Vibrations Des Structures Chapitre 1 Vibrations des structures Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Chapitre 1 VIBRATIONS des systèmes Réductibles à 1 Degré de Liberté Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Par Alain BLAISE [email protected] ETUDES des structures Vibrations Des Structures Chapitre Compréhension des phénomènes physique 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Observer Modéliser Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh •Données – Inconnues ? Expérimentations Conclusions AB 2013 2 2 DEFINITIONS Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Système Mécanique Conséquence Ensemble isolé de son Environnement Réactions de liaisons Inconnues mécaniques Réductible à ... 1 Degré de Liberté Simplification du Système Quelqu'en soit sa complexité Système élémentaire Irréductible Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie AMORTI Approximation de Rayleigh Tout Système Réèl est dissipatif Expérimentations Perte d'énergie Conclusions AB 2013 NON AMORTI Modélisation Système conservatif Pas de Perte d'énergie 3 3 MODELES ELEMENTAIRES Vibrations Des Structures Chapitre Cinématique du mouvement TRANSLATION 1 Introduction ROTATION TRANSLATION ROTATION Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 4 4 MODELES ELEMENTAIRES : Translation Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Poutre en flexion Modèle en translation K λ G M 0 F(t) Vibrations Libres Non amorties Amorties X X(t) V(x=L) Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Paramètres MRA Masse : M= ? Raideur : K= ? Amortrissement : λ= ? 5 5 MODELES ELEMENTAIRES : IDENTIFICATION de la RAIDEUR Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction DEFINITION La raideur, K, exprime la relation de proportionnalité entre la force F appliquée en un point M (X=Xo) et le déplacement V(X= Xo) de ce même point Vibrations Libres Non amorties Amorties F=K*V(Xo) Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh A F x0 B x1 Expérimentations Conclusions AB 2013 V(Xo) x2 6 6 MODELES ELEMENTAIRES : IDENTIFICATION de la RAIDEUR Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 DEMARCHE : CAS STATIQUE 1 Définir le système etudié 2 Isolé le système défini 3 Faire le bilan des actions extèrieures données et inconnues 4 Nature du problème à résoudre : * Isostatique * Hyperstatique 5 Mise en équation & résolution pour obtenir la déformée V(X) 6 Calcul de V(Xo) & Identication de K dépendant des hypothèses Formulées lors de l'étape 5 7 7 MODELES ELEMENTAIRES : IDENTIFICATION de la RAIDEUR Etapes 1 à 4 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties 1 Définir le système etudié La poutre seule et ses chargements 2 Isolé le système défini 3 Bilan des actions extèrieures MA A Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 RA x2 F x0 B x1 V(Xo) RB 4 Nature du problème à résoudre : Pb 2D + PFS : 3 EQUATIONS XA YA MA YB 4 INCONNUES Système HYPERSTATIQUE EXTERIEUR D'ordre 4-3 = 1 Relation de liaison V(x=L)=0 8 8 MODELES ELEMENTAIRES : IDENTIFICATION de la RAIDEUR Etape 5 Mise en équation & résolution pour obtenir la déformée V(X) Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Equilibre global uur ur uur r RA + F + RB = 0 uuur uuuur ur uuur uur r M A + AM ∧ F + AB ∧ RB = 0 Non amorties Amorties XA = 0 XA = 0 YA = − ( F + YB ) YA + F + YB = 0 M + X F + LY = 0 M = − ( X F + LY ) 0 B B A 0 A Vibrations Forcées Harmoniques Equilibres locaux Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh MA A Expérimentations