Vibrations Des Structures Chapitre 1 Vibrations des structures Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Chapitre 1 VIBRATIONS des systèmes Réductibles à 1 Degré de Liberté : Vibrations forcées Expérimentations Conclusions AB 2013 Par Alain BLAISE [email protected] VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Sollicitations Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 2 2 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Sollicitations Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Origines des Sollicitations Aérohydrodynamiques Mécaniques Acoustiques Non amorties Amorties Chimiques Vibrations Forcées Électriques Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Nature des Sollicitations Déterministes Non Déterministes : Aléatoires 3 3 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Sollicitations Déterministes Vibrations Des Structures Chapitre Sollicitation à durée finie & Déplacement imposé Sollicitation harmonique 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Sollicitation périodique : Écoulement autour d'une structure Expérimentations Conclusions AB 2013 4 4 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Sollicitations Aléatoires Vibrations Des Structures Chapitre Sollicitation par Écoulement Turbulent autour d'une structure 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 5 5 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Introduction Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Question Ouverte Lorsque plusieurs actions sollicitent une structure, existe t il un critère : - de classification ou - de tri des Sollicitations ? Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 6 6 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Excitations harmoniques Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 7 7 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Sollicitations Harmoniques : F (t ) = F0 (ω ).e jω t Sollicitations Périodiques : F (t ) telle que : F(t+T)=F(t) Sollicitations à durée finie : si t < 0 : F (t ) = 0 F (t ) : si 0 ≤ t ≤ t1 : F (t ) ≠ 0 si t1 ≤ t < ∞ : F (t ) = 0 Sollicitations par déplacements imposés : Conclusions AB 2013 Sollicitations des machines tournantes : 8 8 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Sollicitations Harmoniques Vibrations Des Structures Chapitre Solutions générales de : 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions Système linéaire : Principe de superposition x(t ) = x1g (ω 0 ) + x2 p (t ) Solution générale de l'équation sans second membre ou règime transitoire Solution particulière ou régime permanent 9 9 AB 2013 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Sollicitations Harmoniques Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Solution transitoire η=0 M .&&x1g (t ) + λ .x&1g (t ) + K .x1g (t ) = 0 avec x (t = 0) = x x& (t = 0) = x& 0 1g 0 1g Réponse vibratoire du Modèle 1DL A Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 − ω 0ε t x(t ) = e ( x0 .cos(ω 0 1 − ε .t ) + 2 x&0 + ω 0ε .x0 ω 0. 1− ε 2 sin(ω 0 1 − ε .t)) 2 10 10 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Sollicitations Harmoniques Vibrations Des Structures Chapitre 1 Solution permanente η=0 jω t && & M .x2 p (t ) + λ .x2 p (t ) + K .x2 p (t ) = F0 (ω ).e x2 p (t ) = x2 p (ω ).e jωt Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 x&2 p (t ) = j.ω.x2 p (ω ).e jω t && x2 p (t ) = −ω 2 .x2 p (ω ).e jω t jω t M(− ω + 2 jε ω 0ω + ω ) x2 p (ω ).e = F0 (ω ).e 2 2 0 jω t K(− + 2 jε + 1) x2 p (ω ) = F0 (ω ) ω2 ω 02 ω ω0 x2 p (ω ) = x2 p (ω ) .e jφ 11 11 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Sollicitations Harmoniques Vibrations Des Structures Chapitre 1− F0 (ω ) x2 p (ω ) = . K ((1 − 1 ω2 ω 02 ) + 4ε ω2 2 ω 02 Vibrations Libres x2 p (ω ) = Non amorties Amorties Vibrations Forcées F0 (ω ) K Harmoniques Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ω ω0 2 ω2 ω 02 ) x2 p (ω ) = x2 p (ω ) .e jφ (ω ) Spectre d'amplitude en module de la réponse forcée Introduction Périodiques Durée finie − 2 jε B= F0 (ω ) K Déplacement sous charge STATIQUE Équivalente Définitions 1 . 