tchebychev

Polynômes de Tchebychev
Sommaire
I
Polynômes de Tchebychev de première espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
III
Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
I-2)
Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Polynômes de Tchebychev de seconde espèce
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
II-1) Définition, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
II-2) Relation avec les Tn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Quelques mots sur les polynômes orthogonaux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
j
Figure 1.1: Vous avez dit Tchernobyl?
I
Polynômes de Tchebychev de première espèce
I-1)
1
I-1)
Premières propriétés
Proposition 1. Existence et unicité des polynômes de Tchebychev.
Soit n un entier naturel; il existe un polynôme P ∈ R [X] tel que:
∀t ∈ R, cos nt = P (cos t)
Un tel polynôme P est unique et est noté Tn .
Preuve. Pour l’existence, on procède par le calcul qui suit:
∀t ∈ R,
eint
n
= (cos t + i sin t)
n X
n
=
cosk (t) in−k sinn−k (t)
k
k=0
1
5
C. Ferry, MP * 1, lycée Thiers, mathématiques
POLYNÔMES DE TCHEBYCHEV
d’où, sachant que cos nt = < eint :
bn/2c ∀t ∈ R, cos nt =
X
k=0
k
n
k
cosn−2k (t) × (−1) 1 − cos2 t
2k
ainsi, le polynôme P qui suit convient:
bn/2c P =
X
k=0
k
n
X n−2k X 2 − 1
2k
Pour l’unicité, il suffit de se rendre compte que deux polynômes qui conviendraient coı̈ncideraient sur
[−1; 1] qui est une partie infinie de R. Ainsi, les deux polynômes seraient égaux.
Proposition 2. Relation de récurrence vérifiée par les polynômes de Tchebychev.
Soit n ∈ N; on a alors
∀t ∈ R, cos nt + cos (n + 2) t = 2 cos ((n + 1) t) cos t
ce qui entraı̂ne immédiatement la relation de récurrence vérifiée par (Tn )n∈N :
∀n ∈ N, Tn+2 = 2XTn+1 − Tn
On peut ainsi donner les quelques premiers polynômes de Tchebychev: T0 = 1, T1 = X, T2 = 2X 2 − 1,
T3 = 4X 3 − 3X.
On remarque que si n est impair, Tn (0) = 0; sinon, Tn (0) = (−1)
n/2
. Dans tous les cas, Tn (1) = 1 (si
t ≡ 0 mod 2π, alors nt ≡ 0 mod 2π aussi...).
Le terme dominant de Tn est: 2n−1 X (s’obtient plus facilement avec la relation de récurrence qu’avec le
développement explicite de la somme de la proposition 1!).
n
Pour ce qui est de la parité, Tn (−X) = (−1) Tn (X) (il est aisé de le vérifier sur [−1; 1]: quand deux
cosinus sont-ils opposés?).
On a aussi Tn0 (1) = n2 (obtenu en dérivant Tn (cos t)).
I-2)
Variations
Exemple 1. Le tracé de deux polynômes de Tchebychev, fait avec Python.
Tn pour n =6
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
0.5
0.5
1.0
1.0
0.5
0.0
Tn pour n =7
1.0
0.5
1.0
1.0
1.0
Figure 1.2: T6 et T7
2
0.5
0.0
0.5
1.0
C. Ferry, MP * 1, lycée Thiers, mathématiques
POLYNÔMES DE TCHEBYCHEV
Le code ayant permis de générer ça:
1
2
3
4
5
6
#!/usr/bin/env python2
# encoding: UTF-8
from operator import mul
from fractions import Fraction
import matplotlib.pyplot as libplot
import numpy as np
7
8
t = np.arange(-1.0, 1.0, 0.0001)
9
10
11
12
# Combinaison bin^
omiale (existe peut e
^tre déjà en python...)
