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TD 2 ANALYSE 2

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Institut de Mathématiques et de Sciences Physiques
Dangbo - Bénin
Prépa1 – Session Académique 2017-18
Analyse 2: Exercices
- Dr.Yaé Ulrich Gaba
Séries numériques
P
Exercice 1
a) Vérifiez que la série
uk de terme général uk =
pour k ≥ 1 n’est pas grossièrement divergente.
1
k(k+1)(k+2)
b) En fait, la série précédente est convergente. En calculant la limite de la
suite de ses sommes parielles, donner sa somme.
Exercice 2 Montrer que la série suivante converge et calculer sa somme :
X
1
.
1 + 2 + 3 + ··· + n
n≥1
Exercice 3 Etudier la convergence des séries suivantes:
S1 =
∞
X
n2 + 1
n=2
n2
;
S2 =
∞
X
2
√ ;
n
n=1
S3 =
∞
X
(2n + 1)4
;
2 + 1)3
(7n
n=1
S4 =
∞
X
ln(1+e−n ).
n=1
Exercice 4 Les sommes suivantes sont-elles finies ?
S1 =
n
∞ X
−1
n=2
3
∞
∞
∞
X
X
X
tann (π/7)
9
2n
; S3 =
; S4 =
.
; S2 =
n−2
n+2
3
3
(3n + 1)(3n + 4)
n=0
n=0
n=5
Exercice
P 5 Soit
P (un ) une suite de réels positifs et vn =
séries
un et
vn sont de même nature.
un
.
1+un
Montrer que les
Exercice 6 Si (vn ) est une suite numérique tendant vers 0 et si a, b, c sont trois
réels vérifiant a + b + c = 0, pose pour tout n ≥ 0 :
un = avn + bvn+1 + cvn+2 .
Montrer que la suite de terme général un converge et calculer sa somme.
Exercice 7 Montrer que les séries de terme général
(−1)n
(−1)n 1
√
un =
et
vn = √ +
n
n
n
ne sont pas de mêmes natures et que pourtant un ∼ vn . Ce resultat contredit-il la
proposition 2.2.3 énoncée au cours?
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