Telechargé par yegago1712

دروس في ميكانيك الموائع

publicité
‫الرحِيمِ‬
‫الرحِمِانِِ ِ‬
‫بِسِمِِاللِِ ِ‬
‫ِ‬
‫ِ‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع‬
‫جريانِالموائع‬
‫اللبيِعبدِالقادر ِ‬
‫ِ‬
‫النِسخةِاألولى‪ِ02ِ:‬جويليةِ‪2018‬‬
‫ِ‬
‫جامعةِالشهيدِحمهِلخضرِ‪ِ-‬الوادي‬
‫واليةِالواديِ‪ِ-ِ39000‬الجزائر‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫احملتويات‬
‫املق ّدمة ‪3 ........................................................................................................................................................‬‬
‫الفصلِاألول‪ِ:‬تذكيرِوِتِتِمِات ‪4 ......................................................................‬‬
‫ِ‬
‫‪-1‬‬
‫املائع ‪4 .................................................................................................................‬‬
‫‪ .1.1‬تعريف‬
‫‪ .2.1‬خصائص املوائع و املقادير األساسية املتعلقة هبا ‪4 ..............................................................‬‬
‫ِ‬
‫معاملي اللّزوجة الديناميكية و احلركية ‪ -‬قانون نيوتن ‪5 ........................................................‬‬
‫‪.3.1‬‬
‫‪ .4.1‬اإلجهادات ‪7 ..................................................................................................................‬‬
‫‪ .5.1‬قوى السطح و قوى احلجم ‪8 ...........................................................................................‬‬
‫ّ‬
‫اإلجهادات ‪8 .............................................................................................‬‬
‫أ‪ .‬تنسور‬
‫ب‪ .‬قِوى السطح ‪10 ...................................................................................................‬‬
‫ّ‬
‫ج‪ .‬قِوى احلجم‪11 .....................................................................................................‬‬
‫‪ .6.1‬العبارة األساسية للموائع الساكنة ‪11 ..................................................................................‬‬
‫ّ‬
‫‪ -2‬الفصلِالثِاني‪ِ:‬سينماتيكِالموائع ‪16 .................................................................‬‬
‫املوائع ‪16 .....................................................................................................‬‬
‫‪ .1.2‬وصف حركة‬
‫أ‪ .‬طريقة الغرانج ‪16 .................................................................................................‬‬
‫أولر ‪16 ......................................................................................................‬‬
‫ب‪ .‬طريقة‬
‫‪ .2.2‬خطوط و أنابيب التيار ‪18 ...............................................................................................‬‬
‫أ‪ .‬خط التيار ‪18 ......................................................................................................‬‬
‫التيار ‪19 ....................................................................................................‬‬
‫ب‪ .‬أنبوب‬
‫ج‪ .‬خطوط التيار و املسارات ‪19 .................................................................................‬‬
‫‪ .3.2‬التدفّقات ‪20 ...................................................................................................................‬‬
‫أ‪ .‬التدفّق احلجمي ‪21 ...............................................................................................‬‬
‫الكتلي ‪21 .................................................................................................‬‬
‫ب‪ .‬التدفّق‬
‫‪ .4.2‬االشتقاق الكلي ‪21 .........................................................................................................‬‬
‫‪ .5.2‬معادلة احنفاظ الكتلة (معادلة االستمرارية) ‪23 ....................................................................‬‬
‫‪ .6.2‬دراسة سينماتيكية للجريانات الغري‬
‫دورانية ‪26 ....................................................................‬‬
‫‪-1-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫مقدمة ‪26 ............................................................................................................‬‬
‫أ‪.‬‬
‫ب‪ .‬اجلريان الكموين ‪27 ...............................................................................................‬‬
‫ج‪ .‬دراسة حتليلية للجريانات املستوية الغري‬
‫دورانية ‪29 ....................................................‬‬
‫‪ -3‬الفصلِالثِالث‪ِ:‬ديناميكِالموائع ‪36 ..................................................................‬‬
‫مق ّدمة ‪36 .........................................................................................................................‬‬
‫‪.1.3‬‬
‫كمية احلركة ‪37 ..............................................................................................‬‬
‫‪ .2.3‬نظرية احنفاظ ّ‬
‫برنويل ‪40 ...................................................‬‬
‫كمية احلركة إىل معادليت أولر و‬
‫‪ .3.3‬من نظرية احنفاظ ّ‬
‫أ‪ .‬معادلة أولر ‪40 .....................................................................................................‬‬
‫ب‪ .‬معادلة برنويل ‪41 ...................................................................................................‬‬
‫كمية احلركة إىل معادلة نافيري و‬
‫‪ .4.3‬من نظرية احنفاظ ّ‬
‫ستوكس ‪45 ..............................................‬‬
‫الفصلِالرابع‪ِ:‬الجريانِالرقائقيِوِالجريانِالمضطرب ‪48 ...........................................‬‬
‫ِ‬
‫‪-4‬‬
‫‪ .1.4‬جتربة‬
‫رينولدز ‪48 ..............................................................................................................‬‬
‫الرقائقي ‪51 ............................................................................................................‬‬
‫‪ .2.4‬اجلريان ّ‬
‫االجتاه ‪51 .........................................................................‬‬
‫الرقائقي أحادي ّ‬
‫أ‪ .‬اجلريان ّ‬
‫ب‪ .‬حالة اجلريان الرقائقي داخل أنبوب أسطواين ‪54 ......................................................‬‬
‫ّ‬
‫ج‪ .‬حالة اجلريان الرقائقي بني صفيحتني مستويتني و متوازيتني ‪60 ..................................‬‬
‫ّ‬
‫املستوي ‪60 ....................................................................‬‬
‫ج‪ .1.‬جريان بوازاي‬
‫ج‪ .2.‬جريان كويت ‪65 .................................................................................‬‬
‫‪ .3.4‬اجلريان املضطرب ‪69 .........................................................................................................‬‬
‫رينولدز ‪69 ...............................................................................................‬‬
‫أ‪ .‬تفكيك‬
‫املتوسطة ‪71 ..................................................................‬‬
‫ب‪ .‬معادلة االستمرارية بالقيمة ّ‬
‫املتوسطة‪72 ...........................................................‬‬
‫ج‪ .‬معادلة نافيري و ستوكس بالقيمة ّ‬
‫د‪ .‬مسألة الغلق‬
‫‪75 ..................................................................................................‬‬
‫‪ -5‬الفصلِالخامس‪ِ:‬فواقدِالشحنة ‪76 ..................................................................‬‬
‫برنويل ‪76 .......................................................................................................‬‬
‫‪ .1.5‬تعميم معادلة‬
‫الشحنة اخلطي ‪77 .......................................................................................................‬‬
‫‪ .2.5‬فاقد ّ‬
‫الشحنة‬
‫‪ .3.5‬فاقد ّ‬
‫الثانوي ‪82 ......................................................................................................‬‬
‫املراجع ‪87 ......................................................................................................................................................‬‬
‫‪-2-‬‬
‫ِ‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫الم ـ ـق ـ ـ ـ ــدم ـ ـ ـ ـ ــة‬
‫بادئ ذي بدء‪ ،‬أشكر اهلل َعَّز و َجل على إمتام و إجناز هذه ال ّدروس املند ِرجة ِضمن علم ميكانيك‬
‫بالضبط من ميكانيك األوساط ِ‬
‫املستمّرة‪ ،‬و بالتّايل‬
‫املوائع‪ .‬هذا العلم الذي يعترب فرعا من امليكانيك و ّ‬
‫هو يعد من أهم فروع الفيزياء‪ .‬إ ّن ِدراسة هذا العلم من األمهّية مبا كان حيث نتعامل مع املوائع يف كل‬
‫وقت يف حياتنا اليومية كاستنشاق اهلواء مثل و كجريان املاء عرب األنابيب ليصل إىل املكان الذي نريده‬
‫السفن اليت جتري يف البحار و كتحليق الطّائرات ‪ ...‬إخل‪.‬‬
‫و كحركة ّ‬
‫إ ّن ال ّدروس امل ّقدمة يف هذه املطبوعة ميكن اعتبارها كمدخل إىل ميكانيك املوائع و اليت حمتواها يتوافق‬
‫ختصص فيزياء‬
‫السنة ثانية ماسرت فيزياء ّ‬
‫املدرسة يف اجلامعات و هي ّ‬
‫مع الربامج ّ‬
‫موجهة بدرجة أوىل لطلبة ّ‬
‫الشهيد محّه خلضر‪-‬الوادي و كذلك هي مفيدة أيضا لطلبة بقية‬
‫تطبيقية اشعاع و طاقة جبامعة ّ‬
‫درس فيها هذا الفرع‪.‬‬
‫التخصصات اليت ي َّ‬
‫ّ‬
‫قسمت هذه ال ّدروس إىل مخسة فصول أساسية‪ .‬حيث يعترب الفصل األول مدخل لبقية الفصول من‬
‫ّ‬
‫فيهتم‬
‫خلل ذكر بعض التعاريف و كذلك اخلصائص و املقادير اليت متيّز املوائع‪ّ .‬أما الفصل الثاين ّ‬
‫ِ‬
‫اخلاصة حبركة املوائع و من خلل الدراسة‬
‫السينماتيكية للموائع من خلل ذكر بعض التعاريف ّ‬
‫بال ّدراسة ّ‬
‫التطرق ملعادلة احنفاظ الكتلة اليت سيعتمد عليها يف بقية‬
‫التحليلية لبعض اجلريانات و كذلك من خلل ّ‬
‫كمية احلركة و معادالت احلركة املستم ّدة منها‪،‬‬
‫الفصول‪ .‬يف الفصل الثّالث متّ التطرق إىل نظرية احنفاظ ّ‬
‫التطرق له يف‬
‫مثل معادلة أولر و معادلة نافيري و ستوكس‪ .‬أنواع و مميّزات اجلريانات و خصائصها متّ ّ‬
‫املعممة فيشمل أيضا طرق حساب‬
‫الرابع‪ّ .‬أما الفصل اخلامس‪ ،‬باإلضافة إىل معادلة برنويل ّ‬
‫الفصل ّ‬
‫الشحنة اخلطّية منها و الثّانوية‪.‬‬
‫فواقد ّ‬
‫و أخريا‪ ،‬فإنّين أحرتم و أرحب باستلم أي إضافات أو أي ملحظات حول احملتوى من شأهنا أن‬
‫تساهم يف حتسني هذه املطبوعة‪.‬‬
‫الليب عبد القادر‬
‫‪-3-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫الفصلِاألولِ–ِتذكيرِوِتِتِمات‬
‫ِ‬
‫‪ِِِ.1.1‬تعريفِالمائع‬
‫احلرة و اليت ميكنها االنتقال‬
‫املائع هو عبارة عن جمموعة كبرية من اجلسيمات ّ‬
‫املادية ّ‬
‫الصغرية ج ّدا و ّ‬
‫للتشوه و ميكنه اجلريان‪ .‬كما‬
‫حول بعضها البعض‪ .‬املائع إذن هو عبارة عن وسط ّ‬
‫مادي مستمر قابل ّ‬
‫فالسوائل هي موائع غري قابلة للنضغاط أي أن كثافتها ال تتغري‬
‫أ ّن املوائع تنقسم إىل سوائل و غازات‪ّ ،‬‬
‫الضغط املطبّق عليها ّأما الغازات فهي موائع قابلة للنضغاط أي أن كثافتها تتغري بتغري الضغط‬
‫بتغري ّ‬
‫املطبّق عليها‪.‬‬
‫‪ِِِ.2.1‬خصائصِالموائعِوِالمقاديرِاألساسيةِالمتعلقةِبها ِ‬
‫يعرب‬
‫‪ ‬الكتلة احلجمية‪ :‬تعرف الكتلة احلجمية ‪ ρ‬للمائع على أهنا كتلة املائع يف وحدة احلجم و ّ‬
‫عنها بـ ‪.𝑘𝑔/𝑚3‬‬
‫‪ ‬الكثافة‪ :‬تعرف كثافة املائع 𝑑 على أهنا النّسبة بني الكتلة احلجمية للسائل و الكتلة احلجمية‬
‫للماء و هذا بالنّسبة للسوائل‪ ،‬و على أهنا النّسبة بني الكتلة احلجمية للغاز و الكتلة احلجمية‬
‫اجلوي يساوي 𝑚𝑡𝑎 ‪،1‬‬
‫للهواء و هذا بالنّسبة للغازات‪ ،‬و ذلك عند ّ‬
‫الشروط املثالية ّ‬
‫(الضغط ّ‬
‫درجة احلرارة بالنّسبة للماء تساوي ‪ ،3.98 𝐶°‬درجة احلرارة بالنّسبة للهواء تساوي ‪ .)0 𝐶°‬مع‬
‫العلم أ ّن الكثافة هي مقدار ال بعدي (أي بدون وحدة)‪.‬‬
‫يعرب عنه بالباسكال (𝑎𝑃)‪.‬‬
‫‪ّ ‬‬
‫الضغط‪ :‬و ّ‬
‫يعرب عنها بـ (𝑠‪.)𝑚/‬‬
‫السرعة‪ :‬و ّ‬
‫‪ّ ‬‬
‫يعرب عنه بـ ( ‪.)𝑚/𝑠 2‬‬
‫‪ ‬التّسارع‪ :‬و ّ‬
‫‪-4-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪ ‬اللّزوجة‪ :‬ميكن تعريف اللّزوجة على أ ّهنا مقدار فيزيائي و معيار يوصف به قابلية املائع للجريان‪،‬‬
‫التحرك و اجلريان‪ .‬و كلّما قلّت اللّزوجة زادت قابلية املائع‬
‫و مقدار مقاومته لضغط جيربه على ّ‬
‫للجريان‪ ،‬و كلّما زادت لزوج املائع قلّت قابليته للجريان‪ .‬كما ميكن وصف اللّزوجة على أ ّهنا‬
‫احتكاك داخلي بني جسيمات املائع‪ .‬هناك معاملني للّزوجة و مها معامل اللّزوجة التّحريكية‬
‫سنتطرق هلذا يف الفقرة املوالية‪.‬‬
‫(أو ال ّديناميكية) و معامل اللّزوجة احلركية و للتّفصيل أكثر‬
‫ّ‬
‫‪ِِِ.3.1‬معامليِاللِزوجةِالدِيناميكيةِوِالحركيةِ‪ِ-‬قانونِنيوتن ِ‬
‫نعترب صفيحتني متوازيتني أفقيتني كبريتني كفاية البعد بينهما 𝑧‪ ،‬و ليكن مساحة سطح كل صفيحة هو‬
‫𝑆‪ ،‬كما نعترب أن الفراغ احملصور بني الصفيحتني يشغله مائع لزج‪ .‬نقوم بتحريك الصفيحة العلوية بشكل‬
‫الصفيحة السفلية ثابتة كما هو موضح يف‬
‫بقوة 𝐹 حبيث تكتسب سرعة ثابتة 𝑈 بينما نبقي ّ‬
‫أفقي ّ‬
‫الشكل (‪ .)1.1‬إن جسيمات املائع امللتصقة بالصفيحة املتحركة ستكتسب إذن السرعة 𝑥𝑎𝑚𝑉 و هي‬
‫بالصفيحة الثّابتة ستبقى معدومة‬
‫الصفيحة 𝑈‪ ،‬أما جسيمات املائع امللتصقة ّ‬
‫السرعة املساوية لسرعة ّ‬
‫الصفيحتني صغري كفاية و كذلك السرعة 𝑈 فإ ّن املنحين‬
‫السرعة ‪ .𝑉 = 0‬إذا اعتربنا أن البعد 𝑧 بني ّ‬
‫املمثل لتوزيع السرعات للمائع اللّزج بني الصفيحتني كما هو موضح يف الشكل يكون على شكل خط‬
‫مستقيم‪.‬‬
‫𝑥𝑎𝑚𝑉 = 𝑈 = 𝑉‬
‫𝐹‬
‫الصفيحة املتحركة‬
‫ّ‬
‫𝑧‬
‫امليل =‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝑉𝑑 ‪𝑉 +‬‬
‫𝑧 𝑧𝑑 ‪𝑧0 +‬‬
‫‪0‬‬
‫𝑉‬
‫‪𝑉=0‬‬
‫الصفيحة الثابتة‬
‫ّ‬
‫السرعات ملائع لزج موجود بني صفيحتني‪.‬‬
‫شكل (‪ )1.1‬توزيع ّ‬
‫‪-5-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑉𝑑 حيث ميكن كتابة‪:‬‬
‫السرعة‬
‫القوة 𝐹 تكون متناسبة طرديا مع ّ‬
‫حسب نيوتن ّ‬
‫تدرج ّ‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝑆𝜇=𝐹‬
‫يعرب عنه يف مل ـ ـ ـ ـة الوحـ ـ ـ ـ ـدات ال ّدوليـ ـ ـة‬
‫حيث معام ـ ـ ـل التناسـ ـ ـ ـب 𝜇 ميثّل معامل اللّزوجـ ـ ـة الديناميكية و ّ‬
‫بـ ـ ‪.𝑘𝑔 𝑚−1 𝑠 −1‬‬
‫إ ّن املقدار 𝑆𝐹 يدعى إجهاد القص و يرمز له بـ 𝜏‪ ،‬و منه‪:‬‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝜇=𝜏‬
‫إ ّن املوائع اليت ختضع هلذا القانون تسمى باملوائع النيوتونية‪ ،‬هذه املوائع يكون معامل لزوجتها مستقل‬
‫سمى‬
‫عن ّ‬
‫السرعة‪ ،‬على سبيل املثال نذكر منها الغازات و املاء ‪ ...‬إخل‪ّ .‬أما املوائع األخرى فت ّ‬
‫تدرج ّ‬
‫باملوائع الغري النيوتونية و على سبيل املثال نذكر منها حرب الكتابة‪ ،‬ال ّدم ‪ ...‬إخل‪.‬‬
