TD 03

Université – Sétif -1Faculté de Technologie
Département d’Electrotechnique
Année universitaire : 2018/2019
Matière : LET44 / LAT44
-1-‫ سطيــف‬- ‫جامعــة‬
‫كليـــة التكنـولـوجـيــا‬
‫قســــــم اإللكتــروتـقـنـيــة‬
TD N°03 :
Exercice 01 :
Calculer la transformée de Fourier des signaux suivants:
1 − s1 (t ) = A.sin(2π f0t )
⎛ t − t0 ⎞
2 − s2 (t ) = A.rect ⎜
⎟
⎝ T0 ⎠
⎛ t ⎞
3 − s3 (t ) = A.tri ⎜ ⎟
⎝ T0 ⎠
Remarque :
⎡
⎛ t ⎞⎤
sin(π fT0 )
avec sinc : sinus cardinal
TF ⎢ A.rect ⎜ ⎟ ⎥ = AT0
= AT0 sin c(π fT0 )
π fT0
⎝ T0 ⎠ ⎦
⎣
ax
l’intégral par partie donne : ∫ x.eax dx = e 2 ( ax − 1)
a
Exercice 02 :
- Exprimer le signal s(t) ci-dessous en fonction du signal rectangulaire.
- Déduire sa transformée de Fourier.
s(t)
2A
A
-T0/2
0
-T0/4
-T0/4
T0/2
t
- Calculer la transformée de fourrier du signal périodique v(t) ci-dessous :
v(t)
A
-T0/2
-T0/4
0
-T0/4
T0/2
Exercice 03 :
Calculer la transformée de Fourier inverse du signal suivant :
⎧1
S( f ) = ⎨
⎩0
pour -f0 ≤ f ≤ f0
ailleurs
t
Université – Sétif -1Faculté de Technologie
Département d’Electrotechnique
Année universitaire : 2018/2019
Matière : LET44 / LAT44
-1-‫ سطيــف‬- ‫جامعــة‬
‫كليـــة التكنـولـوجـيــا‬
‫قســــــم اإللكتــروتـقـنـيــة‬
Solution du TD N°03 :
Exercice 01 :
1 − s1 (t ) = A.sin(2π f0t ) =
A j 2π f t − j 2π f t
(e − e )
2j
0
+∞
TF [ s1 (t )] = S1 ( f ) = ∫ s1 (t )e
0
− j 2π ft
−∞
S1 ( f ) =
+∞
A ⎛ +∞ − j 2π ( f − f )t
⎞
dt = ⎜ ∫ e
dt − ∫ e− j 2π ( f + f )t dt ⎟
2 j ⎝ −∞
⎠
−∞
0
0
A
[δ ( f − f 0 ) − δ ( f + f )]
2j
t +T / 2
+∞
⎛ t − t0 ⎞
A
− j 2π ft
2 − s2 (t ) = A.rect ⎜
. e − j 2π ft
dt = ∫ Ae − j 2π ft dt =
⎟ ⇒ TF ( s2 (t )) = S 2 ( f ) = ∫ s2 (t )e
− j 2π f
−∞
t −T / 2
⎝ T0 ⎠
A
A
⎡⎣ e− j 2π f (t −T / 2) − e− j 2π f (t +T / 2) ⎤⎦ =
⎡ e jπ fT − e− jπ fT ⎤⎦ e− j 2π ft
S2 ( f ) =
j 2π f
j 2π f ⎣
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
