TD 2 - Probas Stats
Hakim ABDOUROIHAMANE
4 Octobre 2019
Exercice 1
A, B et C ´etant des ´ev´enements d’un espace probabilisable (Ω, P (Ω)), ´ecrire les
´ev´enements suivants :
1. A et B se produisent −→ A∩B
2. A, B et C se produisent −→ A∩B∩C
3. A se produit seul −→ A∩B∩C
4. A et B se produisent, mais pas C −→ A∩B∩C
5. Au moins, l’un des trois ´ev´enements se produit −→ A∪B∪C
6. Au moins deux de ces trois ´ev´enements se produisent −→ (A∩B∩C)∪
(A∩B∩C)∪(A∩B∩C)∪(A∩B∩C)
7. Aucun de ces ´ev´enements ne se produit −→ A∩B∩C
Exercice 2
1. Soit A un ´ev´enement d’un espace probabilis´e (Ω, P (Ω),P), A est-il ind´ependant
de lui-mˆeme ?
A est ind´ependant de A si et seulement si P(A∩A) = P(A)×P(A)
Nous remarquons que A est une solution quand P(A) = 0 ou P(A) = 1
(´ev´enement presque improbable ou presque certain).
R´eciproquement, soit A tel que P(A) = P(A)2
On a : P(A)2−P(A)=0
(P(A)−1) ×P(A) = 0
P(A) = 1 ou P(A)=0
2. Soient A et Adeux ´ev´enements contraires d’un espace probabilis´e (Ω, P (Ω),P),
A et Asont-ils ind´ependants ?
A est ind´ependant de Asi et seulement si P(A∩A) = P(A)×P(A)
L’´ev´enement A∩Aest impossible donc P(A∩A= 0
Donc P(A)×P(A) = 0
1
P(A)×(1 −P(A)) = 0
P(A) = 0 ou P(A)=1
Exercice 3
On lance deux pi`eces de monnaie et on consid`ere les ´ev´enements :
•A : ”la premi`ere pi`ece donne face”
•B : ”la deuxi`eme pi`ece donne pile”
•C : ”les deux pi`eces donnent le mˆeme r´esultat”
Ω = P P, F P, P F, F F
1. Les ´ev´enements A, B et C sont-ils ind´ependants deux `a deux ?
A et B sont ind´ependants si et seulement si P(A∩B) = P(A)×P(B)
P(A) = P(B) = 2
4
P(A∩B) = P(”F P ”) = 1
4
P(A∩B) = P(A)×P(B) donc A et B sont ind´ependants
A et C sont ind´ependants si et seulement si P(A∩C) = P(A)×P(C)
P(A) = P(C) = 2
4
P(A∩C) = P(”F F ”) = 1
4
Idem, A et C sont ind´ependants.
B et C sont ind´ependants si et seulement si P(B∩C) = P(B)×P(C)
P(B) = P(C) = 2
4
P(B∩C) = P(”P P ”) = 1
4
Idem, B et C sont ind´ependants.
2. L’´ev´enement C est-il ind´ependant de A∩B?
C et A∩Bsont ind´ependants si et seulement si P(C∩A∩B) = P(C)×
P(A∩B)
L’´ev´enement A∩B∩Cest impossible. Donc :
P(C)×P(A∩B) doit ˆetre ´egal `a z´ero.
P(C) = 2
4
P(A∩B) = 1
4
2
4×1
46= 0 donc C et A∩Bne sont pas ind´ependants.
3. Les ´ev´enements A, B, C sont-ils globalement ind´ependants ?
A, B et C sont ind´ependants si et seulement si :
P(A∩B) = P(A)×P(B)
P(A∩C) = P(A)×P(C)
P(B∩C) = P(B)×P(C)
2
P(A∩B∩C) = P(A)×P(B)×P(C)
La derni`ere ´equation est fausse.
Exercice 4
Un atelier comporte trois machines ind´ependantes entre elles : A, B et C. Les
probabilit´es de d´efaillance sont respectivement P(A) = 0.1, P(B) = 0.2 et
P(C) = 0.3
Quelle est la probabilit´e d’avoir exactement une machine en panne ?
Avoir exactement une machine en panne correspond `a l’´ev´enement D=
(A∩B∩C)∪(A∩B∩C)∪(A∩B∩C)
Les machines ´etant ind´ependantes, on a P(D) = P(A∩B∩C) + P(A∩B∩
C) + P(A∩B∩C)
P(A∩B∩C) = P(A)×P(B)×P(C)=0.1×(1−0.2)×(1−0.3) = 0.1×0.8×0.7 =
0.056
P(A∩B∩C) = P(A)×P(B)×P(C) = (1−0.1)×0.2×(1−0.3) = 0.9×0.2×0.7 =
0.189
P(A∩B∩C) = P(A)×P(B)×P(C) = (1−0.1)×(1−0.2)×0.3=0.9×0.8×0.3 =
0.216
Au final, P(D)=0.056 + 0.189 + 0.216 = 0.398
Exercice 5
Une urne contient quatre boules rouges, trois boules noires, une boule blanche.
On tire en une seule fois trois boules. On veut calculer la probabilit´e d’avoir :
•A : ”tirer au moins deux boules rouges”
•B : ”tirer au moins deux boules de la mˆeme couleur”
•C : ”tirer une boule de chaque couleur”
On admet l’´equiprobabilit´e des tirages. Proposer un espace probabilis´e fini
permettant la description de cette situation. Calculer les probabilit´es d’avoir A,
B et C.
Ω = ”l’urne et ses 8 boules” −→ card(Ω) = 8
3= 56
P(A) =
3
1
/
3
100%