‫يوجد معامل آخر للّزوجة يدعى معامل اللّزوجة احلركية و هو يتعلّق مبعامل اللّزوجة ال ّديناميكية‬
‫العلقة اليت تربطهما هي كاآليت‪:‬‬
‫𝜈𝜌=𝜇‬
‫حيث‪:‬‬
‫𝜌 متثّل الكتلة احلجمية للمائع ( ‪.)𝑘𝑔/𝑚3‬‬
‫يعرب عنه يف ملة الوحدات ال ّدولية ب ـ 𝑠‪.𝑚2 /‬‬
‫𝜈 ميثّل معامل اللّزوجة احلركية و ّ‬
‫متحرك)‪.‬‬
‫‪‬مالحظة‪ :‬إذا كان ‪ 𝜇 = 0‬فإ ّن املائع مثايل أو يف حالة سكون (غري ّ‬
‫‪-6-‬‬
‫𝜇‬
‫و‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪ِِِ.4.1‬اإلجهادات ِ‬
‫عرف اإلجهـ ـاد على أنّه الق ـ ـ ّوة املؤث ـ ـ ـ ـرة على وح ـ ـدة املساحة‪ ،‬وحدة قياس اإلجهـ ـ ـ ـاد هي ‪ 𝑁/𝑚2‬أو‬
‫يّ‬
‫الباسكال 𝑎𝑃‪.‬‬
‫⃗‬
‫السطح يف نقطة معيّنة و يكون ذو‬
‫إ ّن شعاع اإلجهاد (𝑇) يعرف على أنّه اإلجهاد الذي يؤثّر على ّ‬
‫معني حيث‪:‬‬
‫كمي ّ‬
‫مقدار ّ‬
‫𝐹𝑑‬
‫𝑆𝑑 ‪𝑑𝑆→0‬‬
‫𝑚𝑖𝑙 = ⃗‬
‫𝑇‬
‫السطح فإ ّن اإلجهاد سوف يتحلّل اىل مرّكبتني إحدامها عمودية متثّل‬
‫إذا كان شعاع ّ‬
‫القوة مائل على ّ‬
‫الضغط 𝑝) و األخرى مماسية متثّل إجهاد القص 𝜏‪.‬‬
‫(تسمى ّ‬
‫اإلجهاد العمودي ّ‬
‫مثال‪ِ :‬‬
‫نفرض أ ّن عبارة توزيع السرعة جلريان مست ٍو ملائع لزج تعطى كاآليت‪:‬‬
‫‪𝑉(𝑧) = 3 𝑧 3 + 2 𝑧 2‬‬
‫إذا كان معامل اللزوجة الديناميكية للمائع هو ‪ ،𝜇 = 0.035 𝑁 𝑠 𝑚−2‬أحسب عندئذ قيمة إجهاد‬
‫القص على بعد 𝑚𝑐‪ 30‬من اجلدار‪.‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫لدينا‪:‬‬
‫𝑉𝑑‬
‫)𝑧‪= 𝜇(9𝑧 2 + 4‬‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝜇=𝜏‬
‫و منه فإ ّن قيمة إجهاد القص على بعد 𝑚𝑐‪ 30‬من اجلدار هي‪:‬‬
‫])‪𝜏𝑧=0.3𝑚 = 0.035[9(0.3)2 + 4(0.3‬‬
‫إذن‪:‬‬
‫‪𝜏𝑧=0.3𝑚 = 7.035 ∙ 10−2 𝑁 𝑚−2‬‬
‫‪-7-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪ِِِ.5.1‬قوىِالسِطحِوِقوىِالحجمِ ِ‬
‫السطح و قوى احلجم‪.‬‬
‫تنقسم القوى اخلارجية املؤثّرة على جسيمات املائع إىل قسمني و مها قوى ّ‬
‫نتطرق ّأوال إىل مفهوم تنسور اإلجهادات‪.‬‬
‫لكن قبل أن نعرف ذلك جيب أن ّ‬
‫أ‪ .‬تنسورِاإلجهادات‪:‬‬
‫نريد هنا ّأوال إجياد عبارة اإلجهاد ⃗𝑇 املطبّق على سطح ّاجتاهه كيفي ذو ناظم ⃗𝑛‪ .‬لذلك بادئ ذي بدء‬
‫نعترب سطح عمودي على احملور 𝑥 و ليكن شعاع الوحدة النّاظم على هذا السطح هو 𝑥𝑒 = ⃗𝑛 كما‬
‫هو موضح يف الشكل (‪.)2.1‬‬
‫𝑥𝑦𝜎‬
‫𝑦‬
‫𝑥⃗‬
‫𝑇‬
‫𝑥‬
‫𝑥𝑥𝜎‬
‫⃗𝑛‬
‫𝑥𝑧𝜎‬
‫𝑧‬
‫شكل (‪)2.1‬‬
‫الشكل اآليت‪:‬‬
‫السطح هو 𝑥⃗𝑇 حيث ميكن تفكيكه على ّ‬
‫إ ّن اإلجهاد املطبق على هذا ّ‬
‫𝑧𝑒 𝑥𝑧𝜎 ‪⃗ 𝑥 = 𝜎𝑥𝑥 𝑒𝑥 + 𝜎𝑦𝑥 𝑒𝑦 +‬‬
‫𝑇‬
‫نلحظ أ ّن 𝑥𝑦𝜎 و 𝑥𝑧𝜎 مها مركبتان مماسيتان ناجتتان عن اللّزوجة بينما 𝑥𝑥𝜎 هي مركبة عمودية ناجتة‬
‫الضغط‪.‬‬
‫عن ّ‬
‫السطح عمودي على احملور‬
‫السابقة و باعتبار أ ّن ّ‬
‫بنفس الطّريقة ّ‬
‫‪-8-‬‬
‫𝑦‬
‫مث على احملور 𝑧 جند‪:‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑧𝑒 𝑦𝑧𝜎 ‪⃗ 𝑦 = 𝜎𝑥𝑦 𝑒𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑦 +‬‬
‫𝑇‬
‫𝑧𝑒 𝑧𝑧𝜎 ‪⃗ 𝑧 = 𝜎𝑥𝑧 𝑒𝑥 + 𝜎𝑦𝑧 𝑒𝑦 +‬‬
‫𝑇‬
‫السطح يف املعلم الكارتيزي‬
‫نعترب اآلن سطح ّاجتاهه كيفي‪ ،‬ميكن تفكيك عبارة ّ‬
‫الشعاع الناظم على هذا ّ‬
‫الشكل‪:‬‬
‫على ّ‬
‫𝑧𝑒 𝑧𝑛 ‪𝑛⃗ = 𝑛𝑥 𝑒𝑥 + 𝑛𝑦 𝑒𝑦 +‬‬
‫السطح كاآليت‪:‬‬
‫يف هذه احلالة ميكن كتابة عبارة اإلجهاد املطبّق على هذا ّ‬
‫𝑇 𝑥𝑛 = ⃗‬
‫𝑇 𝑦𝑛 ‪⃗ 𝑥 +‬‬
‫𝑇 𝑧𝑛 ‪⃗ 𝑦 +‬‬
‫𝑧⃗‬
‫𝑇‬
‫بتعويض عبارات 𝑥⃗𝑇‪ 𝑇⃗𝑦 ،‬و 𝑧⃗𝑇 جند‪:‬‬
‫) 𝑧𝑒 𝑦𝑧𝜎 ‪⃗ = 𝑛𝑥 (𝜎𝑥𝑥 𝑒𝑥 + 𝜎𝑦𝑥 𝑒𝑦 + 𝜎𝑧𝑥 𝑒𝑧 ) + 𝑛𝑦 (𝜎𝑥𝑦 𝑒𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑦 +‬‬
‫𝑇‬
‫) 𝑧𝑒 𝑧𝑧𝜎 ‪+ 𝑛𝑧 (𝜎𝑥𝑧 𝑒𝑥 + 𝜎𝑦𝑧 𝑒𝑦 +‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑦𝑒) 𝑧𝑦𝜎 𝑧𝑛 ‪⃗ = (𝑛𝑥 𝜎𝑥𝑥 + 𝑛𝑦 𝜎𝑥𝑦 + 𝑛𝑧 𝜎𝑥𝑧 ) 𝑒𝑥 + (𝑛𝑥 𝜎𝑦𝑥 + 𝑛𝑦 𝜎𝑦𝑦 +‬‬
‫𝑇‬
‫𝑧𝑒) 𝑧𝑧𝜎 𝑧𝑛 ‪+ (𝑛𝑥 𝜎𝑧𝑥 + 𝑛𝑦 𝜎𝑧𝑦 +‬‬
‫و منه يكون‪:‬‬
‫𝑥𝑛 𝑧𝑥𝜎‬
‫] 𝑦𝑛[ ] 𝑧𝑦𝜎‬
‫𝑧𝑛 𝑧𝑧𝜎‬
‫𝑦𝑥𝜎‬
‫𝑦𝑦𝜎‬
‫𝑦𝑧𝜎‬
‫𝑥𝑥𝜎‬
‫𝑥𝑦𝜎[ = ⃗‬
‫𝑇‬
‫𝑥𝑧𝜎‬
‫إذن ميكن أن نكتب‪:‬‬
‫⃗𝑛 ∙ ̿𝑇 = ⃗‬
‫𝑇‬
‫يسمى تنسور اإلجهادات‪ ،‬أو بشكل آخر ميكن أن نكتب (ترميز أينشتاين)‪:‬‬
‫حيث ̿𝑇 ّ‬
‫𝑗𝑛 ∙ 𝑗𝑖𝜎 = 𝑖𝑇‬
‫حيث 𝑗𝑖𝜎 متثّل اإلجهادات الوحدوية‪.‬‬
‫مالحظة‪ِ :‬‬
‫ميكن تفكيك كذلك عبارة اإلجهاد الكلّي‬
‫⃗‬
‫𝑇‬
‫كاآليت‪:‬‬
‫𝜏 ‪⃗ = −𝑝 ∙ 𝑛⃗ +‬‬
‫𝑇‬
‫حيث‪:‬‬
‫‪-9-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝜏 متثل اإلجهاد املماسي الناتج عن اللّزوجة (إجهاد القص)‪.‬‬
‫(الضغط)‪.‬‬
‫)⃗𝑛 ∙ 𝑝‪ (−‬ميثل اإلجهاد العمودي ّ‬
‫و منه‪ ،‬إذا كان املائع مثايل أو يف حالة سكون‪ ،‬بالتّايل ال و جود إلجهاد القص‪ ،‬فإنّه يف هذه احلالة‬
‫تكون عبارة اإلجهاد الكلّي‬
‫⃗‬
‫𝑇‬
‫كاآليت‪:‬‬
‫⃗𝑛 ∙ 𝑝‪⃗ = −‬‬
‫𝑇‬
‫ب‪ .‬قوىِالسطح‪:‬‬
‫السطح‬
‫السطح ليست فقط عمودية على ّ‬
‫نعترب مائع حقيقي (لزج) يف حالة حركة‪ ،‬ففي هذه احلالة قوى ّ‬
‫بل توجد إجهادات مماسية ناشئة عن اللّزوجة (االحتكاكات)‪ .‬ففي نقطة‬
‫يعرب عنها كاآليت‪:‬‬
‫السطح ّ‬
‫ّ‬
‫𝑀‬
‫من سطح 𝑆𝑑‪ّ ،‬قوة‬
‫𝑆𝑑 ⃗‬
‫𝑇 = 𝐹𝑑‬
‫⃗‬
‫موضح يف الشكل (‪ .)3.1‬أو نكتب‬
‫السطح ذو النّاظم ⃗𝑛 كما هو ّ‬
‫حيث 𝑇 ميثّل اإلجهاد املطبّق على ّ‬
‫بشكل آخر (ترميز أينشتاين)‪:‬‬
‫𝑆𝑑 𝑖𝑇 = 𝑖𝐹𝑑‬
‫نعرب عن اإلجهاد 𝑖𝑇 بداللة اإلجهادات الوحدوية 𝑗𝑖𝜎‪ ،‬و بالتّايل تكون عبارة‬
‫كما رأينا سابقا ميكن أن ّ‬
‫السطح كاآليت‪:‬‬
‫قوى ّ‬
‫𝑆𝑑 𝑗𝑛 ∙ 𝑗𝑖𝜎 = 𝑖𝐹𝑑‬
‫ِ‬
‫حاالتِخاصة‪ :‬إذا كان املائع مثايل أو يف حالة سكون و بالتايل ال و جود إلجهاد القص‪ ،‬فإنّه يف‬
‫السطح تكتب مباشرة كاآليت‪:‬‬
‫هذه احلالة قوى ّ‬
‫𝑆𝑑 ⃗𝑛 𝑝‪𝑑𝐹 = −‬‬
‫االجتاه يف النّقطة املعطاة‪.‬‬
‫الساكن أو الستاتيكي و الذي هو مستقل عن ّ‬
‫حيث 𝑝 ميثل ّ‬
‫الضغط ّ‬
‫‪-10-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫ج‪ .‬قوىِالحجم‪:‬‬
‫القوة ( َسواء كانت ثقالية‪ ،‬كهربائية‪ ،‬مغناطيسية ‪ ...‬إخل) تطبّق على جسيمات املائع تأثريات‬
‫إ ّن حقول ّ‬
‫الشكل‬
‫تسمى بقـ ـ ـوى احلجـ ـ ـم و اليت تكـ ـ ـون على ّ‬
‫عن بعد تكون متناسب ـ ـ ـة مع أحجـ ـ ـ ـام اجلسيمات و ّ‬
‫𝓋𝑑 𝐹 𝜌 بالنسبة لعنص ـ ـر احلجـ ـ ـم 𝓋𝑑‪ .‬ففي حالـ ـ ـ ـة وجود حقـ ـ ـ ـ ـل اجلاذبيـ ـ ـ ـة األرضي ـ ـ ـ ـة (𝑔) فقط يكون‬
‫الشكل 𝓋𝑑 𝑔 𝜌 كما هو موضح يف الشكل (‪.)4.1‬‬
‫𝑔 = 𝐹 و بالتايل فإ ّن قوى احلجم تكتب على ّ‬
‫⃗𝑛‬
‫⃗‬
‫𝑇‬
‫𝓋𝑑‬
‫𝑔‬
‫𝑀‬
‫𝑆𝑑‬
‫ِ‬
‫𝓋𝑑 𝑔 𝜌 = 𝐹𝑑‬
‫شكل (‪)3.1‬‬
‫شكل (‪)4.1‬‬
‫‪ِِِ.6.1‬العبارةِاألساسيةِللموائعِالساكنة ِ‬
‫معني من مائع يف حالة سكون حجمه 𝓋‪ ،‬إ ّن جمموع قوى احلجم املطبّقة على املائع املوجود‬
‫نعترب جزء ّ‬
‫الشكل 𝓋𝑑 𝑔 𝜌‬
‫داخل احلجم 𝓋 هي من ّ‬
‫باحلجم 𝓋 هي من الشكل‬
‫𝑆𝑑 ⃗𝑛 𝑝‪−‬‬
‫السطح 𝑆 احمليط‬
‫السطح املطبّقة على ّ‬
‫𝓋∭ و جمموع قوى ّ‬
‫السطح و هو‬
‫𝑆∬ حيث ⃗𝑛 هو شعاع الوحدة النّاظم على ّ‬
‫الشكل (‪( )4.1‬ال وجود إلجهاد القص يف‬
‫موضح يف ّ‬
‫السطح املغلق كما هو ّ‬
‫شعاع ّ‬
‫موجه خارج هذا ّ‬
‫هذه احلالة)‪.‬‬
‫‪𝑑S‬‬
‫⃗𝑛‬
‫𝑆‬
‫𝓋‬
‫𝓋𝑑‬
‫شكل (‪)4.1‬‬
‫‪-11-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫السطح) يكون معدوم‬
‫إ ّن اجملموع الكلّي للقوى املطبّقة على احلجم 𝓋 (و اليت هي متثّل قوى احلجم و ّ‬
‫و ذلك راجع ألن املائع يف حالة سكون و منه‪:‬‬
‫‪∭ 𝜌 𝑔 𝑑𝓋 + ∬ −𝑝 𝑛⃗ 𝑑𝑆 = ⃗0‬‬
‫𝑆‬
‫𝓋‬
‫و باستعمال نظرية أوسرتوغرادسكي جند‪:‬‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 𝑑𝓋 = ⃗0‬‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔‪∭ 𝜌 𝑔 𝑑𝓋 + ∭ −‬‬
‫𝓋‬
‫𝓋‬
‫و منه‪:‬‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 ) 𝑑𝓋 = ⃗0‬‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ‪∭(𝜌 𝑔 −‬‬
‫𝓋‬
‫و هذا يعين أ ّن‪:‬‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 = 0‬‬
‫⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ‪𝜌 𝑔 −‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑔 𝜌 = 𝑝 𝑑𝑎𝑟𝑔‬
‫أو نكتب بشكل آخر‪:‬‬
‫𝑝𝜕‬
‫𝑝𝜕‬
‫𝑝𝜕‬
‫𝑘 𝑔 𝜌‪⃗ = −‬‬
‫⃗‬
‫‪𝑖+‬‬
‫‪𝑗+‬‬
‫𝑘‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫باملطابقة بني طريف املعادلة جند‪:‬‬
‫‪-12-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑝𝜕‬
‫)‪= 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (1‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑝𝜕‬
‫)‪= 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (2‬‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑝𝜕‬
‫)‪{ 𝜕𝑧 = −𝜌 𝑔 ∙∙∙∙∙∙∙ (3‬‬
‫الضغط‬
‫الضغط 𝑝 مستقل عن 𝑥‪ ،‬و من املعادلة (‪ )2‬نستنتج كذلك أن ّ‬
‫من املعادلة (‪ )1‬نستنتج أن ّ‬
‫𝑝‬
‫الضغط 𝑝 ال يتعلّق إال بـ 𝑧 أي أ ّن )𝑧(𝑝 = 𝑝‪ .‬و حسب املعادلة (‪ )3‬جند‬
‫مستقل عن 𝑦‪ .‬و منه فإن ّ‬
‫إذن‪:‬‬
‫𝑝𝑑‬
‫𝑔 𝜌‪= −‬‬
‫𝑧𝑑‬
‫الساكنة على شكلها التفاضلي‪.‬‬
‫و هي متثل العبارة األساسية للموائع ّ‬
‫تطبيقِ(‪ِ:)1‬حالةِالموائعِالغيرِقابلةِلالنضغاط‬
‫الضغط 𝑝 ال يتعلّق إال بـ 𝑧 أي أن )𝑧(𝑝 = 𝑝‪ ،‬و منه‬
‫الساكنة ّ‬
‫كما رأينا سابقا أنّه يف حالة املوائع ّ‬
‫يكون‪:‬‬
‫𝑝𝑑‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝑧𝑑‬
‫= 𝑝𝑑‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑝𝑑‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 ‪𝑑𝑧 +‬‬
‫𝑧𝑑‬
‫∫=𝑝‬
‫الساكنة (على شكلها التّفاضلي)‪:‬‬
‫و منه يكون حسب العبارة األساسية للموائع ّ‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 ‪𝑝 = ∫ −𝜌 𝑔 𝑑𝑧 +‬‬
‫كما أنّنا نعلم أنّه يف حالة املوائع الغري قابلة للنضغاط تكون الكتلة احلجمية ثابتة و منه جند‪:‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 ‪𝑝 = −𝜌 𝑔 𝑧 +‬‬
‫‪-13-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝑧 𝑔 𝜌 ‪𝑝 +‬‬
‫تطبيقِ(‪ِ:)2‬حالةِالموائعِالقابلةِلالنضغاط‬
‫يف حالة املوائع القابلة للنضغاط تكون الكتلة احلجمية للمائع غري ثابتة و تتعلق مباشرة بالضغط و‬
‫هذا األخري يتعلّق باالرتفاع 𝑧‪ .‬ففي حالة غاز مثايل تكون معادلة احلالة من الشكل‪:‬‬
‫𝑇𝑅𝑛=𝓋𝑝‬
‫حيث 𝑅 ميثل ثابت الغازات املثالية‪ 𝑛 ،‬ميثل عدد املوالت يف الغاز و 𝑇 متثل درجة احلرارة املطلقة للغاز‪.‬‬
‫و لدينا‪:‬‬
‫𝓋𝜌‬
‫𝑀‬
‫=‬
‫𝑚‬
‫𝑀‬
‫=𝑛‬
‫حيث 𝑚 متثّل الكتلة‪ 𝑀 ،‬متثّل الكتلة املولية و 𝜌 متثّل الكتلة احلجمية‪.‬‬
‫و منه تكون عبارة الكتلة احلجمية للغاز املثايل كاآليت‪:‬‬
‫𝑀‬
‫𝑇𝑅‬
‫𝑝=𝜌‬
‫بالتعويض يف العبارة األساسية للموائع الساكنة (على شكلها التفاضلي) جند‪:‬‬
‫𝑝𝑑‬
‫𝑀‬
‫𝑝(‪= −‬‬
‫𝑔)‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝑇𝑅‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑝𝑑‬
‫𝑔𝑀‬
‫‪=−‬‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝑝‬
‫𝑇𝑅‬
‫و باعتبار أ ّن درجة احلرارة ثابتة يكون ‪:‬‬
‫𝑔𝑀‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 ‪𝑧 +‬‬
‫𝑇𝑅‬
‫‪-14-‬‬
‫‪ln 𝑝 = −‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫الضغط للغاز املثايل بداللة االرتفاع 𝑧 كاآليت‪:‬‬
‫إذن تكون عبارة ّ‬
‫𝑔𝑀‬
‫)𝑧‬
‫𝑇𝑅‬
‫حيث ‪ 𝑝0‬ميثل الضغط عند االرتفاع‬
‫‪𝑝 = 𝑝0 𝑒𝑥𝑝 (−‬‬
‫‪.𝑧 = 0‬‬
‫‪-15-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫الفصلِالثانيِ–ِسينماتيكِالموائع‬
‫إ ّن علم سينماتيك املوائع يهتم بالوصف التّحليلي جلملة يف حالة حركة‪ .‬و فيما يلي سنهتم بدراسة‬
‫حركة املوائع و ذلك بدون األخذ بعني االعتبار مبسببات هذه احلركة‪.‬‬
‫‪ِِِ.1.2‬وصفِحركةِالموائع‬
‫سنتطرق هنا إىل طريقة الغرانج و طريقة أولر‪.‬‬
‫ّ‬
‫أ‪ .‬طريقةِالغرانج‪ِ :‬‬
‫ترتكز طريقة الغرانج يف دراسة حركة املائع على تتبّع حركة جسيم املائع بشكل فردي‪ ،‬حبيث إذا كانت‬
‫أي حلظة زمنية 𝑡 ستكون‬
‫إحداثيات جسيم من املائع عند اللحظة ‪ 𝑡 = 0‬هي )𝑐 ‪ (𝑎, 𝑏,‬فإنّه عند ّ‬
‫املتغريات األربعة‬
‫تسمى هذه ّ‬
‫إحداثيات هذا اجلسيم )𝑧 ‪ (𝑥, 𝑦,‬تابِعا ل ـ )𝑐 ‪ (𝑎, 𝑏,‬و ّ‬
‫للزمن 𝑡‪ .‬و ّ‬
‫مبتغريات الغرانج‪ .‬مع العلم أ ّن وصف الغرانج هو ذلك الوصف املستعمل يف ميكانيك‬
‫)𝑡 ‪ّ (𝑎, 𝑏, 𝑐,‬‬
‫املادية‪.‬‬
‫النّقطة ّ‬
‫ب‪ِ .‬طريقةِأولر‪ِ :‬‬
‫خلفا لطريقة الغرانج فإ ّن طريقة أولر ال ترتكز على دراسة حركة املائع حب ّد ذاته بل تكمن يف دراسة‬
‫الفراغ املشغول باملائع املتحرك‪ ،‬حيث أ ّن هذه الطريقة هي األنسب يف دراسة حركة املوائع‪ .‬على سبيل‬
‫التغريات اليت حتد للمقادير املميّزة‬
‫املثال خنتار نقطة ما يف الفراغ هلا إحداثيات )𝑧 ‪ (𝑥, 𝑦,‬و ندرس ّ‬
‫للمائع عند هذه النقطة مع مرور الزمن 𝑡 أو باالنتقال من نقطة يف الفراغ إىل أخرى‪ .‬إ ّن هذه املتغريات‬
‫مبتغريات أولر‪ .‬مع العلم أ ّن وصف أولر هو الوصف املستعمل لكل احلقول‬
‫األربعة )𝑡 ‪ (𝑥, 𝑦, 𝑧,‬تس ّمى ّ‬
‫يف الفيزياء‪.‬‬
‫‪-16-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫معرف بداللة متغريات الغرانج )𝑡 ‪ (𝑎, 𝑏, 𝑐,‬كما يلي‪:‬‬
‫مثال‪ :‬نفرض أنه يوجد جريان ّ‬
‫‪1‬‬
‫𝑡 𝑎 𝛽 ‪𝑥 = 𝑎 + 𝛼 𝑡2 +‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑡 𝛾 ‪(∗) {𝑦 = 𝑏 + 𝛽 𝑡 2 + 3‬‬
‫𝑡𝛾𝑏‪𝑧 =𝑐+‬‬
‫متغريات أولر‪.‬‬
‫السرعة 𝑢‪ 𝑣 ،‬و 𝑤 هلذا اجلريان بداللة ّ‬
‫يف هذه احلالة أوجد مركبات ّ‬
‫الحل‪ِ :‬‬
‫لدينا من ملة املعادالت )∗(‪:‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝑎𝛽‪=𝛼𝑡+‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑦𝑑‬
‫= 𝑣 )∗∗(‬
‫𝛾 ‪= 2𝛽 𝑡 + 3‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝑤‬
‫=‬
‫𝛾𝑏=‬
‫{‬
‫𝑡𝑑‬
‫=𝑢‬
‫و كذلك لدينا من ملة املعادالت )∗(‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥 − 𝛼 𝑡2‬‬
‫‪2‬‬
‫=𝑎‬
‫𝑡𝛽‪1+‬‬
‫𝑡 𝛾 ‪𝑏 = 𝑦 − 𝛽 𝑡2 − 3‬‬
‫𝑡 𝛾 𝑏 ‪{𝑐 = 𝑧 −‬‬
‫و منه بتعويض عبارات 𝑎‪ 𝑏 ،‬و 𝑐 يف ملة املعادالت )∗∗( جند‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑥 − 𝛼 𝑡2‬‬
‫‪2‬‬
‫(𝛽‪𝑢 = 𝛼 𝑡 +‬‬
‫)‬
‫𝑡𝛽‪1+‬‬
‫𝛾 ‪𝑣 = 2𝛽 𝑡 + 3‬‬
‫)𝑡 𝛾 ‪{𝑤 = 𝛾 (𝑦 − 𝛽 𝑡 2 − 3‬‬
‫و هي متثل مركبات السرعة بداللة متغريات أولر األربعة )𝑡 ‪.(𝑥, 𝑦, 𝑧,‬‬
‫‪-17-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪ِِِ.2.2‬خطوطِوِأنابيبِالتيار‬
‫أ‪ .‬خطِالتيار‪ِ:‬‬
‫السرعة عند كل نقطة من نقاطه‬
‫خط التيار هو كل منح ٍن )𝐶( يف املائع ّ‬
‫املتحرك حبيث يكون شعاع ّ‬
‫مماسي هلذا املنحين‪.‬‬
‫السرعة ⃗𝑉 و عنصر االنتقال 𝑙𝑑 متوازيني عند كل نقطة من نقاط خط‬
‫من خلل التّعريف يكون شعاع ّ‬
‫التيار كما هو موضح يف الشكل (‪ ،)1.2‬أي أ ّن‪:‬‬
‫‪⃗ = ⃗0‬‬
‫𝑉 ˄ 𝑙𝑑‬
‫𝑀‬
‫و منه يكون‪:‬‬
‫) ‪⃗ (𝑀, 𝑡1‬‬
‫𝑉‬
‫⃗‬
‫𝑘‬
‫⃗‬
‫‪𝑑𝑧| = 0‬‬
‫𝑤‬
‫𝑗‬
‫𝑦𝑑‬
‫𝑣‬
‫𝑖‬
‫𝑥𝑑|‬
‫𝑢‬
‫شكل (‪ )1.2‬خط‬
‫إذن‪:‬‬
‫‪⃗ =0‬‬
‫⃗‬
‫𝑘)𝑦𝑑 𝑢 ‪(𝑤 𝑑𝑦 − 𝑣 𝑑𝑧)𝑖 − (𝑤 𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑𝑧)𝑗 + (𝑣 𝑑𝑥 −‬‬
‫باملطابقة بني طريف املعادلة جند‪:‬‬
‫𝑧𝑑 𝑣 = 𝑦𝑑 𝑤‬
‫𝑧𝑑 𝑢 = 𝑥𝑑 𝑤{‬
‫𝑦𝑑 𝑢 = 𝑥𝑑 𝑣‬
‫و نكتب بشكل آخر‪:‬‬
‫𝑧𝑑 𝑦𝑑‬
‫=‬
‫𝑣‬
‫𝑤‬
‫𝑧𝑑 𝑥𝑑‬
‫=‬
‫𝑢‬
‫𝑤‬
‫𝑦𝑑 𝑥𝑑‬
‫𝑣 = 𝑢{‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫‪-18-‬‬
‫𝑙𝑑‬
‫)𝐶(‬