2 ω 2 12 ω2 2 ((1 − ω 2 ) + 4ε ω 2 ) 0 a (α = ω ω0 0 α = α (ω / ω 0 ) 1 )= 2 2 2 2 12 ((1 − α ) + 4ε α ) Coefficient d'amplification VIBRATOIRE Définitions 12 12 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Sollicitations Harmoniques Vibrations Des Structures Chapitre Spectre de phase de la réponse forcée 1 tg(φ Introduction Vibrations Libres Vibrations Forcées Expérimentations Conclusions AB 2013 ω2 ω 02 ) Définitions Harmoniques Approximation de Rayleigh (1 − ω ω0 Déphasage entre sollicitation Et réponse vibratoire Non amorties Amorties Périodiques Durée finie )= (ω ) − 2ε EFFET CAUSE F0 (ω ) 0 Principe de t CAUSALITE x2 p (ω ) = x2 p (ω ) .e En Retard jφ 13 13 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Réponse vibratoire temporelle Chapitre − ε ω 0t [ A sin(ω a t ) + B cos(ω a t )] permanent + C sin(ω t ) + D cos(ω t ) x (t ) = e Vibrations Des Structures 1 Transitoire α=1 (Résonance) Introduction α=0.5 50 Vibrations Libres Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 30 Déplacement x(t) Vibrations Forcées α=2.0 40 Non amorties Amorties ε= 0.05 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 0.00 1.00 2.00 3.00 t en s 4.00 14 14 5.00 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Spectre d'amplitude vibratoire Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties 40 a = a (ω / ω 0 ) ε =0.01 ε =0.1 30 en dB ε =0.3 Justification de l’étude 20 vibratoire B.P. à -3 dB a ( ω ω 0 ) en dB 10 ∆ω ω Harmoniques Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ε =0.5 ε =1 Vibrations Forcées Périodiques Durée finie a = a (ω ) Coefficient d'amplification VIBRATOIRE 0 ε 0 K -10 ε Maximum d'amplitude Résonance d’amplitude -20 α ra = 0ω ra ω 0 M 0.5 α = ω ω 1 1.5 0 15 15 2 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Résonance d'amplitude Vibrations Des Structures Chapitre A charge constante F0 (ω ) = F0 α = α (ω / ω 0 ) 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées d x2 K d ÷= dα F0 dα Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 α max ω ra = = ω0 ÷ = 0⇒ (1 − α 2 ) 2 + (2ε α ) 2 ÷ 1 1 − 2ε 2 < 1⇒ ε < 1/ x2 (α max ) K 1 = ÷ F0 max 2ε 1 − ε 2 2 16 16 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Résonance d'amplitude Influence de l'amortissement sur la Fréquence de résonance d'amplitude forcée Vibrations Des Structures Chapitre 1 1 αmax Introduction 0.8 0.6 Vibrations Libres Non amorties Amorties 0.4 Vibrations Forcées Harmoniques 0.2 Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 0 0 Encore un majorant ω ra ≈ ω 0 si ε = 1 si ε > 0.2 0.4 0.6 ε ≤ 0.8 ε 2 2 2 2 Alors il n'y a plus de pic de résonance 17 17 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Réponse Vibratoire fréquentielle Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Influence de l'amortissement sur le Maximum d'amplitude forcée x2 K (dB) F0 30 25 20 15 10 5 0 0 x2 K 1 x2 .K 1 si ε ≈= 1 si ε≈ = 1 F0 2ε F0 2ε 0.2 0.4 0.6 0.8 ε 18 18 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Spectre d'amplitude zones fréquentielles Vibrations Des Structures Chapitre x2 p (ω ) = 1 Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Zone 1 : ω =ω 0 Zone 2 : ω ≈ ω Zone 3 : ω ?ω 0 Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh K 1 . 2 ω 2 12 ω2 2 ((1 − ω 2 ) + 4ε ω 2 ) 0 0 3 Zones de fréquences Introduction Vibrations Libres F0 (ω ) 0 QUASI STATIQUE RESONANCE d' AMPLITUDE Expérimentations Conclusions AB 2013 19 19 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Maîtrises & solutions de la réponse fréquentielle Vibrations Des Structures Chapitre Actions sur les SOLLICITATIONS 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 20 20 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Spectre d'amplitude zones fréquentielles Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Zone 1 : ω =ω 0 Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 gouvernée par la sollicitation gouvernée par la raideur 21 21 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Maîtrises & solutions de la réponse fréquentielle Actions sur la RAIDEUR Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres K Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ω < ω0 ω0 22 22 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Spectre d'amplitude zones fréquentielles Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées x2 p (ω ) = F0 (ω ) 1 . 2 2 2 ω 2 12 ω K ((1 − ω 2 ) + 4ε ω 2 ) 0 Zone 2 : 0 ω ≈ ω0 x20 → F0 (λ .ω 0 ) Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 gouvernée par la sollicitation gouvernée par l'amortissement & la résonance 23 23 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Maîtrises & solutions de la réponse fréquentielle Vibrations Des Structures Chapitre Actions sur l'amortissement 1 Introduction ε Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ω = ω0 24 24 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Maîtrises & solutions de la réponse fréquentielle Actions sur la RESONANCE Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie M Approximation de Rayleigh K Expérimentations Conclusions AB 2013 ω ' 0 ω = ω0 ω ' 0 25 25 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Spectre d'amplitude zones fréquentielles Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées F0 (ω ) 1 x2 p (ω ) = . ω2 2 2 ω2 1 K ((1 − ω 2 ) + 4ε ω 2 ) 2 0 Zone 3 : 0 ω ?