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Concours Centrale-Sup ´ elec 2001
´
Epreuve : PHYSIQUE I Fili ` ere TSI
Correction propos´ee par Eddie Saudrais ([email protected])
De l’oscillateur harmonique
Partie I Oscillations sans frottements
ξ
ξ´eq 0
x
m
On note ξla longueur du ressort, et xla position de Mpar rapport `a sa position
d’´equilibre. On a donc x=ξ−ξ´eq.
I.A Oscillations libres
A.I.1) Sur le point Ms’exercent :
— le poids P=mgex;
— la tension du ressort T=−k(ξ−l0)ex, o`u l0est la longueur `a vide du ressort.
A.I.2) L’´equilibre du ressort s’´ecrit
P+T=0,(1)
soit, en projetant selon ex,
mg −k(ξ´eq −l0) = 0 .(2)
L’´equation diff´erentielle du mouvement s’obtient en ´ecrivant la relation fondamentale
de la dynamique appliqu´ee `a M, en projection sur ex:
md2ξ
dt2=mg −k(ξ−l0).(3)
En soustrayant l’´equation (2) de l’´equation (3), on obtient
md2ξ
dt2=−k(ξ−ξ´eq).(4)
On a x=ξ−ξ´eq, d´eplacement de Mpar rapport `a la position d’´equilibre. L’´equa-
tion (4) s’´ecrit alors
d2x
dt2+k mx= 0 .(5)
Nous reconnaissons l’´equation diff´erentielle d’un oscillateur harmonique de pulsation
propre ω0=pk/m. La solution satisfaisant aux conditions initiales donn´ees est
x(t) = x0cos ω0t . (6)
A.I.3) On peut utiliser les deux m´ethodes suivantes pour d´eterminer la raideur du
ressort :
M´ethode statique : On suspend plusieurs masses connues, et on mesure la longueur
au repos du ressort. Selon l’´equation (2), la loi ξ´eq(m) est affine, de pente g/k.
M´ethode dynamique : On mesure la p´eriode des petites oscillations. Elle est don-
n´ee par T= 2πpm/k.
A.I.4) Les deux forces s’exer¸cant sur la masse d´erivent d’un potentiel. On prend
comme origine x= 0.
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Energie potentielle de pesanteur : Epes =−mgx .

Physique I Fili` ere TSI
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Energie potentielle ´elastique : Attention, le choix de l’origine n’est pas le choix
habituel1; la (( formule usuelle )) doit ˆetre modifi´ee en cons´equence. Le plus sˆur
est de repartir de la d´efinition du travail. La force est
T=−k(ξ−l0)ex=−k(x+ξ´eq −l0)ex.
Par d´efinition de l’´energie potentielle,
dE´el =−δW =−F·dOM =k(x+ξ´eq −l0) dx .
En choisissant E´ela = 0 pour x= 0, on a donc
E´ela =1
2k(x+ξ´eq −l0)2−(ξ´eq −l0)2=1 2kx(x+ 2ξ´eq −2l0).
D’apr`es l’´equation (2), on a ξ´eq −l0=mg/k, d’o`u
E´ela =1
2kx2+ 2x(ξ´eq −l0)=1 2khx2+ 2xmg ki,
soit finalement
E´ela =1
2kx2+mgx .
A.I.5) L’´energie potentielle totale s’´ecrit Ep=Epes +E´el, soit
Ep=1
2kx2.(7)
➤La masse ´evolue dans un puits de potentiel parabolique, caract´eristique d’un
oscillateur harmonique.
L’´energie cin´etique initiale ´etant nulle, l’´energie m´ecanique vaut initialement E=
Ep(t= 0) = kx2
0/2. Le syst`eme est conservatif (il n’est soumis qu’`a des forces conser-
vatives) ; son ´energie est donc une constante du mouvement :
E=1
2kx2
0.(8)
A.I.6) L’´energie potentielle est donn´ee par (7), et l’´energie m´ecanique par (8). On
lit l’´energie cin´etique par soustraction : Ec=E−Ep. Comme on a n´ecessairement
Ec>0, les seules valeurs de xpossibles sont celles qui v´erifient Ep6E.
E, Ep
x
x0
−x0
E
Ep
EcEp
A.I.7) D’apr`es (6) et (7), l’´energie potentielle s’´ecrit, en fonction du temps,
Ep(t) = 1
2kx2
0cos2ω0t . (9)
Sa valeur moyenne est donc
hEpi=kx2
0
4.(10)
La vitesse valant ˙x=−ω0x0sin ω0t, l’´energie cin´etique s’´ecrit
Ec=1
2mω2
0x2 0sin2ω0t . (11)
Sa valeur moyenne temporelle est donc
hEci=1
4mω2
0x2 0=kx2
0
4.(12)
Les relations (10) et (12) montrent qu’il y a, en moyenne, ´equipartition entre l’´energie
cin´etique et l’´energie potentielle :
hEci=hEpi.(13)
1La (( formule habituelle )) Ep=1
2k(l−l0)2suppose que l’on a pris le repos du ressort comme origine du potentiel. Quand on ´etudie un oscillateur, il est plus simple de faire le choix de l’origine de l’´energie
potentielle `a la position d’´equilibre de l’oscillateur.