‫تيار عند اللحظة ‪𝑡1‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑧𝑑 𝑦𝑑 𝑥𝑑‬
‫=‬
‫=‬
‫𝑢‬
‫𝑣‬
‫𝑤‬
‫هذه األخرية متثّل املعادالت التّفاضلية اليت تعرف هبا خطوط التيار‪ .‬كما جيدر التنبيه هنا إىل أ ّن خطوط‬
‫العامة خمتلفة عن خطوط التيار عند‬
‫التيار عند اللّحظة ‪ 𝑡1‬تكون يف احلالة ّ‬
‫اللّحظة ‪.𝑡2‬‬
‫ب‪ .‬أنبوبِالتيار‪ِ:‬‬
‫أنبوب التيار يعرف على أنه السطح الذي ينشأ بأخذ منحين مغلق )𝐶( يف املائع املتحرك و رسم‬
‫موضح يف الشكل (‪.)2.2‬‬
‫املارة جبميع نقاط هذا املنحين املغلق كما هو ّ‬
‫خطوط التيار ّ‬
‫⃗‬
‫𝑉‬
‫)𝐶(‬
‫شكل (‪ )2.2‬أنبوب تيار عند اللحظة‬
‫‪𝑡1‬‬
‫ج‪ .‬خطوطِالتيارِوِالمسارات‪ِ:‬‬
‫جيب التنبيه هنا إىل أ ّن خطوط التيار ختتلف عن املسارات‪ ،‬حيث أنّه لتشكيل خط تيار عند حلظة‬
‫الزمنية بينما املسار يتش ّكل من خلل‬
‫زمنية معيّنة نعترب جسيمات مائع خمتلفة عند نفس اللّحظة ّ‬
‫وضعيات متتالية لنفس جسيم املائع عند حلظات زمنية خمتلفة‪ .‬حيث تعرف املسارات من خلل‬
‫املعادالت التفاضلية اآلتية‪:‬‬
‫𝑧𝑑 𝑦𝑑 𝑥𝑑‬
‫=‬
‫=‬
‫𝑡𝑑 =‬
‫𝑢‬
‫𝑣‬
‫𝑤‬
‫مع العلم أنه من أجل اجلريان ال ّدائم تكون خطوط التيار و املسارات متطابقة‪.‬‬
‫‪-19-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫مثال‪ِ :‬‬
‫متغريات أولر كما يلي‪:‬‬
‫نفرض أنّه يوجد جريان ملائع تعطى عبارة حقل سرعته بداللة ّ‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑢 = 𝑥 𝑦2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑦 ‪{𝑣 = − 1 𝑥 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑤=0‬‬
‫املطلوب حتديد خطوط التيار هلذا اجلريان‪.‬‬
‫الحل‪ِ :‬‬
‫إ ّن هذا اجلريان مست ٍو أل ّن ‪ ،𝑤 = 0‬املعادلة التفاضلية خلطوط التيار يف هذه احلالة هي‪:‬‬
‫𝑦𝑑 𝑥𝑑‬
‫=‬
‫𝑢‬
‫𝑣‬
‫بتعويض عباريت 𝑢 و 𝑣 جند‪:‬‬
‫و منه‪:‬‬
‫باملكاملة جند‪:‬‬
‫𝑦𝑑‬
‫)𝑦‬
‫‪1‬‬
‫‪(−2𝑥 2‬‬
‫=‬
‫𝑥𝑑‬
‫‪1‬‬
‫) ‪( 2𝑥 𝑦 2‬‬
‫‪𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 =‬
‫‪𝑦2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪𝑥2‬‬
‫‪2‬‬
‫و منه فإ ّن شكل خطوط التيار هلذا اجلريان هي عبارة عن دوائر يف املستوي 𝑦𝑂𝑥 مركزها 𝑂‪.‬‬
‫‪ِِِ.3.2‬التدفِقات‬
‫نقصد هنا بالتدفّقات‪ ،‬التدفّق احلجمي و التدفّق الكتلي‪.‬‬
‫‪-20-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫أ‪ .‬التدفِقِالحجمي‪ِ:‬‬
‫الزمن‬
‫موجه خلل وحدة ّ‬
‫بالرمز 𝑣𝑞‪ ،‬و هو ميثّل حجم املائع الذي يعرب سطح ما ّ‬
‫يرمز للتدفّق احلجمي ّ‬
‫(وحدته 𝑠‪ .)𝑚3 /‬فإذا اعتربنا جريان ملائع ما سرعته )𝑡 ‪ 𝑉⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧,‬فإ ّن التدفّق احلجمي للمائع الذي‬
‫السطح 𝑆 هو‪:‬‬
‫يعرب ّ‬
‫)𝑡(𝓋𝑑‬
‫𝑆𝑑 )𝑡 ‪⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧,‬‬
‫𝑉 ∬=‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑆‬
‫= 𝑣𝑞‬
‫ب‪ .‬التدفِقِالكتلي‪ِ:‬‬
‫الزمن‬
‫موجه خلل وحدة ّ‬
‫بالرمز 𝑚𝑞‪ ،‬و هو ميثل كتلة املائع اليت تعرب سطح ما ّ‬
‫يرمز للتدفّق الكتلي ّ‬
‫(وحدته 𝑠‪ .)𝑘𝑔/‬فإذا اعتربنا جريان ملائع ما سرعته )𝑡 ‪ 𝑉⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧,‬فإ ّن التدفق الكتلي للمائع الذي‬
‫السطح 𝑆 هو‪:‬‬
‫يعرب ّ‬
‫)𝑡(𝑚𝑑‬
‫𝑆𝑑 )𝑡 ‪⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧,‬‬
‫𝑉 ∙ )𝑡 ‪= ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧,‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑆‬
‫= 𝑚𝑞‬
‫‪ِِِ.4.2‬االشتقاقِالكلِي ِ‬
‫نعترب دالّة سلّمية )𝑡 ‪ 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧,‬و اليت متثّل مقدار فيزيائي مييّز املائع عند النّقطة اليت إحداثياهتا‬
‫)𝑧 ‪ (𝑥, 𝑦,‬و عند اللحظة 𝑡‪ ،‬إذن‪:‬‬
‫𝐴𝜕‬
‫𝐴𝜕‬
‫𝐴𝜕‬
‫𝐴𝜕‬
‫‪𝑑𝑥 +‬‬
‫‪𝑑𝑦 +‬‬
‫‪𝑑𝑧 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫= 𝐴𝑑‬
‫و منه‪:‬‬
‫𝐴𝜕 𝑧𝑑 𝐴𝜕 𝑦𝑑 𝐴𝜕 𝑥𝑑 𝐴𝜕 𝐴𝑑‬
‫=‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫𝑡𝜕 𝑡𝑑 𝑧𝜕 𝑡𝑑 𝑦𝜕 𝑡𝑑 𝑥𝜕 𝑡𝑑‬
‫‪-21-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫حيث‪:‬‬
‫𝑢=‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝑡𝑑‬
‫‪=𝑣 ،‬‬
‫𝑦𝑑‬
‫𝑡𝑑‬
‫و𝑤=‬
‫𝑧𝑑‬
‫𝑡𝑑‬
‫و منه يكون‪:‬‬
‫𝐴𝜕 𝐴𝑑‬
‫𝐴𝜕‬
‫𝐴𝜕‬
‫𝐴𝜕‬
‫=‬
‫𝑢‪+‬‬
‫𝑣‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫أيضا ميكن أن نكتب‪:‬‬
‫𝐴𝜕 𝐴𝑑‬
‫𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ∙ ⃗‬
‫=‬
‫𝑉‪+‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑡𝜕‬
‫حيث‪:‬‬
‫𝐴𝑑‬
‫متثّل املشت ّقة الكلّية للدالة 𝐴‪.‬‬
‫𝐴𝜕‬
‫متثّل املشت ّقة احمللية للدالة 𝐴‪ ،‬هذا احلد هو ناتج عن عدم استقرار اجلريان‪.‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ∙ ⃗‬
‫𝑉‬
‫متثل املشتقة احلِملية للدالة 𝐴‪ ،‬هذا احلد هو ناتج عن عدم انتظام اجلريان‪.‬‬
‫السرعة للجريان أي )𝑡 ‪ 𝑉⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧,‬يكون عندئذ‪:‬‬
‫و يف حالة إذا كان )𝑡 ‪ 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧,‬ميثل حقل ّ‬
‫⃗‬
‫⃗‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝑉𝜕‬
‫𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ∙ ⃗‬
‫⃗‬
‫=‬
‫𝑉‪+‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑡𝜕‬
‫هذه العلقة األخرية ميكن كتابتها أيضا على الشكل‪:‬‬
‫⃗‬
‫⃗‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝑉𝜕‬
‫‪𝑉2‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑉˄ ⃗‬
‫⃗‬
‫=‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‪+ 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( ) +‬‬
‫𝑉𝑡𝑜𝑟‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑡𝜕‬
‫‪2‬‬
‫مثال‪ِ :‬‬
‫نعترب جريان دائم يتميّز حبقل السرعة اآليت‪:‬‬
‫𝑥𝑘=𝑢‬
‫{‬
‫𝑦𝑘=𝑣‬
‫حيث 𝑘 ثابت‪ .‬املطلوب إجياد عبارة تسارع جسيمات املائع‪.‬‬
‫‪-22-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫الحل‪ِ :‬‬
‫من عبارة املشت ّقة الكلّية لدينا‪:‬‬
‫𝑢𝜕 𝑢𝑑‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫=‬
‫𝑢‪+‬‬
‫𝑣‪+‬‬
‫𝑡𝜕 𝑡𝑑‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑣𝜕 𝑣𝑑‬
‫𝑣𝜕‬
‫𝑣𝜕‬
‫= 𝑦𝑎‬
‫=‬
‫𝑢‪+‬‬
‫𝑣‪+‬‬
‫𝑡𝜕 𝑡𝑑‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫{‬
‫= 𝑥𝑎‬
‫و منه‪:‬‬
‫)‪𝑎𝑥 = (𝑘 𝑥) (𝑘) + (𝑘 𝑦)(0‬‬
‫{‬
‫)𝑘()𝑦 𝑘( ‪𝑎𝑦 = (𝑘 𝑥) (0) +‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑥 ∙ ‪𝑎𝑥 = 𝑘 2‬‬
‫{‬
‫𝑦 ∙ ‪𝑎𝑦 = 𝑘 2‬‬
‫إذن عبارة تسارع جسيمات املائع هي‪:‬‬
‫𝑗 𝑦 ∙ ‪𝑖 + 𝑘2‬‬
‫𝑥 ∙ ‪𝑎 = 𝑘2‬‬
‫أي‪:‬‬
‫)𝑗 𝑦 ‪𝑎 = 𝑘 2 (𝑥 𝑖 +‬‬
‫و ميكن أن نكتب كذلك‪:‬‬
‫𝑟 ∙ ‪𝑎 = 𝑘2‬‬
‫‪ِِِ.5.2‬معادلةِانحفاظِالكتلةِ(معادلةِاالستمرارية) ِ‬
‫ليكن 𝓋 حجم ثابت يف الفضاء و حمدود بسطح مغلق 𝑆‪ .‬و ليكن ⃗𝑛 شعاع الوحدة النّاظم على‬
‫موجه حنو خارج احلجم 𝓋 كما هو موضح يف الشكل (‪.)3.2‬‬
‫السطح و هو ّ‬
‫ّ‬
‫‪-23-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫شكل (‪)3.2‬‬
‫التغري يف الكتلة الكلّية اليت حيتويها‬
‫إ ّن املائع يدخل إىل هذا احلجم و خيرج منه يف كل حلظة حبيث يكون ّ‬
‫السطح‬
‫هذا احلجم بالنّسبة ّ‬
‫للزمن مساويا و معاكسا للتدفق الكتلي للمائع الذي يدخل و خيرج عرب ّ‬
‫𝑆‪ ،‬أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑚𝜕‬
‫𝑆𝑑 ⃗𝑛 ∙ 𝑉 ∙ 𝜌 ∬ ‪= −‬‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑆‬
‫حيث‪:‬‬
‫𝓋𝑑 𝜌 𝓋∭ = 𝑚‬
‫و منه يكون‪:‬‬
‫𝜕‬
‫𝑆𝑑 ⃗𝑛 ∙ 𝑉 ∙ 𝜌 ∬ ‪∭ 𝜌 𝑑𝓋 = −‬‬
‫𝓋 𝑡𝜕‬
‫𝑆‬
‫يف حالتنا هذه ميكن أن نكتب كذلك‪:‬‬
‫𝜌𝜕‬
‫‪𝑑𝓋 + ∬ 𝜌 ∙ 𝑉 ∙ 𝑛⃗ 𝑑𝑆 = 0‬‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑆‬
‫∭‬
‫𝓋‬
‫و هي متثل معادلة احنفاظ الكتلة يف شكلها التكاملي‪.‬‬
‫أو باستعمال نظرية أوسرتوغرادسكي يكون‪:‬‬
‫𝜌𝜕‬
‫‪⃗ ) 𝑑𝓋 = 0‬‬
‫𝑉𝜌(𝑣𝑖𝑑 ∭ ‪𝑑𝓋 +‬‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝓋‬
‫‪-24-‬‬
‫∭‬
‫𝓋‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝜌𝜕‬
‫‪⃗ )] 𝑑𝓋 = 0‬‬
‫𝑉𝜌(𝑣𝑖𝑑 ‪∭ [ +‬‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝓋‬
‫و منه جند‪:‬‬
‫𝜌𝜕‬
‫‪⃗)=0‬‬
‫𝑉𝜌(𝑣𝑖𝑑 ‪+‬‬
‫𝑡𝜕‬
‫خاصة‪ ،‬حسب هذه املعادلة‪ ،‬إذا كان‬
‫و هي متثل معادلة احنفاظ الكتلة يف شكلها احمللي‪ .‬و كحالة ّ‬
‫املائع يف حالة جريان دائم أي‬
‫‪=0‬‬
‫𝜌𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫يكون ‪.𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑉⃗) = 0‬‬
‫و ميكن أن نكتب معادلة احنفاظ الكتلة كذلك على الشكل‪:‬‬
‫𝑉‪⃗ )+‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗‬
‫𝑉(𝑣𝑖𝑑 𝜌 ‪+‬‬
‫)‪𝑔𝑟𝑎𝑑𝜌 = 0 …..(1‬‬
‫𝜌𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫و من جهة أخرى لدينا‪:‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗‬
‫𝑉‪+‬‬
‫)‪𝑔𝑟𝑎𝑑𝜌 …...(2‬‬
‫𝜌𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫=‬
‫𝜌𝑑‬
‫𝑡𝑑‬
‫جبمع املعادلتني (‪ )1‬و (‪ )2‬طرفا لطرف جند‪:‬‬
‫𝜌𝑑‬
‫‪⃗)=0‬‬
‫𝑉(𝑣𝑖𝑑 𝜌 ‪+‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫خاصة‪ ،‬حسب هذه املعادلة‪ ،‬إذا كان اجلريان غري قابل للنضغاط يكون‪:‬‬
‫و كحالة ّ‬
‫‪⃗)=0‬‬
‫𝑉(𝑣𝑖𝑑‬
‫أي‪:‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑤𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑣𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪+ 𝜕𝑦 +‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫ِ‬
‫‪-25-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫مثال‪ِ :‬‬
‫نفرض أنّه يوجد جريان دائم تعطى عبارة توزيع سرعته كاآليت‪:‬‬
‫‪𝑢 = 3𝑥 𝑦2 + 2𝑥 + 𝑦2‬‬
‫‪𝑣 = 𝑥2 − 2𝑦 − 𝑦3‬‬
‫{‬
‫هل هذا اجلريان غري قابل للنضغاط؟‬
‫الحل‪ِ :‬‬
‫لإلجابة عن ذلك حنسب‬
‫)⃗‬
‫𝑉(𝑣𝑖𝑑‪:‬‬
‫لدينا‪:‬‬
‫𝑣𝜕 𝑢𝜕‬
‫‪+‬‬
‫𝑦𝜕 𝑥𝜕‬
‫=)⃗‬
‫𝑉(𝑣𝑖𝑑‬
‫و منه‪:‬‬
‫) ‪⃗ ) = (3𝑦 2 + 2) + (−2 − 3𝑦 2‬‬
‫𝑉(𝑣𝑖𝑑‬
‫إذن‪:‬‬
‫‪⃗)=0‬‬
‫𝑉(𝑣𝑖𝑑‬
‫و منه نستنتج أ ّن هذا اجلريان غري قابل للنضغاط‪.‬‬
‫‪ِِِ.6.2‬دراسةِسينماتيكية للجرياناتِالغيرِدورانية ِ‬
‫أ‪ .‬مقدِمة‪ِ:‬‬
‫لتغريات يف و ضعيته و يف ا ّجتاهه ويف شكله‪ .‬و بشكل عام فإ ّن‬
‫خلل حركته‪ ،‬جسيم املائع خيضع ّ‬
‫موضح يف الشكل (‪.)4.2‬‬
‫تشوه كما هو ّ‬
‫حركة جسيم املائع مركبة من انسحاب و دوران و ّ‬
‫‪-26-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫و منه يف حالة غياب ال ّدوران مثل نقول عن اجلريان أنّه غري دوراين‪.‬‬
‫انسحاب‬
‫دوران‬
‫تشوه‬
‫ّ‬
‫شكل (‪)4.2‬‬
‫ب‪ .‬الجريانِالكموني‪ِ:‬‬
‫السرعة حي ّقق‪:‬‬
‫إ ّن اجلريان الذي يتميّز بوجود دالة سلمية )𝑧 ‪ 𝛷(𝑥, 𝑦,‬حيث يكون شعاع ّ‬
‫)𝑧 ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛷(𝑥, 𝑦,‬‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 = ⃗‬
‫𝑉‬
‫السرعات‪.‬‬
‫يسمى جريان كموين‪ ،‬و الدالة السلمية )𝑧 ‪ّ 𝛷(𝑥, 𝑦,‬‬
‫تسمى كمون ّ‬
‫‪ ‬إ ّن اجلريان الكموين هو جريان غري دوراين‪ ،‬بالفعل لدينا‪:‬‬
‫𝑘 𝛷𝜕 ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛷(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜕𝛷 𝑖 + 𝜕𝛷 𝑗 +‬‬
‫⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 = ⃗‬
‫𝑉‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫إذن‪:‬‬
‫‪-27-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫⃗‬
‫𝑘‬
‫| 𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫| 𝛷𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑖‬
‫𝜕|‬
‫𝑥𝜕 = ⃗‬
‫𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑡𝑜𝑟‬
‫𝛷𝜕|‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑗‬
‫𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝛷𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫⃗‬
‫𝑘 ])𝛷𝜕( 𝜕 ‪⃗ = [ 𝜕 (𝜕𝛷) − 𝜕 (𝜕𝛷)] 𝑖 − [ 𝜕 (𝜕𝛷) − 𝜕 (𝜕𝛷)] 𝑗 + [ 𝜕 (𝜕𝛷) −‬‬
‫𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑡𝑜𝑟‬
‫𝑧𝜕 𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕 𝑧𝜕‬
‫𝑥𝜕 𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕 𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕 𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕 𝑥𝜕‬
‫و منه جند أ ّن‪:‬‬
‫‪⃗ = ⃗0‬‬
‫𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑡𝑜𝑟‬
‫و عليه فإن اجلريان غري دوراين‪.‬‬
‫‪ ‬إ ّن معادلة سطوح تساوي الكمون تكتب على الشكل‪:‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 = )𝑧 ‪𝛷(𝑥, 𝑦,‬‬
‫إذن خلل انتقال عنصري 𝑙𝑑 على سطح تساوي كمون كما هو موضح يف الشكل (‪ )5.2‬يكون‪:‬‬
‫‪𝑑𝛷 = 0‬‬
‫‪𝛷1‬‬
‫‪𝛷2‬‬
‫𝑙𝑑‬
‫شكل (‪)5.2‬‬
‫‪-28-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫و منه‪:‬‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛷 ∙ 𝑑𝑙 = 0‬‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝛷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔‬
‫السرعة ⃗𝑉 هو عمودي‬
‫هو عمودي على االنتقال العنصري 𝑙𝑑 و بالتّايل فإ ّن شعاع ّ‬
‫السرعة) تكون‬
‫على االنتقال العنصري 𝑙𝑑‪ .‬و منه نستنتج أ ّن خطوط التيار (اليت هي مماسية لشعاع ّ‬
‫عمودية على سطوح تساوي الكمون‪.‬‬
‫‪ ‬يف حالة اجلريان الكموين الدائم و الغري قابل للنضغاط يكون‬
‫𝑉 𝑣𝑖𝑑 و 𝛷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 = ⃗‬
‫‪⃗ =0‬‬
‫𝑉‬
‫ومنه جند‪:‬‬
‫‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛷) = 0‬‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔( 𝑣𝑖𝑑‬
‫أي أ ّن اجلريان الكموين ال ّدائم و الغري قابل للنضغاط حيقق‪:‬‬
‫‪∆𝛷 = 0‬‬
‫حيث ∆ ميثّل مؤثّر البلس‪:‬‬
‫𝛷 ‪𝜕2‬‬
‫𝛷 ‪𝜕2‬‬
‫‪𝜕𝑧 2‬‬
‫𝑦𝜕‬
‫‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪+‬‬
‫𝛷 ‪𝜕2‬‬
‫‪𝜕𝑥 2‬‬
‫= 𝛷∆‬
‫ج‪ .‬دراسةِتحليليةِللجرياناتِالمستويةِالغيرِدورانية‪ِ:‬‬
‫اللهناية تعرتضه أسطوانة عمودية‬
‫نعترب جريان مست ٍو غري قابل لإلنضغاط و دائم سرعته منتظمة عند ّ‬
‫موضح يف الشكل (‪.)6.2‬‬
‫السرعة كما هو ّ‬
‫على ّإجتاه ّ‬
‫‪-29-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫شكل (‪)6.2‬‬
‫السرعة يف كل نقاط اجلريان يكون موا ٍز للمستوي 𝑦𝑂𝑥 أي أ ّن‬
‫‪ ‬بسبب التناظر‪ ،‬متّجه ّ‬
‫كذلك اجلريان يتم بشكل متماثل يف كل مست ٍو موا ٍز للمستوي 𝑦𝑂𝑥 أي أ ّن‪ .𝜕𝑧𝜕 = 0 :‬و مبا أ ّن‬
‫‪.𝑤 = 0 :‬‬
‫اجلريان دائم و غري قابل للنضغاط إذن معادلة االستمرارية هلذا اجلريان ميكن كتابتها على الشكل‬
‫اآليت‪:‬‬
‫𝑣𝜕 𝑢𝜕‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑦𝜕 𝑥𝜕‬
‫بالرمز )𝑦 ‪ ،𝛹(𝑥,‬إ ّن هذه‬
‫‪ ‬من جهة أخر نعرف دالة سلّمية جديدة ّ‬
‫تسمى دالة التيار و يرمز هلا ّ‬
‫الدالة السلّمية )𝑦 ‪ 𝛹(𝑥,‬حتقق‪:‬‬
‫𝛹𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝛹𝜕‬
‫‪𝑣=−‬‬
‫{‬
‫𝑥𝜕‬
‫=𝑢‬
‫‪-30-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫السرعة يف كل نقطة من اجلريان‪ .‬كذلك من خصائص‬
