04 permutation

Prinzip der Inklusion- Exklusion
Ziel: Zählen von Elementen in nicht-disjunkten Mengen.
2 Mengen A1,A2: Zählen zunächst die Elemente in A1.
Addieren dazu die Anzahl der Elemente in A2.
Zählen damit den Schnitt von A1und A2doppelt.
|A1∪A2|=|A1|+|A2|−|A1∩A2|
3 Mengen: Zählen die Elemente in A1,A2und A3einzeln.
Subtrahieren Anzahl der Elemente in A1∩A2,A1∩A3und A2∩A3.
Damit wurden die Elemente in A1∩A2∩A3dreimal gezählt und
dreimal abgezogen.
|A1∪A2∪A3|=|A1|+|A2|+|A3|
−(|A1∩A2|+|A1∩A3|+|A2∩A3|)
+|A1∩A2∩A3|
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Prinzip der Inklusion-Exklusion
Satz Inklusion-Exklusion
Seien A1, . . . , Anendliche Mengen. Dann gilt
|Sn
i=1Ai|=Pn r=1(−1)r−1P1≤i1<...<ir≤n|Tr j=1Aij|.
Beweis
Idee: Zeigen, dass jedes Element agenau einmal gezählt wird.
Sei ain kMengen Aienthalten.
akommt im Schnitt der Aijvor, gdw a∈Aijfür alle ij.
Damit kommt ain genau k
rSchnittmengen vor.
Insgesamt zählen wir damit jedes amit der Häufigkeit
n
X
r=1
(−1)r−1k
r=−
n
X
r=1k
r(−1)r=1−
n
X
r=0k
r(−1)r
=1−
k
X
r=0k
r(−1)r1k−r=1−(1−1)k=1.
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Anwendung Inklusion-Exklusion
Bsp: Sei A={x∈[100]|(2|x)oder (3|x)oder (5|x)}. Bestimme |A|.
Definieren Ak:= {n∈[100]|kteilt n}. Damit gilt A=A2∪A3∪A5.
Für die Kardinalität von Akerhalten wir |Ak|:= 100
k.
Außerdem gilt Ai∩Aj=AkgV{i,j}
Damit erhalten wir insgesamt
|A|=|A2∪A3∪A5|
=|A2|+|A3|+A5| − (|A6|+|A10|+|A15|) + |A30|
=50 +33 +20 −(16 +10 +6) + 3=74
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Permutationen
Definition Permutation, Fixpunkt, Symmetrische Gruppe
Sei π:A→Aeine Funktion.
1Wir bezeichnen πals Permutation gwd πbijektiv ist.
2Für eine Permutation πbezeichnen wir alle a∈Amit π(a) = aals
Fixpunkte.πheißt fixpunktfrei, falls πkeine Fixpunkte enthält.
3Die Menge der Permutationen auf A= [n]bezeichen wir als
symmetrische Gruppe Gn.
Es gilt |Gn|=n!.
Schreibweise für ein π∈ G5:π=12345
23541
Das Element 4 ist der einzige Fixpunkt der Permutation π.
Bei fester Anordnung von a1, . . . , an∈Awürde die zweite Zeile
(π(a1)π(a2). . . π(an))
genügen. Vorsicht: Verwechslungsgefahr mit Zyklenschreibweise.
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Fixpunktfreie Permutationen
Definition Derangementzahl
Wir bezeichnen mit Dndie Anzahl fixpunktfreier Permutationen in Gn.
Dnheißt auch Derangementzahl. Mit ζnbezeichnen wir die Anzahl der
Permutationen in Gnmit mindestens einem Fixpunkt.
Offenbar gilt: Dn=|Gn| − ζn.
Um Dnzu bestimmen, genügt es ζnzu bestimmen.
Aibezeichne die Menge der Bijektionen {π∈ Gn|π(i) = i}.
Es gilt ζn=Sn
i=1Ai.
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