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Physique I Fili` ere TSI
I.B Oscillations forc´ees
On impose le d´eplacement X(t)ex=acos ωtex`a l’extr´emit´e sup´erieure du res-
sort2.
A.II.1) La longueur du ressort vaut maintenant x+ξ´eq −X(t) ; la force exerc´ee par
le ressort sur Ma donc pour expression
T=−k(x+ξ´eq −X(t)−l0)ex.(14)
En ´eliminant le poids `a l’aide de (2), on ´etablit, `a l’aide de la relation fondamentale
de la dynamique projet´ee selon ex,
md2x
dt2+kx =Fsup avec Fsup =kX(t).(15)
A.II.2) On consid`ere ω6=ω0.
A.II.1) L’´equation (15) s’´ecrit
d2x
dt2+ω2
0x=ω2 0acos ωt . (16)
La solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee `a (16) est de la forme
xh(t) = αcos ω0t+βsin ω0t . (17)
Cherchons une solution particuli`ere de (16) de la mˆeme nature que le second membre,
c’est-`a-dire de la forme d’une sinuso¨ıde de mˆeme pulsation : xp(t) = Acos ωt+Bsin ωt.
L’´equation (16) s’´ecrit alors
A(ω2
0−ω2) cos ωt +B(ω2 0ω2) sin ωt =ω2 0acos ωt . (18)
Comme ω06=ω, on en d´eduit3B= 0 et A=aω2
0/(ω2 0−ω2). Une solution particu-
li`ere (16) est donc
xp(t) = aω2
0
ω2
0−ω2cos ωt . (19)
La solution g´en´erale de (16) s’´ecrit donc
x(t) = xh(t) + xp(t) = αcos ω0t+βsin ω0t+aω2
0
ω2
0−ω2cos ωt . (20)
Les conditions initiales s’´ecrivent
x(0) = α+aω2
0
ω2
0−ω2= 0 d’o`u α=−aω2
0
ω2
0−ω2,(21)
et
˙x(0) = βω0= 0 d’o`u β= 0 .(22)
On a donc
x(t) = aω2
0
ω2
0−ω2[cos ωt −cos ω0t],(23)
que l’on peut ´ecrire
x(t) = 2aω2
0
ω2−ω2
0
sin ω1tsin ω2tavec ω1=ω+ω0
2et ω2=ω−ω0 2.(24)
A.II.2) Dans le cas o`u ω= 1,2ω0, on a ω2= 0,1ω0et ω2= 1,1ω0.
Tb
t
x
La p´eriode des battements est la longueur d’un fuseau, c’est-`a-dire une demi-p´eriode
de la sinuso¨ıde de pulsation ω2. On a donc
Tb=π
ω2
.(25)
2Il aurait ´et´e plus heureux de prendre X(t) = asin ωt, pour avoir X(0) = 0.
3On identifie les termes en sinus et les termes en cosinus.
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Physique I Fili` ere TSI
A.II.3) On peut observer des battements optiques avec l’interf´erom`etre de Michelson,
en observant les anneaux d’´egale inclinaison en l’´eclairant avec une lampe spectrale
`a vapeur de sodium. On mesure l’intensit´e lumineuse au centre de la figure d’inter-
f´erence avec un capteur tout en modifiant r´eguli`erement la diff´erence de marche en
translatant un miroir `a l’aide d’un moteur. On observe des battements optiques : le
contraste des franges est modul´es sinuso¨ıdalement.
Ce ph´enom`ene est dˆu au doublet jaune du sodium (¸ca revient `a additionner deux si-
nuso¨ıdes de fr´equences proches). Connaissant la longueur d’onde moyenne du doublet,
on peut ainsi d´eterminer la diff´erence des deux longueurs d’onde.
A.II.4) L’´energie m´ecanique s’´ecrit
E=1
2m˙x2+1 2kx2.(26)
On a donc dE
dt=m˙x¨x+kx ˙x , (27)
soit d’apr`es (15),
dE
dt=Fsup ˙x . (28)
L’´energie m´ecanique ne se conserve pas.
Compte tenu de (23), on a
dE
dt=ka2ω2
0
ω2
0−ω2cos ωt [ω0sin ω0t−ωsin ωt].(29)
Il apparaˆıt donc que l’´energie m´ecanique ne varie pas de fa¸con monotone.
En prenant la valeur moyenne, on a
hdE
dti= 0 .(30)
L’´energie m´ecanique ne varie pas en moyenne.
A.II.5) On consid`ere ω=ω0.