ω 0 x20 → F0 ( M .ω ) 2 Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh gouvernée par la sollicitation gouvernée par la masse Expérimentations Conclusions AB 2013 26 26 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Maîtrises & solutions de la réponse fréquentielle Vibrations Des Structures Chapitre Actions sur la MASSE 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties W Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ω 0 ω > ω0 27 27 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Spectre d'amplitude limite de MODELE Vibrations Des Structures Chapitre ATTENTION à la limite du modèle à 1DL : 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Zone 1 Zone 3 Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 f Au delà de la zone 3 il existe d'autres fréquences de résonances le système réel en possédant une infinité Question OUVERTE Quelle est l'utilité de ce modèle à 1DL ? 28 28 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Maîtrises & solutions de la réponse fréquentielle Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh IDENTIFICATIONS des PARAMETRES Gouvernants la réponse vibratoire : Fo K ε M Moyens de manipulation de la réponse vibratoire : - Réduction des niveaux vibratoires Toujours se préoccuper des sollicitations en premier - Augmentation des niveaux vibratoires Expérimentations Conclusions AB 2013 29 29 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Spectre de phase Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Déphasage sollicitation – déplacement ϕ = ϕ (ω / ω 0 ) ε =0.01 3 ε =0.1 ε =0.3 2.5 ε =0.5 Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 En opposition de phase 3.5 ε =1 2 ε 1.5 En quadrature de phase 1 Résonance de phase 0.5 ω /ω 0 0 En phase ω <ω 0 0.5 1 1.5 Rotation de phase de 180 ° Identification expérimentale des résonances 30 30 ω > ω0 0 2 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Spectre de phase Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Pour IDENTIFIER une FREQUENCE de RESONANCE du point de vue expérimental Il faut deux CONDITIONS : Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées 1 OBSERVER un MAXIMUM de réponse vibratoire dans le spectre Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 2 OBSERVER au voisinage de la fréquence associée à ce MAXIMUM de réponse vibratoire dans le spectre une ROTATION de PHASE 31 31 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Représentation dans le plan complexe cas ω quelconque Vibrations Des Structures Chapitre (− M ω 2 x + jω x + Kx)e j (ω t − ϕ ) = F0e jω t 1 Im D Introduction E Vibrations Libres F0 Non amorties Amorties ϕ Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions C A ωt B ω t− ϕ Kx C Re λ ω x F0 A ϕ B ( K − M ω ) x32 2 32 AB 2013 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Représentation dans le plan complexe cas ω = ω Vibrations Des Structures Chapitre (− M ω 02 x + jλ ω 0 x + Kx)e j (ω 0t − ϕ ) = F0e jω 0t 1 Introduction 0 Im D − Mω x 2 0 C Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées ϕ = π 2 Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 λω x F0 Re A Kx B La force extérieure sert à entretenir le mouvement et vaincre les efforts de frottement qui sont faibles car est petit ε 33 33 VIBRATIONS FORCEES AORTIES : Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Excitations Périodiques Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 34 34 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Sollicitations Périodiques Exemples Vibrations Des Structures Chapitre Excitations symétriques et asymétriques 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties F1 F2 Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie ωf t 0 π 2π 3π Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 -F1 35 35 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Excitations quelconques périodisées par Traitement expérimental : FFT ou Numérique F(t) Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie ωf t 0 π 2π 3π Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 36 36 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Sollicitations Périodiques Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction M .&&x(t ) + λ . x& (t ) + K . x (t ) = F (t ) avec x(t = 0) = x x& (t = 0) = x& 0 0 Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 F (t + T ) = F (t ) f avec T f : période de la sollicitation ω f = 2π Tf Décomposition en série de Fourier de la sollicitation F (t ) = n= + ∞ ∑ n= − ∞ F0 n e j .n.ω f t Sollicitation MULTI FREQUENTIELLE : Spectre de raies harmoniques 37 37 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Sollicitations Périodiques Sollicitation MULTI FREQUENTIELLE : Spectre de raies harmoniques Vibrations Des Structures Chapitre 1 Fn Introduction 3.