‫مبعرفة دالة التيار )𝑦 ‪ 𝛹(𝑥,‬ميكن استنتاج حقل ّ‬
‫دالة التيار ّأهنا ثابتة على نفس خط التيار‪ ،‬بالفعل خلل انتقال عنصري 𝑙𝑑 على خط التيار يكون‪:‬‬
‫𝑙𝑑 ∙ 𝛹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 = 𝛹𝑑‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝛹𝜕‬
‫𝛹𝜕‬
‫‪𝑑𝑥 +‬‬
‫𝑦𝑑‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫= 𝛹𝑑‬
‫و منه‪:‬‬
‫)‪𝑑𝛹 = −𝑣 𝑑𝑥 + 𝑢 𝑑𝑦 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (1‬‬
‫و من جهة أخرى كما رأينا سابقا فإ ّن املعادلة التفاضلية خلط التيار تكتب على الشكل‪:‬‬
‫𝑦𝑑 𝑥𝑑‬
‫=‬
‫𝑢‬
‫𝑣‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑦𝑑 𝑢 = 𝑥𝑑 𝑣‬
‫و بالتّعويض يف املعادلة (‪ )1‬جند‪:‬‬
‫‪𝑑𝛹 = 0‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝛹‬
‫و منه نستنتج أ ّن دالة التيار ثابتة على نفس خط التيار و كذلك أنّه لكل خط تيار دالة تيار ثابتة‬
‫متيزه‪.‬‬
‫‪ ‬إ ّن دالة التيار حتقق ‪ ،∆𝛹 = 0‬بالفعل لدينا‪:‬‬
‫⃗‬
‫‪⃗ =0‬‬
‫𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑡𝑜𝑟‬
‫و ذلك أل ّن اجلريان غري دوراين‪ ،‬إذن‪:‬‬
‫‪-31-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫⃗‬
‫𝑘‬
‫‪𝜕 | = ⃗0‬‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑤‬
‫𝑗‬
‫𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑣‬
‫𝑖‬
‫𝜕|‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑢‬
‫حيث ‪ 𝑤 = 0‬و ‪ 𝜕𝑧𝜕 = 0‬كما رأينا ذلك سابقا‪ ،‬و منه يكون‪:‬‬
‫𝑢𝜕 𝑣𝜕‬
‫=‬
‫𝑦𝜕 𝑥𝜕‬
‫و بتعويض عباريت 𝑢 و 𝑣 جند‪:‬‬
‫𝜕‬
‫𝛹𝜕‬
‫𝛹𝜕 𝜕‬
‫= ) ‪(−‬‬
‫) (‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕 𝑦𝜕‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝛹‪𝜕2𝛹 𝜕2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2‬‬
‫و منه‪:‬‬
‫‪∆𝛹 = 0‬‬
‫‪ ‬إ ّن داليت التيار و الكمون حيققان شروط كوشي‪-‬رميان و ذلك أل ّن‪:‬‬
‫𝛹𝜕 𝛷𝜕‬
‫=‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝛷𝜕‬
‫𝛹𝜕‬
‫=𝑣‬
‫‪=−‬‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫{‬
‫=𝑢‬
‫و عليه تعرف دالّة الكمون املرّكب الدالّة‬
‫)𝑧(𝐹‬
‫حيث‪:‬‬
‫)𝑦 ‪𝐹(𝑧) = 𝛷(𝑥, 𝑦) + 𝑖 ∙ 𝛹(𝑥,‬‬
‫مع العلم‬
‫أ ّن‪𝑧 = 𝑥 + 𝑖 𝑦 :‬‬
‫يف االحداثيات الكارتيزية و‬
‫𝜃𝑖 𝑒 𝑟 = 𝑧‬
‫يف االحداثيات القطبية‪.‬‬
‫إ ّن من أمهّية استعمال دالة الكمون املرّكب هو مع دالّيت التيار و الكمون يف دالّة واحدة هي )𝑧(𝐹‪.‬‬
‫‪-32-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫مثال‪ِ:‬جريان من منبع أو حنو بئر (بالوعة) ِ‬
‫نعترب جريان يتميّز بالكمون املرّكب اآليت‪:‬‬
‫)𝜃 𝑖 ‪𝐹(𝑧) = 𝐴(ln 𝑟 +‬‬
‫حيث‪ ،𝑧 = 𝑟 𝑒 𝑖𝜃 :‬و 𝐴 ثابت‪.‬‬
‫‪-1‬‬
‫أوجد داليت الكمون و التيار هلذا اجلريان‪.‬‬
‫‪-2‬‬
‫ماذا متثّل خطوط التيار و خطوط تساوي الكمون هلذا اجلريان‪.‬‬
‫‪-3‬‬
‫السرعة هلذا اجلريان‪.‬‬
‫أوجد مرّكبات ّ‬
‫احلل‪:‬‬
‫‪-1‬‬
‫إجياد داليت الكمون 𝛷 و التيار 𝛹 هلذا اجلريان‪:‬‬
‫لدينا من املعطيات‪:‬‬
‫𝜃 𝐴 𝑖 ‪𝐹(𝑧) = 𝐴 ln 𝑟 +‬‬
‫و من جهة أخرى حسب تعريف دالة الكمون املرّكب لدينا‪:‬‬
‫𝛹 ∙ 𝑖 ‪𝐹(𝑧) = 𝛷 +‬‬
‫حيث 𝛷 متثّل دالة الكمون املركب و 𝛹 متثل دالة التيار‪ ،‬باملطابقة إذن جند ‪:‬‬
‫𝑟 ‪𝛷 = 𝐴 ln‬‬
‫𝜃𝐴= 𝛹‬
‫‪-2‬‬
‫خطوط التيار و خطوط تساوي الكمون هلذا اجلريان‪:‬‬
‫كما رأينا سابقا‪ ،‬إ ّن خطوط التيار حت ّقق العلقة‪:‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝛹‬
‫و بتعويض عبارة دالة التيار 𝛹 جند‪:‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝜃 𝐴‬
‫‪-33-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫و منه مهما كانت قيمة 𝑟 فإ ّن ‪:‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝜃‬
‫و بالتّايل فإ ّن خطوط التيار هلذا اجلريان متثّل مستقيمات قطرية‪.‬‬
‫و من جهة أخرى كما رأينا سابقا‪ ،‬إ ّن خطوط تساوي الكمون حت ّقق العلقة‪:‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝛷‬
‫و بتعويض عبارة دالة الكمون 𝛷 جند‪:‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝑟 ‪𝐴 ln‬‬
‫و منه مهما كانت قيمة 𝜃 فإ ّن ‪:‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝑟‬
‫و بالتايل فإ ّن خطوط تساوي الكمون هلذا اجلريان متثّل دوائر مركزها 𝑂 و نصف قطرها 𝑟‪.‬‬
‫‪-3‬‬
‫السرعة هلذا اجلريان‪:‬‬
‫مرّكبات ّ‬
‫السرعة هلذا اجلريان نستعمل العلقة‪:‬‬
‫إلجياد مركبات ّ‬
‫𝛷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 = ⃗‬
‫𝑉‬
‫و باستعمال االحداثيات القطبية يكون‪:‬‬
‫𝛷𝜕‬
‫𝛷𝜕 ‪1‬‬
‫‪⃗𝑟+‬‬
‫⃗‬
‫𝑈‬
‫𝑈‬
‫𝑟𝜕‬
‫𝜃 𝜃𝜕 𝑟‬
‫= ⃗‬
‫𝑉‬
‫و بتعويض عبارة دالة الكمون 𝛷 جند‪:‬‬
‫𝜕‬
‫𝜕 ‪1‬‬
‫‪⃗𝑟 +‬‬
‫𝜃⃗‬
‫𝑈)𝑟 ‪(𝐴 ln‬‬
‫𝑈)𝑟 ‪(𝐴 ln‬‬
‫𝑟𝜕‬
‫𝜃𝜕 𝑟‬
‫ومنه جند‪:‬‬
‫𝐴‬
‫⃗‬
‫𝑈‬
‫𝑟 𝑟‬
‫= ⃗‬
‫𝑉‬
‫‪-34-‬‬
‫= ⃗‬
‫𝑉‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫إذن ميكننا متييز حالتني‪:‬‬
‫االجتاه‪ ،‬يف هذه احلالة يكون مصدر اجلريان هو‬
‫‪ ‬إذا كان ‪ :𝐴 > 0‬أي أ ّن ⃗𝑉 و 𝑟⃗𝑈 هلما نفس ّ‬
‫منبع‪.‬‬
‫االجتاه‪ ،‬يف هذه احلالة يكون مصدر اجلريان‬
‫‪ ‬إذا كان ‪ :𝐴 < 0‬أي أ ّن ⃗𝑉 و 𝑟⃗𝑈 متعاكسني يف ّ‬
‫هو بئر‪.‬‬
‫و نلخص ذلك يف الشكل (‪.)7.2‬‬
‫𝑦‬
‫⃗‬
‫𝑉‬
‫𝑟⃗‬
‫𝑈‬
‫⃗‬
‫𝑉‬
‫𝜃‬
‫𝑥‬
‫شكل (‪)7.2‬‬
‫‪-35-‬‬
‫حالةِبئر‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫الفصلِالثالثِ–ِديناميكِالموائع‬
‫‪ِِِ.1.3‬مقدِمة ِ‬
‫إ ّن املعادالت اليت جيب تشكيلها إلجياد املقادير املميّزة للمائع يف كل نقطة ويف كل حلظة يعتمد على‬
‫عدد اجملاهيل‪ ،‬حبيث أ ّن كل مسألة يف ميكانيك املوائع احلقيقية حتوي ستّة جماهيل و هي‪:‬‬
‫‪ ‬السرعة ⃗𝑉 (بثلثة مركبات و هي 𝑢‪ 𝑣 ،‬و 𝑤)‬
‫‪ ‬الكتلة احلجمية‬
‫الضغط‬
‫‪ّ ‬‬
‫‪ρ‬‬
‫𝑝‬
‫‪ ‬درجة احلرارة‬
‫𝑇‬
‫إذن إلجياد هذه املقادير الستّة جيب تشكيل ستّة معادالت و هي‪:‬‬
‫‪ ‬معادلة احنفاظ الكتلة أو معادلة االستمرارية كما رأيناها يف الفصل الثّاين‪.‬‬
‫كمية احلركة و هي معادلة شعاعية مكافئة إىل ثل معادالت سلّمية‪.‬‬
‫‪ ‬معادلة احنفاظ ّ‬
‫‪ ‬معادلة احنفاظ الطّاقة‪.‬‬
‫الشكل ‪.𝑓(𝑝, 𝜌, 𝑇) = 0‬‬
‫‪ ‬معادلة مميّزة للمائع من ّ‬
‫و منه إذا اعتربنا أ ّن املائع درجة حرارته ثابتة و أ ّن اجلريان غري قابل للنضغاط أي أ ّن 𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝜌‪ ،‬يف‬
‫السرعة مبرّكباهتا الثّل 𝑢‪ 𝑤 ، 𝑣 ،‬و‬
‫هذه احلالة يكون عدد اجملاهيل أربعة فقط و هم على التّوايل ّ‬
‫الضغط 𝑝‪ .‬و املعادالت اليت يستوجب تشكيلها يف هذه احلالة هي معادلة االستمرارية و معادلة احنفاظ‬
‫ّ‬
‫كمية احلركة و هي معادلة شعاعية مكافئة إىل ثل معادالت سلّمية‪ ،‬و هذا ما سنراه يف هذا الفصل‪.‬‬
‫ّ‬
‫كمية احلركة و تطبيقها مثل من أجل حساب القوى اليت‬
‫طرق أوال إىل نظرية احنفاظ ّ‬
‫و قبل ذلك سنت ّ‬
‫السطح امللمس له‪.‬‬
‫يؤثّر هبا املائع ّ‬
‫املتحرك على ّ‬
‫‪-36-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫انحفاظِكميةِالحركة ِ‬
‫ِ‬
‫‪ِِ.2.3‬نظريةِ‬
‫مادي 𝓋 من املائع (حيوي جمموعة معيّنة من جسيمات‬
‫من أجل املوائع‪ ،‬و يف حالة إذا اعتربنا حجم ّ‬
‫كمية‬
‫كمية احلركة تنص على أ ّن مقدار الت ّ‬
‫غري الكلّي يف ّ‬
‫املائع) يتبَع خلل حركته فإ ّن نظرية احنفاظ ّ‬
‫للزمن يساوي جمموع القوى اخلارجية (قوى احلجم و قوى السطح)‬
‫حركة هذا احلجم ّ‬
‫املادي بالنّسبة ّ‬
‫املادي و يف هذه احلالة ميكن أن نكتب اآليت‪:‬‬
‫املؤثّرة على هذا احلجم ّ‬
‫)⃗‬
‫𝑉 𝜌(𝑑‬
‫𝑡𝑥𝑒𝐹 ∑ = 𝓋𝑑‬
‫𝑡𝑑‬
‫∭‬
‫𝓋‬
‫كمية احلركة يف وحدة حجم املائع‪.‬‬
‫حيث املقدار )⃗𝑉 𝜌( ميثّل ّ‬
‫دائما من أجل املوائع‪ ،‬نعترب اآلن حجم 𝓋 ثابت من الفضاء و حمدود بسطح مغلق 𝑆 حبيث املائع‬
‫يدخل إىل هذا احلجم و خيرج منه يف كل حلظة (نظام مفتوح)‪ .‬و ليكن ⃗𝑛 شعاع الوحدة النّاظم‬
‫الشكل (‪.)1.3‬‬
‫موضح يف ّ‬
‫موجه حنو خارج احلجم 𝓋 كما هو ّ‬
‫السطح و هو شعاع ّ‬
‫على ّ‬
‫‪𝑑S‬‬
‫𝑆‬
‫𝓋‬
‫⃗𝑛‬
‫𝓋𝑑‬
‫شكل (‪)1.3‬‬
‫مبا أ ّن النّظام مفتوح أي املائع يدخل إىل حجم املراقبة 𝓋 احملدود بال ّسطح‬
‫𝑆‬
‫و خيرج منه يف كل حلظة‪،‬‬
‫كمية احلركة يف هذه احلالة كاآليت‪:‬‬
‫إذن ميكن كتابة معادلة احنفاظ ّ‬
‫)⃗‬
‫𝑉 𝜌(𝜕‬
‫𝑉( ⃗‬
‫𝑡𝑥𝑒𝐹 ∑ = 𝑆𝑑)⃗𝑛 ⃗‬
‫𝑉 𝜌 ∬ ‪𝑑𝓋 +‬‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑆‬
‫‪-37-‬‬
‫∭‬
‫𝓋‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫الكمية‬
‫كمية احلركة يف وحدة حجم املائع‪ ،‬و ّ‬
‫الكمية )⃗𝑉 𝜌( متثّل ّ‬
‫حيث ّ‬
‫السطح املغلق 𝑆‪.‬‬
‫تدفّق ّ‬
‫كمية احلركة عرب ّ‬
‫𝑉( ⃗‬
‫𝑆𝑑)⃗𝑛 ⃗‬
‫𝑉𝜌‬
‫𝑆∬ متثّل‬
‫⃗‬
‫) 𝑉 𝜌(𝜕‬
‫الشكل اآليت‪:‬‬
‫على‬
‫كة‬
‫احلر‬
‫ية‬
‫كم‬
‫احنفاظ‬
‫معادلة‬
‫تصبح‬
‫منه‬
‫و‬
‫يف حالة اجلريان الدائم يكون ‪= 0‬‬
‫ّ‬
‫ّ‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑉( ⃗‬
‫𝑡𝑥𝑒𝐹 ∑ = 𝑆𝑑)⃗𝑛 ⃗‬
‫𝑉𝜌 ∬‬
‫𝑆‬
‫و بالتّايل فإنّه يف حالة اجلريان ال ّدائم يكون جمموع القوى اخلارجية املؤثّرة على املائع املوجود داخل‬
‫يسمى أيضا بنظرية أولر‪.‬‬
‫السطح و هو ما ّ‬
‫السطح املغلق 𝑆 مساويا لتدفّق ّ‬
‫كمية احلركة عرب كامل هذا ّ‬
‫ّ‬
‫كمية احلركة يف ع ّدة مسائل نذكر من بينها حساب القوى املطبّقة‬
‫إذن ميكن استعمال نظرية احنفاظ ّ‬
‫على جدار األنبوب يف املناطق اليت حيد فيها تغيريات مفاجئة يف املقطع كاالتّساع املفاج أو الّتدرجيي‬
‫الصفائح املستوية و املنحنية و‬
‫و التّضييق املفاج أو التّدرجيي‪ ،‬و كذلك حساب القوى املطبّقة على ّ‬
‫كذلك حس ـ ـ ـ ـ ـاب القوى املطبّقـ ـ ـ ـ ـة على جدار األنبـ ـ ـ ـ ـوب يف املناطـ ـ ـ ـ ـق اليت حي ـ ـ ـ ـد فيها تغيريات يف‬
‫االجتاه ‪ ...‬إخل‪.‬‬
‫ّ‬
‫مثال‪ِ :‬‬
‫نعترب أنبوب مساحة مقطعه ‪ 𝑆1‬مثّ يتقارب تدرجييا إىل أن تصبح مساحة مقطعه ‪ ،𝑆2‬و ليكن‬
‫الضغط‬
‫الضغط عند مدخل اجلزء املتقارب و ‪ّ 𝑝2‬‬
‫𝑚𝑞 التدفّق الكتلي للمائع الذي بداخله‪ّ 𝑝1 ،‬‬
‫الشكل (‪ .)2.3‬نعترب اجلريان دائم كما هنمل قوى‬
‫موضح يف ّ‬
‫عند خمرج اجلزء املتقارب كما هو ّ‬
‫احلجم‪ .‬نريد إجياد عبارة ّقوة ال ّدفع 𝐹 املطبّقة من طرف املائع على جدار اجلزء املتقارب من‬
‫األنبوب‪.‬‬
‫‪-38-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑦‬
‫𝑦𝐹‬
‫𝑥‬
‫𝑥𝐹‬
‫‪𝑉2‬‬
‫‪𝑉1‬‬
‫‪𝑝2‬‬
‫‪𝑆2‬‬
‫‪𝑝1‬‬
‫𝐿𝑆‬
‫‪𝑆1‬‬
‫شكل (‪)2.3‬‬
‫كمية احلركة بالنّسبة حلجم املراقبة املشكل ألنبوب‬
‫مبا أ ّن اجلريان دائم‪ ،‬إذن بتطبيق نظرية احنفاظ ّ‬
‫الشكل (اخلطوط املتقطّعة) يكون لدينا‪:‬‬
‫التيّار املوضح يف ّ‬
‫𝑉( ⃗‬
‫𝑡𝑥𝑒𝐹 ∑ = 𝑆𝑑)⃗𝑛 ⃗‬
‫𝑉𝜌 ∬‬
‫𝑆‬
‫و منه جند‪:‬‬
‫𝑉( ‪⃗ 1‬‬
‫𝑉 𝜌 ∬ ‪⃗ 1 𝑛⃗1 )𝑑𝑆 +‬‬
‫𝑉( ‪⃗ 2‬‬
‫𝑉 𝜌 ∬ ‪⃗ 2 𝑛⃗2 )𝑑𝑆 +‬‬
‫𝑉( 𝐿 ⃗‬
‫⃗𝑃 ‪⃗ 𝐿 𝑛⃗𝐿 )𝑑𝑆 = 𝑅⃗ +‬‬
‫𝑉 𝜌 𝑆∬‬
‫𝑆‬
‫𝑆‬
‫‪2‬‬
‫𝐿‬
‫‪1‬‬
‫⃗‬
‫⃗‬
‫السطح اجلانيب ألنبوب التيار‪.‬‬
‫السطح‪ 𝑃 ،‬متثل قوى احلجم و 𝐿𝑆 متثل مساحة ّ‬
‫حيث‪ 𝑅 :‬متثل قوى ّ‬
‫و منه يكون‪:‬‬
‫𝑉 𝑚𝑞 ‪⃗ 1 +‬‬
‫⃗𝑃 ‪⃗ 2 + ⃗0 = 𝑅⃗ +‬‬
‫𝑉 𝑚𝑞‪−‬‬
‫حيث‪:‬‬
‫‪⃗1‬‬
‫𝑉‬
‫متثّل سرعة دخول املائع للجزء املتقارب أي حلجم املراقبة‪.‬‬
‫‪⃗2‬‬
‫𝑉‬
‫متثّل سرعة خروج املائع من اجلزء املتقارب أي من حجم املراقبة‪.‬‬
‫مبا أ ّن قوى احلجم مهملة‪ ،‬إذن باإلسقاط جند‪:‬‬
‫‪-39-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑥𝐹 ‪−𝑞𝑚 𝑉1 + 𝑞𝑚 𝑉2 = 𝑝1 𝑆1 − 𝑝2 𝑆2 −‬‬
‫𝑦𝐹‪0 = −‬‬
‫حيث 𝑥𝐹 و 𝑦𝐹 متثل مركبات ّقوة ال ّدفع‬
‫𝐹‬
‫{‬
‫املطبّقة من طرف املائع على جدار اجلزء املتقارب‬
‫القوة املطبّقة من طرف جدار اجلزء املتقارب من األنبوب على املائع‪.‬‬
‫من األنبوب إذن 𝐹‪ −‬متثّل ّ‬
‫السطح‬
‫‪ 𝑝1 𝑆1‬متثّل ّقوة ّ‬
‫الضغط املطبّقة على ّ‬
‫السطح ‪ .𝑆2‬و منه يكون‪:‬‬
‫ّ‬
‫‪𝑆1‬‬
‫الضغط املطبّقة على‬
‫و ‪ 𝑝2 𝑆2‬متثّل ّقوة ّ‬
‫) ‪𝐹 = 𝑝1 𝑆1 − 𝑝2 𝑆2 − 𝑞𝑚 (𝑉1 − 𝑉2‬‬
‫𝑥 { ‪𝐹:‬‬
‫‪𝐹𝑦 = 0‬‬
‫‪ِِِ.3.3‬منِنظريةِانحفاظِكمِيةِالحركةِإلىِمعادلتيِأولرِوِبرنولي ِ‬
‫أ‪ .‬معادلةِأولر‪:‬‬
‫مادي 𝓋 من املائع (حيوي جمموعة معيّنة من جسيمات املائع) حمدود بسطح مغلق 𝑆 و‬
‫نعترب حجم ّ‬
‫موجه حنو خارج احلجم‬
‫السطح و هو شعاع ّ‬
‫يتبع خلل حركته‪ .‬و ليكن ⃗𝑛 شعاع الوحدة النّاظم على ّ‬
‫الشكل (‪.)3.3‬‬
‫موضح يف ّ‬
‫𝓋 كما هو ّ‬
‫⃗𝑛‬
‫𝑆𝑑‬
‫𝑧𝑒‬
‫𝓋‬
‫𝑆‬
‫شكل (‪)3.3‬‬
‫𝑦𝑒‬
‫𝑥𝑒‬
‫املادي‬
‫إ ّن جمموع قوى احلجم اخلارجية املطبّقة على احلجم ّ‬
‫𝓋𝑑 𝐹 𝜌 𝓋∭ حبيث إذا اعتربنا حالة وجود حقل اجلاذبية األرضية فقط يكون 𝑧𝑒 𝑔‪.𝐹 = 𝑔 = −‬‬
‫𝓋‬
‫الشكل‬
‫من املائع هي من ّ‬
‫املادي 𝓋 هي من‬
‫السطح 𝑆 احمليط باحلجم ّ‬
‫السطح املطبّقة على ّ‬
‫و من جهة أخرى‪ ،‬إ ّن جمموع قوى ّ‬
‫الشكل‬
‫𝑆𝑑 ⃗‬
‫𝑇‬
‫⃗‬
‫السطح ذو النّاظم ⃗𝑛 و لكن مبا أ ّن املائع مثايل‬
‫𝑆∬ حيث 𝑇 ميثل االجهاد املطبّق على ّ‬
‫الشكل‬
‫السطح يف هذه احلالة تكون على ّ‬
‫إذن ال وجود إلجهاد القص و بالتّايل فإ ّن قوى ّ‬
‫𝑆𝑑 ⃗𝑛 𝑝‪.∬𝑆 −‬‬
‫‪-40-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫كمية احلركة لدينا‪:‬‬
‫إذن حسب نظرية احنفاظ ّ‬
‫)⃗‬
‫𝑉 𝜌(𝑑‬
‫𝑆𝑑 ⃗𝑛 𝑝‪𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹 𝑑𝓋 + ∬ −‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝓋‬
‫𝑆‬
‫∭‬
‫𝓋‬
‫و من أجل جريان غري قابل للنضغاط جند العلقة اآلتية‪:‬‬
‫⃗‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝑆𝑑 ⃗𝑛 𝑝‪𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹 𝑑𝓋 + ∬ −‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝓋‬
‫𝑆‬
‫𝜌 ∭‬
‫𝓋‬
‫و باستعمال نظرية أوسرتوغرادسكي جند‪:‬‬
‫⃗‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝓋𝑑 𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 𝓋∭ ‪∭𝓋 𝜌 𝑑𝑡 𝑑𝓋 = ∭𝓋 𝜌 𝐹 𝑑𝓋 −‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫⃗‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝓋𝑑 )𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ‪∭𝓋 𝜌 𝑑𝑡 𝑑𝓋 = ∭𝓋 (𝜌 𝐹 −‬‬
‫و منه حمليا يكون (‪:)𝓋 → 0‬‬
‫𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ‪= 𝜌 𝐹 −‬‬
‫⃗‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝜌‬
‫و هي متثل معادلة أولر اليت تطبّق من أجل املوائع املثالية و هي معادلة شعاعية مكافئة إىل ثل‬
‫معادالت سلّمية‪.‬‬
‫ب‪ِ .‬معادلةِبرنولي‪:‬‬
‫توصلنا سابقا إىل معادلة أولر اليت تطبّق من أجل املوائع املثالية‪.‬‬
‫كمية احلركة‪ّ ،‬‬
‫انطلقا من نظرية احنفاظ ّ‬
‫كما أ ّن معادلة أولر و يف حالة اعتبارنا لوجود حقل اجلاذبية األرضية فقط (𝑔 = 𝐹) تكتب على‬
‫الشكل اآليت‪:‬‬
‫ّ‬
‫𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ‪= 𝜌 𝑔 −‬‬
‫و كما رأينا يف الفصل الثّاين لدينا‪:‬‬
‫‪-41-‬‬
‫⃗‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝜌‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪2‬‬
‫𝑡𝑜𝑟 ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑉 ) +‬‬
‫𝑉˄ ⃗‬
‫⃗‬
‫𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫⃗‬
‫𝑉𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫=‬
