APPROXIMATION DE FONCTIONS D´
ERIVABLES PAR UNE
FONCTION POLYNOMIALE
D´efinition 1. Soit IRun intervalle ouvert et soit f:IRune fonction.
(1) Si fest continue, on dit que fest de classe C0.
(2) Si fest d´erivable et si f0est continue sur I, on dit que fest de classe C1.
(3) Si fest d´erivable et si f0est d´erivable, on note f00 ou f(2) sa d´eriv´ee. Si f(2)
est continue, on dit que fest de classe C2.
(4) Plus g´en´eralement, pour tout N, si on peut d´eriver nfois la fonction f, et
si la d´eriv´ee n-i`eme, not´ee f(n), est continue, alors on dit que fest de classe
Cn.
(5) Si fest de classe Cnpour tout nN, alors fest infiniment d´erivable, on dit
que fest de classe C.
Exemple 2.
(1) La fonction fd´efinie sur Rpar f(x) = x2est Csur R.
(2) Soit fla fonction d´efinie sur Rpar f(x) = x4, on a pour tout xR:
f0(x) = 4x3, f00(x) = 12x2, f (3)(x) = 24x, f (4)(x)24, f (5)(x)0,
d’o`u :f(n)(x) = 0 pour tout xR.
(3) Plus g´en´eralement, pour tout nN, la fonction f:RRd´efinie par
f(x) = xnest de classe Cet nous avons f(k)(x) = 0 pour tout entier
kn+ 1.
(4) les fonctions sin x, cos x, ex,cosh x, sinh xsont de classe Csur R.
(5) La fonction log xest de classe Csur ]0,+[.
(6) la fonction f(x) = x.|x|est de classe C2sur Ret C1sur R.
Nous aurons besoin du r´esultat technique suivant.
Lemme 3. Soit IRun intervalle ouvert, soit bIet soit f:IRune fonction
de classe Cn+1,nN. On consid`ere la fonction g:IRd´efinie en posant :
g(x) = f(b)f(x)
n
X
k=1
(bx)k
k!f(k)(x)
=f(b)f(x)bx
1! f0(x)(bx)2
2! f(2)(x)− · · · − (bx)n
n!f(n)(x).
Dans ces conditions, la fonction gest d´erivable sur Iet nous avons :
g0(x) = (bx)n
n!f(n+1)(x),
1
2 APPROXIMATION DE FONCTIONS D´
ERIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE
pour tout xI.
Preuve
Puisque fest (n+ 1) fois d´erivable, les fonctions f0,· · · , f(n)sont d´erivables. De
ce fait gest compos´ee de sommes et de produits de fonctions d´erivables sur I. Par
cons´equent, gest d´erivable sur I. Pour tout xInous avons :
g0(x) = f0(x)
n
X
k=1 µ((bx)k)0
k!f(k)(x) + (bx)k
k!(f(k)(x))0
=f0(x)
n
X
k=1
k(1)(bx)k1
k!f(k)(x)
n
X
k=1
(bx)k
k!f(k+1)(x)
=f0(x) +
n
X
k=1
(bx)k1
(k1)! f(k)(x)
n
X
k=1
(bx)k
k!f(k+1)(x).
Dans la premi`ere somme, posons p=k1, nous avons :
g0(x) = f0(x) +
n1
X
p=0
(bx)p
p!f(p+1)(x)
n
X
k=1
(bx)k
k!f(k+1)(x).
Enfin, dans la deuxi`eme somme appelons pla variable, c’est `a dire posons k=p.
Nous avons donc :
g0(x) = f0(x) +
n1
X
p=0
(bx)p
p!f(p+1)(x)
n
X
p=1
(bx)p
p!f(p+1)(x)
=f0(x) + f0(x)(bx)n
n!f(n+1)(x)
=(bx)n
n!f(n+1)(x),
ce qui termine la preuve. ¤
Nous d´eduisons le r´esultat important :
Th´eor`eme 4. (Formule de Taylor-Lagrange)
Soit IRun intervalle ouvert, soit nN, soit f:IRune fonction de classe
Cn+1. Soient a, b Itels que a6=b.
Dans ces conditions, il existe au moins un r´eel c, strictement compris entre aet b,
tel que :
f(b) = f(a) + f0(a)
1! (ba) + f(2)(a)
2! (ba)2+· · · +f(n)(a)
n!(ba)n+f(n+1)(c)
(n+ 1)! (ba)n+1
=
n
X
k=0
f(k)(a)
k!(ba)k+f(n+1)(c)
(n+ 1)! (ba)n+1.
(1)
Cette formule est appel´ee la formule de Taylor-Lagrange `a l’ordre nau point a.
APPROXIMATION DE FONCTIONS D´
ERIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE 3
Preuve
Reprenons la fonction gdu lemme 3 :
g(x) = f(b)f(x)
n
X
k=1
(bx)k
k!f(k)(x), x I.
Nous avons :
g(b) = 0 et g(a) = f(b)f(a)f0(a)(ba)f(2)(a)
2! (ba)2− · · · − f(n)(a)
n!(ba)n.
Posons :
h(x) := g(x)g(a)(bx)n+1
(ba)n+1 , x I
La fonction hest d´erivable sur I. De plus :
h(a) = g(a)g(a)(ba)n+1
(ba)n+1 = 0 et h(b) = g(b) = 0.
Nous pouvons de ce fait appliquer le th´eor`eme de Rolle `a la fonction hentre aet b:
il existe un r´eel cstrictement compris entre aet btel que :
h0(c) = 0.