ω Vibrations Libres Non amorties Amorties ω f 6.ω f f Vibrations Forcées n.ω Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Spectre de raies de l'excitation f ω Fn(ωn) 38 38 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Quelques exemples de sollicitations Vibrations Des Structures Chapitre 1 Sollicitation périodique discontinue Définie sur une période Tf Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Reconstruction de F(t) ? Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 39 39 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Quelques exemples de sollicitations Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Sollicitations périodiques continues Définies sur une période Tf Reconstruction de F(t) OK Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 40 40 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres * && & M . x ( t ) + λ . x ( t ) + K .x2 p (t ) = 2p 2p Tf avec F = 1 F (t )e − j .n.ω f t dt n ∫ T f 0 Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 x2 p (t ) = n= + ∞ ∑ n= − ∞ x2 n e n= + ∞ ∑ n= − ∞ Fn e j .n.ω f t Equation linéaire j .n.ω f t Solution particulière ou permanente x2 p (t ) = n= + ∞ ∑ n= − ∞ x2 n e j .ϕ n e j . n.ω f t 41 41 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations x2 n (n.ω f ) = 2 f Fn (n.ω f ) 2 2 2 n.ω f 2.ε .n.ω f ÷ ÷ + K 1− ÷ ÷ ÷ ω0 ÷ ω0 ÷ Fn (ω n ) Bn = K Déplacement sous charge STATIQUE Équivalente d'harmonique n Conclusions AB 2013 jϕ n (− n ω M + j (n.ω f )λ + K ). x2 n e = Fn 2 Définitions a α = ω n ÷ n n ω ÷ 0 = (( 1/2 1 ) 2 1 − α n2 + 4ε 2α n2 = Bn .an ) 1/2 Coefficient d'amplification VIBRATOIRE d'harmonique n Définitions 42 42 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées tg(ϕ n (ω )) = − 2ε (1 − ωn ω0 ω n2 ω 02 ) Déphasage entre l'harmonique n de la sollicitation et l'harmonique n de la réponse vibratoire Définitions Remarques Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Pour chaque harmonique n de la réponse vibratoire : - les spectres d'amplitudes et de phase sont identiques à ceux obtenus lors de l'excitation harmonique - les solutions de Réduction des niveau vibratoires 43 43 seront donc transposables au cas périodique VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier Vibrations Des Structures Chapitre Réponse vibratoire en vibration forcée périodique en fonction du temps 1 Introduction Vibrations Libres x2 ( t ) = n =+∞ ∑ n =−∞ Non amorties Amorties Fn ( n.ω f ) 2 n.ω f n.ω f K (1 − ÷ + 2. j.ε . ω0 ω0 ÷) e j . n .ω f t Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ? Convergence de la série numérique physique ? Critères de Convergence de la série portant sur n ? 44 44 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier Exemple 1 Vibrations Des Structures Chapitre F1 1 0 Introduction Vibrations Libres ωf t π 2π F1 si 0 ≤ t ≤ T f / 2 F (t ) = 0 si T f / 2 ≤ t ≤ T f avec ω f ω 0 = T0 T f = 0.5 1 2 3π 1 Décomposition de la sollicitation en série de Fourier Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 F1 F0 = 2 Vérification : reconstruction de F(t) Phénomène de Gibbs : fonctions continues par morceaux pour n=1,...,∞ j.F1 si n=2.p+1 Fn = n.π 0 si n=2.p Discontinuité * 45 45 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier Exemple 1 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction 2 Calcul de la réponse vibratoire forcée en série de Fourier F1 x20 = 2K Vibrations Libres Non amorties Amorties pour p=0,...,∞ Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh x2(2 p +1) = j.F1 n.π 2 (2 p + 1).ω f (2 p + 1).ω f K (1 − ÷ + 2. j.ε . ω0 ω0 ÷) Expérimentations Conclusions AB 2013 46 46 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier Exemple 1 Vibrations Des Structures Chapitre Réponses temporelles : sollicitation asymétrique x20 / 1 F1 2K Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Nouvelle Position d’équilibre statique ω f .t Vibrations ForcéesPosition Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 d’équilibre statique ε = 0.05 1: ω 2:ω ω 0 = 0.5 f f ω0= 2 47 47 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier Exemple 1 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Réponses temporelles : sollicitation asymétrique ao ou co non nuls Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Nouvelle Position d’équilibre statique Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Vérification de la STABILITE De la nouvelle position d’équilibre statique 48 48 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier Exemple 1 Réponses temporelles : sollicitation asymétrique Vibrations Des Structures Chapitre x20 / 1 Introduction ω