Telechargé par larabasse kousairi

1 COURS NOTIONS DE LOGIQUE 1 SM

publicité
‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬
‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 1 :‬علوم رياضية‬
‫درس ‪ :‬مبادئ في المنطق‬
‫الصفحة‬
‫درس رقم‬
‫عبارة – دالة عبارية – المكممات‪:‬‬
‫‪ .11‬عبارة‪PROPOSITION :‬‬
‫‪ .A‬تعريف‪:‬‬
‫كل نص رياضية يحمل معنى ويكون صحيحا وإما خاطئا (أحدهما فقط) يسمى عبارة ونرمز لها ب ‪ p‬أو ‪ q‬أو ‪. . r‬صحيحة وإما خاطئة فهو‬
‫يمثل قيمة حقيقة العبارة‪ .‬صحيحة نرمز لذلك ب‪ 1 :‬أو ‪ .V‬خاطئة نرمز لذلك ب ‪ 0:‬أو ‪. F‬‬
‫‪ .B‬مثال‪:‬‬
‫من بين الكتابات اآلتية ‪.‬حدد العبارات ثم قيمة حقيقة كل عبارة ‪:‬‬
‫جواب ‪ :‬عبارة ‪V‬‬
‫‪ 3" ‬عدد فردي " ‪.‬‬
‫جواب ‪ :‬عبارة ‪F‬‬
‫‪" 8=3+6" ‬‬
‫‪‬‬
‫"‪ n‬من‬
‫‪ n  n  1 .‬يقبل القسمة على ‪ "3‬جواب ‪ :‬ليست بعبارة‬
‫‪" x / x  3  0 " ‬‬
‫‪ .C‬جدول قيم حقيقة عبارة ‪.‬‬
‫عبارة ما ‪ p‬قيمة حقيقتها ‪ V‬و إما ‪. F‬‬
‫ونلخص ذلك بالجدول التالي‪ .‬ويسمى جدول قيم حقيقة عبارة‪.‬‬
‫جواب ‪ :‬ليست بعبارة‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .10‬دالة عبارية ‪FORMES PROPOSITIONNELLES :‬‬
‫‪ .A‬تعريف‪:‬‬
‫كل نص رياضي يحتوي على متغير أو عدة متغيرات تنتمي إلى مجموعة ‪ E‬حيث يصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بعنصر من ‪ . E‬يسمى‬
‫دالة عبارية و نرمز للدالة العبارية ب ‪A(x (:‬او )‪ A(x,y) , P(x‬أو )‪......,P(x,y‬‬
‫‪ .B‬مثال ‪:‬‬
‫نعتبر الدالتين العبارتين التاليتين ‪:‬‬
‫‪ ": A  x, y ‬لكل ‪ x‬و ‪ y‬من‬
‫)‪ " : P(n‬لكل ‪ n‬من‬
‫*‬
‫‪" x2  2xy  y 2   x  y  :‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪n(n  1‬‬
‫‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪" 1 2 3‬‬
‫‪ .10‬المكممات‪QUANTIFICATEURS:‬‬
‫‪ .A‬مفردات ‪:‬‬
‫لتكن ‪ A  x ‬دالة عبارية معرفة على مجموعة ‪. E‬‬
‫العبارة ‪ ":‬يوجد ‪ x‬من ‪ E‬حيث ‪ . " A  x ‬نرمز لها ب‪ . " x  E / A  x  " :‬تقرأ يوجد على األقل ‪ x‬من ‪ E‬تعني ‪ :‬يوجد‬
‫على األقل عنصر ‪ x‬من ‪ E‬يحقق ‪ . A  x ‬الرمز ‪ ‬يسمى المكمم الوجودي ‪.‬‬
‫العبارة ‪ ":‬لكل ‪ x‬من ‪ E‬حيث ‪ . " A  x ‬نرمز لها ب‪ . " x  E / A  x  " :‬تقرأ مهما كان ‪ x‬من ‪ E‬لدينا ‪ A  x ‬تعني‪ :‬أن‬
‫جميع عناصر ‪ x‬من ‪ E‬تحقق ‪ . A  x ‬الرمز ‪ ‬يسمى المكمم الكوني‪.‬‬
‫‪ .B‬مالحظات ‪:‬‬
