Telechargé par Alexis Marouani

Oraux Terminales Decembre 2019 V2

publicité
Oraux Terminales Décembre 2019
Alexis Marouani
Les exercices suivants sont classés par difficulté de 1 à 3. Les niveaux 1 représentent une question de cours ou ce qui s’en
rapproche. Les niveaux 2 demandent plus de réflexion et exigent une prise de recul de l’élève et de véritables initiatives. En
fonction de la maitrise d’un niveau 1 par un élève, on l’orientera vers un niveau 2 plus ou moins difficle. Le niveau 3 est reservé
à un élève particulièrement brillant qui réussit rapidement son niveau 2.
Il faut prendre en compte le fait que l’élève est en constant échange avec l’examinateur.
Niveau 1
Exercice (*) :
1) Montrer que si (un ) converge alors lim un+1 − un = 0
2) Montrer que la réciproque est fausse
Exercice (*) : Soit (un ) la suite définie par ses deux premiers termes u0 et u1 et la relation de récurrence un+2 = un+1 − un
Montrer que (un ) est périodique
Exercice (*):
Soit (un ) la suite définie par u0 = 1 et un+1 = un + u1n
Justifier brièvement à l’oral pourquoi un est de signe constant puis montrer qu’elle est croissante et déterminer sa limite
q
n3 +n2
Exercice (*) : Calculer la limite de :
n2 +1
Exercice (*) : Calculer la limite de :
3−2n2
1
n+ n
Exercice (*): Soit (I) : 2n ≥ (n + 2)2
1) A partir de quand cette inégalite semble-t-elle vraie ?
2) Le démontrer par récurrence
Exercice (*) : Monotonie de (an ) :
2
a0 = 7π
22 et an+1 = an
Exercice (*) : Soit f : R →
− R une fonction périodique. On suppose que la fonction admet une limite réelle en +∞. Montrer que f est constante
√
Exercice (*): Limite de f : x 7→
x+2−2
√
3− x+7
en 2
Exercice (*) : Etudier la continuité en 0 de la fonction suivante :
Si x ≥ 0, f (x) = x3 − 3
Si x < 0, f (x) = 2x
Niveau 2
Exercice (**) : Moyenne arithmético-géométrique
√
n et b
Soient a, b ∈ R+ On définit (an ) et (bn ) par : a0 = a, b0 = b, an+1 = an +b
an ∗ bn
n+1 =
2
1) Montrer que (an ) et (bn ) sont convergentes de limites respectives α et β
2) Montrer que α = β
On appelle moyenne arithmético-géométrique cette valeur commune
Exercice (**) : Un étrange coloriage
On considère une grille de n cases, on colore chaque case en blanc ou en noir sachant que 2 cases noires ne peuvent être
consécutives.
On note an le nombre de possibilités de colorier une grille de longueur n.
En regardant ce qu’il se passe quand on rajoute une case, déterminer une formule de récurrence sur an
Que reconnaissez vous ?
Exercice (**) : Convergence de la somme des inverses des factorielles
On considère
:
Pn 1 la suite
1
1
1
= 1!
+ 2!
+ ... + n!
un = k=1 k!
On rappelle que pour tout entier naturel n!= 1 ∗ 2... ∗ n
1
1) Montrer par récurrence que ∀n ∈ N∗ , n!
≤
1
2n −1
2) Majorer un par la somme des termes d’une suite géométrique et en déduire que (un ) converge c’est-à-dire que
existe
P+∞
n
1
n!
Exercice (**) :
On considère (un ) définie par :
k+1
Pn
∀n ∈ N∗ , k=1 (−1)
k2
On pose ∀n ∈ N∗ :
v n = u2n et wn = u2n+1
1) Montrer que (v n ) et (wn ) sont adjacentes
2) En déduire que (un ) converge
Exercice (**) : Récurrence croisée et suites adjacentes
Soient (un ) et (v n ) définies par les relations de récurrence suivantes :
u0 = −1, v 0 = 2
n
un+1 = un +v
2
n
v n+1 = un +4v
5
1) Montrer que les suites sont adjacentes
2) Déterminer le réel a pour que la suite (un + av n ) soit constante puis déterminer la limite commune des deux suites.
