(3.45)
18
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
Déterminons les constantes C1 et C2.
Pour x = 0, de l’équation (3.41), nous avons C1 = 0 ;
&
q.e
=−
Pour x = e, nous avons : dt
dx x = e
λ
&
q.e
De la condition (3.39) nous avons t1 = t 2 =t s =t fl +
. En introduisant cette expression
h
dans (3.42), on obtient :
&
& 2
q.e
q.e
+
h
2λ
Ainsi, l’équation (3.42) devient :
C2 = t fl +
()
2⎤
&
& 2 ⎡
qL
q.e
t(x) = t fl +
1- x ⎥
+
⎢
h
2λ ⎣
e ⎦
(3.46)
Dans cette étude nous avons pris, par hypothèse, le coefficient de conductivité
thermique constant. Alors qu’en réalité dans le cas où la charge thermique (ts – tfl) est
importante, nous devons le considérer dépendant de la température. Cette dépendance
peut être simplifiée en la supposant linéaire.
λ = λ 0 (1 + bt )
Appliquons la loi de Fourier.
& ⎡ W/m 2 ⎤
q = -λ dt = -λ 0 (1 + bt ) dt =q.x
⎣
⎦
dx
dx
Après séparation des variables et intégration, nous obtenons :
(3.47)
2
& 2
q.x
t+bt =- 1
+C
(3.48)
2
λ0 2
Pour x = 0, t = t0 ⇒ C = t 0 + b t 02
2
En introduisant la valeur de C dans l’équation (3.45) et après résolution de cette équation
du second degré en t, nous obtenons l’expression de la distribution de la température.
t = - 1 +
b
Enseignant : A. Benbrik
(
t0 + 1
b
)
2
−
q& x 2
λ0 b
(3.49)
19
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
4.2 Cylindre plein
4.2.1 Conditions aux limites de 1er ordre
Considérons un cylindre plein de rayon r1 très petit par rapport à sa longueur
(fig.3.13), en présence d’une source de chaleur interne constante. La chaleur est diffusée
dans tout le volume du cylindre. La température de la surface externe est uniforme est
égale à ts. L’étude se limite à la détermination de la distribution radiale de la température.
Le domaine étudié étant symétrique par rapport à l’axe, nous ne considérons que le demicylindre positif.
dt(0)
dr
ts
r1
0
ts
=0
r
q&
Fig. 3.13 Cylindre plein
Formulation du problème
L’équation différentielle de la conduction dans le cylindre en régime stationnaire
(permanent) est de la forme suivante :
d 2 t + 1 dt + q& = 0 ⇒ 1 d r dt + q& = 0
(3.50)
r dr dr λ
dr 2 r dr λ
( )
Les conditions aux limites se présentent comme suit :
∂t
=0
∂r r = 0
t ( r1 ) = t s
(3.51)
(3.52)
Résolution
Après réarrangement de l’équation différentielle (3.47) elle devient :
&
d r dt = − q.r
dr dr
λ
er
Une 1 intégration donne :
( )
& 2
&
C
q.r
q.r
+ 1
r dt = −
+ C1 ⇒ dt = −
dr
2λ r
dr
2λ
ème
Une 2 intégration nous donne :
Enseignant : A. Benbrik
20
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
& 2
q.r
+ C1 ln(r) + C2
4λ
Appliquons les conditions aux limites pour déterminer les constantes C1 et C2.
Pour r = 0 ⇒ C1 = 0
t (r) = −
(3.53)
& 12
qr
Pour r = r1 ⇒ t ( r1 ) = t s ⇒ C2 = t s +
4λ
Ainsi, l’équation (3.50) devient :
& 12 ⎛ r 2 ⎞
qr
(3.54)
t (r) =
⎜1⎟+t
4λ ⎜ r 2 ⎟ s
1 ⎠
⎝
Si on note la température sur l’axe du cylindre par t0, cette température est égale à :
& 2
& 2
qr
qr
t 0 = 1 + ts ⇒ t 0 − ts = 1
4λ
4λ
4.2.2 Conditions aux limites de 3ème ordre
Dans ce qui suit, nous considérons le cylindre en contact avec un fluide de
refroidissement à la température tfl constante (fig.3.14). Le coefficient de transfert de
chaleur par convection h est aussi constant.
ts
tfl
h
r1
0
ts
tfl
q&
h
Fig. 3.14 Cylindre plein avec échange
de chaleur par convection
Formulation du problème
L’équation différentielle reste la même.
1 d r dt + q& = 0
r dr dr λ
Les conditions aux limites se présentent comme suit :
Pour r = 0 ; ∂t
=0
∂r r = 0
( )
Pour r = r1 ; −λ ∂t
= h ( t s - t fl ) ⇒ ∂t
= − h ( t s - t fl )
∂r r = r1
∂r r = r1
λ
Enseignant : A. Benbrik
(3.55)
21
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
Résolution
Comme pour le cas précédent, après double intégration de l’équation
différentielle, nous obtenons l’équation (3.50).
& 2
qr
+ C1 ln(r) + C2
4λ
Appliquons les conditions aux limites pour déterminer les constantes C1 et C2.
t (r) = −
(3.56)
Pour r = 0, l’équation (3.53) donne C1 = 0 ;
&
qr
Et pour r = r0, dt
=- 1
dr r = r1
2λ
En introduisant cette expression dans l’expression (3.52), on obtient :
&1
qr
= h ( t s - t fl )
2
&
qr
⇒ t s = 1 +t fl
2h
De l’équation (3.53) on tire C2
&
& 2
qr
qr
C2 = t fl + 1 + 1
2 h 4λ
D’où l’expression de la distribution de la température
&
qr
q& 2 2
(3.57)
t = t fl + 1 +
r -r
2 h 4λ 1
La distribution de la température dans le cylindre se fait suivant une courbe parabolique.
(
)
La température sur l’axe du cylindre ( r = 0) est égale à :
&
& 2
qr
qr
t 0 = t fl + 1 + 1
2h 4λ
(3.58)
Et la densité du flux qui sera évacuée par convection à partir de la surface du cylindre est
égale à :
&
qr
q = h ( t s - t fl ) = 1 ⎡ W/m 2 ⎤
⎦
2 ⎣
Ainsi, la quantité de chaleur transmise au cours de refroidissement est égale :
&
qr
Φ = qS = 1 2πr1L = Pπr12 L avec L : longueur du cylindre ;
2
Dans le cas ou le coefficient de conductivité thermique est dépendant de la
température nous déterminons la température dans le cylindre à partir de la densité du
flux thermique à la surface qui est égal à :
&
qr
& − 2rλ dt
q = = −λ dt ⇒ q=
2
dr
dr
Etant donné, λ = λ 0 (1 + bt )
Enseignant : A. Benbrik
22
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
& − 2rλ 0 (1 + bt ) dt
D’où, q=
dr
Après séparation des variables et intégration, on obtient :
& 02 + C
t + b t 2 = - 1 qr
2
4λ 0
La valeur de C est déterminée des conditions aux limites
Pour r = 0, t = t0 et C = t 0 + b t 02
2
En introduisant la valeur de C dans l’équation (3.57) et après résolution en t, nous
obtenons l’expression de la distribution de la température.
t =-1 +
b
Enseignant : A. Benbrik
(
t0 + 1
b
)
2
−
& 2
qr
2λ 0 b
(3.59)
23
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
4. Surface étendues (Ailettes)
Généralement, pour intensifier le transfert de chaleur par convection au contact d’une
surface d’un corps, on peut procéder soit par :
• Augmentation du coefficient de convection h.
• Augmenter de l’écart de température Δt entre le corps et celle du fluide.
• Augmentation de la surface d’échange de chaleur du corps considéré.
Dans la pratique, on commence souvent par l’une des 2 premières possibilités et après
épuisement on procède à l’application de la 3ème solution. Cette dernière porte le nom de surface
étendues ou ailettes. Les figures (3.14) et (3.15) montrent différentes formes des ailettes utilisées
dans la pratique.
Fig. 3.14 : surfaces étendues
Fig. 3.14 : Tube à ailettes extérieures
Enseignant : A. Benbrik
24
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
Fig. 3.15 : Tube à ailettes intérieures
Fig. 3.16 : Différentes formes d’ailettes
Pour quantifier la quantité de chaleur évacuée à l’aide l’échange de chaleur par
convection à travers la surface étendue, nous devons d’abord déterminer le champ de
température dans l’ailette. Pour cela, nous considérons une ailette de forme générale (fig. 3.17).
Enseignant : A. Benbrik
25
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
Fig. 3.17 : Bilan d’énergie d’1 volume de contrôle d’une ailette
En appliquant la loi de conservation d’énergie au volume de contrôle découpé (à droite),
le bilan thermique est de la forme :
⎧Φ = −λS dt
a dx
⎪ x
Φ x = Φ x + dx + dΦ conv. ⎨
⎪Φ x + dx = Φ x + dΦ x dx
dx
⎩
⇒ Φ x + dx = −λSa dt − λ d Sa dt dx
dx
dx
dx
dΦ conv. = hdSlat ( t − t fl )
)
(
(
)
(3.60)
−λSa dt = −λSa dt − λ d Sa dt dx + hdSlat ( t − t fl )
dx
dx
dx
dx
dS
⇒ λ d Sa dt dx − hdSlat ( t − t fl ) = d Sa dt − h lat ( t − t fl )
dx
dx
dx
dx λ dx
(
)
(
)
En différentiant et divisant par 1 ,on obtient :
Sa
d 2 t + ⎛ 1 dSa ⎞ dt − ⎛ 1 h dSlat ⎞ t − t = 0
(3.61)
( fl )
dx ⎜⎝ Sa dx ⎟⎠ dx ⎜⎝ Sa λ dx ⎟⎠
La résolution de cette équation donne le champ de température et par conséquent le flux
de chaleur transmis.
4.1 Epingle cylindrique de section constante
Pour la résolution de cette équation, prenons le cas réel d’une surface étendue
sous forme d’épingle (fig. 3.18).
Enseignant : A. Benbrik
26
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
h tfl
Φconv
tb
Φ
d
L
x
Fig. 3.18 : Echange de chaleur dans une
Données du problème :
P = πd (périmètre) ;
2
dS
Sa = πd (section transversale) ; cette section étant constante : a = 0
4
dx
t b : température à la base de l’ailette ;
Slat = P.x (surface latérale),
dSlat
dx
=P;
L’équation (3.61) appliquée à ce cas d’étude se réduit à la forme suivante :
d 2 t − ⎛ 1 h dSlat ⎞ t − t = d 2 t − h P t − t = 0
(3.62)
( fl ) dx λ S ( fl )
dx ⎜⎝ Sa λ dx ⎟⎠
a
Introduisons la nouvelle variable θ ( x ) de la température en transformant la variable actuelle t
par excès par rapport à tfl. D’où, θ ( x ) ≡ t ( x ) − t fl .
Etant donné que tfl est constante, nous pouvons écrire l’expression suivante : dθ = dt
dx dx
Ainsi, l’équation 3.62 prend la forme suivante :
d 2θ − m 2θ = 0 ⎧m 2 = hP
(3.63)
⎨
λSa
⎩
dx 2
Cette équation est une équation différentielle homogène linéaire de 2ème ordre avec des
coefficients constants. Sa solution est de la forme suivante :
θ ( x ) = C1e mx + C2e− mx
(3.64)
Introduisons les conditions aux limites afin de déterminer les constantes C1 et C2.
Pour x=0 → θ ( 0 ) = t b − t fl ≡ θb
= hSa ( t x = L − t fl )
Pour x=L → − λSa dt
dx x = L
−λ dθ = hθ ( L )
dx
(3.65)
(3.66)
De l’expression (3.65), nous en déduisons :
θb = C1 − C2 .
Enseignant : A. Benbrik
27
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
Et de l’expression (3.66), nous pouvons écrire la relation suivante :
(
) (
λm C2e− mL − C1emL = h C1emL + C2e− mL
)
En déterminant les constantes et leur introduction dans (3.64), nous obtenons :
(
(
)
)
h
θ = cosh m ( L − x ) + mλ sinh m ( L − x )
θb
cosh mL+ h mλ sinh mL
(3.67)
Rappel sur les propriétés de fonctions hyperboliques et leur différentielles
x
−x
x
−x
x
−x
; coth x = e + e
; tanh x = sinh x = e − e
cosh x = e + e
cosh x e x + e− x
2
e x − e− x
d sinh x = 1 ⎡e x − −e − x ⎤ = cosh x ; d cosh x = 1 ⎡e x + −e− x ⎤ = sinh x
⎥⎦
⎥⎦
dx
2 ⎢⎣
dx
2 ⎢⎣
x
−x
;
sinh x = e − e
2
(
)
(
)
Déterminons le flux de chaleur total évacué par l’épingle.
Φ ail. = Φ b = −λSa dt
= −λSa dθ
dx x = 0
dx x = 0
(3.68)
En introduisant l’expression de la distribution de la température (3.67) et après quelques
transformations nous obtenu :
(
(
)
)
sinh mL + h mλ cosh mL
Φ ail = hPλSa θb
;
cosh mL+ h mλ sinh mL
avec {m ( λSa ) = hPλSa
(3.69)
Etudions maintenant les différents cas possibles de configuration des échange de chaleur sur la
surface de l’épingle.
Cas 1 : Echange de chaleur à x=L négligeable (condition d’isolation thermique)
⇒ dθ
=0
dx x = L
C1emL + C2e − mL = 0
Et θb = C1 + C2
Après obtention de constantes et introduction de leur valeur dans (3.64), on trouve
l’expression de la distribution de la température.
θ = cosh m ( L − x )
θb
cosh mL
(3.70)
Et le flux de chaleur :
Enseignant : A. Benbrik
28
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
Φ ail = hPλSa θb tanh mL
(3.71)
Cas 2 : Température maintenue constante à x=L
⇒ θ ( L ) = θL
Après résolution, nous obtenons la relation suivante pour la distribution de la température.
θ =
θb
( θ θ ) sinh mx + sinh m ( L − x )
L
b
sinh mL
(3.72)
Et l’expression suivante du flux.
( cosh mL − θ θ )
L
Φ ail = hPλSa θb
b
sinh mL
(3.73)
Cas 3 : Epingle très longue
⇒ L → ∞; θL → 0
Pour ce cas, la distribution de la température est de la forme suivante :
θ = e− mx
θb
(3.74)
Φ ail = hPλSa θb
(3.75)
Et le flux :
4.2 Performances des surfaces étendues
On peut évaluer les performances des ailettes à l’aide de 2 critères principaux :
l’efficacité et le rendement.
4.2.1 Efficacité
C’est le rapport entre le flux évacué par la surface étendue et le flux
évacué sans l’ailette. Noté par la lettre « ε », il est généralement supérieur ou égal à 2 (ε ≥ 2) .
ε=
Φ ail
Φ ail
=
Φs.ail h.Sa,b .θb
(3.76)
Avec Sa,b : section à la base de l’ailette.
4.2.2 Rendement
Enseignant : A. Benbrik
29
Chapitre 3 : Conduction stationnaire
C’est le rapport du flux du flux évacué par l’ailette et le flux maximal. Le
flux maximal évacué est calculé en considérant que la température sur toute la surface latérale est
celle de θb . Le rendement est noté par la lettre « η », est toujours inférieur à 1 (η 1).
Φ max = hPLθb
η=
Φ ail
Φ max
Enseignant : A. Benbrik
(3.77)
30
Chapitre 4 : Conduction transitoire
Chapitre 4
CONDUCTION EN REGIME TRANSITOIRE
1. Introduction
Dans ce cas, le facteur temps est introduit, d’où l’équation d’énergie à une seule
coordonnée (1D), sans source de chaleur a la forme suivante :
 2 t  1 t
x 2 a 
Les problèmes pratiques, les plus rencontrés, de la conduction en régime transitoire se divisent
en deux groupes principaux :
 Processus qui ont tendance à atteindre un état d’équilibre thermique ;
Exemple : trempe d’une pièce mécanique.
 Processus thermiques périodiques;
Exemple : les pièces du moteur à combustion interne sont soumises
à un échauffement et refroidissement périodique.
Dans cette étude, nous allons considérer le premier cas, où le processus est à la tendance
d’équilibre thermique dans le temps.
Parfois, dans certains calculs pratiques, moins précis, on suppose que la résistance interne du
corps étudié est négligeable. Et la température est la même pour tous les points de ce corps (c’est
le cas des corps minces). Ce qui n’est pas le cas pour les calculs précis, où il est important de
savoir la température dans les différents points du corps.
2. Résistance interne négligeable
Quand le coefficient de conductivité thermique est infiniment grand, la résistance
interne est négligeable. Et Le gradient de température est nul. Ainsi, on est dans le cas où les
différents points du corps ont la même température à chaque instant.
Notons :
R1 
e
(résistance interne pour un mur plan) ;

Sous une forme générale, on peut écrire R1 de la manière suivante :
R1 
L

où L s’appelle dimension caractéristique du corps. Elle est égale à :
L
V
S
V : volume du corps étudié ;
S : surface d’échange thermique ;
Enseignant : A. Benbrik
1
Chapitre 4 : Conduction transitoire
Exemple :
Pour une plaque mince d’épaisseur 2e, soumise à un échange de chaleur sur les deux
faces de surface s1, avec le milieu ambiant :
s .2e
(volume de la plaque)
LV 
 1 e
S
(surface d 'échange de chaleur) 2.s1
Si l’échange de chaleur se fait sur une seul face L est égale à :
L
V s1 .2e

 2e
S
s1
Pour un cylindre de diamètre d=2r, et une hauteur H, L est égale à:
V .r 2 .H r

L 
S 2..r.H 2
Pour une sphère de diamètre d=2r, L est égale à:
4 3
.r
V 3
r
L 

S 4..r 2 3
Etant donné, que l’échange thermique entre le corps étudié et le milieu ambiant se fait par
convection, la résistance thermique de cet échange est égale à :
R2 
1
; avec h : coefficient de chaleur par convection
h
Faisons Le rapport de ces deux résistances ;
R1
 Bi
R2
; avec Bi : le critère de BIOT (Nom du savant inventeur) ;
d’où,
Bi 
h.L

Pour notre cas de résistance interne négligeable :
L
 0  Bi = 0 ;

Dans la pratique, on considère que la résistance interne est négligeable à chaque fois, que Bi
<0,1.
Dans ce qui suit, nous allons étudier un cas concret de problème de conduction en régime
transitoire avec la résistance interne négligeable.
Considérons le cas de la trempe d’une plaque mince de volume V et de surface totale
d’échange S. A l’instant =0, la pièce, ayant une température élevée t, est plongée dans un bain
Enseignant : A. Benbrik
2
Chapitre 4 : Conduction transitoire
d’huile de température tfl<t. On suppose que h, le coefficient de transfert de chaleur par
convection est constant.
Déterminons la température de cette plaque dans le temps.
L’expression du bilan thermique, sous sa forme générale, relative à d (temps infiniment petit),
s’écrit:
 e   g   s   st
Dans notre cas de refroidissement de la plaque :  e  0 ;
Et le problème étant sans source de chaleur :  g  0 ;
D’où :
 s   st
 hS(t  t fl )  Vc
dt
d
avec :
h : coefficient de convection ;
S : surface d’échange de chaleur plaque-fluide ;
t : température de la plaque au cours du temps ;
tfl : température du fluide (huile)
 : masse volumique ;
V : volume de la plaque ;
c : chaleur spécifique de la plaque ;
dt : variation de la température au cours de d ;
Le facteur de gauche représente la quantité de chaleur échangée par convection et le facteur de
droite la variation de l’énergie interne,
En séparant les variables nous obtenons :
dt
h.S

d
t  t fl
c..V
Etant donné, que dt=d(t-tfl) ;
d ( t  t fl )
h.S

d
t  t fl
c..V
En intégrant, le premier membre de t=t0 à t, et le deuxième membre de 0 à , nous obtenons :
t

t0
d ( t  t fl )

t  t fl



0
h.S
d
c..V
Le développement de cette expression donne :
h.S


t  t fl
c..V
e
t 0  t fl
(4.1)
Ainsi, d’après cette expression, nous remarquons que la température décroît d’une façon
exponentielle avec le temps.
Enseignant : A. Benbrik
3
Chapitre 4 : Conduction transitoire
Introduisons le facteur c, qui représente la constante de temps. Elle exprime la vitesse de
réponse d’un système contenant une capacité simple.
c 
c..V
h.S
Plus c est grand plus le système réagit lentement.
Si =c  t-tfl = (t0 – tfl)e-1 ;
on dit alors que (t – tfl) représente 36,8% de (t0 – tfl).
t
t0
A
t  tfl
 0,368
t0  tfl
Refroidissement
A
0
τC
τ
A
Echauffement
t0
t t
A  fl
 0,368
t fl  t 0
Sachant, que L  V ;
S
 
 




 h.S   h   h..L   h.L   .    h.L  a.  
2
2
2
c..V
c..L
  c. L 
  L 
c..L .
avec : (/c.) = a, coefficient de diffusivité thermique ;

L2
représente le critère de Fourrier : a   Fo
L2
Finalement, nous déterminons l’expression finale de la température :
l’expression :
a.
t  t fl
 e ( Bi.Fo) 
t 0  t fl
Enseignant : A. Benbrik
(4.2)
4
Chapitre 4 : Conduction transitoire
Application 4.1
A sa sortie du réfrigérateur une pomme était à la température de 4°C. Pour sa consommation
elle est laissée à l’air libre dont la température est de 23°C. Combien de temps faut-il attendre pour que
sa température soit égale à 20°C. Le coefficient de convection entre la pomme et l’air est égal à 6
w/m2°C. La pomme est de forme sphérique de diamètre 10,5 cm. Son coefficient de conductivité
thermique est égal à 2,47 w/m°C. Sa masse volumique est de 998 kg/m3 et la chaleur spécifique est
égale à 2 kJ/kg.deg.
Pour la sphère : V=4r3/3 et S=4r2.
Solution :
Tout d’abord, calculons le Bi pour savoir dans quel cas ( résistance interne négligeable ou non)ce
problème peut être résolu.
Etant en présence d’une sphère : L  r
 Bi 
3
hL
 0,0425  0,1 → Résistance interne négligeable.

t  t fl
 e  Bi.Fo
t 0  t fl
Ainsi, nous appliquons l’expression suivante :
t  t fl
20  23
 e  Bi.Fo 
 0,15789
t 0  t fl
4  23
Ln(0,15789)  1,84585   Bi.Fo
;
;
2
a.