Conclusions AB 2013 RA x2 x Ty N Mfz x1 -Mfz -Ty x B x1 -N x2 YB 9 9 MODELES ELEMENTAIRES : IDENTIFICATION de la RAIDEUR Etape 5 Vibrations Des Structures Chapitre 1 MA A x M RA x2 Ty N x1 Mfz Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées -Mfz Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 -N x2 -Ty x B x1 M YB uur uur uur r XA + N = 0 RA + N + TY = 0 YA + TY = 0 uuuu r uuur uuur uur r M fz + M A + MA ∧ RA = 0 M fz + M A − X .YA = 0 N = − XA = 0 TY = − YA = + ( F + YB ) M = − M + X .Y = + ( X F + LY ) − X . ( F + Y ) A A 0 B B fz uur uur uur r − N − TY + RB = 0 uuuur uuur uur r − M fz + MB ∧ RB = 0 −N= 0 − TY + YB = 0 − M + ( L − X ).Y = 0 fz B N = 0 TY = YB M = ( L − X ).Y fz B DEFINITIONS des EFFORTS INTERNES ? 10 10 MODELES ELEMENTAIRES : IDENTIFICATION de la RAIDEUR Etape 5 : Définitions efforts Internes DEFINITIONS EFFORTS INTERMES Vibrations Des Structures Chapitre 1 Non amorties Amorties Champ de déplacements : Choisir Vibrations Forcées Calculer Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 S TY = ∫ S Calculer σ XX ds σ XY ds ∫ S − y.σ XX ds r u ( M ,t ) Modéliser : Sollicitations Géométrie Simplifications Petits déplacements ε ij ( M ,t ) Champ de déformations : ∂ ui ( M ,t ) ∂ u j ( M ,t ) ( ) 2ε ij M ,t = + linéaire σ ij ( M ,t ) Définir la loi de comportement du matériau : Harmoniques Périodiques Durée finie ∫ M fz = Introduction Vibrations Libres N = ∂ xj σ ∂ xi ij = £ ijkl .ε kl Elastique 11 linéaire 11 MODELES ELEMENTAIRES : IDENTIFICATION de la RAIDEUR Etape 5 Modèle cinématique de Bernouilli Poutre mince en flexion simple & plane Vibrations Des Structures Chapitre 1 Champ de déplacements ∂ V( N 0 ,t ) V( N , t ) + dx1 0 ∂ x1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties N0 N 0' V( N 0 , t ) M0 Vibrations Forcées Périodiques Durée finie ε XX N1 M1 ∂ V N ,t ) ( u ( M ,t )= − y. ∂ x1 V( M ,t )= V ( N ,t ) W( M ,t )= 0 R 0 Champ de déformations N1 Harmoniques Approximation de Rayleigh ur U (M , t) = N 1' ∂ u(M ) ∂ 2V (M) = = −y ∂X ∂X2 Champ de contraintes Expérimentations Conclusions AB 2013 σ XX = E.ε XX ∂ u(M ) ∂ 2V (M) = E. = − E. y. 2 ∂X ∂ X1212 MODELES ELEMENTAIRES : IDENTIFICATION de la RAIDEUR Etape 5 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 σ XX = E.ε XX N= ∫ S TY = ∫ S M fz = σ XX ds σ XY ds ∫ S − y.σ ∂ u(M ) ∂ 2V (M) = E. = − E. y. ∂X ∂X2 ∂ 2V (M) N ( x) = − E. . yds = 0 ∂ X 2 ∫S TY = GXY .∫ 0.ds = 0 S XX ds Equation de la Déformée A<X<X0 ∂ 2V (M) ∂ 2V (M) 2 M fz ( x) = E. y ds = E.I z . ∂ X 2 ∫S ∂X2 Equation de la Déformée X0<X<B M fz = ( X 0 − X ) F + ( L − X )YB M fz = ( L − X ).YB ∂ 2V (M) E.I z . 2 = ( X 0 − X ) F + ( L − X )YB ∂X ∂ 2V (M) E.I z . = ( L − X ).YB 2 ∂X 13 13 MODELES ELEMENTAIRES : IDENTIFICATION de la RAIDEUR Etape 5 : solutions Intégrations Déformée A<X<Xo Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ∂ 2V (M) E.I z . 2 = ( X 0 − X ) F + ( L − X )YB ∂X E.I z . ∂ V (M) = ( X 0 − X )X.F + ( L − X )X.YB + C1 2 2 ∂X X E.I z .V (M) = ( 0 − X )X 2 .F + ( L − X )X 2 .YB + C1.X + C2 2 6 2 6 Intégrations Déformée Xo<X<B ∂ V (M) = ( L − X ).YB 2 ∂X ∂ V (M) E.I z . = ( L − X )X.YB + D1 2 ∂X E.I z . 