الرحِيمِ
الرحِمِانِِ ِ
بِسِمِِاللِِ ِ
ِ
ِ
دروسِفيِميكانيكِالموائع
جريانِالموائع
اللبيِعبدِالقادر ِ
ِ
النِسخةِاألولىِ02ِ:جويليةِ2018
ِ
جامعةِالشهيدِحمهِلخضرِِ-الوادي
واليةِالواديِِ-ِ39000الجزائر
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
احملتويات
املق ّدمة 3 ........................................................................................................................................................
الفصلِاألولِ:تذكيرِوِتِتِمِات 4 ......................................................................
ِ
-1
املائع 4 .................................................................................................................
.1.1تعريف
.2.1خصائص املوائع و املقادير األساسية املتعلقة هبا 4 ..............................................................
ِ
معاملي اللّزوجة الديناميكية و احلركية -قانون نيوتن 5 ........................................................
.3.1
.4.1اإلجهادات 7 ..................................................................................................................
.5.1قوى السطح و قوى احلجم 8 ...........................................................................................
ّ
اإلجهادات 8 .............................................................................................
أ .تنسور
ب .قِوى السطح 10 ...................................................................................................
ّ
ج .قِوى احلجم11 .....................................................................................................
.6.1العبارة األساسية للموائع الساكنة 11 ..................................................................................
ّ
-2الفصلِالثِانيِ:سينماتيكِالموائع 16 .................................................................
املوائع 16 .....................................................................................................
.1.2وصف حركة
أ .طريقة الغرانج 16 .................................................................................................
أولر 16 ......................................................................................................
ب .طريقة
.2.2خطوط و أنابيب التيار 18 ...............................................................................................
أ .خط التيار 18 ......................................................................................................
التيار 19 ....................................................................................................
ب .أنبوب
ج .خطوط التيار و املسارات 19 .................................................................................
.3.2التدفّقات 20 ...................................................................................................................
أ .التدفّق احلجمي 21 ...............................................................................................
الكتلي 21 .................................................................................................
ب .التدفّق
.4.2االشتقاق الكلي 21 .........................................................................................................
.5.2معادلة احنفاظ الكتلة (معادلة االستمرارية) 23 ....................................................................
.6.2دراسة سينماتيكية للجريانات الغري
دورانية 26 ....................................................................
-1-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
مقدمة 26 ............................................................................................................
أ.
ب .اجلريان الكموين 27 ...............................................................................................
ج .دراسة حتليلية للجريانات املستوية الغري
دورانية 29 ....................................................
-3الفصلِالثِالثِ:ديناميكِالموائع 36 ..................................................................
مق ّدمة 36 .........................................................................................................................
.1.3
كمية احلركة 37 ..............................................................................................
.2.3نظرية احنفاظ ّ
برنويل 40 ...................................................
كمية احلركة إىل معادليت أولر و
.3.3من نظرية احنفاظ ّ
أ .معادلة أولر 40 .....................................................................................................
ب .معادلة برنويل 41 ...................................................................................................
كمية احلركة إىل معادلة نافيري و
.4.3من نظرية احنفاظ ّ
ستوكس 45 ..............................................
الفصلِالرابعِ:الجريانِالرقائقيِوِالجريانِالمضطرب 48 ...........................................
ِ
-4
.1.4جتربة
رينولدز 48 ..............................................................................................................
الرقائقي 51 ............................................................................................................
.2.4اجلريان ّ
االجتاه 51 .........................................................................
الرقائقي أحادي ّ
أ .اجلريان ّ
ب .حالة اجلريان الرقائقي داخل أنبوب أسطواين 54 ......................................................
ّ
ج .حالة اجلريان الرقائقي بني صفيحتني مستويتني و متوازيتني 60 ..................................
ّ
املستوي 60 ....................................................................
ج .1.جريان بوازاي
ج .2.جريان كويت 65 .................................................................................
.3.4اجلريان املضطرب 69 .........................................................................................................
رينولدز 69 ...............................................................................................
أ .تفكيك
املتوسطة 71 ..................................................................
ب .معادلة االستمرارية بالقيمة ّ
املتوسطة72 ...........................................................
ج .معادلة نافيري و ستوكس بالقيمة ّ
د .مسألة الغلق
75 ..................................................................................................
-5الفصلِالخامسِ:فواقدِالشحنة 76 ..................................................................
برنويل 76 .......................................................................................................
.1.5تعميم معادلة
الشحنة اخلطي 77 .......................................................................................................
.2.5فاقد ّ
الشحنة
.3.5فاقد ّ
الثانوي 82 ......................................................................................................
املراجع 87 ......................................................................................................................................................
-2-
ِ
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
الم ـ ـق ـ ـ ـ ــدم ـ ـ ـ ـ ــة
بادئ ذي بدء ،أشكر اهلل َعَّز و َجل على إمتام و إجناز هذه ال ّدروس املند ِرجة ِضمن علم ميكانيك
بالضبط من ميكانيك األوساط ِ
املستمّرة ،و بالتّايل
املوائع .هذا العلم الذي يعترب فرعا من امليكانيك و ّ
هو يعد من أهم فروع الفيزياء .إ ّن ِدراسة هذا العلم من األمهّية مبا كان حيث نتعامل مع املوائع يف كل
وقت يف حياتنا اليومية كاستنشاق اهلواء مثل و كجريان املاء عرب األنابيب ليصل إىل املكان الذي نريده
السفن اليت جتري يف البحار و كتحليق الطّائرات ...إخل.
و كحركة ّ
إ ّن ال ّدروس امل ّقدمة يف هذه املطبوعة ميكن اعتبارها كمدخل إىل ميكانيك املوائع و اليت حمتواها يتوافق
ختصص فيزياء
السنة ثانية ماسرت فيزياء ّ
املدرسة يف اجلامعات و هي ّ
مع الربامج ّ
موجهة بدرجة أوىل لطلبة ّ
الشهيد محّه خلضر-الوادي و كذلك هي مفيدة أيضا لطلبة بقية
تطبيقية اشعاع و طاقة جبامعة ّ
درس فيها هذا الفرع.
التخصصات اليت ي َّ
ّ
قسمت هذه ال ّدروس إىل مخسة فصول أساسية .حيث يعترب الفصل األول مدخل لبقية الفصول من
ّ
فيهتم
خلل ذكر بعض التعاريف و كذلك اخلصائص و املقادير اليت متيّز املوائعّ .أما الفصل الثاين ّ
ِ
اخلاصة حبركة املوائع و من خلل الدراسة
السينماتيكية للموائع من خلل ذكر بعض التعاريف ّ
بال ّدراسة ّ
التطرق ملعادلة احنفاظ الكتلة اليت سيعتمد عليها يف بقية
التحليلية لبعض اجلريانات و كذلك من خلل ّ
كمية احلركة و معادالت احلركة املستم ّدة منها،
الفصول .يف الفصل الثّالث متّ التطرق إىل نظرية احنفاظ ّ
التطرق له يف
مثل معادلة أولر و معادلة نافيري و ستوكس .أنواع و مميّزات اجلريانات و خصائصها متّ ّ
املعممة فيشمل أيضا طرق حساب
الرابعّ .أما الفصل اخلامس ،باإلضافة إىل معادلة برنويل ّ
الفصل ّ
الشحنة اخلطّية منها و الثّانوية.
فواقد ّ
و أخريا ،فإنّين أحرتم و أرحب باستلم أي إضافات أو أي ملحظات حول احملتوى من شأهنا أن
تساهم يف حتسني هذه املطبوعة.
الليب عبد القادر
-3-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
الفصلِاألولِ–ِتذكيرِوِتِتِمات
ِ
ِِِ.1.1تعريفِالمائع
احلرة و اليت ميكنها االنتقال
املائع هو عبارة عن جمموعة كبرية من اجلسيمات ّ
املادية ّ
الصغرية ج ّدا و ّ
للتشوه و ميكنه اجلريان .كما
حول بعضها البعض .املائع إذن هو عبارة عن وسط ّ
مادي مستمر قابل ّ
فالسوائل هي موائع غري قابلة للنضغاط أي أن كثافتها ال تتغري
أ ّن املوائع تنقسم إىل سوائل و غازاتّ ،
الضغط املطبّق عليها ّأما الغازات فهي موائع قابلة للنضغاط أي أن كثافتها تتغري بتغري الضغط
بتغري ّ
املطبّق عليها.
ِِِ.2.1خصائصِالموائعِوِالمقاديرِاألساسيةِالمتعلقةِبها ِ
يعرب
الكتلة احلجمية :تعرف الكتلة احلجمية ρللمائع على أهنا كتلة املائع يف وحدة احلجم و ّ
عنها بـ .𝑘𝑔/𝑚3
الكثافة :تعرف كثافة املائع 𝑑 على أهنا النّسبة بني الكتلة احلجمية للسائل و الكتلة احلجمية
للماء و هذا بالنّسبة للسوائل ،و على أهنا النّسبة بني الكتلة احلجمية للغاز و الكتلة احلجمية
اجلوي يساوي 𝑚𝑡𝑎 ،1
للهواء و هذا بالنّسبة للغازات ،و ذلك عند ّ
الشروط املثالية ّ
(الضغط ّ
درجة احلرارة بالنّسبة للماء تساوي ،3.98 𝐶°درجة احلرارة بالنّسبة للهواء تساوي .)0 𝐶°مع
العلم أ ّن الكثافة هي مقدار ال بعدي (أي بدون وحدة).
يعرب عنه بالباسكال (𝑎𝑃).
ّ
الضغط :و ّ
يعرب عنها بـ (𝑠.)𝑚/
السرعة :و ّ
ّ
يعرب عنه بـ ( .)𝑚/𝑠 2
التّسارع :و ّ
-4-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
اللّزوجة :ميكن تعريف اللّزوجة على أ ّهنا مقدار فيزيائي و معيار يوصف به قابلية املائع للجريان،
التحرك و اجلريان .و كلّما قلّت اللّزوجة زادت قابلية املائع
و مقدار مقاومته لضغط جيربه على ّ
للجريان ،و كلّما زادت لزوج املائع قلّت قابليته للجريان .كما ميكن وصف اللّزوجة على أ ّهنا
احتكاك داخلي بني جسيمات املائع .هناك معاملني للّزوجة و مها معامل اللّزوجة التّحريكية
سنتطرق هلذا يف الفقرة املوالية.
(أو ال ّديناميكية) و معامل اللّزوجة احلركية و للتّفصيل أكثر
ّ
ِِِ.3.1معامليِاللِزوجةِالدِيناميكيةِوِالحركيةِِ-قانونِنيوتن ِ
نعترب صفيحتني متوازيتني أفقيتني كبريتني كفاية البعد بينهما 𝑧 ،و ليكن مساحة سطح كل صفيحة هو
𝑆 ،كما نعترب أن الفراغ احملصور بني الصفيحتني يشغله مائع لزج .نقوم بتحريك الصفيحة العلوية بشكل
الصفيحة السفلية ثابتة كما هو موضح يف
بقوة 𝐹 حبيث تكتسب سرعة ثابتة 𝑈 بينما نبقي ّ
أفقي ّ
الشكل ( .)1.1إن جسيمات املائع امللتصقة بالصفيحة املتحركة ستكتسب إذن السرعة 𝑥𝑎𝑚𝑉 و هي
بالصفيحة الثّابتة ستبقى معدومة
الصفيحة 𝑈 ،أما جسيمات املائع امللتصقة ّ
السرعة املساوية لسرعة ّ
الصفيحتني صغري كفاية و كذلك السرعة 𝑈 فإ ّن املنحين
السرعة .𝑉 = 0إذا اعتربنا أن البعد 𝑧 بني ّ
املمثل لتوزيع السرعات للمائع اللّزج بني الصفيحتني كما هو موضح يف الشكل يكون على شكل خط
مستقيم.
𝑥𝑎𝑚𝑉 = 𝑈 = 𝑉
𝐹
الصفيحة املتحركة
ّ
𝑧
امليل =
𝑉𝑑
𝑧𝑑
𝑉𝑑 𝑉 +
𝑧 𝑧𝑑 𝑧0 +
0
𝑉
𝑉=0
الصفيحة الثابتة
ّ
السرعات ملائع لزج موجود بني صفيحتني.
شكل ( )1.1توزيع ّ
-5-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑉𝑑 حيث ميكن كتابة:
السرعة
القوة 𝐹 تكون متناسبة طرديا مع ّ
حسب نيوتن ّ
تدرج ّ
𝑧𝑑
𝑉𝑑
𝑧𝑑
𝑆𝜇=𝐹
يعرب عنه يف مل ـ ـ ـ ـة الوحـ ـ ـ ـ ـدات ال ّدوليـ ـ ـة
حيث معام ـ ـ ـل التناسـ ـ ـ ـب 𝜇 ميثّل معامل اللّزوجـ ـ ـة الديناميكية و ّ
بـ ـ .𝑘𝑔 𝑚−1 𝑠 −1
إ ّن املقدار 𝑆𝐹 يدعى إجهاد القص و يرمز له بـ 𝜏 ،و منه:
𝑉𝑑
𝑧𝑑
𝜇=𝜏
إ ّن املوائع اليت ختضع هلذا القانون تسمى باملوائع النيوتونية ،هذه املوائع يكون معامل لزوجتها مستقل
سمى
عن ّ
السرعة ،على سبيل املثال نذكر منها الغازات و املاء ...إخلّ .أما املوائع األخرى فت ّ
تدرج ّ
باملوائع الغري النيوتونية و على سبيل املثال نذكر منها حرب الكتابة ،ال ّدم ...إخل.
يوجد معامل آخر للّزوجة يدعى معامل اللّزوجة احلركية و هو يتعلّق مبعامل اللّزوجة ال ّديناميكية
العلقة اليت تربطهما هي كاآليت:
𝜈𝜌=𝜇
حيث:
𝜌 متثّل الكتلة احلجمية للمائع ( .)𝑘𝑔/𝑚3
يعرب عنه يف ملة الوحدات ال ّدولية ب ـ 𝑠.𝑚2 /
𝜈 ميثّل معامل اللّزوجة احلركية و ّ
متحرك).
مالحظة :إذا كان 𝜇 = 0فإ ّن املائع مثايل أو يف حالة سكون (غري ّ
-6-
𝜇
و
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
ِِِ.4.1اإلجهادات ِ
عرف اإلجهـ ـاد على أنّه الق ـ ـ ّوة املؤث ـ ـ ـ ـرة على وح ـ ـدة املساحة ،وحدة قياس اإلجهـ ـ ـ ـاد هي 𝑁/𝑚2أو
يّ
الباسكال 𝑎𝑃.
⃗
السطح يف نقطة معيّنة و يكون ذو
إ ّن شعاع اإلجهاد (𝑇) يعرف على أنّه اإلجهاد الذي يؤثّر على ّ
معني حيث:
كمي ّ
مقدار ّ
𝐹𝑑
𝑆𝑑 𝑑𝑆→0
𝑚𝑖𝑙 = ⃗
𝑇
السطح فإ ّن اإلجهاد سوف يتحلّل اىل مرّكبتني إحدامها عمودية متثّل
إذا كان شعاع ّ
القوة مائل على ّ
الضغط 𝑝) و األخرى مماسية متثّل إجهاد القص 𝜏.
(تسمى ّ
اإلجهاد العمودي ّ
مثالِ :
نفرض أ ّن عبارة توزيع السرعة جلريان مست ٍو ملائع لزج تعطى كاآليت:
𝑉(𝑧) = 3 𝑧 3 + 2 𝑧 2
إذا كان معامل اللزوجة الديناميكية للمائع هو ،𝜇 = 0.035 𝑁 𝑠 𝑚−2أحسب عندئذ قيمة إجهاد
القص على بعد 𝑚𝑐 30من اجلدار.
الحل:
لدينا:
𝑉𝑑
)𝑧= 𝜇(9𝑧 2 + 4
𝑧𝑑
𝜇=𝜏
و منه فإ ّن قيمة إجهاد القص على بعد 𝑚𝑐 30من اجلدار هي:
])𝜏𝑧=0.3𝑚 = 0.035[9(0.3)2 + 4(0.3
إذن:
𝜏𝑧=0.3𝑚 = 7.035 ∙ 10−2 𝑁 𝑚−2
-7-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
ِِِ.5.1قوىِالسِطحِوِقوىِالحجمِ ِ
السطح و قوى احلجم.
تنقسم القوى اخلارجية املؤثّرة على جسيمات املائع إىل قسمني و مها قوى ّ
نتطرق ّأوال إىل مفهوم تنسور اإلجهادات.
لكن قبل أن نعرف ذلك جيب أن ّ
أ .تنسورِاإلجهادات:
نريد هنا ّأوال إجياد عبارة اإلجهاد ⃗𝑇 املطبّق على سطح ّاجتاهه كيفي ذو ناظم ⃗𝑛 .لذلك بادئ ذي بدء
نعترب سطح عمودي على احملور 𝑥 و ليكن شعاع الوحدة النّاظم على هذا السطح هو 𝑥𝑒 = ⃗𝑛 كما
هو موضح يف الشكل (.)2.1
𝑥𝑦𝜎
𝑦
𝑥⃗
𝑇
𝑥
𝑥𝑥𝜎
⃗𝑛
𝑥𝑧𝜎
𝑧
شكل ()2.1
الشكل اآليت:
السطح هو 𝑥⃗𝑇 حيث ميكن تفكيكه على ّ
إ ّن اإلجهاد املطبق على هذا ّ
𝑧𝑒 𝑥𝑧𝜎 ⃗ 𝑥 = 𝜎𝑥𝑥 𝑒𝑥 + 𝜎𝑦𝑥 𝑒𝑦 +
𝑇
نلحظ أ ّن 𝑥𝑦𝜎 و 𝑥𝑧𝜎 مها مركبتان مماسيتان ناجتتان عن اللّزوجة بينما 𝑥𝑥𝜎 هي مركبة عمودية ناجتة
الضغط.
عن ّ
السطح عمودي على احملور
السابقة و باعتبار أ ّن ّ
بنفس الطّريقة ّ
-8-
𝑦
مث على احملور 𝑧 جند:
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑧𝑒 𝑦𝑧𝜎 ⃗ 𝑦 = 𝜎𝑥𝑦 𝑒𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑦 +
𝑇
𝑧𝑒 𝑧𝑧𝜎 ⃗ 𝑧 = 𝜎𝑥𝑧 𝑒𝑥 + 𝜎𝑦𝑧 𝑒𝑦 +
𝑇
السطح يف املعلم الكارتيزي
نعترب اآلن سطح ّاجتاهه كيفي ،ميكن تفكيك عبارة ّ
الشعاع الناظم على هذا ّ
الشكل:
على ّ
𝑧𝑒 𝑧𝑛 𝑛⃗ = 𝑛𝑥 𝑒𝑥 + 𝑛𝑦 𝑒𝑦 +
السطح كاآليت:
يف هذه احلالة ميكن كتابة عبارة اإلجهاد املطبّق على هذا ّ
𝑇 𝑥𝑛 = ⃗
𝑇 𝑦𝑛 ⃗ 𝑥 +
𝑇 𝑧𝑛 ⃗ 𝑦 +
𝑧⃗
𝑇
بتعويض عبارات 𝑥⃗𝑇 𝑇⃗𝑦 ،و 𝑧⃗𝑇 جند:
) 𝑧𝑒 𝑦𝑧𝜎 ⃗ = 𝑛𝑥 (𝜎𝑥𝑥 𝑒𝑥 + 𝜎𝑦𝑥 𝑒𝑦 + 𝜎𝑧𝑥 𝑒𝑧 ) + 𝑛𝑦 (𝜎𝑥𝑦 𝑒𝑥 + 𝜎𝑦𝑦 𝑒𝑦 +
𝑇
) 𝑧𝑒 𝑧𝑧𝜎 + 𝑛𝑧 (𝜎𝑥𝑧 𝑒𝑥 + 𝜎𝑦𝑧 𝑒𝑦 +
أي أ ّن:
𝑦𝑒) 𝑧𝑦𝜎 𝑧𝑛 ⃗ = (𝑛𝑥 𝜎𝑥𝑥 + 𝑛𝑦 𝜎𝑥𝑦 + 𝑛𝑧 𝜎𝑥𝑧 ) 𝑒𝑥 + (𝑛𝑥 𝜎𝑦𝑥 + 𝑛𝑦 𝜎𝑦𝑦 +
𝑇
𝑧𝑒) 𝑧𝑧𝜎 𝑧𝑛 + (𝑛𝑥 𝜎𝑧𝑥 + 𝑛𝑦 𝜎𝑧𝑦 +
و منه يكون:
𝑥𝑛 𝑧𝑥𝜎
] 𝑦𝑛[ ] 𝑧𝑦𝜎
𝑧𝑛 𝑧𝑧𝜎
𝑦𝑥𝜎
𝑦𝑦𝜎
𝑦𝑧𝜎
𝑥𝑥𝜎
𝑥𝑦𝜎[ = ⃗
𝑇
𝑥𝑧𝜎
إذن ميكن أن نكتب:
⃗𝑛 ∙ ̿𝑇 = ⃗
𝑇
يسمى تنسور اإلجهادات ،أو بشكل آخر ميكن أن نكتب (ترميز أينشتاين):
حيث ̿𝑇 ّ
𝑗𝑛 ∙ 𝑗𝑖𝜎 = 𝑖𝑇
حيث 𝑗𝑖𝜎 متثّل اإلجهادات الوحدوية.
