الامتحان-الوطني-الموحد-للبكالوريا-مادة-الرياضيات-الدورة-العادية-2014-شعبة-العلوم-الرياضية-أ-و-ب

‫االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫الدورة العادية ‪4102‬‬
‫المركز الوطني للتقويم واالمتحانات والتوجيه‬
‫‪www.9alami.com‬‬
‫الصفحة‬
‫الموضوع‬
‫‪NS 24‬‬
‫‪Page‬‬
‫المادة‬
‫الرياضيات‬
‫مدة اإلنجاز‬
‫الشعبة‬
‫أو المسلك‬
‫شعبة العلوم الرياضية (أ) و(ب)‬
‫المعامل‬
‫‪www.9alami.com‬‬
‫‪ ‬مدة إنجاز الموضوع هي أ ربع ساعات‪.‬‬
‫‪ ‬يتكون الموضوع من خمسة تمارين مستقلة فيما بينها ‪.‬‬
‫‪ ‬يمكن إنجاز التمارين حسب الترتيب الذي يرغب فيه المترشح‪.‬‬
‫ التمرين األول يتعلق بالحسابيات‪3(............................‬ن)‬‫ التمرين الثاني يتعلق بالبنيات الجبرية‪3.3(......................‬ن)‬‫ التمرين الثالث يتعلق باألعداد العقدية‪3.3(......................‬ن)‬‫ التمرين الرابع يتعلق بالتحليل‪8(..............................‬ن)‬‫‪ -‬التمرين الخامس يتعلق بالتحليل ‪2(...........................‬ن)‬
‫ال يسمح باستعمال اآللة الحاسبة كيفما كان نوعها‬
‫ال يسمح باستعمال اللون األحمر بورقة التحرير‬
‫‪4‬‬
‫‪59‬‬
‫االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا ‪ -‬الدورة العادية ‪ - 2014‬الموضوع‬
‫‪ -‬مادة ‪ :‬الرياضيات – شعبة العلوم الرياضية (أ) و(ب)‬
‫لكل ‪ n‬من‬
‫‪5.3‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪an  333.......31‬‬
‫‪ ¥‬نضع ‪:‬‬
‫م رة‬
‫) ‪ n‬مرة الرقم ‪(3‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ -1‬تحقق أن العددين ‪ a1‬و ‪ a2‬أوليان‪.‬‬
‫‪ -2‬بين أن لكل ‪ n‬من‬
‫*‬
‫‪3an  7  10n1‬‬
‫‪: ¥‬‬
‫‪5..3‬‬
‫‪ -3‬بين أن لكل ‪ k‬من ‪: ¥‬‬
‫‪1030k2  7 31‬‬
‫‪5..3‬‬
‫‪ -4‬بين أن لكل ‪ k‬من ‪: ¥‬‬
‫]‪ 0 [31‬؛ ‪3a30k + 1‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪ -3‬بين أنه لكل ‪ n‬من * ‪، ¥‬إذا كان ]‪ 1 [30‬؛ ‪n‬‬
‫‪ ،‬ثم استنتج أن ‪ 31‬يقسم ‪a30k + 1‬‬
‫فإن المعادلة ‪an x + 31y = 1‬‬
‫ال تقبل حلوال في ‪¢ 2‬‬
‫التمرين الثاني‪ 3.5(:‬نقطة)‬
‫نذكر أن ‪, ,‬‬
‫‪ ‬جسم تبادلي و أن ‪ , ,‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪O‬‬
‫‪  M 2 ‬حلقة واحدية صفرها ‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪I ‬‬
‫و وحدتها ‪‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪a a b‬‬
‫‪M  a, b   ‬‬
‫لكل ‪ a‬و ‪ b‬من ‪ ،‬نضع‪ :‬‬