Par ailleurs, nous avons :
h0(c) = g0(c)g(a)(n+ 1)(1) (bc)n
(ba)n+1
=g0(c)+(n+ 1)g(a)(bc)n
(ba)n+1
=(bc)n
n!f(n+1)(c)+(n+ 1)g(a)(bc)n
(ba)n+1 .
Comme h0(c) = 0 nous avons donc
(n+ 1)
(ba)n+1 g(a)fn+1(c)
n!= 0,
c’est `a dire :
g(a)(ba)n+1
(n+ 1)! fn+1(c) = 0.
En rempla¸cant g(a) par son expression nous obtenons :
f(b)f(a)f0(a)
1! (ba)+f(2)(a)
2! (ba)2−· · ·−f(n)(a)
n!(ba)nf(n+1)(c)
(n+ 1)! (ba)n+1 = 0,
ce qui termine la preuve. ¤
4 APPROXIMATION DE FONCTIONS D´
ERIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE
Corollaire 5. Reprenons les hypoth`eses et les notations de la formule de Taylor-
Lagrange. Supposons que 0I. Nous avons :
(1) Pour tout xI, il existe un r´eel cxstrictement entre 0et xtel que :
f(x) = f(0) + f0(0)x+f(2)(0)
2! x2+· · · +f(n)(0)
n!xn+f(n+1)(cx)
(n+ 1)! xn+1.(2)
(2) Si il existe M > 0tel que |f(n+1)(x)| ≤ Mpour tout xI, alors nous avons
pour tout xI:
¯
¯f(x)(f(0) + f0(0)x+f(2)(0)
2! x2+· · · +f(n)(0)
n!xn)¯
¯M|x|n+1
(n+ 1)!·(3)
Preuve
Pour (2), on applique la formule de Taylor-Lagrange en posant a= 0 et b=x.
Pour (3), on applique (2), de ce fait, pour tout xI, il existe un r´eel cxstrictement
entre 0 et xtel que :
¯
¯f(x)(f(0) + f0(0)x+f(2)(0)
2! x2+···+f(n)(0)
n!xn)¯
¯=|f(n+1)(cx)||x|n+1
(n+ 1)!.
Comme nous avons par hypoth`ese |f(n+1)(cx)| ≤ M, on obtient l’in´egalit´e (3), ce qui
termine la preuve. ¤
Exemple 6.
(1) Appliquer la formule de Taylor-Lagrange `a la fonction f(x) = ex, x R, au
point 0et `a l’ordre 4.
La fonction fest de classe C5(en fait infiniment d´erivable) sur R, de plus :
(ex)(k)=ex,pour tout xRet tout kN.
En particulier :
(ex)(k)(0) = 1,kN,
ainsi, pour tout xR, il existe un r´eel cxstrictement entre 0 et xtel que :
ex= 1 + x+x2
2! +x3
3! +x4
4! +ecxx5
5! .
(2) Appliquer la formule de Taylor-Lagrange `a la fonction f(x) = sin x, x R,
au point 0, `a l’ordre 3.
La fonction sin xest de classe C4sur R(en fait infiniment d´erivable) et
nous avons pour tout xR:
sin0(x) = cos x, sin(2) x=sin x, sin(3) x=cos x, sin(4) x= sin x.
APPROXIMATION DE FONCTIONS D´
ERIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE 5
Ainsi, pour tout xR, il existe un r´eel cxstrictement compris entre 0 et x
tel que :
sin x= sin 0 + (cos 0)x+ (sin 0)x2
2! + (cos 0)x3
3! + sin cx
x4
4!
=xx3
3! + sin cx
x4
4! .
(3) Appliquer la formule de Taylor-Lagrange `a la fonction f(x) = tan x,
x]π/2, π/2[ au point 0, `a l’ordre 3.
La fonction tan xest de classe C4sur ]π/2, π/2[ et nous avons pour tout
x]π/2, π/2[,tan0x= 1 + tan2x,. Ce qui nous donne :
tan(2) x= 2 tan x+ 2 tan3x
tan(3) x= 2(1 + tan2x) + 6 tan2x(1 + tan2x) = 2 + 8 tan2x+ 6 tan4x
tan(4) x= 16 tan x+ 40 tan3x+ 24 tan5x.
Ainsi, pour tout x]π/2, π/2[, x 6= 0, il existe un r´eel cxentre 0 et xtel
que :
tan x=x+x3
3+ (16 tan cx+ 40 tan3cx+ 24 tan5cx)x4
4! .
Nous allons voir qu’il existe une autre mani`ere d’approximer une fonction d´erivable
par une fonction polynomiale.
Th´eor`eme 7. Soit IRun intervalle ouvert, soit aIet soit f:IRune
fonction de classe Cn,nN.
Dans ces conditions, il existe une fonction ρ:IRcontinue telle que :
lim
xaρ(x) = 0,(4)
and
f(x) = f(a)+f0(a)(xa)+ f(2)(a)
2! (xa)2+· · ·+f(n)(a)
n!(xa)n+(xa)nρ(x).(5)
La formule (5) s’appelle le eveloppement limit´e de f`a l’ordre nau point a.
Preuve
Nous ferons une d´emonstration par r´ecurrence sur nN.
Premi`ere ´etape : Lorsque n= 1, on pose :
ρ(x) = f(x)f(a)
xaf0(a).
Comme fest de classe C1, on a bien limxaρ(x) = f0(a)f0(a) = 0. De plus :
f(x) = f(a) + f0(a)(xa)+(xa)ρ(x).
De ce fait, les conditions (4) et (5) sont satisfaites pour n= 1.
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