‫‪ ‬نفي المكمم ‪ ‬هو المكمم ‪. ‬‬
‫‪ ‬نفي المكمم ‪ ‬هو المكمم ‪. ‬‬
‫‪ ‬كل دالة عبارية تحتوي على عدة مكممات ‪ .‬فإن تغير ترتيب المكممات ‪:‬‬
‫أ‪ -‬ليس له أهمية و ال يغير المعنى إذا كانت من نفس النوع‪.‬‬
‫ب ‪ -‬له أهمية و يغير المعنى إذا لم تكن من نفس النوع‪.‬‬
‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬
‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 1 :‬علوم رياضية‬
‫درس ‪ :‬مبادئ في المنطق‬
‫الصفحة‬
‫توضيح لذلك ‪:‬‬
‫مثال ‪, y  , y  x : 1‬‬
‫ولكن العبارة ‪, y  x :‬‬
‫‪ x ‬هي صحيحة ( ليكن ‪ x‬من‬
‫يوجد ‪ y‬من‬
‫درس رقم‬
‫( يمكن أن نأخذ ‪ ) y  x  1‬حيث ‪y  x :‬‬
‫‪ y ‬غير صحيحة ألن العنصر ‪ y‬الذي يوجد سيكون لجميع عناصر ‪ x‬من‬
‫‪, x ‬‬
‫وهذا غير‬
‫ممكن للعنصر ‪. x  y‬‬
‫مثال ‪: 2‬‬
‫نعتبر ‪ E  1, 3,5 :‬و ‪. F  2,4,6‬‬
‫العبارة ‪ . x  E , y  F , y  x  1‬و هي تقرئ " لكل عنصر ‪ x‬من ‪ E‬؛ يمكن أن نجد عنصر ‪ y‬من ‪ F‬حيث ‪. y  x  1‬‬
‫ويمكن تحقق من ذلك بسهولة ‪.‬‬
‫ولكن العبارة ‪ . y  F , x  E , y  x  1 :‬و هي تقرئ " يوجد عنصر ‪ y‬من ‪ F‬يحقق لكل عنصر ‪ x‬من ‪ E‬العالقة ‪y  x  1‬‬
‫و هذا غير ممكن ألي قيمة تعطى ل ‪. y‬‬
‫‪‬‬
‫نكتب ما يلي‪ ( :‬نفس الشيء للرمز ‪) ‬‬
‫ ‪ x  E, y  E‬ب ‪ x, y  E‬أو ب‪  x, y   E  F :‬‬‫ ‪ x  E, y  E‬ب ‪ x, y  E‬أو ب ‪.   x, y   E  F‬‬‫‪ -‬أما الكتابة ‪ !x  E :‬تقرأ ‪ :‬يوجد عنصر وحيد ‪ x‬من ‪. E‬‬
‫العمليات على العبارات ‪ ( :‬الروابط المنطقية ) ‪connecteurs‬‬
‫‪ .11‬نفي عبارة ‪:‬‬
‫‪ .A‬تعريف‪:‬‬
‫نفي عبارة ‪ p‬هي العبارة ‪ q‬حيث قيمة حقيقتها عكس قيمة حقيقة ‪ p‬و نرمز لها ب‪ q  p :‬أو أيضا ‪q   p :‬‬
‫‪ .B‬جدول قيم حقيقة نفي عبارة ‪:‬‬
‫‪p  p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ .C‬خاصية ‪:‬‬
‫‪ p‬عبارة ‪.‬لدينا ‪. p  p :‬‬
‫‪.10‬‬
‫عطف عبارتين‪ ( :‬العطف المنطقي ) ‪connjection‬‬
‫‪ .A‬تعريف‪:‬‬
‫عطف عبارتين ‪ p‬و ‪ q‬هو العبارة‬
‫‪r‬‬
‫التي تكون صحيحة إذا و فقط إذا كانت‪ p :‬و ‪ q‬صحيحتين في نفس الوقت ‪.‬‬
‫ونرمز لها ب‪ p :‬و ‪ r  q‬أو أيضا ‪. r  p  q :‬‬
‫‪ .B‬جدول قيم حقيقة ‪: p  q‬‬
‫‪ .C‬مثال ‪:‬‬
‫‪ 2 " p‬عدد زوجي "‬
‫‪ 6 " q‬يقبل القسمة على ‪" 3‬‬
‫عطف العبارتين هو العبارة ‪:‬‬
‫‪ p‬و ‪ 2 " q‬عدد زوجي و ‪ 6‬يقبل القسمة على ‪" 3‬‬
‫‪ .D‬خاصية‪:‬‬
‫‪p‬و ‪q‬‬
‫‪q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬
‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 1 :‬علوم رياضية‬
‫درس ‪ :‬مبادئ في المنطق‬
‫الصفحة‬
‫‪p‬و‪q‬و‬
‫‪r‬‬
‫درس رقم‬
‫ثالث عبارات ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫العطف تبادلي ‪ p :‬و ‪ q  q‬و ‪. p‬‬
‫‪‬‬
‫العطف تجمعي ‪ r) :‬و ‪ ( q‬و ‪ r  p‬و )‪ q‬و ‪ . (p‬لهذا يجوز كتابة كلتا العبارتين على الشكل اآلتي ‪ r :‬و ‪ q‬و ‪p‬‬
‫‪.10‬‬
‫فصل عبارتين ‪ ( :‬الفصل المنطقي ) ‪disjonction‬‬
‫‪ .A‬تعريف ‪:‬‬
‫فصل عبارتين ‪ p‬و ‪ q‬هو العبارة ‪ r‬التي تكون خاطئة فقط إذا كانت ‪ p‬و ‪ q‬خاطئتين في نفس الوقت‪.‬‬
‫ونرمز لها ب ‪ p :‬أو ‪ r  q‬أو أيضا ‪. r  p  q :‬‬
‫‪ .B‬تمرين ‪:‬‬
‫‪ )a‬قارن ‪ p  q‬ثم ‪. p  q‬‬
‫‪ .C‬خاصية ‪:‬‬
‫‪ p‬و ‪ q‬و ‪ r‬ثالث عبارات‪:‬‬
‫‪ ‬الفصل تبادلي ‪ p :‬أو ‪ q  q‬أو ‪p‬‬
‫‪ ‬الفصل تجمعي ‪ r) :‬أو ‪ ( q‬أو ‪ p‬‬
‫‪r‬‬
‫أو )‪ q‬أو ‪ . (p‬لهذا يجوز كتابة كلتا العبارتين على الشكل اآلتي ‪ r :‬أو ‪ q‬أو ‪. p‬‬
‫الفصل توزعي على العطف ‪:‬‬
‫ توزيعية على اليمين‪ r) :‬أو ‪ ( q‬و )‪ r‬أو ‪ r  (p‬أو )‪ q‬و ‪(p‬‬‫ توزيعية على اليسار‪ r) :‬أو ‪ ( p‬و )‪ q‬أو ‪ r)  (p‬و ‪ (q‬أو ‪p‬‬‫‪ ‬العطف توزعي على الفصل نعوض مكان ( أو ) ب ( و ) ثم مكان ( و ) ب أو ‪.‬‬
‫‪ .D‬قانوني موركن – ‪- LOIS DE MORGAN‬‬
‫‪ ‬نفي العطف‪( p  q  p  q :‬‬
‫‪‬‬
‫و)؛(‬
‫‪‬‬
‫أو )‬
‫‪ ‬نفي الفصل‪p  q  p  q :‬‬
‫‪.10‬‬
‫استلزام عبارتين ‪implication :‬‬
‫‪ .A‬تعريف ‪:‬‬
‫استلزام عبارتين ‪ p‬ثم ‪ q‬في هذا الترتيب هو العبارة التي يرمز لها ب‪ q :‬أو ‪ ، p‬و تكون خاطئة فقط عندما تكون ‪ p‬صحيحة و ‪ q‬خاطئة ‪.‬‬
‫نرمز لها كذلك ب‪. p  q :‬‬
‫تقرأ‪ p :‬تستلزم ‪ . q‬أو أيضا‪ :‬إذا كان ‪ p‬فإن ‪. q‬‬
‫‪ .B‬جدول قيم حقيقة استلزام عبارتين‪:‬‬
‫‪ .C‬مفردات‬
‫نعتبر االستلزام ‪. p  q‬‬
‫‪‬‬
‫العبارة ‪ p‬تسمى معطيات االستلزام‪.‬‬
‫‪‬‬
‫العبارة ‪ q‬تسمى نتيجة االستلزام‪.‬‬
‫‪‬‬
‫االستلزام ‪ p  q :‬يسمى االستلزام المباشر ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫االستلزام ‪ q  p :‬يسمى االستلزام العكسي ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫االستلزام ‪ q  p‬يسمى االستلزام المضاد للعكس ل ‪. p  q‬‬
‫‪pq‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬
‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 1 :‬علوم رياضية‬
‫درس ‪ :‬مبادئ في المنطق‬
‫الصفحة‬
‫درس رقم‬