مالحظةِ :
ميكن تفكيك كذلك عبارة اإلجهاد الكلّي
⃗
𝑇
كاآليت:
𝜏 ⃗ = −𝑝 ∙ 𝑛⃗ +
𝑇
حيث:
-9-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝜏 متثل اإلجهاد املماسي الناتج عن اللّزوجة (إجهاد القص).
(الضغط).
)⃗𝑛 ∙ 𝑝 (−ميثل اإلجهاد العمودي ّ
و منه ،إذا كان املائع مثايل أو يف حالة سكون ،بالتّايل ال و جود إلجهاد القص ،فإنّه يف هذه احلالة
تكون عبارة اإلجهاد الكلّي
⃗
𝑇
كاآليت:
⃗𝑛 ∙ 𝑝⃗ = −
𝑇
ب .قوىِالسطح:
السطح
السطح ليست فقط عمودية على ّ
نعترب مائع حقيقي (لزج) يف حالة حركة ،ففي هذه احلالة قوى ّ
بل توجد إجهادات مماسية ناشئة عن اللّزوجة (االحتكاكات) .ففي نقطة
يعرب عنها كاآليت:
السطح ّ
ّ
𝑀
من سطح 𝑆𝑑ّ ،قوة
𝑆𝑑 ⃗
𝑇 = 𝐹𝑑
⃗
موضح يف الشكل ( .)3.1أو نكتب
السطح ذو النّاظم ⃗𝑛 كما هو ّ
حيث 𝑇 ميثّل اإلجهاد املطبّق على ّ
بشكل آخر (ترميز أينشتاين):
𝑆𝑑 𝑖𝑇 = 𝑖𝐹𝑑
نعرب عن اإلجهاد 𝑖𝑇 بداللة اإلجهادات الوحدوية 𝑗𝑖𝜎 ،و بالتّايل تكون عبارة
كما رأينا سابقا ميكن أن ّ
السطح كاآليت:
قوى ّ
𝑆𝑑 𝑗𝑛 ∙ 𝑗𝑖𝜎 = 𝑖𝐹𝑑
ِ
حاالتِخاصة :إذا كان املائع مثايل أو يف حالة سكون و بالتايل ال و جود إلجهاد القص ،فإنّه يف
السطح تكتب مباشرة كاآليت:
هذه احلالة قوى ّ
𝑆𝑑 ⃗𝑛 𝑝𝑑𝐹 = −
االجتاه يف النّقطة املعطاة.
الساكن أو الستاتيكي و الذي هو مستقل عن ّ
حيث 𝑝 ميثل ّ
الضغط ّ
-10-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
ج .قوىِالحجم:
القوة ( َسواء كانت ثقالية ،كهربائية ،مغناطيسية ...إخل) تطبّق على جسيمات املائع تأثريات
إ ّن حقول ّ
الشكل
تسمى بقـ ـ ـوى احلجـ ـ ـم و اليت تكـ ـ ـون على ّ
عن بعد تكون متناسب ـ ـ ـة مع أحجـ ـ ـ ـام اجلسيمات و ّ
𝓋𝑑 𝐹 𝜌 بالنسبة لعنص ـ ـر احلجـ ـ ـم 𝓋𝑑 .ففي حالـ ـ ـ ـة وجود حقـ ـ ـ ـ ـل اجلاذبيـ ـ ـ ـة األرضي ـ ـ ـ ـة (𝑔) فقط يكون
الشكل 𝓋𝑑 𝑔 𝜌 كما هو موضح يف الشكل (.)4.1
𝑔 = 𝐹 و بالتايل فإ ّن قوى احلجم تكتب على ّ
⃗𝑛
⃗
𝑇
𝓋𝑑
𝑔
𝑀
𝑆𝑑
ِ
𝓋𝑑 𝑔 𝜌 = 𝐹𝑑
شكل ()3.1
شكل ()4.1
ِِِ.6.1العبارةِاألساسيةِللموائعِالساكنة ِ
معني من مائع يف حالة سكون حجمه 𝓋 ،إ ّن جمموع قوى احلجم املطبّقة على املائع املوجود
نعترب جزء ّ
الشكل 𝓋𝑑 𝑔 𝜌
داخل احلجم 𝓋 هي من ّ
باحلجم 𝓋 هي من الشكل
𝑆𝑑 ⃗𝑛 𝑝−
السطح 𝑆 احمليط
السطح املطبّقة على ّ
𝓋∭ و جمموع قوى ّ
السطح و هو
𝑆∬ حيث ⃗𝑛 هو شعاع الوحدة النّاظم على ّ
الشكل (( )4.1ال وجود إلجهاد القص يف
موضح يف ّ
السطح املغلق كما هو ّ
شعاع ّ
موجه خارج هذا ّ
هذه احلالة).
𝑑S
⃗𝑛
𝑆
𝓋
𝓋𝑑
شكل ()4.1
-11-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
السطح) يكون معدوم
إ ّن اجملموع الكلّي للقوى املطبّقة على احلجم 𝓋 (و اليت هي متثّل قوى احلجم و ّ
و ذلك راجع ألن املائع يف حالة سكون و منه:
∭ 𝜌 𝑔 𝑑𝓋 + ∬ −𝑝 𝑛⃗ 𝑑𝑆 = ⃗0
𝑆
𝓋
و باستعمال نظرية أوسرتوغرادسكي جند:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 𝑑𝓋 = ⃗0
𝑑𝑎𝑟𝑔∭ 𝜌 𝑔 𝑑𝓋 + ∭ −
𝓋
𝓋
و منه:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 ) 𝑑𝓋 = ⃗0
𝑑𝑎𝑟𝑔 ∭(𝜌 𝑔 −
𝓋
و هذا يعين أ ّن:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 = 0
⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 𝜌 𝑔 −
أي أ ّن:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑔 𝜌 = 𝑝 𝑑𝑎𝑟𝑔
أو نكتب بشكل آخر:
𝑝𝜕
𝑝𝜕
𝑝𝜕
𝑘 𝑔 𝜌⃗ = −
⃗
𝑖+
𝑗+
𝑘
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
باملطابقة بني طريف املعادلة جند:
-12-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑝𝜕
)= 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (1
𝑥𝜕
𝑝𝜕
)= 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (2
𝑦𝜕
𝑝𝜕
){ 𝜕𝑧 = −𝜌 𝑔 ∙∙∙∙∙∙∙ (3
الضغط
الضغط 𝑝 مستقل عن 𝑥 ،و من املعادلة ( )2نستنتج كذلك أن ّ
من املعادلة ( )1نستنتج أن ّ
𝑝
الضغط 𝑝 ال يتعلّق إال بـ 𝑧 أي أ ّن )𝑧(𝑝 = 𝑝 .و حسب املعادلة ( )3جند
مستقل عن 𝑦 .و منه فإن ّ
إذن:
𝑝𝑑
𝑔 𝜌= −
𝑧𝑑
الساكنة على شكلها التفاضلي.
و هي متثل العبارة األساسية للموائع ّ
تطبيقِ(ِ:)1حالةِالموائعِالغيرِقابلةِلالنضغاط
الضغط 𝑝 ال يتعلّق إال بـ 𝑧 أي أن )𝑧(𝑝 = 𝑝 ،و منه
الساكنة ّ
كما رأينا سابقا أنّه يف حالة املوائع ّ
يكون:
𝑝𝑑
𝑧𝑑
𝑧𝑑
= 𝑝𝑑
أي أ ّن:
𝑝𝑑
𝑒𝑡𝑠𝑐 𝑑𝑧 +
𝑧𝑑
∫=𝑝
الساكنة (على شكلها التّفاضلي):
و منه يكون حسب العبارة األساسية للموائع ّ
𝑒𝑡𝑠𝑐 𝑝 = ∫ −𝜌 𝑔 𝑑𝑧 +
كما أنّنا نعلم أنّه يف حالة املوائع الغري قابلة للنضغاط تكون الكتلة احلجمية ثابتة و منه جند:
𝑒𝑡𝑠𝑐 𝑝 = −𝜌 𝑔 𝑧 +
-13-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
أي أ ّن:
𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝑧 𝑔 𝜌 𝑝 +
تطبيقِ(ِ:)2حالةِالموائعِالقابلةِلالنضغاط
يف حالة املوائع القابلة للنضغاط تكون الكتلة احلجمية للمائع غري ثابتة و تتعلق مباشرة بالضغط و
هذا األخري يتعلّق باالرتفاع 𝑧 .ففي حالة غاز مثايل تكون معادلة احلالة من الشكل:
𝑇𝑅𝑛=𝓋𝑝
حيث 𝑅 ميثل ثابت الغازات املثالية 𝑛 ،ميثل عدد املوالت يف الغاز و 𝑇 متثل درجة احلرارة املطلقة للغاز.
و لدينا:
𝓋𝜌
𝑀
=
𝑚
𝑀
=𝑛
حيث 𝑚 متثّل الكتلة 𝑀 ،متثّل الكتلة املولية و 𝜌 متثّل الكتلة احلجمية.
و منه تكون عبارة الكتلة احلجمية للغاز املثايل كاآليت:
𝑀
𝑇𝑅
𝑝=𝜌
بالتعويض يف العبارة األساسية للموائع الساكنة (على شكلها التفاضلي) جند:
𝑝𝑑
𝑀
𝑝(= −
𝑔)
𝑧𝑑
𝑇𝑅
أي أ ّن:
𝑝𝑑
𝑔𝑀
=−
𝑧𝑑
𝑝
𝑇𝑅
و باعتبار أ ّن درجة احلرارة ثابتة يكون :
𝑔𝑀
𝑒𝑡𝑠𝑐 𝑧 +
𝑇𝑅
-14-
ln 𝑝 = −
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
الضغط للغاز املثايل بداللة االرتفاع 𝑧 كاآليت:
إذن تكون عبارة ّ
𝑔𝑀
)𝑧
𝑇𝑅
حيث 𝑝0ميثل الضغط عند االرتفاع
𝑝 = 𝑝0 𝑒𝑥𝑝 (−
.𝑧 = 0
-15-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
الفصلِالثانيِ–ِسينماتيكِالموائع
إ ّن علم سينماتيك املوائع يهتم بالوصف التّحليلي جلملة يف حالة حركة .و فيما يلي سنهتم بدراسة
حركة املوائع و ذلك بدون األخذ بعني االعتبار مبسببات هذه احلركة.
ِِِ.1.2وصفِحركةِالموائع
سنتطرق هنا إىل طريقة الغرانج و طريقة أولر.
ّ
أ .طريقةِالغرانجِ :
ترتكز طريقة الغرانج يف دراسة حركة املائع على تتبّع حركة جسيم املائع بشكل فردي ،حبيث إذا كانت
أي حلظة زمنية 𝑡 ستكون
إحداثيات جسيم من املائع عند اللحظة 𝑡 = 0هي )𝑐 (𝑎, 𝑏,فإنّه عند ّ
املتغريات األربعة
تسمى هذه ّ
إحداثيات هذا اجلسيم )𝑧 (𝑥, 𝑦,تابِعا ل ـ )𝑐 (𝑎, 𝑏,و ّ
للزمن 𝑡 .و ّ
مبتغريات الغرانج .مع العلم أ ّن وصف الغرانج هو ذلك الوصف املستعمل يف ميكانيك
)𝑡 ّ (𝑎, 𝑏, 𝑐,
املادية.
النّقطة ّ
بِ .طريقةِأولرِ :
خلفا لطريقة الغرانج فإ ّن طريقة أولر ال ترتكز على دراسة حركة املائع حب ّد ذاته بل تكمن يف دراسة
الفراغ املشغول باملائع املتحرك ،حيث أ ّن هذه الطريقة هي األنسب يف دراسة حركة املوائع .على سبيل
التغريات اليت حتد للمقادير املميّزة
املثال خنتار نقطة ما يف الفراغ هلا إحداثيات )𝑧 (𝑥, 𝑦,و ندرس ّ
للمائع عند هذه النقطة مع مرور الزمن 𝑡 أو باالنتقال من نقطة يف الفراغ إىل أخرى .إ ّن هذه املتغريات
مبتغريات أولر .مع العلم أ ّن وصف أولر هو الوصف املستعمل لكل احلقول
األربعة )𝑡 (𝑥, 𝑦, 𝑧,تس ّمى ّ
يف الفيزياء.
-16-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
معرف بداللة متغريات الغرانج )𝑡 (𝑎, 𝑏, 𝑐,كما يلي:
مثال :نفرض أنه يوجد جريان ّ
1
𝑡 𝑎 𝛽 𝑥 = 𝑎 + 𝛼 𝑡2 +
2
𝑡 𝛾 (∗) {𝑦 = 𝑏 + 𝛽 𝑡 2 + 3
𝑡𝛾𝑏𝑧 =𝑐+
متغريات أولر.
السرعة 𝑢 𝑣 ،و 𝑤 هلذا اجلريان بداللة ّ
يف هذه احلالة أوجد مركبات ّ
الحلِ :
لدينا من ملة املعادالت )∗(:
𝑥𝑑
𝑎𝛽=𝛼𝑡+
𝑡𝑑
𝑦𝑑
= 𝑣 )∗∗(
𝛾 = 2𝛽 𝑡 + 3
𝑡𝑑
𝑧𝑑
𝑤
=
𝛾𝑏=
{
𝑡𝑑
=𝑢
و كذلك لدينا من ملة املعادالت )∗(:
1
𝑥 − 𝛼 𝑡2
2
=𝑎
𝑡𝛽1+
𝑡 𝛾 𝑏 = 𝑦 − 𝛽 𝑡2 − 3
𝑡 𝛾 𝑏 {𝑐 = 𝑧 −
و منه بتعويض عبارات 𝑎 𝑏 ،و 𝑐 يف ملة املعادالت )∗∗( جند:
1
𝑥 − 𝛼 𝑡2
2
(𝛽𝑢 = 𝛼 𝑡 +
)
𝑡𝛽1+
𝛾 𝑣 = 2𝛽 𝑡 + 3
)𝑡 𝛾 {𝑤 = 𝛾 (𝑦 − 𝛽 𝑡 2 − 3
و هي متثل مركبات السرعة بداللة متغريات أولر األربعة )𝑡 .(𝑥, 𝑦, 𝑧,
-17-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
ِِِ.2.2خطوطِوِأنابيبِالتيار
أ .خطِالتيارِ:
السرعة عند كل نقطة من نقاطه
خط التيار هو كل منح ٍن )𝐶( يف املائع ّ
املتحرك حبيث يكون شعاع ّ
مماسي هلذا املنحين.
السرعة ⃗𝑉 و عنصر االنتقال 𝑙𝑑 متوازيني عند كل نقطة من نقاط خط
من خلل التّعريف يكون شعاع ّ
التيار كما هو موضح يف الشكل ( ،)1.2أي أ ّن:
⃗ = ⃗0
𝑉 ˄ 𝑙𝑑
𝑀
و منه يكون:
) ⃗ (𝑀, 𝑡1
𝑉
⃗
𝑘
⃗
𝑑𝑧| = 0
𝑤
𝑗
𝑦𝑑
𝑣
𝑖
𝑥𝑑|
𝑢
شكل ( )1.2خط
إذن:
⃗ =0
⃗
𝑘)𝑦𝑑 𝑢 (𝑤 𝑑𝑦 − 𝑣 𝑑𝑧)𝑖 − (𝑤 𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑𝑧)𝑗 + (𝑣 𝑑𝑥 −
باملطابقة بني طريف املعادلة جند:
𝑧𝑑 𝑣 = 𝑦𝑑 𝑤
𝑧𝑑 𝑢 = 𝑥𝑑 𝑤{
𝑦𝑑 𝑢 = 𝑥𝑑 𝑣
و نكتب بشكل آخر:
𝑧𝑑 𝑦𝑑
=
𝑣
𝑤
𝑧𝑑 𝑥𝑑
=
𝑢
𝑤
𝑦𝑑 𝑥𝑑
𝑣 = 𝑢{
أي أ ّن:
-18-
𝑙𝑑
)𝐶(
تيار عند اللحظة 𝑡1
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑧𝑑 𝑦𝑑 𝑥𝑑
=
=
𝑢
𝑣
𝑤
هذه األخرية متثّل املعادالت التّفاضلية اليت تعرف هبا خطوط التيار .كما جيدر التنبيه هنا إىل أ ّن خطوط
العامة خمتلفة عن خطوط التيار عند
التيار عند اللّحظة 𝑡1تكون يف احلالة ّ
اللّحظة .𝑡2
ب .أنبوبِالتيارِ:
أنبوب التيار يعرف على أنه السطح الذي ينشأ بأخذ منحين مغلق )𝐶( يف املائع املتحرك و رسم
موضح يف الشكل (.)2.2
املارة جبميع نقاط هذا املنحين املغلق كما هو ّ
خطوط التيار ّ
⃗
𝑉
)𝐶(
شكل ( )2.2أنبوب تيار عند اللحظة
𝑡1
ج .خطوطِالتيارِوِالمساراتِ:
جيب التنبيه هنا إىل أ ّن خطوط التيار ختتلف عن املسارات ،حيث أنّه لتشكيل خط تيار عند حلظة
الزمنية بينما املسار يتش ّكل من خلل
زمنية معيّنة نعترب جسيمات مائع خمتلفة عند نفس اللّحظة ّ
وضعيات متتالية لنفس جسيم املائع عند حلظات زمنية خمتلفة .حيث تعرف املسارات من خلل
املعادالت التفاضلية اآلتية:
𝑧𝑑 𝑦𝑑 𝑥𝑑
=
=
𝑡𝑑 =
𝑢
𝑣
𝑤
مع العلم أنه من أجل اجلريان ال ّدائم تكون خطوط التيار و املسارات متطابقة.
-19-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
مثالِ :
متغريات أولر كما يلي:
نفرض أنّه يوجد جريان ملائع تعطى عبارة حقل سرعته بداللة ّ
1
𝑢 = 𝑥 𝑦2
2
𝑦 {𝑣 = − 1 𝑥 2
2
𝑤=0
املطلوب حتديد خطوط التيار هلذا اجلريان.
الحلِ :
إ ّن هذا اجلريان مست ٍو أل ّن ،𝑤 = 0املعادلة التفاضلية خلطوط التيار يف هذه احلالة هي:
𝑦𝑑 𝑥𝑑
=
𝑢
𝑣
بتعويض عباريت 𝑢 و 𝑣 جند:
و منه:
باملكاملة جند:
𝑦𝑑
)𝑦
1
(−2𝑥 2
=
𝑥𝑑
1
) ( 2𝑥 𝑦 2
𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 = 0
𝑒𝑡𝑠𝑐 =
𝑦2
2
+
𝑥2
2
و منه فإ ّن شكل خطوط التيار هلذا اجلريان هي عبارة عن دوائر يف املستوي 𝑦𝑂𝑥 مركزها 𝑂.
