Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/ األستاذ :بنموسى محمد ثانوية :عمر بن عبد العزيز المستوى 1 :علوم رياضية درس :مبادئ في المنطق الصفحة درس رقم عبارة – دالة عبارية – المكممات: .11عبارةPROPOSITION : .Aتعريف: كل نص رياضية يحمل معنى ويكون صحيحا وإما خاطئا (أحدهما فقط) يسمى عبارة ونرمز لها ب pأو qأو . . rصحيحة وإما خاطئة فهو يمثل قيمة حقيقة العبارة .صحيحة نرمز لذلك ب 1 :أو .Vخاطئة نرمز لذلك ب 0:أو . F .Bمثال: من بين الكتابات اآلتية .حدد العبارات ثم قيمة حقيقة كل عبارة : جواب :عبارة V 3" عدد فردي " . جواب :عبارة F " 8=3+6" " nمن n n 1 .يقبل القسمة على "3جواب :ليست بعبارة " x / x 3 0 " .Cجدول قيم حقيقة عبارة . عبارة ما pقيمة حقيقتها Vو إما . F ونلخص ذلك بالجدول التالي .ويسمى جدول قيم حقيقة عبارة. جواب :ليست بعبارة p 1 0 .10دالة عبارية FORMES PROPOSITIONNELLES : .Aتعريف: كل نص رياضي يحتوي على متغير أو عدة متغيرات تنتمي إلى مجموعة Eحيث يصبح عبارة كلما عوضنا المتغير بعنصر من . Eيسمى دالة عبارية و نرمز للدالة العبارية ب A(x (:او ) A(x,y) , P(xأو )......,P(x,y .Bمثال : نعتبر الدالتين العبارتين التاليتين : ": A x, y لكل xو yمن ) " : P(nلكل nمن * " x2 2xy y 2 x y : 2 )n(n 1 : 2 n " 1 2 3 .10المكمماتQUANTIFICATEURS: .Aمفردات : لتكن A x دالة عبارية معرفة على مجموعة . E العبارة ":يوجد xمن Eحيث . " A x نرمز لها ب . " x E / A x " :تقرأ يوجد على األقل xمن Eتعني :يوجد على األقل عنصر xمن Eيحقق . A x الرمز يسمى المكمم الوجودي . العبارة ":لكل xمن Eحيث . " A x نرمز لها ب . " x E / A x " :تقرأ مهما كان xمن Eلدينا A x تعني :أن جميع عناصر xمن Eتحقق . A x الرمز يسمى المكمم الكوني. .Bمالحظات : نفي المكمم هو المكمم . نفي المكمم هو المكمم . كل دالة عبارية تحتوي على عدة مكممات .فإن تغير ترتيب المكممات : أ -ليس له أهمية و ال يغير المعنى إذا كانت من نفس النوع. ب -له أهمية و يغير المعنى إذا لم تكن من نفس النوع. Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/ األستاذ :بنموسى محمد ثانوية :عمر بن عبد العزيز المستوى 1 :علوم رياضية درس :مبادئ في المنطق الصفحة توضيح لذلك : مثال , y , y x : 1 ولكن العبارة , y x : x هي صحيحة ( ليكن xمن يوجد yمن درس رقم ( يمكن أن نأخذ ) y x 1حيث y x : y غير صحيحة ألن العنصر yالذي يوجد سيكون لجميع عناصر xمن , x وهذا غير ممكن للعنصر . x y مثال : 2 نعتبر E 1, 3,5 :و . F 2,4,6 العبارة . x E , y F , y x 1و هي تقرئ " لكل عنصر xمن E؛ يمكن أن نجد عنصر yمن Fحيث . y x 1 ويمكن تحقق من ذلك بسهولة . ولكن العبارة . y F , x E , y x 1 :و هي تقرئ " يوجد عنصر yمن Fيحقق لكل عنصر xمن Eالعالقة y x 1 و هذا غير ممكن ألي قيمة تعطى ل . y نكتب ما يلي ( :نفس الشيء للرمز ) x E, y Eب x, y Eأو ب x, y E F : x E, y Eب x, y Eأو ب . x, y E F -أما الكتابة !x E :تقرأ :يوجد عنصر وحيد xمن . E العمليات على العبارات ( :الروابط المنطقية ) connecteurs .11نفي عبارة : .Aتعريف: نفي عبارة pهي العبارة qحيث قيمة حقيقتها عكس قيمة حقيقة pو نرمز لها ب q p :أو أيضا q p : .Bجدول قيم حقيقة نفي عبارة : p p p 1 1 0 0 .Cخاصية : pعبارة .