La récurrence forte Principe : Le principe est le même que pour la récurrence « normale ». La seule différence est que l’on suppose que P k st vraie pour tous les entiers k compris entre 0 et n au sens large, alors que pour la récurrence normale, on considère seulement un entier naturel k (et pas tous les entiers naturels k compris entre 0 et n). Structure : Pour n , on définit une phrase P n . Vérifions que P 0 est vraie. On fait le calcul. Donc P 0 est vraie. On suppose que P k est vraie pour tous les entiers k compris entre 0 et n au sens large. Démontrons qu’alors P n 1 est vraie. On fait les calculs. On a démontré que P 0 est vraie et que si P k est vraie pour tous les entiers k compris entre 0 et n, alors P n 1 est également vraie. On en déduit que P n est vraie pour tout entier naturel n. Intérêt : Nous verrons l’intérêt d’une récurrence forte dans les exercices. Par exemple, dans l’exercice 1 , il est impossible de faire une récurrence simple. Exercices sur la récurrence forte 1 Soit un la suite définie sur par son premier terme u0 1 et la relation de récurrence un1 1 u02 u12 un 2 n 1 pour tout entier naturel n. Tous les termes de cette suite sont-ils des entiers naturels ? Solution : Calcul des premiers termes u1 , u2 , … u1 1 1 u0 2 1 1 0 1 1 1 u2 12 12 1 2 u3 1 … Conjecture : Tous les termes de la suite sont égaux à 1 (et donc tous les termes de la suite sont des entiers). On effectue une récurrence forte. Pour n , on définit la phrase P n : « un 1 ». Vérifions que P 0 est vraie. u0 1 Donc P 0 est vraie Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 fixé. On suppose que P k est vraie pour tous les entiers k compris entre 0 et n au sens large. 7Démontrons qu’alors P n 1 est vraie c’est-à-dire un1 1 . un1 1 u02 u12 un 2 n 1 n 1 un1 n 1 uk 2 k 0 un1 1 n 1 n 1 un1 1 On a démontré que P 0 est vraie et que si P k est vraie pour tous les entiers k compris entre 0 et n, alors P n 1 est également vraie. On en déduit que P n est vraie pour tout entier naturel n. Donc un 1 quel que soit n . n 2 Soit un la suite définie sur par son premier terme u0 1 et la relation de récurrence un1 k 0 tout entier naturel n. Exprimer le terme général en fonction de n. Solution : Calcul des premiers termes u1 , u2 , … u1 1 u2 2 u3 4 On conjecture que un 2n 1 pour tout entier naturel n 1 . u4 8 u5 16 uk pour Démontrons que n * un 2n 1 . Pour n * , on définit la phrase P n : « un 2n 1 ». Vérifions que P 1 est vraie. D’une part, u1 u0 1 . D’autre part, 211 20 1 . On a bien u1 211 et par conséquent, la phrase P 1 est vraie Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 fixé. On suppose que P k est vraie pour tous les entiers k compris entre 1 et n au sens large. Démontrons qu’alors P n 1 est vraie c’est-à-dire un1 2n . n un1 uk k 0 n un1 u0 uk k 1 0 n 1 un1 1 2 21 ... 2 un1 1 2n 1 2 1 2n 1 un1 1 2 1 On a démontré que P 1 est vraie et que si P k est vraie pour tous les entiers k compris entre 1 et n, alors P n 1 est également vraie. On en déduit que P n est vraie pour tout entier naturel n 1 . Donc un 2n 1 quel que soit n * .