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Cours Vibrations des structures à 1 degré de liberté

Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Vibrations des structures
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Chapitre 1
VIBRATIONS des systèmes
Réductibles à 1 Degré de Liberté
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Par Alain BLAISE blaise_alain@yahoo.fr
ETUDES des structures
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
Compréhension des phénomènes physique
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Observer
Modéliser
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
•Données – Inconnues ?
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
2
2
DEFINITIONS
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Système Mécanique
Conséquence
Ensemble isolé de son
Environnement
Réactions de liaisons
Inconnues mécaniques
Réductible à ...
1 Degré de Liberté
Simplification du Système
Quelqu'en soit sa complexité
Système élémentaire
Irréductible
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
AMORTI
Approximation de
Rayleigh
Tout Système Réèl est
dissipatif
Expérimentations
Perte d'énergie
Conclusions
AB 2013
NON AMORTI
Modélisation
Système conservatif
Pas de Perte d'énergie
3
3
MODELES ELEMENTAIRES
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
Cinématique du mouvement
TRANSLATION
1
Introduction
ROTATION
TRANSLATION
ROTATION
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
4
4
MODELES ELEMENTAIRES :
Translation
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Poutre en flexion
Modèle en translation
K
λ
G
M
0
F(t)
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
X
X(t)
V(x=L)
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Paramètres MRA
Masse : M= ?
Raideur : K= ?
Amortrissement : λ= ?
5
5
MODELES ELEMENTAIRES :
IDENTIFICATION de la RAIDEUR
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
DEFINITION
La raideur, K, exprime la relation de proportionnalité
entre
la force F appliquée en un point M (X=Xo)
et
le déplacement V(X= Xo) de ce même point
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
F=K*V(Xo)
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
A
F
x0
B x1
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
V(Xo)
x2
6
6
MODELES ELEMENTAIRES :
IDENTIFICATION de la RAIDEUR
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
DEMARCHE : CAS STATIQUE
1 Définir le système etudié
2 Isolé le système défini
3 Faire le bilan des actions extèrieures
données et inconnues
4 Nature du problème à résoudre :
* Isostatique
* Hyperstatique
5 Mise en équation & résolution pour
obtenir la déformée V(X)
6 Calcul de V(Xo) & Identication de K
dépendant des hypothèses
Formulées lors de l'étape 5
7
7
MODELES ELEMENTAIRES :
IDENTIFICATION de la RAIDEUR
Etapes 1 à 4
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
1 Définir le système etudié
La poutre seule et ses chargements
2 Isolé le système défini
3 Bilan des actions extèrieures
MA
A
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
RA
x2
F
x0
B x1
V(Xo)
RB
4 Nature du problème à résoudre :
Pb 2D + PFS : 3 EQUATIONS XA YA MA YB 4 INCONNUES
Système HYPERSTATIQUE EXTERIEUR
D'ordre 4-3 = 1 Relation de liaison V(x=L)=0
8
8
MODELES ELEMENTAIRES :
IDENTIFICATION de la RAIDEUR
Etape 5
Mise en équation & résolution pour
obtenir la déformée V(X)
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Equilibre global
uur ur uur r

RA + F + RB = 0
 uuur uuuur ur uuur uur r
 M A + AM ∧ F + AB ∧ RB = 0
Non amorties
Amorties
 XA = 0
 XA = 0


 YA = − ( F + YB )
 YA + F + YB = 0
 M + X F + LY = 0  M = − ( X F + LY )
0
B
B
 A 0
 A
Vibrations Forcées
Harmoniques
Equilibres locaux
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
MA
A
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
RA
x2
x
Ty
N
Mfz
x1
-Mfz
-Ty
x
B x1
-N
x2
YB
9
9
MODELES ELEMENTAIRES :
IDENTIFICATION de la RAIDEUR
Etape 5
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
MA
A
x
M
RA
x2
Ty
N
x1
Mfz
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
-Mfz
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
-N
x2
-Ty
x
B x1
M
YB
uur uur uur r
XA + N = 0


