TD 03

Université – Sétif -1-
Faculté de Technologie
Département d’Electrotechnique
Année universitaire : 2018/2019
Matière : LET44 / LAT44
- -1-
TDN°03:
Exercice01:
Calculer la transformée de Fourier des signaux suivants:
() .sin( ) st A ft
π
−=
10
12
() . tt s t A rect T
⎛⎞
−
−=⎜⎟
⎝⎠
0
2
0
2
() . t st AtriT
⎛⎞
−=
⎜⎟
⎝⎠
3
0
3
Remarque :
sin( )
.sin()
fT
t
TF A rect AT AT c
f
T
TfT
ππ
π
⎡⎤
⎛⎞
==
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
0
000
00
avec sinc : sinus cardinal
l’intégral par partie donne :
()
.
ax
ax e
xe dx ax
a
=
−
∫21
Exercice02:
- Exprimer le signal s(t) ci-dessous en fonction du signal rectangulaire.
- Déduire sa transformée de Fourier.
- Calculer la transformée de fourrier du signal périodique v(t) ci-dessous :
Exercice03:
Calculer la transformée de Fourier inverse du signal suivant :
() -f
p
our f f
Sf ailleurs
≤≤
⎧
=⎨
⎩
00
1
0
-T0/4 0
A
v(t)
t
-T0/2 T0/2
-T0/4
-T0/2 T0/2
-T0/4 -T0/4
0
A
2A
s(t)
t

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Faculté de Technologie
Département d’Electrotechnique
Année universitaire : 2018/2019
Matière : LET44 / LAT44
- -1-
SolutionduTDN°03:
Exercice01:
()
() .sin( )
j
ft j ft
A
st A ft e e
j
ππ
π
−
−= = −
00
22
10
12
2
[]
() ()
() ( ) () jfft jfft
jft A
TF s t S f s t e dt e dt e dt
j
ππ
π
+∞ +∞ +∞
−− −+
−
−∞ −∞ −∞
⎛⎞
== = −
⎜⎟
⎝⎠
∫∫∫
00
22
2
11 1 2
[]
() ( ) ( )
A
S
fffff
j
δδ =−−+
10
2
//
/
/
() . ( ()) ( ) () .
tT tT
jft jft jft
tT
tT
tt A
st Arect TFst S f ste dt Ae dt e
Tjf
ππ π
π
+
+∞ +
−− −
−
−∞ −
⎛⎞
−
−= ⇒ == = =
⎜⎟ −
⎝⎠ ∫∫
00
00
00
00
22
22 2
0
2222 2
2
0
2
2
 (/) (/)
() jftT jftT jfT jfT jft
AA
Sf e e e e e
jf jf
ππ πππ
ππ
−− −+ − −
⎡⎤⎡⎤
=−=−
⎣⎦⎣⎦
00 00 0 0 0
2222 2
222
 () .sin( ). .sin( ).
jfT jfT
jft jft jft
Ae e A
Sf e fTe AT c fTe
fj f
ππ ππ π
ππ
ππ
−−− −
⎡⎤
−
===
⎢⎥
⎣⎦
00
00 0
22 2
2000
2
Autre méthode : En utilisant la propriété suivante : ( ( )) ( ( )). ( ).
j
fa j fa
TF s t a TF s t e S f e
π
π −−
−= =
22
 ().().sin()().sin().
jft
t
st Arect AT c fT S f AT c fT e
T
π
ππ
−
== ⇒= 0
2
00200
0
() .
pour -T
pour T
AtA t
T
t
st Atri A
TtA t
T
⎧+≤≤
⎪
⎛⎞
⎪
−= =
⎨
⎜⎟
⎝⎠
⎪−+ ≤≤
⎪
⎩
0
0
3
0
0
0
0
3
0
 (()) () ()
T
jft jft jft
T
AA
TFstSf stedt tAedt tAedt
TT
ππ π
+∞ −− −
−∞ −
⎛⎞ ⎛ ⎞
== = + +−+
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
∫∫ ∫
0
0
0
22 2
33 3
0
00
() ()
()
() () ()
TT
jft jft jft
TT
T T
jft jft jft
TT
AA
S f Ae dt te dt te dt
TT
eAe e
Sf A j ft j ft
jf T jf jf
πππ
ππ π
ππ
ππ π
−−−
−−
−− −
−−
=+ −
⎡⎤⎡ ⎤
=+−−−−−
⎢⎥⎢ ⎥
−− −
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
∫∫∫
0 0
00
0 0
0 0
0
222
3
0
00
0
22 2
322
00
21 21
22 2
()( )
() ()
jfT jfT jfT jfT
AA A
S f e e e j fT e j fT
jf jf Tjf
ππ π π
ππ
ππ π
− −
⎡
⎤
=− +−− −−−−−
⎣
⎦
00 0 0
22 2 2
300
2
0
121 211
22 2
() ()
() () () ()
jfT jfT
AA AA A
Sf jfTe jfTe
j
fTjf jfTjf Tjf
π π
ππ
ππ ππ π
−
⎡⎤⎡ ⎤
=− − −+ −− −
⎢⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦
0 0
2 2
30 0
222
000
2
21 21
22 22 2
 () () () ()
jfT jfT
AA A AA A A
Sf e e
j
fjfTjf jfjfTjf Tjf
ππ
ππ π ππ π π
−
⎡⎤⎡⎤
=−+ −−− −
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
0 0
22
3222
000
2
22 2 22 2 2
[]
() cos( ) sin( )
( ) ( ) () ()
jfT jfT
AAAA
S f e e fT fT
Tj f Tj f T f T f
ππ
ππ
ππππ
−
⎡⎤ ⎡⎤
=+−=−=
⎣⎦
⎣⎦
00
22 2
300
2222
0000
22 4
12
2222
 sin( )
() .sin( )
()
fT
S f AT AT c fT
fT
ππ
π
⎡⎤
==
⎢⎥
⎣⎦
2
2
0
30 0 0
2
0