6 m
 Fo  43,4317  2 ; et a=  1,237.10
L
c
s
  = 10752,172s=179,2mn=2,9h .
3. Résistance interne non négligeable
L’étude de transfert de chaleur par conduction, en régime transitoire, pour le cas de
résistance interne non négligeable, a pour but de déterminer le champ de température d’un corps
dans le temps.
L’équation d’énergie, à une dimension, est de la forme :
1 t   2 t
a  x 2
C’est une équation différentielle homogène linéaire de 2ème ordre, aux dérivées partielles.
Cette équation physico-mathématique peut être résolue, aussi bien par les méthodes analytiques
classiques, que par les méthodes numériques approchées.
_ Méthodes analytiques :
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5
Chapitre 4 : Conduction transitoire



Méthodes de séparation des variables ( Fourrier) ;
Méthodes des sources (appliquées aux domaines indéfini ou semi-limité ;
Méthodes de transformation intégrale.
_ Méthodes numériques :


Méthodes aux différences, volumes et éléments finis
Méthodes analogiques (analogique électrique et hydraulique).
Dans ce qui suit, nous allons utiliser la méthode analytique de séparation des variables pour
résoudre un problème concret.
3.1 Conduction dans un mur plan indéfini (plaque)
t
()
h, tfl
h, tfl
0
-e
+e
x
Considérons une plaque de dimensions illimitées
suivant les axes Y et Z.
Les propriétés physiques (, c, ) sont constants.
A l’instant initiale 0 la plaque, étant à la
température t0, est plongée dans un liquide
de température tfl > t0.
Le coefficient de transfert de chaleur par convection h
est constant.
Le champ de température est unidimensionel
car Y et Z sont très grand par rapport à X.
2e
Fig. 4.1 : schéma d’une plaque
La symétrie des conditions aux limites par rapport au plan médian fait qu’à tout instant le
champ thermique est également symétrique par rapport à ce plan. Ainsi, nous situons l’origine
des coordonnées au centre de la plaque.
Pour la commodité des calcul, la température est lue à partir de la température de tfl.
D’où, on peut écrire :  = tfl – t
La formulation, mathématique, de ce problème est la suivante :
Etant donné, les expressions suivantes :
t   


et
 2 t    2
x 2
x 2
L’équation d’énergie s’écrit sous la forme suivante :
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6
Chapitre 4 : Conduction transitoire
  a  2

x 2
La condition initiale :
Pour  = 0
  = 0 = tfl – t0 ;
Pour       0, pour -e  x  +e ;
Les conditions aux limites :
 
Pour x = +e     h   
h ;
x
x x  e

Pour x = -e     h 
x
 x 
h ;
x e 

 0 (symétrie du champ thermique) ;
x
Pour x = 0 
Résolution :
Nous adoptons la méthode de séparation des variables pur la résolution de cette équation.
Nous présentons la fonction cherchée  sous la forme de produit de 2 fonctions :
T() et (x).
Ainsi, nous obtenons :
  T    .  x 
 x
t   

a
 2
T  
x 2
En séparant les variables, nous obtenons :
1 T '  ''

a T

Le premier membre de cette équation ne dépend pas de la coordonnée x, et le deuxième membre
ne dépend pas de .
Si on fixe l’argument x et on fait varier , pour toute valeur de , le membre de gauche sera
toujours constant, et vice versa.
1 T'
 const. et
a T
Enseignant : A. Benbrik
 ''
 const.

7
Chapitre 4 : Conduction transitoire
Désignons cette constante par –k2 (pour assurer que   0, pour   ).
1 T'
  k 2 et
a T
 ''
 k 2

La résolution de ces équations donne :
T     C1.e ak 
2
  x   C2 .sin  kx   C3 .cos  kx 
En définitif, après une longue démonstration, nous obtenons l’expression finale, qui exprime la
température recherchée en fonction du temps.
 
Avec : * 
2 sin 1
cos  1.X  .exp 12 .Fo
1  sin 1.cos 1



t t
 fl
: température sous forme adimensionnelle ;
0 t fl  t 0
1 : racine de l’équation : 1 tan 1  Bi (donnée du tableau 1 en fonction de Bi)
Fo  a
e2
(Fo : critère de Fourier) et a  
c
: coefficient de diffusivité thermique
Xx
: Coordonnée spatiale adimensionnelle, elle représente sur l’axe X la position du
e
point pour lequel on calcule la température;
Si on note :
2sin 1
N
1  sin 1.cos 1
N est donné dans tableau 1 en fonction de Bi.
 *   
0

t fl  t
 N.cos  1.X  .exp 12 .Fo
t fl  t 0

(4.3)
Cette solution est valable pour Fo  0,3
3.1.1 Procédure de résolution des problèmes

Température au centre de la plaque : X  x  0  0
e
e
En appliquant l’équation (4.1), elle devient :
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8
Chapitre 4 : Conduction transitoire
*   
0




t fl  t
 N.cos  1.0  .exp 12 .Fo  N.exp 12 .Fo
t fl  t 0

(4.4)
Température à la surface de la plaque : X  x  e  1
e
e
En appliquant l’équation (4.1), elle devient :

t t
*    fl
 N.cos  1  .exp 12 .Fo
0 t fl  t 0

Application 4.2
Pour faire cuire la pomme de terre on utilise le four de la cuisinière. On allume le four et
quand sa température atteint 176,6°C on introduit la pomme de terre qui est à la température de
18,4°C. Le coefficient de convection entre la surface de la pomme de terre et l’air chaud du four
est égal à 13,135w/m2K. On considère que la pomme de terre est de forme sphérique de diamètre
7,62 cm. Le coefficient de conductivité de la pomme est de 0,5w/mK et son coefficient de
diffusivité thermique est égal à 1,33.10-7m2/s. Calculer le temps de cuisson de la pomme de terre
si on considère qu’elle est cuite quand sa température atteint 112,7°C.
Solution:
Tout d’abord, calculons le Bi pour savoir dans quel cas (résistance interne négligeable ou
non)ce problème peut être résolu.
Etant donné que la pomme de terre a une forme sphérique :  L  r
3
2
hL h(r / 3) 13,135.1, 27.10
Bi 


 0,3  0,1  Résistance interne non négligeable.
0,5


La pomme de terre est cuite quand la température au centre est égale à 112,6°C  X*=0
 *  N exp(12 .Fo) et * 
T  Tfl
 0, 404 .
T0  Tfl
D’après le tableau, pour le cas de la sphère : L=r0 ;
 Bi 
hL hr0 13,135.3,81.102


 1,00 ;  1  1,5708 et N  1, 2732
0,5


 Fo  a


 a 2  0, 4653   = 5076 s = 1,41 heure .
2
L
r0
Enseignant : A. Benbrik
9
Chapitre 4 : Conduction transitoire
Tableau 1: Valeur des coefficients 1 et N en fonction de Bi
Mur plan infini
Mur cylindrique infini
Sphère
(L = e)
(L = ro)
(L = ro)
Bi = hL/
1 (rad)
N
1 (rad)
N
1 (rad)
N
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
100,0