RA + N + TY = 0

YA + TY = 0
uuuu
r
uuur
uuur
uur
r


 M fz + M A + MA ∧ RA = 0  M fz + M A − X .YA = 0
N = − XA = 0


TY = − YA = + ( F + YB )

 M = − M + X .Y = + ( X F + LY ) − X . ( F + Y )
A
A
0
B
B
 fz
uur uur uur r
 − N − TY + RB = 0
 uuuur uuur uur r
 − M fz + MB ∧ RB = 0
−N= 0


− TY + YB = 0

 − M + ( L − X ).Y = 0
fz
B

N = 0


TY = YB

 M = ( L − X ).Y
fz
B

DEFINITIONS des EFFORTS INTERNES ?
10
10
MODELES ELEMENTAIRES :
IDENTIFICATION de la RAIDEUR
Etape 5 : Définitions efforts Internes
DEFINITIONS
EFFORTS INTERMES
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Non amorties
Amorties
Champ de déplacements :
Choisir
Vibrations Forcées
Calculer
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
S
TY =
∫
S
Calculer
σ
XX
ds
σ
XY
ds
∫
S
− y.σ
XX
ds
r
u ( M ,t )
Modéliser : Sollicitations
Géométrie
Simplifications
Petits
déplacements
ε ij ( M ,t )
Champ de déformations :
∂ ui ( M ,t ) ∂ u j ( M ,t )
(
)
2ε ij M ,t =
+
linéaire
σ ij ( M ,t )
Définir la loi de comportement
du matériau :
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
∫
M fz =
Introduction
Vibrations Libres
N =
∂ xj
σ
∂ xi
ij
= £ ijkl .ε kl
Elastique
11
linéaire
11
MODELES ELEMENTAIRES :
IDENTIFICATION de la RAIDEUR
Etape 5
Modèle cinématique de Bernouilli
Poutre mince en flexion simple & plane
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Champ de déplacements
∂ V( N 0 ,t )
V( N , t ) +
dx1
0
∂ x1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
N0
N 0'
V( N 0 , t )
M0
Vibrations Forcées
Périodiques
Durée finie
ε XX
N1
M1
∂
V
N ,t ) 
(

u ( M ,t )= − y.
∂ x1 


V( M ,t )= V ( N ,t )


