UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO–PRZYRODNICZY
W BYDGOSZCZY
Wydział Inżynierii Mechanicznej
Zakład Mechaniki Stosowanej
Modelowanie i obliczeniowa
weryfikacja konstrukcji
Zadanie nr 7
Mateusz Sobieszczyk
Semestr: III
Studium: mgr dzienne
Grupa: A
Rok akademicki: 2014/2015
1. Treść zadania
Wyznaczyć kąt φ1, prędkość ω1 i przyspieszenie kątowe ε1 ramienia AD w funkcji skoku
siłownika BC. Dane: v=0.1 m/s, C0=1.2 m (początkowa długość siłownika), h=1 m (droga
wysuwu tłoczyska siłownika), AB=3 m, AC=3 m. Symulację przeprowadzić w dwóch
programach: Scilab oraz ADAMS.
Rys. 1. Badany mechanizm
2. Rozwiązanie w środowisku SciLab
2.1. Model fizyczny
Poniżej (rys. 2) przedstawiono model fizyczny, który posłużył do utworzenia modelu
matematycznego i numerycznego. Wykorzystuje on metodę zamkniętego wieloboku
wektorów.
Rys. 2. Model fizyczny badanego układu
2.2. Model matematyczny
Według metody zamkniętego wieloboku wektorów suma rzutów wektorów na osie X i Y
powinna równać się zero:
∑ 𝑙𝑥𝑖 = 𝑟 cos 𝜑1 + 𝑙 cos 𝜑2 − 𝑠 = 0
{
∑ 𝑙𝑦𝑖 = 𝑟 sin 𝜑1 + 𝑙 sin 𝜑2 = 0
Z powyższego równania można obliczyć kąt φ1, który jest przemieszczeniem kątowym w
punkcie A (P1=P4). Różniczkując równania powyższego układu równań po czasie otrzyma
się równania jak poniżej:
𝑑
(∑ 𝑙𝑥𝑖 ) = −𝑟𝜑̇ 1 sin 𝜑1 + 𝑙 ̇ cos 𝜑2 − 𝑙𝜑̇ 2 sin 𝜑2 = 0
𝑑𝑡
{
𝑑
(∑ 𝑙𝑦𝑖 ) = 𝑟𝜑̇ 1 cos 𝜑1 + 𝑙 ̇ sin 𝜑2 − 𝑙𝜑̇ 2 cos 𝜑2 = 0
𝑑𝑡
Aby obliczyć układ równań za l’ należy podstawić v. Z powyższego układu równań można
obliczyć φ1’, co będzie stanowić prędkość kątową ω1. Wykonanie różniczkowania
powyższego układu równani pozwoli otrzymać:
𝑑2
(∑ 𝑙𝑥𝑖 ) = −𝑟𝜑̈ 1 sin 𝜑1 − 𝑟𝜑̇ 12 cos 𝜑1 + 𝑙 ̈ cos 𝜑2 −
2
𝑑𝑡
̇ 2 sin 𝜑2 − 𝑙𝜑22 cos 𝜑2 − 𝑙 𝜑̇
̇ 2 sin 𝜑2 − 𝑙𝜑̈ 2 sin 𝜑2 = 0
−𝑙 𝜑
𝑑2
(∑ 𝑙𝑥𝑖 ) = 𝑟𝜑̈ 1 cos 𝜑1 − 𝑟𝜑̇ 12 sin 𝜑1 + 𝑙 ̈ sin 𝜑2 +
2
𝑑𝑡
̇ 2 cos 𝜑2 − 𝑙𝜑22 sin 𝜑2 + 𝑙 𝜑̇
̇ 2 cos 𝜑2 + 𝑙𝜑̈ 2 cos 𝜑2 = 0
{ +𝑙 𝜑
Powyższy układ równań pozwala obliczyć φ1’’, co stanowi przyspieszenie kątowe ε1. Aby
to zrealizować należy zauważyć, że przy stałej prędkości v=const. przyspieszenie l’’=0.