t0 +T0 / 2
t0 −T0 / 2
0
A ⎡ e jπ fT − e− jπ fT ⎤ − j 2π ft
A
e
=
.sin(π fT0 ).e− j 2π ft = AT0 .sin c(π fT0 ).e− j 2π ft
⎢
⎥
f
πf ⎣
π
2j
⎦
Autre méthode : En utilisant la propriété suivante : TF ( s(t − a )) = TF ( s (t )).e− j 2π fa = S ( f ).e− j 2π fa
t
s(t ) = A.rect ( ) = AT0 .sin c(π fT0 ) ⇒ S2 ( f ) = AT0 .sin c(π fT0 ).e− j 2π ft
T0
0
S2 ( f ) =
0
0
0
0
0
⎧A
t+ A
⎛ t ⎞ ⎪⎪ T0
3 − s3 (t ) = A.tri ⎜ ⎟ = ⎨
⎝ T0 ⎠ ⎪ − A t + A
⎪⎩ T0
pour -T0 ≤ t ≤ 0
pour 0 ≤ t ≤ T0
T
+∞
0 ⎛
⎞
⎛ A
⎞
A
TF ( s3 (t )) = S 3 ( f ) = ∫ s3 (t )e − j 2π ft dt = ∫ ⎜ t + A ⎟ e − j 2π ft dt + ∫ ⎜ − t + A ⎟ e − j 2π ft dt
T0
−∞
− T ⎝ T0
0⎝
⎠
⎠
T
T
0
A
A
− j 2π ft
S3 ( f ) = ∫ Ae− j 2π ft dt +
dt − ∫ te− j 2π ft dt
∫ te
T0 − T
T0 0
−T
0
0
0
0
0
0
T
0
⎡e
⎤ A ⎡ e− j 2π ft
⎤
e− j 2π ft
S3 ( f ) = A ⎢
j
ft
j
ft
2
π
1
2
π
1
+
−
−
−
−
−
(
)
(
)
⎥
⎢
⎥
2
2
(− j 2π f )
⎢⎣ − j 2π f − T ⎥⎦ T0 ⎢⎣ (− j 2π f )
−T
0 ⎥
⎦
A
A − j 2π fT
A
⎡ −1 − e j 2π fT ( j 2π fT0 − 1) − e− j 2π fT ( − j 2π fT0 − 1) − 1⎤⎦
+
S3 ( f ) =
e j 2π fT −
e
2 ⎣
j 2π f
j 2π f
T0 ( j 2π f )
T0
− j 2π ft
0
0
0
0
0
0
0
⎡ A
⎤
⎡ A
⎤
A
A
2A
−
+
− j 2π fT0 − 1 ) ⎥ e − j 2π fT −
S3 ( f ) = ⎢
j 2π fT0 − 1 ) ⎥ e j 2π fT − ⎢
2 (
2 (
T0 ( j 2π f ) 2
⎣ j 2π f T0 ( j 2π f )
⎦
⎣ j 2π f T0 ( j 2π f )
⎦
⎡ A
⎤ j 2π fT ⎡ A
⎤ − j 2π fT
A
A
A
A
2A
−
+
−⎢
−
−
−
S3 ( f ) = ⎢
e
e
2⎥
2⎥
2
2
2
2
2
2
2π f ) 2
j
π
f
j
π
f
T
j
π
f
j
π
f
j
π
f
T
j
π
f
T
j
(
)
(
)
(
⎣
⎦
⎣
⎦
0
0
0
0
0
S3 ( f ) =
0
0
A
2A
2A
4A
⎡ e j 2π fT + e− j 2π fT ⎤⎦ −
⎡sin(π fT0 )2 ⎤⎦
=
1 − cos(2π fT0 )] =
2 ⎣
2
2[
T0 ( j 2π f )
T0 ( j 2π f ) T0 (2π f )
T0 (2π f )2 ⎣
0
0
⎡ sin(π fT0 ) 2 ⎤
= AT0 .sin c(π fT0 ) 2
S 3 ( f ) = AT0 ⎢
2 ⎥
(
π
fT
)
⎣
⎦
0
Université – Sétif -1Faculté de Technologie
Département d’Electrotechnique
Année universitaire : 2018/2019
Matière : LET44 / LAT44
-1-‫ سطيــف‬- ‫جامعــة‬
‫كليـــة التكنـولـوجـيــا‬