W( M ,t )= 0

 R
0
Champ de déformations
N1
Harmoniques
Approximation de
Rayleigh
ur
U




(M , t) = 




N 1'
∂ u(M )
∂ 2V (M)
=
= −y
∂X
∂X2
Champ de contraintes
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
σ XX = E.ε XX
∂ u(M )
∂ 2V (M)
= E.
= − E. y.
2
∂X
∂ X1212
MODELES ELEMENTAIRES :
IDENTIFICATION de la RAIDEUR
Etape 5
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
σ XX = E.ε XX
N=
∫
S
TY =
∫
S
M fz =
σ
XX
ds
σ
XY
ds
∫
S
− y.σ
∂ u(M )
∂ 2V (M)
= E.
= − E. y.
∂X
∂X2
∂ 2V (M)
N ( x) = − E.
. yds = 0
∂ X 2 ∫S
TY = GXY .∫ 0.ds = 0
S
XX ds
Equation de la
Déformée
A<X<X0
∂ 2V (M)
∂ 2V (M)
2
M fz ( x) = E.
y ds = E.I z .
∂ X 2 ∫S
∂X2
Equation de la
Déformée
X0<X<B
M fz = ( X 0 − X ) F + ( L − X )YB
M fz = ( L − X ).YB
∂ 2V (M)
E.I z . 2 = ( X 0 − X ) F + ( L − X )YB
∂X
∂ 2V (M)
E.I z .
= ( L − X ).YB
2
∂X
13
13
MODELES ELEMENTAIRES :
IDENTIFICATION de la RAIDEUR
Etape 5 : solutions
Intégrations
Déformée A<X<Xo
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
∂ 2V (M)
E.I z . 2 = ( X 0 − X ) F + ( L − X )YB
∂X
E.I z .
∂ V (M)
= ( X 0 − X )X.F + ( L − X )X.YB + C1
2
2
∂X
X
E.I z .V (M) = ( 0 − X )X 2 .F + ( L − X )X 2 .YB + C1.X + C2
2
6
2 6
Intégrations
Déformée Xo<X<B
∂ V (M)
= ( L − X ).YB
2
∂X
∂ V (M)
E.I z .
= ( L − X )X.YB + D1
2
∂X
E.I z .
2
E.I z .V (M) = ( L − X ) X 2 .YB + D1. X + D2
2 6
BILAN
2 constantes d'intégrations
C1 C2
2 constantes d'intégrations
D1 D2
1 inconnue hyperstatique
YB
5 inconnues
BILAN
2 conditions en A
1 condition en B
2 conditions en Xo
5 REALTIONS
14
14
MODELES ELEMENTAIRES :
IDENTIFICATION de la RAIDEUR
Etape 5 : solutions
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Encastrement en A X=0 :
2 conditions
Appui glissant en A X= L :
1 condition
∂ V (x = 0)
E.I z .
= 0 = C1
∂X
E.I z .V (x = 0) = 0 = C2
3
L
E.I z .V (x = L) = 0 = .YB + D1.L+ D2
3
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Continuités en X=Xo :
2 conditions
V (x 0− ) = V (x 0+ )
∂ V (x 0− ) ∂ V (x 0+ )
=
∂X
∂X
15
15
MODELES ELEMENTAIRES :
IDENTIFICATION de la RAIDEUR
Etape 5 : solutions
Déformée X0<X<B
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
2
X
X
1
YB = − F  0 ÷ .  3 − 0 ÷
2  L  
L 
F . X 03  1 X  X 2  
X  . 1− X 
V (x) =
−
.
3
−
 − 3+
÷ 
÷
3L ÷
X 0  2.L. X 0  
X0 
2 E.I z 
(
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Raideur de translation en Xo
A
x2
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
A
F
x0
B x1
x2
F . X 03  1 X 0  X 0   X 0  
V (x 0 ) =
. 3 −
. 1−
− −
L ÷  3L ÷ ÷
3E.I z  3 4.L 
X  X   X 
3E.I 
K (x 0 ) = 3 z  − 1 − 0 .  3 − 0 ÷ .  1 − 0 ÷ ÷
L   3L  
X 0  3 4.L 
V(Xo)
F
B
V(L)
Conclusions
AB 2013
)
−1
Raideur de translation
en L
x1
3E.I z
K (L) =
L3
16
16
MODELES ELEMENTAIRES :
Rotation
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
Poutre en flexion
Modèle en rotation
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Paramètres IRA
Expérimentations
Inertie : Io = ?
Raideur de rotation: Kθ = ?
Conclusions
Amortrissement : λθ = ?
AB 2013
17
17
MODELES ELEMENTAIRES :
Rotation
Modèle en rotation
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
F
B
A
x1
V(L)
θ
x2
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Raideur en Rotation en
x=0
V (L) (FL).L2 M.L
tg ( θ ) ≈ θ =
=
=
L 3E.I z .L 3E.I z
3E.I z
Kθ (0) =
L
18
18
MODELES ELEMENTAIRES :
Paramètres & Hypothèses
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Modèle en translation
Modèle en rotation
Paramètres MRA
Paramètres IRA
Masse en kg
Inertie en kg*m^2
Introduction
Raideur en N/m
Raideur de rotation en Nm/rad
Vibrations Libres
Amortrissement en N/m/s
Amortrissement en Nm/rad/s
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Hypothèses
Masses ou Inerties « indéformable/raideur »
Raideurs et amortisseurs de masse ou Inertie négligeable / (M ou Io)
Comportements linéaires : de F (t) M (t) K λ
19
19
MODELE ELEMENTAIRE :
en translation ETAT INITIAL
Modèle
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
Poutre en flexion
1
X0
Configuration de référence :
Non chargée
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
G
X
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
État Initial :
à vide ou sans charge
Y
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
20
20
MODELE ELEMENTAIRE :
en translation ETAT STATIQUE
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
Modèle
A0
Poutre en flexion
1
K
Introduction
Vibrations Libres
Configuration Statique : chargée
Xsta
A1
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
G
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
M
X
g
g
État Statique :
sous charges statiques
Y
21
21
MODELE ELEMENTAIRE :
en translation ETAT DYNAMIQUE
Modèle
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
g
Introduction
Configuration dynamique chargée
X(t)
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Xsta
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Poutre en flexion
x(t)
G
M
État dynamique :
sous charges statiques
et dynamiques
X
F(t)
Y
g
F(t)
22
22
MODELE ELEMENTAIRE en translation
Mises en Equation Théorèmes Généraux
●
Modèle
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
État Statique :
uuuur
∑F
1
●
X(t)
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Xsta
x(t)
G
F(t)
M
État dynamique :
sous charges
statiques
et dynamiques
= 0 = M . g − K .( X sta − X 0 )
0
X sta = M .g / K + X 0
g
Introduction