‫⃗‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝑡𝑑‬
‫و كذلك لدينا‪:‬‬
‫)𝑧𝑔𝜌( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔‪𝜌 𝑔 = −‬‬
‫بالتعويض يف معادلة أولر جند‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑉 ) +‬‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝜌𝑔𝑧) −‬‬
‫𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑉˄⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔‪⃗ ] = −‬‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ‪+‬‬
‫𝑉𝑡𝑜𝑟‬
‫‪2‬‬
‫⃗‬
‫𝑉𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫[𝜌‬
‫باعتبار أ ّن اجلريان دائم يكون‪:‬‬
‫⃗‬
‫𝑉𝜕‬
‫‪=0‬‬
‫𝑡𝜕‬
‫و منه جند‪:‬‬
‫𝑡𝑜𝑟 = ) ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 + 1 𝜌𝑉 2‬‬
‫𝑉˄⃗‬
‫)∗(‪⃗ …….‬‬
‫𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔‬
‫‪2‬‬
‫نلحظ أنّه حلذف عبارة الدوران يف الطرف الثّاين من املعادلة )∗( ميكن أن نعترب احلالتني اآلتيتني‪:‬‬
‫‪ ‬يف حالة ضربنا سلّميا طريف املعادلة )∗( يف عنصر االنتقال 𝑙𝑑 و نكامل املعادلة )∗( بني أي‬
‫السرعة موا ٍز لعنصر االنتقال‬
‫نقطتني تقعان على طول نفس خط التيار‪ ،‬و بالتّايل يكون حقل ّ‬
‫‪1‬‬
‫𝑉˄ ⃗‬
‫𝑙𝑑 أي أ ّن احلد 𝑙𝑑) ⃗‬
‫𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫الكمية ) ‪(𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 + 2 𝜌𝑉 2‬‬
‫𝑡𝑜𝑟( يكون معدوما‪ ،‬و منه تكون ّ‬
‫يسمى بنظرية برنويل‪:‬‬
‫ثابتة يف كل نقاط املائع الواقعة على نفس خط التيار و هذا ما ّ‬
‫‪1‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 = ‪𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 + 𝜌𝑉 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫كذلك يف حالة اجلريان الغري دوراين كما رأينا سابقا‪ ،‬لدينا ‪⃗ = 0‬‬
‫𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑡𝑜𝑟‪ ،‬يف هذه احلالة و‬
‫الكمية ) ‪ (𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 + 12 𝜌𝑉 2‬ثابتة يف كل نقاط املائع و ذلك‬
‫حسب املعادلة )∗( تكون ّ‬
‫طبعا يف حالة اجلريان الدائم و غري قابل للنضغاط‪ ،‬أي أنّه يف هذا النوع من اجلريان تكون‬
‫نظرية برنويل ليست صاحلة فقط من أجل نقاط املائع الواقعة على نفس خط التيار بل ميكن‬
‫تطبيقها من أجل ميع نقاط املائع‪.‬‬
‫‪-42-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫مع التّذكري أنّه لتطبيق معادلة برنويل جيب أن تتوفر الفرضيات اآلتية‪:‬‬
‫‪ ‬اجلريان الدائم‪.‬‬
‫‪ ‬اجلريان الغري قابل للنضغاط‪.‬‬
‫‪ ‬املائع املثايل أي غري اللّزج‪.‬‬
‫‪ ‬قوى احلجم ناجتة عن حقل اجلاذبية فقط‪.‬‬
‫الكمية‬
‫إ ّن ّ‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 + 𝜌𝑉 2‬‬
‫‪2‬‬
‫الضغط الكلّي‬
‫الشحنة (م َّ‬
‫تسمى ّ‬
‫عرب عنها بالباسكال) أو ّ‬
‫ّ‬
‫𝑡𝑝‬
‫الذي‬
‫الضغط‬
‫الضغط الثّقايل 𝑧𝑔𝜌 و ّ‬
‫الساكن أو الستاتيكي 𝑝‪ّ ،‬‬
‫يتكون من ثل ضغوط و هي ّ‬
‫ّ‬
‫الضغط ّ‬
‫‪1‬‬
‫ال ّديناميكي ‪.2 𝜌𝑉 2‬‬
‫‪ ‬التِفسيرِالطِاقويِلمعادلةِبرنولي‪:‬‬
‫بشكل عام‪ ،‬إ ّن معادلة برنويل ترتجم مبدأ احنفاظ الطّاقة امليكانيكية على طول خط التيّار يف إطار‬
‫جريان املائع املثايل‪ .‬فلو ضربنا مثل كل حد من معادلة برنويل يف احلجم 𝓋 فإ ّن كل حد سيصبح ميثّل‬
‫بعد للطاقة‪ ،‬أي‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 = ‪𝑝𝓋 + 𝑚𝑔𝑧 + 𝑚𝑉 2‬‬
‫‪2‬‬
‫حيث‪:‬‬
‫‪𝑝𝓋 ‬‬
‫الضغط‪.‬‬
‫الضغط و هي متثّل أيضا الطاقة الكامنة النّاشئة عن قوى ّ‬
‫متثّل عمل قوى ّ‬
‫‪ 𝑚𝑔𝑧 ‬متثّل الطّاقة الكامنة النّاجتة عن قوى الثّقالة‪.‬‬
‫‪ 12 𝑚𝑉 2 ‬متثّل الطّاقة احلركية‪.‬‬
‫‪-43-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫و جمموع هذه احلدود ميثّل الطّاقة امليكانيكية الكلّية 𝑚𝐸 و اليت بدورها تبقى حمفوظة على طول خط‬
‫التيار من أجل املائع املثايل‪ ،‬و مبعىن آخر أنّه ال يوجد ضياع يف الطّاقة ناتج عن لزوجة املائع خلل‬
‫اجلريان‪.‬‬
‫تطبيقِ‪ِ:‬صيغة توريشلي‬
‫يتم تفريغه من األسفل عرب فتحة مساحة مقطعها‬
‫نعترب ّ‬
‫خزان حيوي مائع مثايل غري قابل للنضغاط‪ّ ،‬‬
‫𝑆‬
‫اخلزان كما هو موضح يف الشكل (‪ .)4.3‬نريد إجياد العلقة بني سرعة‬
‫صغري جدا إذا ما قورن بأبعاد ّ‬
‫التّفريغ أي سرعة املائع عند الفتحة و ارتفاع مستوى املائع عن فتحة التّفريغ‪.‬‬
‫𝑧‬
‫𝐴‬
‫𝐴𝑧‬
‫خط تيار‬
‫‪ℎ‬‬
‫𝐵‬
‫𝐵𝑧‬
‫شكل (‪)4.3‬‬
‫موضح يف الشكل‬
‫بتطبيق معادلة برنويل بني النّقطتني 𝐴 و 𝐵 الواقعتان على نفس خط التيار كما هو ّ‬
‫(‪ )2.3‬جند‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑝𝐴 + 𝜌 𝑔 𝑧𝐴 + 𝜌 𝑉𝐴 2 = 𝑝𝐵 + 𝜌 𝑔 𝑧𝐵 + 𝜌 𝑉𝐵 2‬‬
‫حيث لدينا‪:‬‬
‫‪𝑉𝐴 ≈ 0‬‬
‫و ذلك راجع أل ّن أبعاد اخلزان كبرية جدا مقارنة بفتحة التفريغ‪.‬‬
‫الضغط اجلوي ( 𝑚𝑡𝑎𝑝 = 𝐵𝑝 = 𝐴𝑝)‪.‬‬
‫الضغط يف النّقطة 𝐵 و يساوي ّ‬
‫الضغط يف النّقطة 𝐴 يساوي ّ‬
‫ّ‬
‫‪-44-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫ارتفاع مستوى املائع عن فتحة التفريغ هو‬
‫𝐵𝑧 ‪.ℎ = 𝑧𝐴 −‬‬
‫و منه جند‪:‬‬
‫‪𝜌 𝑉𝐵 2 = 𝜌 𝑔 ℎ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫‪𝑉𝐵 = √2 𝑔 ℎ‬‬
‫و هي متثّل صيغة توريشلي‪.‬‬
‫‪ِِِ.4.3‬منِنظريةِانحفاظِكميةِالحركةِإلىِمعادلةِنافييرِوِستوكس ِ‬
‫مادي 𝓋 من املائع (حيوي جمموعة معيّنة من جسيمات املائع) حمدود بسطح مغلق 𝑆 و‬
‫نعترب حجم ّ‬
‫موجه حنو خارج احلجم‬
‫السطح و هو شعاع ّ‬
‫يتبع خلل حركته‪ .‬و ليكن ⃗𝑛 شعاع الوحدة النّاظم على ّ‬
‫موضح يف الشكل (‪.)3.3‬‬
‫𝓋 كما هو ّ‬
‫املادي‬
‫إ ّن جمموع قوى احلجم اخلارجية املطبّقة على احلجم ّ‬
‫𝓋𝑑 𝐹 𝜌 𝓋∭ حبيث إذا اعتربنا حالة وجود حقل اجلاذبية األرضية فقط يكون 𝑧𝑒 𝑔‪.𝐹 = 𝑔 = −‬‬
‫𝓋‬
‫الشكل‬
‫من املائع هي من ّ‬
‫لسطح‬
‫السطح املطبّقة على ا ّ‬
‫و من جهة أخرى‪ ،‬يف حالة املوائع احلقيقية أي اللّزجة يكون جمموع قوى ّ‬
‫𝑇 ∬ حيث ⃗‬
‫الشكل 𝑆𝑑 ⃗‬
‫𝑇‬
‫𝑆 احمليط باحلجم 𝓋 هي من ّ‬
‫𝑆‬
‫⃗𝑛‪.‬‬
‫السطح ذو النّاظم‬
‫ميثّل االجهاد املطبّق على ّ‬
‫كمية احلركة لدينا‪:‬‬
‫إذن حسب نظرية احنفاظ ّ‬
‫)⃗‬
‫𝑉 𝜌(𝑑‬
‫𝑆𝑑 ⃗‬
‫𝑇 ∬ ‪𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹 𝑑𝓋 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝓋‬
‫𝑆‬
‫و من أجل جريان غري قابل للنضغاط جند العلقة اآلتية‪:‬‬
‫‪-45-‬‬
‫∭‬
‫𝓋‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫⃗‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝑆𝑑 ⃗‬
‫𝜌 ∭‬
‫𝑇 ∬ ‪𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹 𝑑𝓋 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝓋‬
‫𝓋‬
‫𝑆‬
‫كذلك ميكن أن نكتب هذه املعادلة بشكل آخر (ترميز أينشتاين)‪:‬‬
‫𝑖𝑉𝑑‬
‫𝑆𝑑 𝑖𝑇 ∬ ‪𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹𝑖 𝑑𝓋 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝓋‬
‫𝑆‬
‫𝜌 ∭‬
‫𝓋‬
‫كما رأينا سابقا لدينا 𝑗𝑛 ∙ 𝑗𝑖𝜎 = 𝑖𝑇 حيث 𝑗𝑖𝜎 متثل اإلجهادات الوحدوية‪ ،‬و منه يكون‪:‬‬
‫𝑖𝑉𝑑‬
‫𝑆𝑑 𝑗𝑛 ∙ 𝑗𝑖𝜎 ∬ ‪𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹𝑖 𝑑𝓋 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝓋‬
‫𝑆‬
‫𝜌 ∭‬
‫𝓋‬
‫و باستعمال نظرية أوسرتوغرادسكي جند‪:‬‬
‫𝑖𝑉𝑑‬
‫𝓋𝑑 ) 𝑗𝑖𝜎(𝑣𝑖𝑑 ∭ ‪𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹𝑖 𝑑𝓋 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝓋‬
‫𝓋‬
‫𝜌 ∭‬
‫𝓋‬
‫و منه حمليا يكون (‪:)𝓋 → 0‬‬
‫𝑖𝑉𝑑‬
‫) 𝑗𝑖𝜎(𝑣𝑖𝑑 ‪= 𝜌 𝐹𝑖 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝜌‬
‫الشكل التايل‪:‬‬
‫كذلك ميكن أن نكتب هذه املعادلة على ّ‬
‫𝑗𝑖𝜎𝜕‬
‫𝑖𝑉𝑑‬
‫‪= 𝜌 𝐹𝑖 +‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑗𝑥𝜕‬
‫𝜌‬
‫يف حالة املوائع النيوتونية لدينا‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑉𝜕 𝑉𝜕‬
‫) 𝑗 ‪⃗ ∙ 𝛿𝑖𝑗 + 𝜇 ( 𝑖 +‬‬
‫𝑉 𝑣𝑖𝑑 𝜇 ‪𝜎𝑖𝑗 = −𝑝 𝛿𝑖𝑗 −‬‬
‫‪3‬‬
‫𝑖𝑥𝜕 𝑗𝑥𝜕‬
‫حيث‪:‬‬
‫الساكن‪.‬‬
‫𝑝 ميثل ّ‬
‫الضغط ّ‬
‫𝑗𝑖𝛿 ميثل رمز كرونيكر‪ 𝛿𝑖𝑗 = 1 :‬إذا كان 𝑗 = 𝑖‪ ،‬و ‪ 𝛿𝑖𝑗 = 0‬إذا كان 𝑗 ≠ 𝑖‪.‬‬
‫‪-46-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝜇 متثل معامل اللّزوجة ال ّديناميكية‪.‬‬
‫و منه بتعويض عبارة 𝑗𝑖𝜎 يف معادلة التّحريك جند‪:‬‬
‫𝑗𝑉 ‪𝜕 2‬‬
‫𝑖𝑉𝑑‬
‫𝜕 ‪𝜕𝑝 2‬‬
‫𝑖𝑉 ‪𝜕 2‬‬
‫⃗‬
‫𝜌‬
‫‪= 𝜌 𝐹𝑖 −‬‬
‫𝜇 ‪−‬‬
‫‪+‬‬
‫( 𝜇 ‪(𝑑𝑖𝑣 𝑉 ) +‬‬
‫)‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑗𝑥𝜕 ‪𝜕𝑥𝑖 3‬‬
‫𝑗𝑥𝜕 𝑖𝑥𝜕 𝑗𝑥𝜕 𝑗𝑥𝜕‬
‫مع العلم أنّه يف حالة اجلريان الغري قابل للنضغاط و حسب معادلة االستمرارية لدينا‪:‬‬
‫𝑘𝑉𝜕‬
‫‪=0‬‬
‫𝑘𝑥𝜕‬
‫= ⃗‬
‫𝑉 𝑣𝑖𝑑‬
‫و منه جند‪:‬‬
‫𝑖𝑉𝑑‬
‫𝑝𝜕‬
‫𝑖𝑉 ‪𝜕 2‬‬
‫𝜌‬
‫‪= 𝜌 𝐹𝑖 −‬‬
‫(𝜇‪+‬‬
‫)‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝑖𝑥𝜕‬
‫𝑗𝑥𝜕 𝑗𝑥𝜕‬
‫أو نكتب بشكل آخر‪:‬‬
‫⃗‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝑉∆ 𝜇 ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 +‬‬
‫⃗‬
‫𝜌‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ‪= 𝜌 𝐹 −‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫و هي متثل معادلة نافيري و ستوكس و هي معادلة شعاعية مكافئة إىل ثل معادالت سلّمية و اليت‬
‫تطبّق من أجل املوائع احلقيقية‪.‬‬
‫‪-47-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫يانِالرقائقيِوِ‬
‫الفصلِالرابعِ–ِالجر ِ‬
‫الجريانِالمضطرب‬
‫‪ِِِ.1.4‬تجربةِرينولدز ِ‬
‫إ ّن دراسة جريان املائع احلقيقي تعود إىل حل معادلة نافيري و ستوكس‪ .‬و حلل هذه املعادلة حتليليا‪ ،‬منيّز‬
‫الرقائقي و اجلريان املضطرب‪ .‬للكشف عن أنظمة اجلريان‪ ،‬قام‬
‫نوعني من أنظمة اجلريان و مها اجلريان ّ‬
‫مادة سائلة م ّلونة‬
‫رينولدز بتحقيق جتربة تظهر خطوط التيار و ذلك بواسطة خط رفيع م ّلون ناتج من ّ‬
‫موضح يف الشكل (‪.)1.4‬‬
‫داخل أنبوب زجاجي أفقي كما هو ّ‬
‫ملون‬
‫سائل ّ‬
‫السائل‬
‫صنبور لتعديل تدفّق ّ‬
‫شكل (‪)1.4‬‬
‫من خلل هذه التجربة استطاع رينولدز بتحديد العامل الذي يسمح بتحديد نظام اجلريان رقائقي أم‬
‫يسمى رقم رينولدز و يرمز له بـ 𝑒𝑅 و هو ميثّل النّسبة بني قوى العطالة‬
‫مضطرب و هو رقم ال بعدي ّ‬
‫و قوى اللّزوجة و عبارته تعطى كاآليت ‪:‬‬
‫𝐷𝑉𝜌‬
‫𝜇‬
‫= 𝑒𝑅‬
‫‪-48-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫أو‪:‬‬
‫𝐷𝑉‬
‫𝜈‬
‫= 𝑒𝑅‬
‫حيث‪:‬‬
‫𝜌 متثّل الكتلة احلجمية للمائع‪.‬‬
‫املتوسطة‪.‬‬
‫السرعة ّ‬
‫𝑉 متثّل ّ‬
‫𝐷 ميثّل قطر األنبوب‪.‬‬
‫𝜇 ميثّل معامل اللّزوجة ال ّديناميكية‪.‬‬
‫𝜈 ميثّل معامل اللّزوجة احلركية‪.‬‬
‫امللون يبقى رقيق‬
‫‪ ‬فمن أجل جريان للمائع داخل األنبوب سرعته ‪ 𝑉1‬صغرية كفاية‪ ،‬اخلط الرفيع ّ‬
‫يسمى جريان‬
‫منتظم و موا ٍز حملور األنبوب كما هو ّ‬
‫موضح يف الشكل (‪ .)2.4‬هذا اجلريان ّ‬
‫رقائقي أو صفائحي و يتميّز بـ ‪ 𝑅𝑒 ≤ 2000‬تقريبا‪ .‬يف هذا اجلريان قوى اللّزوجة هلا أمهّية‬
‫كربى مقارنة بقوى العطالة‪.‬‬
‫سرعة اجلريان‬
‫‪𝑉1‬‬
‫شكل (‪)2.4‬‬
‫‪ ‬و من أجل جريان للمائع داخل األنبوب سرعته‬
‫‪𝑉2‬‬
‫امللون يضطرب‬
‫أكرب بقليل من ‪ ،𝑉1‬اخلط ّ‬
‫يسمى جريان مضطرب و جنده تقريبا‬
‫و يهتز كما هو ّ‬
‫موضح يف الشكل (‪ .)3.4‬هذا اجلريان ّ‬
‫يف اجملال ‪ .2000 < 𝑅𝑒 ≤ 105‬يف هذا اجلريان أيضا قوى اللّزوجة هلا أمهّية مقارنة بقوى‬
‫العطالة‪.‬‬
‫‪-49-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫سرعة اجلريان‬
‫‪𝑉2‬‬
‫شكل (‪)3.4‬‬
‫‪ ‬و من أجل جريان للمائع داخل األنبوب سرعته ‪ 𝑉3‬أكرب من ‪ ،𝑉2‬اخلط امللون يتشتت و ينقسم‬
‫يسمى أيضا جريان‬
‫إىل عدد كبري من اجلزيئات كما هو موضح يف الشكل (‪ .)4.4‬هذا اجلريان ّ‬
‫مضطرب و جنده تقريبا من أجل ‪ .𝑅𝑒 > 105‬إ ّن هذا االضطراب ينشأ عندما تكون قوى‬
‫اللّزوجة مهملة مقارنة بقوى العطالة‪.‬‬
‫سرعة اجلريان‬
‫‪𝑉3‬‬
‫شكل (‪)4.4‬‬
‫الرقائقي عن اجلريان املضطرب بع ّدة ميزات و من بينها أ ّن خطوط التيار‬
‫بصفة عامة يتميّز اجلريان ّ‬
‫الرقائقي و هذا ما ال جنده يف اجلريان املضطرب حيث تكون‬
‫تكون متوازية و منتظمة بالنسبة للجريان ّ‬
‫موضح يف الشكلني (‪ )5.4‬و (‪.)6.4‬‬
‫خطوط التيار غري منتظمة أو ال وجود هلا كما هو ّ‬
‫الرقائقي‬
‫شكل (‪ :)5.4‬اجلريان ّ‬
‫شكل (‪ :)6.4‬اجلريان املضطرب‬
‫‪-50-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫يانِالرقائقي‬
‫‪ِِ.2.4‬الجر ِ‬
‫يانِالرقائقيِأحاديِاالتجاه‪ِ :‬‬
‫أ‪ .‬الجر ِ‬
‫نعترب جريان رقائقي و دائم ملائع لزج غري قابل للنضغاط‪ .‬إذن انطلقا من معادلة نافيري و ستوكس و‬
‫يف حالة اعتبارنا لوجود حقل اجلاذبية األرضية (𝑔 = 𝐹) يكون لدينا‪:‬‬
‫⃗‬
‫𝑉𝑑‬
‫𝑉∆ 𝜇 ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 +‬‬
‫⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ‪= 𝜌 𝑔 −‬‬
‫𝑡𝑑‬
‫𝜌‬
‫أو نكتب بشكل آخر‪:‬‬
‫⃗‬
‫𝑉𝜕‬
‫‪𝑉2‬‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑉∆ 𝜇 ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 +‬‬
‫𝑉˄ ⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ‪⃗ ] = 𝜌 𝑔 −‬‬
‫⃗‬
‫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‪𝜌 [ + 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( ) +‬‬
‫𝑉𝑡𝑜𝑟‬
‫𝑡𝜕‬
‫‪2‬‬
‫⃗‬
‫𝑉𝜕 تكون معدومة‪ .‬كذلك اجلداء‬
‫مبا أن اجلريان دائم فإ ّن املشتقة‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑉˄ ⃗‬
‫⃗‬
‫𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫𝑡𝑜𝑟‬
‫يف هذه املعادلة يكون‬
‫معدوما إذا متّ اعتبار املعادلة على جمموعة النّقاط املش ّكلة خلط التيار‪ .‬و من جهة أخرى‪ ،‬تسارع اجلاذبية‬
‫األرضية هو مشتق من كمون‪ .‬و منه فإ ّن معادلة نافيري و ستوكس يف هذه احلالة تصبح على الشكل‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝜌𝑉 2 ) = −‬‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔 ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝜌 𝑔 𝑧) −‬‬
‫𝑉∆ 𝜇 ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 +‬‬
‫⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔‬
‫‪2‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑉∆ 𝜇 = ) ‪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑝 + 𝜌 𝑔 𝑧 + 𝜌𝑉 2‬‬
‫⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔‬
‫‪2‬‬
‫كما رأينا سابقا لدينا‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑝𝑡 = 𝑝 + 𝜌 𝑔 𝑧 + 𝜌𝑉 2‬‬
‫‪2‬‬
‫حيث‬
‫𝑡𝑝‬
‫ميثل الضغط الكلي أو الشحنة‪.‬‬
‫‪-51-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫و منه يكون‪:‬‬
‫𝑉∆ 𝜇 = 𝑡𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‬
‫⃗‬
‫𝑑𝑎𝑟𝑔‬
‫االجتاه و موا ٍز للمحور 𝑥‪ ،‬إذن بإسقاط العلقة األخرية على حماور‬
‫باعتبار أ ّن اجلريان رقائقي و أحادي ّ‬
‫املعلم الكارتيزي جند‪:‬‬
‫𝑡𝑝𝜕‬
‫)‪= 𝜇 ∆𝑢 ∙∙∙∙∙∙∙∙ (1‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑡𝑝𝜕‬