‫‪b a  b‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪ -1‬بين أن ‪E‬‬
‫زمرة جزئية للزمرة ‪ ,  ‬‬
‫ونعتبر المجموعة ‪ :‬‬
‫‪2‬‬
‫ونعتبر التطبيق ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. M2 ‬‬
‫‪M2 ‬‬
‫‪ 1 1‬‬
‫‪N ‬‬
‫‪ M 2 ‬قانون التركيب الداخلي ‪ ‬بما يلي ‪ A  B  A  N  B :‬حيث ‪ :‬‬
‫‪0 1 ‬‬
‫من‬
‫نحو ‪‬‬
‫*‬
‫بالمصفوفة ‪. M  a, b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ M 2 ‬الذي يربط كل عدد عقدي غير منعدم ‪ a ( a  ib‬و ‪ b‬عددان حقيقيان )‬
‫‪ ‬نحو ‪ M 2   , ‬‬
‫‪5.3‬‬
‫أ) بين أن ‪ ‬تشاكل من ‪,‬‬
‫‪5.23‬‬
‫ب) نضع‪ . E  E  O :‬بين أن‪:‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪‬‬
‫*‬
‫*‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪E  M  a, b  /  a , b  ‬‬
‫‪ 2‬و ÷‪ِ 1 1‬‬
‫‪ç‬‬
‫من‬
‫مستقر‬
‫غير‬
‫جزء‬
‫أن‬
‫استنتج‬
‫ثم‬
‫‪J‬‬
‫=‬
‫‪E‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫÷‬
‫‪ ‬‬
‫‪çç‬‬
‫‪ -2 5..3‬احسب ‪ J = J ´ J‬حيث‪÷ :‬‬
‫÷ّ‪è0 1‬‬
‫‪ -3‬نعرف على ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪www.9alami.com‬‬
‫التمرين األول‪ 3(:‬نقط)‬
‫*‬
‫‪NS 42‬‬
‫الصفحة‬
‫*‬
‫‪E‬‬
‫‪‬‬
‫*‬
‫ج) بين أن ‪ E , ‬زمرة تبادلية‪.‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪ -4‬بين أن‪A  ( B  C )  A  B  A  C :‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪ -3‬استنتج مما سبق أن ‪  E , , ‬جسم تبادلي‪.‬‬
‫‪ A, B, C   E ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪www.9alami.com‬‬
‫االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا ‪ -‬الدورة العادية ‪ - 2014‬الموضوع‬
‫ مادة ‪ :‬الرياضيات – شعبة العلوم الرياضية (أ) و(ب)‬‫التمرين الثالث‪ 3.3(:‬نقط)‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم و مباشر ‪. O, u , v‬‬
‫‪NS 42‬‬
‫الصفحة‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪www.9alami.com‬‬
‫‪p ïü‬ى‪é p ù ï‬‬
‫بحيث‪ :‬خ ‪q - ê0, ْ ‎‬‬
‫ليكن ‪ ‬عددا حقيقيا ي‬
‫‪êë 2 ْû ïïî 4 ïï‎‬‬
‫‪ -1‬نعتبر في المجموعة‬
‫المعادلة التالية‪z 2  2ei z  e2i  0 :‬‬
‫‪2‬‬
‫)‬
‫‪2ieiq‬‬
‫(‬
‫‪5.23‬‬
‫أ)تحقق أن مميز المعادلة ) ‪ (E‬هو‪:‬‬
‫‪5..3‬‬
‫ب) اكتب على الشكل المثلثي ‪ z1‬و ‪ z2‬حلي المعادلة ) ‪ (E‬في المجموعة‬
‫‪E‬‬
‫=‪D‬‬
‫و‬
‫‪ -2‬نعتبر النقط ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ T1‬و ‪ T2‬و ‪ A‬التي ألحاقها على التوالي ‪ 1‬و ‪ - 1‬و‬