ext . 
x
uuuur
∑F
r
ext . uu
x
0
État Dynamique :
d 2 X (t )
= M.
= M . g + F (t ) − K .( X (t ) − X 0 )
2
dt
Équation du mouvement en paramétrage absolu :
d 2 X (t )
M . 2 + K . X (t ) = M . g + K . X 0 + F (t )
dt
Sollicitations statiques
Sollicitations dynamiques
23
Équation différentielle linéaire à coefficients constants
23
Avec second Membre
MODELE ELEMENTAIRE en translation
Mises en Equation Formulation de Lagrange
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1 D.L.
1
Introduction
Vibrations Libres
X(t)
paramètre absolu
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
1 Équation du Mouvement
d  ∂ Ec  ∂ E c
= Qi pour i=1,N DL

÷−
dt  ∂ q&i  ∂ qi
δ WΣ uuFr ,Cuur =
j
j
∑
N DL
i= 1
Qiδ qi = Q X δ X

1 : Bilan des actions extérieures au système

2 : Calcul des actions généralisées

3 : Calcul de l’énergie cinétique

4 : Calcul des équations de Lagrange
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
24
24
MODELE ELEMENTAIRE en translation
Mises en Equation Formulation de Lagrange
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
AB 2013
1 : Bilan des actions extérieures au système
r
r
M . g x en G
F (t ) x en G
1
Introduction
Conclusions

a intérieur au
système
Structure élastique ou
ressort
FRe ssort /1 x en A1
r
FRe ssort / 0 x en A0
δ WRe ssort = − δ U Re ssort

b est extérieur au
système
r
2 : Calcul des actions généralisées
1

δ WRe ssort = −δ U déf Re ssort = −δ  K ( X − X 0 ) 2 ÷ = − K ( X − X 0 )δ X
2

ur 0 uuuur
ur 0
r
δ WuPr = M . g x.δ O0 G =M . g x.δ X . x = M . g .δ X
r 0 uuuur
δ WurF = F (t ) x.δ O0 G = F (t ).δ X
(
)
δ WTotal = δ WuPr + δ WurF − δ U déf Re ssort = [ Mg + F (t ) − K ( X − X 0 ) ] δ X
25
25
MODELE ELEMENTAIRE en translation
Mises en Equation Formulation de Lagrange
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1

3 : Calcul de l’énergie cinétique
ur
1 uur0 2 1 ur t
Eci = M i Vi + Ω i / 0 I Gi Ω i / 0
2
2
ur r
Ω 1/ 0 = 0
uuur
uur d 0 OG
r
0
V1 =
= X& (t ) x
dt
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013

