DM Une Suite Recurrente

DM de MPSI2
Devoir non surveill´e
Une suite r´ecurrente
´
Etant donn´e x0∈R, on d´efinit par r´ecurrence la suite (xn) d’it´eratrice T:x7→ x2+x.
1On consid`ere deux suites (an)∈RNet (bn)∈(R∗
+)N. Pour tout n∈N, on note An=
n
X
k=0
aket Bn=
n
X
k=0
bk.
On suppose que lim
nBn= +∞.
aMontrer que si an= o(bn), alors An= o(Bn).
Indication : fixer ε > 0, consid´erer un rang N0`a partir duquel |an|6ε
2bnpuis, en s´eparant la somme Anen
deux, montrer que 
An
Bn
6ε`a partir d’un certain rang.
bEn d´eduire que si an∼bn, alors, An∼Bn.
2On suppose ici que x0∈]−1,0[.
aMontrer que (xn) tend vers 0, et que les suites (xn) et (xn+1) sont ´equivalentes.
bTrouver une suite constante (bn) ´equivalente `a la suite d´efinie par an=−1
xn+1 +1 xnpour tout n∈N.
cEn appliquant la question 1.b aux suites de la question pr´ec´edente, trouver une suite num´erique classique
´equivalente `a la suite (xn).
3On suppose ici x0∈R∗
+.
aMontrer que (xn) est `a termes strictement positifs et tend vers +∞.
bOn consid`ere la suite de terme g´en´eral yn= 2−nln xn.
Montrer que pour tout entier naturel n
0< yn+1 −yn62−(n+1)
xn
.
cEn d´eduire que pour tous n, m ∈N:
0< yn+m+1 −yn62−n
xn
dEn d´eduire que (yn) converge vers un r´eel strictement positif λ, et que pour tout n∈N:
0< λ −2−nln xn62−n
xn
.
eMontrer que xn∼eλ(2n).
4Si x0/∈]−1,0[∪R∗
+, d´eterminer si la suite (xn) admet une limite (et la donner, le cas ´ech´eant).