‫‪ .D‬خاصية ‪:‬‬
‫‪ p‬و ‪ q‬و ‪ r‬ثالث عبارات‬
‫‪  q  r  ‬و )‪(p  q‬‬
‫‪‬‬
‫االستلزام متعدي‪  p  r  :‬‬
‫‪‬‬
‫نفي االستلزام ‪ q :‬و ‪.   p  q   p  q  p‬‬
‫‪ .10‬تكافؤ عبارتين‪équivalence :‬‬
‫‪ .A‬تعريف ‪:‬‬
‫العبارة " ‪ p  q ‬‬
‫و ‪"  q  p ‬تسمى تكافؤ العبارتين ‪ p‬و ‪ q‬هي صحيحة فقط عندما تكون ل ‪ p‬و ‪ q‬نفس قيمة حقيقة معا‪.‬‬
‫و يرمز لها ب‪. p  q :‬‬
‫و تقرأ ‪ p :‬تكافئ ‪ . q‬أو أيضا‪ p :‬تعني ‪ . q‬أو أيضا‪ p :‬إذا و فقط إذا كان ‪. q‬‬
‫‪ .B‬جدول قيم حقيقة تكافؤ عبارتين هو‪:‬‬
‫‪ .C‬خاصية ‪:‬‬
‫‪pq‬‬
‫‪q‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪p‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ p‬و ‪ q‬و ‪ r‬ثالث عبارات‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫التكافؤ تبادلي ‪(p  q)  (q  p) :‬‬
‫التكافؤ متعدي ‪  p  r ‬‬
‫‪  q  r  ‬و )‪(p  q‬‬
‫القوانين المنطقية‪lois logiques :‬‬
‫‪ .A‬تعريف‪:‬‬
‫كل عبارة مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بالروابط المنطقية و تكون صحيحة مهما كانت قيم حقيقة هذه العبارات المكونة لها ‪،‬‬
‫فهي تسمى قانون منطقي‪.‬‬
‫‪ .B‬أمثلة‪:‬‬
‫‪ ‬قانوني موركان‬
‫‪ ‬جميع الخاصيات التي سبق ذكرها في العمليات المنطقية‪.‬‬
‫( مثال ‪ :‬التبادلية التجمعية – التعدي‪) ....‬‬
‫‪.IV‬‬
‫‪ .11‬االستدالل بالمثال المضاد‪PAR CONTRE EXEMPLE :‬‬
‫أنواع االستدالالت الرياضية‪TYPES ( OU MODES ) DE RAISONNEMENT MATHEMATIQUE:‬‬
‫‪ .A‬تعريف‪:‬‬
‫لكي نبرهن على أن العبارة " ‪ " x  E , A  x ‬خاطئة يكفي أن نبرهن أن نفيها " ‪ " x  E , A  x ‬عبارة صحيحة ‪.‬‬
‫و هذا النوع من االستدالل يسمى االستدالل بالمثال المضاد‪.‬‬
‫‪ .B‬مثال‪:‬‬
‫مثال‪ :1‬هل مجموع عددين الالجذريين هو عدد الالجذري؟‬
‫جواب‪ :‬نعطي مثال مضاد‪:‬‬
‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬
‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 1 :‬علوم رياضية‬
‫الصفحة‬
‫درس ‪ :‬مبادئ في المنطق‬
‫لدينا ‪2 :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫و ‪  2‬عددان الالجذريان ولكن مجموعهما هو ‪2   2  0‬‬
‫درس رقم‬
‫ليس بعدد الالجذري بل هو عدد طبيعي‪.‬‬
‫خالصة‪ :‬مجموع عددين الالجذريين ليس دائما بعدد الالجذري‪.‬‬
‫‪.10‬االستدالل باستعمال التكافؤات المتتالية ‪par équivalence successives:‬‬
‫‪ .A‬خاصية‪:‬‬
‫‪ p‬و ‪ p1‬و ‪ p 2‬و ‪ p 3‬و ‪....‬و ‪ p k‬و ‪ q‬عبارات‪.‬‬