4 : Calcul des équations de Lagrange
d  ∂ Ec  ∂ E c
= QX
 & ÷−
dt  ∂ X  ∂ X
d 2 X (t )
M.
= M . g + F (t ) − K .( X (t ) − X 0 )
2
dt
26
Même EQUATION qu'avec les Théorèmes généraux
26
MODELE ELEMENTAIRE en translation
Mises en Equation Changement de variable
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
paramétrage absolu
X (t ) = X sta + x (t )
paramétrage relatif
Fonction du temps
Par rapport à
Dynamique ou
Vibratoire
Position d’équilibre
statique
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Statique = 0
d 2 x (t )
M.
+ K . x (t ) = M . g + F (t ) − K .( X sta − X 0 )
2
dt
Equation Vibratoire
d 2 x (t )
M.
+ K . x (t ) = F (t )
2
dt
27
27
MODELE ELEMENTAIRE en translation
DEFINITIONS
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
VIBRATIONS
Oscillations autour d'une position d'équilibre
Statique STABLE
Oscillations autour d'une TRAJECTOIRE
moyenne
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Nature des VIBRATIONS
Libres ou naturelles si F(t)=0
Forcées ou permanentes si F(t)=0
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
28
28
MODELE ELEMENTAIRE
Remarques
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Remarque 1
Les paramètres vibratoires sont definis par
Rapport à la référence : statique ou trajectoire
moyenne
Introduction
Remarque 2
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Les paramètres qui definissent cette référence
N'interveniennent plus dans les
équations vibratoire
K .( X sta − X 0 )
M .g
Remarque 3
Lors d'un dimessionnement il faut tenir compte
Des deux états : statique et vibratoire
σ
total
(t)= σ
sta
+σ
vib
(t )
29
29
MODELE ELEMENTAIRE
LIMITES de MODELE
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
Linéarités ,éléments élastiques d’énergie
cinétique négligée
EC = EC1 + EC 2 ≈ EC 2
1
Introduction
Vibrations Libres
Poutre mince homogène à
section droite constante :
S1
Non amorties
Amorties
Disque mince
homogène : S2
Harmoniques
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Modélisation
X (U(x,y,t))
Vibrations Forcées
Périodiques
Durée finie
K1 = ?
Y (V(x,y,t))
G2
M2
Modèles plus fins
EC ≈ EC 1 + EC 2
V(x=L1,t)
Y
Techniques de Rayleigh
Éléments Finis 3030
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Equation du Modèle 1DL
NA