‫)‪= 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (2‬‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑡𝑝𝜕‬
‫)‪{ 𝜕𝑧 = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (3‬‬
‫𝑡𝑝𝜕‬
‫الضغط الكلّي 𝑡𝑝 ال يتعلّق بـ 𝑦‪.‬‬
‫لدينا من العلقة (‪ 𝜕𝑦 = 0 :)2‬و منه نستنتج أ ّن ّ‬
‫𝑡𝑝𝜕‬
‫الضغط الكلّي 𝑡𝑝 ال يتعلّق بـ 𝑧‪.‬‬
‫كذلك لدينا من العلقة (‪ 𝜕𝑧 = 0 :)3‬و منه نستنتج أ ّن ّ‬
‫الضغط الكلّي 𝑡𝑝 ال يتعلّق إال بـ 𝑥‪ ،‬أي أ ّن‪:‬‬
‫و منه نستنتج أ ّن ّ‬
‫𝑡𝑝𝑑 𝑡𝑝𝜕‬
‫=‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝑑‬
‫و منه و حسب املعادلة (‪ )1‬يكون‪:‬‬
‫𝑡𝑝𝑑‬
‫𝑢‪𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2‬‬
‫)‪= 𝜇 ( 2 + 2 + 2‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫و من جهة أخرى و حسب معادلة االستمرارية من أجل جريان غري قابل للنضغاط لدينا‪:‬‬
‫‪⃗ =0‬‬
‫𝑉 𝑣𝑖𝑑‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑤𝜕 𝑣𝜕 𝑢𝜕‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑧𝜕 𝑦𝜕 𝑥𝜕‬
‫‪-52-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫االجتاه و موا ٍز للمحور احملور 𝑥‪ ،‬و منه يكون‪:‬‬
‫مع العلم أ ّن ‪ 𝑣 = 𝑤 = 0‬و ذلك ألن اجلريان أحادي ّ‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪=0‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫السرعة 𝑢 ال تتعلّق إال بـ 𝑥‪ ،‬أي أ ّن‪:‬‬
‫و هذا يعين أ ّن مرّكبة ّ‬
‫)𝑧 ‪𝑢 = 𝑢(𝑦,‬‬
‫نتحصل على املعادلة اآلتية‪:‬‬
‫و منه‬
‫ّ‬
‫𝑡𝑝𝑑‬
‫𝑢‪𝜕2𝑢 𝜕2‬‬
‫)‪= 𝜇 ( 2 + 2‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫األول من املعادلة األخرية ال يتعلق إال بـ 𝑥 بينما الطّرف الثّاين ال يتعلّق إال بـ 𝑦 و 𝑧 و منه‬
‫إ ّن الطّرف ّ‬
‫يتغري خطّيا مع 𝑥‪ ،‬أي أ ّن‪:‬‬
‫نستنتج أ ّن ّ‬
‫الضغط الكلّي ّ‬
‫𝑡𝑝𝑑‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 =‬
‫𝑥𝑑‬
‫الضغط الكلّي يتناقص يف ّاجتاه اجلريان بسبب االحتكاكات‪ ،‬أي أ ّن‪:‬‬
‫و مبا أنّه منطقيا ّ‬
‫𝑡𝑝𝑑‬
‫‪<0‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫إذن نضع‪:‬‬
‫𝑎‪= −‬‬
‫𝑡𝑝𝑑‬
‫𝑥𝑑‬
‫حيث 𝑎 ثابت موجب‪.‬‬
‫الشكل‪:‬‬
‫و منه املعادلة (‪ )1‬تصبح على ّ‬
‫)∗( ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙‬
‫𝑎‬
‫𝜇‬
‫‪∆𝑢 = −‬‬
‫السرعة‬
‫إ ّن حل املعادلة (∗) تسمح لنا بإجياد عبارة توزيع ّ‬
‫احملور 𝑥‪.‬‬
‫‪-53-‬‬
‫𝑢‬
‫االجتاه وفق‬
‫من أجل كل جريان أحادي ّ‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫يانِالرقائقيِداخلِأنبوبِأسطواني‪:‬‬
‫ب‪ِ .‬حالةِالجر ِ‬
‫نعترب جريان رقائقي و دائم ملائع لزج غري قابل للنضغاط داخل أنبوب نصف قطره 𝑅‪ .‬سنهتم يف‬
‫االجتاه املوازي حملور األنبوب 𝑥𝑂 كما هو موضح يف الشكل (‪،)7.4‬‬
‫دراستنا هذه فقط باجلريان أحادي ّ‬
‫يسمى جبريان بوازاي األسطواين‪ِ .‬‬
‫و هو ما ّ‬
‫الرقائقي داخل أنبوب أسطواين‬
‫شكل (‪ :)7.4‬اجلريان ّ‬
‫االجتاه لدينا‪:‬‬
‫إذن كما يف حالة اجلريان أحادي ّ‬
‫)∗( ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙‬
‫𝑎‬
‫𝜇‬
‫‪∆𝑢 = −‬‬
‫باستعمال االحداثيات األسطوانية يكون ‪:‬‬
‫𝜕‪1‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢‪1 𝜕2𝑢 𝜕2‬‬
‫= 𝑢∆‬
‫‪(𝑟 ) + 2 2 + 2‬‬
‫𝑟𝜕 𝑟𝜕 𝑟‬
‫𝜑𝜕 𝑟‬
‫𝑥𝜕‬
‫االجتاه وفق احملور 𝑥 أي أ ّن 𝑥𝑒 ∙ 𝑢 = ⃗𝑉 و‬
‫لدينا اجلريان أحادي ّ‬
‫‪-54-‬‬
‫بالتايل ‪.𝑣𝑟 = 𝑣𝜑 = 0‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫كذلك باستعمال االحداثيات األسطوانية و حسب معادلة االستمرارية بالنّسبة جلريان غري قابل‬
‫للنضغاط لدينا‪:‬‬
‫𝜕‪1‬‬
‫𝑢𝜕 𝜑𝑣𝜕 ‪1‬‬
‫‪(𝑟 𝑣𝑟 ) +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑟𝜕 𝑟‬
‫𝑥𝜕 𝜃𝜕 𝑟‬
‫االجتاه‪ ،‬أي أ ّن‪:‬‬
‫اجلريان أحادي ّ‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪=0‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫و من جهة أخرى‪ ،‬كذلك اجلريان متماثل وفق 𝜑 إذن ‪:‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪=0‬‬
‫𝜑𝜕‬
‫و منه يكون )𝑟(𝑢 = )𝑥 ‪.𝑢(𝑟, 𝜑,‬‬
‫الشكل‪:‬‬
‫إذن عبارة 𝑢∆ تصبح على ّ‬
‫𝜕‪1‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫) 𝑟(‬
‫𝑟𝜕 𝑟𝜕 𝑟‬
‫= 𝑢∆‬
‫و بالتّعويض يف املعادلة (∗) جند‪:‬‬
‫𝑑‪1‬‬
‫𝑢𝑑‬
‫𝑎‬
‫‪(𝑟 ) = −‬‬
‫𝑟𝑑 𝑟𝑑 𝑟‬
‫𝜇‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑑‬
‫𝑢𝑑‬
‫𝑎‬
‫𝑟 ‪(𝑟 ) = −‬‬
‫𝑟𝑑 𝑟𝑑‬
‫𝜇‬
‫باملكاملة جند‪:‬‬
‫𝑢𝑑‬
‫‪𝑎 2‬‬
‫‪=−‬‬
‫𝐵‪𝑟 +‬‬
‫𝑟𝑑‬
‫𝜇‪2‬‬
‫و منه‪:‬‬
‫‪-55-‬‬
‫𝑟‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑢𝑑‬
‫𝑎‬
‫𝐵‬
‫‪=−‬‬
‫‪𝑟+‬‬
‫𝑟𝑑‬
‫𝜇‪2‬‬
‫𝑟‬
‫مرة أخرى جند‪:‬‬
‫باملكاملة ّ‬
‫‪𝑎 2‬‬
‫𝐶 ‪𝑟 + 𝐵 ln 𝑟 +‬‬
‫𝜇‪4‬‬
‫‪𝑢(𝑟) = −‬‬
‫الشروط احل ّدية و ذلك كاآليت‪:‬‬
‫حيث 𝐵 و 𝐶 ثابتني ميكن حتديدهم باستعمال ّ‬
‫السرعة حتما‪.𝐵 = 0 :‬‬
‫السرعة تكون حمدودة و منه حسب عبارة ّ‬
‫عند حمور األنبوب (‪ )𝑟 = 0‬قيمة ّ‬
‫متحرك و بالتّايل سرعته معدومة‬
‫عند سطح التّلمس بني املائع و األنبوب (𝑅 = 𝑟) يكون املائع غري ّ‬
‫السرعة جند ‪:‬‬
‫أي‪ ،𝑢(𝑅) = 0 :‬و منه بالتّعويض يف عبارة ّ‬
‫‪𝑎 𝑅2‬‬
‫𝜇‪4‬‬
‫=𝐶‬
‫السرعة هلذا اجلريان داخل األنبوب كاآليت‪:‬‬
‫و أخريا تكون عبارة توزيع ّ‬
‫‪𝑎 𝑅2 𝑟 2‬‬
‫‪𝑢(𝑟) = −‬‬
‫)‪( − 1‬‬
‫‪4 𝜇 𝑅2‬‬
‫و هي متثّل معادلة قطع مكاف ‪.‬‬
‫‪ ‬إيجادِعبارةِالسِرعةِالعظمىِللجريانِ𝒙𝒂𝒎𝒖 ‪:‬‬
‫السرعة أعظمية حيقق‪:‬‬
‫إ ّن نصف القطر 𝑥𝑎𝑚𝑟 الذي تكون عنده ّ‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪=0‬‬
‫)‬
‫𝑥𝑎𝑚𝑟=𝑟 𝑟𝜕‬
‫(‬
‫و منه يكون‪:‬‬
‫‪𝑟𝑚𝑎𝑥 = 0‬‬
‫موضح يف الشكل (‪.)7.4‬‬
‫السرعة تكون أعظمية عند حمور األنبوب كما هو ّ‬
‫أي أ ّن ّ‬
‫السرعة األعظمية 𝑥𝑎𝑚𝑢‪:‬‬
‫بالتعويض يف عبارة )𝑟(𝑢 جند عبارة ّ‬
‫‪𝑎 𝑅2‬‬
‫=‬
‫𝜇‪4‬‬
‫𝑥𝑎𝑚𝑢‬
‫‪-56-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫السرعة العظمى للجريان كاآليت‪:‬‬
‫السرعة بداللة ّ‬
‫إذن ميكن أن نكتب كذلك عبارة توزيع ّ‬
‫‪𝑟2‬‬
‫) ‪𝑢(𝑟) = 𝑢𝑚𝑎𝑥 (1 − 2‬‬
‫𝑅‬
‫‪ ‬إيجادِعبارةِإجهادِالقصِ𝝉‪:‬‬
‫لدينا من أجل مائع نيوتوين‪:‬‬
‫𝑢𝑑‬
‫𝑟𝑑‬
‫𝜇=𝜏‬
‫و منه‪:‬‬
‫𝑑‬
‫‪𝑎 𝑅2 𝑟 2‬‬
‫‪𝜏 = 𝜇 [−‬‬
‫])‪( − 1‬‬
‫𝑟𝑑‬
‫‪4 𝜇 𝑅2‬‬
‫الشكل‪:‬‬
‫و منه تكون عبارة إجهاد القص هلذا اجلريان على ّ‬
‫𝑎‬
‫𝑟 ‪𝜏=−‬‬
‫‪2‬‬
‫موضح يف الشكل (‪.)7.4‬‬
‫يتغري خطّيا مع 𝑟 كما هو ّ‬
‫أي أنّه ّ‬
‫إيجادِعبارةِقوةِاالحتكاكِالمطبِقةِعلىِاألنبوبِذوِالطولِ𝑳‪ِ :‬‬
‫ِ‬
‫‪‬‬
‫إ ّن ّقوة االحتكاك املطبّقة على األنبوب ذو الطّول 𝐿 تعطى بالعلقة‪:‬‬
‫𝐿𝑆 ∙ 𝑝𝜏 = 𝑓𝐹‬
‫حيث‪:‬‬
‫𝑝𝜏 ميثل إجهاد القص عند اجلدار أي عند 𝑅 = 𝑟 ‪:‬‬
‫𝑎‬
‫𝑅 ‪𝜏𝑝 = −‬‬
‫‪2‬‬
‫السطح ال ّداخلي لألنبوب ذو الطول 𝐿 و امللمس للمائع‪:‬‬
‫𝐿𝑆 ميثل مساحة ّ‬
‫𝐿 𝑅𝜋‪𝑆𝐿 = 2‬‬
‫‪-57-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫و منه تكون عبارة االحتكاك املطبّقة على األنبوب ذو الطول 𝐿 كاآليت‪:‬‬
‫𝐿 ‪𝐹𝑓 = −𝑎 𝜋𝑅2‬‬
‫‪ ‬إيجادِعبارةِالتدفِقِالحجميِ𝒗𝒒‪:‬‬
‫من خلل التّعريف‪ ،‬إ ّن التدفّق احلجمي للمائع الذي جيري داخل األنبوب الذي مساحة مقطعه‬
‫𝑆 يعطى كاآليت‪:‬‬
‫𝑆𝑑 ⃗‬
‫𝑉 ∬ = 𝑣𝑞‬
‫𝑆‬
‫لكن لدينا 𝑥𝑒 𝑢 = ⃗𝑉 و 𝑥𝑒 𝑆𝑑 = 𝑆𝑑‪ ،‬إذن بالتّعويض يكون‪:‬‬
‫) 𝑥𝑒 𝑆𝑑( ) 𝑥𝑒 𝑢( ∬ = 𝑣𝑞‬
‫𝑆‬
‫و منه‪:‬‬
‫𝑆𝑑 𝑢 ∬ = 𝑣𝑞‬
‫𝑆‬
‫حيث عنصر السطح 𝑆𝑑 يعطى كاآليت‪:‬‬
‫𝜑𝑑 𝑟𝑑 𝑟 = 𝑆𝑑‬
‫بالتّعويض يف عبارة 𝑣𝑞 جند‪:‬‬
‫‪𝑟2‬‬
‫𝜑𝑑 𝑟𝑑 𝑟 ])‪(𝑅2 − 1‬‬
‫‪𝑎 𝑅2‬‬
‫𝜇‪4‬‬
‫𝑅‬
‫𝜋‪2‬‬
‫‪𝑞𝑣 = ∫0 ∫0 [−‬‬
‫و منه‪:‬‬
‫‪𝑟3‬‬
‫𝜋‪2‬‬
‫𝑅‬
‫𝑟𝑑 )𝑟 ‪∫0 𝑑𝜑 ∫0 (𝑅2 −‬‬
‫‪𝑎 𝑅2‬‬
‫𝜇‪4‬‬
‫‪𝑞𝑣 = −‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑅‬
‫‪𝑎 𝑅2‬‬
‫‪𝑟4‬‬
‫‪𝑟2‬‬
‫] ‪(2𝜋) [ 2 −‬‬
‫‪𝑞𝑣 = −‬‬
‫𝜇‪4‬‬
‫𝑅‪4‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪-58-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫و بالتّايل‪:‬‬
‫‪𝜋 𝑎 𝑅2 𝑅2 𝑅2‬‬
‫‪𝑞𝑣 = −‬‬
‫) ‪( −‬‬
‫𝜇‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫و أخريا تكون عبارة التدفق احلجمي هلذا اجلريان كاآليت‪:‬‬
‫‪𝜋 𝑎 𝑅4‬‬
‫= 𝑣𝑞‬
‫𝜇‪8‬‬
‫‪ ‬إيجادِعبارةِالسِرعةِالمتوسِطةِ𝒚𝒐𝒎𝒖‪ِ :‬‬
‫املتوسطة تعطى كاآليت‪:‬‬
‫السرعة ّ‬
‫لدينا العلقة اليت تربط بني التدفّق احلجمي و ّ‬
‫𝑆 ∙ 𝑦𝑜𝑚𝑢 = 𝑣𝑞‬
‫و منه‪:‬‬
‫𝑣𝑞‬
‫𝑆‬
‫= 𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫حيث ‪ 𝑆 = 𝜋𝑅2‬و هي متثل مساحة مقطع األنبوب‪.‬‬
‫بالتّعويض يف عبارة 𝑦𝑜𝑚𝑢 جند‪:‬‬
‫‪𝜋 𝑎 𝑅4‬‬
‫) 𝜇‪( 8‬‬
‫=‬
‫‪𝜋𝑅2‬‬
‫𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫املتوسطة هلذا اجلريان داخل األنبوب كاآليت‪:‬‬
‫السرعة ّ‬
‫و أخريا تكون عبارة ّ‬
‫‪𝑎 𝑅2‬‬
‫=‬
‫𝜇‪8‬‬
‫𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫السرعة العظمى تكون‪:‬‬
‫و بداللة ّ‬
‫‪1‬‬
‫𝑥𝑎𝑚𝑢 = 𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫‪2‬‬
‫‪-59-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫يانِالرقائقيِبينِصفيحتينِمستويتينِوِمتوازيتين‪:‬‬
‫ج‪ .‬حالةِالجر ِ‬
‫ِِِِِِِِِِِِِج‪ِ.1.‬جريانِبوازايِالمستوي‪ِ :‬‬
‫نعترب جريان رقائقي و دائم ملائع لزج غري قابل للنضغاط بني صفيحتني مستويتني متوازيتني و ثابتتني‬
‫االجتاه و املوازي للمحور‬
‫تفصلهما مسافة قدرها ‪ .2𝑦0‬سنهتم هنا فقط بدراسة اجلريان أحادي ّ‬
‫𝑥𝑂‬
‫الضغط وفق 𝑥𝑂 و‬
‫تدرج يف ّ‬
‫كما هو ّ‬
‫موضح يف الشكل (‪ .)8.4‬علما أ ّن هذا اجلريان هو ناتج عن ّ‬
‫يسمى جبريان بوازاي املستوي‪.‬‬
‫هو ما ّ‬
‫الصفيحة العلوية الثابتة‬
‫𝑥‬
‫)𝑦(𝑢‬
‫𝑥𝑎𝑚𝑢‬
‫𝑦‬
‫‪𝑦 = 𝑦0‬‬
‫𝑂‬
‫الصفيحة السفلية الثابتة‬
‫‪𝑦 = −𝑦0‬‬
‫الرقائقي املستوي‬
‫شكل (‪ :)8.4‬جريان بوازاي ّ‬
‫االجتاه لدينا‪:‬‬
‫إذن كما يف حالة اجلريان أحادي ّ‬
‫)∗( ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙‬
‫𝑎‬
‫𝜇‬
‫‪∆𝑢 = −‬‬
‫الرقائقي بني صفيحتني مستويتني و متوازيتني‪ ،‬نستعمل االحداثيات‬
‫يف دراستنا هنا اليت ختص اجلريان ّ‬
‫الكارتيزية ومنه يكون ‪:‬‬
‫‪-60-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑢‪𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2‬‬
‫𝑎‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫=‬
‫‪−‬‬
‫‪𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2‬‬
‫𝜇‬
‫االجتاه و موا ٍز للمحور 𝑥 أي أ ّن 𝑥𝑒 ∙ 𝑢 = ⃗𝑉 و‬
‫لدينا اجلريان أحادي ّ‬
‫بالتّايل ‪.𝑣 = 𝑤 = 0‬‬
‫كذلك كما رأينا سابقا حسب معادلة االستمرارية بالنّسبة جلريان غري قابل للنضغاط يكون لدينا‪:‬‬
‫𝑤𝜕 𝑣𝜕 𝑢𝜕‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑧𝜕 𝑦𝜕 𝑥𝜕‬
‫و منه‪:‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪=0‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫و كذلك اجلريان متماثل وفق 𝑧 إذن ‪:‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪=0‬‬
‫𝑧𝜕‬
‫و منه يكون )𝑦(𝑢 = )𝑧 ‪.𝑢(𝑥, 𝑦,‬‬
‫و بالتّايل املعادلة (∗) تصبح على الشكل‪:‬‬
‫𝑢‪𝑑2‬‬
‫𝑎‬
‫‪=−‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑦𝑑‬
‫𝜇‬
‫باملكاملة جند‪:‬‬
‫𝑢𝑑‬
‫𝑎‬
‫𝐵‪=− 𝑦+‬‬
‫𝑦𝑑‬
‫𝜇‬
‫مرة أخرى جند‪:‬‬
‫باملكاملة ّ‬
‫‪𝑎 2‬‬
‫𝐶‪𝑦 +𝐵𝑦+‬‬
‫𝜇‪2‬‬
‫‪-61-‬‬
‫‪𝑢(𝑦) = −‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫الشروط احل ّدية اآلتية‪:‬‬
‫حيث 𝐵 و 𝐶 ثابتني ميكن حتديدهم باستعمال ّ‬
‫‪𝑢(𝑦 = 𝑦0 ) = 0‬‬
‫{‬
‫‪𝑢(𝑦 = −𝑦0 ) = 0‬‬
‫نتحصل على املعادلتني اآلتيتني‪:‬‬
‫و منه‬
‫ّ‬
‫𝑎‬
‫‪−‬‬
‫‪𝑦 2 + 𝐵 𝑦0 + 𝐶 = 0‬‬
‫‪2𝜇 0‬‬
‫𝑎 {‬
‫‪−‬‬
‫‪𝑦0 2 − 𝐵 𝑦0 + 𝐶 = 0‬‬
‫𝜇‪2‬‬
‫إ ّن حل ملة املعادلتني هذه يعطي‪:‬‬
‫‪𝐵=0‬‬
‫‪𝑎 2‬‬
‫=𝐶‬
‫𝑦‬
‫‪2𝜇 0‬‬
‫السرعة جند‪:‬‬
‫و منه بالتّعويض يف عبارة توزيع ّ‬
‫‪𝑎 𝑦0 2‬‬
‫‪𝑦2‬‬
‫= )𝑦(𝑢‬
‫) ‪(1 − 2‬‬
‫𝜇‪2‬‬
‫‪𝑦0‬‬
‫و هي متثل معادلة قطع مكاف ‪.‬‬
‫‪ ‬إيجادِعبارةِالسِرعةِالعظمىِللجريانِ𝒙𝒂𝒎𝒖 ‪:‬‬
‫السرعة أعظمية حت ّقق‪:‬‬
‫إ ّن ّ‬
‫الرتتيبة 𝑥𝑎𝑚𝑦 اليت تكون عندها ّ‬
‫‪=0‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫)‬
‫𝑦=𝑦 𝑦𝜕‬
‫𝑥𝑎𝑚‬
‫و منه يكون‪:‬‬
‫‪𝑦𝑚𝑎𝑥 = 0‬‬
‫‪-62-‬‬
‫(‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫الصفيحتني كما هو موضح يف‬
‫السرعة تكون أعظمية عند منتصف املسافة الفاصلة بني ّ‬
‫أي أ ّن ّ‬
‫الشكل (‪.)8.4‬‬
‫السرعة األعظمية 𝑥𝑎𝑚𝑢‪:‬‬
‫بالتّعويض يف عبارة )𝑦(𝑢 جند عبارة ّ‬
‫‪𝑎 𝑦0 2‬‬
‫=‬
‫𝜇‪2‬‬
‫𝑥𝑎𝑚𝑢‬
‫السرعة العظمى للجريان كاآليت‪:‬‬
‫السرعة بداللة ّ‬
‫إذن ميكن أن نكتب كذلك عبارة توزيع ّ‬
‫‪𝑦2‬‬
‫) ‪𝑢(𝑟) = 𝑢𝑚𝑎𝑥 (1 − 2‬‬
‫‪𝑦0‬‬
‫‪ ‬إيجادِعبارةِإجهادِالقصِ𝝉‪:‬‬
‫لدينا من أجل مائع نيوتوين‪:‬‬
‫𝑢𝑑‬
‫𝑦𝑑‬
‫𝜇=𝜏‬
‫و منه‪:‬‬
‫‪𝑑 𝑎 𝑦0 2‬‬
‫‪𝑦2‬‬
‫𝜇=𝜏‬
‫[‬
‫]) ‪(1 − 2‬‬
‫𝜇 ‪𝑑𝑦 2‬‬
‫‪𝑦0‬‬
‫و منه تكون عبارة إجهاد القص هلذا اجلريان على الشكل‪:‬‬
‫𝑦 𝑎‪𝜏 = −‬‬
‫يتغري خطيا مع 𝑦‪.‬‬
‫أي أ ّن إجهاد القص ّ‬
‫‪ ‬إيجادِعبارةِالتدفقِالحجميِ𝒗𝒒‪:‬‬
‫من خلل التّعريف‪ ،‬إ ّن التدفّق احلجمي للمائع هو‪:‬‬
‫‪-63-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑆𝑑 ⃗‬
‫𝑉 ∬ = 𝑣𝑞‬
‫𝑆‬
‫لكن لدينا 𝑥𝑒 𝑢 = ⃗𝑉 و 𝑥𝑒 𝑆𝑑 = 𝑆𝑑‪ ،‬إذن بالتّعويض يكون‪:‬‬
‫) 𝑥𝑒 𝑆𝑑( ) 𝑥𝑒 𝑢( ∬ = 𝑣𝑞‬
‫𝑆‬
‫و منه‪:‬‬
‫𝑆𝑑 𝑢 ∬ = 𝑣𝑞‬
‫𝑆‬
‫حيث عنصر السطح 𝑆𝑑 يعطى كاآليت‪:‬‬
‫𝑧𝑑 𝑦𝑑 = 𝑆𝑑‬
‫بالتّعويض يف عبارة 𝑣𝑞 جند‪:‬‬
‫‪𝑦0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑎 𝑦0 2‬‬
‫‪𝑦2‬‬
‫[ ∫ ∫ = 𝑣𝑞‬
‫𝑧𝑑 𝑦𝑑 ]) ‪(1 − 2‬‬
‫𝜇‪2‬‬
‫‪𝑦0‬‬
‫‪0 −𝑦0‬‬
‫و منه‪:‬‬
‫‪𝑦0‬‬
‫‪𝑦2‬‬
‫𝑦𝑑 ) ‪∫ (1 − 2‬‬
‫‪𝑦0‬‬
‫‪−𝑦0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑎 𝑦0‬‬
‫= 𝑣𝑞‬
‫𝑧𝑑 ∫‬
‫𝜇‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑦‬
‫‪𝑎 𝑦0 2‬‬
‫‪𝑦3 0‬‬
‫= 𝑣𝑞‬
‫‪∙ (1) [𝑦 −‬‬
‫]‬
‫𝜇‪2‬‬
‫𝑦‪3𝑦0 2 −‬‬
‫‪0‬‬
‫و بالتّايل‪:‬‬
‫‪𝑎 𝑦0 2‬‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑣𝑞‬
‫) ‪(2𝑦0 − 𝑦0‬‬
‫𝜇‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫الصفيحة كاآليت‪:‬‬
‫و أخريا تكون عبارة التدفّق احلجمي هلذا اجلريان يف وحدة عرض ّ‬
‫‪-64-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪2 𝑎 𝑦0 3‬‬
‫= 𝑣𝑞‬
‫𝜇 ‪3‬‬
‫‪ ‬إيجادِعبارةِالسِرعةِالمتوسِطةِ𝒚𝒐𝒎𝒖‪ِ :‬‬
‫املتوسطة تعطى كاآليت‪:‬‬
‫السرعة ّ‬
‫لدينا العلقة اليت تربط بني التدفّق احلجمي و ّ‬
‫𝑆 ∙ 𝑦𝑜𝑚𝑢 = 𝑣𝑞‬
‫و منه‪:‬‬
‫𝑣𝑞‬
‫𝑆‬
‫= 𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫حيث‪:‬‬
‫‪𝑆 = 2𝑦0 ∙ 1 = 2𝑦0‬‬
‫بالتّعويض يف عبارة 𝑦𝑜𝑚𝑢 جند‪:‬‬
‫‪2𝑎 𝑦 3‬‬
‫) ‪(3 𝜇0‬‬
‫‪2𝑦0‬‬
‫= 𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫املتوسطة هلذا اجلريان كاآليت‪:‬‬
‫السرعة ّ‬
‫و أخريا تكون عبارة ّ‬
‫‪𝑎 𝑦0 2‬‬
‫=‬
‫𝜇‪3‬‬
‫𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫السرعة العظمى تكون‪:‬‬
‫و بداللة ّ‬
‫‪2‬‬
‫𝑥𝑎𝑚𝑢 = 𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫‪3‬‬
‫جريانِك ِويت‪ِ :‬‬
‫ِِِِِِِِِِِِج‪ِ ِ.2.‬‬
‫الصفيحة‬
‫السفلى ثابتة بيمنا ّ‬
‫خيتلف جريان كويت عن جريان بوازاي املستوي يف كون ّ‬
‫الصفيحة األفقية ّ‬