2 E.I z .V (M) = ( L − X ) X 2 .YB + D1. X + D2 2 6 BILAN 2 constantes d'intégrations C1 C2 2 constantes d'intégrations D1 D2 1 inconnue hyperstatique YB 5 inconnues BILAN 2 conditions en A 1 condition en B 2 conditions en Xo 5 REALTIONS 14 14 MODELES ELEMENTAIRES : IDENTIFICATION de la RAIDEUR Etape 5 : solutions Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Encastrement en A X=0 : 2 conditions Appui glissant en A X= L : 1 condition ∂ V (x = 0) E.I z . = 0 = C1 ∂X E.I z .V (x = 0) = 0 = C2 3 L E.I z .V (x = L) = 0 = .YB + D1.L+ D2 3 Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Continuités en X=Xo : 2 conditions V (x 0− ) = V (x 0+ ) ∂ V (x 0− ) ∂ V (x 0+ ) = ∂X ∂X 15 15 MODELES ELEMENTAIRES : IDENTIFICATION de la RAIDEUR Etape 5 : solutions Déformée X0<X<B Vibrations Des Structures Chapitre 2 X X 1 YB = − F 0 ÷ . 3 − 0 ÷ 2 L L F . X 03 1 X X 2 X . 1− X V (x) = − . 3 − − 3+ ÷ ÷ 3L ÷ X 0 2.L. X 0 X0 2 E.I z ( 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Raideur de translation en Xo A x2 Approximation de Rayleigh Expérimentations A F x0 B x1 x2 F . X 03 1 X 0 X 0 X 0 V (x 0 ) = . 3 − . 1− − − L ÷ 3L ÷ ÷ 3E.I z 3 4.L X X X 3E.I K (x 0 ) = 3 z − 1 − 0 . 3 − 0 ÷ . 1 − 0 ÷ ÷ L 3L X 0 3 4.L V(Xo) F B V(L) Conclusions AB 2013 ) −1 Raideur de translation en L x1 3E.I z K (L) = L3 16 16 MODELES ELEMENTAIRES : Rotation Vibrations Des Structures Chapitre Poutre en flexion Modèle en rotation 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Paramètres IRA Expérimentations Inertie : Io = ? Raideur de rotation: Kθ = ? Conclusions Amortrissement : λθ = ? AB 2013 17 17 MODELES ELEMENTAIRES : Rotation Modèle en rotation Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction F B A x1 V(L) θ x2 Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Raideur en Rotation en x=0 V (L) (FL).L2 M.L tg ( θ ) ≈ θ = = = L 3E.I z .L 3E.I z 3E.I z Kθ (0) = L 18 18 MODELES ELEMENTAIRES : Paramètres & Hypothèses Vibrations Des Structures Chapitre 1 Modèle en translation Modèle en rotation Paramètres MRA Paramètres IRA Masse en kg Inertie en kg*m^2 Introduction Raideur en N/m Raideur de rotation en Nm/rad Vibrations Libres Amortrissement en N/m/s Amortrissement en Nm/rad/s Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Hypothèses Masses ou Inerties « indéformable/raideur » Raideurs et amortisseurs de masse ou Inertie négligeable / (M ou Io) Comportements linéaires : de F (t) M (t) K λ 19 19 MODELE ELEMENTAIRE : en translation ETAT INITIAL Modèle Vibrations Des Structures Chapitre Poutre en flexion 1 X0 Configuration de référence : Non chargée Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties G X Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh État Initial : à vide ou sans charge Y Expérimentations Conclusions AB 2013 20 20 MODELE ELEMENTAIRE : en translation ETAT STATIQUE Vibrations Des Structures Chapitre Modèle A0 Poutre en flexion 1 K Introduction Vibrations Libres Configuration Statique : chargée Xsta A1 Non amorties Amorties Vibrations Forcées G Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 M X g g État Statique : sous charges statiques Y 21 21 MODELE ELEMENTAIRE : en translation ETAT DYNAMIQUE Modèle Vibrations Des Structures Chapitre 1 g Introduction Configuration dynamique chargée X(t) Vibrations Libres Non amorties Amorties Xsta Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Poutre en flexion x(t) G M État dynamique : sous charges statiques et dynamiques X F(t) Y g F(t) 22 22 MODELE ELEMENTAIRE en translation Mises en Equation Théorèmes Généraux ● Modèle Vibrations Des Structures Chapitre État Statique : uuuur ∑F 1 ● X(t) Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Xsta x(t) G F(t) M État dynamique : sous charges statiques et dynamiques = 0 = M . g − K .( X sta − X 0 ) 0 X sta = M .g / K + X 0 g Introduction ext . x uuuur ∑F r ext . uu x 0 État Dynamique : d 2 X (t ) = M. = M . g + F (t ) − K .