Université – Sétif -1-
Faculté de Technologie
Département d’Electrotechnique
Année universitaire : 2018/2019
Matière : LET44 / LAT44
- -1-
Autreméthode:
La dérivée de la fonction s3(t) est définie par :
()
'//
() . ( ) . ( )
pour -T
T
TT
pour T
T
AttT tT
AA
s t rect rect
ATT
t
⎧≤≤
⎪+−
⎪
==−
⎨
⎪−≤≤
⎪
⎩
0
000
3
0000
0
0
0
22
0
'
( ) .sin ( ). .sin ( ). .sin ( ).
jfT jfT jfT jfT
TFst AcfTe AcfTe AcfTe e
ππ ππ
ππ π
−−
⎡⎤
⎡⎤
=− = −
⎣⎦ ⎣⎦
00 00
30 0 0
[
]
'
() .sin ( ). .sin( )TF s t A c fT j fT ππ
⎡⎤
=
⎣⎦
300
2
D’autre part, nous avons la propriété :
()
[]
() ()
nn
n
dst
TF j f TF s t
dt
π
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
2
Pour n=1 :
[]
() ()
[]
() sin( )
( ) .sin ( ). .sin( ) .sin ( ).
ds t fT
A
TF s t TF c fT j fT AT c fT
jf dt jf fT
π
ππ π
ππ π
⎛⎞
== =
⎜⎟
⎝⎠
3 0
30000
0
12
22
[]
() ( ) .sin ( )TF s t S f AT c fT π == 2
33 0 0
Exercice02:
Le signal s(t) est la somme de deux signaux rectangulaires :
[]
( ) . ( ) . ( ) ( ) .sin ( ) .sin ( / )
sin( ) sin( / )
() . . sin( ) sin( /)
/
T
tt
st Arect Arect Sf AT cfT A cfT
TT
fT T fT A
Sf AT A fT fT
fT fT f
ππ
ππ ππ
πππ
=+ ⇒= +
=+ =+
0
00 0
00
00 0
000
00
2
22
22
22
La TF du signal v(t) est calculée à partir de celle de son signal tronqué vT(t) défini par :
() / /
() . ( )
/
-T T
T
T
T
v t pour t t
vt Arect
ailleurs
≤
≤
⎧
==
⎨
⎩
00
0
22
02
[]
() ( ) .sin ( / )
TT
T
TF v t V f A c fT
π ==
0
02
2
Alors :
[]
() ( ) ( ). ( ) avec:
T
n
TF v t V f V nf f nf f
TT
δ
+∞
=−∞
== − =
∑00 0
00
11
[]
() ( ) sin ( / ). ( )
n
A
TF v t V f c n f nf
πδ
+∞
=−∞
== −
∑0
2
2
Exercice03:
() () ().
-f f
jft jft
f
pour f f
Sf st Sf e df e df
ailleurs
ππ
+
+∞
−∞ −
≤≤
⎧
=⇒==
⎨
⎩∫∫
0
0
00 22
1
0
[]
( ) .sin( ) .sin ( )
ffjft jft
jft jft
f
f
st e df e e e j ft f c ft
jt jt jt
ππ
ππ
ππ
ππ π
++−
−
−
⎡⎤
== = −= =
⎣⎦
∫
0
0
00
0
0
22
22
00 0
11 1
22 2 2
22 2
C’est la dualité de la TF : sin ( )
t
TF rect T c
f
T
T
π
⎡⎤
⎛⎞
=
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
00
0
22
2
et .sin ( )
f
TF rect
f
c
f
t
f
π
−⎡⎤
⎛⎞
=
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
1
00
0
22
2