ِِِ.3.2التدفِقات
نقصد هنا بالتدفّقات ،التدفّق احلجمي و التدفّق الكتلي.
-20-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
أ .التدفِقِالحجميِ:
الزمن
موجه خلل وحدة ّ
بالرمز 𝑣𝑞 ،و هو ميثّل حجم املائع الذي يعرب سطح ما ّ
يرمز للتدفّق احلجمي ّ
(وحدته 𝑠 .)𝑚3 /فإذا اعتربنا جريان ملائع ما سرعته )𝑡 𝑉⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧,فإ ّن التدفّق احلجمي للمائع الذي
السطح 𝑆 هو:
يعرب ّ
)𝑡(𝓋𝑑
𝑆𝑑 )𝑡 ⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧,
𝑉 ∬=
𝑡𝑑
𝑆
= 𝑣𝑞
ب .التدفِقِالكتليِ:
الزمن
موجه خلل وحدة ّ
بالرمز 𝑚𝑞 ،و هو ميثل كتلة املائع اليت تعرب سطح ما ّ
يرمز للتدفّق الكتلي ّ
(وحدته 𝑠 .)𝑘𝑔/فإذا اعتربنا جريان ملائع ما سرعته )𝑡 𝑉⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧,فإ ّن التدفق الكتلي للمائع الذي
السطح 𝑆 هو:
يعرب ّ
)𝑡(𝑚𝑑
𝑆𝑑 )𝑡 ⃗ (𝑥, 𝑦, 𝑧,
𝑉 ∙ )𝑡 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧,
𝑡𝑑
𝑆
= 𝑚𝑞
ِِِ.4.2االشتقاقِالكلِي ِ
نعترب دالّة سلّمية )𝑡 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧,و اليت متثّل مقدار فيزيائي مييّز املائع عند النّقطة اليت إحداثياهتا
)𝑧 (𝑥, 𝑦,و عند اللحظة 𝑡 ،إذن:
𝐴𝜕
𝐴𝜕
𝐴𝜕
𝐴𝜕
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 +
𝑑𝑧 +
𝑡𝑑
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑡𝜕
= 𝐴𝑑
و منه:
𝐴𝜕 𝑧𝑑 𝐴𝜕 𝑦𝑑 𝐴𝜕 𝑥𝑑 𝐴𝜕 𝐴𝑑
=
+
+
+
𝑡𝜕 𝑡𝑑 𝑧𝜕 𝑡𝑑 𝑦𝜕 𝑡𝑑 𝑥𝜕 𝑡𝑑
-21-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
حيث:
𝑢=
𝑥𝑑
𝑡𝑑
=𝑣 ،
𝑦𝑑
𝑡𝑑
و𝑤=
𝑧𝑑
𝑡𝑑
و منه يكون:
𝐴𝜕 𝐴𝑑
𝐴𝜕
𝐴𝜕
𝐴𝜕
=
𝑢+
𝑣+
𝑤+
𝑡𝑑
𝑡𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
أيضا ميكن أن نكتب:
𝐴𝜕 𝐴𝑑
𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 ∙ ⃗
=
𝑉+
𝑡𝑑
𝑡𝜕
حيث:
𝐴𝑑
متثّل املشت ّقة الكلّية للدالة 𝐴.
𝐴𝜕
متثّل املشت ّقة احمللية للدالة 𝐴 ،هذا احلد هو ناتج عن عدم استقرار اجلريان.
𝑡𝑑
𝑡𝜕
𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 ∙ ⃗
𝑉
متثل املشتقة احلِملية للدالة 𝐴 ،هذا احلد هو ناتج عن عدم انتظام اجلريان.
السرعة للجريان أي )𝑡 𝑉⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧,يكون عندئذ:
و يف حالة إذا كان )𝑡 𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑧,ميثل حقل ّ
⃗
⃗
𝑉𝑑
𝑉𝜕
𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 ∙ ⃗
⃗
=
𝑉+
𝑡𝑑
𝑡𝜕
هذه العلقة األخرية ميكن كتابتها أيضا على الشكل:
⃗
⃗
𝑉𝑑
𝑉𝜕
𝑉2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉˄ ⃗
⃗
=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( ) +
𝑉𝑡𝑜𝑟
𝑡𝑑
𝑡𝜕
2
مثالِ :
نعترب جريان دائم يتميّز حبقل السرعة اآليت:
𝑥𝑘=𝑢
{
𝑦𝑘=𝑣
حيث 𝑘 ثابت .املطلوب إجياد عبارة تسارع جسيمات املائع.
-22-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
الحلِ :
من عبارة املشت ّقة الكلّية لدينا:
𝑢𝜕 𝑢𝑑
𝑢𝜕
𝑢𝜕
=
𝑢+
𝑣+
𝑡𝜕 𝑡𝑑
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑣𝜕 𝑣𝑑
𝑣𝜕
𝑣𝜕
= 𝑦𝑎
=
𝑢+
𝑣+
𝑡𝜕 𝑡𝑑
𝑥𝜕
𝑦𝜕
{
= 𝑥𝑎
و منه:
)𝑎𝑥 = (𝑘 𝑥) (𝑘) + (𝑘 𝑦)(0
{
)𝑘()𝑦 𝑘( 𝑎𝑦 = (𝑘 𝑥) (0) +
أي أ ّن:
𝑥 ∙ 𝑎𝑥 = 𝑘 2
{
𝑦 ∙ 𝑎𝑦 = 𝑘 2
إذن عبارة تسارع جسيمات املائع هي:
𝑗 𝑦 ∙ 𝑖 + 𝑘2
𝑥 ∙ 𝑎 = 𝑘2
أي:
)𝑗 𝑦 𝑎 = 𝑘 2 (𝑥 𝑖 +
و ميكن أن نكتب كذلك:
𝑟 ∙ 𝑎 = 𝑘2
ِِِ.5.2معادلةِانحفاظِالكتلةِ(معادلةِاالستمرارية) ِ
ليكن 𝓋 حجم ثابت يف الفضاء و حمدود بسطح مغلق 𝑆 .و ليكن ⃗𝑛 شعاع الوحدة النّاظم على
موجه حنو خارج احلجم 𝓋 كما هو موضح يف الشكل (.)3.2
السطح و هو ّ
ّ
-23-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
شكل ()3.2
التغري يف الكتلة الكلّية اليت حيتويها
إ ّن املائع يدخل إىل هذا احلجم و خيرج منه يف كل حلظة حبيث يكون ّ
السطح
هذا احلجم بالنّسبة ّ
للزمن مساويا و معاكسا للتدفق الكتلي للمائع الذي يدخل و خيرج عرب ّ
𝑆 ،أي أ ّن:
𝑚𝜕
𝑆𝑑 ⃗𝑛 ∙ 𝑉 ∙ 𝜌 ∬ = −
𝑡𝜕
𝑆
حيث:
𝓋𝑑 𝜌 𝓋∭ = 𝑚
و منه يكون:
𝜕
𝑆𝑑 ⃗𝑛 ∙ 𝑉 ∙ 𝜌 ∬ ∭ 𝜌 𝑑𝓋 = −
𝓋 𝑡𝜕
𝑆
يف حالتنا هذه ميكن أن نكتب كذلك:
𝜌𝜕
𝑑𝓋 + ∬ 𝜌 ∙ 𝑉 ∙ 𝑛⃗ 𝑑𝑆 = 0
𝑡𝜕
𝑆
∭
𝓋
و هي متثل معادلة احنفاظ الكتلة يف شكلها التكاملي.
أو باستعمال نظرية أوسرتوغرادسكي يكون:
𝜌𝜕
⃗ ) 𝑑𝓋 = 0
𝑉𝜌(𝑣𝑖𝑑 ∭ 𝑑𝓋 +
𝑡𝜕
𝓋
-24-
∭
𝓋
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
أي أ ّن:
𝜌𝜕
⃗ )] 𝑑𝓋 = 0
𝑉𝜌(𝑣𝑖𝑑 ∭ [ +
𝑡𝜕
𝓋
و منه جند:
𝜌𝜕
⃗)=0
𝑉𝜌(𝑣𝑖𝑑 +
𝑡𝜕
خاصة ،حسب هذه املعادلة ،إذا كان
و هي متثل معادلة احنفاظ الكتلة يف شكلها احمللي .و كحالة ّ
املائع يف حالة جريان دائم أي
=0
𝜌𝜕
𝑡𝜕
يكون .𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑉⃗) = 0
و ميكن أن نكتب معادلة احنفاظ الكتلة كذلك على الشكل:
𝑉⃗ )+
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑉(𝑣𝑖𝑑 𝜌 +
)𝑔𝑟𝑎𝑑𝜌 = 0 …..(1
𝜌𝜕
𝑡𝜕
و من جهة أخرى لدينا:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝑉+
)𝑔𝑟𝑎𝑑𝜌 …...(2
𝜌𝜕
𝑡𝜕
=
𝜌𝑑
𝑡𝑑
جبمع املعادلتني ( )1و ( )2طرفا لطرف جند:
𝜌𝑑
⃗)=0
𝑉(𝑣𝑖𝑑 𝜌 +
𝑡𝑑
خاصة ،حسب هذه املعادلة ،إذا كان اجلريان غري قابل للنضغاط يكون:
و كحالة ّ
⃗)=0
𝑉(𝑣𝑖𝑑
أي:
=0
𝑤𝜕
𝑧𝜕
𝑣𝜕
𝑢𝜕
+ 𝜕𝑦 +
𝑥𝜕
ِ
-25-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
مثالِ :
نفرض أنّه يوجد جريان دائم تعطى عبارة توزيع سرعته كاآليت:
𝑢 = 3𝑥 𝑦2 + 2𝑥 + 𝑦2
𝑣 = 𝑥2 − 2𝑦 − 𝑦3
{
هل هذا اجلريان غري قابل للنضغاط؟
الحلِ :
لإلجابة عن ذلك حنسب
)⃗
𝑉(𝑣𝑖𝑑:
لدينا:
𝑣𝜕 𝑢𝜕
+
𝑦𝜕 𝑥𝜕
=)⃗
𝑉(𝑣𝑖𝑑
و منه:
) ⃗ ) = (3𝑦 2 + 2) + (−2 − 3𝑦 2
𝑉(𝑣𝑖𝑑
إذن:
⃗)=0
𝑉(𝑣𝑖𝑑
و منه نستنتج أ ّن هذا اجلريان غري قابل للنضغاط.
ِِِ.6.2دراسةِسينماتيكية للجرياناتِالغيرِدورانية ِ
أ .مقدِمةِ:
لتغريات يف و ضعيته و يف ا ّجتاهه ويف شكله .و بشكل عام فإ ّن
خلل حركته ،جسيم املائع خيضع ّ
موضح يف الشكل (.)4.2
تشوه كما هو ّ
حركة جسيم املائع مركبة من انسحاب و دوران و ّ
-26-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
و منه يف حالة غياب ال ّدوران مثل نقول عن اجلريان أنّه غري دوراين.
انسحاب
دوران
تشوه
ّ
شكل ()4.2
ب .الجريانِالكمونيِ:
السرعة حي ّقق:
إ ّن اجلريان الذي يتميّز بوجود دالة سلمية )𝑧 𝛷(𝑥, 𝑦,حيث يكون شعاع ّ
)𝑧 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛷(𝑥, 𝑦,
𝑑𝑎𝑟𝑔 = ⃗
𝑉
السرعات.
يسمى جريان كموين ،و الدالة السلمية )𝑧 ّ 𝛷(𝑥, 𝑦,
تسمى كمون ّ
إ ّن اجلريان الكموين هو جريان غري دوراين ،بالفعل لدينا:
𝑘 𝛷𝜕 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛷(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜕𝛷 𝑖 + 𝜕𝛷 𝑗 +
⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 = ⃗
𝑉
𝑧𝜕
𝑦𝜕
𝑥𝜕
إذن:
-27-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
⃗
𝑘
| 𝜕
𝑧𝜕
| 𝛷𝜕
𝑧𝜕
𝑖
𝜕|
𝑥𝜕 = ⃗
𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑡𝑜𝑟
𝛷𝜕|
𝑥𝜕
𝑗
𝜕
𝑦𝜕
𝛷𝜕
𝑦𝜕
أي أ ّن:
⃗
𝑘 ])𝛷𝜕( 𝜕 ⃗ = [ 𝜕 (𝜕𝛷) − 𝜕 (𝜕𝛷)] 𝑖 − [ 𝜕 (𝜕𝛷) − 𝜕 (𝜕𝛷)] 𝑗 + [ 𝜕 (𝜕𝛷) −
𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑡𝑜𝑟
𝑧𝜕 𝑦𝜕
𝑦𝜕 𝑧𝜕
𝑥𝜕 𝑧𝜕
𝑧𝜕 𝑥𝜕
𝑥𝜕 𝑦𝜕
𝑦𝜕 𝑥𝜕
و منه جند أ ّن:
⃗ = ⃗0
𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑡𝑜𝑟
و عليه فإن اجلريان غري دوراين.
إ ّن معادلة سطوح تساوي الكمون تكتب على الشكل:
𝑒𝑡𝑠𝑐 = )𝑧 𝛷(𝑥, 𝑦,
إذن خلل انتقال عنصري 𝑙𝑑 على سطح تساوي كمون كما هو موضح يف الشكل ( )5.2يكون:
𝑑𝛷 = 0
𝛷1
𝛷2
𝑙𝑑
شكل ()5.2
-28-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
و منه:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛷 ∙ 𝑑𝑙 = 0
𝑑𝑎𝑟𝑔
أي أ ّن:
𝛷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔
السرعة ⃗𝑉 هو عمودي
هو عمودي على االنتقال العنصري 𝑙𝑑 و بالتّايل فإ ّن شعاع ّ
السرعة) تكون
على االنتقال العنصري 𝑙𝑑 .و منه نستنتج أ ّن خطوط التيار (اليت هي مماسية لشعاع ّ
عمودية على سطوح تساوي الكمون.
يف حالة اجلريان الكموين الدائم و الغري قابل للنضغاط يكون
𝑉 𝑣𝑖𝑑 و 𝛷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 = ⃗
⃗ =0
𝑉
ومنه جند:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝛷) = 0
𝑑𝑎𝑟𝑔( 𝑣𝑖𝑑
أي أ ّن اجلريان الكموين ال ّدائم و الغري قابل للنضغاط حيقق:
∆𝛷 = 0
حيث ∆ ميثّل مؤثّر البلس:
𝛷 𝜕2
𝛷 𝜕2
𝜕𝑧 2
𝑦𝜕
+
2
+
𝛷 𝜕2
𝜕𝑥 2
= 𝛷∆
ج .دراسةِتحليليةِللجرياناتِالمستويةِالغيرِدورانيةِ:
اللهناية تعرتضه أسطوانة عمودية
نعترب جريان مست ٍو غري قابل لإلنضغاط و دائم سرعته منتظمة عند ّ
موضح يف الشكل (.)6.2
السرعة كما هو ّ
على ّإجتاه ّ
-29-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
شكل ()6.2
السرعة يف كل نقاط اجلريان يكون موا ٍز للمستوي 𝑦𝑂𝑥 أي أ ّن
بسبب التناظر ،متّجه ّ
كذلك اجلريان يتم بشكل متماثل يف كل مست ٍو موا ٍز للمستوي 𝑦𝑂𝑥 أي أ ّن .𝜕𝑧𝜕 = 0 :و مبا أ ّن
.𝑤 = 0 :
اجلريان دائم و غري قابل للنضغاط إذن معادلة االستمرارية هلذا اجلريان ميكن كتابتها على الشكل
اآليت:
𝑣𝜕 𝑢𝜕
+
=0
𝑦𝜕 𝑥𝜕
بالرمز )𝑦 ،𝛹(𝑥,إ ّن هذه
من جهة أخر نعرف دالة سلّمية جديدة ّ
تسمى دالة التيار و يرمز هلا ّ
الدالة السلّمية )𝑦 𝛹(𝑥,حتقق:
𝛹𝜕
𝑦𝜕
𝛹𝜕
𝑣=−
{
𝑥𝜕
=𝑢
-30-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
السرعة يف كل نقطة من اجلريان .كذلك من خصائص
مبعرفة دالة التيار )𝑦 𝛹(𝑥,ميكن استنتاج حقل ّ
دالة التيار ّأهنا ثابتة على نفس خط التيار ،بالفعل خلل انتقال عنصري 𝑙𝑑 على خط التيار يكون:
𝑙𝑑 ∙ 𝛹 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 = 𝛹𝑑
أي أ ّن:
𝛹𝜕
𝛹𝜕
𝑑𝑥 +
𝑦𝑑
𝑥𝜕
𝑦𝜕
= 𝛹𝑑
و منه:
)𝑑𝛹 = −𝑣 𝑑𝑥 + 𝑢 𝑑𝑦 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (1
و من جهة أخرى كما رأينا سابقا فإ ّن املعادلة التفاضلية خلط التيار تكتب على الشكل:
𝑦𝑑 𝑥𝑑
=
𝑢
𝑣
أي أ ّن:
𝑦𝑑 𝑢 = 𝑥𝑑 𝑣
و بالتّعويض يف املعادلة ( )1جند:
𝑑𝛹 = 0
أي أ ّن:
𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝛹
و منه نستنتج أ ّن دالة التيار ثابتة على نفس خط التيار و كذلك أنّه لكل خط تيار دالة تيار ثابتة
متيزه.
إ ّن دالة التيار حتقق ،∆𝛹 = 0بالفعل لدينا:
⃗
⃗ =0
𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑡𝑜𝑟
و ذلك أل ّن اجلريان غري دوراين ،إذن:
-31-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
⃗
𝑘
𝜕 | = ⃗0
𝑧𝜕
𝑤
𝑗
𝜕
𝑦𝜕
𝑣
𝑖
𝜕|
𝑥𝜕
𝑢
حيث 𝑤 = 0و 𝜕𝑧𝜕 = 0كما رأينا ذلك سابقا ،و منه يكون:
𝑢𝜕 𝑣𝜕
=
𝑦𝜕 𝑥𝜕
و بتعويض عباريت 𝑢 و 𝑣 جند:
𝜕
𝛹𝜕
𝛹𝜕 𝜕
= ) (−
) (
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕 𝑦𝜕
أي أ ّن:
𝛹𝜕2𝛹 𝜕2
+
=0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
و منه:
∆𝛹 = 0
إ ّن داليت التيار و الكمون حيققان شروط كوشي-رميان و ذلك أل ّن:
𝛹𝜕 𝛷𝜕
=
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝛷𝜕
𝛹𝜕
=𝑣
=−
𝑦𝜕
𝑥𝜕
{
=𝑢
و عليه تعرف دالّة الكمون املرّكب الدالّة
)𝑧(𝐹
حيث:
)𝑦 𝐹(𝑧) = 𝛷(𝑥, 𝑦) + 𝑖 ∙ 𝛹(𝑥,
مع العلم
أ ّن𝑧 = 𝑥 + 𝑖 𝑦 :
يف االحداثيات الكارتيزية و
𝜃𝑖 𝑒 𝑟 = 𝑧
يف االحداثيات القطبية.
إ ّن من أمهّية استعمال دالة الكمون املرّكب هو مع دالّيت التيار و الكمون يف دالّة واحدة هي )𝑧(𝐹.
-32-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
مثالِ:جريان من منبع أو حنو بئر (بالوعة) ِ
نعترب جريان يتميّز بالكمون املرّكب اآليت:
)𝜃 𝑖 𝐹(𝑧) = 𝐴(ln 𝑟 +
حيث ،𝑧 = 𝑟 𝑒 𝑖𝜃 :و 𝐴 ثابت.
-1
أوجد داليت الكمون و التيار هلذا اجلريان.
-2
ماذا متثّل خطوط التيار و خطوط تساوي الكمون هلذا اجلريان.
-3
السرعة هلذا اجلريان.