d 2 x (t )
 M . dt 2 + K . x (t ) = 0

 avec

dx
(t = 0) = x&0
 x (t = 0) = x0
dt

Forme de la solution
x (t ) = A.e r .t
Equation aux fréquences
M .r 2 + K = 0
31
31
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Racines de l'équation aux
fréquences Modèle 1DL NA
Si K>0 et M>0
K
r1.2 = ±i
M
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Pulsation de Résonance
du Modèle 1DL NA
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
ω0 =
K
→
M
MLT −2 L−1
= T −1
M
Solution générale du Modèle 1DL NA
x(t ) = A1 .eir1 .t + A 2 .eir2 .t
32
32
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
K>0&M>0?
M toujours le cas
K pas toujours le cas
K >0
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
33
33
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
K<0
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
34
34
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties : K < 0
3DL : U V Θ
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
X
δW
uur uur
Σ F j ,C j
1
Introduction
OG1=a
AO=OB=b
Non amorties
Amorties
G1
Vibrations Forcées
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
g
V
Harmoniques
U
B
A
(1+α)K
∑
i= 1
Qiδ qi
QV = 0
Qθ = 0
Actions extèrieures : P1 en G1
ur uuuur
δ WuuPr = P1.δ OG1
1
Y
Travaux virtuels des ressorts :
δ WR1 + R2 =
O
K
=
N DL
QU = 0
Système : S1+2 Ressorts
Θ
Vibrations Libres
Périodiques
Durée finie
3 équations en Statique
∑ −δ U
Ri
défRi
δ WΣ uurF ,Cuur = δ WuuPr + δ WR1 + R2 = QU .δ U + QV .δ V + QΘ .δ Θ
j j
1
35
35
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties : K < 0
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Actions extèrieures : P1 en G1
ur uuuur
δ WuuPr = P1.δ OG1 = − P1.δ U + P1.a.sin(θ ).δ θ
1
Travaux virtuels des ressorts :
δ WR1 + R2 = ∑ − δ U défRi = − K .l A δ l A − (α + 1) K .l B δ l B
Ri
∂l
∂l
∂l
δ l A (U , V , θ ) = A .δ U + A .δ V + A .δ θ
∂U
∂V
∂θ
∂ lB
∂ lB
∂ lB
δ lB (U , V , θ ) = .δ U + .δ V + .δ θ
∂U
∂V
∂θ
Equations d'équilibre statique :
NON LINEAIRES
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
∂ lA
∂ lB
Enfoncement de S1
QU = 0 = − P1 − K .l A . − (α + 1) K .l B .
∂U
∂U
∂ lA
∂ lB
Egalité des modules des Projections
QV = 0 = − K .l A . − (α + 1) K .l B .
des actions des ressorts / Y
∂V
∂V
∂l
∂l
Equilibre des moments / Z
Qθ = 0 = P1.a.sin(θ ) − K .l A . A − (α + 1) K .l B . B
36
36
∂θ
∂θ
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties : K < 0
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Equations d'équilibre statique :
NON LINEAIRES
QU = 0 = − P1 − K .(2 + α ) U+ α K .b.sin(θ )
Raideur de translation suivant X > 0
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
QV = 0 = − K .(2 + α )V+ α K .b.(1 − cos(θ ))
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Qθ = 0 = − (− P1.a + K .b2 .(2 + α ) + α K .b.V ).sin(θ ) − α K .b.U.cos(θ )
Raideur de rotation plan (x,y) :
> 0 position d'équilibre statique
stable
< 0 Instabilité statique
37
37
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties : Réponse
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Solution générale du Modèle 1DL NA
x(t ) = A1 .eiω 0 .t + A 2 .e − iω 0 .t
Conditions Initiales
x (t = 0) = x0 et x& (t = 0) = x&0
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
x0 = A1 + A 2
x&0
= A1 − A 2
i.ω 0
Réponse vibratoire
du Modèle 1DL
x&0
x(t ) = x0 .cos(ω 0 .t ) +
sin(ω 0 .t )
ω0
38
38
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties : Réponse
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Solution générale du Modèle 1DL NA
x(t ) = A1 .eiω 0 .t + A 2 .e − iω 0 .t
Conditions Initiales
x (t = 0) = x0 et x& (t = 0) = x&0
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
x0 = A1 + A 2
x&0
= A1 − A 2
i.ω 0
Réponse vibratoire
du Modèle 1DL NA
x&0
x(t ) = x0 .cos(ω 0 .t ) +
sin(ω 0 .t )
ω0
39
39
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties : Réponse
C.I.
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
x (0) = x0 et x& (0) = x&0
-x(t)
1
x (0)
K
Introduction
x& (0)
To
Harmonique
CONSTANT
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
G
X(t)
M
t
X
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
ω0=
K
M
rad/s
1
f0 =
2π
K
M
1/s ou Hertz
1 2π
T0 =
=
f0 ω 0
s
40
40
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties : C.I.
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
C.I.
x (0) = x0 et x& (0) = x&0
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Energie de déformation :
Energie cinétique :
1 2