( X (t ) − X 0 ) 2 dt Équation du mouvement en paramétrage absolu : d 2 X (t ) M . 2 + K . X (t ) = M . g + K . X 0 + F (t ) dt Sollicitations statiques Sollicitations dynamiques 23 Équation différentielle linéaire à coefficients constants 23 Avec second Membre MODELE ELEMENTAIRE en translation Mises en Equation Formulation de Lagrange Vibrations Des Structures Chapitre 1 D.L. 1 Introduction Vibrations Libres X(t) paramètre absolu Non amorties Amorties Vibrations Forcées 1 Équation du Mouvement d ∂ Ec ∂ E c = Qi pour i=1,N DL ÷− dt ∂ q&i ∂ qi δ WΣ uuFr ,Cuur = j j ∑ N DL i= 1 Qiδ qi = Q X δ X 1 : Bilan des actions extérieures au système 2 : Calcul des actions généralisées 3 : Calcul de l’énergie cinétique 4 : Calcul des équations de Lagrange Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 24 24 MODELE ELEMENTAIRE en translation Mises en Equation Formulation de Lagrange Vibrations Des Structures Chapitre Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations AB 2013 1 : Bilan des actions extérieures au système r r M . g x en G F (t ) x en G 1 Introduction Conclusions a intérieur au système Structure élastique ou ressort FRe ssort /1 x en A1 r FRe ssort / 0 x en A0 δ WRe ssort = − δ U Re ssort b est extérieur au système r 2 : Calcul des actions généralisées 1 δ WRe ssort = −δ U déf Re ssort = −δ K ( X − X 0 ) 2 ÷ = − K ( X − X 0 )δ X 2 ur 0 uuuur ur 0 r δ WuPr = M . g x.δ O0 G =M . g x.δ X . x = M . g .δ X r 0 uuuur δ WurF = F (t ) x.δ O0 G = F (t ).δ X ( ) δ WTotal = δ WuPr + δ WurF − δ U déf Re ssort = [ Mg + F (t ) − K ( X − X 0 ) ] δ X 25 25 MODELE ELEMENTAIRE en translation Mises en Equation Formulation de Lagrange Vibrations Des Structures Chapitre 1 3 : Calcul de l’énergie cinétique ur 1 uur0 2 1 ur t Eci = M i Vi + Ω i / 0 I Gi Ω i / 0 2 2 ur r Ω 1/ 0 = 0 uuur uur d 0 OG r 0 V1 = = X& (t ) x dt Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 4 : Calcul des équations de Lagrange d ∂ Ec ∂ E c = QX & ÷− dt ∂ X ∂ X d 2 X (t ) M. = M . g + F (t ) − K .( X (t ) − X 0 ) 2 dt 26 Même EQUATION qu'avec les Théorèmes généraux 26 MODELE ELEMENTAIRE en translation Mises en Equation Changement de variable Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties paramétrage absolu X (t ) = X sta + x (t ) paramétrage relatif Fonction du temps Par rapport à Dynamique ou Vibratoire Position d’équilibre statique Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Statique = 0 d 2 x (t ) M. + K . x (t ) = M . g + F (t ) − K .( X sta − X 0 ) 2 dt Equation Vibratoire d 2 x (t ) M. + K . x (t ) = F (t ) 2 dt 27 27 MODELE ELEMENTAIRE en translation DEFINITIONS Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction VIBRATIONS Oscillations autour d'une position d'équilibre Statique STABLE Oscillations autour d'une TRAJECTOIRE moyenne Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Nature des VIBRATIONS Libres ou naturelles si F(t)=0 Forcées ou permanentes si F(t)=0 Expérimentations Conclusions AB 2013 28 28 MODELE ELEMENTAIRE Remarques Vibrations Des Structures Chapitre 1 Remarque 1 Les paramètres vibratoires sont definis par Rapport à la référence : statique ou trajectoire moyenne Introduction Remarque 2 Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Les paramètres qui definissent cette référence N'interveniennent plus dans les équations vibratoire K .