def nCk(n,k):
return int( reduce(mul, (Fraction(n-i, i+1) for i in range(k)), 1) )
13
14
15
16
# Polyn^
ome de Tchebychev défini de manière explicite (pas de relation de récurrence)
def tchebychev(n, x):
return np.sum([ (nCk(n, 2*k) * x ** (n - 2*k) * (x**2 - 1) ** k) for k in range(0,(n/2)+1) ])
17
18
19
20
21
22
23
24
# Fonction de dessin
def drawTchebychev(n):
T = [tchebychev(n,i) for i in t]
libplot.plot(t,T, "-", color=’black’)
libplot.title(u’$T_n$ pour $n=’+str(n)+’$’, fontsize=20)
libplot.grid(True)
libplot.show()
25
26
27
28
# Les polyn^
omes aux rangs 6, 7
drawTchebychev(6)
drawTchebychev(7)
Un petit exercice de topologie classique, pour introduire la topologie sur les polynômes (et ceux de Tchebychev en particulier):
Exercice 1. Soit E un EVNa de dimension finie, de corps de base K, F un fermé non vide de E. Soit
également a ∈ E.
Alors il existe b ∈ F tel que ka − bk = d (a, F ) (autrement dit, la distance est atteinte).
a
espace vectoriel normé; on notera la norme introduite k k, et la distance associée d (x, y)
Preuve. Soit b0 ∈ F , r = kb0 − ak, K = B (a, r) ∩ F .
K est compact (l’intersection d’un compact et d’un fermé, reste fermée, et est bornée; or, un fermé borné
dans un compact est compact). Ainsi, l’application ϕ : K → K, x 7→ ka − xk atteint un minimum en un point
b1 (non nécessairement unique!). Prenons un tel b1 : alors ∀x ∈ K, ka − xk > ka − b1 k .
De plus, pour tout x ∈ F \K, ka − xk > r = ka − b0 k > ka − b1 k car b0 ∈ K.
Ainsi, pout tout x ∈ F , ka − xk > ka − b1 k: on a trouvé le b recherché, c’est b1 .
Proposition 3. Soit n ∈ N∗ . Soit E = Rn [X], F = Rn−1 [X] (fermé dans E, non vide).
Posons a = X n , et posons la norme qui suit sur E: kP k =
sup |P (x)|.
x∈[−1;1]
Il existe P ∈ F tel que ka − P k = d (a, F ) d’après l’exercice qui précède. Montrons-en davantage! Par
1
exemple, que d (a, F ) = n−1 .
2
Preuve.
Nous noterons Tn = 2n−1 (X n − Qn ) avec Qn ∈ Rn−1 [X] = F d’après les petites propriétés vues
(cf. le coefficient dominant).
Soit Q ∈ F .
Raisonnons par l’absurde: supposons que kX n − Qk 6 kX n − Qn k soit 2n−1 (X n − Q) 6 kTn k = 1
(en effet sup |Tn | = 1, voyez les graphes plus haut et la propriété fondamentale vérifiée sur [−1; 1] par les Tj
[−1;1]
pour tout j...). Nommons Pn = 2n−1 (X n − Q).
3
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POLYNÔMES DE TCHEBYCHEV
On sait que l’on a Pn = 2n−1 X n + A, A ∈ F , puisque Q est de degré n − 1 au plus. Ainsi, on a
deg (Tn − Pn ) 6 n − 1 (les 2n−1 X n se compensent; le reste, on ne sait pas vraiment, mais ça n’importe pas).
Sachant que kPn k 6 1 (par hypothèse), on aura qu’aux n+1 points x de [−1; 1] où |Tn (x)| = 1, (Tn − Pn ) (x)
est du signe de Tn (x).
Ceci entraı̂ne que Tn − Pn a au moins n racines, ce qui est impossible car deg (Tn − Pn ) 6 n − 1. La
contradiction souhaitée est établie!
II
Polynômes de Tchebychev de seconde espèce
II-1)
Définition, propriétés
On pose les polynômes de Tchebychev de seconde espèce de la manière suivante:
Proposition 4. Les polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont une famille de polynômes vérifiant la
relation
∀t ∈ R, Un (cos t) =
sin (n + 1) t
sin t
Ces polynômes, en plus d’exister et de faire l’objet d’un paragraphe ici, sont uniques.