‫إذا كانت التكافؤات التالية ‪ .. ، p2  p1 ، p1  p‬و ‪ q  pk‬كلها صحيحة فإن ‪ q  p‬تكافئا صحيحا‪.‬‬
‫االستدالل باستعمال هذا النوع يسمى االستدالل بالتكافؤات المتتالية‬
‫‪ .B‬مثال‪:‬‬
‫‪ a‬و ‪ b‬من ‪ .‬بين‪a  b  2ab  a  b :‬‬
‫جواب‪ :‬لدينا‪:‬‬
‫‪a2  b2  2ab  a2  b2  2ab  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a  b  0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ab  0‬‬
‫‪ab‬‬
‫خالصة‪a2  b2  2ab  a  b :‬‬
‫‪ .10‬االستدالل االستنتاجي ‪déductif:‬‬
‫‪ .A‬خاصية‪:‬‬
‫إذا كان االستلزام ‪ p  q‬صحيح و ‪ p‬صحيحة ( أو ‪ p‬كمعطى في تمرين) فإن ‪ q‬صحيحة ( نستنتج ‪.) q‬‬
‫االستدالل باستعمال هذا النوع يسمى االستدالل االستنتاجي‪.‬‬
‫‪ .B‬مثال‪:‬‬
‫مثال‪:1‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪ -1‬بين أن‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. a,b  0 , ab ‬‬
‫‪ -2‬استنتج أن‪. x  0 , 2 x  1  x :‬‬
‫‪ -3‬بين أن‪x, y  0 , 4 xy  1  x 1  y  :‬‬
‫مثال‪:2‬‬
‫‪-1‬‬
‫أحسب‪ x  1 x  3 :‬‬
‫‪ -2‬حل المعادلة‪/ x2  2x  3  0 :‬‬
‫‪ . x ‬استنتج حلول المعادلة ‪ :‬حل المعادلة‪/ x2  2 x  3  0 :‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .10‬االستلزام المضاد للعكس‪contraposé :‬‬
‫‪ .A‬خاصية‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  p  q   q  p‬قانون منطقي‪.‬‬
‫‪ .B‬ملحوظة‪:‬‬
‫بدل من أن نبرهن على صحة االستلزام ‪ p  q‬نبرهن على صحة االستلزام ‪ q  p‬وبالتالي االستلزام ‪ p  q‬المطلوب اثباته يصبح‬
‫صحيح‪ .‬و هذا النوع من االستدالل ( أو البرهان ) المستعمل يسمى االستدالل المضاد للعكس‪.‬‬
‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬
‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 1 :‬علوم رياضية‬
‫درس ‪ :‬مبادئ في المنطق‬
‫الصفحة‬
‫درس رقم‬
‫‪ .C‬مثال‪:‬‬
‫بين أن‪x, y  2,  , x  y  x  4x  y  4y :‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫جواب‪:‬‬
‫نستدل على ذلك باستعمال االستدالل المضاد للعكس؛ أي نبرهن على‪x, y  2,  , x2  4x  y 2  4y  x  y :‬‬
‫ليكن ‪ x‬و ‪ y‬من ‪ 2, ‬حيث ‪x2  4x  y 2  4y‬‬
‫‪x2  4x  y 2  4y  x2  4x  4  y 2  4y  4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪  x  2   y  2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  2    y  2 ‬أو ‪ x  2  y  2‬‬
‫‪ x  y  4  0‬أو ‪ x  y‬‬