( X sta − X 0 ) M .g Remarque 3 Lors d'un dimessionnement il faut tenir compte Des deux états : statique et vibratoire σ total (t)= σ sta +σ vib (t ) 29 29 MODELE ELEMENTAIRE LIMITES de MODELE Vibrations Des Structures Chapitre Linéarités ,éléments élastiques d’énergie cinétique négligée EC = EC1 + EC 2 ≈ EC 2 1 Introduction Vibrations Libres Poutre mince homogène à section droite constante : S1 Non amorties Amorties Disque mince homogène : S2 Harmoniques Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Modélisation X (U(x,y,t)) Vibrations Forcées Périodiques Durée finie K1 = ? Y (V(x,y,t)) G2 M2 Modèles plus fins EC ≈ EC 1 + EC 2 V(x=L1,t) Y Techniques de Rayleigh Éléments Finis 3030 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Equation du Modèle 1DL NA d 2 x (t ) M . dt 2 + K . x (t ) = 0 avec dx (t = 0) = x&0 x (t = 0) = x0 dt Forme de la solution x (t ) = A.e r .t Equation aux fréquences M .r 2 + K = 0 31 31 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties Vibrations Des Structures Chapitre 1 Racines de l'équation aux fréquences Modèle 1DL NA Si K>0 et M>0 K r1.2 = ±i M Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Pulsation de Résonance du Modèle 1DL NA Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ω0 = K → M MLT −2 L−1 = T −1 M Solution générale du Modèle 1DL NA x(t ) = A1 .eir1 .t + A 2 .eir2 .t 32 32 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres K>0&M>0? M toujours le cas K pas toujours le cas K >0 Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 33 33 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties Vibrations Des Structures Chapitre K<0 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 34 34 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties : K < 0 3DL : U V Θ Vibrations Des Structures Chapitre X δW uur uur Σ F j ,C j 1 Introduction OG1=a AO=OB=b Non amorties Amorties G1 Vibrations Forcées Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 g V Harmoniques U B A (1+α)K ∑ i= 1 Qiδ qi QV = 0 Qθ = 0 Actions extèrieures : P1 en G1 ur uuuur δ WuuPr = P1.δ OG1 1 Y Travaux virtuels des ressorts : δ WR1 + R2 = O K = N DL QU = 0 Système : S1+2 Ressorts Θ Vibrations Libres Périodiques Durée finie 3 équations en Statique ∑ −δ U Ri défRi δ WΣ uurF ,Cuur = δ WuuPr + δ WR1 + R2 = QU .δ U + QV .δ V + QΘ .δ Θ j j 1 35 35 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties : K < 0 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Actions extèrieures : P1 en G1 ur uuuur δ WuuPr = P1.δ OG1 = − P1.δ U + P1.a.sin(θ ).δ θ 1 Travaux virtuels des ressorts : δ WR1 + R2 = ∑ − δ U défRi = − K .l A δ l A − (α + 1) K .l B δ l B Ri ∂l ∂l ∂l δ l A (U , V , θ ) = A .δ U + A .δ V + A .δ θ ∂U ∂V ∂θ ∂ lB ∂ lB ∂ lB δ lB (U , V , θ ) = .δ U + .δ V + .δ θ ∂U ∂V ∂θ Equations d'équilibre statique : NON LINEAIRES Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ∂ lA ∂ lB Enfoncement de S1 QU = 0 = − P1 − K .l A . − (α + 1) K .l B . ∂U ∂U ∂ lA ∂ lB Egalité des modules des Projections QV = 0 = − K .l A . − (α + 1) K .l B . des actions des ressorts / Y ∂V ∂V ∂l ∂l Equilibre des moments / Z Qθ = 0 = P1.a.sin(θ ) − K .l A . A − (α + 1) K .l B . B 36 36 ∂θ ∂θ VIBRATIONS LIBRES Non Amorties : K < 0 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Equations d'équilibre statique : NON LINEAIRES QU = 0 = − P1 − K .(2 + α ) U+ α K .b.sin(θ ) Raideur de translation suivant X > 0 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties QV = 0 = − K .(2 + α )V+ α K .b.(1 − cos(θ )) Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Qθ = 0 = − (− P1.a + K .b2 .