0,0998
0,1410
0,1732
0,1987
0,2217
0,2425
0,2615
0,2791
0,2956
0,3111
0,3779
0,4328
0,4801
0,5218
0,5932
0,6533
0,7051
0,7506
0,7910
0,8274
0,8603
1,0769
1,1925
1,2646
1,3138
1,3496
1,3766
1,3978
1,4149
1,4289
1,4961
1,5202
1,5325
1,5400
1,5552
1,5707
1,0017
1,0033
1,0049
1,0066
1,0082
1,0098
1,0114
1,0130
1,0145
1,0160
1,0237
1,0311
1,0382
1,0450
1,0580
1,0701
1,0814
1,0919
1,1016
1,1107
1,1191
1,1795
1,2102
1,2287
1,2402
1,2479
1,2532
1,2570
1,2598
1,2620
1,2699
1,2717
1,2723
1,2727
1,2731
1,2733
0,1412
0,1995
0,2439
0,2814
0,3142
0,3438
0,3708
0,3960
0,4195
0,4417
0,5376
0,6170
0,6856
0,7465
0,8516
0,9408
1,0185
1,0873
1,1490
1,2048
1,2558
1,5995
1,7887
1,9081
1,9898
2,0490
2,0937
2,1286
2,1566
2,1795
2,2881
2,3261
2,3455
2,3572
2,3809
2,4050
1,0025
1,0050
1,0075
1,0099
1,0124
1,0148
1,0173
1,0197
1,0222
1,0246
1,0365
1,0483
1,0598
1,0712
1,0932
1,1143
1,1346
1,1539
1,1725
1,1902
1,2071
1,3384
1,4191
1,4698
1,5029
1,5253
1,5411
1,5526
1,5611
1,5677
1,5919
1,5973
1,5993
1,6002
1,6015
1,6018
0,1730
0,2445
0,2998
0,3450
0,3852
0,4217
0,4550
0,4860
0,5150
0,5423
0,6608
0,7593
0,8448
0,9208
1,0528
1,1656
1,2644
1,3525
1,4320
1,5044
1,5708
2,0288
2,2889
2,4556
2,5704
2,6537
2,7165
2,7654
2,8044
2,8363
2,9857
3,0372
3,0632
3,0788
3,1102
3,1415
1,0030
1,0060
1,0090
1,0120
1,0149
1,0179
1,0209
1,0239
1,0268
1,0298
1,0445
1,0592
1,0737
1,0880
1,1164
1,1441
1,1713
1,1978
1,2236
1,2488
1,2732
1,4793
1,6227
1,7201
1,7870
1,8338
1,8674
1,8921
1,9106
1,9249
1,9781
1,9898
1,9942
1,9962
1,9990
2,0000
Rappel : Formule d’interpolation linéaire : f (c)  f (a)  (c  a)
Enseignant : A. Benbrik
f (b)  f (a)
ba
10
Chapitre 5 : Convection
CHAPITRE 5
CONVECTION
1. Introduction
Au chapitre 1, nous avons défini le transfert de chaleur par convection en comparaison
par rapport à la conduction et le rayonnement. Dans ce chapitre nous allons détailler la
compréhension de ce mode de transfert de chaleur. Jusque là, nous avons toujours utilisé
l’expression (5.1) pour calculer le flux de chaleur échangé entre un corps à la température t1 et
un fluide à la température tfl.
Φ = hS ( t1 − t fl )
(5.1)
Comme on le sait déjà, cette expression est valable dans le cas de refroidissement du corps. Mais
pour son échauffement on écrit cette expression sous la forme suivante :
Φ = hS ( t fl − t1 )
(5.2)
"h" étant le coefficient de transfert de chaleur par convection et S la surface du corps en contact
du fluide. Dans les chapitres précédents pour la résolution des problèmes de conduction en
présence de la convection, la valeur du coefficient de convection h était une donnée du problème.
Mais dans ce chapitre, le but principal est de comprendre comment détermine-t-on ce coefficient.
Nous savons aussi qu’il existe 2 types de convection :
• Convection forcée : le mouvement du fluide est un écoulement provoqué par une force
extérieure, qui peut être un ventilateur pour les gaz et une pompe pour les liquides.
• Convection naturelle ou libre : le mouvement du fluide est dû à la différence de masse
volumique des particules de ce fluide. Si on considère le cas de refroidissement d’un
corps à l’air libre, les particules d’air frais qui sont en contact de ce cops absorbent une
certaine quantité d’énergie thermique d’où leur masse volumique diminue, et sous l’effet
de la poussée d’Archimède un écoulement ascendant est crée au sein du fluide.
Sur la figure (5.1) présente une illustration des 2 types de convection.
Ecoulement d’air libre
Ecoulement d’air forcé
Œuf chaud
Œuf chaud
Convection forcée
Convection naturelle
Fig. 5.1 : Convection forcée et naturelle
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1
Chapitre 5 : Convection
Dans les formules (5.1) et (5.2) le coefficient de transfert de chaleur par convection ″h″ est le
coefficient global qui correspond à la surface totale du corps solide en contact avec le fluide
d’échange de chaleur. Dans certains problèmes on s’intéresse plus particulièrement au
coefficient d’échange de chaleur par convection local ″hL″. Si nous considérons les exemples des
figures (5.2) et (5.3) il convient de préciser que les conditions de l’écoulement d’air sur la
surface de l’œuf dans les 2 cas varient d’un point à un autre. Par conséquent, le coefficient hL et
la densité du flux thermique évacuée varient le long de la surface de l’œuf.
ufl, tfl
q
ufl, tfl
S
t1
q
Œuf chaud
t1
x
L
Fig. 5.2 : Refroidissement d’un corps de surface S
Fig. 5.3 : Refroidissement d’un corps de longueur L
Dans ce cas là, la densité du flux thermique évacuée est calculée d’après la formule suivante.
q = h L ( t1 − t fl )
(5.3)
Et le flux de chaleur total évacué à travers la surface totale de l’œuf peut être calculé à l’aide de
l’expression suivante.
Φ = ∫ qds
(5.4)
Φ = ( t1 − t fl ) ∫ h L ds
(5.5)
S
S
En combinant les expressions (5.1) et (5.5), nous obtenons le coefficient global ″h″en fonction du
coefficient local ″hL″.
h=
1
h L ds
S ∫S
(5.6)
Pour le cas de la barre considérée à une seule dimension X, le coefficient global suivant la longueur L est
égal à :
h=
1 L
h L dx
L ∫0
(5.7)
2. Concept physique de la convection
Les expériences pratiques qui ont permis de déterminer les valeurs numériques du
coefficient de convection h montrent bien que celui-ci dépend de plusieurs paramètres
spécifiques au fluide et au corps solide en contact avec ce dernier. Parmi ces paramètres, on peut
citer :
• Les propriétés physiques du fluide : la masse volumique (ρ), la viscosité dynamique ou
cinématique (µ, υ), le coefficient de conductivité thermique (λ) et la chaleur spécifique
(Cp).
Enseignant : A. Benbrik
2
Chapitre 5 : Convection
• Les paramètres du mouvement du fluide : vitesses (u, ν, w), la pression (p) et la
température (tfl) et le régime d’écoulement défini par Re (laminaire ou turbulent).
• Les paramètres concernant le corps solide : la forme géométrique ( ℑ ), l’état de surface
ou la rugosité ( ℜ ) et sa température (t1).
D’où, on peut écrire la relation suivante :
h = f ( ρ, υ, λ, Cp , u, ν, w, p, Re, ℑ, ℜ, t fl , t1 )
(5.8)
2.1 Notion de couche limite
Pour mieux comprendre le phénomène de la dynamique du mouvement du fluide au
contact du corps solide, nous considérons un écoulement d’un liquide sur une paroi plane. Sur la
figure (5.3) on peut voir l’évolution de cet écoulement en présence de différentes zones.
u∞
Zone laminaire
u∞
y
Zone
transitoire
δ
Zone turbulente
u∞
0,99u∞
δ 0,99u∞
0
χcr
x
Sous couche laminaire
Fig. 5.3 : Développement de la couche limite de l’écoulement sur une paroi plane
L’écoulement du liquide en arrivant au point d’attaque (x=0) a une vitesse uniforme (u∞). Dès le
premier contact avec la paroi, les particules situées à la coordonnée y=0 se collent (condition
d’absence de glissement) à la surface de la paroi et sous l’effet de la viscosité d’autres particules
adjacentes qui se trouvent au dessus sont freinées dans leur mouvement. L’ensemble des
particules dont la vitesse de déplacement est inférieure à u∞ constitue une certaine épaisseur du
liquide qu’on appelle "couche limite". L’épaisseur δ de cette couche augmente dans le sens de
l’écoulement qui passe par les 3 zones principales.
• La première porte le nom de zone laminaire, car l’écoulement est laminaire (les vecteurs
vitesses sont parallèles à la surface de la paroi plane). La longueur de cette zone est
caractérisée par la coordonnée χcr. Dans la couche limite de cette zone on constate la
présence d’un gradient de vitesse des particules qui varie de 0 (à y=0) à u∞ (à y=δ)
suivant l’axe de coordonné Y (comme le montre le diagramme). Au dessus de la couche
limite la vitesse reste constante égale à u∞ (vitesse initiale de l’écoulement ou écoulement
libre), car on est loin de la surface de la paroi qui a provoqué la perturbation. Pour cette
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3
Chapitre 5 : Convection
zone on a : Rex ≤ 5.105, sachant que Rex=u∞.x/υ (avec x : distance à partir du bord
d’attaque de la paroi plane et υ : viscosité cinématique).
• La deuxième zone est une zone de transition. Elle commence au-delà de la coordonné χcr
où les vecteurs vitesses ne sont plus parallèles à la surface de la paroi et subissent une
petite fluctuation. L’épaisseur de la couche limite est plus grande que celle la zone
précédente mais instable. Généralement, sa longueur suivant l’axe X est moins grande
que les 2 autres zones. Pour cette zone on a : 5.105 < Rex < 106.
• La troisième zone est la zone turbulente où les vecteurs vitesses subissent une grande
fluctuation due à un mouvement chaotique des particules du liquide. Le gradient de
vitesse de la couche limite est plus grand (voire diagramme des vitesses). On constate
l’apparition d’une sous couche laminaire de faible épaisseur. Dans l’intervalle de cette
zone l’épaisseur de la couche limite augmente progressivement dans la stabilité. Pour
cette zone on a : Rex >106.
La courbe constituée de points de cordonnées y=δ sépare 2 régions du domaine de l’écoulement.
En dessous de cette courbe c’est la couche limite où l’effet de la viscosité est signifiant et
provoque la présence d’un gradient de vitesse. Au dessus de cette courbe l’écoulement est dit
libre à cause de l’effet de la viscosité qui est négligeable et l’absence de gradient de vitesse.
Sur cette courbe on défini la valeur de la vitesse à l’aide de l’expression suivante : u = 0,99 u∞.
L’épaisseur δ peut être déterminée à l’aide de l’expression suivante :
δ
x
=
5,0
Rex
2.2 Couche limite thermique
On considère un écoulement de liquide à la température tfl sur une paroi plane chadont la
température est égale à t1 avec la condition de t1 > tfl (fig.5.4). Au bord d’attaque de la paroi, le
liquide a une température uniforme égale à t∞=tfl. Dès les premiers contacts du liquide avec la
surface chaude de la paroi, ses particules se collent (vitesse nulle) à cette surface et acquièrent la
température de la paroi (dans un équilibre thermique). Au cours de l’évolution de l’écoulement,
en présence du gradient de vitesse dans la couche limite, il se crée un gradient de température qui
varie de t1 (à y=0) jusqu’à t∞ (à y=δt). Au-delà de cette limite c'est-à-dire dans la zone de
l’écoulement libre la température reste constante égale à t∞.
y
t∞
u∞
Ecoulement libre
(t∞=tfl)
q
Paroi chaude à t1
t∞
δt
t
t1
x
Fig. 5.4 : Développement de la couche limite thermique
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4
Chapitre 5 : Convection
La zone qui se trouve en dessous de la courbe δt s’appelle "couche limite thermique". La
température de tous les points qui forment cette courbe est définie par l’expression :
t = t1 − 0,99 ( t1 − t ∞ )
(5.9)
Du point de vue échange de chaleur entre la paroi et le liquide dans la couche limite thermique, il
convient de noter que celui-ci se fait en 2 étapes. En premier lieu, entre la surface de la paroi et
les particules de liquide collées à cette surface (à y=0) la transmission de chaleur se fait par
conduction. Puis par convection, dans le reste de la couche limite thermique, entre les particules
en mouvement.
Pour la conduction, nous considérons la loi de Fourier.
q = −λ fl
∂t
∂y y =0
(5.10)
Pour la convection, reprenons l’expression(5.1) : q = h ( t1 − t fl )
En combinant ces 2 équations, on obtient l’expression qui permet de calculer le coefficient de
convection.
h=
−λ fl
∂t
∂y y = 0
t1 − t fl
(5.11)
Cette expression nous indique que pour déterminer le coefficient h, il faut d'abord connaitre le
gradient de température qui ne peut être obtenu qu'à partir de la distribution de la température
dans la couche limite entière. Et parce qu'on est en présence d'un milieu en mouvement, à son
tour le champ de température est fonction des vitesses de déplacement des particules du fluide.
Ainsi, comme on le constate, on retrouve l'expression (5.8) qui indique bien que le coefficient h
dépend de plusieurs paramètres. Il s'en suit que d'une manière générale, pour un problème
d'écoulement tridimensionnel en régime transitoire, Il faut déterminer:
• la masse volumique
• les 3 composantes de la vitesse (u, v, w) en tout point et à tout instant;
• La pression;
• les températures en tout point et à tout instant;
La résolution théorique de ce problème fait appel aux équations suivantes:
• Equation de continuité
• Equation de quantité de mouvement
• Equation d'énergie.
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5
Chapitre 5 : Convection
3. Equations de la couche limite
3.1 Equation de continuité
Considérons un écoulement de fluide (gaz ou liquide) sur une paroi plane à l'intérieur
duquel se trouve un volume élémentaire (infiniment petit) dv=dx.dy.dz, fixe dans l'espace (fig.
5.5). Les paramètres de vitesse du fluide suivant les 3 axes de coordonnées X, Y; Z sont
respectivement u, ν et w.
Evaluons les masses de fluide passant à travers les 6 facettes du volume élémentaires au cours du
temps (en régime transitoire).
u∞
y
x
z
dMy+dy
dMz
dMx
dMx+dx
dy
dz
dMz+dz
dx
dMy
Fig. 5.5 : Volume élémentaire fixe dans l'écoulement de fluide
La masse de fluide introduite dans le volume élémentaire par la facette de gauche de surface
ds=dy.dz suivant l’axe X, est égale à :
dM x = ρ.u.ds.dτ = ρ.u.dydz.dτ
(5.12)
Le produit ρu représente la quantité de masse de liquide passant par unité de temps et de surface.
Sur la facette de droite, la masse de fluide quittant le volume est égale à :
dM x + dx = ρ.u x + dx .dydz.dτ
(5.13)
En se limitant aux 2 premiers termes du développement en série de Taylor cette expression, on
obtient :
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6
Chapitre 5 : Convection
⎡
∂ ( ρu ) ⎤
dM x + dx = ⎢ρu +
dx ⎥ dydzdτ
∂x
⎣
⎦
(5.14)
La différence entre les masses de fluide sortante et introduite est égale à :
dM x − dM x + dx = −
∂ ( ρu )
∂ ( ρu )
dxdydzdτ = −
dvdτ
∂x
∂x
(5.15)
Par analogie, nous obtenons les expressions suivantes suivant les axes Y et Z.
∂ ( ρν )
dVdτ
∂y
∂ ( ρw )
dM z − dM z + dz = −
dVdτ
∂z
dM y − dM y + dy = −
(5.16)
(5.17)
En additionnant les parties de droite des expressions(5.15), (5.16) et (5.17), nous obtenons les masses de
fluide retenues dans le volume de contrôle qui engendrent la variation de la masse volumique du liquide
du volume élémentaire, on obtient :
∂ ( ρu )
∂ ( ρν )
∂ ( ρw )
∂ρ
dvdτ = −
dvdτ −
dvdτ −
dvdτ
∂τ
∂x
∂y
∂z
(5.18)
Le facteur de gauche représente le taux d'augmentation de la masse de fluide dans le volume.
Après quelques simples transformations nous obtenons l’équation de continuité qui porte aussi le nom
d'équation de conservation de la masse.
⇒
∂ρ ∂ ( ρu ) ∂ ( ρν ) ∂ ( ρw )
+
+
+
=0
∂τ
∂x
∂y
∂z
∂ρ
⇒
+ ∇. ( ρV ) = 0
∂τ
(5.19)
(5.20)
Pour des liquides incompressibles (ρ=constante), l’équation de continuité s’écrit sous la forme suivante :
∂u + ∂ν + ∂w = 0
∂x ∂y ∂z
(5.21)
3.2 Equation de quantité de mouvement
Comme pour la détermination de l'équation de continuité, nous considérons un
écoulement de fluide sur une paroi plane et un volume élémentaire (infiniment petit)
dv=dx.dy.dz (fig. 5.6). Sauf que cette fois-ci, le volume élémentaire de masse fixe se déplace
avec le fluide. Dans le but de simplifier la démonstration, nous commençons cette étude en en ne
considérant qu’un seul axe de coordonnée X, puis nous écrivons, par analogie, les équations
Enseignant : A. Benbrik
7
Chapitre 5 : Convection
correspondantes aux 2 autres axes Y et Z. La variation de la vitesse dans l’écoulement considéré
se fait uniquement suivant l’axe Y.
u∞
ν
y
u
w
x
z
τ y + dy = ( τ y +
y
e
∂τ y
∂y
dy)dxdz
f
h
g
dy
pdydz
dz
(p +
dx
a
b
∂p
∂x
dx )dydz
x
τ y dxdz
z
d
c
Fig. 5.6 : Volume élémentaire en mouvement dans l'écoulement
Pour la détermination de cette équation, nous appliquons la loi de Newton dont l'expression est la
suivante:
F = m.a
(5.22)
Etant donné que l’étude se fait suivant l’axe X, l'expression (5.22) devient:
Fx = m.a x
(5.23)
De manière générale, les mouvements de déplacement du volume élémentaire dans l'écoulement
du fluide sont la cause de 2 types de forces.
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8
Chapitre 5 : Convection
Fx = F1 + F2
(5.24)
• F1: Forces d'action sur le volume élémentaire, sans qu'il y est contact direct avec les
surfaces de frontière de ce dernier. Elles proviennent de l'environnement (au delà du
fluide) où se trouve le volume élémentaire. Leurs actions se fait à distance. C'est le cas de
la force de pesanteur "g" due à la gravité. Comme ça peut être aussi un champ électrique
ou magnétique. Elles s'appliquent à tout le volume massique du volume élémentaire.
Ainsi, dans notre cas où nous considérons la force de pesanteur, nous pouvons définir la
force F1 par la relation suivante:
F1 = ρg x dv
(5.25)
• F2: Forces d'action sur les surfaces de frontière du volume élémentaire. Elles sont en
contact direct telle que la force de pression du fluide, notée par F2,p et les contraintes
normales et tangentielles du fluide dues aux effets de viscosité notée par F2,v.
Sur la figure (5.6), les 2 forces dues à la pression du fluide, sont représentées suivant l’axe X,
perpendiculaires aux surfaces de gauche et droite du volume élémentaire. La somme de ces
forces est égale à :
⎡ ⎛
∂p ⎞
⎤
∂p
∂p
F2,p = pdydz + ⎢ − ⎜ p + dx ⎟ dydz ⎥ = − dxdydz = − dv
∂x ⎠
∂x
∂x
⎣ ⎝
⎦
(5.26)
Le signe (-) de la force de pression sur la surface de droite est du au fait que cette force est de
sens contraire à l’orientation de l’axe X.
Les forces dues à la viscosité du fluide sont de 2 sortes:
- Les forces de contraintes normales perpendiculaires aux surfaces de gauche et droite du
volume élémentaire et dirigées suivant le sens de l'écoulement du fluide (l'axe X).
- Les forces de contraintes tangentielles dues au frottement des particules de fluide aux
surfaces latérales du volume élémentaire.
Toutes ces contraintes dépendent du gradient de vitesse dans le fluide. Dans la plupart des
écoulements visqueux les contraintes normales sont très faibles par rapport à celles tangentielles
et sont souvent négligées dans les calculs. Par contre, dans les écoulements à fort gradient de
vitesse axiale, les contraintes normales ont leur importance. Dans la présente étude, nous
négligeons l'effet des contraintes normales.
En rappel à la définition de la contrainte de cisaillement tangentielle, nous disons qu'elle
représente la force de frottement, par unité de surface, entre le fluide en mouvement et la surface
solide du volume élémentaire. Elle est notée par : τ et défini par l'expression suivante [1]:
τy = μ
Enseignant : A. Benbrik
∂u
∂y
(5.27)
9
Chapitre 5 : Convection
La constante de proportionnalité µ est la viscosité dynamique du fluide dont l'unité est: kg/m.s,
équivalente à : N.s/m2 ou Pa.s. Une autre unité qui a été aussi utilisée est la Poise=0,1Pa.s.
Comme le montre la figure (5.6), il y a une contrainte tangentielle sur chaqu'une des 2 surfaces
latérales. Le sens d'orientation de ces contraintes est défini comme suit: Sur la surface "abcd" du
volume élémentaire qui se trouve à la base du plan XZ elle est égale à : τ y dxdz et est négative
car elle est dirigée dans le sens opposé à l'axe X qui représente le sens de l'écoulement. Et sur la
surface "efgh" d'en face située à la distance dy du plan de base, elle est égale à :
∂τ y ⎞
⎛
τ y + dy = ⎜ τ y +
dy ⎟ dxdz et est positive, dirigée dans le même sens que l'axe X (sens de
∂y
⎝
⎠
l'écoulement).
Ainsi, La somme de ces 2 contraintes donne l'expression de F2,v :
F2,v
⎡⎛
∂τ y ⎞
⎤ ⎛ ∂τ y ⎞
∂2 u
= ⎢⎜ τ y +
dy ⎟ dxdz − τ y dxdz ⎥ = ⎜
⎟ dv=μ 2 dv
∂y
∂y
⎢⎣⎝
⎥⎦ ⎝ ∂y ⎠
⎠
(5.28)
Maintenant que les composantes des forces de surfaces ont été définies, l'expression de F2 est
définie par la relation suivante:
⎛ ∂p
∂2u ⎞
F2 = F2,p + F2,v = ⎜ − + μ 2 ⎟ dv
∂y ⎠
⎝ ∂x
(5.29)
A son tour Fx est définie par la relation suivante:
⎡
⎛ ∂p
⎛
∂2 u ⎞⎤
∂p
∂2 u ⎞
Fx = F1 + F2 = ⎢ρg x + ⎜ − + μ 2 ⎟ ⎥ dv = ⎜ ρg x −
+ μ 2 ⎟ dv
∂x
∂y ⎠ ⎦
∂y ⎠
⎝ ∂x
⎝
⎣
(5.30)
Reprenons maintenant la formule (5.23) et développons la partie de droite qui exprime, dans la
loi de Newton, le produit de la masse par l'accélération.
La masse du fluide du volume élémentaire est constante et est égale à:
m = ρdxdydz = ρdv
(5.31)
Et l'accélération est définie par la différentielle totale de la vitesse par rapport au temps.
ax =
Du
Dt
(5.32)
Du
dv
Dt
(5.33)
D’où :
ma x = ρ
En définitif, en combinant les expressions(5.23), (5.30) et (5.33) nous obtenons:
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10
Chapitre 5 : Convection
ρ
Du
∂p
∂2 u
= ρg x −
+μ 2
Dt
∂x
∂y
(5.34)
La considération d’un écoulement tridimensionnel (3D) complique la démonstration car la vitesse varie
dans les 3 directions X, Y et Z. Dans le cas général, les équations de quantité de mouvement qui décrivent
un écoulement tridimensionnel d’un fluide incompressible ayant des propriétés physique constantes sont
les suivantes :
ρ
⎛ ∂2 u ∂2u ∂2 u ⎞
Du
∂p
= ρg x −
+ μ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
Dt
∂x
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
(5.35)
ρ
⎛ ∂2ν ∂2ν ∂2ν ⎞
Dν
∂p
= ρg y −
+ μ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
Dt
∂y
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
(5.36)
⎛ ∂2 w ∂2 w ∂2 w ⎞
Dw
∂p
= ρg z −
+ μ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
Dt
∂z
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
(5.37)
ρ
Etant donné que mathématiquement on peut avoir le développement de la différentielle totale suivant :
Du ∂u
∂u
∂u
∂u
=
+u +ν +w
Dt ∂t
∂x
∂y