‫تتحرك أفقيا بسرعة ثابتة ‪ 𝑉0‬كما هو موضح يف الشكل (‪ ،)9.4‬أي أ ّن جريان املائع هو ناتج من‬
‫العليا ّ‬
‫‪-65-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑡‬
‫𝑝𝑑‪ ،‬و هو‬
‫الضغط وفق احملور 𝑥𝑂 معدوم أي أنّه يكون ‪= 0‬‬
‫تدرج ّ‬
‫حركة الصفيحة العلوية و يكون ّ‬
‫𝑥𝑑‬
‫يسمى جبريان كويت‪.‬‬
‫ما ّ‬
‫𝑦‬
‫‪𝑉0‬‬
‫𝑥‬
‫الصفيحة العلوية املتحّركة‬
‫ّ‬
‫‪𝑦 = 𝑦0‬‬
‫)𝑦(𝑢‬
‫𝑂‬
‫السفلية الثّابتة‬
‫ّ‬
‫الصفيحة ّ‬
‫الرقائقي املستوي‬
‫شكل (‪ :)9.4‬جريان كويت ّ‬
‫السرعة تكون كاآليت‪:‬‬
‫و منه كما يف حالة جريان بوازاي املستوي‪ ،‬عبارة توزيع ّ‬
‫‪𝑎 2‬‬
‫𝐶‪𝑦 +𝐵𝑦+‬‬
‫𝜇‪2‬‬
‫‪𝑢(𝑦) = −‬‬
‫حيث‪:‬‬
‫𝑡𝑝𝑑‬
‫‪=0‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫‪𝑎=−‬‬
‫و منه يكون‪:‬‬
‫𝐶 ‪𝑢(𝑦) = 𝐵 𝑦 +‬‬
‫الشروط احل ّدية اآلتية‪:‬‬
‫حيث 𝐵 و 𝐶 ثابتني ميكن حتديدهم باستعمال ّ‬
‫‪𝑢(𝑦 = 𝑦0 ) = 𝑉0‬‬
‫{‬
‫‪𝑢(𝑦 = −𝑦0 ) = 0‬‬
‫نتحصل على املعادلتني اآلتيتني‪:‬‬
‫و منه‬
‫ّ‬
‫‪-66-‬‬
‫‪𝑦 = −𝑦0‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪𝐵 𝑦0 + 𝐶 = 𝑉0‬‬
‫{‬
‫‪−𝐵 𝑦0 + 𝐶 = 0‬‬
‫إ ّن حل ملة املعادلتني هذه يعطي‪:‬‬
‫‪𝑉0‬‬
‫‪2𝑦0‬‬
‫‪𝑉0‬‬
‫‪2‬‬
‫=𝐵‬
‫=𝐶‬
‫السرعة كاآليت‪:‬‬
‫و منه يف هذا النّوع من اجلريان تكون عبارة توزيع ّ‬
‫𝑦 ‪𝑉0‬‬
‫)‪( + 1‬‬
‫‪2 𝑦0‬‬
‫= )𝑦(𝑢‬
‫و هي متثّل معادلة خط مستقيم‪.‬‬
‫‪ ‬إيجادِعبارةِالتدفِقِالحجميِ𝒗𝒒‪:‬‬
‫ميكن إجياد التدفّق احلجمي هلذا اجلريان كاآليت‪:‬‬
‫𝑆𝑑 ⃗‬
‫𝑉 ∬ = 𝑣𝑞‬
‫𝑆‬
‫لكن لدينا 𝑥𝑒 𝑢 = ⃗𝑉 و 𝑥𝑒 𝑆𝑑 = 𝑆𝑑‪ ،‬بالتّعويض يكون‪:‬‬
‫) 𝑥𝑒 𝑆𝑑( ) 𝑥𝑒 𝑢( ∬ = 𝑣𝑞‬
‫𝑆‬
‫و منه‪:‬‬
‫𝑆𝑑 𝑢 ∬ = 𝑣𝑞‬
‫𝑆‬
‫السطح 𝑆𝑑 يعطى كاآليت‪:‬‬
‫حيث عنصر ّ‬
‫𝑧𝑑 𝑦𝑑 = 𝑆𝑑‬
‫‪-67-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫بالتّعويض يف عبارة 𝑣𝑞 جند‪:‬‬
‫‪𝑦0‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑦 ‪𝑉0‬‬
‫𝑧𝑑 𝑦𝑑 ])‪𝑞𝑣 = ∫ ∫ [ ( + 1‬‬
‫‪2 𝑦0‬‬
‫‪0 −𝑦0‬‬
‫و منه‪:‬‬
‫𝑦‬
‫𝑦𝑑 )‪+ 1‬‬
‫‪𝑦0‬‬
‫‪𝑦0‬‬
‫(∫‬
‫‪−𝑦0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑉0‬‬
‫𝑧𝑑 ∫ = 𝑣𝑞‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑦‬
‫‪0‬‬
‫‪𝑉0‬‬
‫‪𝑦2‬‬
‫[ )‪𝑞𝑣 = ∙ (1‬‬
‫]𝑦 ‪+‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 𝑦0‬‬
‫𝑦‪−‬‬
‫‪0‬‬
‫و بالتايل‪:‬‬
‫‪𝑉0‬‬
‫) ‪(2𝑦0‬‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑣𝑞‬
‫الصفيحة كاآليت‪:‬‬
‫و أخريا تكون عبارة التدفّق احلجمي هلذا اجلريان يف وحدة عرض ّ‬
‫‪𝑞𝑣 = 𝑉0 𝑦0‬‬
‫‪ ‬إيجادِعبارةِالسِرعةِالمتوسِطةِ𝒚𝒐𝒎𝒖‪ِ :‬‬
‫املتوسطة تعطى كاآليت‪:‬‬
‫السرعة ّ‬
‫لدينا العلقة اليت تربط بني التدفّق احلجمي و ّ‬
‫𝑆 ∙ 𝑦𝑜𝑚𝑢 = 𝑣𝑞‬
‫و منه‪:‬‬
‫𝑣𝑞‬
‫𝑆‬
‫= 𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫حيث‪:‬‬
‫‪-68-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪𝑆 = 2𝑦0 ∙ 1 = 2𝑦0‬‬
‫بالتّعويض يف عبارة 𝑦𝑜𝑚𝑢 جند‪:‬‬
‫) ‪(𝑉0 𝑦0‬‬
‫‪2𝑦0‬‬
‫= 𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫املتوسطة هلذا اجلريان كاآليت‪:‬‬
‫السرعة ّ‬
‫و أخريا تكون عبارة ّ‬
‫‪𝑉0‬‬
‫‪2‬‬
‫= 𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫السرعة العظمى هلذا اجلريان هي مساوية لسرعة الصفيحة العليا ‪ 𝑉0‬و بالتايل تكون عبارة‬
‫علما أ ّن ّ‬
‫السرعة العظمى كاآليت‪:‬‬
‫السرعة ّ‬
‫املتوسطة بداللة ّ‬
‫ّ‬
‫‪1‬‬
‫𝑥𝑎𝑚𝑢 = 𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫‪2‬‬
‫‪ِِ.3.4‬الجريانِالمضطرب ِ‬
‫أ‪ .‬تفكيكِرينولدز‪ِ :‬‬
‫إ ّن اجلريان املضطرب كما رأينا يتميّز بالقيم الكبرية لرقم رينولدز‪ .‬و يف هذه احلالة‪ ،‬هناك بديل و هو‬
‫وسطة على جمموعة‬
‫ّ‬
‫املتوسطة جلميع اجملاهيل حبيث نقوم بإدخال مؤثر القيمة املت ّ‬
‫الرتكيز فقط على القيم ّ‬
‫املعادالت بتطبيق "تفكيك رينولدز" على اجملاهيل يف املسألة و املعادالت اجلديدة املتحصل عليها نطلق‬
‫املتوسطة‪ .‬يف اجلريان املضطرب‪ ،‬تعتمد الطّريقة املقرتحة من طرف رينولدز على‬
‫عليها املعادالت بالقيمة ّ‬
‫متوسط‬
‫(السرعة‪ّ ،‬‬
‫تفكيك كل جمهول أو ّ‬
‫الضغط‪ ،‬الكتلة احلجمية ‪ )...‬إىل جزء ّ‬
‫متغري 𝑋 ّ‬
‫‪′‬‬
‫بالزمن (الحظ الشكل ‪ )10.4‬حبيث ميكن كتابة‪:‬‬
‫بالزمن و جزء متذبذب 𝑋 متعلق ّ‬
‫‪𝑋 = 𝑋 + 𝑋′‬‬
‫‪-69-‬‬
‫𝑋‬
‫ال يتعلق‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑋‬
‫)𝑡( ‪𝑋 ′‬‬
‫𝑋‬
‫𝑡‬
‫شكل (‪)10.4‬‬
‫مع العلم أنّه خلل م ّدة زمنية طويلة كفاية مثل 𝑇 تصبح الفرضية‬
‫𝑇‬
‫‪𝑋′ = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑡𝑑 𝑋 ‪𝑋 = ∫0‬‬
‫𝑇‬
‫و منه باستعمال تفكيك رينولدز يكون‪:‬‬
‫𝑇‬
‫‪1‬‬
‫𝑡𝑑 ) ‪𝑋 = ∫0 (𝑋 + 𝑋 ′‬‬
‫𝑇‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑇‬
‫𝑇‬
‫‪1‬‬
‫)𝑡𝑑 ‪𝑋 = (∫0 𝑋 𝑑𝑡 + ∫0 𝑋 ′‬‬
‫𝑇‬
‫أيضا ميكن أن نكتب‪:‬‬
‫𝑇‬
‫‪1‬‬
‫‪1 𝑇 ′‬‬
‫𝑡𝑑 𝑋 ∫ ‪𝑋 = 𝑋 ∫ 𝑑𝑡 +‬‬
‫‪𝑇 0‬‬
‫‪𝑇 0‬‬
‫أو نكتب‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝑋 𝑇 + 𝑋′‬‬
‫𝑇‬
‫=𝑋‬
‫إذن‪:‬‬
‫‪𝑋 = 𝑋 + 𝑋′‬‬
‫‪-70-‬‬
‫مربرة‪ ،‬بالفعل لدينا‪:‬‬
‫ّ‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫و منه نستنتج أ ّن ‪:‬‬
‫‪𝑋′ = 0‬‬
‫املتوسطة باستعمال تفكيك رينولدز‪:‬‬
‫و هذه بعض خصائص مؤثر القيمة ّ‬
‫𝑌‪𝑋+𝑌 =𝑋+‬‬
‫𝑋=𝑋‬
‫𝑋𝜕‬
‫𝑌∙𝑋= 𝑌∙𝑋‬
‫𝑋𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫=‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝑑 𝑋 ∫ = 𝑥𝑑 𝑋 ∫‬
‫‪𝑋′ ∙ 𝑌 = 0‬‬
‫𝑌∙𝑋≠ 𝑌∙𝑋‬
‫‪𝑋 ∙ 𝑌 = 𝑋 ∙ 𝑌 + 𝑋′ ∙ 𝑌′‬‬
‫𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝛼‪:‬‬
‫‪𝑋′ ∙ 𝑌′ ≠ 𝑋′ ∙ 𝑌′‬‬
‫𝑋𝛼= 𝑋𝛼‬
‫ب‪ِ .‬معادلةِاالستمراريةِبالقيمةِالمتوسطة‪:‬‬
‫املتوسطة و ذلك من أجل جريان مضطرب غري قابل‬
‫نريد هنا إجياد معادلة االستمرارية بالقيمة ّ‬
‫للنضغاط‪ .‬يف هذه احلالة لدينا‪:‬‬
‫‪⃗ =0‬‬
‫𝑉 𝑣𝑖𝑑‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑤𝜕 𝑣𝜕 𝑢𝜕‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑧𝜕 𝑦𝜕 𝑥𝜕‬
‫بتطبيق تفكيك رينولدز بالنسبة للمجاهيل يف املعادلة جند‪:‬‬
‫) ‪𝜕(𝑢 + 𝑢′ ) 𝜕(𝑣 + 𝑣 ′ ) 𝜕(𝑤 + 𝑤 ′‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫املتوسطة على هذه املعادلة جند‪:‬‬
‫بإدخال مؤثر القيمة ّ‬
‫‪-71-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫) ‪𝜕(𝑢 + 𝑢′ ) 𝜕(𝑣 + 𝑣 ′ ) 𝜕(𝑤 + 𝑤 ′‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫املتوسطة جند‪:‬‬
‫و منه حسب خصائص مؤثر القيمة ّ‬
‫) ‪𝜕(𝑢 + 𝑢′ ) 𝜕(𝑣 + 𝑣 ′ ) 𝜕(𝑤 + 𝑤 ′‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫حيث كما رأينا سابق‪ ،‬لدينا ‪ 𝑋 ′ = 0‬أي أ ّن‪ ،𝑢′ = 𝑣 ′ = 𝑤 ′ = 0 :‬و منه يكون‪:‬‬
‫𝑤𝜕 𝑣𝜕 𝑢𝜕‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪=0‬‬
‫𝑧𝜕 𝑦𝜕 𝑥𝜕‬
‫املتوسطة من أجل جريان مضطرب غري قابل للنضغاط‪.‬‬
‫و هي متثل معادلة االستمرارية بالقيمة ّ‬
‫ِ‬
‫ج‪ .‬معادلةِنافييرِوِستوكسِبالقيمةِالمتوسطة‪:‬‬
‫املتوسطة و ذلك من أجل جريان مضطرب غري قابل‬
‫نريد هنا إجياد معادلة نافيري و ستوكس بالقيمة ّ‬
‫للنضغاط‪ .‬باستعمال االحداثيات الكارتيزية‪ ،‬نقوم بإسقاط معادلة نافيري و ستوكس على احملور‬
‫فيكون‪:‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑝𝜕‬
‫𝑢‪𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2‬‬
‫𝑢‪𝜌( +‬‬
‫𝑣‪+‬‬
‫‪+𝑤 )=−‬‬
‫)‪+ 𝜇 ( 2 + 2 + 2‬‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫بتطبيق تفكيك رينولدز على اجملاهيل يف املعادلة جند‪ِ :‬‬
‫) ‪𝜕(𝑢 + 𝑢′‬‬
‫) ‪𝜕(𝑢 + 𝑢′‬‬
‫) ‪𝜕(𝑢 + 𝑢′‬‬
‫) ‪𝜕(𝑢 + 𝑢′‬‬
‫‪′‬‬
‫[𝜌‬
‫) 𝑢 ‪+ (𝑢 +‬‬
‫𝑣‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫]‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫) ‪𝜕(𝑝 + 𝑝′‬‬
‫) ‪𝜕 2 (𝑢 + 𝑢′ ) 𝜕 2 (𝑢 + 𝑢′ ) 𝜕 2 (𝑢 + 𝑢′‬‬
‫‪=−‬‬
‫[ 𝜇‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫]‬
‫𝑥𝜕‬
‫‪𝜕𝑥 2‬‬
‫‪𝜕𝑦 2‬‬
‫‪𝜕𝑧 2‬‬
‫و منه يكون‪:‬‬
‫‪-72-‬‬
‫𝑥‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪𝜕𝑢 𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪𝜌( +‬‬
‫𝑢‪+‬‬
‫𝑢‪+‬‬
‫𝑢‪+‬‬
‫𝑢‪+‬‬
‫𝑣‪+‬‬
‫𝑣‪+‬‬
‫‪+ 𝑣′‬‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫𝑣‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫)‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫‪𝜕𝑝 𝜕𝑝′‬‬
‫‪𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢′ 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢′ 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢′‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+𝜇( 2 +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫)‬
‫𝑥𝜕 𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫‪𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝑧 2‬‬
‫املتوسطة على هذه املعادلة جند‪:‬‬
‫و بإدخال مؤثر القيمة ّ‬
‫‪𝜕𝑢 𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪𝜌( +‬‬
‫𝑢‪+‬‬
‫𝑢‪+‬‬
‫‪+ 𝑢′‬‬
‫‪+ 𝑢′‬‬
‫𝑣‪+‬‬
‫𝑣‪+‬‬
‫‪+ 𝑣′‬‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫)‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫‪𝑣′‬‬
‫‪+‬‬
‫‪𝜕𝑝 𝜕𝑝′‬‬
‫‪𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢′ 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢′ 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢′‬‬
‫‪=−‬‬
‫‪−‬‬
‫‪+𝜇( 2 +‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫)‬
‫𝑥𝜕 𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫‪𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝑧 2‬‬
‫حيث كما رأينا سابق املقدار لدينا ‪ 𝑋 ′ = 0‬أي أ ّن‪ 𝑢′ = 𝑣 ′ = 𝑤 ′ = 0 :‬و ‪ ،𝑝′ = 0‬و كذلك‬
‫𝑢𝜕 و منه يكون‪:‬‬
‫لدينا ‪= 0‬‬
‫𝑡𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫𝑢( 𝜌‬
‫𝑣‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫𝑢‪+‬‬
‫𝑣‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫)‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑝𝜕‬
‫𝑢‪𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2‬‬
‫‪=−‬‬
‫)𝐼( ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ) ‪+ 𝜇 ( 2 + 2 + 2‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫ومن جهة أخرى لدينا‪:‬‬
‫𝑦𝜕‬
‫و حسب معادلة االستمرارية يكون‪:‬‬
‫‪+ 𝑣′‬‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑦𝜕‬
‫‪𝜕𝑣 ′‬‬
‫𝑦𝜕‬
‫‪= 𝑢′‬‬
‫) ‪𝜕(𝑢′ 𝑣 ′‬‬
‫‪𝜕𝑤 ′‬‬
‫‪) + 𝑣′‬‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫‪−‬‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫‪= 𝑢′ (−‬‬
‫و منه جند‪:‬‬
‫) ‪𝜕𝑢′ 𝜕(𝑢′ 𝑣 ′‬‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫‪𝜕𝑤 ′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫𝑣‬
‫=‬
‫𝑢‪+‬‬
‫𝑢‪+‬‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫‪′‬‬
‫و بالتّعويض يف العلقة (‪ )I‬جند‪:‬‬
‫‪-73-‬‬
‫) ‪𝜕(𝑢′ 𝑣 ′‬‬
‫𝑦𝜕‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫) ‪𝜕𝑢′ 𝜕(𝑢′ 𝑣 ′ ) 𝜕(𝑢′ 𝑤 ′‬‬
‫‪′‬‬
‫𝑢( 𝜌‬
‫𝑣‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫𝑢‪+2‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫)‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑝𝜕‬
‫𝑢‪𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2‬‬
‫‪=−‬‬
‫)‪+ 𝜇 ( 2 + 2 + 2‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑣‪+‬‬
‫) 𝑤‪+‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑢( 𝜌‬
‫𝑝𝜕‬
‫𝑢‪𝜕2‬‬
‫‪𝜕𝑢′‬‬
‫𝑢‪𝜕2‬‬
‫) ‪𝜕(𝑢′ 𝑣 ′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪=−‬‬
‫𝑢 𝜌‪+ (𝜇 2 − 2‬‬
‫𝜌 ‪) + (𝜇 2 −‬‬
‫)‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑢‪𝜕2‬‬
‫) ‪𝜕(𝑢′ 𝑤 ′‬‬
‫𝜌 ‪+ (𝜇 2 −‬‬
‫)‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫و منه يكون‪:‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑣‪+‬‬
‫) 𝑤‪+‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝜕 𝑝𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫‪=−‬‬
‫‪+‬‬
‫‪− 𝜌 𝑢′2 ) +‬‬
‫) ‪− 𝜌 𝑢′ 𝑣 ′‬‬
‫𝜇(‬
‫𝜇(‬
‫𝑥𝜕 𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝜇( ‪+‬‬
‫) ‪− 𝜌 𝑢′ 𝑤 ′‬‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑢( 𝜌‬
‫بنفس الطريقة نقوم بإسقاط معادلة نافيري و ستوكس على احملورين 𝑦 و 𝑧 فتحصل على ملة املعادالت‬
‫السلّمية اآلتية‪:‬‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝜕 𝑝𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝜕‬
‫𝑢𝜕‬
‫𝑣‪+‬‬
‫‪+𝑤 )=−‬‬
‫‪+‬‬
‫𝜇(‬
‫‪− 𝜌 𝑢′2 ) +‬‬
‫𝜇(‬
‫𝜇( ‪− 𝜌 𝑢′ 𝑣 ′ ) +‬‬
‫) ‪− 𝜌 𝑢′ 𝑤 ′‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑥𝜕 𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑣𝜕‬
‫𝑣𝜕‬
‫𝑣𝜕‬
‫𝜕 𝑝𝜕‬
‫𝑣𝜕‬
‫𝜕‬
‫𝑣𝜕‬
‫𝜕‬
‫𝑣𝜕‬
‫𝑢( 𝜌‬
‫𝑣‪+‬‬
‫‪+𝑤 )=−‬‬
‫‪+‬‬
‫𝜇(‬
‫‪− 𝜌 𝑢′ 𝑣 ′ ) +‬‬
‫𝜇(‬
‫𝜇( ‪− 𝜌 𝑣 ′2 ) +‬‬
‫)‪− 𝜌 𝑣′𝑤′‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑥𝜕 𝑦𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑤𝜕‬
‫𝑤𝜕‬
‫𝑤𝜕‬
‫𝑝𝜕‬
‫𝜕‬
‫𝑤𝜕‬
‫𝜕‬
‫𝑤𝜕‬
‫𝜕‬
‫𝑤𝜕‬
‫𝑢( 𝜌‬
‫𝑣‪+‬‬
‫𝑤‪+‬‬
‫‪)=−‬‬
‫‪− 𝜌𝑔 +‬‬
‫𝜇(‬
‫‪− 𝜌 𝑢′ 𝑤 ′ ) +‬‬
‫𝜇(‬
‫𝜇( ‪− 𝜌 𝑣 ′ 𝑤 ′ ) +‬‬
‫) ‪− 𝜌 𝑤 ′2‬‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑥𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑦𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫𝑧𝜕‬
‫{‬
‫𝑢( 𝜌‬
‫تسمى بإجهادات رينولدز املضطربة و‬
‫نلحظ من خلل هذه املعادالت ظهور ستّة جماهيل جديدة ّ‬
‫يسمى بتنسور اإلجهادات لرينولدز و هو كاآليت‪:‬‬
‫تش ّكل تنسور متناظر 𝑇 ّ‬
‫‪-74-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪−𝜌 𝑢′ 𝑤 ′‬‬
‫‪−𝜌 𝑢′ 𝑣 ′‬‬
‫‪−𝜌 𝑢′2‬‬
‫] ‪−𝜌 𝑣 ′ 𝑤 ′‬‬
‫‪−𝜌 𝑣 ′2‬‬
‫‪𝑇 = [ −𝜌 𝑢′ 𝑣 ′‬‬
‫‪−𝜌 𝑤 ′2‬‬
‫‪−𝜌 𝑣 ′ 𝑤 ′‬‬
‫‪−𝜌 𝑢′ 𝑤 ′‬‬
‫ِِ‬
‫د‪ .‬مسألةِالغلق‪:‬‬
‫إ ّن املعادالت اليت جيب تشكيلها إلجياد املقادير املميّزة للمائع يف كل نقطة ويف كل حلظة يعتمد على‬
‫املتوسطة (معادلة واحدة‬
‫عدد اجملاهيل‪ .‬و كما رأينا سابقا‪ ،‬فقد ّ‬
‫حتصلنا على أربعة معادالت بالقيمة ّ‬
‫من االستمرارية و ثل معادالت سلّمية من معادلة نافيري و ستوكس) بعشرة جماهيل و هي‬
‫(𝑢‪،𝑣 ،‬‬
‫𝑤 و 𝑝) باإلضافة لظهور ستّة جماهيل جديدة اليت تدعى بإجهادات رينولدز املضطربة و منه فإ ّن املسألة‬
‫غري مغلوقة‪ .‬و بالتّايل فإ ّن مشكل االضطراب يكمن كلّية يف حتديد إجهادات رينولدز املضطربة‪ .‬و منه‬
‫لغلق هذه املسألة جيب و ضع فرضيات معيّنة و إدخال مناذج من أجل هذه اإلجهادات‪.‬‬
‫‪-75-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫الفصلِالخامسِ–ِفواقدِالشحنةِ‬
‫‪ِ.1.5‬تعميمِمعادلةِبرنولي ِ‬
‫الشحنة حمفوظة‬
‫الضغط الكلّي أو ّ‬