Preuve. On démontre leur existence par récurrence à deux termes sur n.
Les polynômes U0 = 1, U1 = 2X conviennent: pour tout t ∈ R\πZ, pour n = 0,
sin (n + 1) t
sin t
=
= 1;
sin t
sin t
sin (n + 1) t
2 sin t cos t
=
= 2 cos t.
sin t
sin t
On va maintenant donner une relation de récurrence vérifiée par les Un : soit n ∈ N; supposons que Un et
pour n = 1,
Un+1 sont définis. Alors:
∀t ∈ R,
Un+2 (cos t) + Un (cos t)
sin (n + 3) t + sin (n + 1) t
sin t
2 sin (n + 2) t cos t
=
sin t
sin (n + 2) t
= 2 cos t
sin t
= 2 cos tUn+1 (cos t)
=
ce qui donne la relation:
∀n ∈ N, Un+2 = 2XUn+1 − Un
Ainsi, par récurrence, on peut définir la suite (Un )n∈N de polynômes de Tchebychev de seconde espèce,
l’unicité de cette suite étant assurée par le fait que deux polynômes qui conviendraient seraient égaux sur
] − 1; 1[ qui est une partie infinie de R.
II-2)
Relation avec les Tn
On a constaté que les Un vérifient la même relation de récurrence que les Tn . Mais ils vérifient davantage:
calculons à cet effet Tn0 :
∀n ∈ N∗ , ∀t ∈ R, sin tTn0 (cos t) = n sin nt
1 0
sin nt
⇔
T (cos t) =
n n
sin t
1 0
⇔
T
= Un−1
n n
On aurait donc aussi pu définir les Un de cette façon, au lieu de rechercher la relation de récurrence qu’ils
vérifient.
4
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POLYNÔMES DE TCHEBYCHEV
Cette expression permet néanmoins de donner une formulation explicite des Un :
1
∀n ∈ N, Un =
T0
n + 1 n+1
=
=
=
1
n+1
1
n+1
1
n+1
bn+1/2c k
k−1 i
n+1 h
(n + 1 − 2k) X n−2k X 2 − 1 + X n+1−2k × 2kX X 2 − 1
2k
X
k=0
bn+1/2c k−1 n+1
X n−2k X 2 − 1
(n + 1 − 2k) X 2 − 1 + X × 2kX
2k
X
k=0
bn+1/2c k−1 n+1
X n−2k X 2 − 1
(n + 1) X 2 − n − 1 + 2k
2k
X
k=0
C’est une expression compliquée qui peut néanmoins être bien simplifiée.
III
Quelques mots sur les polynômes orthogonaux
Les polynômes de Tchebychev, quelle que soit l’espèce, constituent des familles de polynômes orthogonaux.
Un petit lemme préliminaire:
Lemme 1. Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n, soit a ∈ E. Il existe une unique forme linéaire
ϕa sur E telle que: pour tout x ∈ E, ϕa (x) = ha|xi.
i : E → E∗
Preuve.
Soit
a 7→
!
ϕa : E → R
. i est linéaire (se prouve sans mal); par ailleurs, i est injective car
x 7→ ha|xi
ker i = {a ∈ E/∀x ∈ E, ha|xi = 0} = {0}.
E et E ∗ sont tous deux de dimension n, donc i est bijective.
Définition 1. Produit scalaire pour des polynômes orthogonaux.
On pose le produit scalaire qui suit sur E = R [X] (qui s’applique aussi aux fonctions continues de carré
intégrable):
soient w ∈ C 0 I, R+ une fonction non nulle, I = [−1; 1], pour donner le produit scalaire hf |gi =
ˆ
f gw.