∂z
(5.38)
Par analogie, nous avons aussi pour les axes Y et Z :
Dν ∂ν
∂ν
∂ν
∂ν
=
+u +ν +w
Dt ∂t
∂x
∂y
∂z
Dw ∂w
∂w
∂w
∂w
=
+u
+ν
+w
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
(5.39)
(5.40)
Les équations(5.35), (5.36) et (5.37) prennent la nouvelle forme :
⎛ ∂2u ∂2u ∂2u ⎞
⎛ ∂u
∂u
∂u
∂u ⎞
∂p
ρ⎜ + u
+ν
+ w ⎟ = ρg x −
+ μ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
∂x
∂y
∂z ⎠
∂x
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂t
⎝ ∂x
⎛ ∂2ν ∂2ν ∂2ν ⎞
⎛ ∂ν
∂ν
∂ν
∂ν ⎞
∂p
ρ⎜
+u
+ν
+ w ⎟ = ρg y −
+ μ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟
∂x
∂y
∂z ⎠
∂y
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂t
⎝ ∂x
⎛ ∂2ν ∂2ν ∂2ν ⎞
⎛ ∂w
∂w
∂w
∂w ⎞
∂p
ρ⎜
+u
+ν
+w
=
ρ
g
−
+
μ
⎜ 2 + 2 + 2⎟
z
⎟
∂x
∂y
∂z ⎠
∂z
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂t
⎝ ∂x
(5.41)
(5.42)
(5.43)
Ces équations constituent la forme générale de l'équation de quantité de mouvement aussi
appelée équation de Navier-Stokes (aux noms des 2 inventeurs: le Français: M. Navier et
l'Anglais: G. Stokes).
Enseignant : A. Benbrik
11
Chapitre 5 : Convection
3.3 Equation d’énergie
Considérons un écoulement de fluide sur une paroi plane à l'intérieur duquel se trouve un
volume élémentaire (infiniment petit) dv=dx.dy.dz, fixe dans l'espace (fig. 5.7). Le fluide dans
son écoulement passe à travers le volume élémentaire.
qy+dy.ds
ρuhy+dy.ds
qz.ds
y
ρuhz.ds
qx+dx.ds
qx.ds
dy
ρuhx.ds
ρuhx+dx.ds
x
dz
qz+dz.ds
z
dx
ρuhz+dz.ds
qy.ds ρuhy.ds
Fig. 5.7 : Volume élémentaire fixe dans l'écoulement de fluide
En Appliquant la loi de conservation des énergies pour le volume élémentaire on a :
E e + E g − E s = E st
(5.44)
Nous avons déjà appliqué cette expression pour la détermination de l’équation d’énergie (équation
différentielle de la conduction) au chapitre 2. A ce moment là, l’étude était basée sur un corps solide, où il
n’y avait pas de convection (c’était la conduction pure). Alors que dans le cas actuel, nous sommes en
présence d’un écoulement de fluide où le transfert de chaleur entre le fluide en mouvement et le volume
élémentaire fixe se fait principalement par convection. Il convient de préciser que du fait que les
molécules du fluide qui sont à température différentes sont en contact permanent entre elles, d’où il y a
aussi présence de transfert de chaleur par conduction.
En principe nous devons prendre en considération d’autres types d’énergie dans l’expression (5.44), telles
que l’énergie due au travail contre les forces de viscosité, qu’on appelle ″dissipation visqueuse″. Cette
énergie est souvent négligée dans les calculs pratiques.
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12
Chapitre 5 : Convection
Ainsi nous pouvons affirmer que l’énergie qui entre par les 3 facettes dans le volume élémentaire est la
somme de 2 énergies (Econd1 et Econv1). Et l’énergie qui sort par les 3 facettes opposées est égale à la
somme de 2 énergies (Econd2 et Econv2) D’où nous pouvons écrire les expressions suivantes
Ee=Econd1+Econv1, et Es=Econd2+Econv2
Pour l’axe X, on a : E cond1 = q x .ds ; E cond2 = q x + dx .ds
et E conv1 = ρ.u.h x ; E conv2 = ρ.u.h x + dx
L’énergie de convection est obtenue à partir du produit de la masse du fluide dans le volume élémentaire
(ρu) par la quantité d’énergie (portée par cette masse) représenté par l’enthalpie (h).
Si on introduit la notion d’énergie accumulée (Eac) ou retenue dans le volume élémentaire qu’on
note par Eac=Ee-Es, on peut écrire l’expression suivante :
(5.45)
E ac = E ac1 + E ac2 = ( E cond1 − E cond2 ) + ( E conv1 − E conv2 )
(
(
)
∂q
Avec E ac1 = q x − q x + dx ds = ⎡q x − q x + dx
∂x
⎢⎣
)⎤⎥⎦ ds = −
∂q
dv ,
∂x
connue de la démonstration de
l’équation d’énergie (chapitre 2).
⎡
∂ (ρ.u.h) ⎞ ⎤
∂ (ρ.u.h)
⎛
E ac2 = ρ.u.h x − ρ.u.h x + dx ds = ⎢ρ.u.h x − ⎜ ρ.u.h x +
dx ⎟ ⎥ ds = −
dv
∂x
∂x
⎝
⎠⎦
⎣
(
)
⇒ E ac x = −
∂q x
⎛ ∂ (ρ.u.h) ⎞
dv + ⎜ −
dv ⎟
∂x
∂x
⎝
⎠
(5.46)
Cette expression à l’énergie accumulée suivant l’axe X.
Les autres énergies accumulées suivant les axe Y et Z sont :
∂q
⎛ ∂ (ρ.ν.h) ⎞
⇒ E ac y = − y dv + ⎜ −
dv ⎟
∂y
∂y
⎝
⎠
∂q
⎛ ∂ (ρ.w.h) ⎞
⇒ E ac z = − z dv + ⎜ −
dv ⎟
∂z
∂z
⎝
⎠
(5.47)
(5.48)
& = qdv
&
Le terme Eg : Energie générée de l’expression(5.44) est égal à : E g = qdv
; où q& est le flux
généré par unité de volume.
Pour le terme de l’énergie stockée, sachant que toute accumulée ou retenue dans le volume
élémentaire servira à la variation de l’enthalpie de ce volume : Eac=dH
Etant donné que h=h(t,p), on peut écrire ce qui suit : dH = Cp ∂T dtdv = cpρ ∂T dtdv = ρ ∂h dtdv
∂t
∂t
∂t
3
Avec Cp : Chaleur spécifique volumique dont l’unité est : kJ/m K et cp : kJ/kg.K.
D’où l’énergie stockée est égale à : E st = E ac = dH = ρ c p
∂h
dtdv
∂t
Réécrivons l’expression (5.44) en introduisant les différentes énergies suivant les axes Yet Z.
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13
Chapitre 5 : Convection
−
∂q
∂ (ρ.u.h)
∂ (ρ.ν.h)
∂ (ρ.w.h)
∂q x
∂q
& = ρ ∂h dtdv
dv −
dv − y dv −
dv − z dv −
dv + qdv
∂x
∂
y
∂
z
∂x
∂y
∂z
∂t
(5.49)
Sachant que q x = −λ ∂T ;q y = −λ ∂T ;q z = −λ ∂T ;
∂x
∂y
∂z
Après développement et quelques transformations nous obtenons :
2
2 ⎞
⎛ 2
⎛
⎞
⎛
⎞
ρ ∂h = λ ⎜ ∂ T + ∂ T + ∂ T ⎟ − ρ ⎜ u ∂h + ν ∂h + w ∂h ⎟ − ρh ⎜ ∂u + ∂ν + ∂w ⎟ + q&
⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ⎝ ∂x
x
y
z
∂t
∂y
∂z ⎠
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
D’après l’équation de continuité si ρ=const., on a : ∂u + ∂ν + ∂w = 0 .
∂x ∂y ∂z
(5.50)
D’où
∂h + ⎛ u ∂h + ν ∂h + w ∂h ⎞ = λ ⎛ ∂ 2T + ∂ 2T + ∂ 2T ⎞ + q&
⎜
⎟
∂t ⎜⎝ ∂x
∂y
∂z ⎟⎠ ρ ⎜ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟ ρ
⎝
⎠
(5.51)
Etant donné que h=cpdT,
∂T + ⎛ u ∂T + ν ∂T + w ∂T ⎞ = a ⎛ ∂ 2T + ∂ 2T + ∂ 2T ⎞ + q&
⎜⎜ 2
⎟
∂t ⎜⎝ ∂x
∂y
∂z ⎟⎠
∂y 2 ∂z 2 ⎟⎠ ρcp
⎝ ∂x
(5.52)
Si on considère la dissipation visqueuse (effet des forces de viscosité du fluide) nous introduisons dans
l’équation (5.52) le terme μΦ.
D’où,
∂T + ⎛ u ∂T + ν ∂T + w ∂T ⎞ = a ⎛ ∂ 2T + ∂ 2T + ∂ 2T ⎞ + q& + μΦ
(5.53)
⎜⎜ 2
⎟
∂t ⎜⎝ ∂x
∂y
∂z ⎟⎠
∂y 2 ∂z 2 ⎟⎠ ρcp
⎝ ∂x
2
2
2
2
2⎤
2
⎡
⎛ ⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
Avec : Φ = 2 ⎢ ∂u + ⎜ ∂ν ⎟ + ∂w ⎥ + ⎜ ∂u + ∂ν ⎟ + ⎜ ∂ν + ∂w ⎟ + ∂w + ∂u
∂z ⎥ ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎝ ∂z ∂y ⎠
∂x ∂z
⎝ ∂y ⎠
⎢⎣ ∂x
⎦
L’expression (5.52) représente l’équation de conservation d’énergie dans l’écoulement d’un
fluide.
Remarque : Si les vitesses u, ν et w sont nulles on retrouve l’équation d’énergie dans un solide.
( )
( )
(
)
4. Equations adimensionnelles de la couche limite
Pour la résolution d’un problème de convection forcée, de manière générale, on doit
passer par la formulation de ce problème en posant les équations gouvernantes : de continuité
(5.19), de quantité de mouvement (5.41) et celle d’énergie (5.53), plus les conditions aux limites.
La résolution devrait aboutir à la détermination, dans la couche limite, des variables spatiales :
les 3 composantes de la vitesse (u, ν, w) et la température (T). Pour un écoulement
incompressible, ayant des propriétés physiques constantes, les équations (5.19) et (5.41) ne sont
pas couplées à l’équation (5.53). Ces équations ( (5.19) et (5.41) ) sont d’abord résolues pour
donner le champ de vitesses : u(x, y, z), ν(x, y, z) et w(x, y, z) puis on peut obtenir la
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14
Chapitre 5 : Convection
température T(x, y, z), par la suite, après résolution de l’équation (5.53), car dans cette équation
la température est couplée au paramètre de vitesse. Une fois la température obtenue, on peut
calculer le coefficient h à partir de l’expression (5.11), ce qui permet à son tour de calculer, à
l’aide de la formule (5.1) le flux de chaleur échangé entre une paroi et un fluide.
La résolution de ce type de problème à l’aide de cette méthode nécessite l’utilisation de gros
développements mathématiques (pour la solution analytique si elle existe) ou les méthodes
numériques.
Il existe une autre approche qui permet de solutionner les problèmes de convection (forcée et
naturelle) de manière générale. Cette approche s’appui sur le développement des équations
gouvernantes en adimensionnel (sans dimensions) pour aboutir à des corrélations corrigées par
des études expérimentales.
4.1 Formulation adimensionnelle
En considérant un écoulement de fluide visqueux, incompressible, en 2D (coordonnées
cartésiennes), stationnaire et sans source de chaleur avec des propriétés physiques constantes, les
équations gouvernantes sont :
• Equation de continuité :
∂u + ∂ν = 0
(5.54)
∂x ∂y
•
Equation de quantité de mouvement :
⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎞
⎛ ∂u
∂u ⎞
∂p
ρ⎜ u
+ ν ⎟ = ρg x −
+μ⎜ 2 + 2 ⎟
∂y ⎠
∂x
∂y ⎠
⎝ ∂x
⎝ ∂x
(5.55)
⎛ ∂ 2ν ∂ 2ν ⎞
⎛ ∂ν
∂ν ⎞
∂p
ρ⎜ u
+ ν ⎟ = ρg y − + μ ⎜ 2 + 2 ⎟
∂y ⎠
∂y
∂y ⎠
⎝ ∂x
⎝ ∂x
(5.56)
Si on néglige la force due à la pesanteur (gx=gy= 0). Et si on considère que l’épaisseur de la couche limite
est très mince on a : u
ν et ∂u
∂y
∂u , ∂ν , ∂ν , et en appliquant l’égalité μ
ρ
∂x ∂y ∂x
= υ (avec υ : viscosité
cinématique), d’où les équation (5.55) et (5.56) deviennent :
u
∂u
∂u
1 ∂p
∂ 2u
+ν
=−
+υ 2
∂x
∂y
ρ ∂x
∂y
∂p
=0
∂y
(5.57)
(5.58)
Cette dernière relation implique que la pression ne varie pas dans la direction normale à la surface de la
paroi qui se trouve en contact avec le fluide en écoulement. Ainsi, la pression dépend uniquement de la
coordonnée X et est égale à la pression au loin de la surface de la paroi (en dehors de la couche limite). A
cet effet, nous pouvons écrire que :
•
∂p
∂x
=
dp
dx
Equation d’énergie
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15
Chapitre 5 : Convection
2 ⎞
⎛ 2
⎛ ⎞
u ∂T + ν ∂T = a ⎜ ∂ T + ∂ T ⎟ + υ ⎜ ∂u ⎟
⎜ ∂x 2 ∂y 2 ⎟ cp ⎝ ∂y ⎠
∂x
∂y
⎝
⎠
(5.59)
⎛ ⎞
Le terme υ ⎜ ∂u ⎟ provient du facteur de la dissipation visqueuse μΦ de l’équation (5.53). De la
cp ⎝ ∂y ⎠
condition que l’épaisseur de la couche limite est très mince, on a :
∂T
∂y
∂T . D’où l’équation (5.59)
∂x
s’écrit :
2
⎛ ⎞
u ∂T + ν ∂T = a ∂ t + υ ⎜ ∂u ⎟
2 c p ⎝ ∂y ⎠
∂x
∂y
∂y
(5.60)
Introduisons les nouvelles variables adimensionnelle :
y
L
et ν∗ = ν
V
T
−
T
s
T∗ =
T∞ − Ts
p
p∗ =
ρV 2
x∗ = x
L
u∗ = u
V
et
y∗ =
(5.61)
(5.62)
(5.63)
(5.64)
La lettre L dans (5.61) caractérise la longueur de la surface de la paroi en contact de l’écoulement du
fluide. Et V dans (5.62) est la vitesse (u∞ = V) de l’écoulement au loin de la surface de la paroi (en dehors
de la couche limite).
Si on substitue Les variables des équations (5.54) (5.57) et (5.60) par les variables adimensionnelles
(5.61) à (5.64), nous obtenons :
∂u∗ + ∂ν∗ = 0
∂x∗ ∂y∗
u∗
∗
∂u ∗
dp∗ υ ∂ 2 u ∗
∗ ∂u
+
ν
=
−
+
∂x ∗
∂y∗
dx ∗ VL ∂y∗2
∗
∗
2 ∗
u∗ ∂T + ν∗ ∂T = a ∂ T
∂x∗
∂y∗ VL ∂y∗2
(5.65)
(5.66)
(5.67)
(υ)
La combinaison de paramètres VL de l’équation (5.66) déjà connue d’après la mécanique des
fluides sous le nom de son inventeur Reynolds
VL ≡ Re
L
υ
(5.68)
( VLa ) de l’équation (5.67) et on y apporte la transformation
−1
suivante : ( a ) = ( υ )( a ) = ( Re ) ( a ) , le rapport ( a ) est une combinaison de paramètres qui
VL
VL υ
υ
υ
Si on considère la combinaison
porte le nom de Prandtl (nom de son inventeur) :
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16
Chapitre 5 : Convection
a
υ
≡ Pr
(5.69)
Ainsi, les équations (5.66) et (5.67) deviennent :
∂u∗ + ∂ν∗ = 0
∂x∗ ∂y∗
u∗
(5.70)
∗
∂u ∗
dp∗
1 ∂ 2u∗
∗ ∂u
+
ν
=
−
+
∂x ∗
∂y∗
dx ∗ ReL ∂y∗2
∗
∗
1
∂ 2 T∗
u∗ ∂T + ν∗ ∂T =
∂x∗
∂y∗ ReL .Pr ∂y∗2
(5.71)
(5.72)
Après analyse de ces équations on peut faire la déduction suivante : pour l’équation (5.71) il n’y
a que le ReL qui fait la différence entre plusieurs cas d’écoulement de fluide. on dit qu’ils sont
semblables liés entre eux par le critère de similitude ″ReL″. On constate la même chose pour
l’équation(5.72), le ″Pr″ est aussi un critère de similitude. Ces critères de similitude sont très
importants car ils permettent d’appliquer les solutions d’un cas d’étude à un autre
géométriquement semblable ayant les mêmes critères de similitude.
Par exemple si le critère de Reynolds (ReL) est le même pour des écoulements, sur une paroi
plane, de fluides différents (eau, huile, …), la distribution de vitesse adimensionnelle sera la
même à une valeur donnée de x*.
(
)
De l’équation (5.70) nous pouvons écrire : ν∗ = f u∗ , y∗ , x ∗ ;
De l’équation (5.71) nous pouvons écrire :
(
u∗ = f x∗ , y∗ , ReL ,
dp∗
dx ∗
)
(5.73)
Comme la distribution de pression p*(x*) dépend de la géométrie de la surface de paroi en
contact avec l’écoulement et qu’elle peut être obtenue à part en considérant les conditions de
l’écoulement libre au loin de la couche limite, le facteur dp*/dx* représente l’influence de la
géométrie sur la distribution de la vitesse.
4.1.1 Coefficient de friction
On constate que les équations de quantité de mouvement (5.71) et d’énergie (5.72)
montrent sont semblables. Leur similitude atteste que les gradients de vitesse et température sont
connexes (rattachés). Parce que la contrainte de cisaillement et le coefficient de convection à la
surface sont fonctions du gradient de vitesse et la température respectivement, on suspecte qu’il
y a un lien étroit entre les frictions dans le fluide et le transfert de chaleur par convection. Cette
relation serait bénéfique, car elle nous aiderait à déterminer le taux de transfert de chaleur par
convection à partir de la contrainte de cisaillement et vice-versa.
De l’équation (5.27), la contrainte de cisaillement tangentielle, à la surface y*=0, peut être
exprimée par :
τs = μ
Enseignant : A. Benbrik
∂u
∂y
=
y =0
μV ∂u *
L ∂y*
(5.74)
y* = 0
17
Chapitre 5 : Convection
On défini le coefficient de friction local (Cfx) par l’expression suivante :
Cfx =
τs
ρV 2 / 2
(5.75)
D’où,
Cfx =
2 ∂u *
Re L ∂y*
(5.76)
*
y =0
D’où
Cfx
∂u *
Re L = *
∂y
2
(5.77)
*
y =0
De l’équation (5.73), on peut écrire la relation suivante :
(
dp∗
∂u*
= f x∗ , Re L , ∗
dx
∂y* y* = 0
*
)
(5.78)
*
Le facteur dp /dx est déterminé par la forme géométrique du corps en contact du fluide en
écoulement. Ainsi, le coefficient de friction est déterminé par la relation suivante.
Cfx =
2
f ( x ∗ , ReL )
Re L
(5.79)
4.1.2 Critère de Nusselt
De l’équation (5.11), nous obtenons l’équation suivante sous forme adimensionnelle :
h=−
λ fl ⎡ ( T∞ − Ts ) ⎤ ∂T*
⎢
⎥
L ⎣ ( Ts − T∞ ) ⎦ ∂y*
=+
*
y =0
λ fl ∂T*
L ∂y*
(5.80)
*
y =0
De cette expression, nous définissons un nouveau critère de similitude appelé critère de
similitude Nusselt (au nom de son inventeur) ou bien nombre de Nusselt.
hL
∂T*
Nu ≡
=+ *
λ fl
∂y
(5.81)
y* = 0
Des équations (5.70) et (5.72) il est visible que pour une géométrie spécifique le critère de
Nusselt local (Nux) dépends seulement de x*, ReL, et Pr.
(
Nu x = f x* , ReL , Pr
)
(5.82)
En combinant les équations (5.77) et (5.81) on a :
Cfx
Re L = Nu x
2
Et le critère de Nusselt total est indépendant de x*.
(5.83)
Nu = f ( ReL , Pr )
(5.84)
Enseignant : A. Benbrik
18
Chapitre 5 : Convection
Une autre définition du nombre de Nusselt confirme que ce dernier et le rapport de la convection
à la conduction pure. Pour bien comprendre cette définition donnons l’exemple suivant.
Considérons une certaine couche L de fluide en écoulement entre 2 parois solides dont les
températures sont T1 et T2 respectivement (ΔT=T2 -T1). Le transfert de chaleur à travers la
couche de fluide se fait par convection et par conduction. D’où on a :
et
q conv = h.ΔT ⎫⎪ q
conv = h.ΔT = hL
⎬q
.
T
λ
Δ
λ.ΔT / L λ
q cond =
L ⎪
⎭ cond
Par conséquent, le nombre de Nusselt représente le perfectionnement du transfert de chaleur dans
la couche de fluide comme étant le rapport des 2 phénomènes. Si la valeur de Nu est grande cela
veut dire que la convection est dominante. Si Nu = 1, cela veut dire que le transfert de chaleur se
fait par conduction pure.
5. Méthode expérimentale
Dans ce qui suit, nous allons monter comment peut-on résoudre des problèmes de
convection forcée sur une paroi plane à l’aide de méthodes expérimentale. A la base de
l’équation (5.84), nous en déduisons la formule empirique qu’on appelle corrélation.
Nu = f ( ReL , Pr )
Le matériel utilisé est constitué d’une paroi plane sur laquelle s’écoule parallèlement, à petite
vitesse, un fluide (air, l’eau, l’huile ou autre) (fig. 5.8). La paroi est chauffée, à l’aide d’une
résistance électrique pour maintenir Ts>T∞. La paroi est isolée thermiquement sur les surfaces
qui ne sont pas en contact avec l’écoulement du fluide. Cette configuration assure un transfert de
chaleur par convection forcée entre la paroi et le fluide en écoulement. Des moyens de mesure
sophistiqués sont utilisés pour mesurer les températures (Ts, T∞) et la puissance électrique de
l’échauffement qui est égale à la densité de flux de chaleur (q) échangé par convection.
u∞, T∞
q
Paroi plane (Ts, L, Ss)
Résistance électrique
Isolation thermique
I
E
Fig. 5.8 : Installation de l’expérience pour l’obtention de corrélation
Dans une première étape, l’expérience consiste à chauffer la paroi jusqu’à atteindre un état
stationnaire. Connaissant la puissance électrique et les températures q, Ts et T∞, nous pouvons
calculer le coefficient de convection h à l’aide de l’expression (5.3). Connaissant aussi les
Enseignant : A. Benbrik
19
Chapitre 5 : Convection
propriétés physiques du fluide et la longueur de la paroi, nous pouvons calculer les nombres de :
Nu, ReL et Pr, en utilisant respectivement les équations : (5.81), (5.68) et (5.69).
La dépendance entre ces nombre adimensionnels est la suivante :
n
Nu = C.Rem
L .Pr
(5.85)
Où les coefficients C, m et n sont des constantes adimensionnelles.
Si dans un premier on considère un fluide qui a un nombre de Pr=1 (l’air par exemple), on peut
déterminer les constantes C et m de la manière suivante.
L’équation (5.85) s’écrit alors: Nu = C.Rem
L . Si nous introduisons le logarithme, on obtient:
Log Nu = Log C + mLog ReL
(5.86)
Construisons un graphe dont l’ordonnée Y est Log Nu, l’abscisse X correspond à Log ReL (fig. 5.9). En
effectuant des manipulations expérimentales, en faisant varier le ReL par la variation de la vitesse de
l’écoulement, on constate que la dépendance est linéaire. Cette linéarité nous permet d’écrire l’expression
(5.86) sous la forme d’un équation linéaire : Y = A + mX . Où Y représente Log Nu, X représente Log
ReL et A représente Log C. Dans ce cas, il est facile de déterminer le coefficient m, car il représente la
tangente de l’angle formé par la droite et l’axe des abscisses (fig. 5.9(a)). Par la suite on détermine C à
l’aide de l’expression suivante : C=Nu/ReL.
Log (Nu)
Log Nu
Pr3
Pr2
Nu=C ReLmPrn
Nu=C ReLm
Pr1
a
α
b
Log ReL
(a)
Log ReL
(b)
Fig. 5.9 : Graphes pour détermination des constantes des corrélations
Dans le cas où Pr est différent de 1, le Nu dépendra des 2 arguments ReL et Pr. Sur le graphe on
obtient une série de droites correspondantes aux différents Pr (fig 5.9(b)). Dans ce cas là, le 2ème
argument (Pr) est considéré comme un paramètre et on calcul le coefficient m pour une droite
comme le cas précédent. Puis on construit un autre graphe : Log(Nu/ReLm)=f(Log Pr) et on
calcule le coefficient n. En dernier, on calcule le coefficient C à l’aide de l’expression :
C=Nu/(ReLmPrn).
Enseignant : A. Benbrik
20
Chapitre 5 : Convection
Les corrélations suivantes sont très répandues pour le calcul du coefficient de convection dans le
cas des parois planes :
1
1
1
1
Nu x = 0,324Re x2 Pr
Nu L = 0, 628ReL2 Pr
(5.87)
3
(5.88)
3
5
Ces corrélations sont valables pour un écoulement laminaire : Re < 5.10 et 0,5 ≤ Pr ≤ 10.
Et
Nu x = 0, 0288Re0,8
x Pr
Nu L = 0, 035Re0,8
L Pr
1
1
(5.89)
3
(5.90)
3
5
Ces corrélations sont valables pour un écoulement turbulent, dont Re > 5.10 et 0,5 ≤ Pr.
Enseignant : A. Benbrik
21
Chapitre 5 : Convection
2. CONVECTION NATURELLE
La convection forcée suppose la présence d’un dispositif pour mettre en mouvement le
fluide (pompe, ventilateur…). Le mouvement du fluide est appréciable à travers ses vitesses qui
varient en fonction de la puissance du dispositif. Il peut être orienté dans n’importe quelle
direction.
En convection naturelle ou libre, le mouvement du fluide résulte de l’existence de force de
flottabilité engendrée par un gradient de température. Le mouvement est crée de manière
naturelle à la suite des différences de masse volumique des particules du fluide, dont les vitesses
impliquées sont faibles (généralement inférieur à 1 m/s). Ce mouvement de fluide n’a qu’une
seule direction qui est le sens opposé à la pesanteur.
L’exemple de la figure (5.10) illustre bien le mouvement naturel de l’air dans l’atmosphère.
Après un échauffement de la surface de la terre par le soleil, la masse d’air qui est en contact du
sol à tendance à s’élever vers le haut. Ceci s’explique par le fait que les particules d’air ayant
reçu de l’énergie thermique vont se voir leur masse volumique diminuée et deviennent plus
légères par rapport à d’autres particules du voisinage. Et par conséquent, elles montent,
naturellement, en cédant leur place aux autres particules plus denses. Une fois arrivée à une
certaine hauteur au dessus du sol, ces mêmes particules perdent leur énergie thermique, leur
masse volumique augmente, d’où elles ont tendance à redescendre vers le bas. Tous ces
mouvements sont à l’origine de la création naturelle des courants d’air dans l’atmosphère.
Fig. 5.10 : Convection naturelle dans l’atmosphère
Le mouvement de monter vers le haut des particules moins denses de fluide est omniprésent dans