2.3. Model numeryczny
W oparciu o model fizyczny i matematyczny opracowano model numeryczny z
środowisku SciLab, którego listing przedstawiono poniżej:
function out=silownik(x,r,l,s)
fi1=x(1);
fi2=x(2);
out=[r*cos(fi1)+l*cos(fi2)-s;...
r*sin(fi1)+l*sin(fi2)];
endfunction
r=3;
s=3;
v=.1;
h=1;
l0=1.2;
t0=0;
tk=h/v;
t=0:.01:tk;
l=l0+v*t0;
x0=[.4;4.92];
x=fsolve(x0,silownik);
fi1=x(1);
fi2=x(2);
P1=[0 0];
P2=P1+[cos(fi1) sin(fi1)]*r;
P3=P2+[cos(fi2) sin(fi2)]*l;
P4=P3+[-s 0];
punkty=[P1;P2;P3;P4];
clf();
subplot(2,2,1);
abc=get('current_axes');
abc.data_bounds=[-.1,-.1;3.1,2.1];
title('Siłownik');
xgrid;
plot(punkty(:,1),punkty(:,2),'-or');
h=gca();
uchwyt=h.children(1).children(1);
dane=[];
for i=1:length(t)
l=l0+v*t(i);
x=fsolve(x0,silownik);
fi1=x(1);
fi2=x(2);
P1=[0 0];
P2=P1+[cos(fi1) sin(fi1)]*r;
P3=P2+[cos(fi2) sin(fi2)]*l;
P4=P3+[-s 0];
punkty=[P1;P2;P3;P4];
uchwyt.data=[punkty(:,1) punkty(:,2)];
sleep(1);
A1=[-r*sin(fi1),-l*sin(fi2);...
r*cos(fi1),l*cos(fi2)];
B1=[-v*cos(fi2);...
-v*sin(fi2)];
X1=A1\B1
dfi1=X1(1);
dfi2=X1(2);
A2=[-r*sin(fi1),-l*sin(fi2);...
r*cos(fi1),l*cos(fi2)];
B2=[r*dfi1^2*cos(fi1)+v*fi2*sin(fi2)+l*dfi2^2*cos(fi2)+v*dfi2*sin(fi2);...
r*dfi1^2*sin(fi1)-v*fi2*cos(fi2)+l*dfi2^2*sin(fi2)-v*dfi2*cos(fi2)];
X2=A2\B2
ddfi1=X2(1);
ddfi2=X2(2);
dane=[dane;t(i),fi1,dfi1,ddfi1];
end
subplot(2,2,2);
title('Przemieszczenie')
plot(dane(:,1),dane(:,2),'-r');
legend('fi1 [rad]');
xgrid;
subplot(2,2,3);
title('Prędkość')
plot(dane(:,1),dane(:,3),'-r');
legend('fi* [rad/s]');
xgrid;
subplot(2,2,4);
title('Przyspieszenie')
plot(dane(:,1),dane(:,4),'-r');
legend('fi** [rad/s2]');
xgrid;
2.4. Wyniki symulacji
Wyniki symulacji przedstawia rysunek poniżej:
Rys. 3. Stan początkowy układu
Rys. 4. Układ przy w pełni rozsuniętym siłowniku
Rys. 5. Wykres przemieszczeń kątowych φ1
Rys. 6. Wykres prędkości kątowych ω1
Rys. 7. Wykres przyspieszeń kątowych ε1
3. Rozwiązanie w środowisku Adams
3.1. Postać graficzna modelu
Model układu ma następującą postać graficzną w środowisku Adams:
Rys. 8. Postać graficzna układu w programie Adams
Rys. 9. Model w programie Adams z widocznymi wiązaniami
3.2 Parametry modelu
Poniżej przestawiono istotne parametry modelu. Ponadto model matematyczny nie
uwzględnia oddziaływania grawitacji na układ, co zostało uwzględnione w modelu w
środowisku Adams. Parametr „Displacement IC” pozwala osiągnąć położenie początkowe
układu, tj. całkowicie wsunięty siłownik.
Rys. 10. Parametry modelu (w tle układ w jednym ze skrajnych położeń siłownika – maksymalnie rozsunięty)
3.3 Wyniki symulacji
Rys. 11. Wykres przemieszczeń kątowych φ1
Rys. 12. Wykres prędkości kątowych ω1
Rys. 13. Wykres przyspieszeń kątowych ε1
4. Wnioski
Osiągnięta została pełna zgodność wyników z analiz numerycznych w środowiskach
SciLab i Adams, co świadczy o poprawności zastosowanego modelu matematycznego i
właściwym zamodelowaniu układu w środowisku Adams
Literatura
„Modelowanie matematyczne i symulacja komputerowa” – W. Tarnowski, S. Bartkiewicz,
„Teoria maszyn i mechanizmów z zadaniami” – F. Siemieniako.