f F1 2K ω0=1 ε = 0.05 Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques ω f .t Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 49 49 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier Exemple 1 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Réponses harmoniques spectrales : sollicitation asymétrique x2 n / F1 2K Résonance 2 :ω 1: ω f f ω 0 =1 ε = 0.05 ω 0 = 0.5 Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie 3:ω f ω0= 2 Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ω /ω 50 50 0 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier Exemple 1 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Spectre de phase harmoniques : sollicitation asymétrique x2 n / F1 2K 1: ω 2:ω ω f f 0 ω = 0.5 0 Rotation de phase = 1 ε = 0.05 Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 51 51 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier STRATEGIE DE REDUCTIONS Vibrations Des Structures Chapitre x2 n (ω n ) = 1 Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Zone 1 : ω n =ω 0 Zone 2 : ωn≈ ω0 Zone 3 : ω n ?ω 0 Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh K . 1 ((1 − ω n2 2 ω 02 ) + 4ε 2 ω n2 ω 02 1 )2 3 Zones de fréquences Introduction Vibrations Libres Fn (ω n ) QUASI STATIQUE : Fn et K RESONANCE d' AMPLITUDE : Fn ε ωο Fn et M Expérimentations Conclusions AB 2013 52 52 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier STRATEGIE DE REDUCTIONS Vibrations Des Structures Chapitre Actions sur la RAIDEUR 1 Introduction Vibrations Libres K Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Spectre de raies de l'excitation Fn(ωn) 53 53 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier STRATEGIE DE REDUCTIONS Vibrations Des Structures Chapitre Actions sur l'amortissement 1 Introduction Non amorties Amorties ε Vibrations Libres Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Spectre de raies de l'excitation Fn(ωn) 54 54 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier STRATEGIE DE REDUCTIONS Vibrations Des Structures Chapitre Actions sur la MASSE 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties W Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Spectre de raies de l'excitation Fn(ωn) 55 55 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions analytiques par décomposition en série de Fourier STRATEGIE DE REDUCTIONS Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction 3 Zones de fréquences gouvernées par les paramètres Zone 1 : ω n =ω 0 Zone 2 : ωn≈ ω Zone 3 : ω n ?ω 0 Vibrations Libres Non amorties Amorties 0 QUASI STATIQUE : Fn et K RESONANCE d' AMPLITUDE : Fn ε ωο Fn et M Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Au delà de la zone 3 il existe d'autres fréquences de résonances le système réel en possédant une infinité il peut donc y avoir résonance d'amplitude pour des Fréquences plus élevées l'excitation périodique étant multi-fréquentielle Pour des excitations périodiques les marges de manœuvres sont Réduites par rapport aux excitations harmoniques. Les conséquences 56 56 de chaque variation de paramètre doivent donc être finement analysées VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Equation différentielle du second ordre en t à coefficients constants avec second membre périodique M .&&x(t ) + λ .x& (t ) + K .(1 + jη ) x(t ) = x(t = 0) = x0 x& (t = 0) = x&0 Tf avec F = 1 F (t )e − j .n.ω f t dt n ∫ T f 0 n= + ∞ ∑ n= − ∞ Fne j .n.ω f t Mise sous la forme d'un système différentiel d'ordre 1 U1 (t ) = x(t ) U 2 (t ) = x& (t ) dU1 (t ) dt = dU 2 (t ) dt U 2 (t ) n= Nmax Fn j.n.ω f t 2 − 2ε ω 0U 2 (t ) − ω 0 (1 + jη ).U1 (t ) ∑ Me n= Nmax 57 57 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Fonction SCILAB ode U = ODE (U 0 , t0 , t , F (t )) // construction de la fonction trapézoïdale sur une période d'amplitude // amp et de période per deff('[y]=f(x)',['if x>0 & x<xa then';'y=amp*x/xa';... 'elseif x>xa & x<xb then';'y=amp';'elseif x>xb & x<per then';... 'y=amp*(x-per)/(xb-per)';'else';'y=0';'end']) // initialisation des variables d'entrée de l'excitation amp=1;per=1;xa=1/3;xb=2/3;L=per*1;c0=0;temps=L; x=0:0.001:temps; // les ti sur une période y=[];n=length(x); for j=1:n,y=[y f(x(j))];end; // chargement de la fonction série de Fourier calcul des coefficients exec fourierseries.sci [ay0,ay,by,yy]=fourierseries(10,c0,L,x,f,1e-5) // Construction de F(t) sur l'intervalle de temps de l'analyse deff('[w]=F(x)',['n=length(ay)';'w=ay0/2';'for j=1:n';... F(x) 'w=w+ay(j)*cos(2*j*%pi*x/L)+by(j)*sin(2*j*%pi*x/L)';'end']) 58 58 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie // résolution en vibrations forcées avec CI deff('[w]=f1(x,u)','w=[u(2),(F(x)/m-omega0^2*u(1)-2*epsa*u(2))]') f1(x,u) // données