U déf (t = 0) = K .x (t = 0)
2
1
Ec (t = 0) = M .x& 2 (t = 0)
2
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
A
B x1
AB 2013
x1
B
Expérimentations
Conclusions
A
X(L,t<0)
x2
V(L,T=0)
x2
41
41
Problème d'impactes Cf. vibrations forcées
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties : Résonance
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
SIGNATURE
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
ω0 =
K
M
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
42
42
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties : Résonance
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
TOUT SYSTEME REEL POSSEDE
UNE RESONANCE : verre à vin ;-)
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
43
43
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties : Résonance
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
TOUT SYSTEME REEL POSSEDE
UNE RESONANCE : Tour au japon
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
44
44
VIBRATIONS LIBRES
Non Amorties : Limites
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
1 Mouvement perpétuel
: le système ne s'arrête
pas de vibrer pas conforme aux observations !!!!
2 Les CI n'interviennent pas sur le Mouvement
du système :vrai pour tout système linéaire mais pas non linéaire
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
3 Approximations pas toujours légitimes :
Ecdéf << EcIndéf
Solide Indéformable
Question OUVERTE
Quelle est l'utilité de ce modèle
À 1DL non amorti ?
45
45
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
Dissipation d'énergie Maquette de Bâtiment
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
46
46
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
Dissipation d'énergie Freinage roue en acier
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
47
47
VIBRATIONS LIBRES
Amorties :
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
•STRUCTURE REELLE :
•Déformable
•Dissipative
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
•Causes ?
1- Contact entre solides avec
ou sans interface fluide
2- Actions d’un fluide
visqueux
3- Loi de comportement
des matériaux
•Modéliser
48
48
VIBRATIONS LIBRES
Amorties : 1- Contact entre solides
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
49
49
VIBRATIONS LIBRES
Amorties : 1- Contact entre solides
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Schématisation
Solide 1
Modélisation
r
T
1/ 2
=
r
µ.N
Solide 2
1/ 2
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Effort normal
Effort tangentiel Coefficient de frottement
dynamique
r r
T .V
1/ 2
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
2 /1
<0
Modèle de Coulomb pour des
Modèles plus fins
cf... Rhéologie
50
50
VIBRATIONS LIBRES
Amorties : 2- Actions d’un fluide visqueux
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
51
51
VIBRATIONS LIBRES
Amorties : 2- Actions d’un fluide visqueux
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
Schématisation
S1
S2
1
Introduction
Modélisation
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Effort de réaction
De 1/2
Vitesse relative
de 2/1
Facteur d’amortissement
visqueux
52
52
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
3 Loi de comportement des matériaux
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
53
53
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
3 Loi de comportement des matériaux
Vibrations
Des
Structures
Schématisation Modèle de
1
σ
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Contrainte axia le
Introduction
Vibrations Libres
ε
Kelvin Voigt
Modélisation
XX
σ = [ C ] .ε
e
Charg
En
e rg
ie
d is
si p
ée
Chapitre
ε&
Contraintes
ge
r
ha
c
Dé
déformations
Coefficients d’élasticité
σ
ε XX
Déformation axiale
xx
= Exx (1 + j.η xx ).ε xx
Facteur de perte du matériau
ou
Amortissement structural
54
54
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
3 Loi de comportement des matériaux
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
σ
xx
= Exx (1 + j.η xx ).ε xx
Modélisation :
Poutre EL en flexion
ε&
ε
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
3Exx (1 + jη xx ).I z
K * (L) =
3
L
Module de Young Complexe
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
RAIDEUR Complexe
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
K*
55
55
VIBRATIONS LIBRES
Amorties : Effets visqueux
Mise en équations
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Equation du Modèle 1DL A
 d 2 x(t )
 M . dt 2 + λ.x(t ).K .x(t ) = 0