la nature. On peut le constater dans la séparation de l’huile et du vinaigre dans une bouteille de
vinaigrette. Les 2 fluides ont des masses volumiques différentes. Le fluide dont la masse
volumique est moindre (l’huile) se mets en haut.
Enseignant : A. Benbrik
22
Chapitre 5 : Convection
Ce phénomène naturel a été aussi à l’origine de l’invention de la montgolfière (fig. 5.11), ce
ballon rempli d’air chaud qui a permit de réaliser en 1783 le premier vol d’un être humain.
Fig. 5.11 Montgolfière
Ce phénomène naturel trouve son explication dans la théorie de la poussée d’Archimède. La
poussée d'Archimède est la force particulière que subit un corps plongé en tout ou en partie dans un fluide
(liquide ou gaz) soumis à un champ de gravité.
Rappel sur la poussée d’Archimède :
Considérons un solide de volume V et de masse volumique ρS flottant à la surface d'un liquide de
masse volumique ρL (fig. 5.12). Si le solide flotte, c'est que son poids (caractérisé par la force Fp)
est équilibré par la force de flottabilité FA due à la poussée d'Archimède : FA = Fp.
Fig. 5.12 : Expérience sur la poussée d’Archimède
La poussée d'Archimède étant égale (en grandeur) au poids du volume de liquide déplacé
(équivalent au volume V i immergé), on peut écrire : FA= ρLV i g = FP= ρSVs g
Dans le cas où le corps solide est totalement immergé, tout en restant à la surface du liquide, on a
Vi = Vs. En absence d’autres forces, la force nette verticale en action sur le solide est égale à la
différence des forces du poids du corps solide et celle de flottabilité.
Fnet. = Fp − FA = ρs .g.Vs − ρ L .g.Vs = ( ρs − ρ L ) gVs
Enseignant : A. Benbrik
(5.91)
23
Chapitre 5 : Convection
Dans notre étude de la convection naturelle, on s’intéresse surtout à la poussée d’Archimède
engendrée par la présence d’un gradient de température. Ainsi, il faut trouver un moyen
comment faire intervenir la variable température dans l’expression de la force nette de flottabilité
de l’expression (5.91). Au lieu des différences de masses volumiques, on souhaiterait que ça soit
une différence de température. Pour cela, on fait appel au coefficient de dilatation thermique qui
permet de faire le lien entre masse volumique et température.
( )
∂ρ
β=−1
ρ ∂T
(5.92)
p
On peut, à l’aide d’une approximation, remplacer les différentielles par des différences de
quantité.
Δρ
β≈−1
ρ ΔT
(5.93)
Dans le cas de la convection naturelle en contact d’une paroi verticale chaude, on observe un
mouvement de fluide vers le haut engendré par la différence des masses volumiques (poussée
d’Archimède) entre les particules au contact de la paroi (de masse volumique ρ) et d’autres
particules au loin de la paroi (de masse volumique ρ∞ ). Ainsi, la différence entre les masses
volumiques est égale à : Δρ=ρ∞-ρ). De la même manière la différence de température est égale
à : ΔT=T∞-T.
D’où,
ρ −ρ
Δρ
β≈−1
=−1 ∞
ρ ΔT
ρ T∞ − T
(5.94)
ρ∞ − ρ = ρβ ( T∞ − T )
(5.95)
Pour les gaz parfaits, dont l’équation d’état est : ρ = P/RT, le coefficient de dilatation thermique est égal
à:
( )
∂ρ
β=−1
ρ ∂T
p
= 1 P2 = 1
ρ RT
T
[1/K ]
(5.96)
Où T est la température absolue en Kelvin.
2.1 Equations gouvernantes
Comme en convection forcée, les équations gouvernantes, en convection naturelle, sont
les équations de continuité, de quantité de mouvement et celle d’énergie. Etant donné, que la
différence entre les 2 types de convection réside dans les forces qui sont à l’origine des
mouvements de fluide, les modifications vont concerner en premier lieu l’équation de quantité de
mouvement. Cette modification prendra en compte la force de flottabilité citée précédemment.
2.1.1 Equation de quantité de mouvement
Pour établir cette nouvelle équation de quantité de mouvement, nous considérons une
paroi plane verticale chauffée à une température Ts, se trouvant à l’air libre de température T∞.
Les expériences de la convection naturelle on montrées que le mouvement du fluide (air) dans la
Enseignant : A. Benbrik
24
Chapitre 5 : Convection
couche limite suivant la hauteur de la paroi peut être aussi bien laminaire que turbulent (fig.
5.13).
x
Ts
Ts
Températures
Couche limite
turbulente
T∞
Vitesses
u=0
Paroi
chaude
Paroi
chaude
T∞
u=0
Couche
Limite laminaire
Couche limite
laminaire
x
y
Fig. 5.13 : Couche limite laminaire
et turbulente en convection
naturelle
y
Fig. 5.14 : Profiles de vitesses et
Températures dans la couche
laminaire
Pour cette étude nous considérons la couche limite laminaire, en 2D, en régime stationnaire. Les
propriétés physiques sont constantes mis à part la masse volumique qui est à l’origine du
mouvement. La figure 5.14 montre les profiles de vitesses et températures dans cette couche
limite laminaire. On remarque que la vitesse est nulle sur la courbe de l’épaisseur de la couche
limite (début de la zone ou le fluide et au repos). Ce qui n’était pas le cas dans la convection
forcée. La vitesse est maximale au environ de la moitié de l’épaisseur de la couche limite et elle
est nulle aussi au contact de la paroi, comme en convection forcée.
Par contre, la température est maximale sur la surface de la paroi chaude et diminue dans
l’épaisseur de la couche limite jusqu’à atteindre la température T∞ du fluide au repos.
Pour la démonstration qui permet d’obtenir l’équation recherchée, nous considérons un volume
élémentaire, en 2D (fig. 5.15), de dimensions dx et dy (dz=1). Les forces qui rentrent en action
sont représentées sur la figure.
• Les forces de pression sur les surfaces perpendiculaire à la direction du mouvement.
• Les contraintes de cisaillement tangentielles sur les surfaces parallèles au mouvement.
• La force de gravité appliquée au centre du volume élémentaire, opposée au mouvement.
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25
Chapitre 5 : Convection
Les contraintes normales appliquées aux surfaces perpendiculaires au sens du mouvement du
fluide sont négligeables et ne sont pas prise en compte dans notre démonstration.
Ts
Températures
T∞
Vitesses
u=0
Paroi
chaude
u=0
p+
τ
∂P
∂x
dx
τ+
dx
∂τ
∂y
dy
G
dy
x
y
P
Fig. 5.15 : Volume élémentaire dans la couche limite laminaire
Appliquons la loi de Newton (5.23) : Fx = m.a x
La somme des forces Fx est égale à :
⎡⎛
⎤ ⎡
∂τ ⎞
∂P ⎞
⎤
⎛
Fx = ⎢⎜ τ + dy ⎟ dxdz − τdxdz ⎥ + ⎢ Pdydz − ⎜ p +
dx ⎟ dydz ⎥ − ρgdxdydz
∂y ⎠
∂x ⎠
⎝
⎦
⎣⎝
⎦ ⎣
(5.97)
∂τ
∂P
=
dxdydz −
dxdydz − ρgdxdydz
∂y
∂x
Etant donné que dz=1, il s’en suit :
⎛ ∂τ ∂P
⎞
Fx = ⎜ −
− ρg ⎟ dxdy
(5.98)
⎝ ∂y ∂x
⎠
En appliquant la définition de la contrainte de cisaillement tangentielle : τ =μ∂u/∂y, on obtient :
⎛ ∂ 2 u ∂P
⎞
Fx = ⎜ μ 2 −
− ρg ⎟ dxdy
∂x
⎝ ∂y
⎠
La masse du volume élémentaire étant égale à (5.31) : m = ρdxdydz = ρdxdy.1 = ρdxdy .
Reprenons l’expression (5.32) pour l’accélération de la pesanteur, d’où : a x =
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(5.99)
Du
Dt
26
Chapitre 5 : Convection
Etant en présence d’un cas d’étude en 2D et en régime stationnaire, la différentielle totale (5.38)
s’écrit sous la forme suivante:
Du ∂u
∂u
∂u
∂u
=
+u
+ν
+ w
.
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
En définitif, la loi de Newton donne :
⎛ ∂u
∂u ⎞
∂ 2 u ∂P
ρ⎜ u
+ν ⎟=μ 2 −
− ρg
∂y ⎠
∂x
∂y
⎝ ∂x
(5.100)
L’équation (5.100) représente l’équation de quantité de mouvement suivant la direction X.
Si nous appliquons l’équation (5.100) à un volume élémentaire du fluide au repos en dehors de la
couche limite (où la pression est P∞ et la masse volumique :ρ∞), sachant qu’il n’est pas en
mouvement (u=0), on obtient :
∂P∞
(5.101)
= −ρ∞ g
∂x
D’après la figure (5.15) on peut confirmer que la vitesse de déplacement du volume élémentaire
u ). D’où, nous
suivant X est nettement grande par rapport à celle dirigée suivant Y ( ν
pouvons écrire que : ∂ν ∂x
≈ ∂ν ∂y ≈ 0 . Etant donné, aussi, qu’il n’y a pas de forces appliquées
au volume élémentaire suivant Y, le bilan des forces suivant cette axe donne : ∂P ∂y
= 0 . Ceci
implique que la pression suivant l’axe Y est négligeable et que la pression (P) dans la couche limite
suivant X est égale à celle (P∞) du fluide au repos (en dehors de la couche limite) :
P = P(x) = P∞ (x) .
D’où on peut écrire : ∂P ∂x
expression dans l’équation (5.100), on obtient :
= ∂P
∞
∂x
= −ρ∞ g .
⎛ ∂u
∂u ⎞
∂2 u
ρ⎜ u
+ ν ⎟ = μ 2 + ( ρ∞ − ρ ) g
∂y ⎠
∂y
⎝ ∂x
En portant cette dernière
(5.102)
Le facteur ″ ( ρ∞ − ρ ) g ″ représente la force ascendante nette par unité de volume du fluide. C’est
cette force là qui est à l’origine de la création du mouvement convectif et maintient la durabilité
des courants ascendants.
De l’équation (5.95), nous avons :
ρ∞ − ρ = ρβ ( T∞ − T ) .
Après substitution dans (5.102) et
division par ρ, nous obtenons :
⎛ ∂u
∂u ⎞
∂2u
ρ ⎜ u + ν ⎟ = υ 2 + gβ ( T∞ − T )
∂y ⎠
∂y
⎝ ∂x
(5.103)
C’est l’équation gouvernante du mouvement de fluide du à la flottabilité dans la couche limite. A la
différence de l’équation de quantité de mouvement en convection forcée, celle-ci renferme le paramètre
de la température qui est à l’origine du mouvement convectif. Par conséquent, la résolution d’un
problème de convection naturelle exige la résolution simultanée des équations de quantité de mouvement
et celle d’énergie.
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27
Chapitre 5 : Convection
En introduisant les nouvelles variables adimensionnelles suivantes :
y
x∗ = x ; y∗ = ;
L
L
T − T∞
u∗ = u ; ν∗ = ν ; et T∗ =
dans l’équation (5.103), on obtient :
V
V
Ts − T∞
u∗
∗
⎡ gβ ( Ts − T∞ ) L
∂u ∗
∗ ∂u
+
ν
=⎢
∗
∗
υ2
∂x
∂y
⎢⎣
3
⎤ T*
1 ∂ 2 u∗
+
⎥ 2
∗2
⎥⎦ Re L ReL ∂y
(5.104)
La combinaison de paramètre à l’intérieur des crochets représente le critère de similitude appelé
Grashof (au nom de son inventeur) noté par : ″Gr″. C’est cette combinaison de paramètre qui
caractérise le convection naturelle dans cette équation de quantité de mouvement. Ce nombre de
Grashof représente pour la convection naturelle ce que représente le nombre de Reynolds pour la
convection forcée. Il est défini comme étant le rapport de la force de flottabilité et la force de
viscosité impliquées dans le mouvement du volume élémentaire dans le fluide.
Comme pour la convection forcée, là aussi, on utilise les méthodes expérimentales pour résoudre
les problèmes de convection naturelle.
En reprenant l‘expression (5.84) : Nu = f ( ReL , Pr ) et en remplaçant le facteur caractérisant la
convection forcée par celle naturelle (Re par Gr), on obtient la relation de Nusselt pour la convection
naturelle.
Nu = f ( Gr, Pr )
(5.105)
Les études expérimentales ont permit de préciser la relation réelle entre le Nusselt et les nombres de Gr et
Pr.
Nu = C(Gr.Pr) m
(5.106)
En introduisant le nouveau critère de similitude appelé Rayleigh (au nom de son inventeur) noté par:
″Ra″, égal au produit de Gr par Pr, l’expression (5.106) devient :
gβ ( Ts − T∞ ) L
Nu = CRa m
(5.107)
3
Avec Ra =
Pr ;
υ2
Les constantes C et m dépendent de la géométrie de la surface en contact du fluide en
mouvement et du régime d’écoulement (laminaire ou turbulent), qui sont à leur tour caractérisés
par le nombre de Rayleigh.
Par ailleurs, le nombre de Grashof représente aussi le critère qui fait la différence entre le régime
laminaire et turbulent dans l’écoulement du fluide en contact des parois solides (fig.5.13). Les
expériences ont montrés que la valeur de 109 est la valeur critique du Gr. Ainsi, dans le cas de la
convection naturelle au contact d’une paroi plane verticale, si Gr=109 le régime est turbulent.
Le tableau 5.1 présente les valeurs de C et n pour différentes configuration de la convection
naturelle.
Enseignant : A. Benbrik
28
Chapitre 5 : Convection
Remarque : Toutes les valeurs des propriétés physiques sont évaluées à partir de la température
moyenne entre celle de la paroi et le fluide
T=
Ts + T∞
.
2
Tableau 5.1
Corrélations valables pour tout fluide : Nu = CRam
Géométrie
Ra
C
m
104 - 109
0,59
1/4
109 - 1013
0,021
2/5
10-10 - 10-2
0,675
0,058
10-2 - 102
1,02
0,148
102 - 104
0,850
0,188
104 - 107
0,480
0,25
107 - 1012
0,125
0,33
2.104 - 8.106
0,54
0,25
8.106 – 1011
0,15
0,33
105 - 1011
0,27
0,25
Plaques (L: hauteur) et cylindres verticaux (L: hauteur)
Cylindres horizontaux (convection à l’extérieur)
(L : diamètre)
Plaque plane horizontale chauffée par la face
supérieure (L : S/Périmètre)
Plaque plane horizontale chauffée par la face inférieure
(L : S/Périmètre)
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29
Chapitre 6: Rayonnement
CHAPITRE 6
RAYONNEMENT THERMIQUE
1. Introduction
Le mode de transfert de chaleur par rayonnement diffère de ceux par conduction et
convection. Ce dernier ne nécessite pas de support matériel pour sa réalisation. Il n’est pas
conditionné par la présence d’un gradient de température dans de la matière pour en avoir lieu. Il
est basé sur le principe que tout corps, quelque soit sa température (différente de zéro Kelvin),
peut rayonner.
L’expérience de la figure (6.1) donne une explication claire sur la manière dont se fait le transfert
de chaleur par rayonnement entre un corps 1 chaud et un autre corps 2 moins chaud , sous forme
d’enceinte, où se trouve le corps 1. Le corps 1 se refroidit pour atteindre la température
d’équilibre avec le corps 2 en présence du vide (pas de matière solide ou fluide) entre les 2 corps.
2
1
Vide
Fig. 6.1 : Refroidissement sans support de matière
La figure (6.2) présente l’exemple de la sensation de la chaleur reçu par une personne à 30°C de
la part d’un foyer de flamme à 900°C qui se trouve à une certaine distance. Alors que l’air qui se
trouve entre eux est à la température de 5°C.
Le transfert de chaleur par rayonnement trouve son explication dans la physique, notamment
dans la théorie de rayonnement de manière générale. En réalité, il existe 2 approches théoriques
qui expliquent le mécanisme du rayonnement. La première théorie est celle de James Maxwell
(Physicien de Scotland), datant de la 2ème moitié du 19ème siècle. Cette théorie est basée sur la
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1
Chapitre 6: Rayonnement
notion d’ondes électromagnétiques. Il a inventé l’idée que des particules, chargées, accélérées
génèrent un champ électrique et magnétique appelé ondes électromagnétiques. Les ondes
électromagnétiques, comme les ondes sonores, se propagent à travers l’air, transportent de
l’énergie d’un lieu à un autre. A la différence des ondes sonores, les ondes électromagnétiques se
propagent à la vitesse de la lumière. La vitesse de propagation est obtenue à partir de la relation
suivante :
(6.1)
c  
Où, c = 2,998.108 m/s (vitesse de la lumière dans le vide) ;
λ : Longueur d’onde, (m) ;
ν : Fréquence, Hz (cycles par seconde).
la deuxième théorie a est celle de Max Planck en 1900, appelée théorie des quantas. Cette
théorie traite le rayonnement en tant que paquet d’énergie appelé quanta ou photon. Dans cette
théorie, l’énergie de chaque photon est calculée d’après la relation suivante :
Où, E : énergie, (J) ;
h = 6,626.10-34 J.s (Constante de planck).
E  h
L’expression (6.2) peut être écrite sous la forme suivante:
(6.2)
E  hc 
Ainsi, on remarque que plus la longuer d’onde (λ) est petite plus l’énergie rayonnée est
importante.
Dans le suite de notre développement à ce cours, nous adoptons la théorie des ondes
électromagnétique.
2. Spectre des ondes électromagnétiques
Le rayonnement thermique fait partie du rayonement électromagnétique qui a un vaste
domaine d’application. La figure (6.3) illustre les différents rayonnements électromagnétique
dont chacun est caractérisé par une plage de longueurs d’onde.
Dans la partie des longueures d’ondes très courtes (λ ≤ 10-7 m) correspondant à de grandes
fréquences on peut citer les rayonnement cosmiques (se sont des particules chargées venant du
soleil, des étoiles ou autres objets celestes), les rayons gamma dont la plage des longueurs
d’ondes varie de 10-7m ≤ λ≤ 10-4m qui intéressent surtout les physiciens dans le domaine de
l’ingineering du nucléaire. Puis les rayons X (10-7m ≤ λ ≤ 10-4m) qui sont utilisées dans
différents domaines tels que la radiologie (médecine) ou dans l’industrie pour détecter des
défauts de matériaux (outil de diagnostique). Et les ultraviolets (10-2m ≤ λ ≤ 0,7m) qui sont
aussi utilisées dans certaines application en médecine.
Une autre partie des ondes électromagnétiques caractérisée par de grandes longueurs d’onde est
très utlisée dans la pratique telles que les microns ondes (102m ≤ λ ≤ 105m) et les ondes radio
(105m ≤ λ ≤ 1010m) ainsi que la téléphonie.
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2
Chapitre 6: Rayonnement
Les micro ondes sont générées à l’aide d’un système électronique appelé : klistrons ou bien
magnetrons. Les ondes radio sont générées par alternance des courants dans des conducteurs
électriques ou bien par exitation électrique des cristaux.
Ultra violets
Ondes radio
Rayons
Micro-ondes thermiques
1010 109 108 107 106 105 104 103 102
10
Rayons X
Rayons γ
Rayons cosmiques
10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10
1
Rouge
Jaune
Vert
Bleu
Violet
λ(μm)
Infrarouges
102
10
Ultraviolets
1
0,7 0,4 10-1 λ(μm)
Visible
Fig.6.3 : Spectre des ondes électromagnétiques
Entre ces 2 parties, se trouvent les rayons thermiques dont les longueurs d’ondes des ondes
électromagétiques sont comprises entre 10-1m ≤ λ ≤ 102m ou bien 0,1m ≤ λ ≤ 100m. Cette
plage comprends une partie des ultraviolets, la lumière visible et l’infrarouge (IR). La plage des
longueurs d’ondes visible, déterctée par l’œil humain, s’étale de 0,4m ≤ λ ≤ 0,7m. Dans
certaines littératures ces valeurs varient de 0,4m ≤ λ ≤ 0,76m.
En transfert de chaleur, on s’intéresse uniquement rayonnement thermique. Car c’est ces ondes
électromagnétiques qui transportent l’énergie thermique qui fait l’objet de notre étude.
3. Vocabulaire
Le classement des paramètres physiques en rayonnement thermique est basé sur 2 critères
indépendants.
 La composition spectrale du rayonnement ;
 La distribution spatiale (directionnelle) du rayonnement.
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3
Chapitre 6: Rayonnement
3.1 Composition spectrale
D’abord nous définissons le mot spectre.
 Spectre : le terme spectre caractérise la dépendance du rayonnement en fonction
de la longueur d’onde. Tout rayonnement émis par un corps peut être composé de
plusieurs rayons dont chacun possède sa propre longueur d’onde. Ainsi, on parle
de distribution spectrale. Exemple du soleil qui rayonne vers la terre à différentes
longueurs d’ondes (ultraviolet, visible et infrarouge).
Les paramètres relatif à l’ensemble du spectre du rayonnement sont dits : total,
exemple : E, , …
 Monochromatique : veut dire rayonnement à une seule longueur d’onde.
Les paramètres relatif à un intervalle spectrale étroit de longueurs d’ondes centré
autour d’une longueur d’onde sont dits : monochromatique. Il sont suivi d’un
indice. Exemple : Eλ, λ, …
3.2 Distribution directionnelle
Les paramètres sont dits directionnels lorsqu’ils caractérisent une direction donnée (de
l’espace) de la propagation du rayonnement. Ils sont dits hémisphériques lorsqu’ils concernent
l’ensemble de l’espace de l’hémisphère.
4. Luminance (Intensity en Anglais)
Le rayonnement émis par un corps de surface plane se fait dans toutes les directions de
l’hémisphère. Ce rayonnement peut être égal suivant chaque direction (fig. 6.4a). Dans ce cas le
rayonnement est dit diffuse. Comme il peut être différent qui correspond au cas réel (fig. 6.4b).
Fig. 6.4 : Rayonnement diffuse et réel
En réalité, ce rayonnement n’est pas uniforme (diffuse), mais pour une simplification des calculs
on le considère comme étant diffuse. Dans le cas où on le considère réel, souvent, on a besoin de
connaitre l’amplitude du rayonnement dans une direction bien déterminée de l’espace. Cette
quantité d’énergie s’appelle luminance notée par la lettre L. Pour déterminer cette quantité
d’énergie, il faut d’abord définir la direction du rayonnement dans l’espace de l’hémisphère. A
cet effet, nous devons considérer les angles  (polaire) et  (azimutal). Sur la figre (6.5), nous
avons considéré un rayonnement émis par une petite surface ds dans une direction définie par les
angles polaire et azimutal dans l’hémisphère. Pour pouvoir quantifier la valeur de ce
rayonnement émis, on est censer connaittre la taille de l’ouverture (cercle) dans l’espace par où
passe le rayonnement. Ceci est défini par la notion de l’angle solide.
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4
Chapitre 6: Rayonnement
4.1 Angle solide
Le rayonnement émis d’un point de la surface ds qui passe, à travers la surface circulaire
dsn dans l’espace, est défini par l’angle solide (angle formé par un cône). Un angle plan est défini
par la relation d   dl r et un angle solide par la relation suivante : d   dsn r . L’unité de
2
l’angle solide est le stéradian (sr).
Pour bien comprendre cette notion d’angle solide, prenons l’exemple d’une petite surface dsn, sur
la peau d’une pasteque. Si nous joignons les 4 points limitant la surface dsn au centre de la
pasteque, on obtient l’angle solide (ω) interceptant cette surface.
Enseignant : A. Benbrik
5
Chapitre 6: Rayonnement
La figure (6.7) montre en détail les dimensions des arrêts de la surface dsn. Ainsi, la surface
sphérique est égale à :
2
dsn  r sin d d 
(6.3)
D’après la définition de l’angle solide (fig. 6.6): dω=dsn/r2, d’où nous obtenons la nouvelle
expression de cet angle solide :
d 
dsn
r
2
2