raideur masse amortissement k=320;m=2;amorti=8; // parametre système à 1 DL amorti // calcul des parametres vibratoires omegaexc=2*%pi/temps;omega0=sqrt(k/m);T0=2* %pi/omega0;lambdac=2*sqrt(k*m);epsa=amorti/lambdac; // x=[0:0.001:15*temps];x0=0;y0=[0;0] // pas de temps et CI y1=ode(y0,x0,x,f1); Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 59 59 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Exemples Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Trois cas de sollicitations de périodes 1s d'amplitude 1 N Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 60 60 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Exemples Vibrations Des Structures Chapitre Système non amorti : vérification de la stabilité et de l'amortissement numérique 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties ? Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ? Période de vibrations To ou Tf 61 61 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Exemples Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie ? Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 62 62 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Exemples Vibrations Des Structures Chapitre 1 X2 >>X1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Période de vibrations To ou Tf ? : To si le régime transitoire X1 domine la réponse vibratoire Tf si le régime permanent X2 domine la réponse 63 vibratoire 63 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Exemples Vibrations Des Structures Chapitre ω f ≈ ω0 Pulsation fondamentale fait entrer en résonance le Système à 1DL les autres harmoniques sont au-delà 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 64 64 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Exemples Vibrations Des Structures Chapitre Augmentation du taux d'amortissement 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Le niveau max atteint baisse avec l'augmentation 65 65 du taux d'amortissement OK VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Exemples Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 66 66 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Exemples Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 67 67 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Solutions numériques par décomposition en série de Fourier Vibrations Des Structures Chapitre 1 ? Convergence de la série numérique physique ? La réponse vibratoire physique est toujours bornée Par conséquent le modèle numérique s'il est bien construit le sera aussi Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Critères de Convergence de la série portant sur n ? ? Critère que l'on qualifiera de spatial : Les n pour lesquels Fn est maxi Critère que l'on qualifiera de fréquentiel : Les n pour lesquels nω f est voisin de ω 0 Expérimentations Conclusions AB 2013 68 68 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Excitations à durée ou observation finie Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 69 69 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Excitations à durée ou observation finie Vibrations Des Structures Chapitre 1 • Chocs • Explosions • Séismes • Écoulements Introduction • Mouvements Vibrations Libres • …………. Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques M .&& x(t ) + λ.x& (t ) + K * .x(t ) = F (t ) avec x(t = 0) = x x& (t = 0) = x& 0 0 0 si t ≤ t1 F (t ) = F (t ) si t1 ≤ t ≤ t 2 0 si t ≥ t 2 Deux techniques de résolutions Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 - Analytique : Transformées de Fourier ou Laplace - Numériques : Différences finies méthodes pas à pas Scilab fonction ODE 70 70 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche analytique Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Transformée de FOURIER LAPLACE F(s) = L { F (t )} ) F(ω ) = T .F .{ F (t )} Directe Directe ) F(ω ) = +∞ ∫ F (t )e − j .ω . t dt −∞ ) F (t ) = T . F .{ F(ω )} −1 Inverse F (t ) = +∞ ∫ ) F(ω )e j .ω .t d ω −∞ techniques expérimentales Fast Fourier Transform F(s) = +∞ ∫ F (t )e − s.t dt 0 F (t ) = L .{ F(s)} −1 Inverse F (t ) = +∞ ∫ F(s)e s.t ds 0 techniques numériques 71 et analytiques 71 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche analytique Vibrations Des Structures Chapitre DEMARCHE de RESOLUTION en trois étapes 1 Introduction 1 – Transformée directe de Laplace (s) de l'équation du mouvement: Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie 2 - RESOLUTION dans l’espace de Laplace (s) : Solution dans l'espace de Laplace Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 3 – Transformée INVERSE de Laplace (t) de la solution dans l'espace de Laplace : INTEGRALE de DUHAMEL 72 72 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche analytique Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 1 – Transformée directe de Laplace (s) de l'équation du mouvement: F(s) = L.