أوجد مرّكبات ّ
احلل:
-1
إجياد داليت الكمون 𝛷 و التيار 𝛹 هلذا اجلريان:
لدينا من املعطيات:
𝜃 𝐴 𝑖 𝐹(𝑧) = 𝐴 ln 𝑟 +
و من جهة أخرى حسب تعريف دالة الكمون املرّكب لدينا:
𝛹 ∙ 𝑖 𝐹(𝑧) = 𝛷 +
حيث 𝛷 متثّل دالة الكمون املركب و 𝛹 متثل دالة التيار ،باملطابقة إذن جند :
𝑟 𝛷 = 𝐴 ln
𝜃𝐴= 𝛹
-2
خطوط التيار و خطوط تساوي الكمون هلذا اجلريان:
كما رأينا سابقا ،إ ّن خطوط التيار حت ّقق العلقة:
𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝛹
و بتعويض عبارة دالة التيار 𝛹 جند:
𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝜃 𝐴
-33-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
و منه مهما كانت قيمة 𝑟 فإ ّن :
𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝜃
و بالتّايل فإ ّن خطوط التيار هلذا اجلريان متثّل مستقيمات قطرية.
و من جهة أخرى كما رأينا سابقا ،إ ّن خطوط تساوي الكمون حت ّقق العلقة:
𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝛷
و بتعويض عبارة دالة الكمون 𝛷 جند:
𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝑟 𝐴 ln
و منه مهما كانت قيمة 𝜃 فإ ّن :
𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝑟
و بالتايل فإ ّن خطوط تساوي الكمون هلذا اجلريان متثّل دوائر مركزها 𝑂 و نصف قطرها 𝑟.
-3
السرعة هلذا اجلريان:
مرّكبات ّ
السرعة هلذا اجلريان نستعمل العلقة:
إلجياد مركبات ّ
𝛷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 = ⃗
𝑉
و باستعمال االحداثيات القطبية يكون:
𝛷𝜕
𝛷𝜕 1
⃗𝑟+
⃗
𝑈
𝑈
𝑟𝜕
𝜃 𝜃𝜕 𝑟
= ⃗
𝑉
و بتعويض عبارة دالة الكمون 𝛷 جند:
𝜕
𝜕 1
⃗𝑟 +
𝜃⃗
𝑈)𝑟 (𝐴 ln
𝑈)𝑟 (𝐴 ln
𝑟𝜕
𝜃𝜕 𝑟
ومنه جند:
𝐴
⃗
𝑈
𝑟 𝑟
= ⃗
𝑉
-34-
= ⃗
𝑉
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
إذن ميكننا متييز حالتني:
االجتاه ،يف هذه احلالة يكون مصدر اجلريان هو
إذا كان :𝐴 > 0أي أ ّن ⃗𝑉 و 𝑟⃗𝑈 هلما نفس ّ
منبع.
االجتاه ،يف هذه احلالة يكون مصدر اجلريان
إذا كان :𝐴 < 0أي أ ّن ⃗𝑉 و 𝑟⃗𝑈 متعاكسني يف ّ
هو بئر.
و نلخص ذلك يف الشكل (.)7.2
𝑦
⃗
𝑉
𝑟⃗
𝑈
⃗
𝑉
𝜃
𝑥
شكل ()7.2
-35-
حالةِبئر
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
الفصلِالثالثِ–ِديناميكِالموائع
ِِِ.1.3مقدِمة ِ
إ ّن املعادالت اليت جيب تشكيلها إلجياد املقادير املميّزة للمائع يف كل نقطة ويف كل حلظة يعتمد على
عدد اجملاهيل ،حبيث أ ّن كل مسألة يف ميكانيك املوائع احلقيقية حتوي ستّة جماهيل و هي:
السرعة ⃗𝑉 (بثلثة مركبات و هي 𝑢 𝑣 ،و 𝑤)
الكتلة احلجمية
الضغط
ّ
ρ
𝑝
درجة احلرارة
𝑇
إذن إلجياد هذه املقادير الستّة جيب تشكيل ستّة معادالت و هي:
معادلة احنفاظ الكتلة أو معادلة االستمرارية كما رأيناها يف الفصل الثّاين.
كمية احلركة و هي معادلة شعاعية مكافئة إىل ثل معادالت سلّمية.
معادلة احنفاظ ّ
معادلة احنفاظ الطّاقة.
الشكل .𝑓(𝑝, 𝜌, 𝑇) = 0
معادلة مميّزة للمائع من ّ
و منه إذا اعتربنا أ ّن املائع درجة حرارته ثابتة و أ ّن اجلريان غري قابل للنضغاط أي أ ّن 𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝜌 ،يف
السرعة مبرّكباهتا الثّل 𝑢 𝑤 ، 𝑣 ،و
هذه احلالة يكون عدد اجملاهيل أربعة فقط و هم على التّوايل ّ
الضغط 𝑝 .و املعادالت اليت يستوجب تشكيلها يف هذه احلالة هي معادلة االستمرارية و معادلة احنفاظ
ّ
كمية احلركة و هي معادلة شعاعية مكافئة إىل ثل معادالت سلّمية ،و هذا ما سنراه يف هذا الفصل.
ّ
كمية احلركة و تطبيقها مثل من أجل حساب القوى اليت
طرق أوال إىل نظرية احنفاظ ّ
و قبل ذلك سنت ّ
السطح امللمس له.
يؤثّر هبا املائع ّ
املتحرك على ّ
-36-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
انحفاظِكميةِالحركة ِ
ِ
ِِ.2.3نظريةِ
مادي 𝓋 من املائع (حيوي جمموعة معيّنة من جسيمات
من أجل املوائع ،و يف حالة إذا اعتربنا حجم ّ
كمية
كمية احلركة تنص على أ ّن مقدار الت ّ
غري الكلّي يف ّ
املائع) يتبَع خلل حركته فإ ّن نظرية احنفاظ ّ
للزمن يساوي جمموع القوى اخلارجية (قوى احلجم و قوى السطح)
حركة هذا احلجم ّ
املادي بالنّسبة ّ
املادي و يف هذه احلالة ميكن أن نكتب اآليت:
املؤثّرة على هذا احلجم ّ
)⃗
𝑉 𝜌(𝑑
𝑡𝑥𝑒𝐹 ∑ = 𝓋𝑑
𝑡𝑑
∭
𝓋
كمية احلركة يف وحدة حجم املائع.
حيث املقدار )⃗𝑉 𝜌( ميثّل ّ
دائما من أجل املوائع ،نعترب اآلن حجم 𝓋 ثابت من الفضاء و حمدود بسطح مغلق 𝑆 حبيث املائع
يدخل إىل هذا احلجم و خيرج منه يف كل حلظة (نظام مفتوح) .و ليكن ⃗𝑛 شعاع الوحدة النّاظم
الشكل (.)1.3
موضح يف ّ
موجه حنو خارج احلجم 𝓋 كما هو ّ
السطح و هو شعاع ّ
على ّ
𝑑S
𝑆
𝓋
⃗𝑛
𝓋𝑑
شكل ()1.3
مبا أ ّن النّظام مفتوح أي املائع يدخل إىل حجم املراقبة 𝓋 احملدود بال ّسطح
𝑆
و خيرج منه يف كل حلظة،
كمية احلركة يف هذه احلالة كاآليت:
إذن ميكن كتابة معادلة احنفاظ ّ
)⃗
𝑉 𝜌(𝜕
𝑉( ⃗
𝑡𝑥𝑒𝐹 ∑ = 𝑆𝑑)⃗𝑛 ⃗
𝑉 𝜌 ∬ 𝑑𝓋 +
𝑡𝜕
𝑆
-37-
∭
𝓋
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
الكمية
كمية احلركة يف وحدة حجم املائع ،و ّ
الكمية )⃗𝑉 𝜌( متثّل ّ
حيث ّ
السطح املغلق 𝑆.
تدفّق ّ
كمية احلركة عرب ّ
𝑉( ⃗
𝑆𝑑)⃗𝑛 ⃗
𝑉𝜌
𝑆∬ متثّل
⃗
) 𝑉 𝜌(𝜕
الشكل اآليت:
على
كة
احلر
ية
كم
احنفاظ
معادلة
تصبح
منه
و
يف حالة اجلريان الدائم يكون = 0
ّ
ّ
𝑡𝜕
𝑉( ⃗
𝑡𝑥𝑒𝐹 ∑ = 𝑆𝑑)⃗𝑛 ⃗
𝑉𝜌 ∬
𝑆
و بالتّايل فإنّه يف حالة اجلريان ال ّدائم يكون جمموع القوى اخلارجية املؤثّرة على املائع املوجود داخل
يسمى أيضا بنظرية أولر.
السطح و هو ما ّ
السطح املغلق 𝑆 مساويا لتدفّق ّ
كمية احلركة عرب كامل هذا ّ
ّ
كمية احلركة يف ع ّدة مسائل نذكر من بينها حساب القوى املطبّقة
إذن ميكن استعمال نظرية احنفاظ ّ
على جدار األنبوب يف املناطق اليت حيد فيها تغيريات مفاجئة يف املقطع كاالتّساع املفاج أو الّتدرجيي
الصفائح املستوية و املنحنية و
و التّضييق املفاج أو التّدرجيي ،و كذلك حساب القوى املطبّقة على ّ
كذلك حس ـ ـ ـ ـ ـاب القوى املطبّقـ ـ ـ ـ ـة على جدار األنبـ ـ ـ ـ ـوب يف املناطـ ـ ـ ـ ـق اليت حي ـ ـ ـ ـد فيها تغيريات يف
االجتاه ...إخل.
ّ
مثالِ :
نعترب أنبوب مساحة مقطعه 𝑆1مثّ يتقارب تدرجييا إىل أن تصبح مساحة مقطعه ،𝑆2و ليكن
الضغط
الضغط عند مدخل اجلزء املتقارب و ّ 𝑝2
𝑚𝑞 التدفّق الكتلي للمائع الذي بداخلهّ 𝑝1 ،
الشكل ( .)2.3نعترب اجلريان دائم كما هنمل قوى
موضح يف ّ
عند خمرج اجلزء املتقارب كما هو ّ
احلجم .نريد إجياد عبارة ّقوة ال ّدفع 𝐹 املطبّقة من طرف املائع على جدار اجلزء املتقارب من
األنبوب.
-38-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑦
𝑦𝐹
𝑥
𝑥𝐹
𝑉2
𝑉1
𝑝2
𝑆2
𝑝1
𝐿𝑆
𝑆1
شكل ()2.3
كمية احلركة بالنّسبة حلجم املراقبة املشكل ألنبوب
مبا أ ّن اجلريان دائم ،إذن بتطبيق نظرية احنفاظ ّ
الشكل (اخلطوط املتقطّعة) يكون لدينا:
التيّار املوضح يف ّ
𝑉( ⃗
𝑡𝑥𝑒𝐹 ∑ = 𝑆𝑑)⃗𝑛 ⃗
𝑉𝜌 ∬
𝑆
و منه جند:
𝑉( ⃗ 1
𝑉 𝜌 ∬ ⃗ 1 𝑛⃗1 )𝑑𝑆 +
𝑉( ⃗ 2
𝑉 𝜌 ∬ ⃗ 2 𝑛⃗2 )𝑑𝑆 +
𝑉( 𝐿 ⃗
⃗𝑃 ⃗ 𝐿 𝑛⃗𝐿 )𝑑𝑆 = 𝑅⃗ +
𝑉 𝜌 𝑆∬
𝑆
𝑆
2
𝐿
1
⃗
⃗
السطح اجلانيب ألنبوب التيار.
السطح 𝑃 ،متثل قوى احلجم و 𝐿𝑆 متثل مساحة ّ
حيث 𝑅 :متثل قوى ّ
و منه يكون:
𝑉 𝑚𝑞 ⃗ 1 +
⃗𝑃 ⃗ 2 + ⃗0 = 𝑅⃗ +
𝑉 𝑚𝑞−
حيث:
⃗1
𝑉
متثّل سرعة دخول املائع للجزء املتقارب أي حلجم املراقبة.
⃗2
𝑉
متثّل سرعة خروج املائع من اجلزء املتقارب أي من حجم املراقبة.
مبا أ ّن قوى احلجم مهملة ،إذن باإلسقاط جند:
-39-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑥𝐹 −𝑞𝑚 𝑉1 + 𝑞𝑚 𝑉2 = 𝑝1 𝑆1 − 𝑝2 𝑆2 −
𝑦𝐹0 = −
حيث 𝑥𝐹 و 𝑦𝐹 متثل مركبات ّقوة ال ّدفع
𝐹
{
املطبّقة من طرف املائع على جدار اجلزء املتقارب
القوة املطبّقة من طرف جدار اجلزء املتقارب من األنبوب على املائع.
من األنبوب إذن 𝐹 −متثّل ّ
السطح
𝑝1 𝑆1متثّل ّقوة ّ
الضغط املطبّقة على ّ
السطح .𝑆2و منه يكون:
ّ
𝑆1
الضغط املطبّقة على
و 𝑝2 𝑆2متثّل ّقوة ّ
) 𝐹 = 𝑝1 𝑆1 − 𝑝2 𝑆2 − 𝑞𝑚 (𝑉1 − 𝑉2
𝑥 { 𝐹:
𝐹𝑦 = 0
ِِِ.3.3منِنظريةِانحفاظِكمِيةِالحركةِإلىِمعادلتيِأولرِوِبرنولي ِ
أ .معادلةِأولر:
مادي 𝓋 من املائع (حيوي جمموعة معيّنة من جسيمات املائع) حمدود بسطح مغلق 𝑆 و
نعترب حجم ّ
موجه حنو خارج احلجم
السطح و هو شعاع ّ
يتبع خلل حركته .و ليكن ⃗𝑛 شعاع الوحدة النّاظم على ّ
الشكل (.)3.3
موضح يف ّ
𝓋 كما هو ّ
⃗𝑛
𝑆𝑑
𝑧𝑒
𝓋
𝑆
شكل ()3.3
𝑦𝑒
𝑥𝑒
املادي
إ ّن جمموع قوى احلجم اخلارجية املطبّقة على احلجم ّ
𝓋𝑑 𝐹 𝜌 𝓋∭ حبيث إذا اعتربنا حالة وجود حقل اجلاذبية األرضية فقط يكون 𝑧𝑒 𝑔.𝐹 = 𝑔 = −
𝓋
الشكل
من املائع هي من ّ
املادي 𝓋 هي من
السطح 𝑆 احمليط باحلجم ّ
السطح املطبّقة على ّ
و من جهة أخرى ،إ ّن جمموع قوى ّ
الشكل
𝑆𝑑 ⃗
𝑇
⃗
السطح ذو النّاظم ⃗𝑛 و لكن مبا أ ّن املائع مثايل
𝑆∬ حيث 𝑇 ميثل االجهاد املطبّق على ّ
الشكل
السطح يف هذه احلالة تكون على ّ
إذن ال وجود إلجهاد القص و بالتّايل فإ ّن قوى ّ
𝑆𝑑 ⃗𝑛 𝑝.∬𝑆 −
-40-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
كمية احلركة لدينا:
إذن حسب نظرية احنفاظ ّ
)⃗
𝑉 𝜌(𝑑
𝑆𝑑 ⃗𝑛 𝑝𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹 𝑑𝓋 + ∬ −
𝑡𝑑
𝓋
𝑆
∭
𝓋
و من أجل جريان غري قابل للنضغاط جند العلقة اآلتية:
⃗
𝑉𝑑
𝑆𝑑 ⃗𝑛 𝑝𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹 𝑑𝓋 + ∬ −
𝑡𝑑
𝓋
𝑆
𝜌 ∭
𝓋
و باستعمال نظرية أوسرتوغرادسكي جند:
⃗
𝑉𝑑
𝓋𝑑 𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 𝓋∭ ∭𝓋 𝜌 𝑑𝑡 𝑑𝓋 = ∭𝓋 𝜌 𝐹 𝑑𝓋 −
أي أ ّن:
⃗
𝑉𝑑
𝓋𝑑 )𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 ∭𝓋 𝜌 𝑑𝑡 𝑑𝓋 = ∭𝓋 (𝜌 𝐹 −
و منه حمليا يكون (:)𝓋 → 0
𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 = 𝜌 𝐹 −
⃗
𝑉𝑑
𝑡𝑑
𝜌
و هي متثل معادلة أولر اليت تطبّق من أجل املوائع املثالية و هي معادلة شعاعية مكافئة إىل ثل
معادالت سلّمية.
بِ .معادلةِبرنولي:
توصلنا سابقا إىل معادلة أولر اليت تطبّق من أجل املوائع املثالية.
كمية احلركةّ ،
انطلقا من نظرية احنفاظ ّ
كما أ ّن معادلة أولر و يف حالة اعتبارنا لوجود حقل اجلاذبية األرضية فقط (𝑔 = 𝐹) تكتب على
الشكل اآليت:
ّ
𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 = 𝜌 𝑔 −
و كما رأينا يف الفصل الثّاين لدينا:
-41-
⃗
𝑉𝑑
𝑡𝑑
𝜌
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
2
𝑡𝑜𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑉 ) +
𝑉˄ ⃗
⃗
𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 +
2
⃗
𝑉𝜕
𝑡𝜕
=
⃗
𝑉𝑑
𝑡𝑑
و كذلك لدينا:
)𝑧𝑔𝜌( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔𝜌 𝑔 = −
بالتعويض يف معادلة أولر جند:
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑉 ) +
𝑑𝑎𝑟𝑔 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝜌𝑔𝑧) −
𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉˄⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔⃗ ] = −
𝑑𝑎𝑟𝑔 +
𝑉𝑡𝑜𝑟
2
⃗
𝑉𝜕
𝑡𝜕
[𝜌
باعتبار أ ّن اجلريان دائم يكون:
⃗
𝑉𝜕
=0
𝑡𝜕
و منه جند:
𝑡𝑜𝑟 = ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 + 1 𝜌𝑉 2
𝑉˄⃗
)∗(⃗ …….
𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔
2
نلحظ أنّه حلذف عبارة الدوران يف الطرف الثّاين من املعادلة )∗( ميكن أن نعترب احلالتني اآلتيتني:
يف حالة ضربنا سلّميا طريف املعادلة )∗( يف عنصر االنتقال 𝑙𝑑 و نكامل املعادلة )∗( بني أي
السرعة موا ٍز لعنصر االنتقال
نقطتني تقعان على طول نفس خط التيار ،و بالتّايل يكون حقل ّ
1
𝑉˄ ⃗
𝑙𝑑 أي أ ّن احلد 𝑙𝑑) ⃗
𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
الكمية ) (𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 + 2 𝜌𝑉 2
𝑡𝑜𝑟( يكون معدوما ،و منه تكون ّ
يسمى بنظرية برنويل:
ثابتة يف كل نقاط املائع الواقعة على نفس خط التيار و هذا ما ّ
1
𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 + 𝜌𝑉 2
2
كذلك يف حالة اجلريان الغري دوراين كما رأينا سابقا ،لدينا ⃗ = 0
𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑡𝑜𝑟 ،يف هذه احلالة و
الكمية ) (𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 + 12 𝜌𝑉 2ثابتة يف كل نقاط املائع و ذلك
حسب املعادلة )∗( تكون ّ
طبعا يف حالة اجلريان الدائم و غري قابل للنضغاط ،أي أنّه يف هذا النوع من اجلريان تكون
نظرية برنويل ليست صاحلة فقط من أجل نقاط املائع الواقعة على نفس خط التيار بل ميكن
تطبيقها من أجل ميع نقاط املائع.
-42-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
مع التّذكري أنّه لتطبيق معادلة برنويل جيب أن تتوفر الفرضيات اآلتية:
اجلريان الدائم.
اجلريان الغري قابل للنضغاط.
املائع املثايل أي غري اللّزج.
قوى احلجم ناجتة عن حقل اجلاذبية فقط.