لدينا . p p : .10 عطف عبارتين ( :العطف المنطقي ) connjection .Aتعريف: عطف عبارتين pو qهو العبارة r التي تكون صحيحة إذا و فقط إذا كانت p :و qصحيحتين في نفس الوقت . ونرمز لها ب p :و r qأو أيضا . r p q : .Bجدول قيم حقيقة : p q .Cمثال : 2 " pعدد زوجي " 6 " qيقبل القسمة على " 3 عطف العبارتين هو العبارة : pو 2 " qعدد زوجي و 6يقبل القسمة على " 3 .Dخاصية: pو q q p 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/ األستاذ :بنموسى محمد ثانوية :عمر بن عبد العزيز المستوى 1 :علوم رياضية درس :مبادئ في المنطق الصفحة pوqو r درس رقم ثالث عبارات : العطف تبادلي p :و q qو . p العطف تجمعي r) :و ( qو r pو ) qو . (pلهذا يجوز كتابة كلتا العبارتين على الشكل اآلتي r :و qو p .10 فصل عبارتين ( :الفصل المنطقي ) disjonction .Aتعريف : فصل عبارتين pو qهو العبارة rالتي تكون خاطئة فقط إذا كانت pو qخاطئتين في نفس الوقت. ونرمز لها ب p :أو r qأو أيضا . r p q : .Bتمرين : )aقارن p qثم . p q .Cخاصية : pو qو rثالث عبارات: الفصل تبادلي p :أو q qأو p الفصل تجمعي r) :أو ( qأو p r أو ) qأو . (pلهذا يجوز كتابة كلتا العبارتين على الشكل اآلتي r :أو qأو . p الفصل توزعي على العطف : توزيعية على اليمين r) :أو ( qو ) rأو r (pأو ) qو (p توزيعية على اليسار r) :أو ( pو ) qأو r) (pو (qأو p العطف توزعي على الفصل نعوض مكان ( أو ) ب ( و ) ثم مكان ( و ) ب أو . .Dقانوني موركن – - LOIS DE MORGAN نفي العطف( p q p q : و)؛( أو ) نفي الفصلp q p q : .10 استلزام عبارتين implication : .Aتعريف : استلزام عبارتين pثم qفي هذا الترتيب هو العبارة التي يرمز لها ب q :أو ، pو تكون خاطئة فقط عندما تكون pصحيحة و qخاطئة . نرمز لها كذلك ب. p q : تقرأ p :تستلزم . qأو أيضا :إذا كان pفإن . q .Bجدول قيم حقيقة استلزام عبارتين: .Cمفردات نعتبر االستلزام . p q العبارة pتسمى معطيات االستلزام. العبارة qتسمى نتيجة االستلزام. االستلزام p q :يسمى االستلزام المباشر . االستلزام q p :يسمى االستلزام العكسي . االستلزام q pيسمى االستلزام المضاد للعكس ل . p q pq q 1 0 1 1 1 0 1 0 p 1 1 0 0 Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/ األستاذ :بنموسى محمد ثانوية :عمر بن عبد العزيز المستوى 1 :علوم رياضية درس :مبادئ في المنطق الصفحة درس رقم .Dخاصية : pو qو rثالث عبارات q r و )(p q االستلزام متعدي p r : نفي االستلزام q :و . p q p q p .10تكافؤ عبارتينéquivalence : .Aتعريف : العبارة " p q و " q p تسمى تكافؤ العبارتين pو qهي صحيحة فقط عندما تكون ل pو qنفس قيمة حقيقة معا. و يرمز لها ب. p q : و تقرأ p :تكافئ . qأو أيضا p :تعني . qأو أيضا p :إذا و فقط إذا كان . q .Bجدول قيم حقيقة تكافؤ عبارتين هو: .Cخاصية : pq q 1 0 0 1 1 0 1 0 p 1 1 0 0 pو qو rثالث عبارات التكافؤ تبادلي (p q) (q p) : التكافؤ متعدي p r q r و )(p q القوانين المنطقيةlois logiques : .Aتعريف: كل عبارة مكونة من عدة عبارات مرتبطة فيما بينها بالروابط المنطقية و تكون صحيحة مهما كانت قيم حقيقة هذه العبارات المكونة لها ، فهي تسمى قانون منطقي. .Bأمثلة: قانوني موركان جميع الخاصيات التي سبق ذكرها في العمليات المنطقية. ( مثال :التبادلية التجمعية – التعدي) .... .IV .11االستدالل بالمثال المضادPAR CONTRE EXEMPLE : أنواع االستدالالت الرياضيةTYPES ( OU MODES ) DE RAISONNEMENT MATHEMATIQUE: .Aتعريف: لكي نبرهن على أن العبارة " " x E , A x خاطئة يكفي أن نبرهن أن نفيها " " x E , A x عبارة صحيحة . و هذا النوع من االستدالل يسمى االستدالل بالمثال المضاد. .Bمثال: مثال :1هل مجموع عددين الالجذريين هو عدد الالجذري؟ جواب :نعطي مثال مضاد: Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/ األستاذ :بنموسى محمد ثانوية :عمر بن عبد العزيز المستوى 1 :علوم رياضية الصفحة درس :مبادئ في المنطق لدينا 2 : و 2عددان الالجذريان ولكن مجموعهما هو 2 2 0 درس رقم ليس بعدد الالجذري بل هو عدد طبيعي. خالصة :مجموع عددين الالجذريين ليس دائما بعدد الالجذري. .10االستدالل باستعمال التكافؤات المتتالية par équivalence successives: .Aخاصية: pو p1و p 2و p 3و ....و p kو qعبارات. إذا كانت التكافؤات التالية .. ، p2 p1 ، p1 pو q pkكلها صحيحة فإن q pتكافئا صحيحا. االستدالل باستعمال هذا النوع يسمى االستدالل بالتكافؤات المتتالية .Bمثال: aو bمن .بينa b 2ab a b : جواب :لدينا: a2 b2 2ab a2 b2 2ab 0 2 2 a b 0 2 ab 0 ab خالصةa2 b2 2ab a b : .10االستدالل االستنتاجي déductif: .Aخاصية: إذا كان االستلزام p qصحيح و pصحيحة ( أو pكمعطى في تمرين) فإن qصحيحة ( نستنتج .) q االستدالل باستعمال هذا النوع يسمى االستدالل االستنتاجي. .Bمثال: مثال:1 ab -1بين أن: 2 . a,b 0 , ab -2استنتج أن. x 0 , 2 x 1 x : -3بين أنx, y 0 , 4 xy 1 x 1 y : مثال:2 -1 أحسب x 1 x 3 : -2حل المعادلة/ x2 2x 3 0 : . x استنتج حلول المعادلة :حل المعادلة/ x2 2 x 3 0 : x .10االستلزام المضاد للعكسcontraposé : .Aخاصية: p q q pقانون منطقي. .Bملحوظة: بدل من أن نبرهن على صحة االستلزام p qنبرهن على صحة االستلزام q pوبالتالي االستلزام p qالمطلوب اثباته يصبح صحيح .و هذا النوع من االستدالل ( أو البرهان ) المستعمل يسمى االستدالل المضاد للعكس. Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/ األستاذ :بنموسى محمد ثانوية :عمر بن عبد العزيز المستوى 1 :علوم رياضية درس :مبادئ في المنطق الصفحة درس رقم .Cمثال: بين أنx, y 2, , x y x 4x y 4y : 2 2 جواب: نستدل على ذلك باستعمال االستدالل المضاد للعكس؛ أي نبرهن علىx, y 2, , x2 4x y 2 4y x y : ليكن xو yمن 2, حيث x2 4x y 2 4y x2 4x y 2 4y x2 4x 4 y 2 4y 4 2 x 2 y 2 2 x 2 y 2 أو x 2 y 2 x y 4 0أو x y xy x y 4 0غير ممكن ألن x 2 :و y 2أي x y 4أي . x y 4 0 ومنه . x2 4x y 2 4y x y :صحيح .و بالتالي االستلزام المضاد للعكس له x y x2 4x y 2 4y :يصبح صحيح. خالصةx, y 2, , x y x2 4x y 2 4y : .10االستدالل بفصل الحاالت: .Aخاصية: PAR DISJONCTION DES CAS pو qو rثالث عبارات. العبارة q r و q) r p rأو (pهي قانون منطقي . .Bمصطلح: لالستدالل على r) qأو (pانه استلزام صحيح يمكن أن نستدل على أن االستلزامين r qثم p qصحيحين هذا النوع من االستدالل يسمى االستدالل بفصل الحاالتRAISONNEMENT PAR DISJONCTION DES CAS . .Cمثال :حل المعادلة: x 1 2x 0 : المعادلة تكتب على الشكل التالي: حالة . x , 1 : 1 x 1, : x 1 2x 0 x , 1 x 1 2x 0 x 1 2x 0 x1 0 x 1 , 1 ومنه S1 : حالة . x 1, : 2 1 1 . x 1 2x 0 x 1 2x 0 3x 1 0 x 1, ومنهS 2 : 3 3 1 خالصة :مجموعة حلول المعادلةS S1 S 2 : 3 Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/ األستاذ :بنموسى محمد ثانوية :عمر بن عبد العزيز المستوى 1 :علوم رياضية درس :مبادئ في المنطق الصفحة درس رقم .10االستدالل بالخلفPAR ABSURDE : .Aخاصية: لكي نستدل على صحة عبارة : q .1 .0نفترض أن q :خاطئة ( أي qصحيحة ) .0هذا االفتراض يؤدي للحصول على pعبارة صحيحة و بالتالي نحصل على pو pعبارتين صحيحتين و هذا غير ممكن. .0نقول ما افترضناه ( qخاطئة ) كان غير صحيح .