(2 + α ) + α K .b.V ).sin(θ ) − α K .b.U.cos(θ ) Raideur de rotation plan (x,y) : > 0 position d'équilibre statique stable < 0 Instabilité statique 37 37 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties : Réponse Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Solution générale du Modèle 1DL NA x(t ) = A1 .eiω 0 .t + A 2 .e − iω 0 .t Conditions Initiales x (t = 0) = x0 et x& (t = 0) = x&0 Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 x0 = A1 + A 2 x&0 = A1 − A 2 i.ω 0 Réponse vibratoire du Modèle 1DL x&0 x(t ) = x0 .cos(ω 0 .t ) + sin(ω 0 .t ) ω0 38 38 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties : Réponse Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Solution générale du Modèle 1DL NA x(t ) = A1 .eiω 0 .t + A 2 .e − iω 0 .t Conditions Initiales x (t = 0) = x0 et x& (t = 0) = x&0 Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 x0 = A1 + A 2 x&0 = A1 − A 2 i.ω 0 Réponse vibratoire du Modèle 1DL NA x&0 x(t ) = x0 .cos(ω 0 .t ) + sin(ω 0 .t ) ω0 39 39 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties : Réponse C.I. Vibrations Des Structures Chapitre x (0) = x0 et x& (0) = x&0 -x(t) 1 x (0) K Introduction x& (0) To Harmonique CONSTANT Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie G X(t) M t X Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ω0= K M rad/s 1 f0 = 2π K M 1/s ou Hertz 1 2π T0 = = f0 ω 0 s 40 40 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties : C.I. Vibrations Des Structures Chapitre C.I. x (0) = x0 et x& (0) = x&0 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Energie de déformation : Energie cinétique : 1 2 U déf (t = 0) = K .x (t = 0) 2 1 Ec (t = 0) = M .x& 2 (t = 0) 2 Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh A B x1 AB 2013 x1 B Expérimentations Conclusions A X(L,t<0) x2 V(L,T=0) x2 41 41 Problème d'impactes Cf. vibrations forcées VIBRATIONS LIBRES Non Amorties : Résonance Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction SIGNATURE Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques ω0 = K M Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 42 42 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties : Résonance Vibrations Des Structures Chapitre TOUT SYSTEME REEL POSSEDE UNE RESONANCE : verre à vin ;-) 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 43 43 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties : Résonance Vibrations Des Structures Chapitre TOUT SYSTEME REEL POSSEDE UNE RESONANCE : Tour au japon 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 44 44 VIBRATIONS LIBRES Non Amorties : Limites Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction 1 Mouvement perpétuel : le système ne s'arrête pas de vibrer pas conforme aux observations !!!! 2 Les CI n'interviennent pas sur le Mouvement du système :vrai pour tout système linéaire mais pas non linéaire Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 3 Approximations pas toujours légitimes : Ecdéf << EcIndéf Solide Indéformable Question OUVERTE Quelle est l'utilité de ce modèle À 1DL non amorti ? 45 45 VIBRATIONS LIBRES Amorties : Dissipation d'énergie Maquette de Bâtiment Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 46 46 VIBRATIONS LIBRES Amorties : Dissipation d'énergie Freinage roue en acier Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 47 47 VIBRATIONS LIBRES Amorties : Vibrations Des Structures Chapitre •STRUCTURE REELLE : •Déformable •Dissipative 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 •Causes ? 