الكمية
إ ّن ّ
1
𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 + 𝜌𝑉 2
2
الضغط الكلّي
الشحنة (م َّ
تسمى ّ
عرب عنها بالباسكال) أو ّ
ّ
𝑡𝑝
الذي
الضغط
الضغط الثّقايل 𝑧𝑔𝜌 و ّ
الساكن أو الستاتيكي 𝑝ّ ،
يتكون من ثل ضغوط و هي ّ
ّ
الضغط ّ
1
ال ّديناميكي .2 𝜌𝑉 2
التِفسيرِالطِاقويِلمعادلةِبرنولي:
بشكل عام ،إ ّن معادلة برنويل ترتجم مبدأ احنفاظ الطّاقة امليكانيكية على طول خط التيّار يف إطار
جريان املائع املثايل .فلو ضربنا مثل كل حد من معادلة برنويل يف احلجم 𝓋 فإ ّن كل حد سيصبح ميثّل
بعد للطاقة ،أي:
1
𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝑝𝓋 + 𝑚𝑔𝑧 + 𝑚𝑉 2
2
حيث:
𝑝𝓋
الضغط.
الضغط و هي متثّل أيضا الطاقة الكامنة النّاشئة عن قوى ّ
متثّل عمل قوى ّ
𝑚𝑔𝑧 متثّل الطّاقة الكامنة النّاجتة عن قوى الثّقالة.
12 𝑚𝑉 2 متثّل الطّاقة احلركية.
-43-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
و جمموع هذه احلدود ميثّل الطّاقة امليكانيكية الكلّية 𝑚𝐸 و اليت بدورها تبقى حمفوظة على طول خط
التيار من أجل املائع املثايل ،و مبعىن آخر أنّه ال يوجد ضياع يف الطّاقة ناتج عن لزوجة املائع خلل
اجلريان.
تطبيقِِ:صيغة توريشلي
يتم تفريغه من األسفل عرب فتحة مساحة مقطعها
نعترب ّ
خزان حيوي مائع مثايل غري قابل للنضغاطّ ،
𝑆
اخلزان كما هو موضح يف الشكل ( .)4.3نريد إجياد العلقة بني سرعة
صغري جدا إذا ما قورن بأبعاد ّ
التّفريغ أي سرعة املائع عند الفتحة و ارتفاع مستوى املائع عن فتحة التّفريغ.
𝑧
𝐴
𝐴𝑧
خط تيار
ℎ
𝐵
𝐵𝑧
شكل ()4.3
موضح يف الشكل
بتطبيق معادلة برنويل بني النّقطتني 𝐴 و 𝐵 الواقعتان على نفس خط التيار كما هو ّ
( )2.3جند:
1
1
2
2
𝑝𝐴 + 𝜌 𝑔 𝑧𝐴 + 𝜌 𝑉𝐴 2 = 𝑝𝐵 + 𝜌 𝑔 𝑧𝐵 + 𝜌 𝑉𝐵 2
حيث لدينا:
𝑉𝐴 ≈ 0
و ذلك راجع أل ّن أبعاد اخلزان كبرية جدا مقارنة بفتحة التفريغ.
الضغط اجلوي ( 𝑚𝑡𝑎𝑝 = 𝐵𝑝 = 𝐴𝑝).
الضغط يف النّقطة 𝐵 و يساوي ّ
الضغط يف النّقطة 𝐴 يساوي ّ
ّ
-44-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
ارتفاع مستوى املائع عن فتحة التفريغ هو
𝐵𝑧 .ℎ = 𝑧𝐴 −
و منه جند:
𝜌 𝑉𝐵 2 = 𝜌 𝑔 ℎ
1
2
أي أ ّن:
𝑉𝐵 = √2 𝑔 ℎ
و هي متثّل صيغة توريشلي.
ِِِ.4.3منِنظريةِانحفاظِكميةِالحركةِإلىِمعادلةِنافييرِوِستوكس ِ
مادي 𝓋 من املائع (حيوي جمموعة معيّنة من جسيمات املائع) حمدود بسطح مغلق 𝑆 و
نعترب حجم ّ
موجه حنو خارج احلجم
السطح و هو شعاع ّ
يتبع خلل حركته .و ليكن ⃗𝑛 شعاع الوحدة النّاظم على ّ
موضح يف الشكل (.)3.3
𝓋 كما هو ّ
املادي
إ ّن جمموع قوى احلجم اخلارجية املطبّقة على احلجم ّ
𝓋𝑑 𝐹 𝜌 𝓋∭ حبيث إذا اعتربنا حالة وجود حقل اجلاذبية األرضية فقط يكون 𝑧𝑒 𝑔.𝐹 = 𝑔 = −
𝓋
الشكل
من املائع هي من ّ
لسطح
السطح املطبّقة على ا ّ
و من جهة أخرى ،يف حالة املوائع احلقيقية أي اللّزجة يكون جمموع قوى ّ
𝑇 ∬ حيث ⃗
الشكل 𝑆𝑑 ⃗
𝑇
𝑆 احمليط باحلجم 𝓋 هي من ّ
𝑆
⃗𝑛.
السطح ذو النّاظم
ميثّل االجهاد املطبّق على ّ
كمية احلركة لدينا:
إذن حسب نظرية احنفاظ ّ
)⃗
𝑉 𝜌(𝑑
𝑆𝑑 ⃗
𝑇 ∬ 𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹 𝑑𝓋 +
𝑡𝑑
𝓋
𝑆
و من أجل جريان غري قابل للنضغاط جند العلقة اآلتية:
-45-
∭
𝓋
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
⃗
𝑉𝑑
𝑆𝑑 ⃗
𝜌 ∭
𝑇 ∬ 𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹 𝑑𝓋 +
𝑡𝑑
𝓋
𝓋
𝑆
كذلك ميكن أن نكتب هذه املعادلة بشكل آخر (ترميز أينشتاين):
𝑖𝑉𝑑
𝑆𝑑 𝑖𝑇 ∬ 𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹𝑖 𝑑𝓋 +
𝑡𝑑
𝓋
𝑆
𝜌 ∭
𝓋
كما رأينا سابقا لدينا 𝑗𝑛 ∙ 𝑗𝑖𝜎 = 𝑖𝑇 حيث 𝑗𝑖𝜎 متثل اإلجهادات الوحدوية ،و منه يكون:
𝑖𝑉𝑑
𝑆𝑑 𝑗𝑛 ∙ 𝑗𝑖𝜎 ∬ 𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹𝑖 𝑑𝓋 +
𝑡𝑑
𝓋
𝑆
𝜌 ∭
𝓋
و باستعمال نظرية أوسرتوغرادسكي جند:
𝑖𝑉𝑑
𝓋𝑑 ) 𝑗𝑖𝜎(𝑣𝑖𝑑 ∭ 𝑑𝓋 = ∭ 𝜌 𝐹𝑖 𝑑𝓋 +
𝑡𝑑
𝓋
𝓋
𝜌 ∭
𝓋
و منه حمليا يكون (:)𝓋 → 0
𝑖𝑉𝑑
) 𝑗𝑖𝜎(𝑣𝑖𝑑 = 𝜌 𝐹𝑖 +
𝑡𝑑
𝜌
الشكل التايل:
كذلك ميكن أن نكتب هذه املعادلة على ّ
𝑗𝑖𝜎𝜕
𝑖𝑉𝑑
= 𝜌 𝐹𝑖 +
𝑡𝑑
𝑗𝑥𝜕
𝜌
يف حالة املوائع النيوتونية لدينا:
2
𝑉𝜕 𝑉𝜕
) 𝑗 ⃗ ∙ 𝛿𝑖𝑗 + 𝜇 ( 𝑖 +
𝑉 𝑣𝑖𝑑 𝜇 𝜎𝑖𝑗 = −𝑝 𝛿𝑖𝑗 −
3
𝑖𝑥𝜕 𝑗𝑥𝜕
حيث:
الساكن.
𝑝 ميثل ّ
الضغط ّ
𝑗𝑖𝛿 ميثل رمز كرونيكر 𝛿𝑖𝑗 = 1 :إذا كان 𝑗 = 𝑖 ،و 𝛿𝑖𝑗 = 0إذا كان 𝑗 ≠ 𝑖.
-46-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝜇 متثل معامل اللّزوجة ال ّديناميكية.
و منه بتعويض عبارة 𝑗𝑖𝜎 يف معادلة التّحريك جند:
𝑗𝑉 𝜕 2
𝑖𝑉𝑑
𝜕 𝜕𝑝 2
𝑖𝑉 𝜕 2
⃗
𝜌
= 𝜌 𝐹𝑖 −
𝜇 −
+
( 𝜇 (𝑑𝑖𝑣 𝑉 ) +
)
𝑡𝑑
𝑗𝑥𝜕 𝜕𝑥𝑖 3
𝑗𝑥𝜕 𝑖𝑥𝜕 𝑗𝑥𝜕 𝑗𝑥𝜕
مع العلم أنّه يف حالة اجلريان الغري قابل للنضغاط و حسب معادلة االستمرارية لدينا:
𝑘𝑉𝜕
=0
𝑘𝑥𝜕
= ⃗
𝑉 𝑣𝑖𝑑
و منه جند:
𝑖𝑉𝑑
𝑝𝜕
𝑖𝑉 𝜕 2
𝜌
= 𝜌 𝐹𝑖 −
(𝜇+
)
𝑡𝑑
𝑖𝑥𝜕
𝑗𝑥𝜕 𝑗𝑥𝜕
أو نكتب بشكل آخر:
⃗
𝑉𝑑
𝑉∆ 𝜇 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 +
⃗
𝜌
𝑑𝑎𝑟𝑔 = 𝜌 𝐹 −
𝑡𝑑
و هي متثل معادلة نافيري و ستوكس و هي معادلة شعاعية مكافئة إىل ثل معادالت سلّمية و اليت
تطبّق من أجل املوائع احلقيقية.
-47-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
يانِالرقائقيِوِ
الفصلِالرابعِ–ِالجر ِ
الجريانِالمضطرب
ِِِ.1.4تجربةِرينولدز ِ
إ ّن دراسة جريان املائع احلقيقي تعود إىل حل معادلة نافيري و ستوكس .و حلل هذه املعادلة حتليليا ،منيّز
الرقائقي و اجلريان املضطرب .للكشف عن أنظمة اجلريان ،قام
نوعني من أنظمة اجلريان و مها اجلريان ّ
مادة سائلة م ّلونة
رينولدز بتحقيق جتربة تظهر خطوط التيار و ذلك بواسطة خط رفيع م ّلون ناتج من ّ
موضح يف الشكل (.)1.4
داخل أنبوب زجاجي أفقي كما هو ّ
ملون
سائل ّ
السائل
صنبور لتعديل تدفّق ّ
شكل ()1.4
من خلل هذه التجربة استطاع رينولدز بتحديد العامل الذي يسمح بتحديد نظام اجلريان رقائقي أم
يسمى رقم رينولدز و يرمز له بـ 𝑒𝑅 و هو ميثّل النّسبة بني قوى العطالة
مضطرب و هو رقم ال بعدي ّ
و قوى اللّزوجة و عبارته تعطى كاآليت :
𝐷𝑉𝜌
𝜇
= 𝑒𝑅
-48-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
أو:
𝐷𝑉
𝜈
= 𝑒𝑅
حيث:
𝜌 متثّل الكتلة احلجمية للمائع.
املتوسطة.
السرعة ّ
𝑉 متثّل ّ
𝐷 ميثّل قطر األنبوب.
𝜇 ميثّل معامل اللّزوجة ال ّديناميكية.
𝜈 ميثّل معامل اللّزوجة احلركية.
امللون يبقى رقيق
فمن أجل جريان للمائع داخل األنبوب سرعته 𝑉1صغرية كفاية ،اخلط الرفيع ّ
يسمى جريان
منتظم و موا ٍز حملور األنبوب كما هو ّ
موضح يف الشكل ( .)2.4هذا اجلريان ّ
رقائقي أو صفائحي و يتميّز بـ 𝑅𝑒 ≤ 2000تقريبا .يف هذا اجلريان قوى اللّزوجة هلا أمهّية
كربى مقارنة بقوى العطالة.
سرعة اجلريان
𝑉1
شكل ()2.4
و من أجل جريان للمائع داخل األنبوب سرعته
𝑉2
امللون يضطرب
أكرب بقليل من ،𝑉1اخلط ّ
يسمى جريان مضطرب و جنده تقريبا
و يهتز كما هو ّ
موضح يف الشكل ( .)3.4هذا اجلريان ّ
يف اجملال .2000 < 𝑅𝑒 ≤ 105يف هذا اجلريان أيضا قوى اللّزوجة هلا أمهّية مقارنة بقوى
العطالة.
-49-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
سرعة اجلريان
𝑉2
شكل ()3.4
و من أجل جريان للمائع داخل األنبوب سرعته 𝑉3أكرب من ،𝑉2اخلط امللون يتشتت و ينقسم
يسمى أيضا جريان
إىل عدد كبري من اجلزيئات كما هو موضح يف الشكل ( .)4.4هذا اجلريان ّ
مضطرب و جنده تقريبا من أجل .𝑅𝑒 > 105إ ّن هذا االضطراب ينشأ عندما تكون قوى
اللّزوجة مهملة مقارنة بقوى العطالة.
سرعة اجلريان
𝑉3
شكل ()4.4
الرقائقي عن اجلريان املضطرب بع ّدة ميزات و من بينها أ ّن خطوط التيار
بصفة عامة يتميّز اجلريان ّ
الرقائقي و هذا ما ال جنده يف اجلريان املضطرب حيث تكون
تكون متوازية و منتظمة بالنسبة للجريان ّ
موضح يف الشكلني ( )5.4و (.)6.4
خطوط التيار غري منتظمة أو ال وجود هلا كما هو ّ
الرقائقي
شكل ( :)5.4اجلريان ّ
شكل ( :)6.4اجلريان املضطرب
-50-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
يانِالرقائقي
ِِ.2.4الجر ِ
يانِالرقائقيِأحاديِاالتجاهِ :
أ .الجر ِ
نعترب جريان رقائقي و دائم ملائع لزج غري قابل للنضغاط .إذن انطلقا من معادلة نافيري و ستوكس و
يف حالة اعتبارنا لوجود حقل اجلاذبية األرضية (𝑔 = 𝐹) يكون لدينا:
⃗
𝑉𝑑
𝑉∆ 𝜇 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 +
⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 = 𝜌 𝑔 −
𝑡𝑑
𝜌
أو نكتب بشكل آخر:
⃗
𝑉𝜕
𝑉2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉∆ 𝜇 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 +
𝑉˄ ⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔 ⃗ ] = 𝜌 𝑔 −
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜌 [ + 𝑔𝑟𝑎𝑑 ( ) +
𝑉𝑡𝑜𝑟
𝑡𝜕
2
⃗
𝑉𝜕 تكون معدومة .كذلك اجلداء
مبا أن اجلريان دائم فإ ّن املشتقة
𝑡𝜕
𝑉˄ ⃗
⃗
𝑉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑡𝑜𝑟
يف هذه املعادلة يكون
معدوما إذا متّ اعتبار املعادلة على جمموعة النّقاط املش ّكلة خلط التيار .و من جهة أخرى ،تسارع اجلاذبية
األرضية هو مشتق من كمون .و منه فإ ّن معادلة نافيري و ستوكس يف هذه احلالة تصبح على الشكل:
1
𝑑𝑎𝑟𝑔⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝜌𝑉 2 ) = −
𝑑𝑎𝑟𝑔 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝜌 𝑔 𝑧) −
𝑉∆ 𝜇 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑝 +
⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔
2
أي أ ّن:
1
𝑉∆ 𝜇 = ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑝 + 𝜌 𝑔 𝑧 + 𝜌𝑉 2
⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔
2
كما رأينا سابقا لدينا:
1
𝑝𝑡 = 𝑝 + 𝜌 𝑔 𝑧 + 𝜌𝑉 2
2
حيث
𝑡𝑝
ميثل الضغط الكلي أو الشحنة.
-51-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
و منه يكون:
𝑉∆ 𝜇 = 𝑡𝑝 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
𝑑𝑎𝑟𝑔
االجتاه و موا ٍز للمحور 𝑥 ،إذن بإسقاط العلقة األخرية على حماور
باعتبار أ ّن اجلريان رقائقي و أحادي ّ
املعلم الكارتيزي جند:
𝑡𝑝𝜕
)= 𝜇 ∆𝑢 ∙∙∙∙∙∙∙∙ (1
𝑥𝜕
𝑡𝑝𝜕
)= 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (2
𝑦𝜕
𝑡𝑝𝜕
){ 𝜕𝑧 = 0 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ (3
𝑡𝑝𝜕
الضغط الكلّي 𝑡𝑝 ال يتعلّق بـ 𝑦.
لدينا من العلقة ( 𝜕𝑦 = 0 :)2و منه نستنتج أ ّن ّ
𝑡𝑝𝜕
الضغط الكلّي 𝑡𝑝 ال يتعلّق بـ 𝑧.
كذلك لدينا من العلقة ( 𝜕𝑧 = 0 :)3و منه نستنتج أ ّن ّ
الضغط الكلّي 𝑡𝑝 ال يتعلّق إال بـ 𝑥 ،أي أ ّن:
و منه نستنتج أ ّن ّ
𝑡𝑝𝑑 𝑡𝑝𝜕
=
𝑥𝜕
𝑥𝑑
و منه و حسب املعادلة ( )1يكون:
𝑡𝑝𝑑
𝑢𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2
)= 𝜇 ( 2 + 2 + 2
𝑥𝑑
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑦𝜕
و من جهة أخرى و حسب معادلة االستمرارية من أجل جريان غري قابل للنضغاط لدينا:
⃗ =0
𝑉 𝑣𝑖𝑑
أي أ ّن:
𝑤𝜕 𝑣𝜕 𝑢𝜕
+
+
=0
𝑧𝜕 𝑦𝜕 𝑥𝜕
-52-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
االجتاه و موا ٍز للمحور احملور 𝑥 ،و منه يكون:
مع العلم أ ّن 𝑣 = 𝑤 = 0و ذلك ألن اجلريان أحادي ّ
𝑢𝜕
=0
𝑥𝜕
السرعة 𝑢 ال تتعلّق إال بـ 𝑥 ،أي أ ّن:
و هذا يعين أ ّن مرّكبة ّ
)𝑧 𝑢 = 𝑢(𝑦,
نتحصل على املعادلة اآلتية:
و منه
ّ
𝑡𝑝𝑑
𝑢𝜕2𝑢 𝜕2
)= 𝜇 ( 2 + 2
𝑥𝑑
𝑦𝜕
𝑦𝜕
األول من املعادلة األخرية ال يتعلق إال بـ 𝑥 بينما الطّرف الثّاين ال يتعلّق إال بـ 𝑦 و 𝑧 و منه
إ ّن الطّرف ّ
يتغري خطّيا مع 𝑥 ،أي أ ّن:
نستنتج أ ّن ّ
الضغط الكلّي ّ
𝑡𝑝𝑑
𝑒𝑡𝑠𝑐 =
𝑥𝑑
الضغط الكلّي يتناقص يف ّاجتاه اجلريان بسبب االحتكاكات ،أي أ ّن:
و مبا أنّه منطقيا ّ
𝑡𝑝𝑑
<0
𝑥𝑑
إذن نضع:
𝑎= −
𝑡𝑝𝑑
𝑥𝑑
حيث 𝑎 ثابت موجب.
الشكل:
و منه املعادلة ( )1تصبح على ّ
)∗( ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
𝑎
𝜇
∆𝑢 = −
السرعة
إ ّن حل املعادلة (∗) تسمح لنا بإجياد عبارة توزيع ّ
احملور 𝑥.
-53-
𝑢
االجتاه وفق
من أجل كل جريان أحادي ّ
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
يانِالرقائقيِداخلِأنبوبِأسطواني:
بِ .حالةِالجر ِ
نعترب جريان رقائقي و دائم ملائع لزج غري قابل للنضغاط داخل أنبوب نصف قطره 𝑅 .سنهتم يف
االجتاه املوازي حملور األنبوب 𝑥𝑂 كما هو موضح يف الشكل (،)7.4
دراستنا هذه فقط باجلريان أحادي ّ
يسمى جبريان بوازاي األسطواينِ .