r sin d d 
r
2
 sin d d 
(6.4)
A partir de la surface ds (fig. 6.7) peut être émis un rayonnement dans n’importe quelle direction
de l’hémisphère. L’angle solide associé à l’hémisphère entier peut être calculé en intégrant la
relation (6.4) dans les limites des angles  (variant de 0 à /2) et  (variant de 0 à 2).


hémis.
 / 2 2
d 
 
sin d d   2  sr 
(6.5)
 0  0
4.2 Définition de la luminance
Etant donné une surface différentielle ds1 qui émet un rayonnement dans toutes les
directions de l’hémisphère. La part de ce rayonnement qui tombe ou bien qui passe à travers la
surface dsn (fig. 6.7) est obtenu à partir de la luminance spectrale du rayonnement. Alors que la
luminance est défini comme étant le taux auquel est émise l’énergie par rayonnement à la
longueur d’onde λ dans la direction de la surface dsn caractérisée par les angles θ et ϕ par unité
Enseignant : A. Benbrik
6
Chapitre 6: Rayonnement
de surface d’émission normale à cette surface, par unité d’angle solide dans cette direction et
par unité d’intervalle dλ de longueur d’onde.
L , e ( , , ) 
d
ds1 cos .d .d 
W
/ m .sr .m 
2
(6.6)
Il convient de noter que la surface utilisée, dans cette expression de la luminance, est la surface de
projection de ds1, perpendiculaire à la direction d’émission du rayonnement, vue par un observateur se
trouvant à l’extérieur de l’hémisphère en face de cette surface projetée (fig. 6.8).
Fig. 6.8 : projection de ds1 normale à la direction d’émission du rayonnement
En reprenant la formule de la luminance (6.6) et en notant que d 
d
 d   , on obtient
l’expression du flux de chaleur rayonnée.
d 
 L , e (  , , ) ds1
cos .d  W
/ m 
(6.7)
En introduisant l’expression de l’angle solide (6.4), et en divisant par ds1 on obtient la densité de
flux de chaleur spectrale rayonnée:
dq
 L , e ( , , ) cos  sin d d  W m 
(6.8)
A partir de cette expression, on peut déterminer le flux spectral émis dans l’hémisphère au dessus de la
surface ds1 (fig. 6.9)
2  / 2
q

 
L , e ( , , ) cos  sin d d 
W
2
m .m

(6.9)
 0  0
Pour calculer le flux total sur toutes les longueurs d’ondes, on intègre cette expression de 0 à l’infini qui
correspond aux valeurs de toutes les longueurs d’onde.
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7
Chapitre 6: Rayonnement

q   q d  
  2   / 2
0
  
L , e ( , , ) cos  sin d d d 
(6.10)
  0  0  0
Fig. 6.9 : Emission de ds1 dans l’hémisphère
4.3. Emittance (Emission en Anglais)
La notion de l’émittance est introduite pour mettre en évidence et évaluer le rayonnement
émis par unité de surface d’émission. L’émittance est notée par la lettre E. Sa valeur a été déjà
définie par l’expression (6.9) qui représente l’émittance spectrale hémisphérique.
2  / 2
E

 
L , e (  , , ) cos  sin d d 
W
2
m .m

(6.11)
 0  0
L’émittance totale hémisphérique est obtenue pour toutes les longueurs d’ondes.
  2   / 2

E

 E d    

0
L , e ( , , ) cos  sin d d d 
W m 
2
(6.12)
  0  0  0
Dans le cas où le rayonnement est diffuse, la luminance est indépendante de la direction
d’émission du rayonnement. Car le rayonnement est uniforme dans toutes les directions de
l’hémisphère. Ainsi, on écrit que : L , e ( , , )  L , e .
En faisant sortir la luminance de l’intégrale de l’expression (6.11), on obtient après intégration la
relation suivante :
E  L ,e
Enseignant : A. Benbrik
(6.13)
8
Chapitre 6: Rayonnement
Et l’émittance totale hémisphérique de la formule (6.12) devient :
E  Le
(6.14)
4.4 Eclairement (Irradiation en Anglais)
Le rayonnement peut être émis et peut aussi être reçu par une surface. Dans le cas de
réception, on l’appelle rayonnement incident ou Eclairement, noté par la lettre G. On applique
les mêmes considérations (rayonnement arrivant de toutes les directions de l’hémisphère fait
intervenir les angles θ et ϕ) utilisées dans l’émittance pour calculer l’éclairement (fig. 6.10).
Ainsi, l’éclairement spectral est exprimé par la relation suivante :
2  / 2
G

 
L , i (  , , ) cos  sin d d 
W
2
m .m

(6.15)
 0  0
L’éclairement total est égale à :
  2   / 2

G
 G d    

0
L , i ( , , ) cos  sin d d d 
W m 
2
(6.16)
  0  0  0
Si le rayonnement incident est diffus, on retrouve la même expression que pour l’émittance.
G  L ,i
(6.17)
G  Li
(6.18)
L’éclairement total est égale à :
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9
Chapitre 6: Rayonnement
4.5 Radiosité (Radiosity en Anglais)
Le rayonnement appelé radiosité est l’ensemble du rayonnement quittant une surface. Il
est composé du propre rayonnement émis par la surface plus les rayonnements réfléchis par cette
surface.
Radiosité
Rayon
réfléchi
Rayonnement
émis par la surface
Fig. 6.11 : Rayonnement de radiosité
La radiosité est notée par la lettre J. Elle est calculé à partir de la luminance Le+r du
rayonnement émis et celui réfléchi.
La radiosité spectrale est égale à :
2  / 2
J

 
L , e  r (  , , ) cos  sin d d 
W
2
m .m

(6.19)
 0  0
La radiosité totale est égale à :
  2   / 2

J 
 J d    

0
L , e  r (, , ) cos  sin d d d 
W m 
2
(6.20)
  0  0  0
Si la surface rayonne et reflète de manière diffuse, la luminance est indépendante de la direction.
D’où l’expression (6.19) se réduit à :
J   L ,e  r
(6.21)
J  Le  r
(6.22)
Et finalement la radiosité totale.
5. Corps noir
Le rayonnement émis par un corps à une certaine longueur d’onde dépend du matériau et
de l’état de surface de ce corps en plus de sa température. Ainsi, des corps différents émettent
différents flux thermique même s’ils sont à la même température. Nous pouvons dire que le
corps qui émet le maximum de rayonnement est le corps émetteur parfait. Ce corps doit être fait
d’un matériau idéal et dont l’état de la surface et idéal. Dans ces conditions là, on devine que
c’est un corps imaginaire qui n’existe pas en réalité. Ce corps s’appelle corps noir.
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10
Chapitre 6: Rayonnement
On attribut au corps noir les caractéristiques suivantes :
-Il absorbe tout le rayonnement incident indépendamment de la longueur d’onde et la direction.
-Il émet le maximum de son énergie de manière diffuse.
Remarque : Ne pas confondre le corps noir imaginaire décrit ci-dessus avec les corps ayant une
couleur noir. La couleur noir est une sensation visuelle. Car elle est basée sur le fait que tout
corps, qui absorbe totalement la lumière visible blanche, est de couleur noir. Alors que le
rayonnement visible ne représente qu’un faible intervalle (0,4m≤ λ ≤ 0,76m) du rayonnement
thermique.
Le corps noir peut servir de référence aux autres corps réels.
On peut réaliser approximativement un corps noir au laboratoire (fig.6.12). Une grande cavité
possédant un petit orifice. Si l’on envoi un rayonnement vers l’intérieur, il va être reflété
plusieurs fois sur la surface intérieur, ce qui nous laisse penser qu’il sera absorbé. Ainsi, on dira
que ce corps absorbe la totalité du rayonnement incident.
Fig. 6.12 : Cavité : modèle de corps noir
5.1 Loi de Distribution de Planck
La loi de distribution de Planck défini la puissance totale émise par un corps noir, notée
par la lettre En (L’indice n indique que le corps est noir). Souvent on est intéressé par la
puissance spectrale émise par un corps noir dont la formule est :
En ,  (  , T ) 
2
Avec : C1  2hc0  3, 742.10
C1

5
 exp  C2
W .m
8
4
m
2
T   1
W
2
m .m

(6.23)

-34
Où h = 6,6256.10 [J.s]
c0 = 2,998.108 [m/s]
C2  hc k  1, 439.10
4
m.K 
Où k = 1.3805.10-23 [J/K]
L’équation (6.23) est représentée sur le graphe de la figure 6.13.
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11
Chapitre 6: Rayonnement
Fig. 6.13 : Variation de la puissance émissive
spectrale du corps noir en fonction de λ
Remarques :
_ Le rayonnement émis varie continuellement avec la longueur d’onde.
_ Pour n’importe quelle valeur de λ, la valeur de la puissance émise augmente avec
l’augmentation de la température.
_ Avec l’augmentation de la température, les courbes se déplacent vers la gauche où se
trouvent les petites longueurs d’onde. Par conséquent, les corps ayant hautes températures
émettent principalement à de petites λ (exemple du soleil). Et les corps à basse température
(inférieure à 800K) émettent en infrarouge.
5.2 Loi de Déplacement de Wien
Sur la figure (6.13) on constate que chaque courbe passe par un maximum qui se déplace
vers les faibles longueurs d’onde avec l’augmentation de la température. On appelle longueur
d’onde maximale chaque longueur d’onde qui correspond à un maximum d’une courbe. W. Wien
(1894) à été le premier a expliquer ce déplacement de courbes et formuler la loi qui permet de
déterminer les longueurs d’ondes maximales à l’aide de la loi suivante :
 max T  2897, 8
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m.K 
(6.24)
12
Chapitre 6: Rayonnement
La loi de Wien est caractérisée par la ligne en pointillés sur le graphe de la figure (6.13). Si on
applique la relation de Wien à la courbe de la puissance spectrale émise par le soleil (considéré
comme un corps noir à T= 5800K), on obtient la longueur d’onde maximale égale à 0,5μm. C’est
une valeur de l’intervalle du visible que l’œil humain détecte. Les corps qui sont à des
températures moins que 800K ne sont pas détecter par l’œil humain.
On peut réaliser une expérience pour constater ce phénomène. Si on prend une pièce métallique
et on la chauffe en suivant son augmentation de température à l’aide d’un thermocouple, on
constate les faits suivants. Avant la température de 800K, la pièce ne change pas de couleur bien
qu’elle est très chaude. Au-delà de cette valeur, autour de 100K, elle commence à rougir. Cela
veut dire qu’elle commence à émettre un rayonnement à de faibles longueurs d’ondes qui sont
détectées par l’œil humain (0,4m≤ λ ≤ 0,76m). Si on continu à chauffer, aux environ de
1500K, la couleur passe au rouge brillant donnant une lumière vers le blanc.
La lampe à incandescence au fil de tungstène en est un bon exemple de ce phénomène
d’échauffement de corps métallique à haute température afin d’éclairer pendant la nuit.
C’est à la lumière de ce phénomène qu’a été inventé les caméras qui détectent les rayonnements
thermiques dans l’infrarouge, appelées caméras à infrarouge. Cette caméra est dotée d’un
microprocesseur qui reconstitue la forme de l’image du corps émetteur du rayonnement
infrarouges.
5.3 Loi de Stefan-Boltzmann
En intégrant l’équation (6.23) de la loi de Planck dans l’intervalle des longueurs de 0 à ∞,

En 
C1
  exp  C
5
0
2
T   1
d
(6.25)
on obtient la puissance émissive totale du corps noir exprimé par l’équation suivante.
En  T 4
(6.26)
Avec : σ = 5,67.10-8 [W/m2.K], appelée constante de Stefan-Boltzmann.
Cette équation permet de calculer la puissance de rayonnement émis par un corps noir, à la température T
(Kelvin), dans toutes les directions et à toutes les longueurs d’ondes.
5.4 Emission par bandes
La loi de Stefan-Boltzmann (6.26) nous donne le rayonnement total émis par un corps noir, à la
température T, et à toutes les longueurs d’onde de 0 à ∞. Mais souvent on est intéressé par connaitre
le rayonnement émis dans une certaine bande ou intervalle de longueur d’onde. A titre
d’exemple, on s’intéresse avec intérêt au rayonnement émis par les lampes à incandescence (au
fil de tungstène). Sachant que ces lampes transforment l’énergie électrique en énergie thermique,
on aurait souhaité que toute l’énergie thermique obtenue soit émise par rayonnement dans le
visible (0,4m≤ λ ≤ 0,76m) pour donner le maximum de lumière.
Enseignant : A. Benbrik
13
Chapitre 6: Rayonnement
De ce fait, on cherche à calculer la fraction d’énergie thermique rayonné dans cette bande.
En reprenant le graphe de Planck, on peut tracer la courbe de la puissance totale émise par un
corps noir à la température T (fig. 6.14a). On peut représenter sur cette courbe la fraction du
rayonnement qui peut être émis dans une bande allant de 0 à λ1 (0 → λ1) (fig. 6.14b).
(a)
(b)
Fig. 6.14 : Représentation de la fraction du rayonnement émis dans une bande
La fraction du rayonnement émis (noté par F0→λ1) dans la bande des longueurs d’onde comprises
entre 0 et λ1 est obtenue en calculant le rapport de la surface colorée (fig. 6.14b) et la surface
totale limitée par la courbe et l’axe des abscisses.
1
E
F0  
1
1
n,
d
0


