TD 2 ANALYSE 2

Institut de Math´ ematiques et de Sciences Physiques
Dangbo - B´ enin
Pr´epa1 – Session Acad´emique 2017-18
Analyse 2: Exercices
-Dr.Ya´e Ulrich Gaba
S´eries num´eriques
Exercice 1 a) V´erifiez que la s´erie Pukde terme g´en´eral uk=1
k(k+1)(k+2)
pour k≥1n’est pas grossi`erement divergente.
b) En fait, la s´erie pr´ec´edente est convergente. En calculant la limite de la
suite de ses sommes parielles, donner sa somme.
Exercice 2 Montrer que la s´erie suivante converge et calculer sa somme :
X
n≥1
1
1+2+3+··· +n.
Exercice 3 Etudier la convergence des s´eries suivantes:
S1=
∞
X
n=2
n2+ 1
n2;S2=
∞
X
n=1
2
√n;S3=
∞
X
n=1
(2n+ 1)4
(7n2+ 1)3;S4=
∞
X
n=1
ln(1+e−n).
Exercice 4 Les sommes suivantes sont-elles finies ?
S1=
∞
X
n=2 −1
3n
;S2=
∞
X
n=5
2n
3n−2;S3=
∞
X
n=0
tann(π/7)
3n+2 ;S4=
∞
X
n=0
9
(3n+ 1)(3n+ 4).
Exercice 5 Soit (un)une suite de r´eels positifs et vn=un
1+un. Montrer que les
s´eries Punet Pvnsont de mˆeme nature.
Exercice 6 Si (vn)est une suite num´erique tendant vers 0et si a, b, c sont trois
r´eels v´erifiant a+b+c= 0, pose pour tout n≥0:
un=avn+bvn+1 +cvn+2.
Montrer que la suite de terme g´en´eral unconverge et calculer sa somme.
Exercice 7 Montrer que les s´eries de terme g´en´eral
un=(−1)n
√net vn=(−1)n √n+1
n
ne sont pas de mˆemes natures et que pourtant un∼vn.Ce resultat contredit-il la
proposition 2.2.3 ´enonc´ee au cours?