ومنه qصحيحة. pهي إحدى المعطيات p ( .هي عبارة صحيحة ) .Bمثال: نضع r :عدد جذري و iعدد الالجذري .و . s r i بين أن s :مجموع عدد جذري وعدد الالجذري هو عدد الالجذري . جواب: نفترض أن sعدد جذري. لدينا s r i :و منه s r iوبالتالي s rعدد جذري ( إلن فرق عددين جذريين هو عدد جذري) ومنه i :عدد جذري. ومنه i :عدد الالجذري و iعدد جذري .وهذا غير ممكن. إذن ما افترضناه iعدد جذري كان خاطئا و الصحيح هو iعدد الالجذري. .10االستدالل بالترجعpar récurrence : .Aخاصية: n 0عدد صحيح طبيعي معلوم. P n دالة عبارية لمتغير صحيح طبيعي nمع . n n0 إذا كان : P n ) 1صحيحة من أجل . n n0 ) 2االستلزام P n P n 1صحيح لكل ( n n0مع nمن فإن P n :صحيحة لكل nمن أو أيضا :العبارة " , P n حيث . n n0 " n n0 n صحيحة. .Bملحوظة: عند استعمال البرهان بالترجع نتبع المراحل التالية: .1 المرحلة :1 نتحقق بأن P n :صحيحة للرتبة األولى ( n n0أي P n صحيحة) .0المرحلة:2 نفترض بأن P(n) :صحيحة إلى الرتبة . n و هذا االفتراض يسمى معطيات الترجع . .0المرحلة:3 نبين أن :العالقة ) P(nصحيحة للرتبة . n 1 .Cمثال :بين بالترجع :لكل nمن ؛ 3تقسم n3 n ). Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/ األستاذ :بنموسى محمد ثانوية :عمر بن عبد العزيز المستوى 1 :علوم رياضية درس :مبادئ في المنطق الصفحة نتحقق أن :العالقة صحيحة ل . n 0لدينا 3تقسم 03 0 0 نفترض أن العالقة صحيحة إلى nأي 3تقسم n3 nهي صحيحة. نبين أن العالقة صحيحة ل . n 1أي 3تقسم n 1 3 n 1 المطلوب منك أن تبين ذلك. .Dالرمز .a . . و الرمز نرمز للمجموع التالي an : i n مثال 2n 2i : 1 i n a1 a2 a3 ب i a ويمكن استعمال jأو kبدل من . i i 1 ( . 2 4 6 المجموع متكون من nحدد ) i 1 i n مثال 2n 1 2i 1 : 2 ( . 1 3 5 المجموع متكون من n 1حدد ) i0 خاصيات : .1 k n k n j n j n k 0 k 0 j 0 j 0 j b j a j b j ak bk j n a j c a j nc .2 j 1 .b j n a . j 0 j n ( ألن المجموع متكون من nحدد مع cعدد تابة ) . j 1 . الرمز j n a نرمز للجداء التالي an : a1 a2 a3 ب مثال 2n 2k : 1 ( . 2 4 6 الجداء متكون من nعامل ) k n j ويمكن استعمال iأو kبدل من . i j 1 k 1 i n مثال 2n 1 2i 1 : 2 ( . 1 3 5 الجداء متكون من n 1عامل ) i 1 خاصيات : .3 k n k n j n j n k 0 k 0 j 0 j 0 j n .4 j .1 .2 j a . j 0 j n ca c a n .c بين أن : b j a j b j ak b k j n j j 1 ( ألن الجداء متكون من nعامل ل cمع cعدد تابة ) . j 1 تمارين : n n 1 i n 2 i 1 n i :1 2 3 n n 1 2n 1 i n 6 i 1 n2 i 2 * . n :12 22 32 n n 1 :1 2 3 n i .3 2 i 1 بعض الرموز ( حروف ) نستعملها في الرياضيات 2 i n 3 3 3 3 3 * * . n . n درس رقم Lien du site : http://benmoussamath1.jimdo.com/ علوم رياضية1 : عمر بن عبد العزيز المستوى: بنموسى محمد ثانوية:األستاذ درس رقم مبادئ في المنطق: درس الصفحة أو أو أو أو أو nu xi omicron pi rho sigma tau upsilon phi chi أو أو أو alpha beta gamma delta epsilon zeta eta theta iota kappa psi أو lambda omega mu
