TD 2 - Probas Stats Hakim ABDOUROIHAMANE 4 Octobre 2019 Exercice 1 A, B et C étant des événements d’un espace probabilisable (Ω, P (Ω)), écrire les événements suivants : 1. A et B se produisent −→ A ∩ B 2. A, B et C se produisent −→ A ∩ B ∩ C 3. A se produit seul −→ A ∩ B ∩ C 4. A et B se produisent, mais pas C −→ A ∩ B ∩ C 5. Au moins, l’un des trois événements se produit −→ A ∪ B ∪ C 6. Au moins deux de ces trois événements se produisent −→ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) 7. Aucun de ces événements ne se produit −→ A ∩ B ∩ C Exercice 2 1. Soit A un événement d’un espace probabilisé (Ω, P (Ω), P), A est-il indépendant de lui-même ? A est indépendant de A si et seulement si P (A ∩ A) = P (A) × P (A) Nous remarquons que A est une solution quand P (A) = 0 ou P (A) = 1 (événement presque improbable ou presque certain). Réciproquement, soit A tel que P (A) = P (A)2 On a : P (A)2 − P (A) = 0 (P (A) − 1) × P (A) = 0 P (A) = 1 ou P (A) = 0 2. Soient A et A deux événements contraires d’un espace probabilisé (Ω, P (Ω), P), A et A sont-ils indépendants ? A est indépendant de A si et seulement si P (A ∩ A) = P (A) × P (A) L’événement A ∩ A est impossible donc P (A ∩ A = 0 Donc P (A) × P (A) = 0 1 P (A) × (1 − P (A)) = 0 P (A) = 0 ou P (A) = 1 Exercice 3 On lance deux pièces de monnaie et on considère les événements : • A : ”la première pièce donne face” • B : ”la deuxième pièce donne pile” • C : ”les deux pièces donnent le même résultat” Ω = P P, F P, P F, F F 1. Les événements A, B et C sont-ils indépendants deux à deux ? A et B sont indépendants si et seulement si P (A ∩ B) = P (A) × P (B) P (A) = P (B) = 24 P (A ∩ B) = P (”F P ”) = 14 P (A ∩ B) = P (A) × P (B) donc A et B sont indépendants A et C sont indépendants si et seulement si P (A ∩ C) = P (A) × P (C) P (A) = P (C) = 24 P (A ∩ C) = P (”F F ”) = 41 Idem, A et C sont indépendants. B et C sont indépendants si et seulement si P (B ∩ C) = P (B) × P (C) P (B) = P (C) = 42 P (B ∩ C) = P (”P P ”) = 14 Idem, B et C sont indépendants. 2. L’événement C est-il indépendant de A ∩ B ? C et A ∩ B sont indépendants si et seulement si P (C ∩ A ∩ B) = P (C) × P (A ∩ B) L’événement A ∩ B ∩ C est impossible. Donc : P (C) × P (A ∩ B) doit être égal à zéro. P (C) = 24 P (A ∩ B) = 41 1 2 4 × 4 6= 0 donc C et A ∩ B ne sont pas indépendants. 3. Les événements A, B, C sont-ils globalement indépendants ? A, B et C sont indépendants si et seulement si : P (A ∩ B) = P (A) × P (B) P (A ∩ C) = P (A) × P (C) P (B ∩ C) = P (B) × P (C) 2 P (A ∩ B ∩ C) = P (A) × P (B) × P (C) La dernière équation est fausse. Exercice 4 Un atelier comporte trois machines indépendantes entre elles : A, B et C. Les probabilités de défaillance sont respectivement P (A) = 0.1, P (B) = 0.2 et P (C) = 0.3 Quelle est la probabilité d’avoir exactement une machine en panne ? Avoir exactement une machine en panne correspond à l’événement D = (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) Les machines étant indépendantes, on a P (D) = P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) P (A∩B∩C) = P (A)×P (B)×P (C) = 0.1×(1−0.2)×(1−0.3) = 0.1×0.8×0.7 = 0.056 P (A∩B∩C) = P (A)×P (B)×P (C) = (1−0.1)×0.2×(1−0.3) = 0.9×0.2×0.7 = 0.189 P (A∩B∩C) = P (A)×P (B)×P (C) = (1−0.1)×(1−0.2)×0.3 = 0.9×0.8×0.3 = 0.216 Au final, P (D) = 0.056 + 0.189 + 0.216 = 0.398 Exercice 5 Une urne contient quatre boules rouges, trois boules noires, une boule blanche. On tire en une seule fois trois boules. On veut calculer la probabilité d’avoir : • A : ”tirer au moins deux boules rouges” • B : ”tirer au moins deux boules de la même couleur” • C : ”tirer une boule de chaque couleur” On admet l’équiprobabilité des tirages. Proposer un espace probabilisé fini permettant la description de cette situation. Calculer les probabilités d’avoir A, B et C. Ω = ”l’urne et ses 8 boules” −→ card(Ω) = 83 = 56 P (A) = 3