و هو ما ّ
الرقائقي داخل أنبوب أسطواين
شكل ( :)7.4اجلريان ّ
االجتاه لدينا:
إذن كما يف حالة اجلريان أحادي ّ
)∗( ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
𝑎
𝜇
∆𝑢 = −
باستعمال االحداثيات األسطوانية يكون :
𝜕1
𝑢𝜕
𝑢1 𝜕2𝑢 𝜕2
= 𝑢∆
(𝑟 ) + 2 2 + 2
𝑟𝜕 𝑟𝜕 𝑟
𝜑𝜕 𝑟
𝑥𝜕
االجتاه وفق احملور 𝑥 أي أ ّن 𝑥𝑒 ∙ 𝑢 = ⃗𝑉 و
لدينا اجلريان أحادي ّ
-54-
بالتايل .𝑣𝑟 = 𝑣𝜑 = 0
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
كذلك باستعمال االحداثيات األسطوانية و حسب معادلة االستمرارية بالنّسبة جلريان غري قابل
للنضغاط لدينا:
𝜕1
𝑢𝜕 𝜑𝑣𝜕 1
(𝑟 𝑣𝑟 ) +
+
=0
𝑟𝜕 𝑟
𝑥𝜕 𝜃𝜕 𝑟
االجتاه ،أي أ ّن:
اجلريان أحادي ّ
𝑢𝜕
=0
𝑥𝜕
و من جهة أخرى ،كذلك اجلريان متماثل وفق 𝜑 إذن :
𝑢𝜕
=0
𝜑𝜕
و منه يكون )𝑟(𝑢 = )𝑥 .𝑢(𝑟, 𝜑,
الشكل:
إذن عبارة 𝑢∆ تصبح على ّ
𝜕1
𝑢𝜕
) 𝑟(
𝑟𝜕 𝑟𝜕 𝑟
= 𝑢∆
و بالتّعويض يف املعادلة (∗) جند:
𝑑1
𝑢𝑑
𝑎
(𝑟 ) = −
𝑟𝑑 𝑟𝑑 𝑟
𝜇
أي أ ّن:
𝑑
𝑢𝑑
𝑎
𝑟 (𝑟 ) = −
𝑟𝑑 𝑟𝑑
𝜇
باملكاملة جند:
𝑢𝑑
𝑎 2
=−
𝐵𝑟 +
𝑟𝑑
𝜇2
و منه:
-55-
𝑟
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑢𝑑
𝑎
𝐵
=−
𝑟+
𝑟𝑑
𝜇2
𝑟
مرة أخرى جند:
باملكاملة ّ
𝑎 2
𝐶 𝑟 + 𝐵 ln 𝑟 +
𝜇4
𝑢(𝑟) = −
الشروط احل ّدية و ذلك كاآليت:
حيث 𝐵 و 𝐶 ثابتني ميكن حتديدهم باستعمال ّ
السرعة حتما.𝐵 = 0 :
السرعة تكون حمدودة و منه حسب عبارة ّ
عند حمور األنبوب ( )𝑟 = 0قيمة ّ
متحرك و بالتّايل سرعته معدومة
عند سطح التّلمس بني املائع و األنبوب (𝑅 = 𝑟) يكون املائع غري ّ
السرعة جند :
أي ،𝑢(𝑅) = 0 :و منه بالتّعويض يف عبارة ّ
𝑎 𝑅2
𝜇4
=𝐶
السرعة هلذا اجلريان داخل األنبوب كاآليت:
و أخريا تكون عبارة توزيع ّ
𝑎 𝑅2 𝑟 2
𝑢(𝑟) = −
)( − 1
4 𝜇 𝑅2
و هي متثّل معادلة قطع مكاف .
إيجادِعبارةِالسِرعةِالعظمىِللجريانِ𝒙𝒂𝒎𝒖 :
السرعة أعظمية حيقق:
إ ّن نصف القطر 𝑥𝑎𝑚𝑟 الذي تكون عنده ّ
𝑢𝜕
=0
)
𝑥𝑎𝑚𝑟=𝑟 𝑟𝜕
(
و منه يكون:
𝑟𝑚𝑎𝑥 = 0
موضح يف الشكل (.)7.4
السرعة تكون أعظمية عند حمور األنبوب كما هو ّ
أي أ ّن ّ
السرعة األعظمية 𝑥𝑎𝑚𝑢:
بالتعويض يف عبارة )𝑟(𝑢 جند عبارة ّ
𝑎 𝑅2
=
𝜇4
𝑥𝑎𝑚𝑢
-56-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
السرعة العظمى للجريان كاآليت:
السرعة بداللة ّ
إذن ميكن أن نكتب كذلك عبارة توزيع ّ
𝑟2
) 𝑢(𝑟) = 𝑢𝑚𝑎𝑥 (1 − 2
𝑅
إيجادِعبارةِإجهادِالقصِ𝝉:
لدينا من أجل مائع نيوتوين:
𝑢𝑑
𝑟𝑑
𝜇=𝜏
و منه:
𝑑
𝑎 𝑅2 𝑟 2
𝜏 = 𝜇 [−
])( − 1
𝑟𝑑
4 𝜇 𝑅2
الشكل:
و منه تكون عبارة إجهاد القص هلذا اجلريان على ّ
𝑎
𝑟 𝜏=−
2
موضح يف الشكل (.)7.4
يتغري خطّيا مع 𝑟 كما هو ّ
أي أنّه ّ
إيجادِعبارةِقوةِاالحتكاكِالمطبِقةِعلىِاألنبوبِذوِالطولِ𝑳ِ :
ِ
إ ّن ّقوة االحتكاك املطبّقة على األنبوب ذو الطّول 𝐿 تعطى بالعلقة:
𝐿𝑆 ∙ 𝑝𝜏 = 𝑓𝐹
حيث:
𝑝𝜏 ميثل إجهاد القص عند اجلدار أي عند 𝑅 = 𝑟 :
𝑎
𝑅 𝜏𝑝 = −
2
السطح ال ّداخلي لألنبوب ذو الطول 𝐿 و امللمس للمائع:
𝐿𝑆 ميثل مساحة ّ
𝐿 𝑅𝜋𝑆𝐿 = 2
-57-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
و منه تكون عبارة االحتكاك املطبّقة على األنبوب ذو الطول 𝐿 كاآليت:
𝐿 𝐹𝑓 = −𝑎 𝜋𝑅2
إيجادِعبارةِالتدفِقِالحجميِ𝒗𝒒:
من خلل التّعريف ،إ ّن التدفّق احلجمي للمائع الذي جيري داخل األنبوب الذي مساحة مقطعه
𝑆 يعطى كاآليت:
𝑆𝑑 ⃗
𝑉 ∬ = 𝑣𝑞
𝑆
لكن لدينا 𝑥𝑒 𝑢 = ⃗𝑉 و 𝑥𝑒 𝑆𝑑 = 𝑆𝑑 ،إذن بالتّعويض يكون:
) 𝑥𝑒 𝑆𝑑( ) 𝑥𝑒 𝑢( ∬ = 𝑣𝑞
𝑆
و منه:
𝑆𝑑 𝑢 ∬ = 𝑣𝑞
𝑆
حيث عنصر السطح 𝑆𝑑 يعطى كاآليت:
𝜑𝑑 𝑟𝑑 𝑟 = 𝑆𝑑
بالتّعويض يف عبارة 𝑣𝑞 جند:
𝑟2
𝜑𝑑 𝑟𝑑 𝑟 ])(𝑅2 − 1
𝑎 𝑅2
𝜇4
𝑅
𝜋2
𝑞𝑣 = ∫0 ∫0 [−
و منه:
𝑟3
𝜋2
𝑅
𝑟𝑑 )𝑟 ∫0 𝑑𝜑 ∫0 (𝑅2 −
𝑎 𝑅2
𝜇4
𝑞𝑣 = −
أي أ ّن:
𝑅
𝑎 𝑅2
𝑟4
𝑟2
] (2𝜋) [ 2 −
𝑞𝑣 = −
𝜇4
𝑅4
2 0
-58-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
و بالتّايل:
𝜋 𝑎 𝑅2 𝑅2 𝑅2
𝑞𝑣 = −
) ( −
𝜇2
4
2
و أخريا تكون عبارة التدفق احلجمي هلذا اجلريان كاآليت:
𝜋 𝑎 𝑅4
= 𝑣𝑞
𝜇8
إيجادِعبارةِالسِرعةِالمتوسِطةِ𝒚𝒐𝒎𝒖ِ :
املتوسطة تعطى كاآليت:
السرعة ّ
لدينا العلقة اليت تربط بني التدفّق احلجمي و ّ
𝑆 ∙ 𝑦𝑜𝑚𝑢 = 𝑣𝑞
و منه:
𝑣𝑞
𝑆
= 𝑦𝑜𝑚𝑢
حيث 𝑆 = 𝜋𝑅2و هي متثل مساحة مقطع األنبوب.
بالتّعويض يف عبارة 𝑦𝑜𝑚𝑢 جند:
𝜋 𝑎 𝑅4
) 𝜇( 8
=
𝜋𝑅2
𝑦𝑜𝑚𝑢
املتوسطة هلذا اجلريان داخل األنبوب كاآليت:
السرعة ّ
و أخريا تكون عبارة ّ
𝑎 𝑅2
=
𝜇8
𝑦𝑜𝑚𝑢
السرعة العظمى تكون:
و بداللة ّ
1
𝑥𝑎𝑚𝑢 = 𝑦𝑜𝑚𝑢
2
-59-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
يانِالرقائقيِبينِصفيحتينِمستويتينِوِمتوازيتين:
ج .حالةِالجر ِ
ِِِِِِِِِِِِِجِ.1.جريانِبوازايِالمستويِ :
نعترب جريان رقائقي و دائم ملائع لزج غري قابل للنضغاط بني صفيحتني مستويتني متوازيتني و ثابتتني
االجتاه و املوازي للمحور
تفصلهما مسافة قدرها .2𝑦0سنهتم هنا فقط بدراسة اجلريان أحادي ّ
𝑥𝑂
الضغط وفق 𝑥𝑂 و
تدرج يف ّ
كما هو ّ
موضح يف الشكل ( .)8.4علما أ ّن هذا اجلريان هو ناتج عن ّ
يسمى جبريان بوازاي املستوي.
هو ما ّ
الصفيحة العلوية الثابتة
𝑥
)𝑦(𝑢
𝑥𝑎𝑚𝑢
𝑦
𝑦 = 𝑦0
𝑂
الصفيحة السفلية الثابتة
𝑦 = −𝑦0
الرقائقي املستوي
شكل ( :)8.4جريان بوازاي ّ
االجتاه لدينا:
إذن كما يف حالة اجلريان أحادي ّ
)∗( ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
𝑎
𝜇
∆𝑢 = −
الرقائقي بني صفيحتني مستويتني و متوازيتني ،نستعمل االحداثيات
يف دراستنا هنا اليت ختص اجلريان ّ
الكارتيزية ومنه يكون :
-60-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑢𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2
𝑎
+
+
=
−
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2
𝜇
االجتاه و موا ٍز للمحور 𝑥 أي أ ّن 𝑥𝑒 ∙ 𝑢 = ⃗𝑉 و
لدينا اجلريان أحادي ّ
بالتّايل .𝑣 = 𝑤 = 0
كذلك كما رأينا سابقا حسب معادلة االستمرارية بالنّسبة جلريان غري قابل للنضغاط يكون لدينا:
𝑤𝜕 𝑣𝜕 𝑢𝜕
+
+
=0
𝑧𝜕 𝑦𝜕 𝑥𝜕
و منه:
𝑢𝜕
=0
𝑥𝜕
و كذلك اجلريان متماثل وفق 𝑧 إذن :
𝑢𝜕
=0
𝑧𝜕
و منه يكون )𝑦(𝑢 = )𝑧 .𝑢(𝑥, 𝑦,
و بالتّايل املعادلة (∗) تصبح على الشكل:
𝑢𝑑2
𝑎
=−
2
𝑦𝑑
𝜇
باملكاملة جند:
𝑢𝑑
𝑎
𝐵=− 𝑦+
𝑦𝑑
𝜇
مرة أخرى جند:
باملكاملة ّ
𝑎 2
𝐶𝑦 +𝐵𝑦+
𝜇2
-61-
𝑢(𝑦) = −
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
الشروط احل ّدية اآلتية:
حيث 𝐵 و 𝐶 ثابتني ميكن حتديدهم باستعمال ّ
𝑢(𝑦 = 𝑦0 ) = 0
{
𝑢(𝑦 = −𝑦0 ) = 0
نتحصل على املعادلتني اآلتيتني:
و منه
ّ
𝑎
−
𝑦 2 + 𝐵 𝑦0 + 𝐶 = 0
2𝜇 0
𝑎 {
−
𝑦0 2 − 𝐵 𝑦0 + 𝐶 = 0
𝜇2
إ ّن حل ملة املعادلتني هذه يعطي:
𝐵=0
𝑎 2
=𝐶
𝑦
2𝜇 0
السرعة جند:
و منه بالتّعويض يف عبارة توزيع ّ
𝑎 𝑦0 2
𝑦2
= )𝑦(𝑢
) (1 − 2
𝜇2
𝑦0
و هي متثل معادلة قطع مكاف .
إيجادِعبارةِالسِرعةِالعظمىِللجريانِ𝒙𝒂𝒎𝒖 :
السرعة أعظمية حت ّقق:
إ ّن ّ
الرتتيبة 𝑥𝑎𝑚𝑦 اليت تكون عندها ّ
=0
𝑢𝜕
)
𝑦=𝑦 𝑦𝜕
𝑥𝑎𝑚
و منه يكون:
𝑦𝑚𝑎𝑥 = 0
-62-
(
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
الصفيحتني كما هو موضح يف
السرعة تكون أعظمية عند منتصف املسافة الفاصلة بني ّ
أي أ ّن ّ
الشكل (.)8.4
السرعة األعظمية 𝑥𝑎𝑚𝑢:
بالتّعويض يف عبارة )𝑦(𝑢 جند عبارة ّ
𝑎 𝑦0 2
=
𝜇2
𝑥𝑎𝑚𝑢
السرعة العظمى للجريان كاآليت:
السرعة بداللة ّ
إذن ميكن أن نكتب كذلك عبارة توزيع ّ
𝑦2
) 𝑢(𝑟) = 𝑢𝑚𝑎𝑥 (1 − 2
𝑦0
إيجادِعبارةِإجهادِالقصِ𝝉:
لدينا من أجل مائع نيوتوين:
𝑢𝑑
𝑦𝑑
𝜇=𝜏
و منه:
𝑑 𝑎 𝑦0 2
𝑦2
𝜇=𝜏
[
]) (1 − 2
𝜇 𝑑𝑦 2
𝑦0
و منه تكون عبارة إجهاد القص هلذا اجلريان على الشكل:
𝑦 𝑎𝜏 = −
يتغري خطيا مع 𝑦.
أي أ ّن إجهاد القص ّ
إيجادِعبارةِالتدفقِالحجميِ𝒗𝒒:
من خلل التّعريف ،إ ّن التدفّق احلجمي للمائع هو:
-63-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑆𝑑 ⃗
𝑉 ∬ = 𝑣𝑞
𝑆
لكن لدينا 𝑥𝑒 𝑢 = ⃗𝑉 و 𝑥𝑒 𝑆𝑑 = 𝑆𝑑 ،إذن بالتّعويض يكون:
) 𝑥𝑒 𝑆𝑑( ) 𝑥𝑒 𝑢( ∬ = 𝑣𝑞
𝑆
و منه:
𝑆𝑑 𝑢 ∬ = 𝑣𝑞
𝑆
حيث عنصر السطح 𝑆𝑑 يعطى كاآليت:
𝑧𝑑 𝑦𝑑 = 𝑆𝑑
بالتّعويض يف عبارة 𝑣𝑞 جند:
𝑦0
1
𝑎 𝑦0 2
𝑦2
[ ∫ ∫ = 𝑣𝑞
𝑧𝑑 𝑦𝑑 ]) (1 − 2
𝜇2
𝑦0
0 −𝑦0
و منه:
𝑦0
𝑦2
𝑦𝑑 ) ∫ (1 − 2
𝑦0
−𝑦0
1
2
𝑎 𝑦0
= 𝑣𝑞
𝑧𝑑 ∫
𝜇2
0
أي أ ّن:
𝑦
𝑎 𝑦0 2
𝑦3 0
= 𝑣𝑞
∙ (1) [𝑦 −
]
𝜇2
𝑦3𝑦0 2 −
0
و بالتّايل:
𝑎 𝑦0 2
2
= 𝑣𝑞
) (2𝑦0 − 𝑦0
𝜇2
3
الصفيحة كاآليت:
و أخريا تكون عبارة التدفّق احلجمي هلذا اجلريان يف وحدة عرض ّ
-64-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
2 𝑎 𝑦0 3
= 𝑣𝑞
𝜇 3
إيجادِعبارةِالسِرعةِالمتوسِطةِ𝒚𝒐𝒎𝒖ِ :
املتوسطة تعطى كاآليت:
السرعة ّ
لدينا العلقة اليت تربط بني التدفّق احلجمي و ّ
𝑆 ∙ 𝑦𝑜𝑚𝑢 = 𝑣𝑞
و منه:
𝑣𝑞
𝑆
= 𝑦𝑜𝑚𝑢
حيث:
𝑆 = 2𝑦0 ∙ 1 = 2𝑦0
بالتّعويض يف عبارة 𝑦𝑜𝑚𝑢 جند:
2𝑎 𝑦 3
) (3 𝜇0
2𝑦0
= 𝑦𝑜𝑚𝑢
املتوسطة هلذا اجلريان كاآليت:
السرعة ّ
و أخريا تكون عبارة ّ
𝑎 𝑦0 2
=
𝜇3
𝑦𝑜𝑚𝑢
السرعة العظمى تكون:
و بداللة ّ
2
𝑥𝑎𝑚𝑢 = 𝑦𝑜𝑚𝑢
3
جريانِك ِويتِ :
ِِِِِِِِِِِِجِ ِ.2.
الصفيحة
السفلى ثابتة بيمنا ّ
خيتلف جريان كويت عن جريان بوازاي املستوي يف كون ّ
الصفيحة األفقية ّ
تتحرك أفقيا بسرعة ثابتة 𝑉0كما هو موضح يف الشكل ( ،)9.4أي أ ّن جريان املائع هو ناتج من
العليا ّ
-65-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑡
𝑝𝑑 ،و هو
الضغط وفق احملور 𝑥𝑂 معدوم أي أنّه يكون = 0
تدرج ّ
حركة الصفيحة العلوية و يكون ّ
𝑥𝑑
يسمى جبريان كويت.
ما ّ
𝑦
𝑉0
𝑥
الصفيحة العلوية املتحّركة
ّ
𝑦 = 𝑦0
)𝑦(𝑢
𝑂
السفلية الثّابتة
ّ
الصفيحة ّ
الرقائقي املستوي
شكل ( :)9.4جريان كويت ّ
السرعة تكون كاآليت:
و منه كما يف حالة جريان بوازاي املستوي ،عبارة توزيع ّ
𝑎 2
𝐶𝑦 +𝐵𝑦+
𝜇2
𝑢(𝑦) = −
حيث:
𝑡𝑝𝑑
=0
𝑥𝑑
𝑎=−
و منه يكون:
𝐶 𝑢(𝑦) = 𝐵 𝑦 +
الشروط احل ّدية اآلتية:
حيث 𝐵 و 𝐶 ثابتني ميكن حتديدهم باستعمال ّ
𝑢(𝑦 = 𝑦0 ) = 𝑉0
{
𝑢(𝑦 = −𝑦0 ) = 0
نتحصل على املعادلتني اآلتيتني:
و منه
ّ
-66-
𝑦 = −𝑦0
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝐵 𝑦0 + 𝐶 = 𝑉0
{
−𝐵 𝑦0 + 𝐶 = 0
إ ّن حل ملة املعادلتني هذه يعطي:
𝑉0
2𝑦0
𝑉0
2
=𝐵
=𝐶
السرعة كاآليت:
و منه يف هذا النّوع من اجلريان تكون عبارة توزيع ّ
𝑦 𝑉0
)( + 1
2 𝑦0
= )𝑦(𝑢
و هي متثّل معادلة خط مستقيم.