=
En ,  d 
E
n, 
d
0
T
4
1 T
=

0
En , 
T
5
d  T  = ƒ   T 
(6.27)
0
Cette équation nous indique que la fraction du rayonnement émis F0→λ1 est fonction seulement
du produit λT. Elle peut être obtenue, aisément, à partir du tableau 6.1, représentant les fonctions
de rayonnement du corps noir.
Par ailleurs, on peut aussi, calculer la fraction émis entre 2 longueurs d’onde λ1 et λ2 (fig. 6.15),
qu’on note par F λ1→λ2.
2
E
F     0
1
2
Enseignant : A. Benbrik
1
n,
d 
T
E
0
4
n, 
d
= F 0    F 0  
2
(6.28)
1
14
Chapitre 6: Rayonnement
Fig. 6.15 : Fraction de rayonnement dans une bande λ1 et λ2
Tableau 6.1 : Fonctions de rayonnement du corps noir : F0-λT (λT)
Fraction de l’emittance du corps noir correspondant aux longueurs d’onde inferieures a une valeur λ (pour
une température T donnée).
Enseignant : A. Benbrik
15
Chapitre 6: Rayonnement
λT
µm.K
0
20
40
60
80
λT
µm.K
0
20 ou
200(*)
ou
2000(+)
40 ou
400(*)
ou
4000(+)
60 ou
600(*)
ou
6000(+)
80 ou
800(*)
ou
8000(+)
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
3100
3200
3300
3400
3500
3600
3700
3800
3900
4000
4100
4200
4300
4400
4500
4600
4700
4800
4900
5000
5100
5200
5300
5400
5500
5600
5700
5800
5900
6000
6100
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.0003
0.0009
0.0021
0.0043
0.0078
0.0128
0.0197
0.0285
0.0393
0.0521
0.0667
0.0830
0.1009
0.1200
0.1402
0.1613
0.1831
0.2053
0.2279
0.2506
0.2732
0.2958
0.3181
0.3401
0.3617
0.3829
0.4036
0.4238
0.4434
0.4624
0.4809
0.4987
0.5160
0.5327
0.5488
0.5643
0.5793
0.5937
0.6075
0.6209
0.6337
0.6461
0.6579
0.6693
0.6803
0.6909
0.7010
0.7107
0.7201
0.7291
0.7378
0.7461
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.0004
0.0010
0.0024
0.0049
0.0086
0.0140
0.0213
0.0305
0.0417
0.0549
0.0698
0.0865
0.1045
0.1240
0.1444
0.1656
0.1875
0.2098
0.2324
0.2551
0.2778
0.3003
0.3225
0.3445
0.3660
0.3871
0.4077
0.4277
0.4472
0.4661
0.4845
0.5022
0.5194
0.5359
0.5519
0.5673
0.5822
0.5965
0.6102
0.6235
0.6362
0.6485
0.6603
0.6716
0.6825
0.6929
0.7030
0.7126
0.7219
0.7309
0.7395
0.7477
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.000
0.0013
0.0028
0.0055
0.0096
0.0153
0.0230
0.0326
0.0442
0.0577
0.0730
0.0900
0.1084
0.1280
0.1486
0.1700
0.1920
0.2143
0.2369
0.2596
0.2823
0.3047
0.3269
0.3488
0.3703
0.3912
0.4117
0.3417
0.4511
0.4699
0.4881
0.5057
0.5227
0.5392
0.5551
0.5703
0.5851
0.5993
0.6129
0.6261
0.6387
0.6509
0.6625
0.6738
0.6845
0.6950
0.7049
0.7145
0.7238
0.7326
0.7411
0.7493
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.0005
0.0015
0.0033
0.0062
0.0106
0.0167
0.0247
0.0347
0.0467
0.0606
0.0763
0.0936
0.1122
0.1320
0.1528
0.1743
0.1964
0.2188
0.2415
0.2642
0.2868
0.3092
0.3313
0.3531
0.3745
0.4158
0.4356
0.4549
0.4736
0.4917
0.5092
0.5261
0.5424
0.5582
0.5733
0.5880
0.6020
0.6156
0.6286
0.6412
0.6412
0.6532
0.6648
0.6760
0.6867
0.6970
0.7069
0.7164
0.7256
0.7343
0.7428
0.7509
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0002
0.0007
0.0018
0.0037
0.0069
0.0117
0.0182
0.0266
0.0370
0.0494
0.0636
0.0796
0.0972
0.1161
0.3161
0.1571
0.1787
0.2009
0.2234
0.2460
0.2687
0.2913
0.3137
0.3357
0.3574
0.3787
0.3995
0.4198
0.4395
0.4585
0.4772
0.4952
0.5126
0.5294
0.5456
0.5612
0.5763
0.5908
0.6048
0.6182
0.6312
0.6436
0.6556
0.6671
0.6782
0.6888
0.6990
0.7088
0.7183
0.7273
0.7361
0.7444
0.7525
6200
6300
6400
6500
6600
6700
6800
6900
7000
7100
7200
7300
7400
7500
7600
7700
7800
7900
8000
8100
8200
8300
8400
8500
8600
8700
8800
8900
9000
9100
9200
9300
9400
9500
9600
9700
9800
9900
10000
11000
12000
13000
14000
15000
16000
17000
18000
19000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
100000
0.7541
0.7618
0.7692
0.7763
0.7831
0.7897
0.7961
0.8022
0.8080
0.8137
0.8191
0.8244
0.8295
0.8343
0.8390
0.8436
0.8479
0.8521
0.8562
0.8601
0.8639
0.8676
0.8711
0.8745
0.8778
0.8810
0.8841
0.8871
0.8899
0.8927
0.8954
0.8990
0.9005
0.9030
0.9054
0.9076
0.9099
0.9120
0.9141
0.9318
0.9450
0.9550
0.9628
0.9689
0.9737
0.9776
0.9807
0.9833
0.9855
0.9952
0.9978
0.9988
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.7556
0.7633
0.7706
0.7777
0.7845
0.7910
0.7973
0.8034
0.8092
0.8184
0.8202
0.8254
0.8304
0.8353
0.8399
0.8444
0.8488
0.8530
0.8570
0.8609
0.8647
0.8683
0.8718
0.8752
0.8785
0.8816
0.8847
0.8877
0.8905
0.8933
0.8959
0.8985
0.9010
0.9035
0.9058
0.9081
0.9103
0.9124
0.9181
0.9347
0.9472
0.9567
0.9641
0.9699
0.9745
0.9783
0.9813
0.9838
0.9888
0.9960
0.9981
0.9989
0.9993
0.9995
0.9997
0.9997
0.9998
0.7572
07648
0.7721
0.7791
0.7858
0.7923
0.7985
0.8045
0.8103
0.8159
0.8213
0.8264
0.8314
0.8362
0.8409
0.8453
0.8496
0.8538
0.8578
0.8617
0.8654
0.8690
0.8725
0.8759
0.8791
0.8822
0.8853
0.8882
0.8911
0.8938
0.8965
0.8990
0.9015
0.9039
0.9063
0.9085
0.9107
0.9129
0.9218
0.9375
0.9493
0.9584
0.9654
0.9709
0.9753
0.9789
0.9818
0.9842
0.9912
0.9966
0.9983
0.9990
0.9994
0.9996
0.9997
0.9997
0.9998
0.7587
0.7662
0.7735
0.7804
0.7871
0.7936
0.7998
0.8057
0.8115
0.8170
0.8223
0.8275
0.8324
0.8372
0.8418
0.8462
0.8505
0.8546
0.8586
0.8624
0.8661
0.8697
0.8732
0.8765
0.8797
0.8829
0.8859
0.8888
0.8916
0.8943
0.8970
0.8995
0.9020
0.9044
0.9067
0.9090
0.9112
0.9133
0.9253
0.9401
0.9513
0.9599
0.9666
0.9719
0.9761
0.9796
0.9824
0.9847
0.9929
0.9971
0.9985
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9998
0.7603
0.7677
0.7749
0.7818
0.7884
0.7948
0.8010
0.8089
0.8126
0.8181
0.8234
0.8285
0.8334
0.8381
0.8427
0.8471
0.8513
0.8554
0.8594
0.8632
0.8669
0.8704
0.8738
0.8772
0.8804
0.8835
0.8865
0.8894
0.8922
0.8949
0.8975
0.9000
0.9025
0.9049
0.9072
0.9094
0.9116
0.9137
0.9287
0.9426
0.9532
0.9614
0.9678
0.9728
0.9769
0.9802
0.9829
0.9851
0.9942
0.9975
0.9987
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.9998
(*): Pour les valeurs de λT comprises entre 10000 et 20000. (+): pour les valeurs supérieures à 20000.
Enseignant : A. Benbrik
16
Chapitre 6: Rayonnement
Application 6.1
Le filament de tungstène d’une lampe à incandescence émet un rayonnement dans le
visible et l’infrarouge. La lampe à halogène est une lampe à incandescence rempli de gaz
halogène afin de réduire l’évaporation du filament. Ce type de lampe opère à de grandes
températures à la différence des autre lampes à incandescence. Ainsi, pendant le fonctionnement
d’une lampe à halogène, le filament est porté à la température de 4000 K. Alors que les lampes
standard à incandescence leur température est de 2500 K. Les 2 lampes sont considérées comme
des corps noirs. Déterminer la fraction (en %) du rayonnement dans le visible de chacune des 2
lampes.
Solution :
Les longueurs d’ondes du rayonnement dans le visible sont : 0,4m≤ λ ≤ 0,76m.
Utilisons le tableau (6.1) pour obtenir les fonctions de rayonnement des 2 corps noirs.
 Lampe standard : λ1T = 0,4.2500 = 1000 μm.K → F0-λ1 = 0,0003

λ2T = 0,76.2500 = 1900 μm.K → F0-λ2 = 0,0521
Lampe à halogène : λ1T = 0,4.4000 = 1600 μm.K → F0-λ1 = 0,0197
λ2T = 0,76.4000 = 3040 μm.K → F0-λ2 = 0,2823
D’où on a :


Pour la lampe standard : F λ1→λ2 = F0-λ2 - F0-λ1 = 0,0521 - 0,0003 = 0,0518 ↣ 5,18%
Pour la lampe standard : F λ1→λ2 = F0-λ2 - F0-λ1 = 0,2823 - 0,0197 = 0,2626 ↣ 26,26%
La lampe standard émet 5% de son énergie dans le visible et le reste en infrarouge. Alors que la
lampe à halogène, émet 26% dans le visible. On déduit que la lampe standard est plus
économique, car elle converti mieux l’énergie électrique en lumière visible.
Enseignant : A. Benbrik
17
Chapitre 6: Rayonnement
6. Propriétés radiatives
Le transfert de chaleur par rayonnement est en premier lieu un phénomène lié à la nature
des surfaces de corps en interaction. Les corps qui ne transmette pas (ne laisse pas passer) le
rayonnement sont dits opaques (métaux, bois, …). Ceux qui laissent passer une partie d’un
rayonnement dont dits semi-transparents (verre, eau, …). Dans la première catégorie, le
rayonnement, parce qu’il ne traverse pas le corps, peut être réfléchi ou absorbé par la couche de
quelques microns au niveau de la surface de ce corps. Alors que pour la deuxième catégorie, le
rayonnement s’il est transmit (même en partie) à travers ce corps, il va interagir avec le matériau
qu’il traverse dans tout son volume. Il est aussi connu, que l’interaction du rayonnement
thermique avec ce type de matériaux dépend de la longueur d’onde. Pour le verre, par exemple,
le rayonnement visible passe, alors que l’infrarouge ne passe pas. Toutes ces considérations nous
conduisent à s’intéresser aux fractions de rayonnement transmise, absorbée ou réfléchi. C’est ce
qu’on appelle propriétés radiatives.
6.1 Emissivité
Nous avons défini, précédemment, le corps noir comme étant un corps idéal (meilleur
émetteur et meilleur absorbant). Cependant, il peut servir de référence à tous les corps réels dans
leur comparaison. La propriété radiative qui permet la comparaison d’un corps réel à un corps
noir s’appelle émissivité ou bien coefficient d’émissivité thermique.
L’émissivité est définie comme étant le rapport du rayonnement émis par une surface réelle au
rayonnement émis par une surface noire à la même température, notée par la lettre ε. Sa valeur
varie de 0 à 1. La valeur 1 est attribuée au corps noir. Aucune surface réelle ne se comporte
comme un corps noir et son coefficient est différent de 1. Certains corps, tels que les corps
couvert de suie de carbone, peuvent avoir des valeurs proches de 1.
Le coefficient d’émissivité thermique est fonction de la température de surface, la longueur
d’onde et la direction du rayonnement émis. Dans ces conditions, il est appelé coefficient
spectral et directionnel. Il est exprimé par la relation suivante :
 ,   , , , T  
L , e   , , , T 
Ln ,    , T 
(6.29)
On remarque que pour le facteur du dénominateur, qui est la luminance du corps noir, ça ne
dépend pas de la direction (corps noir émet de manière diffuse).
Le coefficient d’émissivité total directionnel est obtenu après intégration suivant toutes les
longueurs d’onde.
  , , T  
Le  , , T 
Ln  T 
(6.30)
Et le coefficient d’émissivité spectral hémisphérique s’écrit :
Enseignant : A. Benbrik
18
Chapitre 6: Rayonnement
  , T  
E   , T 
(6.31)
En ,    , T 
D’où, le coefficient d’émissivité total hémisphérique ou (simplement) l’émissivité moyenne est égal à :
 T  
E T 
En  T 

E T 
T
(6.32)
4
Après réarrangement de la relation (6.32), on obtient :
E T 
   T  T 4
W m 
(6.33)
2
La figure (6.16) montre la variation du coefficient d’émissivité pour les différents matériaux.
Plantes, eau
Matériaux de construction, peintures
Terre, roches
Verres
Céramiques
Métaux oxydés
Métaux non polis
Métaux polis
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
ε
Fig. 6.16 : Valeurs de l’émissivité pour quelques matériaux
L’émissivité est conjointement liée à l’état de surface. Les matériaux polis ont la valeur
minimale. Dans le design thermique des équipements on prend en considération cet aspect pour
augmenter ou diminuer la valeur du coefficient d’émissivité, afin de garder ou évacuer la
chaleur.
Le coefficient d’émissivité thermique varie en fonction de la température (fig. 6.17). Il est aussi,
connu que l’émissivité spectrale est fonction de la longueur d’onde. Elle varie de manière
signifiante et peut être une fonction complexe.
Enseignant : A. Benbrik
19
Chapitre 6: Rayonnement
Fig.6.17 : Variation de l’émissivité en fonction de la température

A partir des équations suivantes : E


E d  et     , T  
0
E   , T 
En ,    , T 
, on peut écrire la relation de
l’émissivité moyenne de l’expression (6.32) sous la forme suivante :

 (T ) 


(  , T ) En ,  (  , T ) d 
0
T
4
(6.34)
Pour réaliser l’intégration on doit connaitre la variation de l’émissivité spectrale en fonction de la
longueur d’onde à la température donnée. Ceci doit être fait à l’aide de méthodes numériques. Il
existe une autre méthode plus simple qui permet de le faire si on adopte la démarche suivante :
On divise le spectre des longueurs d’onde en un certains nombres de bandes (intervalles) discrets
de longueurs d’onde, en supposant que l’émissivité est constante dans chacune de ces bandes.
Ainsi, la fonction principale de l’émissivité spectrale devient une somme de fonctions par
bandes. La figure (6.18) illustre cette approximation.
Fig. 6.18 : Approximation de l’émissivité spectrale aux fonctions par bandes
Enseignant : A. Benbrik
20
Chapitre 6: Rayonnement
D’après l’exemple de cette figure cette approximation nous a permit d’obtenir 3 fonctions par
bande où l’émissivité est constante sur un intervalle de longueur d’onde.
 Bande 1 : ελ = ε1 pour 0 ≤ λ < λ1
 Bande 2 : ελ = ε2 pour λ1 ≤ λ < λ2
 Bande 3 : ελ = ε3 pour λ2 ≤ λ < ∞
Dans ces nouvelles conditions, l’expression (6.34) peut être écrite de la manière suivante :
2
1

2
1 En ,  (T ) d 
 (T ) 
0
T
4

E

n, 
(T ) d 
1
T
4
3

E
n, 
(T ) d 
2
T
4
(6.35)
On remarque que cette équation est identique à l’équation (6.27), la fonction de rayonnement du
corps noir F0-λT (λT). D’où on obtient :
 (T )  1 F 0   (T )   2 F 
1
1
 2  (T )  3 F  2   (T)
(6.36)
Pour simplifier les études sur le rayonnement thermique on utilise souvent les hypothèses
suivantes. On considère que la surface rayonne de manière diffuse pour le rendre indépendant de
la direction. On le considère aussi, que la surface est grise pour avoir des propriétés radiatives
indépendantes de la longueur d’onde. Le tableau 6.2 présente une récapitulation de ces
considérations.
Tableau 6.2 :
Type de surface
Propriétés radiatives : εθ, ελ
Réelle
Diffuse
Grise
Diffuse et grise
εθ ≠ constant
ελ ≠ constant
εθ = constant
ελ = constant
ε = εθ = ελ constant
6.2 Absorption, Réflexion et Transmission
Quand un rayonnement incident tombe sur une surface d’un corps constitué d’un
matériau semi-transparent, une portion de ce rayonnement peut être absorbée, une autre peut être
réfléchi et une dernière peut être transmise (fig. 6.19). La fraction de rayonnement absorbée est
caractérisée par le coefficient d’absorption, noté : α. La fraction de rayonnement réfléchi est
caractérisée par le coefficient de réflexion, noté : ρ. La fraction de rayonnement transmise est
caractérisée par le coefficient de transmission, noté : τ.
Enseignant : A. Benbrik
21
Chapitre 6: Rayonnement
Dans la réalité, comme il n’y a pas de corps parfaitement noir (a=1), il n’y a pas aussi de corps
parfaitement transparent (ρ=1) ou parfaitement miroir (τ=1).
Les valeurs de ces 3 coefficients varient de 0 à 1 : 0 < α, ρ, τ < 1.
Exemple :
La suie (noir de carbone :
α = 0,90 à 0,96
α = 0,95 à 0,98
La neige et la glace :
Les matériaux polis et vernis : ρ = 0,90 à 0,95
Fig. 6.19 : Propriétés radiative : absorption, réflexion et transmission
Ces coefficients sont obtenus à partir des relations suivantes.