{ F (t )} X(s) = L.{ X (t )} L.{ X& (t )} =s.X(s)-X(0) & L.{ X&& (t )} =s 2 .X(s)-s.X(0)-.X(0) 73 73 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche analytique Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées 2 - RESOLUTION dans l’espace de Laplace (s) : & ( M .s 2 + λ .s + K ) x ( s) = F ( s ) + λ . X (0) + s.MX(0)+MX(0) F ( s) & ( s + 2.ε ω 0 .s + ω ). x ( s) = + 2.ε ω 0 X (0) + s.X(0)+X(0) M 2 2 0 Solution : Somme de trois termes Harmoniques Périodiques Durée finie Terme FORCE CI Position CI Vitesse Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 74 74 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche analytique Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 3 – Transformée INVERSE de Laplace (t) de la solution dans l'espace de Laplace : INTEGRALE de DUHAMEL x ( s ) = F1 ( s ).F2 ( s ) Produit de convolution t x(t ) = L .{ x ( s )} = L .{ F1 ( s ).F2 ( s )} = ∫ F1 (τ ).F2 (t − τ )dt −1 −1 0 F (t ) δ (t ) F (s) 1 s ( s2 + ω cos(ω .t ) e − ε .ω t .sin(ω a .t ) ω F (t ) F (s) a 2 ) 1 ( s 2 + 2.ε ω .s + ω 2 ) sin(ω .t ) ω e − ε .ω t {cos(ω a .t ) + ε .sin(ω a .t ) 1− ε 2 } 2 s ( +ω 2 ) 2.ε ω + s ( s 2 + 2.ε ω .s + ω 2 ) 75 75 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Excitations à durée finie Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Intégrale de Duhamel Terme FORCE t 1 − ε ω 0 (t− τ ) x (t ) = F1 (τ )e sin(ω a (t − τ ))dτ ∫ Mω a 0 X& (0) − ε .ω 0t + e .sin(ω a .t ) ω a CI Vitesse + X (0)e − ε .ω 0t {cos(ω a .t ) + CI Position ε sin(ω a .t ) 1− ε 2 } ω a = ω 1− ε 2 76 76 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche analytique Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Remarques : La réponse à l'instant t dépend de toute l'histoire du système de t=0 à l'instant d'observation ou de calcul La réponse à l'instant t ne dépend pas Que de l'instant t d'observation ou de calcul Le système à 1DL est TOUJOURS excité Sur sa résonance en vibration libre amortie ω a 77 77 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche analytique exemple 1 Vibrations Des Structures Chapitre F si 0 ≤ t ≤ TR F (t ) = 1 0 si TR ≤ t x(t)*K/F1 F1 1 t/tr Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie 0 1 t/to 1 − ω 0 tr = π / 2 2 − ω 0 tr = π 3 − ω 0tr = 2π Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Phase Forcée Phase Libre 78 78 si Ta>tr le max de réponse est observé pendant la phase Libre VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche analytique exemple 1 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties x(t)*K/F1 F1 t/tr 0 1 1 − ω 0tr = 3π 2 − ω 0tr = 4π t/to Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 79 si Ta< tr le max de réponse est observé pendant la phase forcée 79 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche analytique Vibrations Des Structures Chapitre ATTENTION : 1 Introduction Vibrations Libres le système à 1DL est toujours excité sur la résonance en vibrations libres amorties Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Il faut donc les éviter : - réduction à la source …. ou - dissiper l’énergie au plus vite 80 80 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche NUMERIQUE Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Équation différentielle du second ordre en t à coefficients constants avec second membre à durée finie M .&&x (t ) + λ .x& (t ) + K .(1 + jη ) x (t ) = F (t ) x (t = 0) = x0 x& (t = 0) = x&0 F ( t ) si 0≤ t ≤ t r avec F ( t ) = 0 si t ≥ t r Mise sous la forme d'un système différentiel d'ordre 1 Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 U1 (t ) = x(t ) U 2 (t ) = x& (t ) dU1 (t ) dt = dU 2 (t ) dt U 2 (t ) 2 F (t ) − 2ε ω 0U 2 (t ) − ω 0 (1 + jη ).U1 (t ) 81 81 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche NUMERIQUE Vibrations Des Structures Chapitre 1 Fonction SCILAB ode U = ODE (U 0 , t0 , t , F (t )) Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées // construction d'une fonction rectangle sur la phase forcée deff('[y]=g(x)',['if x>0 & x<per then';'y=amp';... 