Institut de Mathématiques et de Sciences Physiques Dangbo - Bénin Prépa1 – Session Académique 2017-18 Analyse 2: Exercices - Dr.Yaé Ulrich Gaba Séries numériques P Exercice 1 a) Vérifiez que la série uk de terme général uk = pour k ≥ 1 n’est pas grossièrement divergente. 1 k(k+1)(k+2) b) En fait, la série précédente est convergente. En calculant la limite de la suite de ses sommes parielles, donner sa somme. Exercice 2 Montrer que la série suivante converge et calculer sa somme : X 1 . 1 + 2 + 3 + ··· + n n≥1 Exercice 3 Etudier la convergence des séries suivantes: S1 = ∞ X n2 + 1 n=2 n2 ; S2 = ∞ X 2 √ ; n n=1 S3 = ∞ X (2n + 1)4 ; 2 + 1)3 (7n n=1 S4 = ∞ X ln(1+e−n ). n=1 Exercice 4 Les sommes suivantes sont-elles finies ? S1 = n ∞ X −1 n=2 3 ∞ ∞ ∞ X X X tann (π/7) 9 2n ; S3 = ; S4 = . ; S2 = n−2 n+2 3 3 (3n + 1)(3n + 4) n=0 n=0 n=5 Exercice P 5 Soit P (un ) une suite de réels positifs et vn = séries un et vn sont de même nature. un . 1+un Montrer que les Exercice 6 Si (vn ) est une suite numérique tendant vers 0 et si a, b, c sont trois réels vérifiant a + b + c = 0, pose pour tout n ≥ 0 : un = avn + bvn+1 + cvn+2 . Montrer que la suite de terme général un converge et calculer sa somme. Exercice 7 Montrer que les séries de terme général (−1)n (−1)n 1 √ un = et vn = √ + n n n ne sont pas de mêmes natures et que pourtant un ∼ vn . Ce resultat contredit-il la proposition 2.2.3 énoncée au cours?