TD 4 - Probas Stats
Hakim ABDOUROIHAMANE
18 Octobre 2019
Exercice 1
Calculer les fonctions g´en´eratrices des lois usuelles : Bernouilli, binomiale,
g´eom´etrique, Poisson. En d´eduire leur moyenne et leur variance.
E(X) = G0
x(1)
E(X) =
+∞
P
x=0
x×P(X=x)
E[f(X)] =
+∞
P
i=0
i×P[f(X) = i]
Exemple
P(X= 1) = P(X= 3) = 1
2
P(X=i) = 0 si i /∈1,3
f(1) = 6 et f(3) = 14
f(x) = 6 →X= 1
donc P(f(X) = 6) = 1
2
de mˆeme : P[f(X) = 14] = f(X= 3) = 1
2
E[f(x)] = 1
2×6 + 1
2×14
•X suit la loi de Bernouilli de param`etre p ↔P(X = 1) = petP(X = 0) =
(1-p)
Gx(s) = E(sX) =
+∞
P
x=0
P(X=i)×si
Gx(s) = P(X= 0) ×s0+P(X= 1) ×s1
Gx(s) = (1 −p)×1 + p×s
Gx(s) = 1 + p(s−1)
G0
x(s) = p E(X) = G0x(1) = p
V(X) = E(X2)−E(X)2
V(X) = E[X(X−1)] + E(X)−E(X)2
V(X) = G00
X(1) + G0
X(1) + G0
X(1)2
V(X) = 0 + p−p2=p(1 −p)
1
•X(n, p)↔P(X
Gx(s) = E(sX) =
+∞
P
i=0
P(X=i)×si
GX(s) =
+∞
P
i=0
Compl´ement de formules
–Formule 1 : Si a∈R,a6= 1 et n∈N
n
P
i=0
a2=1−a(n+1
1−a
–Formule 2 : Soit a∈R,ea=
+∞
P
i=0
=ai
i!
–Corollaire 1 : Si a6= 0 et |a|<1
+∞
P
i=0
ai=limn→+∞
n
P
i=0
ai=1
1−a
–Corollaire 2 :
n
P
i=k
ai=ak−an+1
1−a
–Loi g´eom´etrique
Si X tilde G(p) alors X prend ses valeurs dans N*
P(X=i) = (1 −p)i−1×p
GX(s) = E(sX) =
+∞
P
i=0
P(X=i)×si
GX(s)=0×s0+
+∞
P
i=1
P(X=i)×si
GX(s) =
+∞
P
i=1
(1 −p)i−1×p×si=p×
+∞
P
i=1
(1 −p)i−1×si
GX(s) = p×s
+∞
P
i=1
[(1 −p)i−1×si−1]
En posant j=i−1, on voit que j est un indice de sommation allant
de 0 `a +∞donc :
GX(s) = ps ×
+∞
P
j=0
[(1 −p)×s]j
GX(s) = ps ×1
1−(1−p)s
GX(s) = ps
1−(1−p)s
–Loi de Poisson : X tilde Poisson(theta)
P(X=i) = e−Θ×Θi
i!
GX(s) = E(SX) =
+∞
P
i=0
P(X=i)si
GX(s) =
+∞
P
i=0
e−Θ×Θi
i!×si
2
GX(s) = e−Θ×
+∞
P
i=0
(Θ×s)i
i!
GX(s) = e−Θ×eΘ×s
GX(s) = eΘ×s−Θ
GX(s) = eΘ×(s−1)
G0
X(1) = Θ
G00
X(1) = Θ2×eΘ×(s−1)
V(X)=Θ
Exercice 2
1. 9!
2. P(X= 0) = 5×8!
9! =70
126
3. P(X= 1) = 4×5!
9! =33
126
4. P(X= 2) = 4×3×5×6!
9! =13
126
5. P(X= 3) = 4×3×2×5×5!
9! =5
126
6. P(X= 4) = 4!×5!
9! =1
126
7.
4
P
x=0
P(X=x)×x=84
126 =2
3
3
1
/
3
100%