‫‪xy‬‬
‫‪ x  y  4  0‬غير ممكن ألن‪ x  2 :‬و ‪ y  2‬أي ‪ x  y  4‬أي ‪. x  y  4  0‬‬
‫ومنه ‪. x2  4x  y 2  4y  x  y :‬صحيح‪ .‬و بالتالي االستلزام‬
‫المضاد للعكس له ‪ x  y  x2  4x  y 2  4y :‬يصبح صحيح‪.‬‬
‫خالصة‪x, y  2,  , x  y  x2  4x  y 2  4y :‬‬
‫‪ .10‬االستدالل بفصل الحاالت‪:‬‬
‫‪ .A‬خاصية‪:‬‬
‫‪PAR DISJONCTION DES CAS‬‬
‫‪ p‬و ‪ q‬و ‪ r‬ثالث عبارات‪.‬‬
‫العبارة ‪ q  r ‬و ‪ q)  r    p  r‬أو ‪  (p‬هي قانون منطقي ‪.‬‬
‫‪ .B‬مصطلح‪:‬‬
‫لالستدالل على ‪ r)  q‬أو ‪ (p‬انه استلزام صحيح يمكن أن نستدل على أن االستلزامين ‪ r  q‬ثم ‪ p  q‬صحيحين هذا النوع من‬
‫االستدالل يسمى االستدالل بفصل‬
‫الحاالت‪RAISONNEMENT PAR DISJONCTION DES CAS .‬‬
‫‪ .C‬مثال‪ :‬حل المعادلة‪: x  1  2x  0 :‬‬
‫المعادلة تكتب على الشكل التالي‪:‬‬
‫حالة ‪. x  , 1 : 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ 1,  : x  1  2x  0‬‬
‫‪x  , 1‬‬
‫‪x  1  2x  0    x  1  2x  0‬‬
‫‪ x1 0‬‬
‫‪ x  1  , 1‬‬
‫ومنه ‪S1   :‬‬
‫حالة ‪. x   1,  : 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ . x  1  2x  0   x  1  2x  0  3x  1  0  x     1, ‬ومنه‪S 2     :‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪ 1‬‬
‫خالصة‪ :‬مجموعة حلول المعادلة‪S  S1 S 2     :‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬
‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 1 :‬علوم رياضية‬
‫درس ‪ :‬مبادئ في المنطق‬
‫الصفحة‬
‫درس رقم‬
‫‪ .10‬االستدالل بالخلف‪PAR ABSURDE :‬‬
‫‪ .A‬خاصية‪:‬‬
‫لكي نستدل على صحة عبارة ‪: q‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ .0‬نفترض أن‪ q :‬خاطئة ( أي ‪ q‬صحيحة )‬
‫‪ .0‬هذا االفتراض يؤدي للحصول على ‪ p‬عبارة صحيحة و بالتالي نحصل على ‪ p‬و ‪ p‬عبارتين صحيحتين و هذا غير ممكن‪.‬‬
‫‪ .0‬نقول ما افترضناه ( ‪ q‬خاطئة ) كان غير صحيح‪ .‬ومنه ‪ q‬صحيحة‪.‬‬
‫‪ p‬هي إحدى المعطيات‪ p ( .‬هي عبارة صحيحة )‬
‫‪ .B‬مثال‪:‬‬
‫نضع ‪ r :‬عدد جذري و ‪ i‬عدد الالجذري‪ .‬و ‪. s  r  i‬‬
‫بين أن ‪ s :‬مجموع عدد جذري وعدد الالجذري هو عدد الالجذري ‪.‬‬
‫جواب‪:‬‬
‫نفترض أن ‪ s‬عدد جذري‪.‬‬
‫لدينا ‪ s  r  i :‬و منه ‪ s  r  i‬وبالتالي ‪ s  r‬عدد جذري ( إلن فرق عددين جذريين هو عدد جذري) ومنه‪ i :‬عدد جذري‪.‬‬
‫ومنه ‪ i :‬عدد الالجذري و ‪ i‬عدد جذري‪ .‬وهذا غير ممكن‪.‬‬