I
Remarque 1. C’est bien un produit scalaire1 :
ˆ
ˆ
• il est symétrique (sans problème,
f gw = gf w)
I
ˆ
I
f 2 w > 0 cf. cours sur l’intégration.
• il est défini positif: si f 6= 0, hf |f i =
I
• il est bilinéaire: la malice d’avoir
que l’on ˆn’a qu’un seul
ˆ 1 prouvé d’abordˆla1 symétrie ˆfait
ˆ 1 côté à vérifier.
1
1
Si g est fixé, f, h ∈ E, λ ∈ R,
(λf + h) gw =
λf gw +
hgw = λ
f gw +
hgw.
−1
Remarque 2.
−1
−1
−1
−1
On peut construire, par récurrence sur k, une base orthonormée de Ek = Rk [X] à base de
polynômes orthogonaux: w est fixé.
k
Sachant que Ek−1 est un hyperplan de Ek , on pose D
k tel que Ek = Dk ⊕ Ek−1 . On a X ∈ Dk ; on
P de degré k
k
. Un tel Pk existe et
peut alors dire que Dk = vect X k . On pose alors Pk :
kP k = 1 et P |X k = 1
k
k
est unique (cf. lemme qui précède, on utilise la bijection réciproque). C’est, en quelques sortes, une forme
d’orthonormalisation de Gram-Schmidt...
Pk est de degré k (la famille (Pj )j∈N est à degrés échelonnés donc libre...); le coefficient dominant de Pk
1
. Le lecteur aura soin de vérifier que si a 6= b, hPa |Pb i = 0, et que par conséquent, pour tout
est
hPk |X k i
P ∈ Rk−1 [X], hPk |P i = 0.
1
forme bilinéaire symétrique définie positive
5
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POLYNÔMES DE TCHEBYCHEV
Question: pourquoi n’avoir pas choisi la famille X k
quel que soit w? La réponse est simple: celle-ci
n’est pas orthonormée (ni même orthogonale) pour tout w ∈ C 0 I, R+ . On calcule facilement que si w = 1,
ˆ 1
p+q+1
1 − (−1)
hX p |X q i =
xp+q dx =
, non nul si p + q est pair.
p+q+1
−1
k∈N
Proposition 5. Application aux polynômes de Tchebychev.
Les polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont une famille de polynômes orthogonaux avec w : t 7→
p
1 − t2 et I = [−1; 1].
Ceux de première espèce le sont pour I = [−1; 1] et w : t 7→ √
1
(on prendra soin de bien justifier que
1 − t2
ça fonctionne, puisque w n’est pas définie en 1 et -1...).
Preuve. Pour la seconde espèce:
ˆ
Si p, q ∈ N, alors hUp |Uq i =
1
Up (t) Uq (t)
p
1 − t2 dt. Il est naturel de faire le changement de variable:
−1
t = cos u, pour pouvoir exprimer facilement Up , Uq et se débarrasser de la racine (faire d’une pierre trois coups!).
Cela donne:
ˆ
0
Up (cos u) Uq (cos u) × − |sin u| sin udu
hUp |Uq i =
−π
ˆ
0
sin [(p + 1) u] sin [(q + 1) u]
sin2 udu
sin2 u
= −
−π
0
ˆ
= −
sin [(p + 1) u] sin [(q + 1) u] du
−π
1
= −
2

0
=
π
2
ˆ
0
(cos [(p + q + 2) u] − cos [(p − q) u]) du
−π
si p 6= q
si p = q
On vient de prouver l’orthogonalité, mais on remarque au passage que la famille des polynômes de Tchebychev de seconde espèce n’est pas de norme 1...
Pour la première espèce: on effectue le même changement de variable, ce qui donne:
ˆ
hTp |Tq i =
0
−
Tp (cos u) Tq (cos u)
−π
0
ˆ
=
−
sin u
du
sin u
cos pu cos qudu
−π
=
=
1
−
2

0
π
2
ˆ
0
(cos (p + q) u + cos (p − q) u) du
−π
si p 6= q
si p = q
6