‫‪.‬‬
‫‪p‬‬
‫÷ ‪iççِ q+‬‬
‫÷‬
‫÷ّ ‪çè 4‬‬
‫‪5.3‬‬
‫أ) بين أن المستقيمين ‪  OA‬و ‪ T1T2 ‬متعامدان ‪.‬‬
‫‪5.23‬‬
‫‪ . [TT‬بين أن النقط ‪ O‬و ‪ K‬و ‪ A‬مستقيمية‪.‬‬
‫ب)ليكن ‪ K‬منتصف القطعة ] ‪1 2‬‬
‫‪5.23‬‬
‫‪. [TT‬‬
‫ج)استنتج أن المستقيم ‪  OA ‬هو واسط القطعة ] ‪1 2‬‬
‫و‬
‫‪ e‬و‬
‫‪p‬‬
‫÷ ‪iççِ q-‬‬
‫÷‬
‫‪çè‬‬
‫÷ّ ‪4‬‬
‫‪iq‬‬
‫‪ e‬و ‪2e‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ -3‬ليكن ‪ r‬الدوران الذي مركزه ‪ T1‬و قياس زاويته‬
‫‪2‬‬
‫أ)اعط الصيغة العقدية للدوران ‪. r‬‬
‫‪5.23‬‬
‫‪5.3‬‬
‫ب)تحقق أن لحق النقطة ‪ B‬صورة النقطة ‪ I‬بالدوران ‪ r‬هو‪2eiq + i :‬‬
‫‪5.23‬‬
‫ج)بين أن المستقيمين ‪  IJ ‬و ‪  AB ‬متعامدان ‪.‬‬
‫=‪b‬‬
‫‪r‬‬
‫‪ -4 5.23‬حدد لحق النقطة ‪ C‬صورة النقطة ‪ A‬باإلزاحة التي متجهتها ‪- v‬‬
‫) (‬
‫‪ -3 5.23‬بين أن النقطة ‪ A‬هي منتصف القطعة] ‪. [BC‬‬
‫التمرين الرابع‪ 8( :‬نقط)‬
‫‪ - I‬نعتبر الدالة‬
‫‪5.3‬‬
‫‪5.23‬‬
‫‪ f‬المعرفة على [‬
‫‪ -1‬أ)بين أن الدالة‬
‫‪ f‬متصلة على المجال[ ‪[0,+ ¥‬‬
‫ب)أدرس إشارة )‪ f (x‬على المجال [ ‪[0,+ ¥‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ -2 5.23‬أ)بين أن‪f     f  x  :‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪5.23‬‬
‫‪ [0,+ ¥‬بما يلي‪:‬‬
‫‪- x ln x‬‬
‫ى‪ï‬‬
‫=)‪ïï f (x‬‬
‫‪; x> 0‬‬
‫‪1 + x2‬‬
‫ي‬
‫‪ïï‬‬
‫‪ïî f (0)= 0‬‬
‫ب) بين أن الدالة‬
‫‪x  ‬‬
‫*‬
‫‪‬‬
‫‪ f‬قابلة لالشتقاق على المجال [ ‪]0,+ ¥‬‬
‫‪www.9alami.com‬‬
‫االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا ‪ -‬الدورة العادية ‪ - 2014‬الموضوع‬
‫ مادة ‪ :‬الرياضيات – شعبة العلوم الرياضية (أ) و(ب)‬‫‪5.3‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪   0,1 ‬‬
‫ج) بين أن‪f '    0 :‬‬
‫‪NS 42‬‬
‫الصفحة‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪www.9alami.com‬‬
‫‪1‬‬
‫د)استنتج أن‪f '    0 :‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x‬‬
‫ٍ‪f (t‬‬
‫‪ - II‬نعتبر الدالة ‪ F‬المعرفة على المجال [ ‪ [0,+ ¥‬بما يلي‪)dt :‬‬
‫=)‪F (x‬‬
‫‪0‬‬
‫ليكن ) ‪ (C‬المنحنى الممثل للدالة ‪ F‬في معلم متعامد ممنظم‪.‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ -1‬أ)تحقق أن‪ 1 :‬‬
‫‪2 1 t2‬‬
‫‪ t 1,  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫ب)بين أن‪ ln x 2  F  x   F 1   ln x 2 :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪F 1 ‬‬