Rayonnement absorbé
Rayonnement incident
Rayonnement réfléchi
Rayonnement incident
Rayonnement transmis
Rayonnement incident



G abs.
G
G ref .
G
G trans.
G
(6.37)
(6.38)
(6.39)
Le rayonnement incident étant égal à la somme des rayonnements absorbé, réfléchi et transmis.
D’où on a la relation suivante.
(6.40)
 1
Cette relation est très utilisée pour le calcul de l’une de ces propriétés radiatives, connaissant les
2 autres. Exemple, sachant que pour les corps opaques on a τ=0, d’où : α+ρ=1.
Les relations (6.37), (6.38) et (6.39) sont des propriétés totales hémisphériques. Car elles sont la
moyennées sur toutes les longueurs d’onde et toutes les directions de l’hémisphère. Mais en
réalité, comme le coefficient d’émissivité, les coefficients d’absorption, de réflexion et de
transmission peuvent être spectrales et directionnels.
Enseignant : A. Benbrik
22
Chapitre 6: Rayonnement
Etant donné que la réflexion est la plus considérée dans les études concernant le rayonnement de
surfaces, donnons quelques particularités du coefficient de réflexion. L’expression spectrale et
directionnelle de ce coefficient est :
 (  ) 
G  , ref (  )
G  ( )
(6.41)
Et

  ( )G ( ) d 



0
(6.42)

 G ( )d 

0
A la différence des coefficients d’absorption et de transmission, le coefficient de réflexion est de
nature bidimensionnel. Ainsi, il est fonction des angles du rayon incident et de réflexion. Sur la
figure (6.20), on a montré les différents cas possible ; la réflexion réelle ou irrégulière (fig.
6.20a), la réflexion diffuse (fig. 6.20b) et la réflexion spéculaire (fig. 6.20c) qui correspond au
cas du miroir.
Fig. 6.20 : Différents cas de réflexion de surface
Effet de serre
Dans le domaine de l’agriculture, on utilise de plus en plus les serres (fig. 6.21) pour
produire des légumes et fruits hors saison. Ces produits nécessitant une quantité de chaleur qui
n’est pas disponible naturellement en hiver, on les couvre avec du plastique transparent (au début
c’était du verre). Ce matériau est transparent aux rayons du soleil, mais pas aux rayons
infrarouges émis par le sol. Le tableau suivant explique en détail ce phénomène pour le cas du
verre.
Tableau 6.3 :
Type de rayon
Bande spectrale
Absorptivité Réflectivité Transmitivité
Rayons visibles émis par le 0,3 ≤ λ ≤ 2,5μm
α=0
ρ=0,05
τ=0,95
soleil
Rayons infrarouges émis par
α=0,65
ρ=0,3
τ=0,05
λ > 2,5μm
le sol et les plantes
Enseignant : A. Benbrik
23
Chapitre 6: Rayonnement
Ce tableau nous explique qu’un rayon thermique de courte longueur d’onde (tel que celui
provenant du soleil, λ ≤ 2,5μm) est transmis, presque totalement (τ=0,95), à travers les carreaux
de verre utilisés dans la pratique dont l’épaisseur varie, généralement, de 2.5 à 6 mm. Alors que
les rayonnements infrarouges engendré à partir de l’énergie accumulée dans le sol et les plantes
de la serre, qui son émis en direction du verre, sont absorbés à 65%, réfléchis à 30% et la
transmission est négligeable (τ=0,05). Car ces rayonnement ont de grandes longueurs d’onde
(λ>2,5μm).
Fig. 6.21 : Serre utilisée dans l’agriculture
Avec le développement de la science, l’homme a compris que ce phénomène naturel est l’œuvre
de ALLAH dans sa création de l’univers. En couvrant la terre d’une atmosphère constituée de
différents gaz, de vapeur d’eau et de minuscules particules, ALLAH a donné la vie à toutes les
espèces vivantes (y compris l’être humain). L’enveloppe de l’atmosphère permet le passage des
rayons entrant du soleil, mais retient les rayons infrarouges émis par la terre. Ainsi, ce
phénomène d’emprisonnement du rayonnement engendre le maintien de la température sur la
terre dans l’intervalle des valeurs permettant une vie continue. Car sans l’atmosphère, la
température sur la terre, à longueur d’année, est de -18°C. On en devine qu’à cette température,
il n’y aurait aucune vie sur la terre.
6.3 Loi de Kirchhoff
Considérons une grande enceinte isotherme à la température T (fig. 6.22). D’après
l’approximation faite concernant le corps noir, cette enceinte ressemble à un corps noir.
T
E
G
T, ε, α, S
Fig. 6.22 : Un petit corps dans une enceinte noire
En équilibre thermique
Enseignant : A. Benbrik
24
Chapitre 6: Rayonnement
A l’intérieur de cette enceinte, se trouve un petit corps de surface S, de coefficient d’émissivité ε
et d’absorption . En régime stationnaire, il existe un équilibre thermique entre les 2 corps et
leur température sont égales. Le rayonnement absorbé par le petit corps provenant de la surface
de l’enceinte (corps noir) est égal à :
Gabs  G  T
4
(6.43)
Et la le rayonnement émis par le petit corps est égal à :
E   T
4
(6.44)
A l’état d’équilibre thermique, l’énergie absorbée par le petit corps est égale à celle émise.
S  (T ) T
4
 S (T ) T 4
(6.45)
4
En divisant l’expression (6.45) par S T , on obtient la relation suivante :
 (T )   (T )
(6.46)
Cette expression représente la loi de Kirchhoff. Elle stipule que l’émissivité totale hémisphérique
d’une surface à la température T est égale au coefficient d’absorption total hémisphérique d’un
rayonnement provenant d’une surface à la même température. Cette loi n’est valable que pour la
situation où les températures du corps et celle de la source du rayonnement incident sont égales.
La loi de Kirchhoff peut être étendue à l’égalité des propriétés radiatives spectrales de la formule
(6.46).
  (T )    (T )
(6.47)
7. Facteur de forme
Le rayonnement entre surfaces ne dépend pas seulement des propriétés radiatives des
surfaces et leur température, mais aussi de leur orientation l’une par rapport à l’autre. Cette
notion d’orientation de surface, on la retrouve, par exemple, dans l’installation de panneaux
solaires photovoltaïques par rapport à la direction du rayonnement solaire. On cherche toujours à
donner à ce dernier une orientation variable avec le déplacement de la terre par rapport au soleil,
afin d’obtenir un meilleur rendement de production d’électricité.
Dans le cadre de cette étude, on s’intéresse au calcul du rayonnement entre surfaces disposées
dans l’espace de manière arbitraire. Le paramètre qui représente l’orientation relative entre 2
surfaces s’appelle facteur de forme. Il est noté par : F12. Il représente la fraction du
rayonnement issu de la surface 1 et intercepté par la surface 2 directement. Le mot directement a
été intentionnellement utilisé pour ne pas prendre en considération les rayonnements réfléchis
par d’autres surfaces et interceptés par la surface 2. Le facteur de forme est un nombre
adimensionnel variant entre 0 et 1.
Nous considérons la géométrie de la figure (6.23) pour déterminer le facteur de forme entre 2
surfaces S1 et S2 disposées arbitrairement dans l’espace.
Enseignant : A. Benbrik
25
Chapitre 6: Rayonnement
Fig.6.23 : Géométrie de détermination du facteur de forme
Entre 2 surfaces disposées arbitrairement.
Considérons 2 surfaces différentielles ds1, ds2 dans S1 et S2. La distance entre elles est égale à r.
les angles de déviation entre la ligne qui relie ces surfaces et leur normale sont θ1 et θ2. La
surface ds1 émet et reflète le rayonnement de manière diffuse dans toutes les directions avec une
luminance constante. L’angle solide issu de ds1 et interceptant ds2 est désigné par dω21.
D’après la définition du facteur de forme, celui-ci est égale à :
F12 
flux intercepté par ds 2 venant de ds1
flux total quittant ds1
(6.48)
Le flux interceptée par ds2 venant de ds1 est égale à :
d 12

L1
cos 1 cos  2
r
2
ds1 ds2
(6.49)
Le flux d’énergie rayonné par ds1 dans la direction de θ1 est : L1cosθ1ds1, et dω21=ds2cosθ2/r2.
De la condition que la surface ds1 émet et reflète de manière diffuse, on a la radiosité égale à:
J L
(6.50)
D’où l’équation (6.49) devient:
d 12
 J1
cos 1 cos  2
r
2
ds1 ds2
(6.51)
En Intégrant cette relation sur toutes les surfaces S1 et S2, nous obtenons le flux totale quittant la
surface S1 et intercepté par la surface S2.
12  J1

S1 S 2
Enseignant : A. Benbrik
cos 1 cos  2
r
2
ds1 ds2
(6.52)
26
Chapitre 6: Rayonnement
En considérant que la radiosité J1 est uniforme sur toute la surface S1, de la définition du facteur
de forme (équation (6.48)), nous avons :

(6.53)
F12  12
J1 S1
F12  1
S1

S S
1 2
cos 1 cos  2
 r2
ds1 ds2
(6.54)
Le facteur de forme F21 est obtenons, en procédant de la même manière. Ainsi, on a :
F21  1
S2

S S
1 2
cos 1 cos  2
 r2
ds1 ds2
(6.55)
D’après les formules (6.54) et (6.55), nous pouvons écrire la relation suivante :
F12 S1  F21 S2
(6.56)
Cette relation porte le nom de relation de réciprocité. Elle permet de déterminer l’un des 2 facteurs de
forme connaissant l’autre. Elle est seulement valable quand les surfaces en vis-à-vis sont égales.
La figure 6.24, présente un cas particulier de disposition ses surfaces S1 et S2. On l’appelle sphères
concentriques. Dans ce cas, tout le rayonnement émis par la sphère 1 est intercepté par la sphère
2. Le facteur de forme est égale à : F12 = 1.
Fig. 6.24 : Facteur de forme de 2 sphères concentriques
Aussi pour les cas suivants le facteur de forme est égal à 1 :
 Petit corps de surface S1 se trouvant à l’intérieur d’un grand corps de surface S2 :
S1
0
S2

 F12  1
Cylindres infiniment long concentriques : un premier cylindre de surface latéral S1 se trouve à
l’intérieur d’un autre cylindre de surface S2.
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27
Chapitre 6: Rayonnement
S1 r1
=
S 2 r2

Plans parallèles infiniment long :
S1  S 2  S

 F12  1

F12  1
Petit corps de forme quelconque se trouvant à l’intérieur d’un autre grand corps (enceinte) :
S1
0
S2
 F12  1
Jusqu’à présent, nous avons utilisé la notion de facteur de forme pour 2 surfaces. Il existe des cas
particuliers où on utilise aussi cette notion pour une même surface. Exemple : une surface concave
(fig.6.25).
Fig. 6.25 : Surface concave, rayonnante sur elle-même.
Pour ce cas le facteur de forme est différent de zéro, car dans le cas de surface plan et convexe, il
est égal à zéro (fig. 6.26).
Fig. 6.26 : Cas de facteur de forme égal à zéro.
Sur le tableau 6.4, nous avons présenté les formules analytiques de détermination du facteur de
forme de certaines dispositions de surface en 3D, de dimensions finies.
 Rectangles parallèles alignés
 Disques coaxiaux parallèles
 Plan perpendiculaires avec arrêt commune.
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28
Chapitre 6: Rayonnement
Tableau 6.4 :
Sur le tableau 6.5, nous avons présenté les formules analytiques de détermination du facteur de
forme de certaines dispositions de surface (2D) de dimension infinie suivant le plan
perpendiculaire au schéma (l’axe Z).
 Plans parallèles connectés en leur milieu par une ligne perpendiculaire ;
 Surfaces planes inclinées ayant une arrête commune ;
 Surfaces planes perpendiculaires avec arrêt commune ;
 Cavités à 3 côtés ;
 Plan infini et une rangée de cylindre.
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29
Chapitre 6: Rayonnement
Tableau 6.5 :
8. Rayonnement entre surfaces
Maintenant que nous connaissons les lois de rayonnement, les propriétés radiatives des
surfaces, nous pouvons calculer les flux de chaleur rayonnés entre différentes surfaces. Pour ces
calculs, il existe 2 approches principales en dépendance du milieu qui sépare les surfaces
rayonnantes.
 Milieu absorbant et émettant le rayonnement : de tels milieux peuvent être constitués de
vapeur d’eau, des gaz de combustion contenant du CO2, de poussière, de suie et d’autres
particules.
 Milieu non absorbant du rayonnement (dit transparent) : tels que les gaz biatomiques.
Dans notre étude nous considérons ce deuxième cas.
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30
Chapitre 6: Rayonnement
8.1 Surfaces noires
Dans un premier temps, nous considérons le rayonnement entre 2 surfaces noires qui est
plus simple à cause de l’absence de la réflexion. Car l’une des caractéristiques du corps noir est
qu’il absorbe tout le rayonnement qu’il reçoit.
Ainsi, on considère 2 corps noirs de surfaces S1, S2 de forme arbitraire, dont les températures
sont uniformes et égales à T1, T2 respectivement (fig. 6.26). Les 2 corps, étant à des températures
différentes de 0 K, rayonne l’un vers l’autre. En considérant que T1>T2, calculons le flux net
résultant de cette échange de chaleur par rayonnement entre les 2 corps.
S2, T2
En2
net
En1
S1, T1
Fig. 6.26 : Rayonnement entre 2 surfaces noires
Le flux de chaleur net rayonné du corps 1 vers le corps 2 est exprimé à l’aide de la formule
suivante :
 net 
S1 En1 F12

S 2 En 2 F21
(6.57)






rayonnement partant de S1
capté par S2
rayonnement partant de S2
capté par S1
où, En1 : la puissance d’énergie quittant la surface 1. D’après la loi de Stefan-Boltzmann, il est
égale à : En1   T14 . Et En 2   T24 .
F12 : le facteur de forme qui représente la fraction de rayonnement émis par S1 et intercepté
par S2.
F21 : le facteur de forme qui représente la fraction de rayonnement émis par S2 et intercepté
par S1.
L’expression (6.57) devient :
 net  S1 T14 F12  S 2 T24 F21
(6.58)
En appliquant la relation de réciprocité (6.56) on a: S1 F12  S 2 F21 . L’équation (6.58) s’écrit sous la
forme suivante :
 net  S1 F12 T14  T24 
(6.59)
Si après résolution d’un problème de ce type, on obtient un flux négatif, cela veut dire que le flux
résultant est de sens contraire, venant de S2 vers S1.
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31
Chapitre 6: Rayonnement
8.2 Rayonnement entre surfaces réelles
A la différence d’un corps noir, le corps réel réfléchi le rayonnement auquel il est exposé.
Ainsi, dans cette étude nous allons calculer le flux net résultant du rayonnement entre 2 corps
réels, c'est-à-dire des corps qui émettent leur propre rayonnement et réfléchissent le rayonnement
venant de l’extérieur.
Pour simplifier cette étude nous considérons que les surfaces des 2 corps sont d’abord opaques
(τ=0) et puis diffuses (émettent et réfléchissent le rayonnement de manière uniforme dans toutes
les directions). On considère aussi que leurs propriétés radiatives ne dépendent pas de la
longueur d’onde. Cette dernière caractéristique est désignée par l’appellation de corps gris .
Nous avons déjà, précédemment, défini par l’expression de radiosité la somme du rayonnement
émis et réfléchi par une surface (fig.6.27).
Rayon
Incident : G
Radiosité
Rayon
Réfléchi : ρG
Rayonnement
émis par la surface
E=εσT4
Fig. 6.27 : Rayonnement de radiosité
Calculons l’expression de la radiosité d’une certaine surface.
J   T 4   G
Etant donné que le corps est opaque (non transparent : τ=0), on : α + ρ = 1 ⟺ ρ = 1 – α.
 J   T 4  1    G
En appliquant la loi de Kirchhoff : ε = α, nous obtenons l’expression suivante :
J   T 4  1    G
(6.60)
(6.61)
(6.62)
Remarque :
Pour un corps noir (ε = 1) cette expression se réduit à : J   T 4 , ce qui est totalement vrai.
A partir des définitions de l’éclairement G et la radiosité J, déterminons le flux radiatif net à la
surface d’un corps i. Ce flux net doit être égal à la différence de J et G.
 net  Si  J i  Gi 
(6.63)
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32
Chapitre 6: Rayonnement
Si Φnet > 0 (Ji > Gi) ceci implique que le transfert de chaleur se fait du corps vers l’extérieur. Si
à l’inverse Φnet < 0 (Ji < Gi) ceci implique que le transfert de chaleur se fait de l’extérieur vers le
corps.
En calculant G à partir de l’équation (6.62), on :
4
J   En J i   i Eni
G  J   T 

1   
1   
1   i 
(6.64)
Introduisons cette valeur dans (6.63).

J   i Eni
 net  Si  J i  Gi   Si  J i  i
1   i 

 Si  i
 Eni  J i 
 
 1  i
(6.65)
Utilisons l’analogie électrique en introduisant la notion de résistance électrique (fig. 6.28).
 net 
où Ri 
Si  i
E  Ji
Eni  J i   ni

1  i
Ri
(6.66)
1  i
: résistance appelé résistance au rayonnement de surface qui est fonction
Si  i
seulement de la surface Si et l’émissivité i. Cette résistance diminue avec l’augmentation de
l’émissivité. Car pour une valeur de i = 1 (corps noir), la résistance est égale à zéro. Par
conséquent, on a : Eni = Ji .
net
Surface i
Eni
Ri
Ji
Fig. 6.28 : Résistance de surface au rayonnement
Utilisons cette analogie électrique à 2 surfaces qui échangent de la chaleur par rayonnement.
Pour cela, nous considérons 2 corps opaques de surfaces S1, S2, de températures T1, T2, diffuses et
grises (rayonnement ne dépendant pas de la longueur d’onde). Chacune rayonne vers l’autre
surface. Calculons le flux radiatif net de la surface S1 vers S2 qui est égal au rayonnement émis
par S1 intercepté par S2 moins le rayonnement émis par S2 intercepté par S1.
 net  S1 J1 F12  S 2 J 2 F21
(6.67)
En introduisant la relation de réciprocité et la notion de résistance au rayonnement, on obtient :
Enseignant : A. Benbrik
33
Chapitre 6: Rayonnement
 net  S1 F12  J1  J 2  
J1  J 2
R12
où R12 
1
S1 F12
(6.68)
L’équation (6.68) est analogue à la loi d’Ohm. Cette analogie est perceptible par la
correspondance des paramètres. net correspond au courant I, la différence (J1-J2) correspond à la
différence de potentiel U et la résistance R12 correspond à la résistance électrique.
Dans cette dernière formule la résistance R12 est appelée : résistance au rayonnement spatiale, à
la différence de la résistance de surface R1 de la formule (6.66).
Cette résistance spatiale est fonction seulement de la surface S1 et le facteur de forme F12. Elle
décroit avec l’augmentation du facteur de forme et atteint un minimum pour F12 = 1.
Le transfert de chaleur par rayonnement entre 2 surfaces peut être résolu par la méthode
d’analogie électrique de la manière suivante :
A partir des notions de résistance au rayonnement de surface et spatiale, on installe le schéma
composé de ses résistances entre les 2 surfaces échangeant la chaleur par rayonnement entre elles
(fig. 6.29). Puis on applique la méthode du flux total entre les 2 surfaces comme pour les
problèmes de conduction.
net
Surface 2
Surface 1
En1 R1
J1
R12
J2
R2
En2
Fig. 6.29 : Schéma de résistances de surface et spatiale
entre 2 surfaces rayonnantes
Ainsi, on obtient l’expression suivante :
 net 
où, R1 
R12 
R2 
En1  En 2
R1  R12  R2
(6.69)
1  1
: résistance au rayonnement de surface 1.
S11
1 : résistance au rayonnement spatiale
S1 F12
1 2
: résistance au rayonnement de surface 2
S2  2
Enseignant : A. Benbrik
34
Chapitre 6: Rayonnement
En remplaçant dans l’équation (6.69) chaque paramètre par sa formule, on obtient :
 net
  T14  T24 

1  1
1  2
 1 
S11 S1 F12 S 2  2
(6.70)
Cette équation permet de déterminer le flux radiatif entre les surfaces S1, S2 qui sont aux
températures T1, T2 et dont leur coefficient d’émissivité thermique sont respectivement 1, 2.
Les 2 surfaces sont diffuses et grises.
Le tableau (6.6) présente des cas de figures de géométries les plus rencontrées dans la pratiques
pour lesquelles le facteur de forme est égale à 1.
Tableau 6.6 :
Enseignant : A. Benbrik
35
Chapitre 6: Rayonnement
9. Ecran de rayonnement
Dans certaines situations de transfert de chaleur par rayonnement, il est très désirable
d’atténuer l’effet du rayonnement entre 2 surfaces. A cet effet, la technique d’installation, entre
les 2 surfaces, d’un écran mince, d’un matériau ayant une grande capacité de réflexion (surfaces
polies) et faible coefficient d’émissivité, est souvent utilisée. Cette technique réduit le transfert
de chaleur par rayonnement en introduisant d’autres résistances au rayonnement entre les 2
surfaces. Les écrans de rayonnement sont généralement utilisés dans le domaine de l’aviation et
le cryogénique (la branche de transfert de chaleur liée aux basses températures (inférieur à
100K).
Dans le tableau (6.6), nous avons vu le cas de rayonnement entre 2 plans parallèles infiniment
long, dont la formule de calcul du flux net est :
 net 
S T14  T24 
1  1 1
1  2
(6.71)
L’installation d’un écran entre ces 2 surfaces (fig.6.30), fait augmenter le nombre de résistances
avec 2 de surface et 1 spatiale.
Fig. 6.30 : Circuit de résistances de la présence d’un écran
Si on note par 3 le coefficient d’émissivité thermique de l’écran, le flux radiatif net échangé
entre les surfaces S1 et S2 en présence de l’écran est exprimé par la formules suivante :
 net 
En1  En 2
1  1
1  3 1  3
1  2
 1 

 1 
S11 S1 F13 S3 3
S3 3 S 2 F23 S 2  2
(6.72)
Etant donné que dans notre cas nous avons : S1 = S2 = S3 = S et F13 = F23, la formule (6.72)
devient :
Enseignant : A. Benbrik
36
Chapitre 6: Rayonnement
 net 
S T14  T24 
(6.73)

1 1
 2
     1     1
2
 1
  3



On constate que cette formule diffère de celle en absence d’écran par le facteur  2  1 au
 3

dénominateur.
Dans d’autres situations de rayonnement entre surfaces, on augmente le nombre d’écran afin de
réduire considérablement le flux radiatif entre les surfaces. Ceci revient à ajouter l’expression
 2

   1 autant de fois que le nombre des écrans installés. Ainsi, le flux radiatif transmis entre 2 surfaces
 3

séparées par N écrans est donné par l’expression suivante :
 net 
Enseignant : A. Benbrik
S T14  T24 
 2

1 1

     1  N    1
2
 1

 3

(6.74)
37
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