‫قســــــم اإللكتــروتـقـنـيــة‬
Autre méthode :
La dérivée de la fonction s3(t) est définie par :
⎧A
pour -T0 ≤ t ≤ 0
⎪T
t + T0 / 2
t − T0 / 2
A
A
'
⎪ 0
= .rect (
) − .rect (
)
( s3 (t ) ) = ⎨
A
T
T
T
T
0
0
0
0
⎪−
pour 0 ≤ t ≤ T0
⎪⎩ T0
TF ⎡⎣ s3 (t )' ⎤⎦ = A.sin c(π fT0 ).e jπ fT − A.sin c(π fT0 ).e− jπ fT = A.sin c(π fT0 ). ⎡⎣ e jπ fT − e− jπ fT ⎤⎦
TF ⎡⎣ s3 (t )' ⎤⎦ = A.sin c(π fT0 ).[ 2 j.sin(π fT0 )]
0
0
0
0
n
D’autre part, nous avons la propriété : TF ⎛ d s(t ) ⎞ = ( j 2π f ) n TF [ s(t )]
⎜ dt n ⎟
⎝
⎠
Pour n=1 :
sin(π fT0 )
1
A
⎛ ds (t ) ⎞
TF [ s3 (t )] =
TF ⎜ 3 ⎟ =
.sin c(π fT0 ).[ 2 j.sin(π fT0 )] = AT0 .sin c(π fT0 ).
π fT0
( j 2π f ) ⎝ dt ⎠ ( j 2π f )
TF [ s3 (t )] = S3 ( f ) = AT0 .sin c(π fT0 )2
Exercice 02 :
Le signal s(t) est la somme de deux signaux rectangulaires :
T
t
t
s(t ) = A.rect ( ) + A.rect (
) ⇒ S ( f ) = AT0 .sin c(π fT0 ) + A 0 .sin c(π fT0 / 2)
T0
T0 2
2
sin(π fT0 )
T sin(π fT0 / 2)
A
+ A 0.
=
[ sin(π fT0 ) + sin(π fT0 / 2)]
π fT0
πf
2 π fT0 / 2
La TF du signal v(t) est calculée à partir de celle de son signal tronqué vT(t) défini par :
⎧v (t ) pour -T0 / 2 ≤ t ≤ T0 / 2
t
vT (t ) = ⎨ T
= A.rect (
)
0
ailleurs
T
/
2
⎩
0
T0
TF [ vT (t )] = VT ( f ) = A .sin c(π fT0 / 2)
2
+∞
1
Alors : TF [ v(t )] = V ( f ) = 1 ∑ V (nf ).δ ( f − nf )
avec: f0 =
T
0
0
T0 n=−∞
T0
A +∞
TF [ v(t )] = V ( f ) = ∑ sin c(nπ / 2).δ ( f − nf0 )
2 n=−∞
Exercice 03 :
+f
+∞
⎧1 pour -f0 ≤ f ≤ f0
S( f ) = ⎨
⇒ s(t ) = ∫ S ( f ).e j 2π ft df = ∫ e j 2π ft df
ailleurs
−∞
−f
⎩0
S ( f ) = AT0 .
0
0
+ f0
s(t ) = ∫ e j 2π ft df =
− f0
1 j 2π ft
e
j 2π t
+ f0
− f0
=
1
1
⎡⎣e j 2π f t − e− j 2π f t ⎤⎦ =
[ 2 j.sin(2π f0t )] = 2 f0 .sin c(2π f0t )
j 2π t
j 2π t
0
0
C’est la dualité de la TF : TF ⎡ rect ⎛ t ⎞ ⎤ = 2T sin c(2π fT ) et
⎢
⎜
⎟⎥
0
0
⎝ 2T0 ⎠ ⎦
⎣
⎡
⎛ f ⎞⎤
TF −1 ⎢ rect ⎜
⎟ ⎥ = 2 f0 .sin c(2π f0t )
⎝ 2 f0 ⎠ ⎦
⎣