A.II.1) Dans le cas o`u ω=ω0, la solution (23) se pr´esente comme une forme ind´eter-
min´ee (0/0). Posons ω=ω0+δω. On a alors
x(t) = aω2
0
ω2−ω2
0
[cos ω0t−cos ωt].(31)
On trouve la solution correspondant au passage `a la limite ω→ω0en effectuant un
d´eveloppement limit´e de (31) en l’infiniment petit δω/ω01.
x(t)∼a
1 + δω
ω02
−1
[cos ω0t−(cos ω0t−δωt sin ω0t)]
∼aω0
2δω δωt sin ω0t .
(32)
On a donc
lim
ω→ω0
x(t) = aω0
2tsin ω0t . (33)
A.II.2) Le mouvement du point est une sinuso¨ıde dont l’amplitude croˆıt lin´eairement
au cours du temps. Les deux demi-droites enveloppes de la courbe ont pour ´equation
x=±aω0
2t(34)
t
x
A.II.3) Nous nous trouvons en pr´esence d’un ph´enom`ene de r´esonance.
Dans la r´ealit´e, l’acuit´e de la r´esonance est limit´ee par les ph´enom`enes dissipatifs
et les non lin´earit´es du syst`eme. En effet, d`es que l’amplitude s’accroˆıt, le ressort
cesse d’ˆetre lin´eaire (spires jointives si xest trop faible, perte d’´elasticit´e si xest trop
grand).
La r´esonance est un ph´enom`ene que l’on rencontre dans tous les domaines de la phy-
sique. Quelques exemples :
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Physique I Fili` ere TSI
Acoustique : L’effet Larsen, o`u une fr´equence audible est amplifi´ee par r´etroaction
positive entre un microphone et une enceinte.
Les r´esonateurs de Helmholtz. D`es sph`eres m´etalliques perc´ees munies d’un petit
tuyau entrent en r´esonance pour leur fr´equence propre, permettant ainsi d’effec-
tuer la d´ecomposition harmonique d’un son.
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Electrocin´etique : L’oscillateur `a r´esistance n´egative, o`u la fr´equence centrale de la
chaˆıne de retour est amplifi´ee par r´etroaction positive.
Optique : Le laser, o`u une onde incidente `a la fr´equence de r´esonance (E2−E1)/h in-
duit l’´emission d’un photon de mˆeme fr´equence par des atomes excit´es au niveau
E2; le photon induit augmente l’´energie de l’onde incidente.
A.II.4) L’´energie du syst`eme est
E(t) = 1
2m˙x2+1 2kx2,(35)
soit compte tenu de (33),
E(t) = ma2ω2
0
8h(sin ω0t+ω0tcos ω0t)2+ω2
0t2sin2ω0ti,(36)
soit
E(t) = ka2
8sin2ω0t+ω2
0t2+ω0tsin 2ω0t.(37)
Pla¸cons-nous `a un instant ttel que sin ω0t= 1. On a alors sin 2ω0t= 0, d’o`u
E(t) = ka2
8ω2
0t2.(38)
Si T0= 2π/ω0, on a
E(t+T0) = ka2
8ω2
0t2+ 4π2+ 4πω0t.(39)
D’apr`es (38) et (39), la variation d’´energie sur l’intervalle [t, t +T0] est
∆E=E(t+T0)−T(t) = 4π[π+ω0t].(40)
La croissance d’´energie du syst`eme sur une dur´ee T0croˆıt comme une fonction affine
du temps.
Partie II Oscillations forc´ees avec amortissement fluide
B.1 - La relation fondamentale de la dynamique s’´ecrit, en projection sur ex,
md2x
dt2=mg −k(x+ξ´eq −X(t)−l0)−hdx dt.(41)
La condition d’´equilibre (2) ´etant toujours valable (la force de frottement fluide est
nulle au repos), l’´equation (41) s’´ecrit, en posant Q=mω0/k,
¨x+ω0
Q˙x+ω2
0x=ω2 0X(t).(42)
B.2 - Le temps caract´eristique du r´egime transitoire est
τ=Q
ω0
.
Au bout de quelques τ, on peut consid´erer que le r´egime permanent, d´ecrit par la
solution en r´egime forc´e, est atteint.
B.3 - Recherchons la solution de (17) en r´egime permanent en utilisant les notations
complexes.
Signal r´eel Signal analytique Amplitude complexe
X(t) = acos ωt X(t) = aejωt X=a
x(t) = Acos(ωt +ϕ)x(t) = Aej(ωt+ϕ)A=Aejϕ
L’´equation (17) s’´ecrit, en utilisant les amplitudes complexes,
−ω2A+ jωω0
QA+ω2
0A=ω2 0a , (43)
d’o`u l’on d´eduit l’expression de l’amplitude complexe de la r´eponse :
A=ω2
0a
ω2
0−ω2+ jωω0
Q
.(44)
Le module nous donne l’amplitude du d´eplacement de M:
A=a
s1−ω2
ω2
02
+ω2
ω2
0Q2
.(45)
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