‫إذن ما افترضناه ‪ i‬عدد جذري كان خاطئا و الصحيح هو ‪ i‬عدد الالجذري‪.‬‬
‫‪ .10‬االستدالل بالترجع‪par récurrence :‬‬
‫‪ .A‬خاصية‪:‬‬
‫‪ n 0‬عدد صحيح طبيعي معلوم‪.‬‬
‫‪ P  n ‬دالة عبارية لمتغير صحيح طبيعي ‪ n‬مع ‪. n  n0‬‬
‫إذا كان ‪:‬‬
‫‪ P  n  ) 1‬صحيحة من أجل ‪. n  n0‬‬
‫‪ ) 2‬االستلزام ‪ P  n   P  n  1‬صحيح لكل ‪( n  n0‬مع ‪ n‬من‬
‫فإن ‪ P  n  :‬صحيحة لكل ‪ n‬من‬
‫أو أيضا ‪ :‬العبارة " ‪ , P  n ‬‬
‫حيث ‪. n  n0‬‬
‫‪ " n  n0  n ‬صحيحة‪.‬‬
‫‪ .B‬ملحوظة‪:‬‬
‫عند استعمال البرهان بالترجع نتبع المراحل التالية‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫المرحلة ‪:1‬‬
‫نتحقق بأن‪ P  n  :‬صحيحة للرتبة األولى ‪ ( n  n0‬أي ‪ P  n ‬صحيحة)‬
‫‪ .0‬المرحلة‪:2‬‬
‫نفترض بأن‪ P(n) :‬صحيحة إلى الرتبة ‪. n‬‬
‫و هذا االفتراض يسمى معطيات الترجع ‪.‬‬
‫‪ .0‬المرحلة‪:3‬‬
‫نبين أن‪ :‬العالقة )‪ P(n‬صحيحة للرتبة ‪. n  1‬‬
‫‪ .C‬مثال‪ :‬بين بالترجع ‪ :‬لكل ‪ n‬من‬
‫؛ ‪ 3‬تقسم ‪n3  n‬‬
‫)‪.‬‬
‫‪Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/‬‬
‫األستاذ‪ :‬بنموسى محمد ثانوية‪ :‬عمر بن عبد العزيز المستوى‪ 1 :‬علوم رياضية‬
‫درس ‪ :‬مبادئ في المنطق‬
‫الصفحة‬
‫نتحقق أن ‪ :‬العالقة صحيحة ل ‪ . n  0‬لدينا ‪ 3‬تقسم ‪03  0  0‬‬
‫نفترض أن العالقة صحيحة إلى ‪ n‬أي ‪ 3‬تقسم ‪ n3  n‬هي صحيحة‪.‬‬
‫نبين أن العالقة صحيحة ل ‪. n  1‬أي ‪ 3‬تقسم ‪  n  1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ n  1‬‬
‫المطلوب منك أن تبين ذلك‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .D‬الرمز‬
‫‪.a‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫و‬
‫الرمز‬
‫نرمز للمجموع التالي ‪ an :‬‬
‫‪i n‬‬
‫مثال ‪ 2n   2i : 1‬‬
‫‪i n‬‬
‫‪ a1  a2  a3 ‬ب‬
‫‪i‬‬
‫‪a‬‬
‫ويمكن استعمال ‪ j‬أو ‪ k‬بدل من ‪. i‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ ( . 2  4  6 ‬المجموع متكون من ‪ n‬حدد )‬
‫‪i 1‬‬
‫‪i n‬‬
‫مثال ‪  2n  1    2i  1 : 2‬‬
‫‪( . 1  3  5 ‬المجموع متكون من ‪ n  1‬حدد )‬
‫‪i0‬‬
‫خاصيات ‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪k n‬‬
‫‪k n‬‬
‫‪j n‬‬
‫‪j n‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪j 0‬‬
‫‪j 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪j  b j   a j   b j   ak   bk‬‬
‫‪j n‬‬
‫‪‬‬
‫‪a j  c   a j  nc .2‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪.b‬‬