‫إ ّن استعمال معادلة برنويل خاص فقط باملوائع املثالية حيث يكون ّ‬
‫(𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝑉𝜌 ‪ .)𝑝𝑡 = 𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 + 12‬بالنّسبة للموائع احلقيقية األمر خيتلف (𝑒𝑡𝑠𝑐 ≠ 𝑡𝑝) و ذلك‬
‫املعممة و‬
‫بسبب االحتكاكات النّاجتة عن لزوجة املائع‪ .‬إذن‬
‫سنتطرق يف هذا الفصل إىل معادلة برنويل ّ‬
‫ّ‬
‫اليت ميكن استعماهلا لتشمل أيضا املوائع احلقيقية‪.‬‬
‫االجتاه يف الفصل الرابع‪ ،‬و جدنا انطلقا من‬
‫الرقائقي أحادي ّ‬
‫كما رأينا سابقا يف اجلزء املتعلّق باجلريان ّ‬
‫االجتاه وفق احملور‬
‫معادلة نافيري و ستوكس أنّه من أجل جريان رقائقي و دائم ملائع حقيقي أحادي ّ‬
‫𝑥𝑂‬
‫الشحنة 𝑡𝑝 بالنّسبة ل ـ 𝑥 ثابتا و ذو‬
‫التغري يف ّ‬
‫تكون ّ‬
‫متغرية خطّيا مع 𝑥‪ ،‬حيث يكون مقدار ّ‬
‫الشحنة ّ‬
‫قيمة سالبة أي أ ّن هناك فقد يف الشحنة‪.‬‬
‫الشحنـ ـ ـ ـ ـة‬
‫عامة ميكن تعميم معادل ـ ـ ـ ـة برن ـ ـويل لتشمل املوائع احلقيقية و ذلك باظهار فاق ـ ـ ـد ّ‬
‫و بصفة ّ‬
‫𝑡𝑝∆ كاآليت‪:‬‬
‫𝑡𝑝∆ ‪𝑝𝑡1 = 𝑝𝑡2 +‬‬
‫أو نكتب‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑡𝑝∆ ‪𝑝1 + 𝜌 𝑔 𝑧1 + 𝜌𝑉1 2 = 𝑝2 + 𝜌 𝑔 𝑧2 + 𝜌𝑉2 2 +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫للشحنة كما‬
‫الشحنة الكلّي و هو يساوي جمموع الفواقد اخلطّية و الثّانوية ّ‬
‫حيث 𝑡𝑝∆ ميثل فاقد ّ‬
‫سنتعرف على ذلك فيما سيأيت‪.‬‬
‫ّ‬
‫‪-76-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪ِ.2.5‬فاقدِالشِحنةِالخطِي‬
‫بالنّسبة جلريان رقائقي و دائم ملائع لزج غري قابل للنضغاط داخل أنبوب أسطواين نصف قطره 𝑅 أي‬
‫املتوسطة تعطى كاآليت‪:‬‬
‫السرعة ّ‬
‫بالنّسبة جلريان بوازاي األسطواين (الفصل ّ‬
‫الرابع)‪ ،‬وجدنا أ ّن عبارة ّ‬
‫‪𝑎 𝑅2‬‬
‫=‬
‫𝜇‪8‬‬
‫𝑦𝑜𝑚𝑢‬
‫𝑡‬
‫𝑝𝑑 ‪ ،𝑎 = −‬و منه جند‪:‬‬
‫حيث‪:‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝜇 ‪𝑑𝑝𝑡 8‬‬
‫𝑦𝑜𝑚𝑢 ‪= 2‬‬
‫𝑥𝑑‬
‫𝑅‬
‫‪−‬‬
‫الضغط الكلي ‪ ∆𝑝𝑡 = 𝑝𝑡1 − 𝑝𝑡2‬أي أ ّن‪:‬‬
‫من أجل طول قدره ‪ ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1‬يكون اهلبوط يف ّ‬
‫𝜇‪8‬‬
‫𝑢‬
‫𝑥∆ ∙‬
‫𝑦𝑜𝑚 ‪𝑅2‬‬
‫حيث‪:‬‬
‫𝑡𝑝∆‬
‫= 𝑡𝑝∆‬
‫معرب عنه بالباسكال (𝑎𝑃)‪.‬‬
‫ميثّل فاقد الشحنة اخلطّي ّ‬
‫السرعة 𝑉 متثّل‬
‫و من أجل صياغة عبارة فاقد ّ‬
‫الشحنة على طول 𝐿 من أنبوب قطره 𝐷 و باعتبار أ ّن ّ‬
‫املتوسطة 𝑦𝑜𝑚𝑢 يكون‪:‬‬
‫السرعة ّ‬
‫ّ‬
‫𝐿∙𝑉‬
‫𝜇‪8‬‬
‫= 𝑡𝑝∆‬
‫‪𝐷 2‬‬
‫)‪(2‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫𝜇‪32‬‬
‫𝐿∙𝑉‬
‫‪𝐷2‬‬
‫= 𝑡𝑝∆‬
‫و لدينا من عبارة رقم رينولدز‪:‬‬
‫𝐷𝑉𝜌‬
‫𝑒𝑅‬
‫و منه بتعويض عبارة‬
‫𝜇‬
‫=𝜇‬
‫الشحنة اخلطّي يكون‪:‬‬
‫يف عبارة فاقد ّ‬
‫‪-77-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪1‬‬
‫𝐿 ‪64‬‬
‫∙ ‪∆𝑝𝑡 = 𝜌𝑉 2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝐷 𝑒𝑅‬
‫حيث‪ :‬املقدار‬
‫‪64‬‬
‫𝑒𝑅‬
‫بالرمز 𝜆‪.‬‬
‫و يرمز له ّ‬
‫‪‬‬
‫الرقائقي‬
‫يسمى معامل فاقد ّ‬
‫و هو رقم ال بعدي ّ‬
‫الشحنة اخلطّي يف حالة اجلريان ّ‬
‫الرقائقي و‬
‫انطلقا من هذه النّتيجة ميكن تعميم عبارة فاقد ّ‬
‫الشحنة اخلطّي بالنّسبة للجريان ّ‬
‫الشحنة على طول 𝐿 من أنبوب قطره 𝐷 كاآليت‪:‬‬
‫املضطرب معا و ذلك من أجل كل فقد يف ّ‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫𝜆 ∙ ‪∆𝑝𝑡 = 𝜌𝑉 2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝐷‬
‫الشحنـ ـ ـ ـ ـة اخلطّـ ـ ـ ـ ـي 𝜆 ميكن حسابـ ـ ـ ـ ـ ـه كاآليت‪:‬‬
‫حيث معامل فاقد ّ‬
‫يانِالرقائقيِ(𝟎𝟎𝟎𝟐 < 𝒆𝑹)‪:‬‬
‫‪ ‬الجر ِ‬
‫‪64‬‬
‫𝑒𝑅‬
‫‪ ‬الجريانِالمضطرب‪:‬‬
‫=𝜆‬
‫ميكن استعمال علقة بلزيوس و ذلك من أجـ ـ ـ ـ ـ ـل األنابيب امللساء و هي تعط ـ ـ ـ ـ ـ ـى كاآليت‪:‬‬
‫‪0.3164‬‬
‫‪𝑅𝑒 0.25‬‬
‫=𝜆‬
‫من أجل‪:‬‬
‫‪2100 < 𝑅𝑒 < 105‬‬
‫كما ميكن استعمال علقة كولربوك و ذلك من أجل األنابيب امللساء و الغري ملساء و هي‬
‫تقريبا مقبولة على كامل جمال االضطراب حيث تعطى كاآليت‪:‬‬
‫ِ‬
‫]‬
‫‪2.51‬‬
‫𝜆√∙𝑒𝑅‬
‫‪+‬‬
‫𝜀‬
‫𝐷‬
‫) (‬
‫‪3.7‬‬
‫[ ‪= −2 𝑙𝑜𝑔10‬‬
‫‪1‬‬
‫𝜆√‬
‫من أجل‪:‬‬
‫‪𝑅𝑒 > 4000‬‬
‫موضح يف الشكل (‪.)1.5‬‬
‫املتوسط خلشونة جدار األنبوب كما هو ّ‬
‫حيث 𝜀 ميثل البعد ّ‬
‫‪-78-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫املتوسط خلشونة جدار األنبوب‬
‫شكل (‪ :)1.5‬البعد ّ‬
‫𝜀‬
‫يتم تعويض قطر األنبوب 𝐷 بالقطر اهليدروليكي‬
‫مالحظة‪ :‬إذا كان مقطع األنبوب غري دائري‪ّ ،‬‬
‫‪ 𝐷ℎ‬الذي يعطى كاآليت‪:‬‬
‫𝑆‪4‬‬
‫𝑃‬
‫= ‪𝐷ℎ‬‬
‫حيث 𝑆 متثّل مساحة املقطع و 𝑃 ميثّل احمليط‪.‬‬
‫كما ميكن لتحديد قيمة 𝜆 استعمال املنحنيات البيانية مثل خمطّط مودي )‪ (Moody‬الذي‬
‫موضح يف الشكل (‪.)2.5‬‬
‫هو ّ‬
‫شكل (‪ :)2.5‬خمطط مودي‬
‫‪-79-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫مثال‪ِ :‬‬
‫‪3‬‬
‫ضخه عرب أنبوب أفقي قطره‬
‫نعترب سائل كتلته احلجمية 𝑚‪ 𝜌 = 860 𝑘𝑔/‬يتم َ‬
‫𝑚𝑐‪𝐷 = 5‬‬
‫و طوله 𝑚‪ 300‬بتدفّق حجمي قدره 𝑠‪ ،𝑞𝑣 = 1.2 𝑙/‬كما نعترب أ ّن اجلريان داخل األنبوب‬
‫الشحنة اخلطّي هلذا اجلريان هو 𝑎𝑃 ‪ .∆𝑝𝑡 = 2.06 ∙ 105‬املطلوب هو‬
‫رقائقي و أ ّن فاقد ّ‬
‫للسائل املستعمل‪.‬‬
‫حساب معامل اللّزوجة ال ّديناميكية ّ‬
‫الحل‪ِ :‬‬
‫للسائل داخل األنبوب 𝑉 و ذلك باستعمال عبارة التدفّق احلجمي‬
‫السرعة ّ‬
‫املتوسطة ّ‬
‫حنسب ّأوال ّ‬
‫اليت تعطى كاآليت‪:‬‬
‫𝑆 ∙ 𝑉 = 𝑣𝑞‬
‫حيث 𝑆 متثل مساحة مقطع األنبوب و هي تعطى كاآليت‪:‬‬
‫و منه جند‪:‬‬
‫‪𝐷2‬‬
‫𝜋=𝑆‬
‫‪4‬‬
‫𝑣𝑞‬
‫‪𝐷2‬‬
‫) ‪(𝜋 4‬‬
‫=𝑉‬
‫تطبيق عددي‪:‬‬
‫‪1.2 ∙ 10−3‬‬
‫=𝑉‬
‫‪(0.05)2‬‬
‫) ‪(3.14 4‬‬
‫و منه‪:‬‬
‫𝑠‪𝑉 = 0.61 𝑚/‬‬
‫الشحنة اخلطّي‪:‬‬
‫لدينا كذلك من عبارة فاقد ّ‬
‫ومنه ميكننا حساب معامل فاقد‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫𝜆 ∙ ‪∆𝑝𝑡 = 𝜌𝑉 2‬‬
‫‪2‬‬
‫𝐷‬
‫الشحنة اخلطّي 𝜆 و ذلك كاآليت‪:‬‬
‫ّ‬
‫‪-80-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑡𝑝∆‬
‫‪1‬‬
‫𝐿‬
‫)𝐷 ∙ ‪(2 𝜌𝑉 2‬‬
‫تطبيق عددي‪:‬‬
‫=𝜆‬
‫‪2.06 ∙ 105‬‬
‫و منه‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪300‬‬
‫∙ ‪[ (860)(0.61)2‬‬
‫]‬
‫‪2‬‬
‫‪0.05‬‬
‫=𝜆‬
‫‪𝜆 ≈ 0.22‬‬
‫و مبا أ ّن اجلريان رقائقي إذن‪:‬‬
‫‪64‬‬
‫𝑒𝑅‬
‫=𝜆‬
‫و منه ميكننا حساب رقم رينولدز و ذلك كاآليت‪:‬‬
‫تطبيق عددي‪:‬‬
‫و‬
‫منه‪𝑅𝑒 ≈ 290.91 :‬‬
‫‪64‬‬
‫𝜆‬
‫= 𝑒𝑅‬
‫‪64‬‬
‫‪0.22‬‬
‫= 𝑒𝑅‬
‫و من جهة أخرى لدينا‪:‬‬
‫𝐷𝑉𝜌‬
‫𝜇‬
‫= 𝑒𝑅‬
‫حيث 𝜇 ميثل معامل اللزوجة الديناميكية و بالتايل ميكن حسابه كاآليت‪:‬‬
‫تطبيق عددي‪:‬‬
‫𝐷𝑉𝜌‬
‫𝑒𝑅‬
‫=𝜇‬
‫)‪(860) (0.61) (0.05‬‬
‫‪290.91‬‬
‫=𝜇‬
‫للسائل املستعمل هي‪:‬‬
‫و منه فإ ّن قيمة معامل اللّزوجة ال ّديناميكية ّ‬
‫‪-81-‬‬
‫𝑔𝑘‬
‫𝑠𝑚‬
‫‪𝜇 ≈ 0.09‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪ِ.3.5‬فاقدِالشِحنةِالثِانوي‬
‫التغريات الفجائية يف مقطع‬
‫إ ّن فاقد ّ‬
‫الشحنة الثّانوي أو الفردي هو ناتج عن حواد اجلريان مثل ّ‬
‫تغري ّاجتاه األنبوب ‪ ،...‬إ ّن هذه احلواد اليت تقع للجريان متثل مصدر لفاقد‬
‫األنبوب و كذلك مثل ّ‬
‫الشحنة الثّانوي الذي ميكن حسابه كاآليت‪:‬‬
‫ّ‬
‫الشحنة‬
‫يسمى معامل فاقد ّ‬
‫حيث 𝐾 ّ‬
‫باحملاكاة العددية‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐾 ∙ ‪∆𝑝𝑡 = 𝜌𝑉 2‬‬
‫‪2‬‬
‫الثّانوي‪ .‬عمليا قيم 𝐾 ميكن‬
‫احلصول عليها جتريبيا أو حتليليا أو‬
‫مثالِ(‪ِ :)1‬‬
‫الشحنة الثّانوي 𝐾 النّاتج عن توسيع مفاج‬
‫نريد هنا انطلقا من معطيات التّجربة حساب معامل فاقد ّ‬
‫يف مقطع أنبوب أسطواين ينقل املاء ذو الكتلة احلجمية ‪ ρ = 1000𝑘𝑔/𝑚3‬و ذلك بتدفّق حجمي‬
‫قدره 𝑠‪ .𝑞𝑣 = 0.5 𝑚3 /‬حبيث قبل االتّساع كان نصف قطر األنبوب 𝑚𝑐‪ 𝑅1 = 20‬و بعد االتّساع‬
‫أصبح نصف قطر األنبوب 𝑚𝑐‪ . 𝑅2 = 40‬كما متّ توضيحه يف الشكل (‪ ،)3.5‬مقطعي األنبوب‬
‫موصولـ ـ ـ ـ ـني بأنبوبني بيزومرتيني‪ ،‬حيـ ـ ـث كان الف ـ ـ ـ ـ ـ ـرق يف مستـ ـ ـ ـوى امل ـ ـ ـ ـ ـاء بني األنب ـ ـ ـوبني البيـزومرتيني‬
‫هو‬
‫‪.∆ℎ = 0.4 𝑚 𝐶. 𝐸.‬‬
‫ِ‬
‫ِ‬
‫شكل (‪)3.5‬‬
‫‪-82-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫املعممة بني مقطعي األنبوب جند‪:‬‬
‫باستخدام معادلة برنويل ّ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑡𝑝∆ ‪𝑝1 + 𝜌 𝑔 𝑦1 + 𝜌𝑉1 2 = 𝑝2 + 𝜌 𝑔 𝑦2 + 𝜌𝑉2 2 +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫حيث 𝑡𝑝∆ ميثل فاقد الشحنة الثانوي و هو يساوي‬
‫‪1‬‬
‫𝐾 ∙ ‪∆𝑝𝑡 = 𝜌𝑉1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫الشحنة الثّانوي كاآليت‪:‬‬
‫إذن ميكن حساب عبارة معامل فاقد ّ‬
‫و باعتبار أ ّن ‪،𝑦1 = 𝑦2‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪(𝑝1 − 𝑝2 ) + 𝜌(𝑉1 2 − 𝑉2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫=𝐾‬
‫‪1‬‬
‫‪𝜌𝑉 2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫الضغط ) ‪ (𝑝1 − 𝑝2‬من خلل الفرق يف مستوى املاء بني األنبوبني‬
‫حيث ميكن حساب الفرق يف ّ‬
‫الساكنة و الغري قابلة للنضغاط (الفصل‬
‫البيزومرتيني ‪ ∆ℎ‬و ذلك باستعمال العبارة األساسية للموائع ّ‬
‫األول) كاآليت‪:‬‬
‫ّ‬
‫‪𝑝1 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌 𝑔 ℎ1‬‬
‫‪𝑝2 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌 𝑔 ℎ2‬‬
‫و منه جند‪:‬‬
‫‪𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌 𝑔(ℎ1 − ℎ2 ) = −𝜌 𝑔 ∆ℎ‬‬
‫تطبيق عددي‪:‬‬
‫𝑎𝑃 ‪𝑝1 − 𝑝2 = −(1000)(9.81)(0.4) = −3924‬‬
‫السرعة ‪ 𝑉1‬و ‪ 𝑉2‬انطلقا من عبارة التدفّق حيث‪:‬‬
‫و كذلك ميكن حساب ّ‬
‫𝑣𝑞‬
‫‪𝜋 𝑅12‬‬
‫=‬
‫𝑣𝑞‬
‫‪𝑆1‬‬
‫= ‪𝑉1‬‬
‫و‬
‫𝑣𝑞‬
‫‪𝑅22‬‬
‫𝜋‬
‫=‬
‫𝑣𝑞‬
‫‪𝑆2‬‬
‫= ‪𝑉2‬‬
‫تطبيق عددي‪:‬‬
‫‪𝑉1 = 3.140.5‬و‬
‫𝑠‪= 3.98 𝑚/‬‬
‫‪(0.2)2‬‬
‫‪-83-‬‬
‫𝑠‪= 1 𝑚/‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪3.14 (0.4)2‬‬
‫= ‪𝑉2‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫الشحنة الثّانوي يكون‪:‬‬
‫بالتّعويض يف عبارة فاقد ّ‬
‫‪1‬‬
‫] ‪−3924 + (1000)[(3.98)2 − (1)2‬‬
‫‪2‬‬
‫=𝐾‬
‫‪1‬‬
‫‪(1000)(3.98)2‬‬
‫‪2‬‬
‫و منه جند‪:‬‬
‫‪𝐾 = 0.44‬‬
‫ِ‬
‫مثالِ(‪:)2‬‬
‫الشحنة الثّانوي 𝐾 النّاتج عن توسيع مفاج يف مقطع األنبوب‬
‫نريد هنا إجياد حتليليا عبارة معامل فاقد ّ‬
‫كمية احلركة‪ .‬نعترب أ ّن هذا األنبوب‬
‫كما هو ّ‬
‫موضح يف الشكل (‪ )5.4‬و ذلك باستعمال نظرية احنفاظ ّ‬
‫ينقل مائع كتلته احلجمية ‪ ،ρ‬حبيث قبل االتّساع كانت مساحة مقطع األنبوب ‪ 𝑆1‬و سرعة اجلريان‬
‫‪𝑉1‬‬
‫و بعد االتّساع أصبح نصف قطر األنبوب ‪ 𝑆2‬و سرعة اجلريان ‪ .𝑉2‬و ليكن 𝑚𝑞 التدفّق الكتلي للمائع‬
‫الضغط قبل اتّساع األنبوب و ‪ 𝑝2‬الضغط بعد اتّساع األنبوب‪ .‬نعترب اجلريان‬
‫الذي بداخله و ليكن ‪ّ 𝑝1‬‬
‫دائم كما هنمل قوى احلجم‪.‬‬
‫شكل (‪)4.5‬‬
‫كمية احلركة بالنّسبة حلجم املراقبة املشكل ألنبوب التيّار‬
‫مبا أ ّن اجلريان دائم‪ ،‬إذن بتطبيق نظرية احنفاظ ّ‬
‫املوضح يف الشكل (اخلطوط املتقطّعة) يكون لدينا‪:‬‬
‫ّ‬
‫‪-84-‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫𝑉( ⃗‬
‫𝑡𝑥𝑒𝐹 ∑ = 𝑆𝑑)⃗𝑛 ⃗‬
‫𝑉𝜌 ∬‬
‫𝑆‬
‫و منه جند‪:‬‬
‫𝑉( ‪⃗ 1‬‬
‫𝑉 𝜌 ∬ ‪⃗ 1 𝑛⃗1 )𝑑𝑆 +‬‬
‫𝑉( ‪⃗ 2‬‬
‫𝑉 𝜌 ∬ ‪⃗ 2 𝑛⃗2 )𝑑𝑆 +‬‬
‫𝑉( 𝐿 ⃗‬
‫⃗𝑃 ‪⃗ 𝐿 𝑛⃗𝐿 )𝑑𝑆 = 𝑅⃗ +‬‬
‫𝑉 𝜌 𝑆∬‬
‫𝑆‬
‫𝑆‬
‫𝐿‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫⃗‬
‫⃗‬
‫السطح اجلانيب ألنبوب التيار‪.‬‬
‫السطح‪ 𝑃 ،‬متثّل قوى احلجم و 𝐿𝑆 متثل مساحة ّ‬
‫حيث‪ 𝑅 :‬متثّل قوى ّ‬
‫و منه يكون‪:‬‬
‫𝑉 𝑚𝑞 ‪⃗ 1 +‬‬
‫⃗𝑃 ‪⃗ 2 + 0 = 𝑅⃗ +‬‬
‫𝑉 𝑚𝑞‪−‬‬
‫مبا أ ّن قوى احلجم مهملة‪ ،‬إذن بإسقاط هذه العلقة على احملور 𝑥 جند‪:‬‬
‫) ‪−𝑞𝑚 𝑉1 + 𝑞𝑚 𝑉2 + 0 = 𝑝1 𝑆1 − 𝑝2 𝑆2 + 𝑝1 (𝑆2 − 𝑆1‬‬
‫و منه‪:‬‬
‫) ‪𝑞𝑚 (𝑉2 −𝑉1 ) = 𝑆2 (𝑝1 − 𝑝2‬‬
‫و لدينا ‪ ،𝑞𝑚 = 𝜌 𝑉1 𝑆1 = 𝜌 𝑉2 𝑆2‬إذن‪:‬‬
‫) ‪𝜌 𝑉2 𝑆2 (𝑉2 −𝑉1 ) = 𝑆2 (𝑝1 − 𝑝2‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫) ‪𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌 𝑉2 (𝑉2 −𝑉1‬‬
‫املعممة‪:‬‬
‫و من جهة أخرى‪ ،‬لدينا حسب معادلة برنويل ّ‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑡𝑝∆ ‪𝑝1 + 𝜌 𝑔 𝑦1 + 𝜌𝑉1 2 = 𝑝2 + 𝜌 𝑔 𝑦2 + 𝜌𝑉2 2 +‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫الشحنة الثّانوي و هو يساوي‬
‫حيث 𝑡𝑝∆ ميثل فاقد ّ‬
‫الشحنة الثّانوي كاآليت‪:‬‬
‫إذن ميكن حساب عبارة معامل فاقد ّ‬
‫‪-85-‬‬
‫‪1‬‬
‫𝐾 ∙ ‪∆𝑝𝑡 = 𝜌𝑉1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫و باعتبار أ ّن ‪،𝑦1 = 𝑦2‬‬
‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‪ِ.‬اللبيِ‬
‫‪1‬‬
‫) ‪(𝑝1 − 𝑝2 ) + 𝜌(𝑉1 2 − 𝑉2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫=𝐾‬
‫‪1‬‬
‫‪𝜌𝑉 2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫الشحنة الثّانوي 𝐾 جند‪:‬‬
‫الضغط ) ‪ (𝑝1 − 𝑝2‬يف عبارة فاقد ّ‬
‫بتعويض عبارة الفرق يف ّ‬
‫‪1‬‬
‫) ‪𝜌 𝑉2 (𝑉2 −𝑉1 ) + 𝜌(𝑉1 2 − 𝑉2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫=𝐾‬
‫‪1‬‬
‫‪𝜌𝑉1 2‬‬
‫‪2‬‬
‫بعد التّبسيط جند‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪𝜌(𝑉1 − 𝑉2 )2‬‬
‫‪2‬‬
‫=𝐾‬
‫‪1‬‬
‫‪𝜌𝑉 2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫و ميكن أن نكتب كذلك‪:‬‬
‫‪𝑉2 2‬‬
‫) ‪𝐾 = (1 −‬‬
‫‪𝑉1‬‬
‫و لدينا من جهة أخرى‪:‬‬
‫‪𝑉1 𝑆1 = 𝑉2 𝑆2‬‬
‫أي أ ّن‪:‬‬
‫‪𝑉2 𝑆1‬‬
‫=‬
‫‪𝑉1 𝑆2‬‬
‫بالتّعويض يف عبارة 𝐾 جند‪:‬‬
‫‪𝑆1 2‬‬
‫) ‪𝐾 = (1 −‬‬
‫‪𝑆2‬‬
‫‪-86-‬‬
ِ‫ِاللبي‬.‫دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع‬
‫امل ـ ـ ـ ـراجـ ـ ـ ـ ــع‬
1. R. Comolet et J. Bonnin, Mécanique expérimentale des fluides, Tome III, Masson,
Paris, 1992.
2. Jean-François Sini, Cours de Mécanique des Fluides, Engineering school, pp.213,
2006.
3. Philippe Marty, Mécanique des fluides, Université Joseph Fourier, Grenoble, 2012,
4. Michel A. Morel, Jean-Pierre Laborde, Exercices de mécanique des fluides, Tome 1,
Chihab – Eyrolles, 1994.
5. Olivier Louisnard, Cours de mécanique des fluides, 2012,
http://perso.mines-albi.fr/~louisnar/MECADEF/PolyMecaDef.pdf
6. Robert REY, Cinématique et dynamique des fluides, Tome 1, ParisTech, 2008.
7.
A. Colin De Verdiere, Notes de mécanique des fluides, 2013,
https://stockage.univ-brest.fr/~acolindv/telecharger/meca_fluide.pdf
8. M. Bourich, Cours de Mécanique des Fluides, Université CADI AYYAD, 2014,
9. Stéphane Chaussedent, Statique et dynamique des fluides, Université d'Angers, 2011.
10.Chantal Meuris, Mécanique des fluides, DAPNIA/SACM, CEA/Saclay,
https://perso.crans.org/mbertin/Cours_Mecanique_des_fluides.pdf
11.Hubert Lumbroso, Mécanique des fluides, Dunod, Paris, 1996.
‫ سلسلة‬،‫ نظريات و مسائل يف ميكانيكا املوائع و اهليدروليكا‬،‫ جايلر‬.‫ رينالد ﭪ‬.12
.1981 ،‫ مصر‬/ ‫ القاهرة‬،‫ الدار الدولية للنشر و التوزيع‬،‫ملخصات شوم‬
-87-
Téléchargement
Explore flashcards