Exercice (**) : Une approximation de π
On rappelle que la partie entière d’un nombre réel x est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. On a donc :
E(x) ≤ x < E(x) + 1
On définit la suite (un ) par :
∀n ∈ N∗ , un = E(π)+E(2π)+...+E(nπ)
n2
1) Soit k ∈ N, Montrer que
kπ-1<E(kπ)≤ kπ
Pn
2) En déduire un encadrement de k=1 E(kπ)
3) Montrer que la suite (un ) converge vers π2
Exercice (**): La série harmonique ou Zêta de 1
La fonction Zêta est la fonction la plus célèbre
P+∞ des mathématiques, vous verrez plus tard dans l’année ce que sont les complexes,
la fonction zêta est définie par : ζ(s) = n=1 n1s où s est un complexe.
On connait de nombreux résultats remarquables sur cette fonction. On se propose de montrer dans cette exercice que cette
somme diverge pour s= 1
On pose :
Pn
∀ n ∈ N∗ , S n = 11 + 12 + ... + n1 = k=1 k1
1) Montrer que ∀n ∈ N∗ , S 2n ≥ 12 + S n
2) Montrer par récurrence que :
∀n ∈ N∗ , S 2n ≥ 1 + n2
3) En déduire la limite de (S n )
Exercice (**) : La constante d’Apéry ou Zêta de 3
La fonction Zêta est la fonction la plus célèbre
P+∞ des mathématiques, vous verrez plus tard dans l’année ce que sont les complexes,
la fonction zêta est définie par : ζ(s) = n=1 n1s où s est un complexe.
On connait de nombreux résultats remarquables sur cette fonction. On se propose de montrer dans cette exercice que cette
somme converge pour s= 3 (et oui une
Pnsomme infinie peut converger...) On pose :
∀ n ∈ N∗ , un = 113 + 213 + ... + n13 = k=1 k13
1) Montrer par récurrence que ∀ n ∈ N∗ , un ≤ 2 −
1
n
2) Que peut-on en déduire ? Que nomme-t-on le nombre d’Apéry ?
Si vous êtes curieux, allez voir le théorème d’Apéry
Exercice (**) :
Montrer par récurrence sur p ∈ N∗ que :
∀n ∈ N,
Pn
k=0
Qp
i=1 (k
+ i) =
1
p+1
Qp+1
i=1 (n
+ i)
Exercice (**) : Zêta de 2
La fonction Zêta est la fonction la plus célèbre
P+∞ des mathématiques, vous verrez plus tard dans l’année ce que sont les complexes,
la fonction zêta est définie par : ζ(s) = n=1 n1s où s est un complexe.
P+∞
2
On connait de nombreux résultats remarquables sur cette fonction notamment ζ(2) = n=1 n12 = 112 + 212 + ... + n12 + ... = π6
On se propose P
de montrer dans cette exercice que cette somme converge pour s=2 (et oui une somme infinie peut converger...)
n
On pose v n = k=1 k12 et
Pn
1
un = k=1 k(k+1)
1
1
1) Montrer que k(k+1)
= k1 − k+1
2) Simplifier alors l’expression de un et montrer que (un ) converge
3) Montrer que ∀n ≥ 2, v n ≤ 1 + un-1
4) En déduire que (v n ) converge et que ζ(2) est bien définie
Exercice (**) :
En utilisant l’inégalité de Bernoulli, montrer que :
∀n ∈ N∗ , (n + 1)n ≥ 2n ∗ n!
Exercice (**) :
Soit f : R →
− R telle que :
f(1)=1
∀x, y ∈ R, f (x + y) = f (x) + f (y)
1) Montrer que f(n)=n avec n entier relatif
2) En pensant au fait que 1 = nn , déterminer f ( n1 ) pour n entier naturel non nul
3) En déduire que f = Id sur Q
4) Que se passe-t-il si f(1)=λ, λ ∈ R
5) En rajoutant l’hypothèse f croissante, on peut montrer que f = Id sur R, comment ?
Niveau 3 : au cas où, un petit génie
Exercice (***) :
A toute
(an ) de réels telle que a0 = 1, on associe la suite (bn ) définie par :
Pnsuite croissante
a
bn = k=1 (1 − ak-1 ) a1
k
k
Montrer que bn ∈ [0 ; 1] Etat donné c ∈ [0 1[, Montrer l’existence d’une suite (an ) telle que lim bn = c
Téléchargement
Explore flashcards