‫‪j n‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪j 0‬‬
‫‪j n‬‬
‫‪‬‬
‫( ألن المجموع متكون من ‪ n‬حدد مع ‪ c‬عدد تابة ) ‪.‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪.‬‬
‫الرمز‬
‫‪j n‬‬
‫‪a‬‬
‫نرمز للجداء التالي ‪ an :‬‬
‫‪ a1  a2  a3 ‬ب‬
‫مثال ‪ 2n   2k : 1‬‬
‫‪ ( . 2  4  6 ‬الجداء متكون من ‪ n‬عامل )‬
‫‪k n‬‬
‫‪j‬‬
‫ويمكن استعمال ‪ i‬أو ‪ k‬بدل من ‪. i‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪i n‬‬
‫مثال ‪  2n  1    2i  1 : 2‬‬
‫‪( . 1  3  5 ‬الجداء متكون من ‪ n  1‬عامل )‬
‫‪i 1‬‬
‫خاصيات ‪:‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪k n‬‬
‫‪k n‬‬
‫‪j n‬‬
‫‪j n‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪k 0‬‬
‫‪j 0‬‬
‫‪j 0‬‬
‫‪j n‬‬
‫‪.4‬‬
‫‪j‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪j‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪j 0‬‬
‫‪j n‬‬
‫‪  ca   c  a‬‬
‫‪n‬‬
‫‪.c‬‬
‫بين أن ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b j   a j   b j   ak   b k‬‬
‫‪j n‬‬
‫‪j‬‬
‫‪j 1‬‬
‫( ألن الجداء متكون من ‪ n‬عامل ل ‪ c‬مع ‪ c‬عدد تابة ) ‪.‬‬
‫‪j 1‬‬
‫تمارين ‪:‬‬
‫‪n  n  1‬‬
‫‪i n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ n  i ‬‬
‫‪:1  2  3 ‬‬
‫‪n  n  1 2n  1‬‬
‫‪i n‬‬
‫‪6‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ n2   i 2 ‬‬
‫*‬
‫‪. n ‬‬
‫‪:12  22  32 ‬‬
‫‪ n  n  1 ‬‬
‫‪:1  2  3   n   i  ‬‬
‫‪ .3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫بعض الرموز ( حروف ) نستعملها في الرياضيات‬
‫‪2‬‬
‫‪i n‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫*‬
‫*‬
‫‪. n ‬‬
‫‪. n ‬‬
‫درس رقم‬
Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/
‫ علوم رياضية‬1 :‫ عمر بن عبد العزيز المستوى‬:‫ بنموسى محمد ثانوية‬:‫األستاذ‬
‫درس رقم‬
‫ مبادئ في المنطق‬: ‫درس‬
‫الصفحة‬



 ‫ أو‬

 ‫ أو‬


 ‫ أو‬

‫ أو‬

 ‫ أو‬
nu
xi
omicron
pi
rho
sigma
tau
upsilon
phi
chi


 ‫ أو‬
 ‫ أو‬



 ‫ أو‬


alpha
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
iota
kappa
psi
 ‫ أو‬
lambda
omega

mu
Téléchargement
Random flashcards
amour

4 Cartes mariam kasouh

Commune de paris

0 Cartes Edune

Ce que beaucoup devaient savoir

0 Cartes Jule EDOH

Le lapin

5 Cartes Christine Tourangeau

Créer des cartes mémoire