'else';'y=0';'end']) Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh // initialisation des variables d'entrée de l'excitation amp=1;per=1;xa=1/3;xb=2/3;L=per*1;c0=0;temps=L; x=0:0.001:temps; // les ti sur la phase forcée y=[];n=length(x); for j=1:n,y=[y g(x(j))];end; Expérimentations Conclusions AB 2013 82 82 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche NUMERIQUE Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie // résolution en vibrations forcées avec CI deff('[w]=f1(x,u)','w=[u(2),(g(x)/m-omega0^2*u(1)-2*epsa*u(2))]') f1(x,u) // données raideur masse amortissement k=320;m=2;amorti=8; // parametre système à 1 DL amorti // calcul des parametres vibratoires omegaexc=2*%pi/temps;omega0=sqrt(k/m);T0=2* %pi/omega0;lambdac=2*sqrt(k*m);epsa=amorti/lambdac; // x=[0:0.001:15*temps];x0=0;y0=[0;0] // pas de temps et CI y1=ode(y0,x0,x,f1); Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 83 83 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche NUMERIQUE EXEMPLES Vibrations Des Structures Chapitre Sollicitations : rectangle / triangle / trapèze 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 84 84 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche NUMERIQUE EXEMPLES Vibrations Des Structures Chapitre si To>1s=tr le max de réponse est observé pendant la phase Libre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Phase libre Phase Forcée Conséquence : MODELISATION DES CHOCS 85 85 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche NUMERIQUE EXEMPLES Vibrations Des Structures Chapitre Ta< 1s = tr le max de réponse est observé pendant la phase forcée 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Modification de la position d'équilibre Statique pendant la phase forcée asymétrique Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Phase libre Expérimentations Conclusions AB 2013 Phase Forcée 86 86 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche NUMERIQUE EXEMPLES Vibrations Des Structures Chapitre Ta< 1s = tr le max de réponse est observé pendant la phase forcée Plusieurs périodes d'oscilation 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Modification de la position d'équilibre Statique pendant la phase forcée asymétrique Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Phase libre Phase Forcée 87 87 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Modélisation des chocs Vibrations Des Structures Chapitre Sollicitations impulsionnelles impulsion = ∫ F (t )dt = F ∆ t F(t) Fˆ 2ε 1 Aire I (ε ) = τ +ε ∫ F (t )dt = τ −ε Introduction t Vibrations Libres Non amorties Amorties τ -ε τ Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie F (t − τ ) = 0, t ≠ τ ∞ Approximation de Rayleigh ∫ Expérimentations si Fˆ = 1 Conclusions AB 2013 −∞ τ +ε F(t) ∞ ∫ F (t )dt (N ×s) −∞ Fˆ = 2ε = Fˆ 2ε “fonction” de Dirac Impulsions équivalentes F (t − τ )dt = Fˆ c'est la "fonction" de Dirac δ (t) t88 88 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Modélisation des chocs Vibrations Des Structures Chapitre 1 Hypothèses : durant la phase d’impulsion ( forcée et tr<<To ) la position du système n’évolue pas choc conservatif Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties vitesse après choc vitesse avant choc Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ˆ F∆ t F Fˆ = MV0 ⇒ V0 = = M M 89 89 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Modélisation des chocs Integrale de Duhamel pendant l'impulsion Vibrations Des Structures Chapitre t 1 − ε ω 0 (t − τ ) x(t ) = F1 (τ )e sin(ω a (t − τ ))dτ ∫ Mω a 0 1 F1 (τ ) = Fδ (τ ) Introduction Vibrations Libres F̂ Non amorties Amorties Vibrations Forcées x(t) X& (0) − ε .ω 0t e .sin(ω a .t ) ωa M Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 CI après l'impulsion X(0)=0 K λ ) F − ε ω 0t x (t ) = e sin(ω a t ) Mω a 90 90 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Réponse impulsionnelle Vibrations Des Structures Chapitre 1 − ε ω 0t e ˆ (t ), ou h(t ) = x (t ) = Fh sin ω a t Mω a 14442444 3 Fonction de réponse impulsionnelle ou fonction de transfert Impulse Response Function Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties 1 Vibrations Forcées 0.5 Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 h(t) Harmoniques 0 -0.5 -1 0 10 t 20 30 40 91 91 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Réponse impulsionnelle Vibrations Des Structures 1 Introduction Vibrations Libres 1 τ=0 h1 Chapitre Non amorties Amorties Harmoniques Périodiques Durée finie 0 -1 1 τ=10 Approximation de Rayleigh AB 2013 20 30 40 0 10 20 30 40 1 h1+h2 Conclusions 10 0 -1 Expérimentations 0 h2 Vibrations Forcées 0 t<τ − ε ω 0 (t − τ ) h(t − τ ) = e M ω sin ω a (t − τ ) t > τ a Décalage temporel 0 92 92 -1 0 10 20 30 40 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche NUMERIQUE Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 93 93 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche NUMERIQUE Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 94 94 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche NUMERIQUE : Exemples Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 95 95 VIBRATIONS FORCEES AMORTIES : Approche NUMERIQUE Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 96 96