avec

dx
 x(t = 0) = x0
(t = 0) = x&0
dt

Forme de la solution
x (t ) = A.e r .t
Equation aux fréquences
Définitions
M .r + λ .r + K = 0
Amortissement critique
2
r 2 + λ / M .r + K / M = 0
r 2 + 2.ε .ω 0 r + ω 02 = 0
λ c = 2. K .M
Taux d'Amortissement
visqueux
ε = λ /λc
56
56
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
Effets visqueux Solutions
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Equation aux fréquences
r + 2.ε .ω 0 r + ω = 0
2
2
0
δ ' = − ω 02 (1 − ε 2 )
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
3 CAS de solutions
ε >1
ε =1
ε <1
57
57
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
Effets visqueux Solutions ε > 1
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Solution générale du
Modèle 1DL A
Conditions Initiales
ε >1
δ ' = ω 02 (ε 2 − 1)
r1.2 = ω 0 ( −ε ± ε 2 − 1) ∈
x(t ) = A.e + B.e
r1 .t
r2 .t
R
x0 = A + B
x&0 + ω 0ε .x0
ω 0. ε − 1
2
Vibrations Libres
= A− B
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Réponse vibratoire du Modèle 1DL A
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
− ω 0ε t
x(t ) = e ( x0 .ch(ω 0 ε − 1.t ) +
2
x&0 − ω 0ε .x0
ω 0. ε − 1
2
ε >1
sh(ω 0 ε − 1.t ))
2
58
58
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
Effets visqueux Solutions ε = 1
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Solution générale du
Modèle 1DL A
δ'=ω
2
ε =1
r = −ω 0 ∈ R
r .t
x(t ) = e ( A.t + B )
0
Conditions Initiales
x0 = B
x&0 = A − ω 0 B
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Réponse vibratoire du Modèle 1DL A ε
x(t ) = e
− ω 0t
=1
(( x&0 + ω 0 .x0 ).t + x0 )
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
59
59
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
Effets visqueux Solutions ε = 1 ε > 1
Réponse en vibrations libres Amorties
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
x0
-x(t)
1
Introduction
ε
x0
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
K
λ
ε =1
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
G
M
X
t
X(t)
Mouvements Apériodiques critiques
ou non PAS de VIBRATIONS
60
60
AB 2013
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
Effets visqueux Solutions ε < 1
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Vibrations Libres
Solution générale du
Modèle 1DL A
δ ' = −ω02 (1 − ε 2 ) < 0
r1.2 = ω 0 (− ε ± j. 1 − ε 2 ) ∈
x(t ) = A.e + B.e
r1 .t
Conditions Initiales
ε <1
r2 .t
C
ω 0. 1− ε
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
2
= A− B
Réponse vibratoire du Modèle 1DL A
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
x0 = A + B
x&0 + ω 0ε .x0
− ω 0ε t
x(t ) = e ( x0 .cos(ω 0 1 − ε .t ) +
2
x&0 + ω 0ε .x0
ω 0. 1 − ε
2
sin(ω 0 1 − ε .t))
2
61
61
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
Effets visqueux Solutions ε < 1
Réponse en vibrations libres Amorties
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
x0
x(t)
K
λ
e − ε ω 0t
Introduction
x0
ε
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
G
Vibrations Forcées
t
M
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Ta
X(t)
X
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
ωa=
K
. 1− ε
M
rad/s
2
fa =
ωa
2π
1/s ou Hertz
Ta =
2π
ωa
s
Mouvements oscillants
=
VIBRATIONS
62
62
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
Effets visqueux Solutions ε < 1
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Pulsation de résonance du modèle à 1DL A
K
2
ωa=
. 1− ε
M
Introduction
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
Pulsation de résonance du modèle à 1DL NA
Est un majorant de celle du modèle à 1DL A
Question OUVERTE
Quelle est l'utilité de ce modèle à 1DL non amorti ?
De permettre de trouver une approximation 63
63
de ω a
VIBRATIONS LIBRES
Amorties : Limites
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1 Mouvement décroissant perpétuel
:
le système s'arrête de vibrer lorsque t tend vers l'infini
pas conforme aux observations !!!!
1
Introduction
Il faut un autre modèle d'amortissement : le frottement sec
pour assurer l'arrêt des oscillations cf. DM 1
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
2 Les CI n'interviennent pas sur le Mouvement
du système :vrai pour tout système linéaire mais pas non linéaire
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
3 Approximations pas toujours légitimes :
Ecdéf << EcIndéf
Solide Indéformable
64
64
VIBRATIONS LIBRES Amorties :
Devoir à la Maison N°1
Réponse en vibrations libres Amorties :
Influence des modéles d'amortissement
Vibrations
Des
Structures
Chapitre
1
Introduction
Travail demandé : Rapport écrit
Deux cas :
A
x=L/2
x2
F
pdf avec sources pour le 15/11/13
B x1
Vibrations Libres
Non amorties
Amorties
Vibrations Forcées
Harmoniques
Périodiques
Durée finie
Approximation de
Rayleigh
Expérimentations
Conclusions
AB 2013
A
x=L/2
M
x2
B x1
Etude statique : K= ?
Etude dynamique :
Equation du mouvement ?
Modèles vibratoires ?
Réponse en vibrations
Libres ?
Programmation de la RvL sous SCILAB*
Et etudes paramétrées en fonction des :
1 – CI
2 – modèles d'amortissement : ε FS
* https://www.scilab.org/fr
65
65
https://www.scilab.org/fr/content/download/849/7897/file/Scilab_debutant.pdf