Formulaire OEM

ANALYSE VECTORIELLE
Soient U et V deux hamps s alaires et ~a et ~b deux hamps ve toriels.
Attention l'équivalen e des formules ave
qu'ave
le système de
oordonnées
elles données ave
la notation
artésiennes. Dans les autres
as,
~
∇
n'est rigoureuse
'est juste une fa ilité de
notation tolérée.
1.1
Formules portant sur un seul
hamp
→
~ ∇U
~ )=∇
~ 2 U soit div(grad U ) = ∆U
1. ∇.(
→
→
~ ∧ (∇U
~ ) = ~0 soit rot(grad U ) = ~0
2. ∇
→
~ ∇
~ ∧ ~a) = ~0 soit div(rot ~a) = ~0
3. ∇.(
→
→
→
~ ∧ (∇
~ ∧ ~a) = ∇(
~ ∇.~
~ a) − ∇
~ 2~a soit rot(rot ~a) = grad(div~a) − ∆~a
4. ∇
1.2
Formules portant sur deux
hamps
→
→
→
~ V ) = V ∇(U
~ ) + U ∇(V
~ ) soit grad(U V ) = V grad U + U grad V
1. ∇(U
→
~
~ ) + U (∇.~
~ a) soit div(U~a) = grad U.~a + U div~a
a) = ~a(∇U
2. ∇.(U~
→
→
→
~ ∧ (U~a) = (∇U
~ ) ∧ ~a + U (∇
~ ∧ ~a) soit rot(U~a) = grad U ∧ ~a + U rot ~a
3. ∇
→
→
~ a ∧ ~b) = ~b.(∇
~ ∧ ~a) − ~a.(∇
~ ∧ ~b) soit div(~a ∧ ~b) = ~b. rot ~a − ~a. rot ~b
4. ∇.(~
~ ∧ (~a ∧ ~b) = (∇.
~ ~b)~a − (∇.~
~ a)~b + (~b.∇)~
~ a − (~a.∇)
~ ~b
5. ∇
→
→
→
soit rot(~a ∧ ~b) = (div~b)~a − (div~a)~b + (~b. grad)~a − (~a. grad)~b
~ a.~b) = ~a ∧ (∇
~ ∧ ~b) + ~b ∧ (∇
~ ∧ ~a) + (~b.∇)~
~ a + (~a.∇)
~ ~b
6. ∇(~
→
→
→
→
→
soit grad(~a.~b) = ~a ∧ (rot ~b) + ~b ∧ (rot ~a) + (~b. grad)~a + (~a. grad)~b
1.3
1.3.1
Expressions des opérateurs dans divers systèmes de
oordonnées
Gradient
∂U
∂U
~ex +
~ey +
~ez
* artésiennes : grad U =
∂y
∂z
→
1 ∂U
∂U
∂U
* ylindriques : grad U =
~er +
~eθ +
~ez
∂r
r ∂θ
∂z
→
1 ∂U
1
∂U
∂U
~er +
~eθ +
~eϕ
* sphériques : grad U =
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
→
1.3.2
∂U
∂x
Divergen e
∂ax
∂ay
∂az
* artésiennes : div~a =
+
+
∂x
∂y
∂z
1 ∂aθ
∂az
1 ∂rar
1 ∂rar
+
+
* ylindriques : div~a =
. Si ~a = ar (r)e~r alors div~a =
r
∂r
r ∂θ
∂z
r
∂r
1
1
∂aθ sin θ
∂aϕ
1 ∂r2 ar
1 ∂r2 ar
+
+
* sphériques : div~a = 2
. Si ~a = ar (r)e~r alors div~a = 2
r
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ
r
∂r
1
1.3.3
Rotationnel
∂ax ∂az
∂ay
∂ax
~ex +
~ey +
~ez
−
−
* artésiennes : rot ~a =
∂z
∂x
∂x
∂y
→
1 ∂az
1 ∂(raθ ) ∂ar
∂ar
∂aθ
∂az
* ylindriques : rot ~a =
~er +
~eθ +
~ez
−
−
−
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂θ
→
1
1 ∂(raθ ) ∂ar
∂(aϕ sin θ) ∂aθ
1 ∂ar
1
∂(raϕ )
~er +
~eθ +
~eϕ
−
−
−
* sphériques : rot ~a =
r sin θ
∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
∂r
r
∂r
∂θ
→
1.3.4
∂ay
∂az
−
∂y
∂z
Lapla ien
2 2 ∂ U
∂ U
∂2U
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
2 2 ∂ U
1 ∂
∂U
∂ U
1 ∂2U
1 ∂U
* ylindriques : ∆U =
. Si U = U (r) alors ∆U =
r
+ 2
+
+
∂r2
r ∂r
r
∂θ2
∂z 2
r ∂r
∂r
2 2 1
∂U
2 ∂U
1
∂
∂ U
∂ U
+ 2 2
sin θ
+
+ 2
* sphériques : ∆U =
.
2
2
∂r
r ∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂ϕ
1
∂ 2 ∂U
Si U = U (r) alors ∆U = 2
r
r
∂r
∂r
* artésiennes : ∆U =
1.4
1.4.1
A tion des opérateurs sur le trièdre de base
Coordonnées
Rotationnel
ylindriques
~ er = ~0 rot~
~ eθ = ~ez
rot~
r
~ ez = ~0
rot~
Divergen e
div~er =
1.4.2
1
r
div~eθ = 0
div~ez = 0
Coordonnées sphériques
Rotationnel
~ eϕ = cos θ ~er − ~eθ
rot~
r sin θ
r
~ er = ~0 rot~
~ eθ = ~eϕ
rot~
r
Divergen e
div~er =
2
r
div~eθ =
2
1
r tan θ
div~eϕ = 0