إيجادِعبارةِالتدفِقِالحجميِ𝒗𝒒:
ميكن إجياد التدفّق احلجمي هلذا اجلريان كاآليت:
𝑆𝑑 ⃗
𝑉 ∬ = 𝑣𝑞
𝑆
لكن لدينا 𝑥𝑒 𝑢 = ⃗𝑉 و 𝑥𝑒 𝑆𝑑 = 𝑆𝑑 ،بالتّعويض يكون:
) 𝑥𝑒 𝑆𝑑( ) 𝑥𝑒 𝑢( ∬ = 𝑣𝑞
𝑆
و منه:
𝑆𝑑 𝑢 ∬ = 𝑣𝑞
𝑆
السطح 𝑆𝑑 يعطى كاآليت:
حيث عنصر ّ
𝑧𝑑 𝑦𝑑 = 𝑆𝑑
-67-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
بالتّعويض يف عبارة 𝑣𝑞 جند:
𝑦0
1
𝑦 𝑉0
𝑧𝑑 𝑦𝑑 ])𝑞𝑣 = ∫ ∫ [ ( + 1
2 𝑦0
0 −𝑦0
و منه:
𝑦
𝑦𝑑 )+ 1
𝑦0
𝑦0
(∫
−𝑦0
1
𝑉0
𝑧𝑑 ∫ = 𝑣𝑞
2
0
أي أ ّن:
𝑦
0
𝑉0
𝑦2
[ )𝑞𝑣 = ∙ (1
]𝑦 +
2
2 𝑦0
𝑦−
0
و بالتايل:
𝑉0
) (2𝑦0
2
= 𝑣𝑞
الصفيحة كاآليت:
و أخريا تكون عبارة التدفّق احلجمي هلذا اجلريان يف وحدة عرض ّ
𝑞𝑣 = 𝑉0 𝑦0
إيجادِعبارةِالسِرعةِالمتوسِطةِ𝒚𝒐𝒎𝒖ِ :
املتوسطة تعطى كاآليت:
السرعة ّ
لدينا العلقة اليت تربط بني التدفّق احلجمي و ّ
𝑆 ∙ 𝑦𝑜𝑚𝑢 = 𝑣𝑞
و منه:
𝑣𝑞
𝑆
= 𝑦𝑜𝑚𝑢
حيث:
-68-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑆 = 2𝑦0 ∙ 1 = 2𝑦0
بالتّعويض يف عبارة 𝑦𝑜𝑚𝑢 جند:
) (𝑉0 𝑦0
2𝑦0
= 𝑦𝑜𝑚𝑢
املتوسطة هلذا اجلريان كاآليت:
السرعة ّ
و أخريا تكون عبارة ّ
𝑉0
2
= 𝑦𝑜𝑚𝑢
السرعة العظمى هلذا اجلريان هي مساوية لسرعة الصفيحة العليا 𝑉0و بالتايل تكون عبارة
علما أ ّن ّ
السرعة العظمى كاآليت:
السرعة ّ
املتوسطة بداللة ّ
ّ
1
𝑥𝑎𝑚𝑢 = 𝑦𝑜𝑚𝑢
2
ِِ.3.4الجريانِالمضطرب ِ
أ .تفكيكِرينولدزِ :
إ ّن اجلريان املضطرب كما رأينا يتميّز بالقيم الكبرية لرقم رينولدز .و يف هذه احلالة ،هناك بديل و هو
وسطة على جمموعة
ّ
املتوسطة جلميع اجملاهيل حبيث نقوم بإدخال مؤثر القيمة املت ّ
الرتكيز فقط على القيم ّ
املعادالت بتطبيق "تفكيك رينولدز" على اجملاهيل يف املسألة و املعادالت اجلديدة املتحصل عليها نطلق
املتوسطة .يف اجلريان املضطرب ،تعتمد الطّريقة املقرتحة من طرف رينولدز على
عليها املعادالت بالقيمة ّ
متوسط
(السرعةّ ،
تفكيك كل جمهول أو ّ
الضغط ،الكتلة احلجمية )...إىل جزء ّ
متغري 𝑋 ّ
′
بالزمن (الحظ الشكل )10.4حبيث ميكن كتابة:
بالزمن و جزء متذبذب 𝑋 متعلق ّ
𝑋 = 𝑋 + 𝑋′
-69-
𝑋
ال يتعلق
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑋
)𝑡( 𝑋 ′
𝑋
𝑡
شكل ()10.4
مع العلم أنّه خلل م ّدة زمنية طويلة كفاية مثل 𝑇 تصبح الفرضية
𝑇
𝑋′ = 0
1
𝑡𝑑 𝑋 𝑋 = ∫0
𝑇
و منه باستعمال تفكيك رينولدز يكون:
𝑇
1
𝑡𝑑 ) 𝑋 = ∫0 (𝑋 + 𝑋 ′
𝑇
أي أ ّن:
𝑇
𝑇
1
)𝑡𝑑 𝑋 = (∫0 𝑋 𝑑𝑡 + ∫0 𝑋 ′
𝑇
أيضا ميكن أن نكتب:
𝑇
1
1 𝑇 ′
𝑡𝑑 𝑋 ∫ 𝑋 = 𝑋 ∫ 𝑑𝑡 +
𝑇 0
𝑇 0
أو نكتب:
1
𝑋 𝑇 + 𝑋′
𝑇
=𝑋
إذن:
𝑋 = 𝑋 + 𝑋′
-70-
مربرة ،بالفعل لدينا:
ّ
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
و منه نستنتج أ ّن :
𝑋′ = 0
املتوسطة باستعمال تفكيك رينولدز:
و هذه بعض خصائص مؤثر القيمة ّ
𝑌𝑋+𝑌 =𝑋+
𝑋=𝑋
𝑋𝜕
𝑌∙𝑋= 𝑌∙𝑋
𝑋𝜕
𝑥𝜕
=
𝑥𝜕
𝑥𝑑 𝑋 ∫ = 𝑥𝑑 𝑋 ∫
𝑋′ ∙ 𝑌 = 0
𝑌∙𝑋≠ 𝑌∙𝑋
𝑋 ∙ 𝑌 = 𝑋 ∙ 𝑌 + 𝑋′ ∙ 𝑌′
𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝛼:
𝑋′ ∙ 𝑌′ ≠ 𝑋′ ∙ 𝑌′
𝑋𝛼= 𝑋𝛼
بِ .معادلةِاالستمراريةِبالقيمةِالمتوسطة:
املتوسطة و ذلك من أجل جريان مضطرب غري قابل
نريد هنا إجياد معادلة االستمرارية بالقيمة ّ
للنضغاط .يف هذه احلالة لدينا:
⃗ =0
𝑉 𝑣𝑖𝑑
أي أ ّن:
𝑤𝜕 𝑣𝜕 𝑢𝜕
+
+
=0
𝑧𝜕 𝑦𝜕 𝑥𝜕
بتطبيق تفكيك رينولدز بالنسبة للمجاهيل يف املعادلة جند:
) 𝜕(𝑢 + 𝑢′ ) 𝜕(𝑣 + 𝑣 ′ ) 𝜕(𝑤 + 𝑤 ′
+
+
=0
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
املتوسطة على هذه املعادلة جند:
بإدخال مؤثر القيمة ّ
-71-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
) 𝜕(𝑢 + 𝑢′ ) 𝜕(𝑣 + 𝑣 ′ ) 𝜕(𝑤 + 𝑤 ′
+
+
=0
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
املتوسطة جند:
و منه حسب خصائص مؤثر القيمة ّ
) 𝜕(𝑢 + 𝑢′ ) 𝜕(𝑣 + 𝑣 ′ ) 𝜕(𝑤 + 𝑤 ′
+
+
=0
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
حيث كما رأينا سابق ،لدينا 𝑋 ′ = 0أي أ ّن ،𝑢′ = 𝑣 ′ = 𝑤 ′ = 0 :و منه يكون:
𝑤𝜕 𝑣𝜕 𝑢𝜕
+
+
=0
𝑧𝜕 𝑦𝜕 𝑥𝜕
املتوسطة من أجل جريان مضطرب غري قابل للنضغاط.
و هي متثل معادلة االستمرارية بالقيمة ّ
ِ
ج .معادلةِنافييرِوِستوكسِبالقيمةِالمتوسطة:
املتوسطة و ذلك من أجل جريان مضطرب غري قابل
نريد هنا إجياد معادلة نافيري و ستوكس بالقيمة ّ
للنضغاط .باستعمال االحداثيات الكارتيزية ،نقوم بإسقاط معادلة نافيري و ستوكس على احملور
فيكون:
𝑢𝜕
𝑢𝜕
𝑢𝜕
𝑢𝜕
𝑝𝜕
𝑢𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2
𝑢𝜌( +
𝑣+
+𝑤 )=−
)+ 𝜇 ( 2 + 2 + 2
𝑡𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
بتطبيق تفكيك رينولدز على اجملاهيل يف املعادلة جندِ :
) 𝜕(𝑢 + 𝑢′
) 𝜕(𝑢 + 𝑢′
) 𝜕(𝑢 + 𝑢′
) 𝜕(𝑢 + 𝑢′
′
[𝜌
) 𝑢 + (𝑢 +
𝑣+
𝑤+
]
𝑡𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
) 𝜕(𝑝 + 𝑝′
) 𝜕 2 (𝑢 + 𝑢′ ) 𝜕 2 (𝑢 + 𝑢′ ) 𝜕 2 (𝑢 + 𝑢′
=−
[ 𝜇+
+
+
]
𝑥𝜕
𝜕𝑥 2
𝜕𝑦 2
𝜕𝑧 2
و منه يكون:
-72-
𝑥
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝜕𝑢 𝜕𝑢′
𝑢𝜕
𝜕𝑢′
𝑢𝜕
𝜕𝑢′
𝑢𝜕
𝜕𝑢′
𝑢𝜕
′
′
𝜌( +
𝑢+
𝑢+
𝑢+
𝑢+
𝑣+
𝑣+
+ 𝑣′
𝑡𝜕
𝑡𝜕
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑦𝜕
𝑦𝜕
𝜕𝑢′
𝑢𝜕
𝜕𝑢′
𝑢𝜕
𝜕𝑢′
′
′
′
𝑣+
𝑤+
𝑤+
𝑤+
𝑤+
)
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑧𝜕
𝑧𝜕
𝑧𝜕
𝜕𝑝 𝜕𝑝′
𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢′ 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢′ 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢′
=−
−
+𝜇( 2 +
+
+
+
+
)
𝑥𝜕 𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝑧 2
املتوسطة على هذه املعادلة جند:
و بإدخال مؤثر القيمة ّ
𝜕𝑢 𝜕𝑢′
𝑢𝜕
𝜕𝑢′
𝑢𝜕
𝜕𝑢′
𝑢𝜕
𝜕𝑢′
𝑢𝜕
𝜌( +
𝑢+
𝑢+
+ 𝑢′
+ 𝑢′
𝑣+
𝑣+
+ 𝑣′
𝑡𝜕
𝑡𝜕
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑦𝜕
𝑦𝜕
𝜕𝑢′
𝑢𝜕
𝜕𝑢′
𝑢𝜕
𝜕𝑢′
′
′
𝑤+
𝑤+
𝑤+
𝑤+
)
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑧𝜕
𝑧𝜕
𝑧𝜕
𝑣′
+
𝜕𝑝 𝜕𝑝′
𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢′ 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢′ 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢′
=−
−
+𝜇( 2 +
+
+
+
+
)
𝑥𝜕 𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝜕𝑧 2
حيث كما رأينا سابق املقدار لدينا 𝑋 ′ = 0أي أ ّن 𝑢′ = 𝑣 ′ = 𝑤 ′ = 0 :و ،𝑝′ = 0و كذلك
𝑢𝜕 و منه يكون:
لدينا = 0
𝑡𝜕
𝑢𝜕
𝑢𝜕
𝑢𝜕
𝜕𝑢′
𝜕𝑢′
𝜕𝑢′
′
′
′
𝑢( 𝜌
𝑣+
𝑤+
𝑢+
𝑣+
𝑤+
)
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑝𝜕
𝑢𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2
=−
)𝐼( ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ) + 𝜇 ( 2 + 2 + 2
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝜕𝑢′
ومن جهة أخرى لدينا:
𝑦𝜕
و حسب معادلة االستمرارية يكون:
+ 𝑣′
𝜕𝑢′
𝑦𝜕
𝜕𝑣 ′
𝑦𝜕
= 𝑢′
) 𝜕(𝑢′ 𝑣 ′
𝜕𝑤 ′
) + 𝑣′
𝑧𝜕
𝑦𝜕
−
𝜕𝑢′
𝑥𝜕
= 𝑢′ (−
و منه جند:
) 𝜕𝑢′ 𝜕(𝑢′ 𝑣 ′
𝜕𝑢′
𝜕𝑤 ′
′
′
𝑣
=
𝑢+
𝑢+
𝑦𝜕
𝑦𝜕
𝑥𝜕
𝑧𝜕
′
و بالتّعويض يف العلقة ( )Iجند:
-73-
) 𝜕(𝑢′ 𝑣 ′
𝑦𝜕
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑢𝜕
𝑢𝜕
𝑢𝜕
) 𝜕𝑢′ 𝜕(𝑢′ 𝑣 ′ ) 𝜕(𝑢′ 𝑤 ′
′
𝑢( 𝜌
𝑣+
𝑤+
𝑢+2
+
+
)
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑝𝜕
𝑢𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2
=−
)+ 𝜇 ( 2 + 2 + 2
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
أي أ ّن:
𝑢𝜕
𝑢𝜕
𝑢𝜕
𝑣+
) 𝑤+
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑢( 𝜌
𝑝𝜕
𝑢𝜕2
𝜕𝑢′
𝑢𝜕2
) 𝜕(𝑢′ 𝑣 ′
′
=−
𝑢 𝜌+ (𝜇 2 − 2
𝜌 ) + (𝜇 2 −
)
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑦𝜕
𝑢𝜕2
) 𝜕(𝑢′ 𝑤 ′
𝜌 + (𝜇 2 −
)
𝑧𝜕
𝑧𝜕
و منه يكون:
𝑢𝜕
𝑢𝜕
𝑢𝜕
𝑣+
) 𝑤+
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝜕 𝑝𝜕
𝑢𝜕
𝜕
𝑢𝜕
=−
+
− 𝜌 𝑢′2 ) +
) − 𝜌 𝑢′ 𝑣 ′
𝜇(
𝜇(
𝑥𝜕 𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑦𝜕
𝜕
𝑢𝜕
𝜇( +
) − 𝜌 𝑢′ 𝑤 ′
𝑧𝜕
𝑧𝜕
𝑢( 𝜌
بنفس الطريقة نقوم بإسقاط معادلة نافيري و ستوكس على احملورين 𝑦 و 𝑧 فتحصل على ملة املعادالت
السلّمية اآلتية:
𝑢𝜕
𝑢𝜕
𝑢𝜕
𝜕 𝑝𝜕
𝑢𝜕
𝜕
𝑢𝜕
𝜕
𝑢𝜕
𝑣+
+𝑤 )=−
+
𝜇(
− 𝜌 𝑢′2 ) +
𝜇(
𝜇( − 𝜌 𝑢′ 𝑣 ′ ) +
) − 𝜌 𝑢′ 𝑤 ′
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑥𝜕 𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑧𝜕
𝑣𝜕
𝑣𝜕
𝑣𝜕
𝜕 𝑝𝜕
𝑣𝜕
𝜕
𝑣𝜕
𝜕
𝑣𝜕
𝑢( 𝜌
𝑣+
+𝑤 )=−
+
𝜇(
− 𝜌 𝑢′ 𝑣 ′ ) +
𝜇(
𝜇( − 𝜌 𝑣 ′2 ) +
)− 𝜌 𝑣′𝑤′
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑥𝜕 𝑦𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑧𝜕
𝑤𝜕
𝑤𝜕
𝑤𝜕
𝑝𝜕
𝜕
𝑤𝜕
𝜕
𝑤𝜕
𝜕
𝑤𝜕
𝑢( 𝜌
𝑣+
𝑤+
)=−
− 𝜌𝑔 +
𝜇(
− 𝜌 𝑢′ 𝑤 ′ ) +
𝜇(
𝜇( − 𝜌 𝑣 ′ 𝑤 ′ ) +
) − 𝜌 𝑤 ′2
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑧𝜕
𝑥𝜕
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝑦𝜕
𝑧𝜕
𝑧𝜕
{
𝑢( 𝜌
تسمى بإجهادات رينولدز املضطربة و
نلحظ من خلل هذه املعادالت ظهور ستّة جماهيل جديدة ّ
يسمى بتنسور اإلجهادات لرينولدز و هو كاآليت:
تش ّكل تنسور متناظر 𝑇 ّ
-74-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
−𝜌 𝑢′ 𝑤 ′
−𝜌 𝑢′ 𝑣 ′
−𝜌 𝑢′2
] −𝜌 𝑣 ′ 𝑤 ′
−𝜌 𝑣 ′2
𝑇 = [ −𝜌 𝑢′ 𝑣 ′
−𝜌 𝑤 ′2
−𝜌 𝑣 ′ 𝑤 ′
−𝜌 𝑢′ 𝑤 ′
ِِ
د .مسألةِالغلق:
إ ّن املعادالت اليت جيب تشكيلها إلجياد املقادير املميّزة للمائع يف كل نقطة ويف كل حلظة يعتمد على
املتوسطة (معادلة واحدة
عدد اجملاهيل .و كما رأينا سابقا ،فقد ّ
حتصلنا على أربعة معادالت بالقيمة ّ
من االستمرارية و ثل معادالت سلّمية من معادلة نافيري و ستوكس) بعشرة جماهيل و هي
(𝑢،𝑣 ،
𝑤 و 𝑝) باإلضافة لظهور ستّة جماهيل جديدة اليت تدعى بإجهادات رينولدز املضطربة و منه فإ ّن املسألة
غري مغلوقة .و بالتّايل فإ ّن مشكل االضطراب يكمن كلّية يف حتديد إجهادات رينولدز املضطربة .و منه
لغلق هذه املسألة جيب و ضع فرضيات معيّنة و إدخال مناذج من أجل هذه اإلجهادات.
-75-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
الفصلِالخامسِ–ِفواقدِالشحنةِ
ِ.1.5تعميمِمعادلةِبرنولي ِ
الشحنة حمفوظة
الضغط الكلّي أو ّ
إ ّن استعمال معادلة برنويل خاص فقط باملوائع املثالية حيث يكون ّ
(𝑒𝑡𝑠𝑐 = 𝑉𝜌 .)𝑝𝑡 = 𝑝 + 𝜌𝑔𝑧 + 12بالنّسبة للموائع احلقيقية األمر خيتلف (𝑒𝑡𝑠𝑐 ≠ 𝑡𝑝) و ذلك
املعممة و
بسبب االحتكاكات النّاجتة عن لزوجة املائع .إذن
سنتطرق يف هذا الفصل إىل معادلة برنويل ّ
ّ
اليت ميكن استعماهلا لتشمل أيضا املوائع احلقيقية.
االجتاه يف الفصل الرابع ،و جدنا انطلقا من
الرقائقي أحادي ّ
كما رأينا سابقا يف اجلزء املتعلّق باجلريان ّ
االجتاه وفق احملور
معادلة نافيري و ستوكس أنّه من أجل جريان رقائقي و دائم ملائع حقيقي أحادي ّ
𝑥𝑂
الشحنة 𝑡𝑝 بالنّسبة ل ـ 𝑥 ثابتا و ذو
التغري يف ّ
تكون ّ
متغرية خطّيا مع 𝑥 ،حيث يكون مقدار ّ
الشحنة ّ
قيمة سالبة أي أ ّن هناك فقد يف الشحنة.