1- Contact entre solides avec ou sans interface fluide 2- Actions d’un fluide visqueux 3- Loi de comportement des matériaux •Modéliser 48 48 VIBRATIONS LIBRES Amorties : 1- Contact entre solides Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 49 49 VIBRATIONS LIBRES Amorties : 1- Contact entre solides Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Schématisation Solide 1 Modélisation r T 1/ 2 = r µ.N Solide 2 1/ 2 Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Effort normal Effort tangentiel Coefficient de frottement dynamique r r T .V 1/ 2 Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 2 /1 <0 Modèle de Coulomb pour des Modèles plus fins cf... Rhéologie 50 50 VIBRATIONS LIBRES Amorties : 2- Actions d’un fluide visqueux Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 51 51 VIBRATIONS LIBRES Amorties : 2- Actions d’un fluide visqueux Vibrations Des Structures Chapitre Schématisation S1 S2 1 Introduction Modélisation Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Effort de réaction De 1/2 Vitesse relative de 2/1 Facteur d’amortissement visqueux 52 52 VIBRATIONS LIBRES Amorties : 3 Loi de comportement des matériaux Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 53 53 VIBRATIONS LIBRES Amorties : 3 Loi de comportement des matériaux Vibrations Des Structures Schématisation Modèle de 1 σ Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Contrainte axia le Introduction Vibrations Libres ε Kelvin Voigt Modélisation XX σ = [ C ] .ε e Charg En e rg ie d is si p ée Chapitre ε& Contraintes ge r ha c Dé déformations Coefficients d’élasticité σ ε XX Déformation axiale xx = Exx (1 + j.η xx ).ε xx Facteur de perte du matériau ou Amortissement structural 54 54 VIBRATIONS LIBRES Amorties : 3 Loi de comportement des matériaux Vibrations Des Structures Chapitre 1 σ xx = Exx (1 + j.η xx ).ε xx Modélisation : Poutre EL en flexion ε& ε Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées 3Exx (1 + jη xx ).I z K * (L) = 3 L Module de Young Complexe Harmoniques Périodiques Durée finie RAIDEUR Complexe Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 K* 55 55 VIBRATIONS LIBRES Amorties : Effets visqueux Mise en équations Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Equation du Modèle 1DL A d 2 x(t ) M . dt 2 + λ.x(t ).K .x(t ) = 0 avec dx x(t = 0) = x0 (t = 0) = x&0 dt Forme de la solution x (t ) = A.e r .t Equation aux fréquences Définitions M .r + λ .r + K = 0 Amortissement critique 2 r 2 + λ / M .r + K / M = 0 r 2 + 2.ε .ω 0 r + ω 02 = 0 λ c = 2. K .M Taux d'Amortissement visqueux ε = λ /λc 56 56 VIBRATIONS LIBRES Amorties : Effets visqueux Solutions Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Equation aux fréquences r + 2.ε .ω 0 r + ω = 0 2 2 0 δ ' = − ω 02 (1 − ε 2 ) Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 3 CAS de solutions ε >1 ε =1 ε <1 57 57 VIBRATIONS LIBRES Amorties : Effets visqueux Solutions ε > 1 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Solution générale du Modèle 1DL A Conditions Initiales ε >1 δ ' = ω 02 (ε 2 − 1) r1.2 = ω 0 ( −ε ± ε 2 − 1) ∈ x(t ) = A.e + B.e r1 .t r2 .t R x0 = A + B x&0 + ω 0ε .x0 ω 0. ε − 1 2 Vibrations Libres = A− B Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Réponse vibratoire du Modèle 1DL A Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 − ω 0ε t x(t ) = e ( x0 .ch(ω 0 ε − 1.t ) + 2 x&0 − ω 0ε .x0 ω 0. ε − 1 2 ε >1 sh(ω 0 ε − 1.t )) 2 58 58 VIBRATIONS LIBRES Amorties : Effets visqueux Solutions ε = 1 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Solution générale du Modèle 1DL A δ'=ω 2 ε =1 r = −ω 0 ∈ R r .t x(t ) = e ( A.t + B ) 0 Conditions Initiales x0 = B x&0 = A − ω 0 B Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Réponse vibratoire du Modèle 1DL A ε x(t ) = e − ω 0t =1 (( x&0 + ω 0 .x0 ).t + x0 ) Expérimentations Conclusions AB 2013 59 59 VIBRATIONS LIBRES Amorties : Effets visqueux Solutions ε = 1 ε > 1 Réponse en vibrations libres Amorties Vibrations Des Structures Chapitre x0 -x(t) 1 Introduction ε x0 Vibrations Libres Non amorties Amorties K λ ε =1 Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions G M X t X(t) Mouvements Apériodiques critiques ou non PAS de VIBRATIONS 60 60 AB 2013 VIBRATIONS LIBRES Amorties : Effets visqueux Solutions ε < 1 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Vibrations Libres Solution générale du Modèle 1DL A δ ' = −ω02 (1 − ε 2 ) < 0 r1.2 = ω 0 (− ε ± j. 1 − ε 2 ) ∈ x(t ) = A.e + B.e r1 .t Conditions Initiales ε <1 r2 .t C ω 0. 1− ε Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Expérimentations Conclusions AB 2013 2 = A− B Réponse vibratoire du Modèle 1DL A Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh x0 = A + B x&0 + ω 0ε .x0 − ω 0ε t x(t ) = e ( x0 .cos(ω 0 1 − ε .t ) + 2 x&0 + ω 0ε .x0 ω 0. 1 − ε 2 sin(ω 0 1 − ε .t)) 2 61 61 VIBRATIONS LIBRES Amorties : Effets visqueux Solutions ε < 1 Réponse en vibrations libres Amorties Vibrations Des Structures Chapitre 1 x0 x(t) K λ e − ε ω 0t Introduction x0 ε Vibrations Libres Non amorties Amorties G Vibrations Forcées t M Harmoniques Périodiques Durée finie Ta X(t) X Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 ωa= K . 1− ε M rad/s 2 fa = ωa 2π 1/s ou Hertz Ta = 2π ωa s Mouvements oscillants = VIBRATIONS 62 62 VIBRATIONS LIBRES Amorties : Effets visqueux Solutions ε < 1 Vibrations Des Structures Chapitre 1 Pulsation de résonance du modèle à 1DL A K 2 ωa= . 1− ε M Introduction Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 Pulsation de résonance du modèle à 1DL NA Est un majorant de celle du modèle à 1DL A Question OUVERTE Quelle est l'utilité de ce modèle à 1DL non amorti ? De permettre de trouver une approximation 63 63 de ω a VIBRATIONS LIBRES Amorties : Limites Vibrations Des Structures Chapitre 1 Mouvement décroissant perpétuel : le système s'arrête de vibrer lorsque t tend vers l'infini pas conforme aux observations !!!! 1 Introduction Il faut un autre modèle d'amortissement : le frottement sec pour assurer l'arrêt des oscillations cf. DM 1 Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie 2 Les CI n'interviennent pas sur le Mouvement du système :vrai pour tout système linéaire mais pas non linéaire Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 3 Approximations pas toujours légitimes : Ecdéf << EcIndéf Solide Indéformable 64 64 VIBRATIONS LIBRES Amorties : Devoir à la Maison N°1 Réponse en vibrations libres Amorties : Influence des modéles d'amortissement Vibrations Des Structures Chapitre 1 Introduction Travail demandé : Rapport écrit Deux cas : A x=L/2 x2 F pdf avec sources pour le 15/11/13 B x1 Vibrations Libres Non amorties Amorties Vibrations Forcées Harmoniques Périodiques Durée finie Approximation de Rayleigh Expérimentations Conclusions AB 2013 A x=L/2 M x2 B x1 Etude statique : K= ? Etude dynamique : Equation du mouvement ? Modèles vibratoires ? Réponse en vibrations Libres ? Programmation de la RvL sous SCILAB* Et etudes paramétrées en fonction des : 1 – CI 2 – modèles d'amortissement : ε FS * https://www.scilab.org/fr 65 65 https://www.scilab.org/fr/content/download/849/7897/file/Scilab_debutant.pdf