‫‪x 1,  ‬‬
‫‪t 2 ln t‬‬
‫‪) F  x    f  t  dt  ‬‬
‫‪‬‬
‫(الحظ أن‪dt :‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 1 t2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪5.23‬‬
‫‪1‬‬
‫‪F  x‬‬
‫ج) أحسب ‪ lim F  x ‬و‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ lim‬ثم اعط تأويال هندسيا للنتيجة المحصل عليها‪.‬‬
‫‪ -2‬أ)بين أن الدالة ‪ F‬قابلة لالشتقاق على المجال [ ‪ [0,+ ¥‬ثم أحسب ‪F'  x ‬‬
‫‪ F‬على المجال [ ‪[0,+ ¥‬‬
‫ب)أدرس تغيرات الدالة‬
‫‪1‬‬
‫‪e‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪ -1- III‬أ) بين أن ‪:‬‬
‫‪0.25‬‬
‫‪1‬‬
‫ب)بين أن ‪:‬‬
‫‪e‬‬
‫‪0.25‬‬
‫ج)استنتج أن‪F (x)< x :‬‬
‫‪ t ln t ‬‬
‫‪f t  ‬‬
‫‪ -2‬نعتبر المتتالية العددية‬
‫‪5.3‬‬
‫أ) بين أن‪:‬‬
‫‪5.3‬‬
‫ب) بين أن المتتالية‬
‫‪5.3‬‬
‫ج) حدد ‪lim un‬‬
‫‪ t  0,  ‬‬
‫‪t 0,  ‬‬
‫)[ ‪ ]0, + ¥‬خ ‪(" x‬‬
‫‪ (un )n³ 0‬المعرفة بما يلي‪ ]0,1[:‬خ ‪ u0‬و ) ‪ ¥ ) un+ 1 = F (un‬خ ‪(" n‬‬
‫[‪ ]0,1‬خ ‪ ¥ ) un‬خ ‪(" n‬‬
‫‪n® + ¥‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ (un )n³‬تناقصية قطعا ثم استنتج أنها متقاربة ‪.‬‬
‫‪www.9alami.com‬‬
‫االمتحان الوطني الموحد للبكالوريا ‪ -‬الدورة العادية ‪ - 2014‬الموضوع‬
‫‪ -‬مادة ‪ :‬الرياضيات – شعبة العلوم الرياضية (أ) و(ب)‬
‫نعتبر الدالة العددية ‪ g‬المعرفة على‬
‫‪5.3‬‬
‫[‬
‫‪; x> 0‬‬
‫‪ [0,+ ¥‬بما يلي‪:‬‬
‫‪5‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫ى‬
‫‪ïï‬‬
‫ ‪1‬‬‫‪ï g (x)= 2 e‬‬
‫‪x‬‬
‫ي‬
‫‪ïï‬‬
‫‪ïïî g (0)= 0‬‬
‫‪ g‬متصلة على المجال [ ‪[0,+ ¥‬‬
‫ٍ( ‪g‬‬
‫‪ -2‬لكل عدد حقيقي ‪ x‬من المجال[ ‪ ، [0,+ ¥‬نضع ‪t )dt‬‬
‫‪5.23‬‬
‫أ)بين أن الدالة ‪ L‬متصلة على المجال [ ‪[0,+ ¥‬‬
‫‪5.23‬‬
‫ب)أحسب )‪ L (x‬من أجل ‪x > 0‬‬
‫‪5.3‬‬
‫ج)أحسب )‪ lim+ L (x‬ثم استنتج قيمة )‪L (0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫=)‪L (x‬‬
‫‪x® 0‬‬
‫و ÷ ‪1 p= n- 1 çِ p‬‬
‫= ‪. sn‬‬
‫‪ -3‬لكل عدد صحيح طبيعي ‪ n‬أكبر من أو يساوي ‪ 1‬نضع‪ g ç ÷ّ :‬ه‬
‫÷ ‪n p= 0 çè n‬‬
‫‪5.3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪www.9alami.com‬‬
‫التمرين الخامس‪ 2(:‬نقط)‬
‫‪ -1‬بين أن الدالة‬
‫‪NS 42‬‬
‫الصفحة‬
‫بين أن المتتالية ‪ (sn )n³ 1‬متقاربة ثم حدد نهايتها‪.‬‬
‫انتهى‬
‫‪www.9alami.com‬‬