الشحنـ ـ ـ ـ ـة
عامة ميكن تعميم معادل ـ ـ ـ ـة برن ـ ـويل لتشمل املوائع احلقيقية و ذلك باظهار فاق ـ ـ ـد ّ
و بصفة ّ
𝑡𝑝∆ كاآليت:
𝑡𝑝∆ 𝑝𝑡1 = 𝑝𝑡2 +
أو نكتب:
1
1
𝑡𝑝∆ 𝑝1 + 𝜌 𝑔 𝑧1 + 𝜌𝑉1 2 = 𝑝2 + 𝜌 𝑔 𝑧2 + 𝜌𝑉2 2 +
2
2
للشحنة كما
الشحنة الكلّي و هو يساوي جمموع الفواقد اخلطّية و الثّانوية ّ
حيث 𝑡𝑝∆ ميثل فاقد ّ
سنتعرف على ذلك فيما سيأيت.
ّ
-76-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
ِ.2.5فاقدِالشِحنةِالخطِي
بالنّسبة جلريان رقائقي و دائم ملائع لزج غري قابل للنضغاط داخل أنبوب أسطواين نصف قطره 𝑅 أي
املتوسطة تعطى كاآليت:
السرعة ّ
بالنّسبة جلريان بوازاي األسطواين (الفصل ّ
الرابع) ،وجدنا أ ّن عبارة ّ
𝑎 𝑅2
=
𝜇8
𝑦𝑜𝑚𝑢
𝑡
𝑝𝑑 ،𝑎 = −و منه جند:
حيث:
𝑥𝑑
𝜇 𝑑𝑝𝑡 8
𝑦𝑜𝑚𝑢 = 2
𝑥𝑑
𝑅
−
الضغط الكلي ∆𝑝𝑡 = 𝑝𝑡1 − 𝑝𝑡2أي أ ّن:
من أجل طول قدره ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1يكون اهلبوط يف ّ
𝜇8
𝑢
𝑥∆ ∙
𝑦𝑜𝑚 𝑅2
حيث:
𝑡𝑝∆
= 𝑡𝑝∆
معرب عنه بالباسكال (𝑎𝑃).
ميثّل فاقد الشحنة اخلطّي ّ
السرعة 𝑉 متثّل
و من أجل صياغة عبارة فاقد ّ
الشحنة على طول 𝐿 من أنبوب قطره 𝐷 و باعتبار أ ّن ّ
املتوسطة 𝑦𝑜𝑚𝑢 يكون:
السرعة ّ
ّ
𝐿∙𝑉
𝜇8
= 𝑡𝑝∆
𝐷 2
)(2
أي أ ّن:
𝜇32
𝐿∙𝑉
𝐷2
= 𝑡𝑝∆
و لدينا من عبارة رقم رينولدز:
𝐷𝑉𝜌
𝑒𝑅
و منه بتعويض عبارة
𝜇
=𝜇
الشحنة اخلطّي يكون:
يف عبارة فاقد ّ
-77-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
1
𝐿 64
∙ ∆𝑝𝑡 = 𝜌𝑉 2
2
𝐷 𝑒𝑅
حيث :املقدار
64
𝑒𝑅
بالرمز 𝜆.
و يرمز له ّ
الرقائقي
يسمى معامل فاقد ّ
و هو رقم ال بعدي ّ
الشحنة اخلطّي يف حالة اجلريان ّ
الرقائقي و
انطلقا من هذه النّتيجة ميكن تعميم عبارة فاقد ّ
الشحنة اخلطّي بالنّسبة للجريان ّ
الشحنة على طول 𝐿 من أنبوب قطره 𝐷 كاآليت:
املضطرب معا و ذلك من أجل كل فقد يف ّ
1
𝐿
𝜆 ∙ ∆𝑝𝑡 = 𝜌𝑉 2
2
𝐷
الشحنـ ـ ـ ـ ـة اخلطّـ ـ ـ ـ ـي 𝜆 ميكن حسابـ ـ ـ ـ ـ ـه كاآليت:
حيث معامل فاقد ّ
يانِالرقائقيِ(𝟎𝟎𝟎𝟐 < 𝒆𝑹):
الجر ِ
64
𝑒𝑅
الجريانِالمضطرب:
=𝜆
ميكن استعمال علقة بلزيوس و ذلك من أجـ ـ ـ ـ ـ ـل األنابيب امللساء و هي تعط ـ ـ ـ ـ ـ ـى كاآليت:
0.3164
𝑅𝑒 0.25
=𝜆
من أجل:
2100 < 𝑅𝑒 < 105
كما ميكن استعمال علقة كولربوك و ذلك من أجل األنابيب امللساء و الغري ملساء و هي
تقريبا مقبولة على كامل جمال االضطراب حيث تعطى كاآليت:
ِ
]
2.51
𝜆√∙𝑒𝑅
+
𝜀
𝐷
) (
3.7
[ = −2 𝑙𝑜𝑔10
1
𝜆√
من أجل:
𝑅𝑒 > 4000
موضح يف الشكل (.)1.5
املتوسط خلشونة جدار األنبوب كما هو ّ
حيث 𝜀 ميثل البعد ّ
-78-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
املتوسط خلشونة جدار األنبوب
شكل ( :)1.5البعد ّ
𝜀
يتم تعويض قطر األنبوب 𝐷 بالقطر اهليدروليكي
مالحظة :إذا كان مقطع األنبوب غري دائريّ ،
𝐷ℎالذي يعطى كاآليت:
𝑆4
𝑃
= 𝐷ℎ
حيث 𝑆 متثّل مساحة املقطع و 𝑃 ميثّل احمليط.
كما ميكن لتحديد قيمة 𝜆 استعمال املنحنيات البيانية مثل خمطّط مودي ) (Moodyالذي
موضح يف الشكل (.)2.5
هو ّ
شكل ( :)2.5خمطط مودي
-79-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
مثالِ :
3
ضخه عرب أنبوب أفقي قطره
نعترب سائل كتلته احلجمية 𝑚 𝜌 = 860 𝑘𝑔/يتم َ
𝑚𝑐𝐷 = 5
و طوله 𝑚 300بتدفّق حجمي قدره 𝑠 ،𝑞𝑣 = 1.2 𝑙/كما نعترب أ ّن اجلريان داخل األنبوب
الشحنة اخلطّي هلذا اجلريان هو 𝑎𝑃 .∆𝑝𝑡 = 2.06 ∙ 105املطلوب هو
رقائقي و أ ّن فاقد ّ
للسائل املستعمل.
حساب معامل اللّزوجة ال ّديناميكية ّ
الحلِ :
للسائل داخل األنبوب 𝑉 و ذلك باستعمال عبارة التدفّق احلجمي
السرعة ّ
املتوسطة ّ
حنسب ّأوال ّ
اليت تعطى كاآليت:
𝑆 ∙ 𝑉 = 𝑣𝑞
حيث 𝑆 متثل مساحة مقطع األنبوب و هي تعطى كاآليت:
و منه جند:
𝐷2
𝜋=𝑆
4
𝑣𝑞
𝐷2
) (𝜋 4
=𝑉
تطبيق عددي:
1.2 ∙ 10−3
=𝑉
(0.05)2
) (3.14 4
و منه:
𝑠𝑉 = 0.61 𝑚/
الشحنة اخلطّي:
لدينا كذلك من عبارة فاقد ّ
ومنه ميكننا حساب معامل فاقد
1
𝐿
𝜆 ∙ ∆𝑝𝑡 = 𝜌𝑉 2
2
𝐷
الشحنة اخلطّي 𝜆 و ذلك كاآليت:
ّ
-80-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑡𝑝∆
1
𝐿
)𝐷 ∙ (2 𝜌𝑉 2
تطبيق عددي:
=𝜆
2.06 ∙ 105
و منه:
1
300
∙ [ (860)(0.61)2
]
2
0.05
=𝜆
𝜆 ≈ 0.22
و مبا أ ّن اجلريان رقائقي إذن:
64
𝑒𝑅
=𝜆
و منه ميكننا حساب رقم رينولدز و ذلك كاآليت:
تطبيق عددي:
و
منه𝑅𝑒 ≈ 290.91 :
64
𝜆
= 𝑒𝑅
64
0.22
= 𝑒𝑅
و من جهة أخرى لدينا:
𝐷𝑉𝜌
𝜇
= 𝑒𝑅
حيث 𝜇 ميثل معامل اللزوجة الديناميكية و بالتايل ميكن حسابه كاآليت:
تطبيق عددي:
𝐷𝑉𝜌
𝑒𝑅
=𝜇
)(860) (0.61) (0.05
290.91
=𝜇
للسائل املستعمل هي:
و منه فإ ّن قيمة معامل اللّزوجة ال ّديناميكية ّ
-81-
𝑔𝑘
𝑠𝑚
𝜇 ≈ 0.09
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
ِ.3.5فاقدِالشِحنةِالثِانوي
التغريات الفجائية يف مقطع
إ ّن فاقد ّ
الشحنة الثّانوي أو الفردي هو ناتج عن حواد اجلريان مثل ّ
تغري ّاجتاه األنبوب ،...إ ّن هذه احلواد اليت تقع للجريان متثل مصدر لفاقد
األنبوب و كذلك مثل ّ
الشحنة الثّانوي الذي ميكن حسابه كاآليت:
ّ
الشحنة
يسمى معامل فاقد ّ
حيث 𝐾 ّ
باحملاكاة العددية.
1
𝐾 ∙ ∆𝑝𝑡 = 𝜌𝑉 2
2
الثّانوي .عمليا قيم 𝐾 ميكن
احلصول عليها جتريبيا أو حتليليا أو
مثالِ(ِ :)1
الشحنة الثّانوي 𝐾 النّاتج عن توسيع مفاج
نريد هنا انطلقا من معطيات التّجربة حساب معامل فاقد ّ
يف مقطع أنبوب أسطواين ينقل املاء ذو الكتلة احلجمية ρ = 1000𝑘𝑔/𝑚3و ذلك بتدفّق حجمي
قدره 𝑠 .𝑞𝑣 = 0.5 𝑚3 /حبيث قبل االتّساع كان نصف قطر األنبوب 𝑚𝑐 𝑅1 = 20و بعد االتّساع
أصبح نصف قطر األنبوب 𝑚𝑐 . 𝑅2 = 40كما متّ توضيحه يف الشكل ( ،)3.5مقطعي األنبوب
موصولـ ـ ـ ـ ـني بأنبوبني بيزومرتيني ،حيـ ـ ـث كان الف ـ ـ ـ ـ ـ ـرق يف مستـ ـ ـ ـوى امل ـ ـ ـ ـ ـاء بني األنب ـ ـ ـوبني البيـزومرتيني
هو
.∆ℎ = 0.4 𝑚 𝐶. 𝐸.
ِ
ِ
شكل ()3.5
-82-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
املعممة بني مقطعي األنبوب جند:
باستخدام معادلة برنويل ّ
1
1
𝑡𝑝∆ 𝑝1 + 𝜌 𝑔 𝑦1 + 𝜌𝑉1 2 = 𝑝2 + 𝜌 𝑔 𝑦2 + 𝜌𝑉2 2 +
2
2
حيث 𝑡𝑝∆ ميثل فاقد الشحنة الثانوي و هو يساوي
1
𝐾 ∙ ∆𝑝𝑡 = 𝜌𝑉1 2
2
الشحنة الثّانوي كاآليت:
إذن ميكن حساب عبارة معامل فاقد ّ
و باعتبار أ ّن ،𝑦1 = 𝑦2
1
) (𝑝1 − 𝑝2 ) + 𝜌(𝑉1 2 − 𝑉2 2
2
=𝐾
1
𝜌𝑉 2
2 1
الضغط ) (𝑝1 − 𝑝2من خلل الفرق يف مستوى املاء بني األنبوبني
حيث ميكن حساب الفرق يف ّ
الساكنة و الغري قابلة للنضغاط (الفصل
البيزومرتيني ∆ℎو ذلك باستعمال العبارة األساسية للموائع ّ
األول) كاآليت:
ّ
𝑝1 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌 𝑔 ℎ1
𝑝2 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜌 𝑔 ℎ2
و منه جند:
𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌 𝑔(ℎ1 − ℎ2 ) = −𝜌 𝑔 ∆ℎ
تطبيق عددي:
𝑎𝑃 𝑝1 − 𝑝2 = −(1000)(9.81)(0.4) = −3924
السرعة 𝑉1و 𝑉2انطلقا من عبارة التدفّق حيث:
و كذلك ميكن حساب ّ
𝑣𝑞
𝜋 𝑅12
=
𝑣𝑞
𝑆1
= 𝑉1
و
𝑣𝑞
𝑅22
𝜋
=
𝑣𝑞
𝑆2
= 𝑉2
تطبيق عددي:
𝑉1 = 3.140.5و
𝑠= 3.98 𝑚/
(0.2)2
-83-
𝑠= 1 𝑚/
0.5
3.14 (0.4)2
= 𝑉2
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
الشحنة الثّانوي يكون:
بالتّعويض يف عبارة فاقد ّ
1
] −3924 + (1000)[(3.98)2 − (1)2
2
=𝐾
1
(1000)(3.98)2
2
و منه جند:
𝐾 = 0.44
ِ
مثالِ(:)2
الشحنة الثّانوي 𝐾 النّاتج عن توسيع مفاج يف مقطع األنبوب
نريد هنا إجياد حتليليا عبارة معامل فاقد ّ
كمية احلركة .نعترب أ ّن هذا األنبوب
كما هو ّ
موضح يف الشكل ( )5.4و ذلك باستعمال نظرية احنفاظ ّ
ينقل مائع كتلته احلجمية ،ρحبيث قبل االتّساع كانت مساحة مقطع األنبوب 𝑆1و سرعة اجلريان
𝑉1
و بعد االتّساع أصبح نصف قطر األنبوب 𝑆2و سرعة اجلريان .𝑉2و ليكن 𝑚𝑞 التدفّق الكتلي للمائع
الضغط قبل اتّساع األنبوب و 𝑝2الضغط بعد اتّساع األنبوب .نعترب اجلريان
الذي بداخله و ليكن ّ 𝑝1
دائم كما هنمل قوى احلجم.
شكل ()4.5
كمية احلركة بالنّسبة حلجم املراقبة املشكل ألنبوب التيّار
مبا أ ّن اجلريان دائم ،إذن بتطبيق نظرية احنفاظ ّ
املوضح يف الشكل (اخلطوط املتقطّعة) يكون لدينا:
ّ
-84-
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
𝑉( ⃗
𝑡𝑥𝑒𝐹 ∑ = 𝑆𝑑)⃗𝑛 ⃗
𝑉𝜌 ∬
𝑆
و منه جند:
𝑉( ⃗ 1
𝑉 𝜌 ∬ ⃗ 1 𝑛⃗1 )𝑑𝑆 +
𝑉( ⃗ 2
𝑉 𝜌 ∬ ⃗ 2 𝑛⃗2 )𝑑𝑆 +
𝑉( 𝐿 ⃗
⃗𝑃 ⃗ 𝐿 𝑛⃗𝐿 )𝑑𝑆 = 𝑅⃗ +
𝑉 𝜌 𝑆∬
𝑆
𝑆
𝐿
1
2
⃗
⃗
السطح اجلانيب ألنبوب التيار.
السطح 𝑃 ،متثّل قوى احلجم و 𝐿𝑆 متثل مساحة ّ
حيث 𝑅 :متثّل قوى ّ
و منه يكون:
𝑉 𝑚𝑞 ⃗ 1 +
⃗𝑃 ⃗ 2 + 0 = 𝑅⃗ +
𝑉 𝑚𝑞−
مبا أ ّن قوى احلجم مهملة ،إذن بإسقاط هذه العلقة على احملور 𝑥 جند:
) −𝑞𝑚 𝑉1 + 𝑞𝑚 𝑉2 + 0 = 𝑝1 𝑆1 − 𝑝2 𝑆2 + 𝑝1 (𝑆2 − 𝑆1
و منه:
) 𝑞𝑚 (𝑉2 −𝑉1 ) = 𝑆2 (𝑝1 − 𝑝2
و لدينا ،𝑞𝑚 = 𝜌 𝑉1 𝑆1 = 𝜌 𝑉2 𝑆2إذن:
) 𝜌 𝑉2 𝑆2 (𝑉2 −𝑉1 ) = 𝑆2 (𝑝1 − 𝑝2
أي أ ّن:
) 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌 𝑉2 (𝑉2 −𝑉1
املعممة:
و من جهة أخرى ،لدينا حسب معادلة برنويل ّ
1
1
𝑡𝑝∆ 𝑝1 + 𝜌 𝑔 𝑦1 + 𝜌𝑉1 2 = 𝑝2 + 𝜌 𝑔 𝑦2 + 𝜌𝑉2 2 +
2
2
الشحنة الثّانوي و هو يساوي
حيث 𝑡𝑝∆ ميثل فاقد ّ
الشحنة الثّانوي كاآليت:
إذن ميكن حساب عبارة معامل فاقد ّ
-85-
1
𝐾 ∙ ∆𝑝𝑡 = 𝜌𝑉1 2
2
و باعتبار أ ّن ،𝑦1 = 𝑦2
دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِعِ.اللبيِ
1
) (𝑝1 − 𝑝2 ) + 𝜌(𝑉1 2 − 𝑉2 2
2
=𝐾
1
𝜌𝑉 2
2 1
الشحنة الثّانوي 𝐾 جند:
الضغط ) (𝑝1 − 𝑝2يف عبارة فاقد ّ
بتعويض عبارة الفرق يف ّ
1
) 𝜌 𝑉2 (𝑉2 −𝑉1 ) + 𝜌(𝑉1 2 − 𝑉2 2
2
=𝐾
1
𝜌𝑉1 2
2
بعد التّبسيط جند:
1
𝜌(𝑉1 − 𝑉2 )2
2
=𝐾
1
𝜌𝑉 2
2 1
و ميكن أن نكتب كذلك:
𝑉2 2
) 𝐾 = (1 −
𝑉1
و لدينا من جهة أخرى:
𝑉1 𝑆1 = 𝑉2 𝑆2
أي أ ّن:
𝑉2 𝑆1
=
𝑉1 𝑆2
بالتّعويض يف عبارة 𝐾 جند:
𝑆1 2
) 𝐾 = (1 −
𝑆2
-86-
ِِاللبي.دروسِفيِميكانيكِالموائع ِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِِع
امل ـ ـ ـ ـراجـ ـ ـ ـ ــع
1. R. Comolet et J. Bonnin, Mécanique expérimentale des fluides, Tome III, Masson,
Paris, 1992.
2. Jean-François Sini, Cours de Mécanique des Fluides, Engineering school, pp.213,
2006.
3. Philippe Marty, Mécanique des fluides, Université Joseph Fourier, Grenoble, 2012,
4. Michel A. Morel, Jean-Pierre Laborde, Exercices de mécanique des fluides, Tome 1,
Chihab – Eyrolles, 1994.
5. Olivier Louisnard, Cours de mécanique des fluides, 2012,
http://perso.mines-albi.fr/~louisnar/MECADEF/PolyMecaDef.pdf
6. Robert REY, Cinématique et dynamique des fluides, Tome 1, ParisTech, 2008.
7.
A. Colin De Verdiere, Notes de mécanique des fluides, 2013,
https://stockage.univ-brest.fr/~acolindv/telecharger/meca_fluide.pdf
8. M. Bourich, Cours de Mécanique des Fluides, Université CADI AYYAD, 2014,
9. Stéphane Chaussedent, Statique et dynamique des fluides, Université d'Angers, 2011.
10.Chantal Meuris, Mécanique des fluides, DAPNIA/SACM, CEA/Saclay,
https://perso.crans.org/mbertin/Cours_Mecanique_des_fluides.pdf
11.Hubert Lumbroso, Mécanique des fluides, Dunod, Paris, 1996.
سلسلة، نظريات و مسائل يف ميكانيكا املوائع و اهليدروليكا، جايلر. رينالد ﭪ.12
.1981 ، مصر/ القاهرة، الدار الدولية للنشر و التوزيع،ملخصات شوم
-87-